implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation de la matrice variance covariance basée sur le modèle GARCH multivarié, simulation par backtesting de stratégies d'investissement.

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté des mathématiques
Département de probabilités et statistique

Thème

Implémentation d'une nouvelle méthode d'estimation

de la matrice VAR-COV basée sur le modèle GARCH

multivarié.

Simulation par Backtesting de stratégies

d'investissements.

Réalisé par :

Mr: M. Al lamine Ahmat Alhabo Mr: Khaled Layaida

Promotrice : Proposé par:

Mme H. Guerbyenne Mr Y. Vernaz

Devant le jury :

Mme. DJ. SEDDIKI Présidente de jury

Mme H. GUERBYENNE Promotrice

tièes

Mr. A.AKNOUCHE Examinateur

Mr. F . HAMDI Examinateur

Mr. H.BELBACHIR Examinateur

Promotion 2007/2008

Remerciements

Louange à ALLAH, le miséricordieux, sans Lui rien de tout cela n'aurait pu être.
Nous remerciement ALLAH qui nous a orienté au chemin du savoir et les portes de la
science. Nous tenons à remercier vivement tous ceux qui nous ont aidés de prés ou de loin à
l'élaboration de ce mémoire ; on pense particulièrement à :













Notre promotrice Mme Guerbyenne qui nous a beaucoup guidé avec ses précieux conseils et orientations, et qui a donné tout son temps pour réaliser ce mémoire.

Notre encadreur Mr Yann Vernaz qui nous a beaucoup aidé avec ses conseils et orientations précieuses.

A notre jury Mr F.Hamdi, Mr H.Belbachir, Mr M.Aknouche, et Mme la présidente D.Seddiki.

Mr H.Benbouteldja et Mr N.Layaida qui nous ont beaucoup aidés pour la réalisation de ce mémoire.

Nos enseignants Mme H. Guerbyenne, Mme O.Sadki, Mme K.Djaballah, Mr Assem, Mr et Mme Yahi, Mme Djemai, Mr A.Rebbouh, Mr

M. Tatachak, Mr Astouati, Mr M. Djeddour, Mr M.El Bahi, Mme H.Saggou, Mme Madani et à tous les autres enseignants du département de Probabilités et Statistique.

Nous remercions également nos familles respectives qui nous ont aidés, encouragés et soutenus dans les moments difficiles tout au long de la préparation de cette thèse.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 6

PERTINENCE DU SUJET 7

LA SOCIETE RAISEPARTNER 8

Chapitre 1: Processus aléatoires

I. PROCESSUS ALEATOIRES STATIONNAIRES ET PROCESSUS ARMA 10

I.1 DEFINITION D'UN PROCESSUS STOCHASTIQUES 11

I.2 PROCESSUS STATIONNAIRES 11

PROCESSUS BRUIT BLANC 13

I.2.2 Fonction d 'autocovariance 14

I.2.3 Fonction d 'autocorrélation 15

I.2.4 Fonction d 'autocorrélation partielle 16

I.2.5 Opérateurs 17

I.3 TOPOLOGIE DES MODELES ARMA 18

I.3.1 Processus autorégressif d'ordre p AR (p) 18

I.3.2 Processus moyenne mobile d'ordre q (Moving Average) MA (q) 19

I.3.3 Processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p, q) ARMA (p, q) 20

II. PROCESSUS ALEATOIRE NON STATIONNAIRE 21

II.1 COMPOSANTES DES SERIES TEMPORELLES 22

II.2 METHODE GRAPHIQUE 22

II.3 METHODES ANALYTIQUES 23

II.3.1 Analyse de la tendance 23

V. Analyse de la saisonnalité 26

III. EXTENSION DES MODELES ARMA 28

AUX METHODES EXPOSEES CI-DESSUS (POUR RENDRE LA SERIE STATIONNAIRE). 28

III.1 PROCESSUS AUTOREGRESSIF MOYENNE MOBILE INTEGRE D'ORDRE (P,D,Q) 29

III.2 PROCESSUS AUTOREGRESSIF MOYENNE MOBILE INTEGRE SAISONNIER 29

III.3 MODELES SAISONNIERS MIXTES SARIMA 29

III.4 MODELES SAISONNIERS PURS (SARMA) 30

Chapitre2: La méthodologie de Box et Jenkins

I. INTRODUCTION 31

II. DEMARCHE DE LA METHODE DE BOX ET JENKINS 32

II.1. ANALYSE PRELIMINAIRE 32

II.3. L'IDENTIFICATION DU MODELE ADEQUAT 32

II.3 ESTIMATION DES PARAMETRES DU MODELE 33

II.4 VALIDATION 33

II.4.1 Tests concernant les paramètres 34

II.4.2 Tests sur les résidus 34

II.4.3 Choix du Meilleur Modèle 40

II.5 PREVISION 42

Application de la méthodologie de Box et Jenkins

MODELISATION DE LA SERIE SPY 45

MODELISATION DE LA SERIE IEV 62

MODELISATION DE LA SERIE QQQQ 77

MODELISATION DE LA SERIE GLD 88

Chapitre 3: Lissage exponentiel

I INTRODUCTION 101

II PRINCIPE DE BASE 101

III DESCRIPTION DE LA METHODE 101

IV LISSAGE EXPONENTIEL SIMPLE 102

V CHOIX DU COEFFICIENT DE LISSAGE 104

VI LISSAGE EXPONENTIEL DOUBLE 105

VII METHODE DE HOLT-WINTERS 105

Application lissage exponentiel

ETUDE DE LA SERIE QQQQ 107

ETUDE DE LA SERIE IEV 109

ETUDE DE LA SERIE GLD 111

ETUDE DE LA SERIE SPY 113

COMPARAISON DES METHODES : 115

Chapitre4 :Les Modèles Hétéroscédastiques Univariés

INTRODUCTION 117

I. DIVERSES MODELISATIONS 117

I.1 MODELE ARCH (Q) 117

I.2 MODELE GARCH (P, Q)( BOLLERSLEV [1986 ]) 118

II. ESTIMATION, PREVISION [CHRISTIAN GOURIEROUX] 122

II.1 ESTIMATION 122

II.1.1 Estimation par le pseudo maximum de vraisemblance (PMV) 122

II.2 PREVISION 124

II.2.1 Forme des intervalles de prévision 124

III. EXTENSIONS DES MODELES ARCH / GARCH LINEAIRES ET NON LINEAIRES 126

III.1 MODELE IGARCH 126

III.2 MODELE GARCH-M 127

III.3 MODELE EGARCH 128

III.5 MODELE TGARCH 131

IV SERIES DE RENDEMENTS 132

Application des séries de rendements

ANALYSE ET ESTIMATION DES SERIES DE RENDEMENTS 135

Chapitre5 :Les Modèles Hétéroscédastiques Multivariés

I. INTRODUCTION 142

II. MODELE VEC 142

III. MODELE BEKK 145

IV. MODELE CCC 146

ESTIMATION DE LA MATRICE DE CORRELATION 147

IV.1 TEST DE CONSTANCE DE CORRELATION 147

V. MODELE DCC (DYNAMIC CONDITIONAL CORRELATION) 149

V.1 ESTIMATION DES PARAMETRES 151

IV.2 ESTIMATION DE LA CORRELATION CONDITIONNELLE 152

V.2 PROPRIETES ASYMPTOTIQUES DE LA METHODE DU PMV 153

V. APPROCHE THEORIQUE DE LA GESTION DE PORTEFEUILLE : 154

V.2 DEFINITION D'UN PORTEFEUILLE 155

RENDEMENTS D'UN PORTEFEUILLE : 156

RISQUE D'UN PORTEFEUILLE ET ATTITUDE DE L'INVESTISSEUR : 156

1. Mesure de risque : 156

2. Risque d'un portefeuille : 157

APPLICATION DE LA METHODE MULTIVARIEE 162

SIMULATION PAR BACKTESTING DE STRATEGIES D'INVESTISSEMENTS 172

CONCLUSION GENERALE 193

ANNEXE A : SYMBOLES ET TABLEAU 196

ANNEXE B : ALGORITHMES 199

BIBLIOGRAPHIE 211

A. OUVRAGES 211

B. MEMOIRES 213

C. INTERNET 214

Introduction

Les cours des actifs financiers ont subi, au cours de ces dernières années, de très fortes fluctuations. Ces mouvements spectaculaires ont ravivé l'intérêt porté à la question de la volatilité des marchés financiers par les cercles académiques, comme par les praticiens et les autorités de régulation et de contrôle. L'analyse de ces phénomènes est d'autant plus justifiée que les chocs boursiers ne sont pas sans conséquences en termes de stabilité financière et qu'ils peuvent s'accompagner de répercussions sur la sphère réelle.

Cependant la classe des modèles ARCH et GARCH constitue une réponse appropriée pour prendre en compte les spécificités de la volatilité qui ne peuvent pas être prises en compte par les méthodes «traditionnelles». Initialement, ce type de modèles est développé dans un cadre univarié. De fait, il laisse une large place à l'aspect descriptif plutôt qu'explicatif. L'extension de cette classe de modèles à un cadre multivarié a permis de remédier aux critiques des modèles univariés qui se révélaient insuffisants pour justifier la composition du portefeuille. En effet, la théorie financière postule que les covariances entre les actifs jouent un rôle déterminant dans la prise de décision des investisseurs dans leurs stratégies de placement. Or, les modèles univariés négligent cet aspect, qui demeure essentiel dans le choix du portefeuille. On remarque, cependant, que le développement des modèles ARCH et GARCH multivariés conduit à une inflation des paramètres à estimer. Ils sont donc devenus difficilement exploitables, si aucune contrainte supplémentaire n'est imposée. Ainsi, différentes méthodes de paramétrisation furent développées dont deux ont connu plus de succès que les autres. Il s'agit des méthodes proposées par Bollerslev (1990) et par Engle (2002).

Bollerslev (1990) a suggéré d'adopter des modèles où les corrélations conditionnelles entre les perturbations sont constantes dans le temps (Constant conditional correlation). L'intérêt de cette hypothèse est qu'elle réduit considérablement le nombre de paramètres à estimer dans la classe des modèles ARCH et GARCH multivariés. Quant à Engle (2002), il a conçu une nouvelle approche (Dynamic conditional correlation), en deux étapes, selon laquelle les corrélations sont dynamiques. Cette nouvelle classe de modèles GARCH multivariés se distingue par sa simplicité dans le sens où des spécifications GARCH univariées sont estimées pour chaque série séparément. Et les corrélations dynamiques sont estimées, dans une seconde étape, à partir des résidus standardisés issus de la première étape.

Les méthodologies adoptées sont celles des corrélations conditionnelles Constantes CCCGARCH, de Bollerslev et des corrélations conditionnelles dynamiques, conçue par Engle. Le principal avantage de l'utilisation des modèles DCC-GARCH tient au fait que la détection de

plausibles changements des liens entre les variables demeure sous-jacente aux données utilisées.

Pertinence du sujet

La modélisation de la covariance est un thème central en finance ainsi que dans de nombreux domaines. Plusieurs utilisations sont possibles en biologie, économie, et en écologie, puisque la modélisation de la dépendance entre différentes variables est primordiale pour mieux comprendre l'impact de la modification d'une de ces variables sur un système donné.

Dans ce mémoire, nous nous intéressons à l'utilisation financière de la matrice de covariance. La gestion des risques d'un portefeuille d'actifs requiert une juste mesure de la matrice de variance covariance.

Donc la problématique du stage se situe dans le cadre de la gestion de portefeuilles financiers qui consiste à allouer des fonds sur différentes catégories d'actifs financiers. Ces actifs peuvent être des actions de sociétés cotées en bourse, des matières premières (or, pétrole, produits agricoles,...) ou encore des bons du trésor d'états. Cette allocation a pour but de chercher à obtenir un rendement, c'est-à-dire des gains, de ces fonds en les plaçant de manière appropriée sur des catégories d'actifs bien choisis.

La théorie moderne de la gestion de portefeuilles est une théorie financière développée en 1952 par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Dans ce modèle, le rendement d'un actif est une variable aléatoire et un portefeuille est une combinaison linéaire pondérée d'actifs. Par conséquent, le rendement d'un portefeuille est également une variable aléatoire et possède une espérance et une variance.

L'optimisation du portefeuille est aujourd'hui une composante importante de la finance quantitative moderne. Les méthodes d'optimisation existantes permettent de résoudre la plupart des problèmes posés par les praticiens de l'investissement.

Deux paramètres jouent un rôle fondamental dans la qualité des résultats obtenus : les rendements anticipés et la matrice de variance covariance.

Pour estimer la matrice de variance-covariance le modèle GARCH multivarié s'avère être actuellement le plus efficace pour prendre en compte la dynamique des interdépendances. Cependant l'estimation de ces matrices reste un problème difficile car très instable ce qui a comme conséquence une dégradation des résultats de l'optimisation (forte variabilité des portefeuilles obtenus). Ce stage se propose de mettre en place une procédure d'estimation robuste de ces matrices de variance-covariance et de tester son efficacité sur des cas pratiques.



La société RaisePartner

Présentation

La société RaisePartner¹, a été fondée en juillet 2001. Comme son nom l'indique², RaisePartner

a comme coeur de métier la fourniture à ses clients (des gestionnaires de portefeuilles) d'outils d'optimisation visant à accroître leur performance. A ces outils, RaisePartner propose d'adjoindre des services adaptés aux clients.

Juridiquement, RaisePartner est une SAS³. Un des intérêts de ce statut juridique est de permettre aux dirigeants de bénéficier du régime de protection des salariés. Elle se compose de seize personnes⁴, réparties en quatre équipes (comme mentionné sur la figure 1). Si le siège social, ainsi que l'équipe de R&D, se situent à Grenoble, les équipes de consultants et de commerciaux se trouvent à Paris et New York. Enfin, elle projette d'élargir son marché au Moyen-Orient en créant une antenne à Dubaï en 2008.

Actuellement, RaisePartner a comme clients réguliers les branches Assets Managements de grandes banques aussi bien que des hedge funds.

Ses solutions

Voici les principaux produits que propose la société à ses clients.









Figure -1- Organigramme de la société RaisePartner.

¹http :// www.raisepartner.com

²RaisePartner vient de l'anglais to raise augmenter, et partner partenaire.

³Société par Actions Simplifiées : forme de société commerciale créée en 1994, qui tient à la fois de la société anonyme et de la société à responsabilité limitée.

⁴Un «business angel» aide de plus au financement de la société.

