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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des
Sciences et Techniques de Fès
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Département de mathématiques
UFR-DESA-A.T.N.A.S.I
Algèbre Théorie des Nombres et Applications aux
Sciences de l'Information
Mémoire de DESA
Invariants d'une algèbre centrale
simple a u involution
Présenté par
Jamal Nafie
Dirigé par
Pr. Lahcen Oukhtite
Soutenu le 8 novembre 2008 devant le
jury constitué par :
Pr. M. Boulagouaz FST. Univ. de Fès Membre Rapporteur
Pr. M.E. Charkani FS. Univ. de Fès Président
Pr. M.A. Elomary FST. Errachidia Membre Rapporteur
Pr. L. Oukhtite FST. Errachidia Membre Rapporteur
Invariants d'une algèbre centrale simple
àinvolution
Remerciements
Je tiens à exprimer ma profonde gratitude au professeur
Lahcen Oukhtite, pour avoir accepter de diriger ce travail avec toute attention
et pour ses orientations fructueuses.
Je remercie le professeur M'hammed Boulagouaz pour ses
orientations et son soutien durant tout ce cursus de D.E.S.A.
Je tiens à remercier tous les professeurs de D.E.S.A,
»Algèbre Théorie des Nombres et Applications aux Sciences de
l'Information». Ainsi que tous mes collègues.
En fin je remercie tous les amis qui m'ont apporté de
l'aide.
Table des matières
|
1
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Remerciements
Introduction
Rappel sur les algèbres centrales simples
|
3
6
8
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|
1.1
|
Définitions et exemples
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8
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|
1.2
|
Théorème de Wedderburn
|
9
|
|
1.3
|
Groupe de Brauer
|
11
|
|
1.4
|
Algèbre conjuguée - Norme d'une algèbre
|
12
|
|
2
|
Involution d'une algèbre centrale simple
|
14
|
|
2.1
|
Involutions et formes bilinéaires
|
14
|
|
2.2
|
Types d'involutions sur une algèbre centrale simple
|
17
|
|
2.3
|
Existence d'involutions de première espèce
|
22
|
|
2.4
|
Existence d'involutions de deuxième espèce
|
26
|
|
2.5
|
Algèbres à involution sur un corps de
caractéristique deux
|
28
|
|
3
|
Les invariants d'une algèbre centrale simple à
involution
|
32
|
|
3.1
|
Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à
involution
|
32
|
|
|
3.1.1 Involutions et formes hermitiennes
|
32
|
|
|
3.1.2 Idéaux d'une algèbre centrale simple
|
35
|
|
|
3.1.3 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple
à involution
|
36
|
|
3.2
|
Discriminant d'une involution
|
38
|
|
5
|
|
TABLE DES MATIÈRES
|
38
40
|
|
3.2.1
3.2.2
|
Discriminant d'une involution orthogonale
Application : Algèbre à involution
décomposable
|
|
3.3
|
Algèbre de Clifford d'une involution
|
41
|
|
3.3.1
|
Algèbre de Clifford d'un espace quadratique
|
41
|
|
3.3.2
|
Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale
|
43
|
|
3.3.3
|
Application : caractérisation des involutions
conjuguées
|
45
|
|
3.4
|
Signature d'une involution
|
46
|
|
3.4.1
|
La forme trace d'une involution
|
46
|
|
3.4.2
|
La signature d'une involution de première espèce
|
48
|
|
3.4.3
|
Application : Involutions indécomposables
|
49
|
Introduction
Dans ce document, sauf mention du contraire, tous les
corps considérés sont commutatifs et de caractéristique
différente de deux.
Le présent travail a pour but de présenter quelques
invariants d'une algèbre centrale simple de dimension finie à
involution.
Dans le premier chapitre, on rappelle certaines
définitions et propriétés concernant les algèbres
centrales simples et on cite quelques résultats
élémentaires indispensables pour la suite. Les livres de Draxl
[3], Pierce [12], Scharlau [13] sont des références
générales sur ce sujet.
Le second chapitre est consacré à une
correspondance biunivoque entre les involutions de première
espèce sur l'algèbre d'endomorphismes EndF(V)
et les formes bilinéaires non singulières sur V.
Ensuite, on expose la démonstration du résultat qui montre que
les involutions de première espèce sur une algèbre
centrale simple quelconque sont, après extension des scalaires à
un corps neutralisant K, identifiées à des involutions
de première espèce sur une algèbre d'endomorphismes
EndK(V).
Au troisième chapitre, après avoir établi
un lien entre les involutions sur une algèbre centrale simple et une
certaine classe d'idéaux, on traite le critère d'existence
d'involutions de première espèce, dû à A. Albert,
ainsi que celui de l'existence d'involutions de deuxième espèce
(Théorème d'Albert-Riehm-Scharlau).
Puis, au chapitre 4, nous donnons un analogue du
théorème de Witt, pour une algèbre centrale simple
à involution. Pour cela, on expose une correspondance biunivoque entre
les involutions de première espèce sur EndD(V)
et les formes å-hermitiennes régulières sur V
relativement à une involution sur l'algèbre à
division D.
Le discriminant (chapitre 5) et la signature (chapitre 7)
d'une involution de première espèce sont largement
utilisés comme critères de décomposabilité d'une
algèbre à involution. En particulier, Knus, Parimala et Sridharan
ont montré qu'avoir un discriminant trivial est une condition
nécessaire et suffisante de décomposition d'une algèbre
centrale simple de degré 4. Par ailleurs, David. W. Lewis et J.P. Tignol
ont montré que toute involution de signature 2 sur une algèbre de
degré une puissance de deux et de centre un corps formellement
réel, est indécomposable. Au chapitre 6, on donne la
définition rationnelle d'une algèbre de Clifford d'une involution
dûe à Tits, et le lien entre la conjugaison de deux involutions et
leurs algèbres de Clifford. Le dernier chapitre est consacré au
cas d'une algèbre à involution sur un corps de
caractéristique deux.
ChaPItre 1
Rappel sur les algèbres centrales
simples
Ce chapitre constitue un rappel de certaines définitions
et propriétés concernant les algèbres centrales simples
dont nous aurons besoin dans ce document.
1.1 Définitions et exemples
Définition 1.1.1 Un module non nul M sur un anneau
R est dit simple s'il n'a pas de sous-modules non triviaux. L'anneau R est
simple s 'il n'a pas d'idéaux bilatères autre que {0} et
R.
Exemples :
1. Soit D un anneau à division (un corps non
nécessairement commutatif) :
(i) D est un D-module simple.
(ii) Tout D-espace vectoriel de dimension un est un
D-module simple.
2. Z/pZ est un Z-module simple.
3. Tout anneau à division est simple.
Définition 1.1.2 Soit A une algèbre sur un
corps F. A est dite simple si A est simple pour sa structure d'anneau.
Exemples :
1. Toute algèbre à division D est
simple.
2. Si K est un corps, alors
Mn(K) est une algèbre simple. Remarque : Si
A est une F-algèbre (F corps) alors F c
Z(A).
Définition 1.1.3 Une F-algèbre A est dite
centrale si son centre Z(A) = {a E A/a.x = x.a ?x E
A} est réduit à F(= F.1).
A est de dimension finie si A est de dimension
finie comme étant un F-espace vectoriel. Dans toute la suite,
les algèbres considérées seront et de dimension finie sur
leurs centres.
Exemples:
1. Mn(F) est une
F-algèbre centrale simple de dimension
n2.
2. Toute algèbre à division D est
centrale simple sur son centre Z(D).
3. Soient a et b deux
éléments non nuls d'un corps F et A le
F-espace vectoriel de base {1, i, j, k} et muni de
la multiplication bilinéaire définie par : i2
= a; j2 = b; ij = -ji =
k. A est une F-algèbre centrale simple de
dimension 4 , notée (a,b F ) ou (a, b)F et
appelée algèbre de quaternions.
4. Si A et B sont des
F-algèbres centrales simples, alors leur produit tensoriel
A ®F B est une F-algèbre centrale simple. En
particulier, Mm(F) ®F
Mn(F) Mmn(F).
5. Si A est une F-algèbre centrale
simple, alors Mn(A) est une
F-algèbre centrale simple et on a: A ®F
Mn(F) Mn(A).
Définition 1.1.4 Soit A une F-algèbre.
L'algèbre opposée de A notée Aop (ou
A°) est A en tant que F-module mais sa multiplication * est
définie par a * b = ba pour tout a, b E A.
1.2 Théorème de Wedderburn
La structure des algèbres simples centrales est
entièrement déterminée par le théorème de
Wedderburn :
Théorème 1.2.1 Soit A une F-algèbre .
Les conditions suivantes sont éequivalentes :
1. A est centrale simple.
2. L'application ? : A ®F Aop -p
EndF(A) déefinie par: ?(a ®
bop)(x) = axb est un isomorphisme.
3. Il existe une extension K de F telle que A ®F K
Mn(K).
4. Si est un corps algéebriquement clos contenant F
alors A ®F Mn() pour un entier n.
5. Il existe une algèbre à division D centrale
de dimension finie sur F et un entier r tels que A
Mr(D).
De plus, si l'une de ces conditions est satisfaite, tous
les A-modules à gauche (ou à droite) simples sont isomorphes et
l'algèbre à division D de l'assertion (5) est uniquement
déeterminéee à un isomorphisme près par D =
EndA(M) uou M déesigne un A-module à gauche
simple.
|
Preuve : Voir [6, Theorem 1.1, page 3].
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|
Remarques:
(i) Tout corps vérifiant l'assertion (3) du
théorème précédent est appelé corps
déployant de A (ou neutralisant pour A). Lorsque A
Mn(F), on dit que l'algèbre A est
déployée.
(ii) D'après Kôthe , toute
F-algèbre simple centrale possède un corps
déployant K tel que K/F soit une extension finie
galoisienne (voir[3, §9, page 64]).
(iii) Du fait que la dimension d'une algèbre ne change
pas par extension des scalaires et compte tenu de l'assertion (3) du
théorème précédent, on déduit que la
dimension de toute algèbre simple centrale sur son centre est le
carré d'un entier naturel n : cet entier est appelé
degré de A et noté degA.
(iv) Le degré de l'algèbre à division D
de l'assertion (5) est appelé indice (de Schur) de A et
noté indA.
Théorème 1.2.2 (Théeorème du
Double Centralisateur) Soient A une F-algèbre centrale
simple et B
une sous algèbre de A. Le centralisateur, CA(B) = {b E
B/b.x = x.b ?x E A},
de B dans A est une sous algèbre simple de A et on a :
dimFA = dimFB.dimFCA(B) et
CA(CA(B)) = B. En outre, Si Z(B) =
F, alors A est canoniquement isomorphe
àB?CA(B).
Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §7, Theorem, page
232]). Nous utiliserons souvent le théorème suivant :
Théorème 1.2.3 (Théorème de
Skolem-Noether) Soient A une F-algèbre simple centrale de dimension
finie et B une sous-algèbre simple de A. Alors, pour tout homomorphisme
de F-algèbres f : B -? A, il existe u E A inversible tel que
f(y) = uyu-1 ?y E B.
