Memoire Online - Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration d'une table de mortalité - ALLADE Emile

Aujourd'hui, dans les pays en voie de développement, on vit plus longtemps comparativement aux années 1950. La chute du taux de mortalité dans ces pays est plus brutale que dans les anciens pays industrialisés où le développement a été plus lent. Les retombées de la médecine moderne ont permit d'enrayer des épidémies et d'accroître l'espérance de vie des populations. Par ailleurs, les événements récurrents tels que les guerres, les épidémies, les crises socio politiques, qui sévissent dans ces pays, viennent contrer cette baisse tendancielle du taux de mortalité. Etant à l'origine de divers chocs sur la mortalité, ces événements peuvent avoir des effets de court ou de long terme sur celle-ci.

Cette situation préoccupe les assureurs qui sont exposés à un risque : la mortalité effective pourrait s'écarter considérablement de la mortalité prévue par les tables prospectives. L'une des bases techniques de l'assurance vie est la table de mortalité. Elle décrit la loi de survenance des décès, laquelle permet d'évaluer le coût moyen des contrats souscrits par la compagnie. La détermination du montant de la prime pure relative à un contrat d'assurance sur la vie se fait sur base du principe d'équivalence, en vertu duquel l'espérance de la valeur actuelle des prestations de l'assureur doit être égale à l'espérance de la valeur actuelle des primes pures payées par l'assuré. Si les bases techniques utilisées par l'assureur ne reflètent pas la sinistralité réelle qu'il s'est engagé à couvrir, l'assureur sera confronté à des problèmes financiers. D'où l'intérêt pour l'assureur de réduire l'incertitude sur ses prévisions de la mortalité future.

Projeter l'évolution de la mortalité est un exercice difficile, comme en témoignent les écarts parfois très importants observés dans le passé entre les projections et la réalité en ce qui concerne les pays développés. Deux types de risques sont à prendre en compte dans la modélisation des lois en assurance de personnes : le risque de mortalité et le risque de longévité. D'un coté le risque de mortalité concerne les scénarios pessimistes sur l'évolution de la mortalité (survenance d'une pandémie). C'est le risque d'un nombre de décès plus élevé que prévu. Les guerres, les pandémies et les catastrophes naturelles sont souvent à l'origine de ce risque. De l'autre coté, le risque de longévité est le risque que les populations vivent plus longtemps que prévue. Les progrès non anticipés de la médecine et l'amélioration des conditions de vie sont à l'origine de ce type de risque.

Comment modéliser la mortalité des pays en voie de développement en prenant en compte les crises récurrentes et la survenance d'événements extrêmes ? Quiconque se lancerait dans l'élaboration de tables de mortalité prospectives pour les pays en développement serait d'abord confronté à la disponibilité de données sur de longues périodes. Du coup il s'avère difficile de modéliser la survenance d'un événement extrême et rare tel qu'une pandémie.

Les modèles de mortalité jusqu'ici élaborés ont été testés sur les données des pays développés. Peuvent-ils s'appliquer aux données des pays en développement ? La dynamique de la mortalité dans les PVD^1(*) est différente de celle PD^2(*). En effet la réduction de la mortalité y a été brutale contrairement aux PD où le développement a été lent et progressif. Les PVD ont bénéficié des transferts des progrès de la médecine émanant des PD. Par exemple, en Colombie le taux de mortalité est passé de 14 pour 1000 en 1950 à 5 pour 1000 dans les années 1980. Soit une baisse 9 points en 30 années. Depuis lors ce taux se stabilise autour de 5 pour 1000. Tout comme dans la plupart des PVD, cela pourrait s'expliquer par la croissance de la pauvreté, par de fortes incidences des maladies infectieuses, parasitaires et diarrhéiques aux âges moins élevés et par un environnement économique morose. Ces nombreux maux viennent s'opposer aux effets dues au progrès de la médecine. Dans la mesure où les sociétés des PVD et celles des PD habitent des environnements différents, et subissent des transformations sectorielles et culturelles différentes, leur expérience de la morbidité et de la mortalité peut présenter de fortes différences. Il serait donc intéressant de voire comment l'on pourrait adapter les modèles de mortalité prospectifs, déjà élaborés, aux réalités des PVD.

L'objectif de ce mémoire sera de proposer une méthode qui permette de prendre en compte tous les aspects susmentionnés (risque de survenance de crise extrême, environnement socio économique) de la mortalité dans l'élaboration de tables de mortalité prospectifs pour les PVD. Nous utiliserons comme modèle de base le célèbre modèle de Lee Carter (1992). Vu le problème d'indisponibilité de données (environnement socio économique et démographique) auquel fait face les PVD, nous modéliserons l'indice de mortalité à l'aide d'un mouvement brownien et d'un processus de diffusion de saut. Il sera supposé que les changements dans l'indice de mortalité proviennent d'un effet additif de plusieurs variables indépendantes (variables macro économique, variable démographiques).