La librairie NORM Asset Management

NORM (pour Numerical Optimization for Risk management) est une librairie de finance. Elle permet d'optimiser des portefeuilles de façon robuste, en tenant compte de multiples contraintes.



Elle se compose de quatre modules :

1. Analyse du risque et de la performance (Performance & risk analysis).

2. Optimisation robuste de portefeuille (Robust asset allocation).

3. Corrélation et agrégation de risque (Correlation & risk aggregation).



RP Quant Advisory

A cette librairie, des services appelés RP Quant Advisory sont adjoints : c'est la branche consulting de la société qui s'en

charge. Il s'agit d'accompagner les utilisateurs dans leur création de stratégie d'investissement en les aidant à se servir de NORM, et de leur fournir une analyse de leurs univers d'investissement.

PRISM



Prism est l'acronyme de Platform of Risk and Investment Strategy Management. Il s'agit d'un futur produit développé au sein de l'équipe R&D de RaisePartner. Cette plateforme de services Web utilise la librairie de mathématique financière NORM As set Management permettant d'effectuer de l'analyse

de performance et de risque, ainsi que l'optimisation et de l'évaluation de prix. Ce nouveau produit clef en main propose ainsi aux clients un panel de services liés à la gestion, à l'analyse et à l'optimisation de portefeuille.

Cette plateforme est développée avec la technologie J2EE⁵, Le développement de PRISM étant dans la phase de développement, sa commercialisation est prévue pour 2008.

⁵ JAVA 2 Entreprise Edition : outils permettant le développement d'une plateforme web à partir du langage JAVA.

I. Processus Aléatoires Stationnaires et Processus ARMA

Introduction

La statistique se préoccupe de porter des jugements sur une population à partir de l'observation d'un échantillon de cette population. La plupart du temps l'ordre dans lequel sont échantillonnées les observations n'a pas d'importance. L'exemple le plus simple que l'on puisse prendre est celui des sondages d'opinions.

L'analyse des séries temporelles est très différente de l'analyse statistique habituelle car l'ordre des observations revêt une importance primordiale. Une série temporelle est définie comme une suite d'observations indexées par le temps. On peut prendre comme exemple en économie ou en finance une série : de prix, de taux d'intérêt, etc. Mais on peut trouver bien d'autres exemples dans les autres disciplines. Les séries temporelles peuvent être observées de manière continue ou discrète. Dans ce mémoire, on ne considère que des séries discrètes observées à intervalles réguliers. Certaines séries peuvent être observées à tout moment, même si on choisit de ne les observer qu'à certains moments. Par exemple les prix, les taux d'intérêt, . . . Ce sont des flux. Par contre d'autres séries sont définies comme des accumulations de valeurs et doivent être observées à intervalles fixes. Ce sont des stocks. Essayez de comprendre la différence entre une observation trimestrielle du PIB et une observation annuelle de celui-ci. La différence entre ces deux types de séries peut être importante quand il s'agira de les modéliser. On a le sentiment en observant un graphique de ces séries que la valeur prise au temps t dépend fortement de la valeur prise au temps t -1. Le processus qui les engendre est dynamique. Le problème est alors de trouver le modèle pratique qui approchera le plus possible le processus théorique et ensuite de l'estimer.

Une fois cette étape franchie, on pourra faire de la prévision ou du contrôle avec ce modèle. Les types de modèles que l'on peut considérer sont nombreux. En statistique on va s'intéresser à modéliser une série univariée par exemple au moyen d'un modèle ARMA, ou bien considérer plusieurs séries à la fois et les modéliser conjointement dans un modèle multivarié ou modèle VAR.

La modélisation statistique usuelle suppose que les séries sont stationnaires. Cependant la plupart des séries que l'on traite sont non stationnaires, c'est à dire par exemple qu'elles croissent dans le temps. Il est en général toujours possible de trouver une transformation ou

un filtre qui puisse rendre stationnaire les séries non stationnaires. Mais la détermination exacte de ce filtre n'est pas triviale. Le but est de prendre en compte la nature non- stationnaire des données économiques ou financières en montrant les problèmes que cela pose. C'est toute la question des racines unitaires et de la cointégration. Dans ce chapitre on présente le cas univarié, certains outils mathématiques et modèles simples employés par la statistique des séries temporelles.

La branche de la statistique mathématique qui s'intéresse aux séries temporelles a développé plusieurs modèles de représentation, dont nous allons brièvement rappeler les plus simples. Il s'agira de préciser quelques notions sur les modèles AR, MA, ARMA et quelques outils mathématiques qui leurs sont reliés.

I.1 Définition d'un Processus stochastique

Un processus stochastique est une suite de variables aléatoires réelles indexées par le temps

{X _t , tE cents ?

Ici t appartient à un espace discret, ce qui définit un processus en temps discret. Un processus stochastique est donc une famille de variables aléatoires { X _t , t E cents } c'est à dire de

fonctions mesurables de l'espace S des échantillons à valeurs dans . Pour chaque point s de l'espace des échantillons S, la fonction qui à t associe X _t (s) est appelée la trajectoire du

processus. Les observations successives forment l'histoire (information) du processus.

I.2 Processus stationnaires

La notion de stationnarité joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, et particulièrement en analyse des séries chronologiques. Dans plusieurs problèmes du monde réel, on rencontre des processus aléatoires qui évoluent dans un état d'équilibre statistique, dans le sens où les propriétés probabilistes et statistiques des processus ne changent pas dans le temps, de tels processus sont dits stationnaires.

On commence par donner la définition d'un processus stationnaire au sens strict, et ensuite celle de la stationnarité du second ordre.

· Processus strictement stationnaire (stationnarité forte) :

Grossièrement, un processus aléatoire est dit strictement stationnaire si sa loi de probabilité est invariante par translation dans le temps. Mathématiquement, le concept de stationnarité stricte est donné par la définition suivante:

Définition :

Un processus stochastique {X_t,te Z} est dit strictement (ou fortement) stationnaire si pour

tout ne *, et pour tout n-uples ( t₁ , ..., t_n)e Z ⁿ , la distribution de probabilité conjointe du vecteur(Xt1+h,...,Xt_n+h) est la même que celle de ( Xt1 ,..., X_tn ),Vhe Z . Autrement dit, si on a : P(Xt1 x₁,...,X_4, xn)=P(Xt1+h x1,...,Xtn+h x_n),V(x1,...,x_n)e Rⁿ,Vhe Z

On note que toutes les caractéristiques (c'est à dire tous les moments) d'un processus strictement stationnaire si elles existent sont invariantes dans le temps. Cette définition de la stationnarité est, cependant, trop forte et très exigeante et repose sur la connaissance de la loi conjointe du processus qui ne peut être connue en pratique, sauf dans des cas très spéciaux. Toutefois, plusieurs propriétés essentielles des processus aléatoires peuvent être obtenus à partir des moments du premier et du second ordre.

La stationnarité de ces deux moments peut donc être suffisante pour expliquer la stationnarité du processus. Pour cette raison, on a besoin d'un concept de stationnarité moins fort et qui peut être rencontré dans la pratique.

· Processus faiblement stationnaire (du second ordre) :

Considérons un processus stochastique de second d'ordre{ X_t,te Z} .

Définition Un processus est stationnaire au second ordre si: E(X_t ) = E(X_t+h ) = it (de moyenne constante).

Vte Z, E(X_t²)< oo

cov(Xt,Xt+h )= EL(Xt-- _{pt)(Xt+h--pt+h)1=} y(h )

La fonction y(h) est dite fonction d'autocovariance du processus. Remarques

-- 1. La fonction d'autocovariance d'un processus faiblement stationnaire dépend seulement de la différence des instants.

-- 2. Dans la classe des processus du second ordre, il est clair que la stationnarité stricte implique la stationnarité faible (la réciproque n'est pas vraie, sauf pour les processus dits Gaussiens).

Un processus{ X_t , t Z} est dit Gaussien si toute sous-famille finie du processus constitue un vecteur Gaussien. Autrement dit, pour tout ( )

n E N t t _n E Z , le vecteur( X t 1 ,..., X t n )

* , ₁ ,..., n

est Gaussien.

Théorème de Wold

Un processus stochastique non paramétrique se définit à partir de la distribution conjointe des observations ou de ses premiers moments. Un processus stochastique paramétrique se définit au contraire à partir d'un mécanisme de génération qui est indexé par des paramètres.Il est possible de caractériser ce mécanisme de manière très générale au moyen du théorème de Wold (1954). Ce théorème montre que tout processus stationnaire peut être représenté de manière unique par la somme de deux composantes indépendantes, une composante régulière parfaitement prévisible parfois appelée déterministe et une composante stochastique.

Théorème 1 Soit un processus stationnaire? t ) t

y . Il est toujours possible de trouver une

composante régulière d_t et une composante stochastique z _t telle que:

yd z

t t t

= +

? z b ? t i t i = ? ? i o =

Où ? ?t , tE cents}un bruit blanc.

Ce théorème est à la base de la modélisation des séries temporelles stationnaires. La composante stochastique est exprimée sous la forme de ce que l'on appelle un processus moyenne mobile infini. Un des buts de la modélisation consiste à approximer cette moyenne mobile infinie par un processus ayant un nombre fini de paramètres. C'est ce que l'on verra en étudiant les processus AR, MA et ARMA.


· Processus bruit blanc (White noise)

Plus simple processus stationnaire en analyse des séries temporelles est appelé : processus bruit blanc 6 { c_t , tE Z } qui est une séquence de variables aléatoires non corrélées de

moyenne nulle et de variance constantea? ² .

6 Ce terme de la physique, faisant référence au spectre de la lumière blanche.

Le fait que les variables aléatoires ( _t ) t

c soient mutuellement non corrélées (hypothèse d'orthogonalité), nous permet de donner la fonction d'autocovariance de ce processus par:

r

² 0

y C

si h

( ) cov( , ) ( )

h E C

®~

C C + C C +

t t h t t h ~ 0 sinon.

Par conséquent, la fonction d'autocorrélation est donnée par :

PC	r 1 0 si h ( ) h ®~ ~ z 0 0 si h

I.2.2 Fonction d'autocovariance

La suite de toutes les autocovariances d'une série contient toutes les informations sur la mémoire de cette série. On l'estime au moyen de :

t 1

y à( )

h

T h

-

~

( )( )

X X X X

t t h

- -

-

1

T

Avec

1 ^T

X X

~

t

T

t 1

On utilise T observations pour calculer la moyenne et la variance, alors que pour calculer y(h) on utilise seulement T - h observations. Donc quand h --* T, l'estimateur de y(h) tend

vers zéro si le processus est stationnaire en covariance. Si cette condition de stationnarité est vérifiée, alors l'estimateur yà(h) est un estimateur consistent de y(h).

Propriétés

a) La fonction d'autocovariance y(h) satisfait la propriété suivante : y(-h)=y(h) VhE Z; (fonction paire).

Donc on peut, dans la pratique, se restreindre aux autocovariances aux retards positifs, c'està-dire que l'on peut, sans perte de généralité, prendre h E .

b) On peut facilement, en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwartz, vérifier la propriété suivante :

y (h) ~y(0)=Var(X _t ) Vt,hEZ.

I.2.3 Fonction d'autocorrélation

La fonction d'autocorrélation de retard h : p (h) ; Vh E Z, d'un processus du second ordre, faiblement stationnaire de moyenne p = E(X t ) et de variance Var(X _t ) = y(0); notée p(h) est définie par :

( , ) ( )

Cov X X h

h y

= = Vh E Z

t t h

-

p ( )

O O y (0)

X X

t t h

-

Il est facile de vérifier que la fonction d'autocorrélation satisfait les deux propriétés suivantes, qui découlent directement des deux propriétés a) et b) de la fonction d'autocovariance. Propriétés

1) p(-h)=p(h) ; VhE Z..

Donc on peut dans la pratique se restreindre aux autocorrélations pour h =0: p(0) =1 VhE Z.

2)

p

(h)

~1;VhE Z.

? Autocorrélation empirique

L'estimateur de la fonction d'autocorrélation, pà(h) est obtenu en remplaçant, dans l'expression de p (h), y (0) et y (h) par leurs estimateurs yà(0) etyà(h) , respectivement. En effet, on a :

à ( ) ( )

p

h y à h

= VhEZ.

( )

y à 0

Ce qui peut s'écrire, en tenant compte de la définition de l'estimateur empirique de la fonction d'autocovariance, sous la forme explicite suivante :



=

T T h

-

y $( )

h

p u( )

h = y $( )

0

( )( )

X X X X

t t h

- -

-

?

T

? ( )

X X

t -

2

Vh

cents

E

,

t

t h
-

1

t = 1

Fonction d' autocorrélation partielle

Elle mesure la corrélation entre X _t et X_t-h , l'influence des variables Xt-h+ i , ayant été retirée. Soit la matrice des corrélations symétriques formées des (h-1) premières autocorrélations.

1

. P h

-

P1

.

hE .

P h

=

1 1

?

. P h 2

- ?

1 ]

P1

1

1

.

P P

h 1 h 2

- -

P h *

P hh = P h

La fonction d'autocorrélation partielle est donnée par :

La fonction P h * est le déterminant de la matrice P h * obtenue à partir de P _h , en

remplaçant la dernière colonne de celle-ci par le vecteur (P₁,.. .,P_h) ainsi :

_P*

h

? 1 ...

P P ?

1 1

? ?

P P

1 ...

? 1 2 ?

? . ?

? ?

.

? ?

? ?

? ?

? ?

? P P

...

h - 1 h ?

On peut se passer de ce calcul matriciel qui n'est souvent pas facile à faire ; pour cela on a recours à une écriture récurrente de Pii tel que :

? P si i = 1

1

? i - 1

? P P P

i i j i j

- ? - -

1 ,

Pii

= ? j = 1

i 1

i h

= 2 , ,

?

1

P P

i j j

- 1 ,

? - ?

j

? ? = 1

Avec P _ij P i j P _ii P i i j j i

= - - - - = -

1 , 1 , , 1, . . . , 1 et i = 2,..., h .

Cet algorithme résolvant les équations de Yule-Walker de manière récursive est appelé algorithme de Durbin (1960).

Remarques

1. La représentation graphique de p (h) est appelée : corrélogramme.

2. Si p(h) décroît rapidement quand le nombre de retard augmente, cela signifie que la série est stationnaire, sinon elle est sans doute non stationnaire ou de mémoire longue.

I.2.5 Opérateurs

· Opérateurs retard (Backward)

L'opérateur retard est un opérateur linéaire noté B, tel que : BX t = X t -1.