En particulier, tout automorphisme de F-algèbres de A
est un automorphisme intérieur.
|
Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §6, page
230]).
|
|
1.3 Groupe de Brauer
Nous rappelons la définition d'un groupe introduit par
Brauer en 1929. Gr^ace au théorème de Wedderburn, on
vient de voir que toute F-algèbre simple centrale de dimension
finie est isomorphe à une algèbre de matrices sur une
algèbre à division de centre F, celle ci étant
uniquement déterminée à isomorphisme près. Deux
F-algèbres simples centrales A et B sont
dites Brauer-équivalentes ou semblables (et on
écrit A B) si elles sont F-isomorphes
àdes algèbres de matrices sur des algèbres
à division isomorphes ou, de façon équivalente,
s'il existe deux entiers n et m tels que
Mn(A) = Mm(B). Il est
clair que définit une
relation d'équivalence sur les
F-algèbres simples centrales de dimension finie; la classe
d'une F-algèbre simple centrale A sera notée
[A]. Le produit tensoriel (sur F) de deux
F-algèbres simples centrales étant une
F-algèbre simple centrale, l'ensemble des classes
d'équivalences de F-algèbres simples centrales muni de
la loi induite par le produit tensoriel de F-algèbres est un
groupe abélien appelé groupe de Brauer de F et
noté Br(F). L'élément neutre de
Br(F) est [F] et l'inverse de [A] est
[Aop] (par l'assertion (2) du théorème de
Wedderburn) (voir [13, page 290]).
Exemples :
1. Le groupe de Brauer d'un corps algébriquement clos est
trivial.
2. Le groupe de Brauer d'un corps fini est trivial.
3. Br(R) est un groupe cyclique d'ordre 2; son
élément non trivial est donné par la classe de
l'algèbre des quaternions d'Hamilton (-1, -1)R.
1.4 Algèbre conjuguée - Norme d'une
algèbre
Soit F/F0 une extension quadratique séparable
avec Gal(F/F0) = {1, u}.
Définition 1.4.1 Soit A une F-algèbre.
L'algèbre conjuguée de A notée A, est A en tant qu'anneau,
mais l'action de F sur A est : â * a =
u(â)a.
Proposition 1.4.2 Si A et B sont deux F-algèbres
simples centrales, alors :
1.
A est une F-algèbre simple centrale.
2. A®FB=A®FB
3. Mn(A) =
Mn(A)
4. L'application ø : Br(F)
-? Br(F) est un homomorphisme de groupes.
[A] 7-? [A]
Considérons l'application S : A ®F A -?
A ®F A
a®b7-? b®a
Pour tout a, b E A et pour tout À E F
:
S(À.(a ® b)) =
S(u(À)a ® b) = b ®
u(À)a = u(À)(b
® a) = u(À)S(a ® b),
donc S est u- semilinéaire, en plus S est un
automorphisme de F0-algèbres.
Définition 1.4.3 On appelle norme (transfert, ou
corestriction) de la F-algèbre A, notée NF/F0
(A), la sous F0-algèbre de A ®F A
formée des éléments invariants par S.
Autrement dit: NF/F0(A) =
corF/F0(A) = {x E A ®F A/S(x) =
x}.
Lemme 1.4.4 ?: F ®F0
NF/F0(A) --* A ®F A
À ® x i--* Àx
est un isoomomorphisme canonique de
F0-algèbres.
Corollaire 1.4.5 Si A est une F-algèbre centrale
simple alors NF/F0(A) est une
F0-algèbre centrale simple et
deg(NF/F0(A)) =
(deg(A))2.
Proposition 1.4.6 1. Si A et B sont des F-algèbres
centrales simples alors
NF/F0(A ®F B) = NF/F0(A)
®F0 NF/F0(B).
2. Si A est une F0-algèbre centrale simple
alors NF/F0(A ®F0 F) A
®F0 A.
3. NF/F0 : Br(F) --*
Br(F0) est un homomorphisme de groupes. [A]
i--* [NF/F0(A)]
Preuve : Voir ([14, proposition 3.8, page 23 ]).
ChaPItre 2
Involution d'une algèbre centrale
simple
2.1 Involutions et formes bilinéaires
Définition 2.1.1 Soit A un anneau unitaire non
nécessairement commutatif. Une involution sur A est une application u
: A -? A vérifiant:
1.
u(x+y)=u(x)+u(y)pourtoutx,yEA.
2. u(xy) =
u(y)u(x) pour tout x, y E A.
3. u2 = IdA.
En conséquence, u est une involution sur A
si et seulement si u est un isomorphisme d'ordre deux de A
dans Aop.
Une involution sur une F-algèbre centrale simple
A, est une involution sur l'anneau A. Le couple (A,
u) est appelé algèbre à involution.
Exemples : Soit K un corps.
1. t: Mn(K) -?
Mn(K) est une involution sur
Mn(K) appelée transposition. (aij)
F-? (aji)
2. Si U est un élément inversible de
Mn(K) tel que Ut =
#177;U, alors
u: Mn(K) --*
Mn(K)
M i--* UMtU-1
est une involution sur Mn(K).
3. L'application:
|
?
?a b
c d
|
? ? ?
d -b
? i--* ? ?
-c a
|
est une involution sur M2 (K).
4. Si (A, u) est un anneau à involution, alors
(áij) i--*
(u(áij))t est une involution
sur Mn(A).
Définition 2.1.2 Soient (A, u) et
(A', u') deux algèbres à
involutions.
On dit que f: (A, u) --*
(A', u') est un homomorphisme
d'algèbres à involution si f : A --* A' est
un homomorphisme de F-algèbres vérifiant u' o f =
f o u.
Proposition 2.1.3 Si (A, u) est une
F-algèbre centrale simple à involution, alors u(F)
= F. Preuve : soit x E F, pour tout y E A on a
u(x)y =
u(x)u(z) = u(zx) =
u(xz) = u(z)u(x) =
yu(x)
donc u(x) E F et
u(F) c F. Réciproquement, F =
u(u(F)) c u(F). Par suite
u(F) = F.
Soit (A, u) une F-algèbre centrale
simple à involution. Si on pose
F0 = inv(u) = {x E
F/u(x) = x}, alors F0 est un sous corps de
F appelé le corps d'invariants
de u et on dit que
u une F/F0-involution. La restriction de u à
F est un F0- automorphisme
de F égal
à l'identité ou d'ordre 2. Autrement dit, l'une des conditons
suivantes est satisfaite:
(i) F0 = F (u est
F-linéaire), dans ce cas u est dite une involution de
première espèce.
(ii) F/F0 est une extension quadratique
séparable et Gal(F/F0) = {1, u/F},
dans ce cas u est dite une involution de deuxième
espèce.
Exemples:
1. L'involution transposition est de première
espèce sur A = Mn(K).
2. L'involution u définie sur A =
(a, b)F) par : u(w + xi + yj
+ zk) = w - xi - yj - zk est une involution de
première espèce sur A, appelée conjugaison.
3. Pour A = Mn(C), l'involution
u: M F--* Mt est de deuxième
espèce.
4. Si u est une involution de première
espèce sur A et si K est une extension de F, alors
u se prolonge en une involution de première espèce
uK = u ® IdK sur AK = A ®F K.
Définition 2.1.4 Soient V et W deux espaces
vectoriels sur un corps F, V * et W * leurs espaces duals. Pour toute
application F-linéaire f : V --* W, on définit la
transposée de f notée ft par: ft :
W * --* V *
g F--* g of
Définition 2.1.5 Soit V un espace vectoriel de
dimension finie sur un corps F. Une forme bilinéaire b: V x V
--* F est dite non singulière si l'application
bb: V --* V *
x F--*
bb(x):yF--*b(x,y) est
un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Pour chaque forme bilinéaire non singulière b
sur V, désignons par ub l'application :
EndF(V) --* EndF(V).
ub est un anti-automorphisme F-linéaire
appelé anti-automorphisme adjoint de b.
Dans la suite, AntF(EndF(V))
désignera l'ensemble des anti-automorphismes F-linéaires
de EndF(V) et par Bil?(V)
l'ensemble des formes bilinéaires non singulières définies
sur V.
Théorème 2.1.6 L'application qui à
chaque forme bilinéaire non singulière b associe son
anti-automorphisme adjoint ub, induit une correspondance bijective de
Bil?(V)/F* dans
AntF(EndF(V)).
Preuve : Soit ? :
Bil?(V)/F* --*
AntF(EndF(V)).
~b F--* ub
On a pour b, b' E
Bil?(V), ~b= ~b' ? ?áE
F* tel que b' = áb. Or,
uáb = ub donc ub = ub0,
par suite ? est bien définie.
Soient b, b' E
Bil°(V) telles que ób =
ób,, montrons que ~b =
b'.
On pose 0 = ^b'
o^b-1, alors 0 E
Gl(V) et b' (x , y) =
b(0(x), y) Vx, y E V. Donc
ób(f ) = 0 o
ób,(f) o 0-1
pour tout f E EndF(V) de sorte que ób =
int(0) o ób,. Or ób
= ób,, alors 0 E F* et par
suite b' = 0b, d'ouu b =
b'.
Pour prouver que ? est surjective, fixons b E
Bil°(V) et soit ó' E
AntF(EndF(V)). Du fait que ób o
ó'-1 est un F-automorphisme de
EndF(V), le Théorème de Skolem-Noether assure
l'existence de u E Gl(V) tel que ób o
ó'-1 = int(u). Posons
b'(x, y) = b(u(x),
y), puisque
b' (ó'
(f)(x), y) = b'
(u-1 o ób( f)
(u(x)) , y) = b
(ób(f)(u(x)) , y) =
b(u(x) , f (y)) = b' (x ,
f (y)) . On en déduit alors que
ó' = ób,. D'ouu ?
est bijective.
Corollaire 2.1.7 Les involutions de première
espèce de EndF(V) sont en correspondance bijective
avec les formes bilinéeaires non singulières syméetriques
ou anti-syméetriques déenies sur V à un scalaire non nul
près.
Preuve : Soit b une forme bilinéaire non
singulière sur V. Si b est symétrique ou antisymétrique
alors b(x, y) = eb(y, x) Vx, y E V
avec e = +1.
Pour tout x, y E V et pour tout f E
EndF(V) on a :
b(ó2b(f)(x),
y) = b(x, ób( f)(y)) =
eb(ób(f)(y), x) =
eb(y, f (x)) = e2b(f
(x), y) = b (f (x),
y) . D'ouu ó2b
= Id, par suite ób est une involution de
première espèce de EndF(V).
Inversement, si ó est une involution de première
espèce de EndF(V), alors d'après le
théorème précédent, il existe une forme
bilinéaire non singulière b sur V telle que
ó = ób. Posons b'(x,
y) = b(y, x). On a ó =
ób = ój1, or ó =
ób est une involution alors
ó2b = Id et
ób = ób,, par suite b
= eb' ouu e E F* et
e2 = 1. D'ouu b est symétrique ou
anti-symétrique.
2.2 Types d'involutions sur une algèbre centrale simple
Considérons une F-algèbre centrale
simple A de degré n ayant une involution
ó de première espèce. Pour toute extension K
de F, ó se prolonge en une involution de
première espèce óK = ó O IdK sur
la K-algèbre centrale simple AK = AOF K. En
particulier, si K neutralise
A, alors AK = EndK(V) pour
un certain K-espace vectoriel de dimension n =
deg(A), par suite óK est l'anti-automorphisme
adjoint d'une forme bilinéaire non singulière b sur
V qui est symétrique ou anti-symétrique.
Définition 2.2.1 L'involution ó est dite de
type +1 ou orthogonale (resp de type -1 ou symplectique) si óK est
l'anti-automorphisme adjoint d'une forme bilinéaire symétrique
(resp anti-symétrique).
Pour montrer que cette définition ne dépend pas du
choix du corps neutralisant, on va donner une caractérisation des
involutions orthogonales et symplectiques.
Proposition 2.2.2 Soit A une F-algèbre centrale simple
de degré n et ó une involution de A. Posons (A,
ó)+ = {a E A/ó(a) = a} et (A,
ó)_ = {a E A/ó(a) =
--a}.
1. Si ó est une involution de première
espèce qui est orthogonale, alors :
n(n + 1) n(n -- 1)
di mF (A, ó)+ = 2 et di mF
(A, ó)_ = 2 .
2. Si ó est une involution de première
espèce qui est symplectique, alors :
n(n -- 1) n(n
+ 1)
di mF (A, ó)+ = 2 et di mF
(A, ó)_ = 2 .
