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MODELE DE PROJECTION ET DE SIMULATION DES ELEMENTS DE
L'EQUILIBRE FINANCIER DES REGIMES DE LA SECURITE SOCIALE
Ezzeddine M'BAREK
Ingénieur Général à la
CNRPS
DEA en économie mathématique et
économétrie
Mastère en ingénierie de la
formation
Diplôme d'ingénieur en
statistique
Licence-es-sciences économiques
INTRODUCTION
Le modèle mathématique que je propose aux
chercheurs et aux responsables des études en matière de la
sécurité sociale prétend de trouver une solution
satisfaisante et adéquate aux différentes questions posées
quant à la projection des recettes , des dépenses et de
l'équilibre des différents régimes gérés par
les caisses de sécurité sociale compte tenu de l'accroissement
des variables démographiques , économiques et autres.
En outre, on peut chercher à tout instant le taux
de cotisation nécessaire à l'équilibre d'un régime
particulier ou de l'ensemble des régimes.
Il va sans dire qu'il est donc possible de suivre
instantanément l'évolution de l'équilibre en question et
de prévoir les causes et d'en remédier les conséquences au
moment opportun .
De même, ce modèle permet de faire des
études de simulation en mesurant les effets des changements au niveaux
des prestations , des salaires , des taux de cotisations , de l'âge de
mise à la retraite, etc.
I. COTISATIONS
Les cotisations au profit de la sécurité
sociale sont assises pour tous les régimes sur les salaires ou le gain
compte tenu d'un taux de cotisation fixé par la législation en
vigueur .
En général , il y a deux taux de cotisation
, l'un pour l'employeur et l'autre pour l'assuré . La masse totale des
cotisations est
proportionnelle au nombre des cotisants .
Pour un individu i , la somme qui revient à la
sécurité sociale à l'instant t est :
Cit = h . Sit ( 1 )
h = he + ha ( 2 )
Avec Cit : cotisations se rapportant à l'individu
i au temps t . Sit : salaire brut de l'individu i au temps t .
he : taux de cotisation employeur
ha : taux de cotisation assuré
h : taux de cotisation global
La cotisation totale est :
Nt
Ct = Cit i = 1 ,....., t ( 3 )
I=1
Avec Nt : la population cotisante à l'instant t
.
Remplaçons maintenant Cit par sa valeur dans ( 3 )
, on aura : Nt
Ct = h . Sit i = 1 , ...., t ( 4 )
Nt I=1
On pose St = Sit qui constitue la masse salariale ,
d'ou
I=1
( 4 ) devient :
Ct = h . St ( 5 )
On peut transformer l'équation (5 ) pour
obtenir Ct en fonction de h , du salaire moyen SMt et du nombre de cotisants Nt
comme suit :
Ct = h . St . Nt / Nt
= h . ( St / Nt ) . Nt
St / Nt constitue le salaire moyen SMt au temps t
.
D'ou Ct = h . SMt . Nt ( 6 )
A partir de ce modèle , on peut en déduire
facilement les projections des cotisations .
Supposons que le nombre de cotisants et le salaire
moyen
évoluent respectivement avec un taux d'accroissement annuel
moyen
respectivement de a1 et de b1 .
On utilise le schéma suivant pour décrire
cette évolution : t
Nt = No . ( 1 + a1 ) ( 7 )
t
SMt = SMo . ( 1 + b1 ) ( 8 )
De ce fait l'équation ( 6 ) devient :
t t
Ct = h . No . SMo . ( 1 + a1 ) . ( 1 + b1 )
t
Ct = h . No . SMo . [ ( 1 + a1 ) . ( 1 +
b1 ) ] ( 9 )
On peut simplifier cette relation à partir des
transformations logarithmiques et exponentielles comme suit :
Log Ct = Log h + Log No + Log SMo + t . Log
[( 1 + a1 ) . ( 1+ b1) ] ( 10 ) Si h , No ,
SMo , a1 et b1 sont des constantes , on peut considérer
que x1 = Log h + Log No + Log SMo et
y1 = Log [ ( 1 + a1 ) ( 1 + b1 )
] = Log ( 1 + a1 ) + Log ( 1 + b1 ) sont aussi des constantes
.
Alors ( 10 ) devient :
Log Ct = x1 + t . y1 ( 11 )
Une transformation exponentielle adéquate de ( 11
) nous montrera Ct en fonction du temps :
Exp ( Log Ct ) = Exp ( x1 + t . y1 )
Ct = Exp ( x1 + t . y1 ) ( 12 )
Donc si on connaît x1 et y1 , on peut
déterminer Ct facilement .