· Opérateurs avance (Forward) Par analogie, l'opérateur d'avance, noté F est tel que : F X t = X t ? 1.

Propriétés

1- Ces opérateurs sont inversibles tels que : -1 -1

F = B et B= F.

2- -

B X t = X _{t n}et FX t = X t ? n

n n

n n

3- () a B ^i i

X a X _ = Cette égalité décrit l'action sur le processus { Xt , t Ecents } d'un t i t i

i i

= =

1 1

polynôme en B, on peut évidemment déduire celui en F.

4- Ces opérateurs ont des propriétés qui permettent de les manipuler comme des séries entières habituelles, en particulier, on peut les sommer ou les composer entre eux.

? Opérateur de différence ordinaire

On note V opérateur de différence ordinaire associé à un processus { X_t , tE cents } tel que :

VX = X X = B X t
t t - t -1 (1 - ) .

On définit le ème

dopérateur de différence ordinaire par : (1- )

V X t = B X t

d d

· Opérateur de différence saisonnière On note V_S l'opérateur de différence saisonnière associé à un processus { X_t , t E cents } tel que :

VX = B X t = X t X t s

(1 - ) - - .

S

S t

On définit le ème

D opérateur de différence saisonnière par : (1 )

V _S X t = -- B X t

D S D

I.3 Classe des modèles ARMA

I.3.1 Processus autorégressif d'ordre p AR (p)

a- Définition

Le processus( _t ) t

X satisfait à une représentation AR d'ordre p, noté AR(p), s'il est solution

de l'équation aux différences stochastique suivante :

p

e X ? X ?

t t j t j

= ??

j ? 1

Ou encore

e _t =b(B)X t Avec 2

? B ? ? ? B ? ? B -- -- çb _p B _et q5 p ?

( ) 1 1 2 ... pE .

Où qi (B) représente le polynôme de retard et e_t est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance ²

c7_e .

b- Théorème (condition de stationnarité)

Une condition nécessaire et suffisante pour que le processus autorégressif soit stationnaire du second ordre est que les racines de l'équation caractéristique suivante q(Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle unitaire.

c- Caractéristiques d'un processus AR (p)

- Le corrélogramme simple est caractérisé par une décroissance géométrique de ses termes. - Le corrélogramme partiel à ses seuls p premières termes différents de zéro.

Remarque

On peut ajouter au modèle une constante qui ne modifie pas ses caractéristiques stochastiques et qui peut être utile pour expliquer quelques phénomènes économiques.

Cas particulier : soit le processus stationnaire AR (1) : X t = ?X t ? 1 + e t

Ce processus est dit processus de Markov car l'observation X_t dépend seulement de l'observation précédente Xt ? 1 .

d- Les équations de Yule-Walker

Soit le processus autorégressif stationnaire d'ordre p suivant:

p

... (I), avec e_t bruit blanc de variance notée ²

o-_e .

X ? X -- e

t i t i t

= ? +

i = 1

En multipliant (I) par X _t on obtient : 2

X t

mathématique, on aura :

p

et en prenant l'espérance

= ? +

q5 X -- X e X

i t i t t t

i = 1

p

E X y ? y i ? e

? ? = = ?

? ? ?

2 2

( ) ( )

0

t i

i = 1

D'où :

?_e 2

y ( )

0

p

1 --?

? p

i

( )

i

i = 1

En multipliant maintenant (I) par X t -- h , h > 0 et prenant l'espérance, ensuite divisant par

p

y (0), on obtient :

En écrivant cette équation pour h = 1,...., p on

p h q5 p h i h

( ) ( ), 0.

= ? -- ? ?

i

i = 1

obtient les équations dites de Yule-Walker suivantes:

1 (1) (2) . . ( 1)

p p p p --

p p p p

(2) (1) 1 (1) . . ( 2)

? p --

. .

= ? .

? ?

p (1)

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

.

? ?

? ?

p ( )

p

?

? ?

1

?

. ?

?

. ?

?

?

? 2 ?

?

? ?

. . ?

? -- ? ?

? p ( p 1) . . . (1) 1 p

p ?

? ?

I.3.2 Processus moyenne mobile d'ordre q (Moving Average) MA (q) a- Définition

Le processus{ X_t , t cents } satisfait à une représentation moyenne mobile d'ordre q, noté : MA(q), s'il est solution de l'équation aux différences stochastique suivante :

q

X e ? e --

t t j t j

= +?

j 1

En introduisant le polynôme de retard nous obtenons

X t =O(B) e t Où ( ) 1 1 et

? B O B O _q B O J ?

= + + ...+ E

q

e_t est un bruit blanc de moyenne nulle et de variance ²

a_e .

Remarque

Le modèle moyenne mobile d'ordre q (MA (q)), explique la valeur de la série à l'instant t par une moyenne pondérée d'aléas e_t , jusqu'à la q^éme période qui sont supposés être générés par un processus de type bruit blanc.

b- Théorème (condition d'inversibilité)

Une condition nécessaire et suffisante pour que le processus moyenne mobile soit inversible est que les racines de l'équation caractéristique suivante : o(Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle unitaire.

Soit le processus MA(1) : X t = oe t ? 1 + e _t

1 o Z 0
-- =

=:Z



Z

> =::
1

o < 1

1

= =

o

c- Caractéristiques d'un processus MA (q)

Un processus moyenne mobile d'ordre q est toujours stationnaire, car il est une combinaison linéaire finie d'un processus stationnaire{e_t , tE cents }.

Pour le corrélogramme simple seuls ses q premiers termes sont différents de zéro. La fonction d'autocorrélation est dite tronquée au-delà du ié m e

qretard puisque la fonction

d'autocorrélation est définie par :

q

=

?

?

??

? ? ??

P o

k ?

0 pour k > q

?

qk?

i

?

0

i

?

o _i o i k

+

0

i

2

pour k=0,...,q

Le corrélogramme partiel est caractérisé par une décroissance exponentielle de ses termes. Remarques

1- Un processus autorégressif est toujours inversible.

2- Il y a équivalence ente processus MA (1) et processus AR (p) avec p infini. I.3.3 Processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p, q) ARMA (p, q) a- Définition

Le processus ARMA (p, q) est généré par une combinaison des valeurs passées et des erreurs passées et présentes; on l'exprime par l'équation : q5(B)X t = o (B) e t

Avec :

{e_t, t e T} : est un bruit blanc de variance ae2 .

Et 0(B)=1+0₁B+0₂B² +
·
·
· + 0_qB^q t (B)=1 -- (₁B -- t ₂B² --
·
·
· -- t q

0_i e , Vi=1,....,q et t _i e , Vi=1,...,p.

b- Théorème (condition de stationnarité et d'inversibilité)

1)- Une condition nécessaire et suffisante pour que le processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p, q) soit stationnaire est que les racines de l'équation caractéristique suivante : t (Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle unitaire.

2)- Une condition nécessaire et suffisante pour que le processus autorégressif moyenne mobile d'ordre (p,q) soit inversible est que les racine de l'équation caractéristique suivante: 0(Z) = 0 soient à l'extérieur du cercle unitaire.

c- Caractéristique d'un processus ARMA (p, q)

Les corrélogrammes : simple et partiel sont un mélange des fonctions exponentielles et sinusoïdales amorties. Cependant l'identification des paramètres p et q à partir de l'étude des fonctions d'autocorrélations empiriques s'avère plus délicate.

Remarques

1- Les processus AR, MA et ARMA ne sont représentatifs que de séries stationnaires en tendance et corrigées des variations saisonnières. De plus ces modèles ne tiennent pas compte d'une éventuelle variable exogène.

2- dans un contexte ultérieur, nous allons exposer une extension de la classe des modèles ARMA.

II. Processus aléatoire non stationnaire

La plupart des résultats et méthodes utilisés dans l'analyse des séries chronologiques sont basés sur l'hypothèse de la stationnarité du second ordre, lorsque cette hypothèse n'est pas satisfaite, ce qui est souvent rencontré en pratique dans diverses disciplines de recherche, en particulier, l'économie d'hydrologie, la météorologie...des transformations sont appliquées

(différence ordinaire, différence saisonnière, différence mixte, transformation de Box-Cox ...) pour assurer la stationnarité du second ordre.

Pour que ces transformations soient adéquates il faut à priori pouvoir détecter correctement la nature des variations de la série. Pour répondre à ce besoin, plusieurs techniques ont été mises au point afin de détecter la tendance, la saisonnalité, la rupture,... .

II.1 Composantes des séries temporelles

Avant le traitement d'une série chronologique, il convient d'en étudier ses caractéristiques stochastiques (son espérance et sa variance), si elles se trouvent modifiées dans le temps la série est considérée non stationnaire.

L'analyse des séries temporelles des phénomènes économiques permet de distinguer quatre types d'évolution des séries dans le temps appelées « composantes de la série temporelle » qui sont :

(a) Tendance

C'est un mouvement persistant dans un sens déterminé pendant un intervalle de temps assez long, il traduit l'allure globale du phénomène, qu'il soit à la baisse ou à la hausse, ce mouvement est fonction du temps.

(b) Saisonnalité

Elle se manifeste à travers des fluctuations périodiques plus au moins régulières (sous réserve de la variabilité du nombre de jours dans le mois, du nombre de jours fériés dans la semaine). Ce mouvement est donc une fonction du temps et est indépendant de la tendance.

Néanmoins, l'explication de ce mouvement se trouve dans des déterminismes extérieurs à l'activité économique elle-même (particularités du temps astronomique, rythme des saisons, rythme des activités sociales dont les caractères institutionnels s'imposent à l'activité économique).

(c) Cycle

Cette composante décrit un mouvement à moyen terme caractérisé à la fois par la périodicité et par la cyclicité, c'est-à-dire par la régularité de son amplitude comportant une phase croissante et une autre décroissante.

II.2 Méthode graphique

La représentation graphique de la chronique permet de détecter la présence d'une tendance, d'un cycle, d'une saisonnalité ou d'une modification de structure (rupture).

Aussi, l'étude de la fonction d'autocorrélation (corrélogramme) : qui consiste à analyser le corrélogramme simple permet de détecter si :

- Des pics marquants apparaissent aux retards S, 2S, 3S..., ce qui fait penser de la présence d'une saisonnalité de période S.

- La fonction d'autocorrélation ne décroît pas d'une manière rapide vers zéro, ce qui fait croire à la présence d'une tendance.

II.3 Méthodes analytiques

II.3.1 Analyse de la tendance

Certaines variables économiques peuvent avoir des évolutions analogues, dont il peut exister une corrélation entre ces variables sans que celle-ci exprime une quelconque liaison à caractère explicatif, donc il convient d'enlever cette tendance et voir si une telle liaison existe. En analyse des séries chronologiques, on distingue deux types de tendances : déterministe et stochastique. Dans cette optique, Nelson et Plosser (1982), ont développé deux sortes de processus non stationnaire : TS (Trend Stationnary) et DS (Differency Stationnary).

a- Processus TS (Trend Stationnary)

Il arrive que les valeurs prises par les variables d'un processus stochastique décrivent une allure déterministe qui peut être représentée à travers une fonction polynomiale (linéaire ou non linéaire) du temps, de la façon suivante :

X _t =ft+U t .

avec f_t : Fonction polynomiale par rapport au temps. U_t : Processus stationnaire.

Un exemple simple est : X t = a + bt + U t

Avec : 2

Var ( X _t ) = ?? et cov(X _t , X _s ) = 0, s ~ t.

Dans ce cas X_t est dit : un processus non stationnaire de type déterministe. Cela veut dire que l'effet produit par un choc (ou par plusieurs chocs aléatoires) à un instant t est transitoire, la chronique retrouve son mouvement de long terme dicté par les valeurs de la fonction ft.

- Pour rendre stationnaire un tel processus, on doit estimer d'abord a et b par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO), puis retrancher de X_t la valeur estiméea$+ b $ t .

b- Processus DS (Differency Stationnary)

C'est un processus non stationnaire de type aléatoire, dont un choc à un instant donné se répercute à l'infini sur les valeurs de la série, l'effet choc est donc permanent et va en décroissance. La stationnarisation de ce type de processus est réalisée par l'utilisation d'un

filtre au différence d'ordre d : ( )d

1 -- L X t = fi + ? t

avec /3: constante réelle.

e_t : Processus stationnaire d'espérance nulle.

- En pratique on utilise souvent la différence d'ordre 1 : VX _t =/3+e t ? X _t =X t ? 1+/3+e t

On obtient, par substitution successive :

t

X X /3t e

t = + +?

0 i

i ? 1

Le processus n'est pas stationnaire car on a :

2

Var X t

( ) .

a_e

=

t

cov( , ) min( , ) , .

X X s t s t

= ?

2 t s t

a

En fait, on distingue deux types de processus

(a) Si /3 = 0 alors le processus est dit sans dérive, il s'écrit sous la forme suivante :

X t = X t ? 1 + e t

Comme e_t est un bruit blanc, le modèle porte le non de marche aléatoire (random walk Model), il est fréquemment utilisé en analyse de l'efficience des marchés financiers. Test de racine unitaire (test de Dickey-Fuller 1979)

Le choix d'un processus DS ou TS comme structure de la chronique n'est pas neutre; pour cela les tests de Dickey et Fuller permettent non seulement de détecter l'existence d'une tendance (racine unitaire, unit root test) mais aussi de déterminer son type et par conséquent la bonne manière de stationnariser la chronique.

Les modèles servant de base à la construction de ces tests qu'on estime par la méthode des moindres carrés ordinaires sont les suivants :

Modèle [1] : X t = pX t _1 + e_t. modèle autorégressif d'ordre 1.

Modèle [2] : X t = pX t ? 1 + c + e_t. modèle autorégressif d'ordre 1 avec constante.

Modèle [3] : X t = pX t ? 1 +c+bt+e _t .modèle autorégressif d'ordre 1 avec tendance et constante.

Avec 2

e _t -* iid(0, a _e ) (bruit blanc).

- Les hypothèses de test sont :

p ? 1

H : p = 1 contre H 1 :

0

- Si dans l'un des trois modèles cités ci dessus l'hypothèse nulle est vérifiée, le processus est

alors non stationnaire (le processus suit une marche aléatoire). Les observations présentes et passées ont la même importance, on détermine dans ce cas l'ordre d'intégration d.

- Sinon, la série est stationnaire (le processus est asymptotiquement stationnaire), i.e., l'observation présente est plus importante que les observations passées.

- Si p

>1 alors la série n'est pas stationnaire la variance augmente de façon exponentielle

avec le temps, les observations passées ont un effet persistant sur les observations présentes et futures, dans ce cas le processus est dit explosif.