Dans ce cas n est nécessairement pair.
3. Si ó est une involution de deuxième
espèce du corps d'invariants F0, alors :
dimF0(A,ó)+ =
dimF0(A,ó)_ =
n2.
Preuve : On suppose que ó est de première
espèce, on peut prendre
A = Mn(F) =
EndF(F n), donc ó est une
involution adjointe d'une forme bilinéaire non singulière b
sur F n. Désignons par u E
GLn(F) la matrice de b, b(x, y) =
xtuy, ?x, y E F n, en plus ut = --u
si b est anti-symétrique (ó symplectique).
Pour n impair, toute matrice antisymétrique de
Mn(F) est singulière, il est donc
nécessaire que n soit pair, pour l'existence d'une involution
symplectique. b(ó(f)(x), y)
= b(x, f(y)) ?x, y E F n, ?f E
Mn(F). Donc ó(f) =
u_1 ftu, on en déduit alors que
: (A, ó)+ =
u_1(Mn(F), t)+ si
ó est orthogonale et (A, ó)+ =
u_1(Mn(F), t)_
si ó est symplectique. Compte tenu du fait que
A = (A, ó)+?(A,
ó)_, dimF(Mn(F),
t)+ = n(n+1)
2 et
dimF(Mn(F), t)_ =
n(n_1)
2 , on en déduit
1 et 2).
Si ó est une involution de deuxième
espèce du corps d'invariants F0, alors il existe
aEFtelqueó(a)--a =6
0,doncz=ó(a)--aEFetó(z)=--z.Ainsi,
(A,ó)+ = z(A,ó)_ et
(A,ó)_ = z(A,ó)+.
En conséquence, dimF0(A,ó)+ =
dimF0(A,ó)_ et A =
(A, ó)+ ? (A, ó)_. Par
suite,
2dimF0(A, ó)+ =
2dimF0(A, ó)_ =
dimF0A = dimFA.dimF0F
= 2n2.
Proposition 2.2.3 (A1, ó1), ...,
(An, ón) sont des
F-algèbres centrales simples à involutions. Les
propriétés suivantes sont vérifiées :
1. Si V 1 i n ói est une
F/F0-involution, alors ó1 ® ®
ón est une F/F0-
involution de A1 ®F ®F
An.
2. Si V 1 i n ói est une involution de
première espèce et de type Ei = #177;1,
alors
ó1 ® ® ón est une
involution de première espèce et de type E =
Preuve : Par
récurrence sur n (Voir [11, proposition 2.3, page 14]).
Remarque : Soit ó une involution de
première espèce d'une F-algèbre centrale simple
A, posons óa = int(a)
o ó pour a E U(A).
1. Si a E (A, ó)+, alors les
involutions ó et óa sont de
même type.
2. Si a E (A, ó)_, alors les
involutions ó et óa sont de types
différents.
Exemples: Soit un corps F.
1.
ó: A=M2(F) --?
M2(F)
? ? ?
d --b
? 7--? ? ?
--c a
On a dimF(A, ó)+ = 1 =
2(2_1)
2 donc ó est symplectique.
2. Soient
Q=(a,b)Fetó(w+xi+yj+zk)=w--xi--yj--zk.
On sait que ó est une involution de
première espèce sur Q et degQ = 2, d'autre part
(Q, ó)+ = F. Ainsi dimF(Q,
ó)+ = 1 = 2(2_1)
2 , en conséquence, ó est
symplectique . Si
ó' désigne une autre involution de
première espèce sur Q, ?u E U(A) tel
que
ó' = int(u) o ó
= óu et ó(u) =
#177;u. D'après la remarque précédente Si
ó' est symplectique alors
ó(u) = u, donc u E (Q,
ó)+ = F, par suite ó' =
ó. Si ó' est orthogonale, alors
ó(u) = -u, donc u est un quaternion
pur. En conclusion:
(i) Toute algèbre de quaternions a une unique involution
symplectique qui est l'involution standard ó.
(ii) Toute involution orthogonale sur une algèbre de
quaternions est de la forme int(u) o ó avec
u un quaternion pur inversible.
3. L'involution transposition t :
Mn(F) -? Mn(F) est
orthogonale, car dimF(Mn(F), t)+
= n(n+1)
2 .
Théorème 2.2.4 (Albert) Soit ó une
F/F0- involution sur une algèbre de quaternions Q. Alors il
existe une unique F0-algèbre centrale simple Q0 C Q
telle que :
Q=Q0?F0F et
ó='y0?á
avec 'y0 l'involution canonique de Q0 et
á = ó/F le F0-automorphisme non trivial de F,
de plus Q0 est deteminée d'une façon unique.
Preuve : Voir [13, chapitre 8. §11.
Théorème 11.2].
Théorème 2.2.5 (Théorème 90 de
Hilbert) Soient E/K une extension cyclique (finie, galoisienne, et de groupe de
Galois cyclique) de corps et b un élément de E. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. NE/K(b) = 1
2. il existe a E E* tel que b =
aø(a)-1 , uou
ø désigne un générateur du groupe de Galois de
E/K.
|
Preuve : Voir ([13, Lemma 6.6, page 260]).
|
|
Théorème 2.2.6 Soient A une F-algèbre
centrale simple et ó une F/F0-involution de A, alors les
propriétés suivantes sont vérifiées :
1. Si À E F satisfait
Àó(À) = 1 et si a E U(A)
tel que a = Àó(a), alors
óa = int(a) o ó est une
F/F0-involution de A.
2. Inversement, si T une F/ F0-involution
arbitraire de A, alors il existe a E U(A) vérifiant
a = eu(a), e E F et eu(e) = 1 tel
que T = ua.
3. Dans le cas d'une involution de première
espèce, a est unique à un scalaire près á E
F*. Dans le cas d'une involution de deuxième espèce,
T = ua avec a = u(a).
4. Si ua et ub sont deux F/
F0-involutions de A, alors (A, ua) r
(A, ub) si et seulement si c E U(A), á E
F tels que b = ácau(c).
ouu U(A) désigne l'ensemble
des éléments inversiblrs de A.
Preuve :
1. Il est clair que ua est une involution
de A, montrons que inv(u) =
inv(ua). Soit x E F, on a : x E
inv(u) -<,- u(x) = x -<,-
ua(x) =
au(x)a-1 =
axa-1 = x, donc inv(u)
= inv(ua), par suite ua est
une F/F0-involution.
2. Soit T une F/F0-involution quelconque
de A. On a T o u est un F0-automorphisme de
A, donc a E U(A) tel que T o u =
int(a), d'ouu T = int(a) o u
= ua. Donc T2 =
int(au(a)-1) = Id,
ainsi au(a)-1 = e E F,
d'ouu a = eu (a) = e u
(e u (a)) = e u (e)a =,-
eu (e) = 1.
3. Si u est de première espèce et si
T = ua, a E U(A) vérifie
u (a) = #177;a, supposons qu'il existe b E
U(A) tel que T = ub, il en résulte
que a = âb avec â E F et on a
u(b) = #177;b. Dans le cas ouu u est
de deuxième espèce, par le théorème 90 de Hilbert,
on peut choisir á E F* tel que
áu(á-1) = e et en
remplaçant a par a' =
á-1a nous obtenons T =
u a = uat tel que u(a')
= a'.
4. (A, ua) r (A, ub) si et
seulement si il existe un automorphisme de A tel que ub of=fo
ua, donc c E U(A) tel que f =
int(c).
On en déduit que
ac-1b-1u-1(c)=
á E F.
|
|
Le but des deux sections suivantes est de caractériser
l'existence d'une involution sur une algèbre centrale simple.
2.3 Existence d'involutions de première espèce
Soit A une F-algèbre centrale simple.
Considérons l'application F-linéaire
Sand : A 0F A --> EndF(A) a 0 b
1--> axb
Lemme 2.3.1 Sand est un isomorphisme de F-espaces
vectoriels
Preuve :
Sand = ø o ? avec ø
et ? sont deux isomorphismes de F-espaces vectoriels
définis par :
ø: A 0F A --> A 0F Aop a0b 1-->
a0bop
|
? : A 0F Aop -->
EndF(A)
a 0 bop 1--> ø (a 0
bop) : x 1--> axb
( ? est l'isomorphisme de l'assertion (2) du
théorème de Wedderburn)
|
|
Soient A une F-algèbre centrale simple et K un
corps déployant de A. Alors il existe ? : A 0F K
--> Mn(K) un isomorphisme de K-algèbres.
Pour tout a E A, le polynôme
PrdA(a) := det(X In
-- ?(a 0 1)) = Xn --
s1Xn-1 +
s2Xn-2 + ... +
(--1)n sn E F[X]
ne dépend pas du choix de ?, car si
?' : A 0F K --> Mn(K) est un isomorphisme
de K- algèbres, alors d'après le théorème de
Skolem-Noether, ?(a01) et ?'(a0
1) sont des matrices semblables et ont donc même polynôme
caractéristique. On montre en plus que PrdA(a) ne
dépend pas du choix du corps neutralisant K.
Définition 2.3.2 1. PrdA(a) est
appelé polynôme caractéristique réduit de a.
2. TrdA(a) = s1 =
tr(?(a 01)) est appelée la trace
réduite de a.
3. NrdA(a) = sn =
det(?(a 01)) est appelée la norme
réduite de a.
Remarque : La composée de la trace réduite
TrdA : A --> F et l'inclusion F c> A permet de
voir TrdA comme un élément de
EndF(A).
Définition 2.3.3 L'unique élément g E A
®F A tel que Sand(g) = TrdA est appelé
élément de Goldman de A ®F A.
Proposition 2.3.4 L'élément de Goldman g E A
®F A vérifie les propriétés suivantes :
1. g2 =1
2. g .(a ® b) = (b ®
a).g V a, b E A
3. Si A = EndF(V), alors sous
l'identification canonique A ®F A = EndF(V ®F
V), g est défini par : g(v1 ® v2)
= v2 ® v1 Vv1, v2 E V.
Preuve : Montrons (3). Pour cela, on va utiliser l'isomorphisme
canonique
EndF(V) = V®FV* .
Soient (ei)1<i<n une base de V et
(e*i)1<i<n sa base duale. Soit
l'élément
|
Xg =
i,j
|
(ei ® e*j) ®
(ej ® e*i) E A ®F A
|
On a Vf E EndF(V) :
sand(g)(f) = Ei (ei®e;)o
fo (ej®e;`) = Ei
e;(f(ej))(ei®e*i). Or, Ei ei
® e*i = Idem et
Ej e*j(f(ej))
= tr(f), donc sand(g)(f) =
tr(f), par suite g est l'élément de Goldman de
A ®F A. Par ailleurs Vv1, v2 E V :
g(v1 ®
v2)=Ei,j(ei®e*j)(v1)®(ej®e*i)(v2)=(Ei
ei.ei(v2))®(Ej
ej.e*j(v1)) = v2 ® v1.
Ainsi, la démonstration de (3) est complète, et toujours
sous la condition A = EndF(V)
on a : g(g(v1 ® v2))
= g(v2 ® v1) = v1 ®v2,
d'ouu (1). D'autre part Va, b E A, Vv1, v2 E
V :
[go(a®b)](v1®v2)
= g(a(v1)®b(v2)) =
b(v2)®a(v1) =
(b®a)(v2®v1) =
[(b®a)og](v1®v2). En
conséquence, on a (2). Si A est quelconque, alors pour un
corps K neutralisant A, l'élément de Goldman
de A ®F A est celui de AK ®K AK. On applique ce qui
précède pour conclure.
Soit A une F-algèbre centrale simple.
Chaque anti-automorphisme F-linéaire u sur A
iduit une structure de A ®F A-modules à droite sur
A définie par : x .(a ® b) =
u(a)xb.