Notre travail se subdivise en plusieurs chapitres. Le premier chapitre fait la revue des méthodes de modélisation de la mortalité. Dans le second nous exposerons de façon exhaustive notre modèle de base (le modèle de Lee Carter). Le chapitre 3 présente la modélisation de l'indice de mortalité. Et nous appliquerons dans le dernier chapitre, le modèle à un pays en voie de développement : la Colombie.

II. Revue de littérature

A. Présentation des principaux concepts étudiés

Suivant la nomenclature proposée par l'Insee, une table de mortalité se définit de la façon suivante : «Une table de mortalité annuelle suit le cheminement d'une génération fictive de 100 000 nouveau-nés à qui l'on fait subir aux divers âges les conditions de mortalité observées sur les diverses générations réelles, durant l'année étudiée.» La table de mortalité donne donc, pour la suite des anniversaires x, le nombre de survivants S_x à ces anniversaires, le nombre de décès D_x entre deux anniversaires successifs et le quotient annuel de mortalité (s'interprétant comme une probabilité de décès) Q_x à l'âge x. Ces tables sont alors très utiles notamment pour les assureurs, qui les utilisent pour déterminer leurs primes d'assurance.

Lorsqu'on construit une table de mortalité, on cherche à obtenir des résultats sur les probabilités de survie des individus. Une formalisation mathématique est donc nécessaire, et la partie qui suit se propose de présenter les principaux outils mathématiques qui sont utilisés.

A.1. Outils principaux des modèles de durée

A.1.a) Probabilités de survie et de décès

Considérons à une époque 0 origine des temps, un individu d'âge x. Désignons par Tx sa durée de vie résiduelle à partir de cet instant. Ainsi, cet individu décèdera à l'âge de x + Tx. La durée de vie résiduelle T_x constitue une variable aléatoire. Nous caractérisons la loi de probabilité de T_x par la fonction de survie p_x^t = P[T_x > t] où t est un réel positif. Inversement, on désigne par q^t/
t'_x la probabilité de décès entre t et t + t' d'un individu pris en observation à l'âge x et q_x^tla probabilité de décès avant la date t d'un individu pris en observation à l'âge x. Notons que q_x^t= 1 - p_x^t.

La probabilité de décès s'exprime alors en fonction de la probabilité de survie :

A.1.b) Loi de survie

Considérons à l'intérieur d'un groupe homogène, à un instant pris comme origine, l'ensemble des individus d'âge x en nombre L_x. Nous allons supposer qu'ils décèdent indépendamment les uns des autres. Dans ce cas, on peut attacher à chaque élément du groupe une variable aléatoire X_i(t) que nous appellerons indicateur de survie et qui prend la valeur 1 si l'individu est vivant et la valeur 0 s'il est mort à la date t. Les variables X_i(t) sont alors en nombre égal à L_x et on suppose de plus que les décès sont indépendants. Donc :

A l'époque t le nombre de survivants du groupe initialement composé de L_x individus est :

On appelle nombre probable de vivants^3(*) à l'âge x + t et on le désigne par l_x+t la quantité :

Remarquons qu'on obtient ainsi l'égalité p_x^t= l_x+t / l_x On peut alors à partir d'une constante de proportionnalitéL_x = lx calculer le nombre probable de vivants pour toutes les périodes : l'ensemble des valeurs obtenues constitue alors une loi de survie.

A.1.c) Le taux instantané de mortalité

Etant donné un individu pris en observation à l'âge x et supposé vivant à l'époque t (c'est-à dire à l'âge x + t), la probabilité qu'il décède entre les dates t et t + ?t est :

P(t < T_x < t + ?t / T_x>t) = P(t < T_x < t + ?t) / P(T_x > t) = (p_x^t - p_x^t+?t) / p_x^t

Or, p_x^t= l_x+t / l_x donc ( p_x^t )^' = l_x+t^' / l_x et p_x^t- p_x^t+?t = -l_x+t^' / (?t / l_x)

Cette limite est une fonction u_x+t que l'on appelle le taux instantané de mortalité à l'âge x + t. Pour un âge y, on a donc :

Inversement, si l'on connaît la fonction u_y, on aura par intégration entre x et x + t :

A.1.d) L'espérance de vie

On désigne par espérance de vie à l'âge x l'espérance mathématique de la durée de vie résiduelle T_x. En notant ù la durée de vie maximale, on a ainsi :

A.2. Les tables de mortalité

Une table de mortalité suit, sur une centaine d'année, l'évolution d'un groupe de personnes, et propose à chaque période le nombre de vivants, le nombre probable de vivants, le nombre de décès, et l'espérance de vie. A la base de la construction de cette table se trouve donc la détermination des probabilités de décès (q_x^t).