Donc Dickey et Fuller ont tabulé, à l'aide de simulation de Monte Carlo, les valeurs critiques pour des échantillons de différentes tailles⁷.

Ce qui ne pose aucun problème puisqu'il est équivalent de tester comme hypothèse nulle: H₀ : p = 1 ou u

u H 0 : p - 1 = 0.

Le déroulement de test

On estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires le paramètre pu et l'écart type

p u 1

?

pour chaque modèle, ce qui fournit t p u avec u

t =

p ? à ?

- Si t u t tabulée

p > alors H₀ est acceptée, c'est à dire, il existe une racine unitaire et le

processus n'est pas stationnaire.

Test de Dickey-Fuller Augmenté (1981) (ADF)

Dans les tests de Dickey-Fuller simples les résidus sont supposés être des bruits blancs et donc non corrélés, ce qui n'est pas forcément le cas. Pour cela Dickey-Fuller (1981) ont proposé une généralisation de cette approche en considérant une représentation AR (p) de X_t .

⁷ Les valeurs théoriques sont données par les plupart des logiciels économétriques en particulier par (E VIE WS).

Après transformation des modèles de base, les tests ADF sont fondés, sous l'hypothèse

alternative p suivants :	<1, sur l'estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires des modèles
p Modèle [4] : $ $ ? ? -- ? X ? X ? ? X _ + t t j t j 1 1			+ modèle autorégressif d'ordre p. e t
j ?		1
p Modèle [5] : $ $ ? ? -- ? X ? X ? ? X ? ? t t j t j 1 1			+ + modèle autorégressif d'ordre p avec c e t
j ?		1
constante p Modèle [6] : $ $ ? ? -- ? X ? X ? ? X ? ? t t j t j 1 1			+ + + modèle autorégressif d'ordre p avec bt c e t
j ?		1

tendance et constante.

Où 2

e t ? iid (0, ? e ) (bruit blanc).

Le déroulement des tests est identique au cas Dickey-Fuller sur les modèles [4], [5] et [6], seules les tables statistiques de Dickey-Fuller diffèrent⁸.

Remarque :

Les retards X t ? j (j = 1,..., p) participent dans l'explication du dynamisme du processus ce qui

implique la baisse, en valeur absolue, des autocorrélations résiduelles, donc le nombre de retard p est choisi suffisamment grand pour éliminer les autocorrélations des résidus, pour se faire, on commence par estimer les modèles pour les premiers ordres de j et on l'augmente au fur et à mesure jusqu'à l'obtention des résidus qui forment un bruit blanc⁹.

On note que le test ADF ne permet pas de tester directement si les résidus forment un bruit blanc, donc il convient de faire une estimation des modèles pour pouvoir observer les résidus et éventuellement les tester.

V. Analyse de la saisonnalité

Analyse de la variance et test de Fisher (test d'ANOVA)

Il s'agit de s'assurer que l'effet régulier que manifeste la série n'est pas une coïncidence due au seul fait du hasard, et qu'il ne s'agit pas aussi, d'oscillations plus au moins régulières d'un effet parasite dû à l'existence de corrélation non nulle entre les valeurs successives du processus (effet de Yule (1921), Slutsky (1937)).

Afin de ne pas se tromper dans l'interprétation de cette régularité un test dit d'ANOVA, basé (comme son nom l'indique) sur l'analyse de la variance des résidus a été mis au point.

⁸ On utilise le test « Portemanteau » habituel pour tester si les résidus sont blanchis.

⁹ Voir GOURIEROUX : « séries temporelles et modèles dynamiques »

- Soit une série chronologique mensuelle, trimestrielle, journalière, ... , brute telle que :T = N×P : la taille de la série

Où

N : le nombre d'années.

P : le nombre d'observations dans l'année appelées période.

xij : l'observation de la série pour la i^ème année et la j^ème période, avec : i = 1...N et j = 1...P. On suppose que la chronique est sans tendance ou la tendance a été retirée.

Le modèle s'écrit xij = ai + bj + eij où : ai : l'effet de la ième année ; bj : l'effet de la jème période ;

eij : résidus indépendants avec _eij? N(0,ó²).

Principe du test

On test deux effets absents (par exemple : mois, année) contre deux effets significativement présents.

Si l'effet périodique (mois par exemple) est significatif alors la série est saisonnière, par

contre si l'effet année est significatif, alors soit que la chronique n'a pas été transformée et de ce fait, elle possède des paliers horizontaux, ou bien la chronique a été transformée ce qui implique la présence de changements de tendance.

Déroulement du test

- Le calcul de la somme totale des carrés ajustées ST :

N P _ _ N P 1 S x x x x 2 T ij = - = ? ?? ?? ( ) avec ij i j = = N P 1 1 i j = = 1 1

(La moyenne totale)

- Le calcul de la somme des carrés annuelle SA :

N

p

( _?2 1

S p x x x x

A i

= - = ?

avec i ij

i = p

1 j = 1

(La moyenne de de la i ^ème année)

- Le calcul de la somme des carrés périodique SP :

(La moyenne de la j ^ème période)

N _ N

1

S N x x x x

2

P j i ij

= ? -- = ?

( ) avec

= N

. .

j 1 j = 1

Le calcul de la somme des carrés résiduels SR :

NP

_

2

S x x x x

R ij j i

= ?? - - -

( )

. .

i j

=

S_A

1

Var_A

N

= =

1 1

Le calcul de la variance année :

S

- Le calcul de la variance périodique : P

Var =

^P P - 1

- Le calcul de la variance résidu :	VarR	SR
		( 1)( 1) P N - -

Le test de saisonnalité

Ce test est basé sur l'influence du facteur période et est construit à partir des hypothèses

suivantes: 0

?
?

H : Pas de saisonnalité.



?

H : Il ex iste u n e s aiso n n a lité. 1

On calcule la valeur de Fisher empirique p

F Var

? = que l'on compare à la valeur de

Var

R

Fisher tabulée F? 1 2

y y avec y1 =P- 1, y 2 =(N- 1 )(P- 1) degré de liberté.

SiSi* á F>Fv1,v2 * á F <F v1,v2

on rejette l'hypothèse H0, la série est saisonnière. on rejette l'hypothèse H1, la série n'est pas saisonnière.

Méthode de désaisonnalisation

Pour stationnariser une série affectée d'une saisonnalité, on procède à la désaisonnalisation de la série par une différentiation.

Application de la différence saisonnière

Cette méthode consiste à considérer la série différenciée d'ordre S (S : période de la saisonnalité).

? s X t = X _t- X t - s III. Extension des modèles ARMA

L'objectif de cette extension est de tenir compte des effets (tendance, saisonnalité) dans la modélisation de la chronique, sans avoir recours aux méthodes exposées ci-dessus (pour rendre la série stationnaire).

III.1 Processus autorégressif moyenne mobile intégré d'ordre (p,d,q)

Ce sont des modèles ARMA intégrés notés ARIMA. Ils sont issus des séries stationnaires par l'application du filtre aux différences et ceci, bien entendu dans le cas des processus DS détectés par le test de Dicky-Fuller.

Le processus X_t suit un ARIMA (p,d,q), c'est-à-dire qu'il est solution d'une équation aux

différences stochastique du type : 0(B)(1 -- B)^d = -=ye:`(B)e _t.

III.2 Processus autorégressif moyenne mobile intégré saisonnier

Il est possible de trouver que certaines séries chronologiques peuvent être caractérisées par une allure graphique périodique, pour cela il est important de les analyser en tenant compte de l'effet saisonnier. Box et Jenkins (1970) ont proposé une classe particulière de modèles appelée : classe de modèles ARIMA saisonniers.

III.3 Modèles saisonniers mixtes SARIMA

Ce sont des extensions des modèles ARMA et ARIMA. Ils représentent généralement des séries marquées par une saisonnalité comme c'est le plus souvent le cas pour des séries économiques voire financières. Ces séries peuvent mieux s'ajuster par des modèles saisonniers. Ce sont les SARIMA (p, d, q)(P,D,Q) qui répondent à la formulation :

tP(B) tP_s (if )(1--B)^d (1--B^s)^D X_t = 0 (B)0_s (Blet où : tP (B) = 1-- t'AB -- tP₂B² --
·
·
· -- tP_pB^p : Polynôme autorégressif non saisonnier d'ordre p. tP (B) = 1 -- eA_sB -- tP_2sB^2s --
·
·
· -- tP_psB^ps : Polynôme autorégressif saisonnier d'ordre P.

0(B) =1+0₁B + 0₂B² +
·
·
· + 0_qB^q : Polynôme moyenne mobile non saisonnier d'ordre q. 0(B)=1+01_sB+02_sB^2s +
·
·
·+0_Qs^--Q^s

is : Polynôme moyenne mobile saisonnier d'ordre Q. (1-- B)^d : Opérateur de différence d'ordre d.

(1-- _Bs )D : Opérateur de différence saisonnière d'ordre D. s : correspond à la saisonnalité.et --> BB(0, 6E) .

Modèles saisonniers purs (SARMA)

Un processus stochastique { X_t , t E T} est dit processus autorégressif moyenne mobile intégré saisonnier pur d'ordre (P, D, Q)(p, 0, q), si son évolution satisfait la forme suivante :

çb B çb B _ B X t = O B O _s B e t

( ) ( )( 1 ) ^D ( ) ( )

s s s

s

I. Introduction

L'analyse des séries temporelle est un champ d'étude en perpétuelle évolution ces dernières années. D'énormes progrès ont été réalisés dans diverses disciplines, notamment en économie, finance,....En effet Wold (1938) est à la base du développement qu'a connu la classe des modèles autorégressifs moyennes mobiles (ARMA) univariés.

Cependant, les statisticiens George Box et Gwilym Jenkins ont contribué dans les années 70, à populariser la théorie des séries temporelles univariées par leur célèbre ouvrage. La modélisation univariée de Box & Jenkins concerne les processus ARMA (p, q), ARIMA(p, d, q) ou SARIMA(p, d, q)(P, D ,Q). Ces auteurs rassemblent tous les travaux dans une méthodologie itérative. Cette dernière englobe trois étapes essentielles à savoir : l'identification du modèle, l'estimation du paramètre et la validation à travers des tests. Une fois le modèle déterminé, nous pouvons faire des prévisions.

La première étape consiste à identifier le modèle qui pourrait engendrer la série. Elle consiste, d'abord à transformer la série afin de la rendre stationnaire. Le nombre de différentiations détermine l'ordre d'intégration d. Ensuite il s'agit d'identifier le modèle ARMA (p, q) de la série transformée avec l'aide du corrélogramme simple et du corrélogramme partiel. Le graphique des coefficients d'autocorrélation simple (corrélogramme simple) et d'autocorrélation partielle (corrélogramme partiel) donnent une information sur l'ordre du modèle ARMA. Après avoir choisi un ou plusieurs modèles ARMA théoriques, il faut estimer leurs paramètres en utilisant une méthode non linéaire (moindres carrés non linéaires ou maximum de vraisemblance). Ces méthodes sont appliquées en utilisant les degrés (p, d, q) et (P, D, Q) trouvés dans l'étape d'identification. Une fois les coefficients estimés, il s'agit de vérifier l'adéquation du modèle aux observations. Il existe plusieurs tests : tests graphiques de l'autocorrélation des résidus, test de Box-Ljung, et d'autres tests qui confirment la blancheur des résidus. Enfin, l'intérêt de l'approche de Box-Jenkins est qu'une modélisation ARMA conduit à des prévisions optimales si la variance de l'erreur de prévision est minimale. Cette approche se schématise comme suit :



Organigramme de la méthode de Box et Jenkins
31

II. Démarche de la méthode de Box et Jenkins

II.1. Analyse préliminaire

L'analyse préliminaire est une phase non coûteuse, elle permet avant tout test ou traitement
statistique approprié, d'observer la représentation graphique de la série (les observations du

processus {X_t , tE cents } en fonction du temps).

En effet, parfois une simple visualisation du graphe permet de détecter ou soupçonner l'existence de plusieurs composantes (tendance, saisonnalité,...) donc il faut, bien évidemment, confirmer ou infirmer l'existence par des tests appropriés.

Cette étape, permet aussi de prendre des options sur les variables, tels que : corriger les données aberrantes, suppléer celles manquantes ou effectuer des transformations...etc.

II.2. Stationnariser la série

Les résultats de l'analyse des séries chronologiques reposent sur l'hypothèse de stationnarité du second ordre, mais souvent les caractéristiques stochastiques d'une série (moyenne, variance) se trouvent modifiées dans le temps, c'est le cas par exemple lorsque :

- On constate que la série est saisonnière par l'apparition des pics marquants de périodicité S dans la fonction d'autocorrélation simple ou dans la représentation graphique de la série.

- La chronique est affectée d'une tendance, dont il convient de déterminer la nature par les tests cités de Dickey-Fuller (voir chapitre 1).

II.3. L'identification du modèle adéquat

Cette étape consiste à identifier le modèle ARMA susceptible de représenter la série, c'est pour cela qu'il est important de se familiariser avec les données en examinant le graphe de la série chronologique (présence de saisonnalité, stationnarité,...) qui permet de faire une analyse préliminaire qui consiste par exemple à corriger les données aberrantes, transformer les données (transformation logarithmique, inverse, racine carrée,...) puisqu'il faut se ramener à un modèle ARMA stationnaire, le recours aux différences premières ordinaires, différences premières saisonnières, différences ordinaires et saisonnières. Le choix est dicté par l'allure graphique de la série. D'ailleurs le choix de la transformation des données est plus facile après avoir appliqué les opérateurs de différence adéquats. Il est conseillé de comparer les variances des différentes séries. La série avec la plus petite variance conduit souvent à la modélisation la plus simple. Ainsi un examen du corrélogramme s'impose. Cette phase est la plus importante et la plus difficile, elle consiste à déterminer, parmi l'ensemble des modèles ARMA(p,q), le modèle le plus

représentatif du phénomène étudié, elle est fondée sur l'étude des corrélogrammes: simple et partiel; l'idée de base est que chaque modèle ARMA possède des fonctions d'autocorrélation (simple et partielle) théoriques spécifiques, le statisticien essaie donc, à l'aide de son expertise, de reconnaître et d'identifier, en comparant l'éventuelle similitude de ces fonctions théoriques et estimées. Il peut alors choisir un ou plusieurs modèles théoriques (en général, le choix porte sur trois modèles au plus) en se basant sur les propriétés suivantes :

? Si le corrélogramme simple n'a que ses q premiers termes différents de zéro et que les termes du corrélogramme partiel diminuent exponentiellement vers zéro ou d'une manière sinusoïdale amortie, nous pouvons pronostiquer un moyenne mobile d'ordre q : MA (q).