Lemme 2.3.5 Soit A une F-algèbre centrale simple et u
une involution de première espèce de A. L'application
u' : A®F A ----> A est un homomorphisme de A®F
A-modules à droite a ® b 1----> u (a)b
et on a : (A ®F 1) ED Ia =
A ®F A = Ia ED (1 ®F A),
ouu Ia = Kera0.
Preuve :
Si x E A alors ?y E A tel que
u(y) = x, ainsi u'(y
®1) = x. Par suite u' est surjective et
que dimFIa = dimF(A ®F A) --
dimF A. Or, u' (a ® 1) =
u(a) et u'(1 ® a) =
a, Va E A, alors (A ®F 1) n Ia
= Ia n (1 ®F A) = I01.
D'ouu (A ®F 1) ED Ia = A ®F
A = Ia ED (1 ®F A).
Lemme 2.3.6 Si A = EndF(V) et u
une involution de première espèce sur A
associéee
à b E Bil° (V),
alors Ia = If E EndF(V ®F V)/b o
f = 01. De plus, si g est l'éeléement de
Goldman de
A®F A alors 1-- g E Ia si b est syméetrique
et 1+ g E Ia si b est anti-syméetrique.
Preuve : On peut Voir b comme étant l'application
linéaire b : V ®F V ----> F.
Identifions A ®F A à EndF(V ®F
V).
On a : Vf = f1 ® f2 E
EndF(V ®F V) = EndF(V) ®F
EndF(V), Vx,y EV :
b o
(Idem®u'(f))(x®y) = b
(x , u ( f1)o f2(y)) =
b(f1(x), f2(y)) = bof (x
® y). Il en résulte
que bof = bo
(Idem®u'(f)). Ainsi bof = 0 ?,-
u'(f) = 0. D'autre part, si g est
l'élément de Goldman de A ®F A on a :
(i)
1-- g E Keru' ?,- b= b o g ?,- b
symétrique
(ii) 1+gEKeru'?,-b= --b o g ?,- b
anti-symétrique.
Théorème 2.3.7 Soit A une F -algèbre
centrale simple, et g E A®F A l'éeléement de Goldman.
L'application u 1----> Ia déefinit une correspondance
bijective entre les involutions de première espèce sur A et les
idéeaux à droite I C A ®F A véerifiant :
1. (A ®F 1) ED I = A ®F A
= I ED (1 ®F A).
2. 1#177; g E I .
Par cette correspondance, une involution u est de type
orthogonale (resp symplectique) si et seulement si l'idéal
correspondant Ia contient 1 -- g (resp 1 +
g).
Remarquons que si I C A ®F A vérifie (2),
alors chacune des deux égalités de (1) implique l'autre, en effet
: Va E A, (1 #177; g)(a ® 1)g E I. Or,
d'après la proposition 2.3.4 on a : g (a ®
1)g = 1 ® a. En conséquence, (1 #177;
g)(a ® 1)g = (a ® 1)g #177;
(1 ® a) E I.
Ainsi, il vient que si I contient a ® 1
alors il contient 1 ® a, et réciproquement.
Preuve du théorème 2.3.7 ( voir [6, Theorem 3.8,
page 34] ) :
D'après le lemme 2.3.5 et le lemme 2.3.6,
Keró' vérifie (i) et (ii), donc l'application
ó 1----> Ia est bien définie. Pour montrer
qu'elle est bijective on va définir son application inverse.
Supposons I un idéal à droite de A FA
vérifiant (1) et (2). Il s'ensuit de A FA = I
ED(1 F A) que Va E A,
!óI(a) E A tq a 1 -- 1
óI(a) E I Montrons que óI est une
involution de première espèce sur A. Soient a, b E
A :
(i) On tire de a 1 ---- 1
óI(a) E I et b 1 -- 1
óI(b) E I : (a + b)
1 -- 1 (óI(a) +
óI(b)) E I (a+b)
1--1 óI(a+ b)EI
La soustraction des deux éléments donne 1
(óI(a + b) --
óI(a) -- óI(b)) E I. Or,
on sait que I n1 F A = {0}, ainsi
óI(a + b) = óI(a) +
óI(b).
(ii) On a (a 1 -- 1
óI(a))(b 1) E I ; (b 1
-- 1 óI(b)) (1
óI(a)) E I. L'addition des deux relations
donne ab 1 -- 1
(óI(b)óI(a)) E I.
Par conséquent : óI(ab) =
óI(b)óI(a).
(iii) On sait que 1 #177; g E I, ainsi Vu E I,
(1 #177; g).u ---- u E I. Alors Vu E I,gu E I.
Il en résulte que Va E A, g(a 1 -- 1
óI(a))g = 1 a -- óI(a)
1 E I. d'ouu
óI(a) 1
---- 1 a E I ; óI(a) 1 ----
1 óI (óI(a)) E I. Ce qui
entraîne que
ó2I(a) = a.
(iv) Si á E F, alors á 1
---- 1 óI(á) = 1 á --
1 óI(á) = 1 (á --
óI(á)) E In(1 F A). Donc
óI(á) = á. Par ailleurs
óI est bijective d'après sa construction. Finalement,
óI est une involution de première espèce sur
A.
Soit u = Ei xi yi E A F An
Keró'I. Ainsi Ei
óI(xi)yi = 0, et
Xu = X(xi yi -- 1
óI(xi)yi) = (xi 1 --
1 óI(xi)).(1 yi)
i i
Mais les éléments xi 1 --
1 óI(xi) sont dans l'idéal à droite I
de A F A, donc Keró'I C
I. Or, il résulte de I ED ( 1
F A) = Keró'I ED (
1 F A) que
Keró'I et I ont même dimension.
D'ouu : Keró'I = I.
Inversement, si ó est une involution de première
espèce sur A, alors : Va E A , a 1 -- 1
ó(a) E K eró' . Il s'ensuit
: óKera, = ó. Par conséquent,
les deux applications ó ----> Keró' et
I ----> óI sont l'inverse l'une de l'autre.
Proposition 2.3.8 Si A est une F-algèbre centrale
simple munie d'une involution ó de première espèce, alors
l'application :
ó, : A®FA --* EndF(A)
a®b i--*
ó,(a®b):xi--*ó(a)xb est
un isomorphisme de F-algèbres.
Preuve : Il est facile de vérifier que ó,
est un homomorphisme de F-algèbres. Comme A®FA
est simple il en résulte que ó, est injective. La
surjectivité est assurée par le fait que A ®F A et
EndF(A) ont même dimension.
On déduit de la proposition précédente que
si A admet une involution de première espèce, alors
A ®F A est déployée.
Théorème 2.3.9 Soit A une F-algèbre
centrale simple. A admet une involution de première espèce si et
seulement si A ®F A est déployée.
Preuve : Voir ([6, Theorem 3.1, page 31])
2.4 Existence d'involutions de deuxième espèce
Lemme 2.4.1 Soient A une F-algèbre centrale simple et
ó une F/F0-involution de deuxième espèce de A.
Alors l'application
)ó, : NF/F0(A) --*
EndF0 ((A, ó)+
a®b i--*
ó,(a®b):xi--*axó(b) est
un isomorphisme de F0-algèbres.
Preuve : Considérons l'application
?: A®FA --* EndF(A)
a ® b i--* ó,(a ® b) : x
i--* axó(b)
On vérifie aisément que ? est un
homomorphisme de F-algèbres. Comme A ®F A est
une
F-algèbre simple alors ? est injective, or
dimF(A ®F A) = dimFEndF(A) donc ?
est un
isomorphisme de F-algèbres. Si u E
NF/F0(A), c'est- à-dire u =
a ® b = b ® a E A ®F A,
alors pour tout x E A on a :
?(u)(ó(x)) =
?(a ® b)(ó (x)) = ?(b
® a)(ó(x)) =
bó(x)ó(a) = ó
(axó (a)) = ó
(?(u)(x)). En particulier, si x
E (A, ó)+ alors ?(u)(x) =
ó (?(u)(x)) . C'est-à-dire,
?(u) ((A, ó)+) C
(A, ó)+. En conséquence, ó. =
?/NF/F0(A) : NF/F0 (A) --> EndF0
((A, ó)+) est un homomorphisme injectif de
F0-algèbres.
D'autre part dimF0End
F0 ((A, ó)+) = [dim
F0(A, ó)+]2 =
(deg A)4 = dimF 0NF/ F0 (A),
ainsi ó. est un isomorphisme de F0-algèbres.
L'application :
ó' :
NF/F0(A) --> (A,
ó)+
u 1--> ó.(u)(1)
est un homomorphisme surjectif de NF/F0
(A)-modules à gauche ouu l'action de
NF/F0(A) sur (A, ó)+ est définie par
: x.u = ó.(u)(x). Il suit alors
que Keró' est un idéal à gauche de
NF/F0(A) tel que dimF0(Keró') =
n4 -- n2 ouu n = deg(A). Par extension
des scalaires à F et compte tenu du fait que NF/F0
(A)F = A ®F A, ó'
induit une application :
ó'F : A ®F A
--> A
a ®b 1--> aó(b)
en plus (A ®F 1) ED
Keró'F = A ®F A =
Keró'F ED (1 ® A).
Théorème 2.4.2 Soient A une F-algèbre
centrale simple et F/ F0 une extension quadratique séeparable.
Alors l'application ó --> keró' déenit une
correspondance bijective entre les F/ F0- involutions de
deuxième espèce de A et les idéeaux à droite I C
NF/F0(A) tels que
(A ®F 1) ED IF = A ®F A
= IF ED (1 ®F A).
Preuve : Analogue à celle du théorème
2.3.7.
Théorème 2.4.3 (Théeorème
d'Albert-Riehm-Scharlau) Soient F/ F0 une extension quadratique
séeparable et A une F-algèbre centrale simple. A admet une F/
F0-involution de deuxième espèce si et seulement si
NF/F0(A) est
déeployéee.
|
Preuve : Voir ([6, Theorem 3.1, page 31])
|
|
2.5 Algèbres à involution sur un corps de
caractéristique deux
Dans ce chapitre, le corps F est de caractéristique
deux.
Soit (A, ó) une F-algèbre centrale simple
à involution de première espèce. Les définitions de
(A, ó)+ et (A, ó)_ sont les
mêmes que précédemment, mais dans ce cas, on a :
(A, ó)+ = (A, ó)_.
Notons par Alt(A, ó) = {a +
ó(a)/a E A} l'espace des
éléments alternés de A. On a:
Alt(A,ó) c (A,ó)+.
Proposition 2.5.1 Soit ó une involution sur
Mn(F) de première espèce. Alors on a
:
1. ó = óu =
Int(u) o t, avec u une matrice inversible de
Mn(F) vérifiant ut =
u.
2. (Mn(F), ó)+ =
u.(Mn(F), t)+
3. dimF(Mn(F),
ó)+ = n(n+1) 2
4.
Alt(Mn(F),ó) =
u.Alt(Mn(F),t) =
Alt(Mn(F),t).u_1
5. u E Alt(Mn(F),
ó) si et seulement si tous les éléments diagonaux
de u sont nuls. Preuve:
1. La proposition 2.2.6 en caractéristique deux (
ut = #177;u ?ut = u).
2. facile à vérifier.
3. D'après 2)
4. Il suffit de voir que:
ó(x) + x = uxt
u_1 + x = uxt u_1 +
uu_1x = u(xt u_1 +
u_1x) = u(u_1x
+
(u_1x)t).
ó(x)
+ x = uxt u_1 + x =
(uxt + xu)u_1 = (ux +
(xu)t)u_1.
5. Si u = m+mt tel que
m E Mn(F), alors uii = 2mii = O.
Réciproquement, si ?1 i n, uii = O, alors
u = m + mt avec mij = uij
si i <j et mij = O si non.
Lemme 2.5.2 Soit u une matrice inversible de
Mn(F) telle que ut =
u.