A.2.a) Calcul des probabilités de décès

Pour évaluer q_x^t on met en observation L_x personnes atteignant l'âge x dans l'année. Au bout d'un an, il reste L_x+1 = L_x - D_x personnes vivantes avec D_x le nombre de décès parmi le groupe observé dans l'année écoulée. On note alors Q_x = D_x/ L_x le quotient annuel de mortalité.

On démontre alors que, pour cette variable aléatoire Qx les relations suivantes :

Le théorème central limite nous indique alors que Q_x suit une loi normale d'espérance q_x et de variance (q_x*p_x) / L_x et se met donc sous la forme :

Ainsi, la valeur exacte des variables étudiées ne pouvant être déterminée, on doit se contenter d'une approximation, dont on pourra déterminer un intervalle de confiance à partir de la forme normale de Q_x.

Afin de garantir l'estimation la plus précise possible, on aura donc tout intérêt à avoir :

Dans les faits, la série des observations des Q_x est souvent très désordonnée, en raison d'aléas statistiques. On présume que la série des probabilités présente une certaine régularité et notamment qu'à partir de 30 ans, les taux augmentent continûment. On utilise parfois des méthodes de lissage des résultats et d'ajustement.

A.2.b) L'ajustement et le lissage

La première étape, lorsqu'on recueille des résultats, est donc de lisser la série des Q_x, c'est à dire de remplacer les valeurs observées Q_x par des valeurs q_x plus régulières, mais qui ne s'éloignent pas trop des observations.

Sans les expliciter, signalons simplement que de nombreuses méthodes de lissage existent : ajustement par les splines, programme de minimisation d'écarts (Wittaker-Anderson). . . Le lissage effectué, il est alors possible d'utiliser des méthodes d'ajustement. En effet, les observations statistiques ne nous donnent pas précisément qx mais plutôt un intervalle de confiance. Cette incertitude n'est pas compatible avec la nécessité de disposer d'une table de mortalité en vue des calculs de primes d'assurance. Pour la réduire, on essaie donc d'éliminer les aberrations fortuites de taux observées, en déterminant une courbe continue

B. La modélisation de la mortalité

La première étape de toute projection de mortalité consiste à réduire la dimension des données. Il est en effet impossible de traiter simultanément autant de séries chronologiques décrivant l'évolution au cours du temps des taux de mortalité aux différents âges.

B.1. La modélisation paramétrique

Cette première approche consiste à ajuster les observations de chaque année à l'aide d'un modèle paramétrique. Elle est basée sur l'hypothèse selon laquelle l'indicateur choisie pour mesurer la mortalité est une fonction de l'âge x ,f_á(x) avec á=(á₁, á₂,..., á_n),étant des paramètres à estimer à l'aide des techniques de régression classiques. L'objectif étant d'obtenir une meilleure représentation des données avec un minimum de paramètres. Nous pouvons citer par exemple le modèle de Makeham qui considère que le taux instantané de mortalité `a l'âge x se décompose comme suit:

· un premier terme constant, A, qui est indépendant de l'âge atteint x et représente la mortalité accidentelle ainsi que celle due aux maladies pouvant survenir indifféremment à tout âge;

· un second terme croissant en x, âc^x, qui représente la mortalité due au vieillissement, pour laquelle on postule un comportement exponentiel.

Ceci permet de condenser l'information annuelle dans un petit nombre de paramètres (3 dans notre exemple). Ensuite, l'évolution au cours du temps de ces paramètres est à son tour modélisée, afin de fournir des projections de la mortalité dans le futur. Il ne faut néanmoins pas perdre de vue que, chaque année, ces paramètres seront vraisemblablement fort corrélés, ayant été estimés sur base des mêmes données. On ne peut donc pas se contenter d'une modélisation uni variée mais on doit recourir à un modèle de série temporelle multi variée beaucoup plus complexe. La pertinence de cette approche va dépendre de la bonne spécification du modèle paramétrique. Si ce dernier s'avère erroné, cela compromet gravement les projections qui en découlent.

B.2. L'approche prospective

L'objectif des analyses prospectives est d'anticiper les évolutions futures des taux de décès aux différents âges. On tient non seulement compte de l'âge des individus mais aussi du temps : la loi de mortalité du groupe étudié est caractérisée par un modèle bidimensionnel. Les données disponibles doivent donc être plus détaillées : il est nécessaire de connaître le nombre de décès observés parmi les assurés pour différents âges et différentes années (ou suivant différentes générations). Il faut de plus que l'ajustement des taux de mortalité passés puisse être projeté dans le futur afin de tenir compte dans la modélisation de l'évolution potentielle de la mortalité au cours du temps. Il existe bon nombre de techniques pour établir une table de mortalité prospective. Il est assez fréquent d'appliquer une approche paramétrique. Mais les actuaires utilisent surtout la méthode de Lee-Carter.