? Si le corrélogramme partiel n'a que ses p premiers termes différents de zéro et que les termes du corrélogramme simple diminuent exponentiellement vers zéro ou d'une manière sinusoïdale amortie, nous identifions un autorégressif d'ordre p : AR (p).

? Si les fonctions d'autocorrélation simple et partiel n'apparaissent pas tronquées, il s'agit d'un processus ARMA ; en fait dans ce cas il est très difficile d'identifier directement les vrais paramètres du modèle, il convient donc d'en proposer plusieurs pour éliminer, après des tests appropriés, ceux qui ne reflètent pas les variations du processus.

II.3 Estimation des paramètres du modèle

Une fois l'étape de l'identification terminée, il faut estimer les paramètres qui sont les coefficients des polynômes AR et MA ainsi que les polynômes saisonniers SAR et SMA, et la variance des résidus ²

cr .

La méthode d'estimation la plus couramment utilisée est celle du maximum de vraisemblance ou bien la méthode des moindres carrés. Plus spécifiquement la technique consiste à construire une fonction appelée fonction de vraisemblance et à maximiser son logarithme par rapport aux paramètres I _i et O_j (avec i := 1,.., p et j := 1,..., q) permettant de trouver la valeur numérique la

plus vraisemblable pour ces paramètres. L'étape d'estimation achevée, l'étape suivante va nous permettre de valider le(s) modèle(s) estimé(s).

II.4 Validation

A l'étape de l'identification, les incertitudes liées aux méthodes employées font que plusieurs modèles en général sont estimés et c'est l'ensemble de ces modèles qui subit alors l'épreuve des tests, il en existe de très nombreux critères permettant de comparer les performances entre

modèles; nous pouvons citer les tests sur les paramètres et les tests sur les résidus. II.4.1 Tests concernant les paramètres

Tous les coefficients du modèle retenu doivent être significativement différents de zéro, il convient donc d'utiliser le test de Student classique.


· Test de Student sur les paramètres

Il s'agit dans cette étape de tester la significativité des paramètres m _i et O_j (i=1 ... ,p et j =

1... ,q) dans la formulation obtenue. Nous rejetterons avec un risque 5% l'hypothèse que le paramètre est nul si :

à

> =

t a t a

( 1,9 6)

(Même procédure pour les O_j).

m

i

( )

m _i

à



Var

II.4.2 Tests sur les résidus

Le processus estimé est évidemment de bonne qualité si la chronique calculée suit les évolutions de la chronique empirique. Les résidus entre les valeurs observées et les valeurs calculées par le

modèle, doivent se comporter comme un bruit blanc. Pour montrer que les { E_t , t E cents } forment

un bruit blanc, nous devons vérifier si :

-La moyenne des résidus est nulle, sinon il convient d'ajouter une constante au modèle.

-Le graphe des résidus en fonction du temps semble approximativement compatible avec une suite de variables aléatoires non corrélées. C'est ainsi que nous proposerons une multitude de tests concernant les caractéristiques du résidu souhaité.

è Test de Box-Ljung

Lorsque le processus est bien estimé, les résidus entre les valeurs observées et les valeurs estimées par le modèle doivent se comporter comme un bruit blanc. Nous noterons par la suite Eà_t le résidu d'estimation du modèle.

o Principe du test

Ce test permet de savoir si les résidus forment un bruit blanc ou non, pour le réaliser : nous observons le corrélogramme des erreurs du modèle optimal, si tous les pics sont dans la bande de confiance de plus la probabilité de significativité est supérieure à 0.05 alors les résidus forment un bruit blanc.

Pour confirmer ce résultat nous testons

H₀ : « Les autocorrélations au pas K, (k=N/5) sont non corrélés » C'est-à-dire H₀ : « p₁ =p₂ =...=p_K = 0 » Contre H₁ : « 3p j : j=1,k tel que p_j ~0 ».

= +

( )?= -

2 p 6 Statistique de BOX-LJUNG au pas K avec :

K ² ( )

Q n n i

n i

i 1

K : nombre de retard choisi. N : Taille de la série brute. n : nombre de résidus.

o Règle de décision Si Q <² ? K - p - q - P - Q)

? , degrés de liberté nous acceptons l'hypothèse H₀ que les résidus

sont non corrélés, Sinon les résidus ne forment pas un bruit blanc et le modèle est inadéquat.

è Test des Points de Retournements

Nous dirons que la suite des données 6 ₁ , 6 ₂ , ,6_n présente un point de retournement à la date

? i i i

1 2

i, si ? 6 6 6 i = 1,2,...n-2

+ +

< >

> <

? 6 6 6

i i i

+ +

1 2

[1 ' int

si c est un pode retournement

Soit la variable aléatoire X_i = ?

t_0 sinon

La variable X_i suit la loi de Bernoulli de paramètre p = 2/3

n-2

?x i

i=1

Le nombre total des points de retournement est p =

n 2

Nous avons : E (p) =

- ?= = 3 2 (n-2) ;

E(x )

i

i 1

? ( \ 1

2

^n-2 40 n ² - 144 n + 131 Donc Var (p) = 90

16 n - 29

E (p ² ) = ? ? 1 I

E x

= 90

i

? ? ? ) I ?

i=1

Sous l'hypothèse que les ( 6 _i ) forment une suite de variables aléatoires, indépendantes et identiquement distribuées.

La statistique U =

suit la loi normale d'espérance nulle et de variance égale à 1

p E(p)

-



Var(p)

(U--* N (0,1) ; (n (nombre d'observations) > 30).

Le principe de ce test est d'accepter l'hypothèse que les (6 _i ) _i (les résidus du modèle) forment un bruit blanc si U < 1.96, au seuil a = 0.05.

è Test de la nullité de la moyenne des résidus

Soit T le nombre de données disponibles (après avoir enlevé les retards correspondant aux termes AR et MA). Si le processus { e _t , tE Z} est i.i.d. (0, ²

o_e ), nous devons avoir :

T

1

e t T e

= ? = 1 à

t

t ? 0

T ??

Par application du Théorème central limite, nous montrons que :

TN?> L

T --*co

( , )
0 1

e t

à

o e t



Dés lors, nous pouvons tester la nullité de la moyenne des résidus en construisant l'intervalle de confiance sur e _t au seuil standard de 95%.

? ? _ . .

1,9 6 o à e o _e

1,9 6 à

Pt
?? e E ? ,
t ?? ? ?T T





1 ? ? ?

= 0,95.

? ???j

Le test basé sur la statistique de Student pour tester l'hypothèse

H₀: « m=0 » contre H₁ : « m ~ 0 ».

e

t

La statistique utilisée est : t =

o_e/ n-1

H₀ Est acceptée si

t <t n ? 1 à 5% (=1,96) pour n >30, dans le cas contraire, il convient d'ajouter



une constante au modèle. è Tests de normalité

Le test de Jarque & Bera (1984) peut s'appliquer pour tester la normalité des résidus.

Ce dernier est fondé sur la notion de Skewness (l'asymétrie de la distribution, moment d'ordre 3) et de Kurtosis (l'aplatissement qui se traduit en particulier par une épaisseur des queues de distribution, moment d'ordre 4). Soit jU_k le moment empirique d'ordre k du

processus ? ? p e e = ? ? 1 à T k k t T t = 1

.

o Test de Skewness

La Skewness est une mesure de l'asymétrie de la distribution de la série autour de sa moyenne. Le coefficient de Skewness (S_k ou encore J3₁ ) est défini par :

L

( ₎1 2 1 2 3

S P ? 6 ?

? ? --* N J

( ) ?

_k E P --*o 0,

1 3 2 T T

2 ? ?

La Skewness d'une distribution symétrique, telle que la distribution normale est nulle. Une Skewness positive signifie que la distribution a une queue allongée vers la droite et la Skewness négative signifie que la distribution a une queue allongée vers la gauche.

o Test de Kurtosis

La Kurtosis mesure le caractère pointu ou plat de la distribution de la série. Le coefficient de Kurtosis (k _u ou encore J₂) est défini par :



?

J .

?

P L ? 24

k N T

? - --*

4

J3 P --* o 3,

u 2 2 ?

T

2 ?

La Kurtosis de la distribution normale est 3. Si la Kurtosis est supérieure à 3, la distribution est plutôt pointue relativement à la normale ; si la Kurtosis est inférieure à 3, la distribution est plutôt plate relativement à la normale.



Nous construisons alors les statistiques centrées réduites correspondantes à (S_k ) ¹² et k_u que

l'on compare aux seuils d'une loi normale centrée réduite

1 2

7 = 1

L k _ 3 L

( )



--* = --*

N et N

( ) ( )

u

0,1 7 0,1

2



S k

6 T 24 T

--*o --*o

T T

Si la statistique centrée réduite de (S_k ) ¹² ( 7₁ ) est inférieure au seuil 1,96 à 5%, nous acceptons

l'hypothèse de symétrie. Si la statistique centrée réduite de k_u (7₂) est inférieure au seuil 1,96 à

5%, nous acceptons l'hypothèse de queue de distributions non chargées (not weighted queues). La conjonction des deux conclusions nous fait accepter l'hypothèse de normalité.

o Test de Jarque-Bera

La statistique de Jarque-Bera est une statistique de test pour examiner si la série est normalement distribuée. La statistique mesure la différence de la Skewness et de la Kurto sis de la série avec ceux de la distribution normale. La statistique est calculée comme suit :

JB S =

T T S + 6 24 k

? ( 3 ) ( 2) - --* ^2 z ^2 k u T--*o

Où S_k est la Skewness, k _u est la Kurtosis. Sous l'hypothèse nulle d'une distribution normale, la statistique de Jarque-Bera suit asymptotiquement une loi de ²

z à deux degrés de liberté ; aussi,

si JB ( 2)

? ? 1 -- a nous rejetons l'hypothèse H₀ de normalité des résidus au seuil.

2

è Test d'indépendance de Von-Neumann

Ce test peut être effectué lorsque les résidus sont gaussiens.

Nous testons l'hypothèse nulle :

H₀ : « Les résidus sont indépendants et identiquement distribués » contre l'hypothèse H₁ : « Au moins deux observations successives tendent à être corrélées ».

Les tests sont basés sur les deux estimateurs suivants de la variance ²

?_g des résidus :

2

n
D²= ? )

n g g

t t

? --

1 ?? 1

-- 1 t 1

n

2

; ( )

S g g

? ?

2 --

1 ?? t

n -- 1 t 1

?2

.

2 2

? (

Sous H₀ : E ?

D = 1

--

D = 1 et Var ? 2

n

?

? 2S '2

J ? 2S 2 --

? n



La statistique U = ( )

D S

2 2

2 ?

n

n 2 -- 1

-- 1

--

2

sous l'hypothèse nulle, suit une loi Normale N (0, 1).



La région critique est donnée par : { U

> U _a }, U _a est tel que P{ U > U_a J = a.

è Test de Durbin-Watson

Si les résidus { g _t , t Z} obéissent à un bruit blanc, il ne doit pas exister d'autocorrélation dans la série. Nous pouvons pour cela appliquer le test suivant :

Test de Durbin - Watson : repose sur l'hypothèse de normalité des résidus; test de l'autocorrélation d'ordre 1.

o Principe du test de Durbin - Watson

Ce test permet de tester l'autocorrélation d'ordre 1 sous l'hypothèse que les résidus sont Gaussiens. Donc il teste l'hypothèse nulle

H₀ : « p = 0 » contre l'hypothèse alternative H₁ : « p ~ 0 ».Durbin et Watson ont proposé la

statistique suivante :

( )

g g

t t

-- -- 1

n

?

2

DW =	t	?	2
n ?						g	2 t
t				?	1

Le test de Durbin-Watson fait intervenir deux seuils critiques d _l,a et du _,a ( dl ,a < du _,a) fonctions

de n et du nombre de variables explicatives.

Ce test est utilisé pour tester trois hypothèses :

1- H₀ : « les résidus sont non corrélés » contre H1: « les résidus sont positivement corrélés »

Dans ce cas la règle de décision est : i)- Si DW < dl ,a : nous rejetons H₀.

ii)-Si DW > du _,a :nous acceptons H₀ .

iii)- Si dl ,a ~ DW ~ d u ,a : nous ne pouvons rien dire.

2- H₀ : « les résidus sont non corrélés » contre H1: « les résidus sont négativement

corrélés » la règle de décision est :

i)- Si (4-DW) < dl ,a : nous rejetons H₀.

ii)- Si (4-DW) > d u ,a : nous acceptons H₀ .

iii)-Si dl ,a ~ (4-DW) ~ d u ,a : nous ne pouvons rien dire.

3- H₀ : « les résidus sont non corrélés » contre H1: « les résidus sont positivement ou négativement corrélés »

Dans ce cas :

i) - Si DW < dl _,a2 ou (4-DW) < dl ,a 2 : nous rejetons H₀.

ii) - Si DW > du ,a 2 ou (4-DW) > du ,a 2 : nous acceptons H₀ .

iii)









- Si dl ,a 2 ? DW ~ du ,a 2 ou dl ,a 2 ? (4-DW)~ du ,a 2 : nous ne pouvons rien dire.

è Test d'homoscédasticité

L'hétéroscédasticité signifie que la dispersion des résidus a tendance à augmenter ou à diminuer en fonction des valeurs ajustées, plus généralement, elle se manifeste quand la dispersion des résidus varie en fonction des variables explicatives.

Non seulement L'hétéroscédasticité influence les tests de significativité mais surtout, elle fausse les intervalles de prévision.

Nous allons présenter, un test permettant de détecter une hétéroscédasticité éventuelle. Le test ARCH ou test du multiplicateur de Lagrange a été introduit par Engle (1982). Supposons que les résidus prévisionnels sont non corrélés et qu'ils obéissent à un modèle ARCH (dans la plupart des cas un modèle ARCH simple d'ordre p).

Nous construisons alors une régression entre les résidus au carré et les résidus au carré décalés jusqu'à l'ordre p.

L'hypothèse nulle testée est celle d'homoscédasticité H₀:"a₁ = a₂ =K K = a p = 0" contre L'hypothèse alternative d'hétéroscédasticité conditionnelle

H ? i i = p tel que i

1 : " , 1 0"

K a.Si l'hypothèse H₀ est acceptée, la variance conditionnelle

de l'erreur est constante 0

a? 2 = a . En revanche, si l'hypothèse nulle est rejetée, les résidus suivent un processus ARCH (p) dont l'ordre p est à déterminer.