II. LES PRESTATIONS
Pour les prestations , il faut distinguer les variables
explicatives
de chaque régime à part .
En effet chaque régime diffère des autres
compte tenu de ses caractéristiques propres au niveau des
dépenses .
En Tunisie , on peut distinguer quatre régimes
à savoir :
1. régime de vieillesse
2. régime décès
3. régime de maladie
4. régime des allocations familiales
D'une manière générale , les
dépenses d'un régime donné en cas
d'un modèle simplifié sont le produit d'une
valeur moyenne de la prestation par le nombre de bénéficiaires de
cette prestation .
1. Régime de retraite
La valeur de la pension totale PRt à l'instant t
est donnée par la formule suivante :
PRt = PRMt . NRt ( 13 )
Avec PRMt : la pension moyenne au temps t
NRt : effectif des retraités au temps
t
La pension moyenne PRMt est une fonction du salaire moyen
SMt
et du taux moyen de rendement des annuités
liquidables z , soit : PRMt = z . SMt ( 14 )
d'ou PRt = z . SMt . NRt ( 15 )
Si a2 et b2 les taux d'accroissement annuels moyens
respectivement de NRt et SMt ; et si le schéma d'évolution du
salaire moyen et du nombre
des retraités est comme suit :
t
NRt = NRo . ( 1 + a2 ) ( 16 )
t
SMt = SMo . ( 1 + b2 ) (17 )
On aura :
t t
PRt = z . NRo . ( 1 + a2 ) . SMo . ( 1 + b2 )
t
PRt = z . NRo . SMo . [ ( 1 + a2 ) ( 1 +
b2 ) ] ( 18 )
Si on considère que z , NRo , SMo , a2 , et b2
sont des constantes et que : x2 = Log ( z . NRo . SMo ) = Log z + Log NRo + Log
SMo y2 = Log [ ( 1 + a2 ) . ( 1 + b2 ) ]= Log
( 1 + a2 ) + Log ( 1 + b2 )
On obtient après des transformations
logarithmiques et exponentielles : Log PRt = Log ( z . NRo . SMo ) + t . Log
[ ( 1 + a2 ) . ( 1+ b2 ) ] Log PRt = x2 + t .
y2 (19 )
Exp Log PRt = Exp ( x2 + t . y2 )
PRt = Exp ( x2 + t . y2 ) ( 20 )
2.Régime de décès
Le capital décès total PDt est le produit
du capital moyen PDMt par le nombre de décès NDt , soit
:
PDt = PDMt . NDt ( 21 )
Le montant du capital décès moyen PDMt
dépend de plusieurs facteurs dont notamment :
- durée des services rendus ;
- nombre d'enfants à charge ;
- décès en activité ou en retraite
;
- décès naturel ou par accident
;
- gain de l'intéressé au moment du
décès : salaire ou pension .
Le facteur gain moyen GMt est la base du calcul du
capital décès , par contre , les autres facteurs constituent un
coefficient de pondération qu'on note w , d'ou :
PDMt = w . GMt ( 22 )
Le nombre de décès NDt est le produit du
taux de mortalité tm par l'effectif des actifs et des retraités
NARt , soit :
NDt = tm . NARt ( 23 )
Ainsi ( 21 ) devient comte tenu de ( 22 ) et de ( 23 )
:
PDt = w . GMt . tm . NARt
PDt = w . tm . GMt . NARt ( 24 )
Si a3 et b3 sont les taux d'accroissement annuels
moyens
respectivement de NARt et de GMt ; et si on applique le
schéma
d'évolution suivant :
t
NARt = NARo . ( 1 + a3 ) ( 25 )
t
GMt = GMt . ( 1 + b3 ) ( 26 )
La relation ( 24 ) devient :
t
PDt = w . tm . NARo . GMo . [ ( 1 + a3
) . ( 1 + b3 ) ] ( 27 )
On pose : x3 = Log ( w . NARo . GMo . tm )
= Log w + Log NARo + Log GMo + Log tm
y3 = Log [ ( 1 + a3 ).( 1 + b3
)] = Log ( 1 + a3 ) + Log (1 + b3 )
Après des transformations logarithmiques et
exponentielles de ( 27 ) , on aura :
Log PDt =Log( w.tm .NARo . GMo)+ t . Log
[(1+ a3) . (1+b3)] Log PDt = x3 + t . y3 ( 28
)
Exp Log PDt = Exp ( x3 + t . y3 )
PDt = Exp ( x3 + t . y3 ) ( 29 )
3. Régime d'assurance maladie
Les prestations d'assurance maladie dépendent dans
une large mesure de la consommation de soins de santé .