1. Si u E Alt(Mn(F),
t), alors il existe une matrice inversible c de
Mn(F) telle que
|
cuct =
|
?
????
|
J 0
...
0 J
|
?
????
|
?
avec J = ?
|
01
10
|
?
?
|
2. Si u E/ Alt(Mn(F),
t), alors il existe une matrice inversible c de
Mn(F) telle que cuct est
diagonale.
|
Preuve : Voir ([4, Theorem 20]).
|
|
Définition 2.5.3 Soit ó = ó une
involution de première espèce sur
Mn(F).
(i) Si u E/ Alt(Mn(F),
t), ó est dite orthogonale ou de type 1.
(ii) Si u E Alt(Mn(F),
t), ó est dite symplectique ou de type 0.
Proposition 2.5.4 Soit ó = ó une
involution de première espèce sur
Mn(F). Alors ó est symplectique si et
seulement si tr(m) = 0 Vm E
(Mn(F),ó)+.
Preuve : On sait que m E
(Mn(F), ó)+ est
équivalent à m = us avec s E
(Mn(F), t)+. Si ó
est symplectique, alors u = x + xt,
x E Mn(F). On a pour tout s E
(Mn(F), t)+ :
tr(xs) = tr(sx) =
tr(stx) =
tr((xts)t) =
tr(xts)
Il en résulte que tr(us) =
tr((x + xt)s) =
2.tr(xs) = 0.
Réciproquement, Soit eii la matrice
dont tous les éléments sont nuls sauf l'intersection de la
i-ème ligne et colonne qui vaut 1. Ainsi, pour tout i on a :
tr(u.eii) = uii = 0 (u.eii E
(Mn(F), ó)+ car
eii est symétrique).
Proposition 2.5.5 Soient ó une involution de
première espèce sur Mn(F) et w E
(Mn(F), ó )+ fl
Gln(F).
1. Si w E Alt(Mn(F),
ó ), alors int(w) o ó est de type
0.
2. Si w E/ Alt(Mn(F),
ó ), alors int(w) o ó est de type 1.
Preuve:
1. Si w E
Alt(Mn(F),óu)
= u.Alt(Mn(F),t), alors
w = u(x+xt) =
ux+uxt. Ainsi, int(w)o
óu = óùu avec
(wu)t = wu (car
óu(w) = w) et wu =
uxu + (uxu)t E
Alt(Mn(F) , t). Donc par
définition int(w) o óu est
de type 0.
2.
Si w E/ Alt(Mn(F),
óu) =
u.Alt(Mn(F),t) =
Alt(Mn(F),t).u-1,
alors wu E/ Alt(Mn(F), t) .
En conséquence óùu =
int(w) o óu est de type 1.
Soient (A, ó) une F-algèbre centrale
simple à involution ó de première espèce
et K un corps neutralisant pour A, ainsi il existe un isomorphisme ?
: AK = A 0F K --> Mn(K).
On a ó? = ? o óK o
?-1 est une involution de première
espèce sur Mn(K),
en outre ? : (AK, óK) -->
(Mn(K), ó?) est un
isomorphisme d'algèbres à involution. On définit le type
de ó comme étant le type de
ó?.
Proposition 2.5.6 1. ó est orthogonale si a E
(A, ó)+ tq TrdA(a) =6 0.
2. ó est symplectique si Va E (A,
ó)+ on a TrdA(a) = 0.
Preuve : On a ?((A, ó)+ 0 K)
= (Mn(K),
ó?)+. Si Va E (A, ó)+ on
a TrdA(a) = 0, alors soit m E
(Mn(K),
ó?)+, ainsi m = ?(a 0
1) avec a E (A, ó)+. En conséquence,
tr(m) = tr(?(a 0 1)) =
TrdA(a) = 0. Par suite ó? est
symplectique (prop 8.0.7).
Proposition 2.5.7 Soit (A, ó) une
F-algèbre centrale simple à involution ó de
première espèce. Alors on a :
1. dimF(A, ó)+ =
n(n2+1)
2. dimFAlt(A, ó) =
n(n2-1)
Preuve : dimF(A, ó)+ = dimK
(Mn(K), ó?)+ =
dimK(Mn(K), t)+ = n(n2+1)
.
Soit l'endomorphisme F-linéaire Id +
ó : A --> A. Le deuxième résultat
découle de : Im(I d + ó) =
Alt(A, ó) et K er (I d +
ó) = (A, ó)-.
Lemme 2.5.8 Soient A une F-algèbre centrale simple et
ó une F/ F0-involution de deuxième espèce sur A.
Alors :
1. Il existe Ô E F tq Ô E/ F0 et F
= F0(Ô) et á(Ô) =
Ô +1 ouu á = ó / F .
2. Posons (A, ó)8 = {x E
A/ ó(x) = 8+1
8xl. On a : A = (A, ó)+ ED F0
(A, ó)8.
Preuve:
1. Soit 8 E F tq 8 E/ F0. F/F0
étant quadratique, ainsi F = F0(3).
Soit Irr(3, F0) = X2 +
aX + b, son autre racine est u(3), il en
résulte que u(3) = 3 + a donc
u(a-13) =
a-13 + 1 (a =6 0 car
3 E/ F0). Par conséquent, il suffit de prendre
8=a-13.
2. Ona : ?x EA,
x=(8+1)x+8u(x)+8(x+u(x)),
avec (8+1)x+8u(x) E
(A,u)+ et
8(x + u(x)) E
(A, u)8. On a aussi x E (A, u)+ n
(A, u)8?x = 0.
Proposition 2.5.9 Si A est une F-algèbre centrale
simple et u une F/F0-involution de deuxième espèce sur
A, alors dimF0(A, u)+ =
n2.
Preuve : Conservons les notations du lemme
précédent, et soit 'q = (8+1)
8 . On a F/F0 est
une extension galoisienne de groupe de Galois G =
{1, u/F}, ainsi:
1. Donc d'après le théorème 90 de Hilbert,
il existe è E F
(8+1 ' 8+1
N F/F0( 'q) = u(
'q) 'q = u 8 =
8
tq 'q =
èu(è)-1. Si
u(x) = x alors
u(u(è)x) = èx =
è
ó(è)u(è)x
= 'q.u(è)x. Il en résulte que
l'application ç: (A, u)+ -?
(A, u)8 est bien définie et que c'est un
isomorphisme de x '-? u(è)x
F0-espaces vectoriels, ainsi :
dimF0(A, u)+ = dimF0(A,
u)8 et A = (A, u)+ ? (A,
u)8.
ChaPItre 3
Les invariants d'une algèbre centrale
simple à involution
3.1 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à
in- vo lut ion
Soient (E,b) un espace bilinéaire symétrique
régulier et S un sous espace vectoriel de E. L'orthogonal de S est
S1 = {x E E/b(x, y) = 0 ?y E S}.
S est dit totalement isotrope si S C S1. Un sous espace
totalement isotrope est dit maximal, s'il n'est pas sous espace propre d'un
sous espace totalement isotrope. On montre que tous les sous espaces totalement
isotropes d'un sous espace quadratique régulier (E,b) ont même
dimension, appelée indice de Witt de b.
Dans ce chapitre, on va donner un analogue de l'indice de Witt
d'un espace quadratique, pour une algèbre centrale simple à
involution.
3.1.1 Involutions et formes hermitiennes
Soit A une F-algèbre simple centrale.
D'après le théorème de Wedderburn, il existe une
algèbre à division D centrale sur F et un D-espace vectoriel
à droite V tel que A = EndD(V) et D
= EndA(V). Soient u: D -? D une
involution sur D, et = #177;1.
Une forme -hermitienne h sur V relativement à u
est une application biadditive
h: V ×V -? D vérifiant pour tout
x,y EV et a,â E D:
1. h(xa, yâ) =
u(a)h(x, y)â
2. h(x, y) = u(h(y,
x))
Si = 1, on dit que h est hermitienne. Dans le cas contraire,
elle est dite anti-hermitienne. Une forme -hermitienne sur V relativement
à u est dite régulière ou non
dégénérée si : h(x, y) =
h(y, x) = 0 ?y E V =x = 0.
L'espace dual V a une structure naturelle de D-espace
vectoriel à gauche. On définit aussi une structure de D-espace
vectoriel à droite sur V avec l'opération :
ç.a = u(a)ç tels que
ç E V et a E D. Alors la forme -hermitienne h induit
une aplication D-linéaire : bh : V -? V définie
par : bh(x)(y) = h(x,
y) pour tout x, y E V. Si h est régulière,
bh est une bijection.
Proposition 3.1.1 Soit h une forme -hermitienne
régulière sur V relativement à u. La
( ) ( )
correspondance uh : A -? A vérifiant : h
f(x), y = h x,
uh(f)(y)?x, y E V, ?f E A est une involution sur A
appelée involution adjointe de h.
|
Preuve : La démonstration se fait de façon
analogue à celle de du théorème 2.1.6.
|
|
Remarque : On a uh(a) = u(a)
si a E F, donc uh et u sont de même
espèce.
Théorème 3.1.2 1. Si u est de première
espèce, alors l'application h '-? uh définit une
correspondance bijective entre les formes -hermitiennes
régulières sur V relativement à u à un scalaire non
nul près, et les involutions de première espèce sur A
= EndD(V).
2. Si u est une F/F0-involution de
deuxième espèce sur D, alors h '-? uh définit une
correspondance bijective entre les formes hermitiennes régulières
sur V relativement à u à un scalaire non nul près de
F0 et les F/F0-involutions de deuxième espèce
sur A=EndD(V).
Preuve:
D'après la proposition précédente,
l'application h '-? uh est bien définie.
|
Si uh = uh', alors int(g) =
Id avec g =
|
bh-1 ?
|
bh'. Il s'ensuit que g E F et
h' = gh.
|
Si u est une F/F0-involution de deuxième
espèce et h, h' sont hermitiennes, alors
l'égalité
h' = gh entraîne que
ó(g) = g, c-à-d g E F0.
D'o`u l'injectivité de la correspondance h
i--* óh dans les deux cas 1) et 2). Montrons maintenant que h
i--* óh est surjective.
1. Supposons que ó est de première
espèce, et soient 'y une involution de première
espèce sur A et (ei)1<i<m une base de
V. Désignons par h l'application définie sur V x V
par:
h(x,y) = X
Xó(ái)âi avec x =
Xeiái et y = eiâi
i i i
Il est facile de vérifier que h est une forme
hermitienne. Il résulte alors du fait que ó est de
première espèce, que óh est de première
espèce sur A. Ainsi, il existe u E U(A) telle que
'y = int(u) o óh et
óh(u) = #177;u. Posons
h'(x, y) = h(x,
u_1.y). On vérifie aisément que
h' est une forme å-hermitienne sur V. Par
ailleurs, ?x, y E V ?f E A
h'( ) ) ( )
= h'(
x, óh'(f).y f(x),
y = h f(x), u_1.y
( )
= h x, óh(f) o
u_1.y
( )
= h x, u_1 o
'y(f).y
)= h'( x,
'y(f).y
Par conséquent, óh' = 'y.
2. Supposons que ó est une
F/F0-involution de deuxième espèce et soit 'y
une F/F0-
involution de deuxième espèce sur A. On fait le
même raisonnement que 1), seulement
on aura dans ce cas, óh(u) =
u, ce qui entraîne que h' est
hermitienne.
Soient D une algèbre à division centrale sur F et
O une involution sur D. Soit V un D-espace
vetoriel à droite de dimension finie. On définit un
D-espace vetoriel à gauche °V
par:
°V = {°v/v E V};
°v + ° w =
°(v +w) ;
á.°v =
°v.O(á)cents
pour v, w E V et á E D. On peut alors
considérer le produit tensoriel V ®D °V
comme un F-espace vectoriel de dimension finie qui est égale
à (dimFV)2dimFD.
