III. Le
modèle de Lee Carter
Dans ce chapitre, nous exposerons la méthode de Lee
& Carter (1992), qui a fait ses preuves en démographie et a
été présentée aux actuaires par Lee (2000).
L'idée est de passer par une décomposition en valeurs
singulières de la matrice des taux de mortalité (doublement
indexés, par l'âge et le temps calendaire). La matrice initiale
sera ainsi approximée au rang 1 par un produit de deux vecteurs propres:
l'un d'entre eux traduira l'effet et de l'âge, et l'autre l'effet du
temps calendaire. Il suffira alors projeter dans le futur le vecteur
décrivant l'évolution temporelle pour en déduire des
tables de mortalité prospectives.
A. Le modèle
Le modèle consiste à décomposer la
mortalité en deux composantes, l'une propre à l'âge et
l'autre tendancielle, et ensuite à extrapoler celle relative au temps.
Il est bon de noter d'emblée que la méthode de Lee et Carter
possède les avantages et les inconvénients de
l'objectivité: elle n'incorpore pas d'avis d'expert sur
l'évolution présumée de la mortalité, sur les
progrès de la médecine, l'apparition de nouvelles maladies ou
encore l'évolution du style de vie. La méthode se borne donc
à extrapoler dans le futur les tendances constatées dans le
passé.
L'idée est ici de décomposer l'estimation brute
de (taux instantané de mortalité) comme suit sur
l'échelle logarithmique:
où est l'erreur qui représente la part du
phénomène qui n'est pas capté par le modèle. Ces
sont supposées centrées, indépendantes et de même
variance ó2 (hypothèse
d'homoscédasticité).
Le modèle tel que posé n'est pas identifiable
car il existe un autre jeu de paramètre qui aboutit au même
modèle. Par exemple en remplaçant par et par , le
modèle reste invariant. Des contraintes sur les paramètres
doivent donc venir compléter le modèle. Lee et Carter proposent
de fixer la valeur des sommes des et des :
L'équation , décompose le taux de
mortalité à l'âge x pour l'année t
sur l'échelle logarithmique, à un terme d'erreur près, en
la somme d'une composante spécifique à l'âge x et d'un
produit entre un paramètre temporel décrivant l'évolution
générale de la mortalité et un paramètre propre
à l'âge décrivant l'évolution du taux à
l'âge x par rapport à ceux relatifs aux autres âges. On
espère bien entendu que la variance des erreurs sera aussi petite que
possible.
Que signifie chaque paramètre du
modèle ?
est la composante du modèle liée à
l'âge. Il décrit le comportement moyen des taux instantanés
de mortalité au cours du temps. Plus précisément, exp()
est la moyenne géométrique des :
Soit :
est la sensibilité de la mortalité
instantanée par rapport à l'évolution
générale de la mortalité. Il décrit les
écarts des par rapport au comportement moyen. En effet,
En particulier, les âges x pour lesquels les
sont importants seront plus sensibles à l'évolution
générale de la mortalité.
est la composante temporelle qui décrit
l'évolution de la mortalité dans le temps.
Tout lecteur intéressé par une
présentation plus détaillé du modèle peut se
référer à Lee & Carter (1992), Bell (1997), Lee (2000)
et Lee& Miller (2000). Bien que ce modèle ait connu un grand
succès, il présente quelques limites. Le lecteur pourra se
référer à Gutterman & Vanderhoof (1999).
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