Dans ce modèle classique de construction de tables prospectives, (voir notamment LEE et CARTER [1992], LEE [2000] pour une présentation et une discussion avec les autres modèles prospectifs), plusieurs sources d'incertitude viennent perturber la détermination de la tendance future : choix de la période d'observation, fluctuations stochastique des taux de mortalité, événements exceptionnels tels que les crises démographiques aigues (guerre, épidémies...), etc. Cette incertitude fait peser sur les assureurs de rentes viagères et les régimes de retraite un risque systématique (non mutualisable) dont l'impact financier peut être très important. Aux Etats-Unis par exemple, on estime à $4000 milliards le déficit lié à cette situation (ACLI^4(*), 2006). L'incertitude sur l'évolution de la tendance future peut accroitre les risques sur les fonds de pension et les provisions annuelles dans la mesure où les primes versées aux survivants sont plus élevées que prévues. Dans une récente étude, Cowling et Dales (2008) ont montré que les entreprises britanniques avaient fait des hypothèses trop optimistes sur l'évolution de la longévité et ont estimé le déficit de ces compagnies résultant de cette fâcheuse situation à plus de £40 milliards. A cette mauvaise appréhension de l'évolution de la mortalité se greffe certains risques démographiques qu'il importe de prendre en compte. Une approche de la modélisation en assurance vie consiste à introduire un scénario pessimiste avec la prise en compte d'évènements démographiques extrêmes tels que les guerres et les épidémies. Il existe plusieurs études sur une telle modélisation du risque de mortalité.

B.3. Modélisation stochastique et prise en compte des sauts

A partir du modèle de référence de Lee Carter, plusieurs auteurs (Renshaw and Haberman (2003), Li et Chan (2007)) ont proposé des modèle stochastique de mortalité en considérant que le taux de mortalité futur u(x,t) est lui-même aléatoire, et que donc u(x,t) est un processus stochastique (comme fonction de t à x fixé). L'aléa est introduit de manière à capturer l'incertitude sur l'estimation de la tendance future de la composante temporelle des taux de mortalité. Cependant ces auteurs, dans leurs modèles, ne modélisent pas explicitement les sauts qui interviennent dans l'évolution de la mortalité. Par exemple Li et Chan (2007), dans leurs travaux, observe les pandémies comme des interventions exogènes non répétitives (points aberrants) et les corrigent avant la modélisation. Ils reconnaissent toutefois que les événements extrêmes démographiques sont très souvent à l'origine des sauts observés. Peu d'auteurs comme Cox, Lin et Wang (2006) se sont penché sur la modélisation des sauts, vu leur grande importance dans l'élaboration des modèles de mortalité. Par ailleurs Hua Chen (2007) a largement étudié les processus de diffusions de sauts intégrés aux modèles de mortalité. Dans sa thèse « Contingent claim pricing with applications to financial risk management », il a introduit les processus de diffusion de sauts dans le modèle de Lee Carter et l'a utilisé pour prédire les taux de mortalité future.

III. Le modèle de Lee Carter

Dans ce chapitre, nous exposerons la méthode de Lee & Carter (1992), qui a fait ses preuves en démographie et a été présentée aux actuaires par Lee (2000). L'idée est de passer par une décomposition en valeurs singulières de la matrice des taux de mortalité (doublement indexés, par l'âge et le temps calendaire). La matrice initiale sera ainsi approximée au rang 1 par un produit de deux vecteurs propres: l'un d'entre eux traduira l'effet et de l'âge, et l'autre l'effet du temps calendaire. Il suffira alors projeter dans le futur le vecteur décrivant l'évolution temporelle pour en déduire des tables de mortalité prospectives.

A. Le modèle

Le modèle consiste à décomposer la mortalité en deux composantes, l'une propre à l'âge et l'autre tendancielle, et ensuite à extrapoler celle relative au temps. Il est bon de noter d'emblée que la méthode de Lee et Carter possède les avantages et les inconvénients de l'objectivité: elle n'incorpore pas d'avis d'expert sur l'évolution présumée de la mortalité, sur les progrès de la médecine, l'apparition de nouvelles maladies ou encore l'évolution du style de vie. La méthode se borne donc à extrapoler dans le futur les tendances constatées dans le passé.

L'idée est ici de décomposer l'estimation brute de (taux instantané de mortalité) comme suit sur l'échelle logarithmique:

où est l'erreur qui représente la part du phénomène qui n'est pas capté par le modèle. Ces sont supposées centrées, indépendantes et de même variance ó² (hypothèse d'homoscédasticité).