Soit h : V x V --* D une forme
å-hermitienne non singulière sur V relativement
à O. Notons par ?h l'application
F-linéaire : ?h : V ®D °V --*
EndD(V)
v ® °w i--* ?h(v ®
°w) : x i--* v.h(w, x)
Théorème 3.1.3 L'application (Ph est bijective.
Si uh est l'involution adjointe à h sur EndD(V), alors
pour tout v, w E V : uh((Ph(v ®
°w)) = å(Ph(w ®
°v). De plus :
1.
TrdEndD(V)((Ph(v
®°w)) =
TrdD(h(w,v)).
2. Vv1 , v2, w1, w2 E V,
(Ph(v1 ® °w1) o
(Ph(v2 ® °w2) =
(Ph(v1h(w1, v2) ®
°w2)
|
Preuve : Voir ([6, Theorem 5.1, page 54])
|
|
Conclusion : Si on munit V ®D °V
du produit : (v1 ® °w1) o
(v2 ® °w2) =
v1h(w1, v2) ®
°w2 et de l'involution u définie pour
tout v, w E V par : u(v ® °w)
= åw ®°v, alors on a l'identification
suivante dite standard :
(Ph : (V ®D °V, u)
r= (EndD(V), uh) (3.1)
Notamment, si D = F et de plus
è = IdF, alors °V =
V. En conséquence, l'identification standard associée
à une forme bilinéaire non singulière symétrique ou
anti-symétrique b sur V est (Pb : (V
®F V, u) --> (EndF(V), ub),
avec (Pb(v ® w)(x) = vb(w, x)
et u(v ® w) = w ® v si b est
symétrique et u(v ® w) = --w ® v
si b est anti-symétrique.
3.1.2 Idéaux d'une algèbre centrale simple
Soient A une F-algèbre simple centrale
et M un A-module. La dimension réduite (ou rang) de M est par
définition :
dimFM
rang M =
deg A
D'après le théorème de Wedderburn, il
existe une algèbre à division D centrale sur F et un D-espace
vectoriel à droite V tel que A = EndD(V)
et D = EndA(V). Soit S c V un sous espace
de V. La composition d'une application linéaire f E
HomD(V, S) avec l'inclusion S c> V nous permet
d'identifier HomD(V, S) à un sous espace de A
= EndD(V) :
HomD(V, S) = If E
EndD(V)/Imf c S}.
Cet espace est clairement un idéal à droite de A de
rang :
rangHomD(V, S) = dimDS.degD
= dimDS.indA.
Similairement, la composition d'une application
linéaire f E HomD(V/S, V) avec
l'ap-
plication canonique V --> V/S permet d'identifier
HomD(V/S, V) à un sous espace de
A = EndD(V) : HomD(V/S,
V) = {f E EndD(V)/Kerf ? S}. Cet
espace est un idéal àgauche de A du rang :
rangHomD(V/S, V) =
dimD(V/S).degD = degA - indA.dimDS.
Proposition 3.1.4 L'application S i-*
HomD(V, S) déefinit une correspondance
bijective entre les sous espaces de dimension m de V et les idéeaux
à droite de A = EndD(V) de rang: m.indA.
Similairement, l'application S i-* HomD(V/S, V)
déefinit une correspondance bijective entre les sous espaces de
dimension m de V et les idéeaux à gauche de A =
EndD(V) de rang: degA-m.indA.
Preuve : Voir ([6, proposition 1.12, page 7]).
3.1.3 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple
à involution
Soit A = EndD(V) une
F-algèbre simple centrale avec D une algèbre à
division centrale sur F et V un D-espace vectoriel à droite de dimension
finie. Soient u : D -* D une involution sur D et h une forme
hermitienne régulière sur V relativement à u
adjointe d'une involution uh. Soit I un idéal à
droite de A. Il existe alors un sous espace S de V tel que I =
HomD(V, S).
Lemme 3.1.5 On a : HomD(V, S) ?
HomD(V, S') = A =
EndD(V) avec
S'={xEV/h(x,y)=h(y,x)=O,?yES}.
Preuve : Voir [10].
Lemme 3.1.6 HomD(V, S') = {x E
A/uh(f).x = 0 ?f E I}
Preuve : Soit g E HomD(V,
S'), donc ?f E I = HomD(V, S),
?x, y E V
on a: h(f(x), g(y))
= 0 = h(x, uh(f).g(y)) car
g(y) E S' et f(x) E
S. Or h est hermitienne, alors
h(uh(f).g(y) , x) = 0
?x E V et du fait que h est régulière, on conclut
que:
uh(f).g = O ?f E I.
Réciproquement, soit g' E {x E
A/uh(f).x = O ?f E I}, et soit f E I
tel que f(V) = S. Ainsi ?x,y E V
h(x,uh(f).g'(y)) = O =
h(f(x),g'(y)) =
h(g'(y),f(x)). Or,
f(V)=S, donc ?y E V, g'(y) E
S', c-à-d, g' E HomD(V,
S').
Définition 3.1.7 1. Le sous espace
HomD(V, S') est appelée orthogonal
de I = HomD(V, S)
relativement àuh, et on éecrit
I' = HomD(V, S').
2. I est dit totalement isotrope si I C
II.
3. Supposons I totalement isotrope. I est dit maximal s'il
n'est pas strictement inclu dans un idéal totalement isotrope.
Remarque : S est totalement isotrope dans l'espace hermitien
(V,h) si et seulement si I est totalement isotrope dans l'algèbre
à involution (A, óh).
Autrement dit : S C SI -< I C II
-< óh(f).g = 0 Vf,g E I.
Lemme 3.1.8 Soient I et J deux idéaux à droite
de (A, óh). On a :
1)ICJ= JI C II 2)
(I + J)I = II n JI
3) rangI +rangII = degA 4)
(I n J)I = II +
JI
5) I C J = rangI < rangJ 6)
rang(I + J) = rangI + rangJ --
rang(I n J)
Preuve : Voir [10].
Lemme 3.1.9 Soient I et J deux idéaux à droite
de (A, óh) avec J totalement isotrope et rangI <
rangJ, alors rang(I n J) < rang(II n
J).
Preuve :
J étant totalement isotrope donc J C
JI, ainsi II +J C II +
JI = (I nJ)I, en
conséquence, rang(II + J) <
rang(I n J)I. On en déduit, en
utilisant 5) que :
0 < rangJ ---- rangI < rang(II n
J) ---- rang(I n J). Ainsi, le lemme est
prouvé.
Proposition 3.1.10 Tous les idéaux à droite
de (A, óh) totalement isotropes maximaux ont le
même rang.
Preuve : Soient I et J deux idéaux à droite de
(A, óh) totalement isotropes maximaux. Supposons que rangI
< rangJ. On a : IInJ % I, car si non on
aura : II nJ C InJ C IInJ. En
conséquence IInJ=InJ, ce qui contredit le
lemme précédent. Par suite, IInJ%
I, ainsi il existe fo E II n
J et fo E/ I. Posons X = I
+ (II n J). On a :
XI = (I + (II n
J))I = II n (II n
J)I = II n (III +
JI) = II n (I + JI) Par
ailleurs,
I C II et
IInJCII, ainsi X = I +
(II n J) C II. De même on a :
I C I + JI
et
IInJCJCJICI+JI,
donc X= I+
(IInJ)CI+JI. Il s'ensuit
que X C XI.
C'est-à-dire X est totalement isotrope et I X
( car f0 E X et f0 E/ I). Ce qui contredit
la maximalité de I, donc rangI .5 rangJ et de la
même façon on montre que rangJ .5 rangI, par
conséquent rangI = rangJ.
Définition 3.1.11 La valeur commune du rang de tous
les idéeaux à droite de (A, uh) totalement
isotropes maximaux, est appelée indice de Witt de l'algèbre
centrale simple à involution (A, uh).
3.2 Discriminant d'une involution
3.2.1 Discriminant d'une involution orthogonale
Proposition 3.2.1 Soit A une F-algèbre centrale simple
à involution u symplectique. Le polynôme caractéeristique
réeduit de chaque éeléement de (A, u)+
est un carrée dans F[XJ. En particulier, NrdA(s) est
un carrée dans F quel que soit s E (A, u)+.
Preuve : Voir ([6, proposition 2.9, page 19]).
Si A est une F-algèbre centrale simple
de degré pair à involution u de première
espèce, alors a E Ax tel que u (a)
= #177;a (voir [6, corollary 2.8, page 18]).
Proposition 3.2.2 Soit A une F-algèbre centrale simple
de degrée pair à involution u orthogonale. Alors Va, b E
Ax n (A, u)_ on a : NrdA(a)
NrdA(b) mod Fx2.
Preuve : Si a, b E Ax n (A,
u)_, alors u(a) = --a, ainsi
l'involution u' = int(a) o u est
symplectique et ab E (A, u')+. Or la proposition
précédente montre que NrdA(ab) E
Fx2, d'ouu le résultat.
Définition 3.2.3 Soit A une F-algèbre centrale
simple de degrée pair à involution u orthogonale. Le discriminant
de u est par déenition : disc u = NrdA(a) E
Fx / Fx2 tel que a E Ax
n (A, u)_.
Remarque : On définit aussi le discriminant d'une
involution u symplectique comme étant la classe carrée
: disc u = NrdA(a) E Fx
/Fx2 tel que a E Ax n (A,
u)+ (voir [2]).
Exemple : Soit l'algèbre à involution
(Mn(F), t) telle que n est pair
et t l'involution transposition (orthogonale). Soit la matrice :
|
?m1 O
?M =?. ? . .
?O mn/2
|
telle que m1 =
·
·
· = mn/2 =
)
|
(1-- 0
31 1)
|
M est un élément inversible de
(Mn(F), t)_ (car detM =
1). Ainsi, disc t =
NrdMr,(F)(M) = detM = 1.
Proposition 3.2.4 Soit A une F-algèbre centrale simple
de degré pair.
1. Supposons que ó est une involution orthogonale sur
A, et soit u E Ax . Si int(u) o ó est
orthogonale, alors disc(int(u) o ó)
= NrdA(u).disc ó.
2. Supposons que ó est une involution symplectique
sur A, et soit u E Ax . Si int(u) o ó est
une involution orthogonale sur A alors : disc(int(u)
o ó) = NrdA(u).
3. Si A = EndF(V) et ób
est l'involution adjointe à une forme bilinéaire non
singulière symétrique b sur V, alors disc ób =
detb.
4. Supposons que ó est une involution orthogonale sur
A. Si (B, 7-) est une F-algèbre centrale simple
à involution orthogonale, alors
|
disc(ó ® 7-) =
|
? ?
?
|
disc ó si degB est impair 1 si degB est
pair
|
5. Supposons que ó est une involution symplectique sur
A. Si (B, 7-) est une F-algèbre centrale
simple à involution symplectique, alors disc(ó ®
7-) = 1.
Preuve :
1. Si int(u) o ó est
orthogonale, alors : ó(u) = u et (A,
int(u) o ó) _ = u.(A,
ó)_. Soit b E (A,
int(u) o ó) _, c'est-à-dire
b = u.a tel que a E (A, ó)_.
Il s'ensuit que disc(int(u) o
ó) = NrdA(b) = NrdA(ua) =
NrdA(u).NrdA(a).Fx2.
2. On a ó est symplectique et
int(u) o ó est orthogonale, ainsi
ó(u) = -u, d'ouu u E (A,
int(u) o ó)_, en conséquence
disc(int(u) o ó) =
NrdA(u).
3. On peut identifier A avec
Mn(F) pour un choix d'une base e de
V. Soit g E Gln(F) la matrice de la
forme bilinéaire b dans la base e. On a :
ób = int(g_1) o t, avec t
l'involution transposition. Or, t est orthogonale et ób =
int(g_1) o t l'est aussi, car b est
symétrique. Ainsi, en appliquant (1), on trouve : disc
ób = NrdA(g_1).disc t =
detb.
