Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration d'une table de mortalité

A.2. Les tables de mortalité

Une table de mortalité suit, sur une centaine d'année, l'évolution d'un groupe de personnes, et propose à chaque période le nombre de vivants, le nombre probable de vivants, le nombre de décès, et l'espérance de vie. A la base de la construction de cette table se trouve donc la détermination des probabilités de décès (q_x^t).

A.2.a) Calcul des probabilités de décès

Pour évaluer q_x^t on met en observation L_x personnes atteignant l'âge x dans l'année. Au bout d'un an, il reste L_x+1 = L_x - D_x personnes vivantes avec D_x le nombre de décès parmi le groupe observé dans l'année écoulée. On note alors Q_x = D_x / L_x le quotient annuel de mortalité.

On démontre alors que, pour cette variable aléatoire Qx les relations suivantes :

E(Q_x) = q_x

V(Q_x) = (q_x*p_x) / L_x

Le théorème central limite nous indique alors que Q_x suit une loi normale d'espérance q_x et de variance (q_x*p_x) / L_x et se met donc sous la forme :

Q_x = q_x + N

Où la variable aléatoire N suit une loi normale centrée réduite.

Ainsi, la valeur exacte des variables étudiées ne pouvant être déterminée, on doit se contenter d'une approximation, dont on pourra déterminer un intervalle de confiance à partir de la forme normale de Q_x.

Afin de garantir l'estimation la plus précise possible, on aura donc tout intérêt à avoir :

- Un grand nombre de variables

- Des groupes de population les plus homogènes possibles

Dans les faits, la série des observations des Q_x est souvent très désordonnée, en raison d'aléas statistiques. On présume que la série des probabilités présente une certaine régularité et notamment qu'à partir de 30 ans, les taux augmentent continûment. On utilise parfois des méthodes de lissage des résultats et d'ajustement.

A.2.b) L'ajustement et le lissage

La première étape, lorsqu'on recueille des résultats, est donc de lisser la série des Q_x, c'est à dire de remplacer les valeurs observées Q_x par des valeurs q_x plus régulières, mais qui ne s'éloignent pas trop des observations.

Sans les expliciter, signalons simplement que de nombreuses méthodes de lissage existent : ajustement par les splines, programme de minimisation d'écarts (Wittaker-Anderson). . . Le lissage effectué, il est alors possible d'utiliser des méthodes d'ajustement. En effet, les observations statistiques ne nous donnent pas précisément qx mais plutôt un intervalle de confiance. Cette incertitude n'est pas compatible avec la nécessité de disposer d'une table de mortalité en vue des calculs de primes d'assurance. Pour la réduire, on essaie donc d'éliminer les aberrations fortuites de taux observées, en déterminant une courbe continue

Q_x = f(x) passant à l'intérieur des intervalles de confiance.