Le modèle tel que posé n'est pas identifiable car il existe un autre jeu de paramètre qui aboutit au même modèle. Par exemple en remplaçant par et par , le modèle reste invariant. Des contraintes sur les paramètres doivent donc venir compléter le modèle. Lee et Carter proposent de fixer la valeur des sommes des et des :

L'équation , décompose le taux de mortalité à l'âge x pour l'année t sur l'échelle logarithmique, à un terme d'erreur près, en la somme d'une composante spécifique à l'âge x et d'un produit entre un paramètre temporel décrivant l'évolution générale de la mortalité et un paramètre propre à l'âge décrivant l'évolution du taux à l'âge x par rapport à ceux relatifs aux autres âges. On espère bien entendu que la variance des erreurs sera aussi petite que possible.

est la composante du modèle liée à l'âge. Il décrit le comportement moyen des taux instantanés de mortalité au cours du temps. Plus précisément, exp() est la moyenne géométrique des :

est la sensibilité de la mortalité instantanée par rapport à l'évolution générale de la mortalité. Il décrit les écarts des par rapport au comportement moyen. En effet,

En particulier, les âges x pour lesquels les sont importants seront plus sensibles à l'évolution générale de la mortalité.

est la composante temporelle qui décrit l'évolution de la mortalité dans le temps.

Tout lecteur intéressé par une présentation plus détaillé du modèle peut se référer à Lee & Carter (1992), Bell (1997), Lee (2000) et Lee& Miller (2000). Bien que ce modèle ait connu un grand succès, il présente quelques limites. Le lecteur pourra se référer à Gutterman & Vanderhoof (1999).

B. Estimation des paramètres

Les variables qui figurent à droite de l'équation ne sont pas observables. Bien entendu, le modèle ne peut être estimé à l'aide d'une simple régression linéaire. L'estimation des paramètres s'effectuera donc par la méthode des moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire en résolvant le programme suivant :

B.1. Etape 1 : Estimation des

B.2. Etape 2 : Estimation des

Considérons une matrice de dimension définie par . Nous chercherons à approximer au sens des MCO, cette matrice par le produit d'une matrice colonne et d'une matrice ligne :

La solution s'obtient en procédant à la décomposition en valeur singulière de la matrice Z. Soit un vecteur propre normé de Z'Z. Alors :

Ce qui montre qu'à tout vecteur propre Z'Z relatif à une valeur propre correspond un vecteur propre de Z'Z relatif à la même valeur propre. Ainsi, Z'Z et ZZ' ont les mêmes valeurs propres. Soit le i^ème vecteur propre de ZZ' associé à la valeur propre , on alors pour ,

et multiplions les deux membres de cette relation par avant de sommer sur toutes les valeurs propres de Z'Z

avec la matrice unité de dimension, de sorte qu'on aboutit à la décomposition :

C'est la décomposition aux valeurs singulières. Elle assure que, sous des conditions assez générales, une matrice rectangulaire peut être écrite de façon unique comme une somme optimale de matrices de rang 1 (c'est-à-dire de produits d'une matrice ligne par une matrice colonne). L'optimalité dont il est question signifie que la première matrice de rang 1 constitue la meilleure approximation de rang 1 de la matrice initiale (au sens des moindres carrés), que la somme des deux premières constitue la meilleure approximation de rang 2, etc.

Si la valeur propre surpasse nettement les autres, alors on obtient l'approximation :

On mesure la qualité de l'approximation par le pourcentage de variance expliquée défini par

Avec . Il est claire que la contrainte est satisfaite par les . De plus les vérifient aussi la contrainte car .

B.3. Etape 3 : Réajustement des

Nous allons à présent réajuster les de sorte que le nombre de décès prévu par le modèle soit égal au nombre de décès observé. Les nouveaux estimateurs sont solutions des équations

où est le nombre total de décès observé à la date t, et est la population au sein du groupe d'âge x.

IV. Modélisation de l'indice

Le modèle classique de Lee et Carter présenté ci-dessus synthétise dans la série k_t toute l'information relative à l'évolution de la mortalité dans le temps. L'objectif de ce chapitre est de modéliser cette série temporelle pour prévoir la mortalité future.

A. Le mouvement Brownien

Soit une variable décrivant l'évolution temporelle d'un phénomène. Considérons la formule

Ce qui signifie que la variation de x () suit une loi normale de moyenne et de variance. Le choix de la loi normale se justifie par le fait que l'on suppose que la variable x est affecté additivement par plusieurs variables aléatoires indépendantes (théorème centrale limite).

Cette équation est valable lorsque la variable temporelle appartient à un ensemble discret. Mais nous pouvons l'écrire en temps continu en choisissant un intervalle de temps très petit. On aura alors :

La mortalité est un phénomène qui résulte des effets cumulatifs de plusieurs forces qui affectent la vie des individus. L'indice k_t qui est la composante temporelle de la mortalité dans le modèle de Lee Carter peut donc être représenté par un mouvement brownien.

B. Modélisation de la dynamique de kt

Nous ajusterons les k(t) à l'aide du modèle de type (). Pour prendre en compte les éventuels sauts, nous utiliserons une chaine de Markov discrète avec des sauts ayant des effets transitoires ou permanents.