Le test est fondé soit sur un test de Fisher classique, soit sur le test du Multiplicateur de Lagrange (LM). La mise en oeuvre du test est simple et peut s'effectuer en trois étapes :

· Etape1 : nous estimons l'équation de la moyenne. Nous récupérons les résidus estimés ?à_t et nous calculons la série des ²

?à_t .

· Etape 2 : Nous régressons ²

?à_t sur une constante et sur ses p valeurs passées.

· Etape 3 : Nous calculons la statistique du Multiplicateur de Lagrange LM = n*R² où n est le nombre d'observations servant au calcul de la régression de l'étape 2 et R² est le coefficient de détermination de l'étape 2.

Sous l'hypothèse nulle d'homoscédasticité, la statistique 2

TR suit une loi de khi - deux à p

degré de liberté. La règle de décision est :

- Si LM < ( )

z ² p , l'hypothèse nulle est acceptée : il n'existe pas d'effet ARCH.

- Si LM ~ ( )

z ² p , nous rejetons l'hypothèse nulle en faveur de l'hypothèse alternative d'hétéroscédasticité conditionnelle.

Une autre approche consiste à calculer le corrélogramme des résidus au carré du modèle initial. Si les premiers termes de ce corrélogramme sont significativement différents de zéro (0), alors nous pouvons conclure à un modèle de type ARCH. Sinon si tous les pics sont dans la bande de confiance, alors nous pouvons donc conclure que les résidus sont homoscédastiques.

II.4.3 Choix du Meilleur Modèle

Après les étapes précédentes, plusieurs formulations dans la vaste classe des modèles ARMA pourraient être retenus ; il faut donc choisir le meilleur modèle parmi ceux sélectionnés. Pour cela nous utilisons :

s Les critères standards

Ils sont fondés sur le calcul de l'erreur de prévision que l'on cherche à minimiser. Nous rappelons ici l'expression des trois critères les plus fréquemment utilisés.

-Erreur absolue moyenne (Mean Absolute Error)

MAE = ?t 1 N

à et

-Racine de l'erreur quadratique moyenne (Root Mean Squared Error)



1

eà 2

t



N

?_t

RMSE =

-Ecart absolu moyen en pourcentage (Mean Absolute Percent Error)

1 MAPE = ? 100 N t	à et Xt

Où N est le nombre d'observation de la série X _t étudiée et eà_t désigne les résidus estimés. Plus

la valeur de ces critères est faible, plus le modèle estimé est proche des observations.
· Les Critères d'information

L'idée sous - jacente consiste à choisir un modèle sur la base d'une mesure de l'écart entre la vraie loi inconnue et le modèle estimé. Cette mesure peut être fournie par la quantité d'information de Kullback. Les différents critères ont alors pour objet d'estimer cette quantité d'information. Il en existe plusieurs, Nous présentons ici les trois critères les plus fréquemment employés.

a) Critère d'information d'Akaike (AIC) (1969)

Le meilleur des modèles ARMA (p, q) est le modèle qui minimise la statistique : AIC (p, q) = n Log ²

?à_e + 2 (p+ q)

b) Critère d'information Bayésien (BIC)

Ce critère présente l'avantage de pénaliser les modèles où les paramètres sont en surnombre comparativement à l'AIC. Il est donné par :

? ? ? ? ? 1

? 2

p q ? 1

BIC (p, q) = n Log ²

?à_e - (n-p-q) Log ?J

?? 1 + (p+q) Log 2

? n ? ? ? ? ?

( ) à 1

?

p q e

? ? - J J

a _e

c) Critère de Schwartz 1978

SC (p, q) = n Log ²

?à_e + (p+ q) Log n

d) Critère de Hannan-Quin 1979

[

HQ 69, q) = Log 6^-:+ (p+ q) c Log Log ni

Où c (c >2) est une constante.

n

Remarque : Le critère le plus utilisé est le critère AIC. Cependant Hannan (1980) a montré que seuls les estimations des ordres p et q déduits des critères BIC et HQ sont convergentes et conduisent à une sélection asymptotiquement correcte du modèle.

Nous cherchons à minimiser ces différents critères. Leurs applications nous permettent de retenir un modèle parmi les divers processus ARMA validés. Ainsi s'achève l'étape de validation. La dernière étape de la méthodologie de Box & Jenkins est celle de la prévision.


· Principe de parcimonie

Lorsqu'on veut modéliser une série chronologique, par un processus Stochastique et dans le cas où les critères d'information AIC et BIC de deux ou plusieurs modèles retenus seraient très proches ou contradictoires, nous faisons intervenir ce principe qui cherche à minimiser le nombre de paramètre requis; il est préférable de conserver un modèle qui est ½moins bon½, mais qui contient moins de paramètres.

II.5 Prévision

L'objectif de la modélisation de Box et Jenkins est la prévision de futures valeurs de la série chronologique. A l'horizon h la valeur de la prévision X^à(t + h )notée I_t (h ) est l'espérance conditionnelle de X(t+ h) telle que :

X^à_t (h ) = E(Xt+h / X_t , _Xt--1 )

It (h )

est la prévision (la valeur estimée de X t+h)

t :l'origine de la prévision.

h : l'horizon de la prévision

L'espérance conditionnelle de la prévision est définie par : 1 -- X(t -- j) X(t), X(t --1), ...., X(1)}=X(t -- j), j>_0

2 Ef X(t+ j) X(t),X(t--1),....,X(1)}=Yi( j), j > 0

3 Ef e(t -- j) X(t),X(t--1),....,X(1)}=e(t-- j), j 0 4 -- Ef e(t + j) X(t), X(t --1), ...., X(1)}=0, j > 0

Nous considérons un processus ARIMA (p, d, q) défini par :

?(L )v^dX_t = (L )e_t, t > 0

où 0(L) =E(AÉ, 0(L)= E0 avec 0₀ 0₀ 1, et V^d (1-- L) i

p q

d

i=

0 i=0

Nous pouvons écrire :

? ? ? ? ? ? q q d d d ? _ ? _ = ? _ ? ? ? _ 1 1 1 ? ? ? O O ^i ( ) ( ) i i L L L L i ? ? ? ? ? j i = 0 i j = = 0 0

d j _**

X t = 49 ₁ Xt _ 1 + 492X t _2 +
·
·
· + ÇO _p Xt _ p _ d

Où les ço_i sont obtenus à partir du développement de * * Pour un horizon h, l'équation s'écrit:

p q q

+

X h E X t j X t X t ? X h ? e h i

u( ) ( ) u( ) $( )

t = + _ = ? _ ? _

( ) ( ), ( 1),... i t i t

i i

= =

1 1

0 pour i < h

où ( )

? _

å h-i

( )

t

pour i h

?

$ h i =

t r??

? L'erreur de prévision

Soit _et+h l'erreur de la prévision à l'instant t+h : ut+h

e t+h = X _t+h - X

Nous notons que : E (e t+h) = 0, Var (e t+h) = ( )

1 + r ₁ + r ₂ +... + r h _ 1 a e

2 2 2 2

Donc Xt + h ~ ( ( ² ) ² )

N Xt + h + 'T' + 'I' + + P h _ a

à , 1 1 ...

2 2

2 1

D'où les intervalles de confiance de la prévision à (1-a )% donnée par :

à

X t h X t h Z _a a

= #177;

+ + 1

( 1 ... );

+ q1 + q1 + + p

2 2 2

1 2 h _ 1



_

2

où ? _ 2 ?

Z est le quantile d'ordre ??

[\ 1 ^a de la loi normale centrée réduite. Pour a = 5% Nous

1 a

_

2

avons :

X t h X t h 0

= #177;

à 1 . 9 6

+ +

( ² )

1 1 ...

+ ? + ? + + ?

2 2

2 h _ 1



Les critères suivants sont utilisés pour juger la validité de la méthode de prévision :

1
e e

= ? i

n i

1- L'erreur moyenne (Mean Error) ME (e) =

n

= 1

n 2- La variance Var (e) = ( ) n e e _ 1 ?= i i 1

2

n

1

3-

e ²

i

Le carré moyen des erreurs (Mean Square Error) MSE (e ) = ?=

n 1

i



Très utilisé, car il pénalise un biais éventuel dans la prévision.



n

4- Root mean square error RMSE (e ) = MSE( ? ) = 2

1 ??

i

n i = 1

Conclusion

Ainsi s'achève la partie méthodologie de Box & Jenkins; au chapitre suivant on passe à l'application de cette méthode sur les séries étudiées.

Modélisation de la série SPY

Notation

La série SPY est l'actif qui correspond à la valeur des actions de 500 compagnies les plus représentatives de l'économie américaine. Il couvre la plupart des secteurs de l'industrie et est échangé sur les marchés NASDAQ et NYSE (New York Stock Exchange).

La valeur de l'actif SPY tient compte de la capitalisation boursière des compagnies qu'il contient.

Identification

Les données de la série SPY s'étalent sur une période de trois ans, les observations sont journalières ; du 03 janvier 2005 au 30 novembre 2007 soit 760 observations. L'unité de mesure est le dollar américain.

I- Analyse graphique

Graphe de la moyenne et de la variance de la série brute SPY

D'après les deux graphes ci-dessous, on remarque que la moyenne et la variance varient au cours du temps, donc on peut appréhender la non stationnarité de cette série.

Pour vérifier ceci, on va appliquer des tests statistiques juste après la présentation des corrélogrammes simple et partiel de la série brute.



Diagramme séquentiel de la série brute SPY

On voit clairement sur le graphe de la série brute que ce processus est non stationnaire et cela provient tout naturellement de la présence d'une tendance haussière.



165

160

155

150

145

140

135

130

125

120

115

110

105

56 111 166 221 276 331 386 441 496 551 606 661 716
TEMPS(JOURS)

GRAPHE DE LA SERIE SPY

SPY

Examen du corrélogramme de la série SPY

On constate que la fonction d'autocorrélation simple (colonne AC) décroit très lentement, cela est typique d'une série non stationnaire. En revanche, la fonction d'autocorrélation partielle (colonne PAC) a seulement son premier terme significativement différent de 0 (l'intervalle de confiance est stylisé par les pointillés).



-Corrélogramme de la série SPY-

II -Analyse analytique

Application du test de Dickey- Fuller Augmenté (DFA)

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [1], [2] et [3] de Dickey-Fuller sur la série SPY.

Remarque

On choisit le retard (d=1) qui minimise les critères d'informations d'Akaike et Schwarz.

s Modèle [3]

d A = + + â + A + SPY q$ SPY ? c t q$ SPY e t t 1 j t j t ? j ? 1 Avec et est un processus stationnaire

.

On commence par tester la significativité de la tendance en se référant aux tables de DickeyFuller. Le résultat du test sur la série SPY est donné dans la table suivante:



On compare la t-statistique du coefficient de la tendance (@trend) avec la valeur donnée par la table de Dickey-Fuller. La tendance est significativement différente de zéro puisque sa statistique (3,37) est supérieure à la valeur critique (2,78) au seuil 5%.

De plus la statistique de Student t?à = -3,4756 est inférieure à la valeur critique -3,4157

(donnée par la table de Dickey- Fuller) pour le seuil 5%. D'où la série ne possède pas une racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Donc la série SPY est non stationnaire de type TS, pour la stationnariser on a eu recours à un ajustement linéaire, car le R² associé est égal à 0,918 (d'après les résultats obtenus par le logiciel SPSS 10.0).

Dépendent	MTH	RSQ	D.F	F	SIGF	b0	b1	b2	b3
SPY	LIN	0,918	758	8458,49	0	108,406	0,0573
SPY	LOG	0,615	758	1208,9	0	71,087	10,4867
SPY	INV	0,041	758	32,26	0	130,773	-58,267
SPY	QUA	0,93	757	5017,82	0	111,648	0,0318	3,40E-05
SPY	CUB	0,938	756	3808,11	0	114,794	-0,0176	0,0002	-1,00E-07
SPY	COM	0,927	758	9584	0	109,689	1,0004
SPY	POW	0,638	758	1334,03	0	81,9846	0,0812

Remarque

On note la série ajustée par AJSPY, elle est donnée par la formule suivante : AJSPY = SPY - y(t).

Où y(t) est l'équation de la tendance.

Estimation de la tendance:

L'estimation de l'équation de la tendance y(t) est donnée par :

y(t)=b₀ + bt 1

Les coefficients b₀, b₁ sont données par le tableau ci-dessus :

D`ou l`équation de la tendance est la suivante : y(t)= 108, 406+ 0,0573t

Graphe de l'ajustement linéaire de la série SPY



On remarque d'après ce graphe que la droite suit le mouvement ascendant du graphe. Diagramme séquentiel de la série ajustée AJSPY



-12

12

-4

-8

4

8

0

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751

AJSPY

D'après le graphe on constate que la série AJSPY semble stationnaire. Pour confirmer cette supposition, on va appliquer les tests statistiques appropriés.

Test de Dickey- Fuller Augmenté sur la série AJSPY

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [1], [2] et [3] de Dickey-Fuller sur la série AJSPY.

Corrélogramme de la série AJSPY



On voit que la fonction d'autocorrélation de la série AJSPY décroit vers zéro et la première autocorrélation partielle est clairement significative. Cette structure est peut être celle d`une série stationnaire.

Pour confirmer cela, on fait appel aux tests de Dickey-Fuller augmenté et de Fisher.

Test de Dickey- Fuller augmenté sur la série AJSPY

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [4], [5] et [6] de Dickey-Fuller sur la série AJSPY.

Modèle [6]

d A = + + â + ? A + AJSPY AJSPY ? c t AJSP Y e t t 1 j t j t j ? 1 Avec et est un processus stationnaire.

.

On vérifie alors l'absence d'une tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat du test pour la série AJSPY est donné par la table

suivante :



On remarque que la t- statistique de la tendance (= 0,157) est inférieure aux valeurs critiques 3,48 ; 2,78 et 2,38 (données par la table de Dickey- Fuller) pour les seuils 1%, 5% et 10%, on le confirme par la probabilité 0,875 1 supérieure à 0,05.

Donc l'hypothèse nulle est bien entendu accepté, la série AJSPY n'est pas affectée d'une tendance.

Modèle [5]

d

.

A = + C + A +

A JS P Y A JSP Y Çb A JS P Y ?

t t -1 j t j t

-

j ? 1

Après rejet du modèle [6], on procède au test d'absence de la constante, dont le résultat est donné par la table suivante :



On remarque que la t-statistique de la constante (= -0,3549) est inférieure aux valeurs critiques 3,72 ; 3,08 et 2,72 (données par la table de Dickey- Fuller) pour les seuils 1%, 5% et 10%, on le confirme par la probabilité 0,7227 supérieure à 0,05.