4. Si a E (A, ó)_ n
Ax , alors a ® 1 E (A ® B,
ó ® 7-)_. Le résultat est
déduit de l'égalité NrdA0B(a ® 1)
= NrdA(a)degB.
5.
7- est symplectique, donc le degré
de B est pair. Soit a E (A, ó)_ n A
x donc a ® 1 est un élément
inversible de (A ® B, ó ®
7-)_.
Ainsi disc(ó ® 7-) = N rd
A0B(a ® 1) =
NrdA(a)degB = 1.
Exemples :
1. A = (Mn(F),
t), n pair. Si ó = int(u) o t
est une involution orthogonale sur A, alors d'après (2),
disc ó = NrdA(u).disc t =
det(u).
2. Si A = A1 ® A2 avec
A1 et A2 sont de degré pair et ó =
ó1 ® ó2 une involution orthogonale sur
A, c'est-à-dire ó1 et ó2 sont de
même type, alors d'après (4) et (5) de la proposition
précédente on a disc ó = 1. En particulier, le
résultat est vrai si A1 et A2 sont des algèbres
de quaternions et ó1 et ó2 leurs conjugaisons
(symplectiques).
3.2.2 Application : Algèbre à involution
décomposable
D'après le théorème du double
centralisateur, si une F-algèbre centrale simple A
contient une sous-algèbre A1, centrale simple sur F et
non triviale (i.e. distincte de F et de A), alors elle se
décompose en un produit tensoriel A = A1 ®
A2, où A2 est le centralisateur de A1 dans
A . On dit alors que l'algèbre A est
décomposable.
Par exemple, Albert a montré que toute algèbre
centrale simple sur F de degré 4 et d'exposant 2, est
décomposable, c'est-à-dire isomorphe à un produit
tensoriel de deux algèbres de quaternions (Voir [6, Theorem16.1, page
233]).
Définition 3.2.5 Soit A une F-algèbre
centrale simple munie d'une involution ó. On dit
que l'algèbre
à involution (A, ó) est décomposable si
A contient une sous-algèbre centrale
simple non triviale A1 stable par u. Quand c'est
le cas, le centralisateur A2 de A1 dans A
est stable par u
et on a A = A1 ® A2 et u = u1
® u2, ouu ui désigne la restriction de u
à Ai.
L'étude de la décomposabilité d'une
algèbre à involution est une question classique (voir par exemple
[1]). L'exemple (2) précédent montre qu'avoir un discriminant
trivial est une condition nécessaire de décomposition stable. Le
théorème suivant montre que la réciproque est
également vraie en degré 4.
Théorème 3.2.6 Soit A une F-algèbre
centrale simple de degré 4 ayant une involution orthogonale u. Alors A
admet une sous algèbre de quaternions stable par u si et seulement si le
discriminant de u est trivial.
|
Preuve : Voir [7, Theorem 3.1].
|
|
Remarques:
1. Pour les algèbres de degré 8, cette
condition n'est plus suffisante. En effet Amisteur, Rowen et Tignol (voir [1])
ont construit une algèbre à division D de degré 8 à
involution qui ne se décompose pas en produit tensoriel
d'algèbres de quaternions. Ainsi toute involution symplectique sur D est
de discriminant trivial mais ne peut pas se décomposer.
2. Hélène Dherte [2] a montré que
même pour les algèbres décomposables de degré 8, la
condition »avoir un discriminant trivial» ne suffit pas pour qu'il
existe une sous algèbre stable.
3.3 Algèbre de Clifford d'une involution
3.3.1 Algèbre de Clifford d'un espace quadratique
Soient V un espace vectoriel sur F et q
une forme quadratique sur V. Posons
T n(V) =
V®FV®F...®FV(nfois)
sin>0 F sin=0
L'algèbre tensoriel de V est l'algèbre
T(V) = L n=0 T n(V)
telle que le produit est defini par : (v1 ? v2 ? ·
· · ? vr) X (vr+1 ?·
· · ? vs) = v1 ?· · · ?
vr ? vr+1 · · · ? vs, est
prolonge par linearite à T(V). Designons par
I(q) l'ideal bilatère de T(V)
engendre par les elements x ? x - q(x).1 avec x
E V et 1 l'element unite de T(V) , alors
l'algèbre de Clifford de (V, q) est :
T (V )
C(V,q) = I(q)
L'algèbre T(V) =
T0(V) T1(V) = T(V?V)
(V?T(V?V)) est graduee de type Z/2Z. Du fait que les
generateurs de I(q) sont dans T0(V), cette
graduation induit une graduation de C(V, q) :
C(V, q) = C0 (V, q) C1 (V,
q) tel que C0 (V, q) est le sous espace de
C(V, q) engendre par les produits d'un nombre pair de
vecteurs de V, appele l'algèbre de Clifford paire de (V,
q). De même C1(V, q) est le sous espace de
C(V, q) engendre par les produits d'un nombre impair de
vecteurs de V, et appele l'algèbre de Clifford impaire de
(V, q). On a (voir Knus [5, chapter 4, corollary 7]) :
dimFC(V, q) = 2dimFV et dimFC0(V,
q) = dimFC1(V, q) = 2dimF
V-1.
On a aussi le r- esultat suivant (voir [6, lemma 8.1,
page 87]) : C0(V, q) = T (V ?V )
I0(q) . Avec I0(q) l'ideal
de T(V ? V) engendre par les elements x ? x -
q(x) et x ? y ? y ? z - q(y)x ? z pour
x, y, z E V.
Exemples :
1. Si V = F et q la forme quadratique
definie par q(x) = ax2, avec a E F
et a =6 O, alors C(F, ax2)
= F[X]/(X2 - a)
~= F Fx avec x2 = a.
En particulier, si F = R et a = -1,
alors on a : C(R, -x2) =
R[X]/(X2 + 1) ~= C.
2. Si q = O alors C(V, O) = T
(V )
<x?x/x?V> est appelee
algèbre exterieure.
Le theorème suivant montre que les structures de
C(V, q) et C0 (V, q) sont deteminees
complètement en fonction de q.
Théorème 3.3.1 Soit (V, q) un
espace quadratique régulier, on a:
1. Si dimFV = n = 2m, alors le centre
L de C0(V, q) est une F-algèbre quadratique
étale
isomorphe à
F[X]/(X2 - 8),
ouu 8 est tel que disc(q) =
(-1)m8.F×2.
De plus on a : Si est un corps (i.e disc(q) =6 1),
alors C0(V, q) est une L- algèbre centrale
simple
de degré 2m-1.
Si A ''= F x F (i.e disc(q) =
1), alors C0(V, q) est un produit direct de deux F
-algèbres centrales simples de degrée
2'-1.
2. Si n = 2m + 1, alors C0(V,
q) est une F-algèbre centrale simple de degrée
2'. Preuve : Voir ( [13, Theorem 2.10, page 332]).
C (V, q) et C0(V, q) sont
munies d'une involution »canonique» ô qui est
l'involution induite par l'identité sur V :
ô(x1 ®
·
·
· ®
xk) = xk ®
·
·
· ® x1.
Le type de ô / C0(V, q) =
ô0 est determiné par la dimension de V comme suit
:
Proposition 3.3.2 1. Si dimV 2 (mod 4), alors
ô0 est de deuxième espèce.
2. Si dimV 0 (mod 4), alors ô0 est
de première espèce. En particulier, ô0 est
orthogonale si dimV 0 (mod 8), et symplectique si dimV 4 (mod
8).
3. Si dimV 1,7 (mod 8), alors
ô0 est orthogonale.
4. Si dimV 3, 5 (mod 8), alors
ô0 est symplectique.
|
Preuve : Voir ([6, proposition 8.4, page 89]).
|
|
3.3.2 Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale
Soit (A, ó) une F-algèbre
centrale simple à involution orthogonale. Notons par
T(A) l'algèbre tensorielle de A
(considérée comme F-espace vectoriel), et soient
l'application bi-
linéaire :
Sand : A®AxA --> A
(a® b , c) 1--> acb
et I(ó) l'idéal de
T(A) engendré par les éléments de la
forme
s -- trd(s) avec s E A tq
ó(s) = s.
x -- Sand(x , 1) tq xEA®A et S
and(x, (A, ó)_) = 0.
Définition 3.3.3 L'algèbre de Clifford de
(A, ó) est CT (A, ó)
=
TIióA?
. Cette déefinition est appeléee déefinition rationnelle
d'après Tits.
X= Xu (bi)cu (ai) = -- u
(bi)u (c)u (ai) =
--u(S and(x , c)) = 0
i i
Proposition 3.3.4 Si A = EndF(V)
et u l'involution adjointe d'une forme bilinéaire symétrique b,
alors C(A, u) = C0(V, b). De plus si K/F
est une extension, alors CT0(A, u) K
~= CT0(A K , u I d).
Preuve : Voir ([2, proposition, page 35]).
Théorème 3.3.5 Soient A une F-algèbre
centrale simple de degré n = 2m à involution u
orthogonale et Z le centre de C(A, u), alors Z est une F
-algèbre quadratique étale isomorphe à
F[X]/(X2 ----
ä(u)) o`u disc u =
(--1)mä(u).Fx2
. D'o`u Z est un corps ou Z F x F.
1. Si Z est un corps (i.e disc(u) =6
1), alors C(A, u) est une Z -algèbre centrale
simple de degré 2m_1.
2. Si Z F x F (i.e disc(u) =6 1),
alors C(A, u) est un produit direct de deux F-algèbres
centrales simples de degré 2m_1.
|
Preuve : Voir ([11, Théorème 1.9, page 34]).
|
|
Proposition 3.3.6 Soit (A, u) une
F-algèbre centrale simple à involution orthogonale, alors u
induit une involution T(u) : T(A) --?
T(A) telle que
T(u)(a1
·
·
· ak) = u(ak)
·
·
· u(a1) et laissant stable
I(u).
Preuve :
1. Si s E A/u(s) = s, On a :
T(u)(s -- trd(s)) =
T(u)(s) --
T(u)(trd(s)) = u(s) -- u
(trd(s)) = s -- trd(s)
2. Soit x = Ei ai bi EA A
tel que pour tout c E (A, u)_, S and(x
, c) = Ei aicbi = 0. On a pour tout c
E (A, u)_,
|
S and (T (u)(x), c)
= S and( E u(bi)
u(ai),c)= E
i i
|
S and(u(bi) u
(ai), c)
|
En conséquence, Sand(T(u)
(x), (A, u)_) = 0. Par ailleurs,
T(u)(x - Sand(x, 1)) =
T(u)(x) - T(u)
(Sand(x, 1))
|
= T(u)(x) - T(u)(
X
= T(u)(x) - T(u)( X
|
Sand(a ® b , 1))
)a .1 .b
|
|
X
= T (u)(x) -u(b
)u(a )
= T(u)(x) -
Sand(T(u) (x), 1)
Par suite, 1) et 2) montrent bien que I(u) est
stable par T(u). Conclusion : L'involution
T(u) induit une involution u* sur
C(A, u) = T (A)
I(ó) .
|
|
Proposition 3.3.7 Soit A une F-algèbre centrale simple
de degré n = 2m à involution u orthogonale. Alors
:
Si m est pair, on a u* est une involution de
première espèce sur C(A,u). u* est
orthogonale si m 0 mod 4 et symplectique si m 2 mod
4.
u* est une involution de deuxième espèce sur
C(A, u) si m est impair.
En particulier, si A = EndF(V) et
u est l'involution adjointe d'une forme quadratique q, alors C(A,
u) = C0(V, q) et u* est l'involution
canonique de C0(V, q).
Preuve : Voir ([6, proposition 8.12, page 95]).
3.3.3 Application : caractérisation des involutions
conjuguées
Dans ce paragraphe on utilise l'algèbre de Clifford comme
un outil permettant de caractériser les involutions
conjuguées.