B.1. Processus avec sauts à effet transitoire

Soit le nombre de chocs durant l'intervalle de temps (0,t). Supposons qu'il y a au plus un choc (à effet transitoire) dans chaque intervalle de temps (t-h,t), alors peut s'écrire comme une chaine de Markov discrète avec

Soit, le nombre de choc intervenu dans la période (t-h,t), alors suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

Soit, l'indice de mortalité en absence de choc. D'après l'hypothèse faite précédemment, il peut être représenté l'équation :

où et sont respectivement le taux d'évolution instantané la volatilité instantané de l'indice de mortalité en absence de choc, et est un mouvement brownien standard de moyenne nulle et de variance t.

Si un choc intervient dans l'intervalle de temps (t-h,h), i.e. , , on note l'ampleur du choc . On suppose que les sont i.i.d et suivent une loi normale de moyenne et de variance , et est indépendant du mouvement Brownien . Le choc fait que la valeur actuelle de passe de à .

Si, alors est indépendant de . Si , alors est corrolé avec du fait de la partie . Les méthodes de maximum de vraisemblance conditionnelle permettent d'estimer les paramètres ().

B.2. Processus avec sauts à effet permanent

Supposons maintenant que les sauts qui interviennent dans la dynamique de ont des effets permanents contrairement au cas précédent. Au lieu d'introduire le saut dans l'équation en niveau de , nous l'introduirons dans l'équation différentielle. Ainsi, nous prenons en compte les effets permanents des différents chocs. La nouvelle équation de la dynamique de s'écrit :

V. Application aux données de la Colombie

Dans ce chapitre, nous appliquerons le modèle présenté dans les chapitres précédent aux données de mortalité de la Colombie. La structure de la mortalité de ce pays est relativement la même que dans les autres PVD. Cette application permettra de révéler la qualité de représentation du modèle présenté. Les données que nous utiliserons dans notre travail proviennent du Departamento Administrativo Nacional de Estadística ( www.dane.gov.co) et du World Health Organisation Statistical Information System ( www.who.int/whosis ).

A. La mortalité en Colombie

Nous avons, à partir des données susmentionnées, représenté l'évolution des taux bruts de mortalité depuis 1955 jusqu'à 2005 ( Figure ).

Bien qu'ayant la même allure, les taux de mortalité chez les hommes restent toujours supérieurs aux taux de mortalité chez les femmes. On observe donc plus de décès chez les hommes. Pour l'ensemble de la population, l'évolution de la mortalité s'est faite différemment sur deux périodes. Une première période qui part de 1955 jusqu'en 1979. On y observe une forte amélioration de la mortalité (une baisse d'environ 70% sur la période) avec deux chocs positifs aux dates 1970 et 1979. Ces sauts pourraient être les conséquences d'une forte urbanisation ou d'une action volontariste du gouvernement visant améliorer les conditions de vie des populations. Leurs effets ne sont donc pas transitoires. Ils se propagent dans toute la dynamique de la mortalité. Ensuite nous avons une deuxième période (1980-2005) où la mortalité demeure quasi constante. L'on pourrait s'interroger sur les origines du frein à cette évolution remarquable de la mortalité durant la première période.

En Colombie, l'assassinat en 1948 d'Eliecer Gaitan, leader libéral qui a tenté de mobiliser les classes populaires contre l'oligarchie, va marquer le début d'une guerre civile qui fera 300 000 morts. Face à la violence conservatrice, des guérillas libérales et communistes font leur apparition. Tandis que les groupes armés libéraux déposent les armes, le Parti communiste colombien préconise une politique d'autodéfense de masses. Depuis lors, la Colombie balance entre la guerre civile qui se tient entre les paramilitaires (extrême droite), les FARC (Forces Armées Révolutionnaires de Colombie, marxistes) et le pouvoir central de Bogota. C'est les répercutions durable de cette crise (croissance de la pauvreté, insécurité) qui viennent en partie freiner la baisse tendancielle du taux de mortalité.

Par ailleurs, L'accès aux soins de santé est devenu plus inéquitable aujourd'hui ; tandis que 20% de la population à revenu le plus élevé avait une couverture d'assurance de 75% en 2000, seulement 35% du quintile le plus pauvre était couvert. Les réformes du libre-échange et la privatisation du secteur de la santé ont entraîné la détérioration de la santé générale de la population. Entre 1990 et 2000, le nombre d'enfants de moins d'un an ayant reçu la série complète de vaccinations a chuté de 67,5% à 52%, favorisant le retour d'épidémies telles que la rougeole, absente depuis des années. Les couches les plus démunis (plus de 64% de la population) ont de plus en plus du mal à bénéficier des retombés de la médecine. Cette situation vient s'ajouter aux effets pervers de la crise socio politique pour contrecarrer la baisse de la mortalité et la maintenir quasi stable.

