Utilisation des méthodes d'optimisations métaheuristiques pour la résolution du problème de répartition optimale de la puissance dans les réseaux électriques

I-4 Les équations de l'écoulement de puissance

I-4.1 Les équations aux J.d.B de charge

Les puissances active et réactive à chaque J.d.B « i » sont :

P i - jQ i = V i *. I i (I-1)

P jQ - Avec : * i i I = ^i V i

(I-2)

I y V y V V y y V y V

= . 1 ( 1

+ - + +

2 ) ( ) 1 - . (I-4-1)

1 p s p s s 1

Dans la formulation de l'équation du réseau, si les éléments shunts de mise à la terre sont inclus dans la matrice des paramètres l'équation (I-2) donne le courant total au J.d.B. D'un autre coté, si les éléments shunts du réseau ne sont pas inclus. Le courant total au J.d.B « i » est :

(I^-3)

P jQ

i - i

I = - Y V

.

i * i i

V i

Y_i : Admittance totale shunt au J.d.B « i ».

Y_i. V_i : Courant de shunt circulant du J.d.B « i » vers la terre [06].

I-4.2 Exemple d'un système à deux J.d.B

2

dB JdB

FigureI-4 : système à deux J.d.B

On note que:

- S 1 = S G 1 - S_D1 , S 2 = S _G2 S D 2

Et en générale :

S i= S_Gi - S_Di (I-4)

SP jQ = + i i i

( P Gi jQGi ) (P Di + jQDi)

S i ( P _Gi P _Di) + j(Q Gi jQDi)

L'application des lois de KIRCHHOFF sur le système donne : Au niveau de J.d.B « 1 »

*

SOn sait que : S = V I * 1

1 . 1 I =

1 ¹ V *

1

Au niveau de J.d.B « 2 »

I y V y V V y y V y V

= . 2 ( 2

+ - + +

1 ) ( ) 2 - . (I-4-2)

2 p s p s s 1

*

2

Avec :

S 2 = V₂ . I 2 I₂ =*

^SV₂

Alors on peut écrire (I-4-1) (I-4-2) sous la forme :

I1 =Y11 . V	+ Y12		. V2		(I-5)
I 2 Y21 . V1		+ Y22		. V2

Avec Y 11 = y _p + y_s ,Y 22 = y _p + y_s

Y 12 = - ys			,Y = - y 21 s
Ybus	=	Y Y 11 12 Y 21 Y22		(I-6)

[[

On remplace (I-5) en (I-6) : I 1 -1 LI 2 _1] = Y ₁₁ Y 12 1 V1

Y ₂₁ Y 22 _J V2

Et ainsi de suite. On peut généraliser la méthode de formulation comme suit pour le système à « n » J.d.B connectés entre eux

_[m

I 1 = E y 1 i V₁ +

i = 1,i ?n

( - y₁₂ )V ₂ + ..............+ ( _-y1n ) V_n

. . . .

m

I n = ( -y n 1 ) V ₁ + ( - y 2 n )V+ + [ y ni )Vn

2

i i n

= ?

1,

La matrice admittance est donc :

n

i = 1,i ?n

y . . 1 i

( -y1n )

. . . .

Ybus

=

. .

z

( )

- y n 1

m

yni

i = 1,i ?n

. . . .

I1 I2				V 1 V2
Ibus	=	.	Vbus		=	.
. I n				. Vn

I-4.3 Calcul de la puissance au niveau de J.d.B On a :

S P P j Q jQ P jQ

i ( Gi

= - +

Di ) ( Gi - Di ) i

= + i

Alors :

Si^*= Pi + jQi = Vi ^*.Ii

n

S V y V

* *

= . . (I-7)

(I-8)

i i ij j

1

j

=

1

j

Donc

cos

( ä_j - ä + ãij

sin

V_j

En coordonnées polaires :

V _i= V _i. ä_i

yij

yij

. ãij

(ä ä ã - + ) j i ij

V i

P i

V_j

yij

V i

Qi

yij

SP jQ V y V

* *

= - = .

i i i i ijj

j( ä _j -ä i +ãij)

=

e

y ij

V_j

V i

I-4-4 Les équations d'écoulement dans les lignes

Quand la solution itérative des tensions aux J.d.B est achevée, on peut calculer l'écoulement dans les lignes.

Le courant au J.d.B « i » dans la ligne de connexion de noeud « i » vers le noeud « k » est :

'

(I-9)

I ik ( V i - V k ) y + V . yik

ik i

2

y_ik : Admittance de la ligne entre les J.d.B « i » et « k ».

y_ik : Admittance totale de la ligne de charge.

'

'

V . y2 : Contribution du courant au J.d.B « i » due a la ligne de charge.

La puissance écoule, active et réactive, est :

V* I

Pik - iki .ik (I-10)

'

y

P - jQ = V V - V y + V V (I-11)

* ( ) *. . 2 ^ik

ik ik i i k ik i i

Soient Pki et Qki les puissances active et réactive reparties du J.d.B « k » vers le J.d.B « i ».

'

P - jQ = V V - V y + V V (I-12)

* ( ) *. . y 2 ^ik

ki ki k k i ik k k

Les pertes de puissances dans la ligne « i-k » sont égales à la somme algébrique de la répartition des puissances déterminée a partir des relations (I-11) et (I-12).