Définition 3.3.8 Soit A une F-algèbre. Deux
involutions u et u' sur A sont conjuguées s'il existe a E
AX tel que u' = Int(a) ou o
Int(a)_1.
Remarque : Deux involutions u et u'
sur A sont conjuguées si et seulement si les algèbres
(A, u) et (A, u') sont F-isomorphes.
Théorème 3.3.9 Soit A une F-algèbre
centrale simple de degré= 4. Alors deux involutions orthogonales u et
u' sur A sont conjuguées si et seulement si leurs
algèbres de Clifford sont F-isomorphes.
Preuve : Voir ([8, page 262]).
Définition 3.3.10 On dit qu'un corps commutatif F est
formellement réel (ou simplement réel) si -1 n'est pas une somme
de carrés dans F.
Remarque:
1. Un corps fini n'est pas formellement réel, donc tout
corps formellement réel est necéssairement de
caractéristique O.
2. Posons LIF ={x E F/ x est une somme de
carrés dans F} et LIF* = LIF -
{O}. Alors F est formellement réel est
équivalent à LIF =6 F.
Soient W(F) l'anneau de Witt de F et
I(F) l'idéal fondamental de Witt (pour les
définitions, voir [13, Definition 1.9, page 33]).
Notation : I3F =
I(F)3.
Théorème 3.3.11 Soit F un corps non
formelement réel et I3F = O. Alors, deux
involutions orthogonales u et u' sur une F-algèbre centrale
simple A sont conjuguées si et seulement si leurs algèbres de
Clifford sont F-isomorphes.
|
Preuve : Voir ([8, page 264]).
|
|
3.4 Signature d'une involution
3.4.1 La forme trace d'une involution
Lemme 3.4.1 Soit (A, u) une
F-algèbre centrale simple à involution u de première
espèce. Alors pour tout a E A on a NrdA(u(a)) =
NrdA(a) et TrdA(u(a)) =
TrdA(a).
Preuve : Soit K un corps neutralisant de A, ainsi il existe un
isomorphisme
? : AK = A ?F K, -?
Mn(K). On a: ? o uK o
?-1 est une involution de première
espèce
sur Mn(K), donc il existe une
matrice inversible g de Mn(K) telle que
gt = #177;g et ? o uK o
?-1 = ug =
int(g) o t.
PrdA(u(a)) = det(X
In -- ?(u(a) ? 1)) =
det(X In -- ? o uK(a ? 1))
= det(X In -- ug o
u(a ?1)) = det(X In -- g.?(a
? 1)t.g-1)
= det(g.(X In -- ?(a
? 1)t).g-1) =
det(X In -- ?(a ?1))
= PrdA(a).
Définition 3.4.2 Soit A une F-algèbre centrale
simple à involution u de première espèce. L'application
Ta : A x A --? F est une forme bilinéaire non
singulière sur A,
(x, y) 1--?
TrdA(u(x)y)
appelée forme trace de (A,
u).
D'après le lemme précédent, on a pour tout
(x, y) EAxA:
Ta(x, y) =
TrdA(u(x)y) =
TrdA(u(u(y)x)) =
TrdA(u(y)x) = Ta (y ,
x) . Ainsi Ta est une forme bilinéaire
symétrique.
Proposition 3.4.3 Sous l'isomorphisme u. : A ?F A
--? EndF(A)
a ? b 1--? u.(a ? b) : x 1--?
axu(b) l'involution u ? u correspond à l'involution
adjointe de Ta.
|
Preuve : Va, b, x, y E A, Ta
(u.(a ? b)(x), y) =
TrdA(bu(x)u(a)y). Par
ailleurs, Ta(x, u. (u(a) ?
u (b)) (y)) = Ta(x,
u(a)yb) = Trd A(u
(x)u (a)yb).
|
|
Lemme 3.4.4 Si (A, u) =
(EndF(V),ub), alors l'identification standard
?b : V ?F V --? A de (3.1) induit l'isométrie d'espaces
bilinéaires ?b : (V ?F V, b ? b) --?
(EndF(V), Ta).
Preuve : En utilisant le théorème 3.1.3 on a
?x1,x2,y1,y2 EV :
|
)Tó (?b(x1 ®
x2), ?b(y1 ® y2)) = TrdA (
u(?b(x1 ® x2))?b(y1
® y2)
= TrdA(å?b(x2 ®
x1)?b(y1 ® y2)) =
TrdF(åb(x1, x2)b(
y2, y1))
= å2b(x1,
x2)b(y1, y2)
= b(x1, x2)b(
y1, y2)
= (b® b)(x1 ®x2,y1
®y2).
|
|
3.4.2 La signature d'une involution de première
espèce
Définition 3.4.5 Soit F un corps formellement
réel. Nous disons qu'une partie P C F est un préordre de F si P
vérifie : P + P C P, P.P C P, --1 E/ P et LF
C F.
Unpréordre P de Fsera dit un ordre de F si de plus:
PU--P = F etPn--P = {0}. Dans ce cas on dit que F
est ordonné.
Si F est un corps formellement réel, alors F
est ordonné (voir [13, Theorem 7.1, page 54]). Remarques:
1. Si P est un ordre sur F, les éléments de P
* sont dits positifs et les éléments de --P * sont
dits négatifs.
2.
SixEF*alorsxEPou--xEP,orx2=(--x)2EP,doncF*2CP.
3. La relation > définie sur F par :
x > y si x -- y E P est une relation d'ordre totale.
Soit A une F-algèbre centrale simple
à involution u de première espèce.
Supposons que F est ordonné par un ordre
P.
Rappelons qu' à toute forme bilinéaire
symétrique non singulière b est associé un entier
sgnPb appelé signature de b sur P,
défini par: sgnPb = m+ --
m- avec m+ (resp.m-)
est le nombre des entrées positives (resp.négatives) dans une
diagonalisation de b.
Proposition 3.4.6 1. Si (A, u) =
(EndF(V), ub), alors
|
sgnPT, =
|
|
(sgnPb)2 si u est orthogonale
0 si u est symplectique
|
2. Si A est quelconque, la signature de la forme
bilinéeaire T, sur P est un carrée dans Z.
|
Preuve : Voir ([6, proposition 11.7, page 136]).
|
|
Définition 3.4.7 La signature sur P d'une involution u
de première espèce sur A est par déenition : sgnPu
= .VsgnPT,.
Il découle de la dernière proposition que
sgnPu est un entier. Par ailleurs, on sait que sgnPT, < dimA
et sgnPT, dimT, mod2. Ainsi, 0 < sgnPu < degA et
sgnPu degA mod 2.
Définition 3.4.8 Un corps formellement réeel
F est dit réeel fermée si F n'a pas d'extension
algéebrique propre formellement réeelle. Une extension
algéebrique K de F est dite clôture réeelle de F si K est
réeel fermée.
Théorème 3.4.9 Soit FP la clôture
réeelle de F pour un ordre P.
1. Supposons que A n'est pas neutraliséee par FP.
Donc sgnPu = 0 si u est orthogonale et sgnPu = degA mod
4 si u est symplectique.
2. Supposons que A est neutraliséee par FP. Alors
sgnPu = 0 si u est symplectique. Si u est orthogonale et ub =
u 0 IdFp est l'involution adjointe d'une forme bilinéeaire
syméetrique b sur FP";, alors sgnPu =
|sgnPb|.
Preuve : Voir ([9, Theorem 1]).
3.4.3 Application : Involutions indécomposables
Lemme 3.4.10 Soit A une F-algèbre centrale simple. Si
A = A10 A2 et u = u1 0
u2, alors T, = T,1 0 T,2 .
Preuve : Pour X1, y1 E A1 et
X2, y2 E A2, on a:
).Tó(X1 ® X2, y1
® y2) = T rdA (u1(X1)y1
® u2(X2)y2 ) = TrdA1
(u1(X1)y1 ) TrdA2
(u2(X2)y2
Proposition 3.4.11 Soient A une algèbre centrale
simple sur un corps formellemnet réel F et P un ordre sur F. Si A =
A1 ®A2 et u = u1
®u2, alors sgnP(u) = sgnP(u1)
sgnP(u2).
Preuve : Déduction simple du lemme
précédent et de la définition 3.4.7.
Corollaire 3.4.12 Soit A une algèbre centrale
simple de degré une puissance de deux sur un corps formellemnet
réel F, et soit P un ordre sur F. Alors toute involution de
première espèce sur A telle que sgnP(u) = 2 est
indécomposable.
Preuve : Supposons que u = u1 ®
u2. D'après la proposition précédente, on a
2 = sgnP(u1)sgnP(u2). Ainsi
sgnP(u1) = 1 ou sgnP(u2) = 1. Or, on sait
que la signature d'une involution sur une algèbre centrale simple de
degré pair est divisible par 2. Donc notre supposition est impossible,
en conséquence u est indécomposable.
La notion de signature peut fournir plus d'informations que le
discriminant. En effet, elle peut être non triviale pour des involutions
symplectiques et peut être utilisée pour exclure certains types de
décompositions.
Supposons pour l'instant que : A = Q1
®F Q2 ®F Q3 est un produit tensoriel
d'algèbres de quaternions sur un corps formellement réel F
et que u (resp. ô) est une involution de
première espèce sur Q1 (resp. Q2 ®F
Q3) telles que sgnP(u) = sgnP(ô)
= 2 pour un certain ordre P de F, alors ô est
indécomposable par le corollaire 3.4.12.
L'involution p = u ® ô
vérifie disc(p) = 1 ( car p est
décomposable ) et sgnP(p) = 4, par suite il n'existe
pas d'algèbres de quaternions Q' 1,
Q'2 et Q'3 invariants
par p telles que
A = Q' 3, car sinon
sgnP (p) = fl3
1 ®F Q' 2 ®F Q'
i=1sgnP(p/Q' i) =0 ou
8, absurde.
Bibliographie
[1] S. Amitsur, L. Rowen J.-P. Tignol : Division algebras of
degree 4 and 8 with involution, Israel J. Math. 33 (1979), p. 133-148.
[2] H.Dherte : Invariants d'algèbres centrales simples
à involution , Dissertation doctorale (UCL),91-92.
[3] P. K. Draxl : Skew fields, London Mathematical Society
Lectur e Note Series, vol. 81, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
[4] I.Kaplansky. Linear Algebra and Geometry. Allyn and Bacon
Inc., Boston (1969).
[5] M.A. Knus, Quadratic Forms, Clifford Algebras and Spinors,
Univ. Estadual de Campinas (UNICAMP), Campinas (1988).
[6] M.-A. Knus, A.S. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol : The book
of involutions, Coll. Pub. 44. Providence, RI : Amer. Math. Soc. (1998).
[7] Knus, M,A., Parimala, R., Sridharan, R. : Involutions on
rank 16 central simple algebras, J. Indian Math. Soc., to appear.
[8] D.W. Lewis, J.-P. Tignol, Classification theorems for
central simple algebras with involution, Manuscripta Math. 100, (1999), pp.
259-276.
[9] D.W. Lewis and J.-P. Tignol, On the signature of an
involution, Archiv der Mathematik 60 (1993), 128-35.
[10] Lubikulu Punama, Indice de Witt d'une algèbre simple
centrale à involution. Thèse annexe dirigée par
J.P.Tignol. Louvain-la-Neuve (1992).
[11] L. Oukhtite : Algèbres centrales simples à
involution, Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, FST,
Fès-Saïs , Mémoire de C.E.A 1995.
[12] R.S. Pierce, Associative algebras, Graduate Texts in
Mathematics 88, Springer-Verlag, New York, 1982.
[13] W. Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften, vol. 270, Springer-Verlag, Berlin, 1985.
[14] J.P.Tignol, Central simple algebras, involutions and
quadratic forms. Lectures at the National Taiwan university, April 1993.
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