Un modèle approprié, dans le cadre de notre travail, ne saurait omettre tous ces aspects de la mortalité en Colombie. Nous prendrons en compte les éventuels chocs sur la mortalité et leurs effets sur sa dynamique.

Figure : Evolution des taux bruts de mortalité de la population colombienne

B. Mise en oeuvre du modèle de Lee Carter

Nous estimons dans cette partie les différents paramètres du modèle de Lee Carter. Les codes source matlab qui ont permis d'effectuer les différentes étapes sont présenté dans annexes 2.

B.1. Etape1 : L'estimation des ax

Les Figure et Figure représente cette estimation à partir des données féminines et masculines colombienne. S'agissant de l'allure générale de la mortalité suivant l'âge, on y retrouve les phénomènes habituellement observables. La courbe, relativement élevée chez les nouveau-nés et les nourrissons, décroît rapidement avec l'âge pour atteindre son minimum absolu vers l'âge de dix ans. Survient alors un pic de mortalité appelé bosse-accident. Cette bosse, qui touche les jeunes d'une vingtaine d'années, est en fait essentiellement composée de suicides et d'accidents. Sur les données féminines, ce pic a un niveau faible comparativement à celui relatif aux données masculines. La jeunesse masculine est donc beaucoup plus exposé aux risques de mortalité (accidents, guerres, banditisme) que la jeunesse féminine .Ensuite, les logarithmes moyens des taux instantanés de mortalité augmentent quasiment linéairement avec l'âge.

A.1. Etape 2 : Estimation des ßx et kt :

La décomposition en valeur singulière (effectuée sous Matlab) nous permet de trouver un taux d'inertie d'environ 0.7 pour les données masculines et féminines; l'approximation semble donc être de qualité. Les figures qui suivent représentent les estimations des paramètres â_x et k_t.Les plus grandes variations temporelles du taux de mortalité (â_x) se situent chez les jeunes et sont probablement le résultat des progrès réalisés par la médecine pour freiner la mortalité infantile et juvénile. Les courbes des k_t sont en constante décroissance, reflétant principalement les progrès de la médecine induisant le rallongement de la durée de vie.

Figure : Représentation des valeurs de alpha en fonction de l'âge (population des femmes)

Figure : Représentation des valeurs de alpha en fonction de l'âge (population des hommes)

C. Modélisation stochastique de l'indice de mortalité (kt)

En général trois approches sont utilisées dans la modélisation stochastique de l'indice de mortalité : l'approche sans sauts, l'approche avec sauts à effets transitoires et l'approche avec sauts à effets permanents. Dans cette application, nous écarterons l'approche avec sauts à effets transitoires. Les sauts à effets transitoires sont en général des chocs pervers sur la mortalité dont l'impact est de court terme (catastrophes naturelles, pandémies, etc.). De 1953 à 2005, la population colombienne n'a subi aucun choc de cette nature ( Figure ). Les principaux événements extrêmes (guerres civiles, situation socio économique) qui ont marqué les différentes populations ont des effets qui se propagent durablement dans le temps.

Nous comparerons ensuite les deux modèles (sans sauts et avec sauts à effets permanents) pour retenir celui qui s'ajuste le mieux à nos données.

C.1. Population des hommes

Les résultats des estimations par maximum de vraisemblance sont présentés dans les tableaux qui suivent. La valeur estimé de u est presque la même (-0,37) pour les deux modèles. Ce qui signifie qu'en moyenne, l'indice de mortalité chez les hommes baisse de -0,37 chaque année. La volatilité instantanée de kt est plus importante dans le modèle sans sauts. Ce modèle incorpore, en effet, les variations de sauts dans la volatilité instantanée de kt. Le test du rapport de vraisemblance^5(*) effectué à l'aide des log vraisemblance nous conduit à rejeter le modèle sans saut avec un risque de 1%. Le modèle avec sauts est donc mieux adapté à nos données et la probabilité qu'un choc intervienne, au cours d'une année, est de 0,38. L'ampleur moyen des chocs est positif (0,18) contrairement aux PD où l'ampleur moyen des chocs est en général négatif. En effet, globalement, les sauts qui affectent négativement la mortalité dominent ceux qui l'affectent positivement. Cet état de fait est en accord avec les réalités des PVD qui n'ont pas les moyens leur permettant de profiter des avancées extrêmes de la médecine et qui évoluent en permanence dans un environnement socio politique instable.

Modèle avec sauts à effet permanents


paramètres		estimations


u		-0.376999
p		0.385020
m		0.187961
ó		0.443811
s		2.113548


Log likelihood		-75.87345

Modèle sans sauts


paramètres		estimations


u		-0.376966
ó		1.387509


Log likelihood		-87.32367

C.2. Population des femmes

Ici également, le test du ratio de vraisemblance rejette le modèle sans sauts. Le taux de variation moyen de kt (u) est beaucoup plus important chez les femmes que chez les hommes. Il passe de -0,37 chez les hommes à -0,55 chez les femmes. Soit un gain de -48%. La réduction de la mortalité dans le temps est donc beaucoup plus rapide dans la sous population des femmes que celle des hommes. Les autres paramètres estimés ne présentent pas d'écarts considérables avec ceux de la population masculine.