Donc, on rejette l'hypothèse de présence d'une constante.

Modèle [4]

d

.

A = + A +

A JSP Y q$ A JSP Y ? q$ A JSP Y ?

t t j t j t

1 ?

j

?

1

On teste alors la présence d'une racine unitaire dans le processus en vérifiant la nullité du paramètre q$ à l'aide d'une statistique de Student, où q$^à désigne l'estimateur des moindres

carrés ordinaires (MCO).

Le résultat du test pour la série AJSPY est donné dans le tableau suivant :



La statistique de Student (t?à = -3,4793 ) est inférieure aux valeurs critiques -2,5680 ; -1,9412

et -1,6164 pour les seuils 1%, 5% et 10%, d'où la série ne possède pas de racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Test de FISHER pour la série AJSPY

Pour détecter la saisonnalité de la série, on a fait appel à l'analyse de la variance à deux facteurs sans répétition.

TABLE DE l'ANOVA

SDV	SDC	DDL	Moyenne des carrés	Fc	Probabilité	Valeur critique pour F
Lignes	10130,7981	151	67,0913779	63,136	1,412E-292	1,22674639
Colonnes	2,81115108	4	0,70278777	0,661	0,61904387	2,38668545
Erreur	641,834829	604	1,06264045
Total	10775,444	759

Test d'influence du facteur colonne, la période (jours : H₀ = pas d'influence)

V

Calcul de la statistique de Fisher p

F_c ? que l'on compare à la valeur théorique lue dans la

V R

table.

F v ;v à v ₁ =p-1 et v ₂ =(N-1)(p-1) degrés de liberté.

á

1 2

F c = 0,66 1 ~ F v ;v =2,386 , donc on accepte l'hypothèse nulle, la série n'est pas saisonnière.

á

1 2

Test d'influence du facteur ligne, la tendance (H₀ =pas d'influence du facteur semaine)

' V S que l'on compare à la valeur théorique 3 2

F v ;v à v ₃ =N-1 et v ₂ =(N-1)(p-1) degrés de

á

F =

^c V R

liberté.

F c = 63,136 > F v ;v =1,226 ; donc on rejette l'hypothèse nulle la série est peut être affectée

á

3 2

d'une tendance. Mais d'après le test de Dickey-Fuller la tendance n'est pas significativement différent de zéro, car il est plus précis que le test de Fisher pour la tendance.

Désignation

V_p : La variance de la période, V_R: la variance résiduelle, V_S : la variance de la semaine, N:

nombre de semaines, p : le nombre d'observations (périodicité) dans la semaine (jours p=5). En conclusion La série AJSPY est donc stationnaire; c'est à dire intégrée d'ordre 0. Estimation des paramètres du modèle

Il convient à présent d'estimer le modèle susceptible de représenter la série. En observant les corrélogrammes simple et partiel de la série stationnaire AJSPY, On remarque que la fonction d'autocorrélation simple (AC) possède des valeurs importantes aux retards q= 1, 2, 3, 4, 5...; et la fonction d'autocorrélation partielle (PAC) possède des valeurs importantes aux retards p=1, 2,4.

Par conséquent on a plusieurs modèles candidats parmi lesquels nous avons sélectionné deux modèles :

Modèles	AIC	BIC
ARMA (3, 3)	2,86	2,89
ARMA (4, 2)	2,86	2,89

On a choisi le modèle ARMA (3, 3) d'après le critère de parcimonie, car les deux modèles ont les mêmes valeurs de AIC et BIC.

Estimation du processus ARMA (3,3)

L'estimation des processus ARMA repose sur la méthode du maximum de vraisemblance. On

suppose que les résidus suivent une loi normale de moyenne nulle et de variance ²

o_? .



L'étape d'estimation achevée, l'étape suivante permet de valider ou non le modèle estimé.

Validation du processus ARMA (3,3)

Test sur les paramètres

On remarque que tous les paramètres du modèle sont significativement différents de zéro. En effet les statistiques de Student associées sont en valeur absolue supérieurs à 1,96, ce qui est confirmé par les probabilités de nullité des coefficients qui sont toutes inférieures à

0, 05(voir tableau estimation du processus précédent).

Graphique des inverses des racines



D'après la représentation graphique des inverses des racines des polynômes de retards moyenne mobile et autorégressif on s'aperçoit qu'ils sont tous supérieurs à 1 en module (leurs inverses sont en module, inférieurs à 1).

Graphique des séries résiduelles réelles et estimées



A partir de la représentation graphique des séries résiduelles réelles et estimées nous constatons que le modèle estimé ajuste parfaitement la série AJSPY.

Il convient maintenant d'analyser les résidus à partir de leur fonction d'autocorrélation et d'appliquer une série de tests.

Tests sur les résidus

$ $ ( )

Ces tests ont pour objet de vérifier la blancheur des résidus estimés ( u L X

ê t = _t ) en

? $ ( )

L

appliquant des tests d'absence d'autocorrélation et des tests d'homoscédasticité. Tests d'absence d'autocorrélation

Il existe un grand nombre de tests d'absence d'autocorrélation, les plus connus étant ceux de Box et Pierce (1970) et Ljung et Box (1978), test des points de retournements dont on rappelle brièvement le principe ci-dessous.

s Test de Box - Ljung

On a à tester l'hypothèse nulle :

H₀ : « Les autocorrélations jusqu'au pas K, (K=N/5) ne sont pas significatives » C'est-à-dire H₀ : « p₁ = p₂ =... ? p_K = 0 » Contre H₁ : « ?p j : j = 1,K ,99 tel que p_j ~ 0 ».

2

.

K

Ce test est basé sur la statistique de Box-Ljung au pas k : E ? ?

Q n n

= +

( 1) Y _k

n k

k ¹

Si 2

Q ? ? 0,95 ( K - p - q - P - Q ) , nous acceptons l'hypothèse H ₀ .

Les valeurs de la statistique de Box-Ljung ont de fortes probabilités. Ce qui entraîne à dire que les résidus forment un bruit blanc.

Corrélogramme simple et partiel des résidus



La probabilité de la statistique de Box-Ljung est supérieure à 0,05 pour tous les retards et la valeur de la statistique de Box-Ljung quand k = 99, p = 3, q = 3, P = 0 et Q = 0 égale à 62,153 est inférieure à ²

?0., 95 (93) = 116,51 ; On conclue alors que les erreurs ne sont pas corrélées.

Conclusion

Les résultats du test de Box - Ljung sont identiques à ce qu'on a remarqué de visu sur les corrélogrammes simple et partiel.

s Test des points de retournements

Il s'agit de tester l'hypothèse nulle :

H₀ : « Les e_i sont aléatoires » contre

H₁ : « Il existe une corrélation entre les e_i i = 1,..., n ».

Après les calculs à l'aide du Visual Basic on a obtenu les résultats suivants :

n - 2

Le nombre des points de retournements égal à P = ?

Xi = 490

i = 1

On a : n = 754 donc 2

E P n et Var P -

16 29 n

( ) ( 2) 504,66 ( ) 134.61

= - = = =

3 90

VAR ( P ) = 11,602 , ( ) 1,26

P E P



-

S = 1.26< S (tabulée) = 1,96

S = = - . Donc :



Var P

( )

Alors, on accepte l'hypothèse H₀ : « les résidus sont aléatoires ».

s Test de nullité de la moyenne des résidus

Pour tester l'hypothèse H₀: « m=0 » contre H₁ : « m ~ 0 » on utilise le test de Student

? t

.

o_?/ n-1

basé sur la statistique : t =

Si t < t_n-1 à 5% (=1,96) on accepte l'hypothèse de nullité de la moyenne des résidus



D'après le Tableau ci-dessus on a :

t = 0,3 80 qui est inférieure à 1,96; Donc on accepte

l'hypothèse H₀: « la moyenne des résidus est nulle ».

s Tests de normalité sur les résidus du modèle optimal

Les tests sont effectués à partir des valeurs empiriques des coefficients de Skewness, Kurtosis et la statistique de Jarque-Bera données par le logiciel EVIEWS 5.0. En utilisant le logiciel on a l'histogramme suivant :



s Test de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (aplatissement)



7 7

1 2

~ ?

0 0

ou

:

H₀

:

² -

0

7₁

6

= fi¹ 1

Coefficient de Skewness :

3

fi₂

=

7

2

24

N

?

??

On teste les hypothèses suivantes :

?₁

77 1 2
= =
0 0
et

H₁

Coefficient de Kurtosis :

N

P

Où : 3 2

fi =

1 2 3 : est le coefficient de Skewness (l'indicateur d'asymétrie des résidus).

¹ P2

P

fi = : est le coefficient de Kurtosis (le degré d'aplatissement de la loi des résidus).

4

P ₂

2 2

Sous l'hypothèse H₀ et si le nombre d'observations est assez grand (N >30), on a :

P ?

????

_N N

^L 0,

--oo ?

?

6 ? ???????? ( )

1 .

N ? ?

fi



1 23
1 3 2

=

P ₂





¹² -

fi₁

P ₄

fi = 2 2 P 2	? ???? N N L ?? ? ?	24 ? 0, N ? ?		( ) 2

Après calculs on a obtenu :



6
N

7₁

-

24

Test de Skewness:

Test de Kurtosis:

0 = 6,93 > 1, 96.

3 = 19,03 > 1,96.

72	fi =		2

N

Alors, les résidus ne sont pas gaussiens. Ce qui est confirmé par le test de Jarque et Bera s Test de Jarque et Bera

On définit la statistique S par : S = ( )2

N N

fi ?

1 2 3

fi -

6 24

Sous (1) et (2) : S( 2)

3 Z 1 - a

2



On teste H₀ : « accepter la normalité des résidus au seuil a =0,05 » contre H₁ : « Il n'y a pas de normalité des résidus ».

Si S ( 2)

> Z 1 _ a on rejette l'hypothèse H₀ sinon on l'accepte.

2

D'après le tableau la statistique de Jarque et Bera notée (S) est égale à 409,9777 ; elle est supérieure à (2)

Z = 5,99.

2

s Test QQ-Plot (méthode graphique)

Le nuage de point (en bleu) est formé par (quantiles de N(0,1), quantiles empiriques réduits des résidus), sous H0 le nuage est rectiligne sur la droite rouge y=x )

On remarque que le nuage de point n'est pas rectiligne sur la droite, donc l'hypothèse nulle est rejetée c'est-à-dire les résidus ne suivent pas une loi normale.

On affirme donc que les résidus forment un bruit blanc non gaussien.

Remarque

On ne peut pas appliquer le test de Durbin-Watson et le test d'indépendance de Von Neumann puisque les résidus ne sont pas gaussiens.

Test d'homoscédasticité

s Test d'effet ARCH

Une première observation du graphe des résidus ci-dessous montre que la moyenne de cette série est constante alors que sa variance change au cours du temps. De plus le processus étant non gaussien, on suspecte la présence d'un effet ARCH.



Corrélogrammes simple et partiel des résidus au carré



A partir du Corrélogramme on remarque plusieurs termes significativement différents de zéro cela veut dire qu'il y a certainement un effet ARCH. Pour cela on est passé au test d'homoscédasticité dont le résultat est sur le tableau ci-dessous :



On a la statistique du multiplicateur de Lagrange (n*R²) = 5,7585 qui est supérieure à z2 (1) = 3,84, on rejette l'hypothèse nulle d'homoscédasticité en faveur de l'hypothèse alternative d'hétéroscedasticité conditionnelle.

Identification du modèle de type ARCH

On a eu plusieurs modèles ARCH avec des ordres p assez grands. Par conséquent on est passé au modèle GARCH (1,1).

Les résultats obtenus dans la table ci-dessous montrent que les paramètres de l'équation de la variance conditionnelle sont significativement différents de zéro.



Le modèle retenu avec erreur GARCH (1, 1) s'écrit sous la forme suivante :

(1 0,91 ) (1 0,89 0,85 0,08 )

- = + + -

B AJSPY B B B

3 2 3 & t

?



? ? =

& 17h 17 :

IID ( )

0, 1

t t t t

? ?L = + +

h h

0,0156 0,057 0.929

& - -

2

t t t

1 1

Prévision

Pour faire des prévisions, on remplace t par t+h dans l'expression ci-dessus du modèle générateur de la série.

On a par la suite

Observation	Prévision	Valeur réelle	Borne Inf	Borne Sup
761	148,71	147	144,84	152,70
762	148,96	145,59	143,54	154,56
763	148,99	148,02	142,55	155,41
764	149,18	150,14	142,09	156,40
765	149,41	150,11	141,54	157,47

Graphe de la série réelle et la série prévue



Modélisation de la série IEV

Notation

La série IEV est l'actif qui correspond à la valeur des actions de 350 sociétés économiques qui sont représentatives de l'économie européenne. Cet actif mesure la performance des actions de compagnies en Autriche, Belgique, Danemark, Finlande, France, Allemagne, Grèce, Italie, Pays Bas, Norvège, Portugal, Espagne, Suède, Suisse et Grande-Bretagne.

Identification Les données de la série IEV s'étalent sur une période de trois ans, les observations sont journalières ; du 03 janvier 2005 au 30 novembre 2007 soit 760 observations. L'unité de mesure est le dollar américain.

I- Analyse graphique

Graphe de la moyenne et la variance de la série brute IEV

D'après les deux graphes ci-dessous, on remarque que la moyenne et la variance varient au cours du temps, donc on peut appréhender la non stationnarité de cette série.

Pour vérifier ceci, on va appliquer des tests statistiques juste après la présentation des corrélogrammes simple et partiel de la série brute.



93,74

93,62

93,38

93,26

93,14

93,02

93,5

92,9

1 2 3 4 5

IEV

MOYENNE



271

270

269

268

267

266

265

264

263

262

261

260

1 2 3 4 5

IEV

VARIANCE

Diagramme séquentiel de la série brute IEV

On voit clairement sur le graphique de la série brute que ce processus est non stationnaire et cela provient tout naturellement la présence d'une tendance haussière.



130

120

110

100

90

80

70

60

50

1 71 141 211 281 351 421 491 561 631 701

TEMPS (JOURS)

IEV

GRAPHE DE LA SERIE BRUTE IEV

Examen du corrélogramme de la série IEV

On constate que la fonction d'autocorrélation simple (colonne AC) décroît très lentement, cela est typique d'une série non stationnaire. En revanche, la fonction d'autocorrélation partielle (colonne PAC) a seulement son premier terme significativement différent de 0 (l'intervalle de confiance est stylisé par les pointillés).