La plus grande partie de la consommation médicale
est liée à
l'évolution des revenus , du nombre des personnes
bénéficiaires et de la structure de la population couverte
.
Le prix joue aussi un rôle important et il pourra
être intégré dans la relation des prestations maladie d'une
manière séparée ou au niveau du coût moyen des
prestations .
D'une manière simplifiée , les prestations
maladie résultent du produit du coût moyen PMMt par le nombre de
bénéficiaires NMt , soit :
PMt = PMMt . NMt ( 30 )
PMMt est une fonction de plusieurs facteurs dont
notamment : - revenu des ménages
- volume de la consommation des
ménages
- niveau général des prix
- progrès technique
- offre de soins
- structure des assurés : nombre d'enfants,
situation familiale - état de santé de la
population couverte
Si on considère que le coût moyen PMMt est
proportionnel au revenu des ménages , on aura :
PMMt = v . RMt ( 31 )
Avec v : coefficient de pondération
RMt : revenu moyen
De ce fait :
PMt = v . RMt . NMt ( 32 )
Si a4 et b4 sont les taux d'accroissement annuels
moyens
respectivement de NMt et de RMt on aura :
t
NMt = NMo . ( 1 + a4 )
t
RMt = RMo . ( 1 + b4 )
Ainsi ( 32 ) devient :
t
PMt = v . RMo . NMo [ ( 1 + a4 ) . ( 1 +
b4 ) ] ( 33 )
Après les transformations logarithmiques et
exponentielles on obtiendra : Log PMt = Log ( v . RMo . NMo ) + t . Log
[ ( 1 + a4 ) . ( 1 + b4 ) ] Si on pose
:
x4 = Log (v . RMo . NMo ) = Log v + Log RMo + Log
NMo
y4 = Log [ (1+a4). (1+b4)
] = Log ( 1 + a4 ) + Log ( 1 + b4 ) On aura :
Log PMt = x4 + t . y4 ( 34 )
Exp Log PMt = Exp ( x4 + t . y4 )
PMt = Exp ( x4 + t . y4 ) ( 35 )
2. Les prestations familiales
Les prestations familiales résultent du produit de
la valeur moyenne de la prestation par le nombre de bénéficiaires
, soit :
PFt = PFMt . NFt ( 36 )
Avec :
PFMt : prestation familiale moyenne
NFt : nombre de bénéficiaires
La prestation familiale moyenne dépend
essentiellement du nombre d'enfants à charge NEt , d'ou on peut
écrire l'équation ( 36 ) comme suit : PFt = PMEt . NEt ( 37
)
Avec :
PMEt : prestation moyenne par enfant à
charge
Le nombre d'enfants à charge NEt dépend du
taux de natalité tn de la population cotisante à la
sécurité sociale , d'ou :
NEt = tn . NARt ( 38 )
De ce fait :
PFt = PMEt . tn . NARt ( 39 )
Si on suit le schéma d'évolution suivant
:
t
NARt = NARo . ( 1 + a5 ) ( 40 )
t
PMEt = PMEo . ( 1 + b5 ) ( 41 )
Avec :
a5 et b5 les taux d'accroissement annuels moyens
respectivement de NARt et de PMEt .
L'équation ( 39 ) sera alors :
t
PFt = tn . NARo . PMEo . [ ( 1 + a5 ) .
( 1 + b5 ) ] ( 42 )
Log PFt = Log ( tn . NARo . PMEo ) + t . Log
[ (1+a5 ) . ( 1 + b5 ) ] Si on pose
:
x5 = Log ( tn . NARo . PMEo ) = Log tn + Log NARo +Log
PMEo
y5 = Log [ ( 1 + a5 ) . ( 1 + b5 )
] = Log ( 1 + a5 ) + Log ( 1 + b5 ) Après des
transformations logarithmiques et exponentielles on aura :
Log PFt = x5 + t . y5 ( 43 )
Exp Log PFt = Exp ( x5 + t . y5 )
PFt = Exp ( x5 + t . y5 ) ( 44 )
III. UTILITE DU MODELE
Le modèle ainsi construit pourra être
utilisé pour faire certaines applications :
- projection des recettes et des dépenses des
différents régimes de la sécurité sociale compte
tenu des hypothèses sur l'accroissement dont dépendent les
cotisations et les prestations comme les salaires , le taux de natalité
, le taux de mortalité , le nombre de
cotisants , le nombre de bénéficiaires des
prestations , le niveau général des prix , etc.