Modèle avec sauts à effet permanents


paramètres		estimations


u		-0.551465
p		0.463794
m		0.119463
ó		0.462448
s		2.042618


Log likelihood		-81.88656

Modèle sans sauts


paramètres		estimations


u		-0.551453
ó		1.467113


Log likelihood		-90.11268

VI. Conclusion

Le but de ce travail a été de mettre en oeuvre un modèle stochastique qui prenne en compte les caractéristiques économiques, sociales et politiques des pays en voie de développement dans la dynamique de la mortalité. Le modèle devrait donc intégrer à la fois les spécificités des sous groupes homogènes de la population et le temps. Par ailleurs, le processus de diffusion de saut permettrait de capter les événements extrêmes et leurs impacts.

Nous avons d'abord mis en oeuvre le modèle logbilinéare de Lee Carter. L'objectif principal était d'extraire la composante tendancielle relative au temps puis de la formaliser à l'aide d'un modèle stochastique. Pour ce faire trois approches sont en général utilisées : l'approche sans sauts qui suppose que la probabilité de survenance d'un événement extrême est nulle, l'approche avec sauts à effets transitoires et l'approche avec sauts à effets permanents.

Nous retiendrons que l'approche la plus vraisemblable dans le cadre de la modélisation stochastique de la mortalité dans les pays en voie de développement est celle qui suppose que les événements extrêmes qui affectent la vie des populations ont des effets qui se propagent durablement dans le temps.

Il ressort également que l'évolution de la mortalité observée dans les pays sous développé diffère largement de celle observé dans les pays développés. En effet, contrairement aux pays développés, l'effet moyen des chocs est négatif sur la dynamique de la mortalité. Ensuite la persistance de ceux-ci vient s'opposer à la réduction continue des taux de décès. Ainsi, ces taux convergent-ils vers une valeur strictement supérieure à zéro à la différence de ceux des pays développés qui tendent vers zéro.

Dans notre application, nous avons utilisé les données d'un seul pays en voie de développement pour des raisons d'indisponibilité de données. L'extrapolation des résultats aux autres pays sous développés s'est faite sous l'hypothèse que ces pays ont sensiblement les mêmes caractéristiques socio politiques et économiques. Il serait donc intéressant, dans les travaux futurs allant dans le même sens, d'entrer en possession de données supplémentaires pour pousser plus loin les analyses. Ce qui permettra de comprendre mieux l'évolution de la mortalité des pays en voie de développement.

VII. Annexes

VIII. Annexe 1 : La fonction de vraisemblance du modèle avec sauts à effets permanents

IX. Annexe 2 : Estimation du modèle de Lee Carter (codes matlab)

while abs(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t)))>convergence

x=x-(sum((matrixE(:,t).*(exp(alpha').*exp((x*beta))))-matrixD(:,t))/sum(matrixE(:,t).*(exp(alpha').*(beta.*exp((x*beta))))));

X. Bibliographie

Hua Chen. Contingent claim pricing with applications to financial risk management. A Dissertation Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in the Robinson College of Business of Georgia State University, 47-81, 2008.

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El Horr Rawan et al. Modèle de mortalité prospectif avec dérive contrainte. Groupe de travail, ISFA 2007.

F. Montes et R. Sala. A comparison of parametric models for mortality graduation. Application to mortality data for the Valencia Region (Spain). SORT 29 (2), 269-288, July-December 2005.

Siu Hang Li. Stochastic Mortality Models with Applications in Financial Risk Management. Thesis, University of waterloo, Canada 2007.

Xiaoming Liu. Stochastic Mortality Modeling. Ph.D. Thesis, Department of Statistics, University of Toronto, 2008.

Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. New York: John Wiley, 1974.

Edviges Coelho. The Lee - Carter Method for Forecasting Mortality-The Portuguese experience. Instituto Nacional de Estatística ,Portuga, 2000.

LEE R.D., CARTER L. Modelling and forecasting the time series of US mortality. Journal of the American Statistical Association, vol. 87,659-671, 1992.

* 3^_ Si la population est suffisamment grande, alors le nombre probable de vivants à l'âge x + t est une bonne estimation du nombre de survivants du groupe initial à l'âge x + t

* 4^_ American Council of Life Insurers (Association des compagnies américaines d'assurance vie).

* 5^_ La valeur critique 11.34 du chi deux à 3 degrés de libertés (alpha=0.01) est inférieure à la statistique -2* log(L1/L0)= -22,9

Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration d'une table de mortalité

Sommaire

Liste des figures :

I. Introduction