2.3. La sensibilité des prix obligataires :
Sensitivity
La duration peut aussi être considérée
comme une donnée reflétant la sensibilité du cours
d'un
titre au taux d'intérêt. En effet, nous savons que le prix est
déterminé à partir de la
|
formule : P =
|
~
~ ~ ~~~
~~~
(1+r)'~
|
Et en supposant une variation de taux d'intérêt,
nous allons en analyser la conséquence sur le prix d'un titre :
d C1 2.C2 n.Cn
...
dr (1+0)1 (1 + r)71
(1 + 0)3
,(r) =
|
= -
|
7
(89) ~ ~ C; .J
8 <8 (1)
(8=);
|
La sensibilité peut être définie comme
étant la variation du prix d'un titre résultant d'une
variation relative du taux d'intérêt : S = -
>(r) =
d / .
dr
Ainsi, en remplaçant l'écriture de formule
(1) dans S, on obtiendra :
~
S = - 8
(1 + r)
> ( C1 .j
(~@~)?%
?=1
~
V(Cj
(~@~)?%
?A
Ce qui nous permettra d'écrire la sensibilité en
fonction de la duration :
1
S = - (1+r) . D
Autrement dit, la sensibilité n'est autre que la
duration actualisée (au signe près1)
par le taux t. On parle alors de « duration
modifiée ». Il s'agit de la variation pour 1% de taux (100
points de base) du prix du titre par rapport à son taux actuariel.
Ainsi, une obligation ayant une sensibilité de 5 verra sa valeur baisser
de 5 % si le taux d'intérêt augmente de 1%.
2.3.1. Propriétés de la
sensibilité
> Plus une obligation à taux fixe est longue, plus elle
est sensible au taux d'intérêt ;
> La sensibilité est une élasticité,
elle possède des propriétés paradoxales : plus le taux
nominal d'un titre à taux fixe est élevé, plus le risque
de taux est important. Néanmoins, sa sensibilité sera moins
importante pour une obligation de mêmes caractéristiques mais avec
un taux nominal plus faible.
2.3.2. Objectifs et limites de la
sensibilité
> La sensibilité est une mesure patrimoniale
utilisée par des gestionnaires de fonds, elle représente le
rapport de la mesure 1ère du risque de taux
(P'(r)) à la valeur actualisée du
titre, i.e. aux capitaux investis et non à sa valeur
nominale.
> A noter que les professionnels des marchés de taux
d'intérêt dans les pays développés utilisent le
P'(r) non corrigé pour la mesure 1ère
du risque de taux.
> La sensibilité est très intéressante
à utiliser lorsque les fluctuations de taux d'intérêt sont
faibles.
2.4. Propriétés de la duration : Effets
de variation de l'échéance, du taux de coupon et de la
maturité sur la duration
> La duration d'une obligation zéro-coupons est
égale à sa maturité ;
> La duration d'une rente perpétuelle est
Cil ne dépendant pas du taux de coupon.
Elle s'obtient en considérant une obligation zéro
coupon où nous aurons :
C
2 qu'il faudra remplacer dans la formule de la
sensibilité1.
dP
dr
- -
dP /P
> A partir de la formule de la duration, on peut
déduire une relation inverse entre la duration d'une obligation et son
taux actuariel de rendement ;
> La duration apparaît comme une
élasticité E au signe près. En
effet, celle-ci
représente la variation relative du prix du titre
rapportée à la variation relative du terme
actuariel (1+r), tel que : E =
d(1+r)/(1+r) et en considérant :
dP /P
S=
d(1+r)
D ;
· il s'en suit que :
(1+r)
- -
1
|
E=
|
dP /
|
= - D (2)
|
|
d(1+r)/(1+r)
|
> La duration d'un titre obligataire est une fonction
décroissante du taux de coupon. En effet, si le coupon, et donc le taux
de coupon, est élevé, la duration est courte du fait que la masse
des premiers flux payés est plus importante que celle payée dans
les dernières échéances ;
Pour ce qui est de la relation entre la maturité et la
duration, il est plus complexe de déterminer le rapport existant
vraiment. Cependant, des approximations pratiques sont
schématisées pour mieux comprendre le mécanisme.
Considérons une obligation se vendant au pair ou
au-dessus, la duration aura tendance à augmenter constamment avec la
maturité. De son coté, pour les obligations très
décotées par rapport au pair, la duration suit
l'échéance dans ses variations jusqu'à un certain seuil
où elle commence à décroitre. Il s'agit là d'une
situation rare qui ne s'applique qu'aux titres de très longue
durée et au taux de coupon très faible (titres à 40 ans de
maturité).
Les variations résultant de la relation entre la duration
et la maturité sont représentées dans le schéma
ci-après :
Duration D
Titre cotant au pair ou au-dessus du
pair
Titre cotant au-
dessous du
pair
Titre à coupon zéro
Maturité n
Graphique n° 1 : Relation entre la duration et la
maturité d'un titre Ce graphique nous permet de tirer les
conclusions suivantes :
> La duration d'un titre est d'autant plus importante que le
taux de coupon est peu important et que la décote est plus forte ;
> Les caractéristiques du titre ont un effet direct sur
la duration : Un titre à zéro- coupon est
représenté par une droite linéaire car sa duration est
égale à sa maturité. Cependant, les titres à coupon
non nul ont une duration inférieure à leur maturité. Les
titres cotant au-dessous du pair ont une duration croissante jusqu'à ce
qu'elle atteint son paroxysme, puis décroit. Concernant les titres qui
se cotent au pair ou au dessus du pair, leur duration croit avec
l'échéance mais à un taux décroissant.
> Les obligations à faible taux de coupon ont toujours
une duration supérieure aux obligations à taux de coupon plus
important.
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