- détermination du taux de cotisation
d'équilibre pour chaque régime à part ou taux
d'équilibre global .
-étude de simulation : c'est le cas de tester
l'effet du changement au niveau de la législation , de mesurer l'impact
d'une politique économique donnée ou encore d'apprécier
l'effet de la variation des paramètres démographiques
.
Le modèle s'adapte facilement à la
programmation informatique
par ses relations linéaires .
IV. EXEMPLES D'APPLICATIONS :
1. Recherche du taux d'équilibre de
cotisation
On considère le régime de retraite dont les
recettes et les dépenses sont décrites par les équations (
6 ) et ( 15 ) comme suit :
Ct = h . SMt . Nt ( 6 )
PRt = z . SMt . NRt ( 15 )
A l'équilibre , on a Recettes = Dépenses ,
ce qui donne : h . SMt . NRt = z . SMt . NRt
D'ou h = z . NRt / Nt : taux de cotisation
d'équilibre au temps t
du régime de retraite .
Avec :
NRt : nombre des retraités ou des
pensionnés
Nt : nombre des cotisants au régime de
retraite
z : taux moyen de rendement des annuités
liquidables
On peut déterminer le taux de cotisation h en
fonction du temps
en utilisant les relations ( 9 ) et ( 18 ) :
t t
Ct = h . No . SMo . ( 1 + a1 ) . ( 1 + b1 ) ( 9
)
t t
PRt = z . NRo . SMo . ( 1 + a2 ) . ( 1 + b1 ) (18
)
Le salaire dans les deux relations évolue
suivant le même taux b1 .
A L'équilibre : Ct = PRt , on aura :
t t
h = [ z . NRo . ( 1 + a2 )
] / [ No . ( 1 + a1 ) ]
Donc , pour un temps t donné , on
détermine aisément le taux de cotisation d'équilibre h
puisque tous les autres paramètres ( z , NRo , No , a1 et a2 ) sont
connus .
3. Etudes de simulation
a. cas d'une augmentation du salaire moyen ( le double )
SMt* = 2 . SMt
Dans ce cas les recettes et les dépenses seront
:
Ct* = h . SMt* . Nt ( 6 )
PRt* = z . SMt* . NRt ( 15 )
D'ou :
Ct* = 2 . h . SMt . Nt
PRt* = 2 . z . SMt . NRt
A L'équilibre h = z . NRt / Nt
Les recettes et les dépenses sont proportionnelles
au même variable
salaire . Donc le taux de cotisation d'équilibre
ne sera pas affecté à la suite de ce changement .
b. cas d'une augmentation du taux de rendement des
annuités liquidables soit z' > z ;
Les dépenses seront PR't = z' . SMt . NRt
.
Les recettes ne seront pas affectées car elles
sont indépendantes de z . A l'équilibre on a :
h' = z' . NRt / Nt
Puisque NRt et Nt sont restées inchangées
alors que seulement le paramètre z a connu une hausse . On a alors h'
> h .
Donc , un taux de rendement supérieur
nécessite , si toutes choses égales par ailleurs , une
augmentation du taux de cotisation sinon le régime sera sans doute
déficitaire .
V-REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES :
1-CHADELET J.P, (1985)- ? Techniques appliquées
lors de l'établissement à court et moyen terme des recettes et
des dépenses de la sécurité sociale ?. Rapport de
l'Association Internationale de la Sécurité Sociale.
2-HARDEN S.D, (1976)-?Etudes de simulation ?, Etudes et
recherches n° 8, Association Internationale de la Sécurité
Sociale.
3-KASMI M.S , (1989)-La sécurité sociale en
Tunisie, Ed.C.L.E. Tunis. 4-M'BAREK E. , (1990)- La sécurité
sociale en Tunisie : Effets économiques et niveau optimal, Memoire de
DEA , Faculté des sciences économiques et de gestion de
Tunis.
5-MICHEL C., (1969)-?La consommation de soins de
médicaux en France?.Note et études documentaires, mois
d'avril.
6-STEWART C.M., (1985)-?Politiques actuelles et
méthodes d'ajustement des prestations de longue durée?. Rapport
de l'Association Internationale de la Sécurité
Sociale.
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