-Corrélogramme de la série IEV-

II- Analyse analytique

Application du test de Dickey- Fuller Augmenté (DFA)

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [1], [2] et [3] de Dickey-Fuller sur la série IEV.

Remarque

On choisit le retard (d=1) qui minimise les critères d'informations d'Akaike et Schwarz.

s Modèle [3]

d

A = + + + A + .

IEV IEV ? c fi t Çb IE V e

t 1 j t j t

?

j

?

1

Avec e_t est un processus stationnaire.

On commence par tester la significativité de la tendance en se référant aux tables de DickeyFuller. Le résultat du test de la série IEV est donné dans la table suivante:



On compare la t-statistique du coefficient de la tendance (@trend) avec la valeur donnée par la table de Dickey-Fuller. La tendance est significativement différente de zéro puisque sa t - statistique (3,609) est supérieure à la valeur critique (2,78), au seuil statistique 5%. De plus la statistique de Student t?à = -3,6026 est inférieure a la valeur critique -3,415 (donnée par la

table de Dickey- Fuller) pour le seuil 5%. D'où la série ne possède pas une racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Donc la série IEV est non stationnaire de type TS, pour la stationnariser on a eu recours à un ajustement linéaire, car le R² associé est égal à 0.953.

Dépendent	MTH	RSQ	D.F	F	SIGF	b0	b1	b2	b3
IEV	LIN	0,953	758	15247,1	0	65,81	0,0724
IEV	LOG	0,639	758	1341,57	0	13,2503
IEV	INV	0,143	758	34,16	0	-74,217
IEV	QUA	0,962	757	9513,65	0	0,045	3,60E-05
IEV	CUB	0,972	756	8801,92	0	73,7256	-0,0247	0,0003	-2, E-07
IEV	COM	0,961	758	18657,8	0	1,0008
IEV	POW	0,674	758	1569,13	0	0,1454

Remarque

On note la série ajustée par AJIEV elle est donnée par la formule suivante :

AJIEV = IEV - y(t)

Où y(t) est l'équation de la tendance.

Estimation de la tendance

L`estimation de l'équation d'ajustement y(t) qui est donnée par l`équation suivante :

y(t)=b₀+b₁ t

Les coefficients b_o, b₁ sont données par le tableau ci-dessus : D'où l`équation de la

tendance est la suivante :

y(t)=65,81+0,0724 t

Graphe de l'ajustement linéaire de la série IEV



Diagramme séquentiel de la série ajustée AJIEV



-12

12

-4

-8

4

8

0

1 76 151 226 301 376 451 526 601 676 751

AJ IEV

D'après le graphe on constate que la série AJIEV semble stationnaire. Pour confirmer cette affirmation on va appliquer les tests statistiques appropriés.

Test de Dickey- Fuller Augmenté sur la série AJIEV

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [1], [2] et [3] de Dickey-Fuller sur la série AJIEV.

Corrélogramme de la série AJIEV

On remarque que la fonction d`autocorrélation de la série AJIEV décroît rapidement vers zéro et la première autocorrélation partielle est hautement significative. Cette structure est peut être celle d`une série stationnaire.

On va confirmer cette affirmation a l`aide du test de Dickey-Fuller et du test de Fisher.



Test de Dickey- Fuller Augmenté sur la série AJIEV

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [4], [5] et [6] de Dickey-Fuller sur la série AJIEV.

Modèle [6]

d

.

? = + + â + A +

AJIEV çb AJIE V ? c t çb AJIEV e

t t 1 j t j t

?

j

?

1

Avec e_t est un processus stationnaire.

On vérifie alors l'absence d'une tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat du test pour la série AJIEV est donnée par la table suivante :



On remarque que la t- statistique de la tendance (= 0,43 79) est inférieure aux valeurs critiques 3,48; 2,78 et 2,38 (données par la table de Dickey- Fuller) pour les seuils 1%, 5% et10%, on le confirme par la probabilité = 0,6616 supérieure à 0,05.

Donc la tendance n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [5]

d

A = + + ? A +

AJIEV A JIE V ? AJIE V E

C .

t t j t j t

1 ?

?

1

j

Après rejet du modèle [6], on procède au test d'absence de la constante, dont le résultat est donné par la table suivante :



On remarque que la t-statistique de la constante (= -0.2859) est inférieure aux valeurs critiques 3,72; 3,08 et 2,72 (données par la table de Dickey- Fuller) pour les seuils 1%, 5% et 10%, on le confirme par la probabilité 0,775 supérieure à 0,05.

Donc la constante n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [4]

d

A = ? ? A ?

A J IE V q$ A J IE V q$ A J IE V ?

t t j t j t .

-1 -

j=1

On teste la présence d'une racine unitaire dans le processus en testant la nullité du paramètre q$ à l'aide d'une statistique de Student, où q$^à désigne l'estimateur des moindres carrés

ordinaires (MCO).

Le résultat du test pour la série AJIEV est donné dans le tableau suivant :



La statistique de Student (t?à = -3,650) est inférieure aux valeurs critiques -2,5680; -1,9412

et -1,6164 pour les seuils 1%, 5% et 10% , d'où la série ne possède pas de racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Test de FISHER pour la série AJIEV Table de l'ANOVA

SDV	SDC	DDL	Moyenne des carrés	F	Probabilité	Valeur critique pour F
Lignes	8945,18746	151	59,2396521	61,524	1,942E-289	1,226
Colonnes	2,05511717	4	0,51377929	0,534	0,71110566	2,386
Erreur	58 1,573868	604	0,96287064
Total	9528,81645	759

Test d'influence de facteur colonne, la période (jours : H₀ = pas d'influence)

Fs tat = 0,534 <Ftheo = 2,386 donc on accepte l'hypothèse nulle ; la série n'est pas saisonnière. Test de l'influence du facteur ligne, la tendance (H₀ =pas d'influence du facteur

semaine)

F^?_c = 61,524 > tabF? = 1,226 donc (on rejette l'hypothèse nulle) la série est peut être affectée d'une tendance.

En conclusion la série AJIEV est donc stationnaire, c'est à dire intégrée d'ordre 0. Estimation des paramètres de modèle

Il convient à présent d'estimer le modèle susceptible de représenter la série. En observant les corrélogrammes simple et partiel de la série stationnaire AJIEV, nous remarquons que la fonction d'auto corrélation simple (AC) possède des valeurs importantes aux retards q=1, 2, 3, 4, 5... ; et la fonction d'auto corrélation partielle (PAC) possède des valeurs importantes aux retards p=1,2 et 4 .

Par conséquent nous avons plusieurs modèles candidats parmi lesquels nous avons sélectionné deux modèles :

Modèles	AIC	BIC
ARMA (1, 1)	2,77	2,78
ARMA (4, 2)	2,77	2,79

On a choisi le modèle parcimonieux qui minimise les deux critères AIC et BIC qui est le modèle ARMA (1, 1).

Estimation du processus ARMA (1,1)



Test de validation des paramètres

On remarque que tous les paramètres du modèle sont significativement différents de zéro. En effet les statistiques de Student associées sont en valeur absolue supérieurs à 1,96, ce qui est confirmé par les probabilités de nullité des coefficients qui sont toutes inférieures à 0,05.

Graphique des inverses des racines

D'après la représentation graphique des inverses des racines des polynômes de retards moyenne mobile et autorégressif nous constatons qu'ils sont tous les deux supérieurs à 1 en module (leurs inverses sont en module, inférieures à 1).



Graphique des séries résiduelles réelles et estimées

La représentation graphique des séries résiduelles réelles et estimées fait ressortir que le modèle estimé ajuste convenablement la série AJIEV.



Il convient maintenant d'analyser les résidus à partir de leur fonction d'autocorrélation et d'appliquer une série de tests.

Tests sur les résidus du modèle optimal

s Test de Box - Ljung

Les valeurs de la statistique de Box-Ljung ont de fortes probabilités. Ce qui nous entraîne à dire que les résidus forment un bruit blanc.

Corrélogramme simple et partiel des résidus



La probabilité de la statistique de Box-Ljung est supérieure à 0,05 pour tous les retards et la valeur de la statistique de Box-Ljung quand k = 99, p = 1, q = 1, P = 0 et Q = 0 égale à 83,488 est inférieure à ²

?0., 95 (97) = 120,99 ; on conclut alors que les erreurs ne sont pas corrélées.

Conclusion

Les résultats du test de Box - Ljung sont identiques à ce que nous avons remarqué de visu sur les corrélogrammes simple et partiel.

s Test des points de retournements

n -- 2

Le nombre des points de retournements égal à P = ?

Xi = 520

i ? 1

On a : n = 759 donc 2

E P n et VAR P --

16 29 n

( ) ( 2) 504,66 ( ) 134, 61

? -- = = =

3 90

VAR ( P ) = 11,56 , ( ) 2,01.

P E P

--

S ? = Donc :

Var P

( )





S = 1,32< S (tabulée) = 1,96

Alors, on accepte l'hypothèse H₀ : « les résidus sont aléatoires ».



12 ?

fi₁

s Test de nullité de la moyenne des résidus



D'après le Tableau ci-dessus on a :

t = 0,156 qui est inférieure à 1,96 ; Donc on accepte

l'hypothèse H₀ : « la moyenne des résidus est nulle ».

s Tests de normalité sur les résidus du modèle optimal



s Test de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (aplatissement) Après calculs nous avons obtenu :



6
N

7₁

72	fi ?		2

?

24

Test de Skewness:

Test de Kurtosis :

0= 7,87 > 1, 96.

3 = 19,56 > 1,96.

N

Alors : les résidus ne sont pas gaussiens. Ce qui est confirmé par le test de Jarque et Bera.

· Test de Jarque et Bera

D'après le tableau la statistique de Jarque et Bera (notée S) est égale à 464,095; elle est supérieure à (2)

? = 5,99. On conclue que les résidus forment un bruit blanc non gaussien.

2

· Test QQ-Plot (méthode graphique)



On remarque que le nuage de point n'est pas rectiligne sur la droite, donc l'hypothèse nulle est rejetée c'est-à-dire les résidus ne suivent pas une loi normale.

Test d'homoscédasticité

· Test d'effet ARCH

Une première observation du graphe des résidus ci-dessous montre que la moyenne de cette série est constante alors que sa variance change au cours du temps. De plus le processus étant non gaussien, on suspecte la présence d'un effet ARCH.



Corrélogrammes simple et partiel des résidus carré



A partir du corrélogramme on remarque plusieurs termes significativement différents de zéro cela veut dire qu'il ya certainement un effet ARCH. Pour cela on est passé au test d'effet ARCH dont les résultats sont sur le tableau ci-dessous :



On a la statistique du multiplicateur de Lagrange n*R² (= 15,31) qui est supérieure à z2 (1) = 3,84, on rejette l'hypothèse nulle d'homoscédasticité en faveur de l'hypothèse alternative d'hétéroscedasticité conditionnelle.

Identification du modèle de type ARCH

On a eu plusieurs modèles avec des ordres p assez grands. Par conséquent on opte pour le modèle GARCH (1,1).

Les résultats obtenus dans la table ci-dessus montrent que les paramètres de l'équation de la variance conditionnelle sont significativement différents de zéro.



Le modèle retenu avec erreur GARCH (1, 1) s'écrit sous la forme suivante :

(1 0, 97 ) (1 0, 09 )

+ = --

B Ajiev B

t

g

= h :

IID

t t t ? 1 t

= + +

0, 009 0, 066 0, 928

g ²

h h

t t t

? ?

1 1

?
? ?

? ?

t



( )

0, 1

Prévision :

Pour faire des prévisions, on remplace t par t+h dans l'expression ci-dessous du modèle générateur de la série.

On obtient par la suite

Observation	Prévision	Valeur réelle	Borne Inf		Borne Sup	761
120,51	116,80	116,88	124,16		762
120,60	116,10	115,77	125,44		763
120,68	117,05	114,95	126,42		764
120,77	118,29	114,30	127,23		765
120,85	117,99	113,77	127,93

Graphe de la série réelle et la série prévue



Modélisation de la série QQQQ

Notation

La série QQQQ est l'actif qui correspond à la valeur des actions des cents plus grandes compagnies innovantes, autres que financières, américaines et internationales cotées au NASDAQ. Les cents plus grandes compagnies sont déterminées par leur capitalisation sur le marché américain NASDAQ.

Identification

Les données de la série QQQQ s'étalent sur une période de trois ans, les observations sont journalières ; du 03 janvier 2005 au 30 novembre 2007 soit 760 observations. L'unité de mesure est le dollar américain.

I- Analyse graphique

Graphe de la moyenne et la variance de la série brute QQQQ

D'après les deux graphes ci-dessous on peut remarquer que la moyenne et la variance varient au cours du temps, on peut donc appréhender la non stationnarité de cette série.

Pour vérifier ceci, on va appliquer des tests statistiques juste après la présentation des corrélogrammes simple et partiel de la série brute.





21,75

21,25

20,75

20,25

21,5

20,5

22

21

20

1 2 3 4 5

QQQQ

VARIANCE

QQQQ

42

41,95

41,9

41,85

41,8

41,75

41,7

1 2 3 4 5

MOYENNE

Diagramme séquentiel de la série brute QQQQ

On voit clairement sur le graphe de la série brute que ce processus est non stationnaire et cela provient tout naturellement de la présence d'une tendance haussière.



60

55

50

45

40

35

30

1 71 141 211 281 351 421 491 561 631 701

GRAPHE DE LA SERIE BRUTE QQQQ

TEMPS (JOURS)

QQQQ

Examen du corrélogramme de la série QQQQ

On constate que la fonction d'autocorrélation simple (colonne AC) décroît très lentement, cela est typique d'une série non stationnaire. En revanche, la fonction d'autocorrélation partielle (colonne PAC) a seulement son premier terme significativement différent de 0 (l'intervalle de confiance est stylisé par les pointillés)



II -Analyse analytique

Application du test de Dickey- Fuller Augmenté à la série QQQQ

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles (1), (2) et (3) de Dickey-Fuller sur la série QQQQ.

Remarque

On choisit le retard (d=1) qui minimise les critères d'informations d'Akaike et Schwarz.

s Modèle [3]

d

.

A = + + â + >JJ A +

Q Q Q Q q$ Q Q Q Q c t Q Q Q Q

q$ e

t -1 j t j t

-

j

?

1

Avec e_t est un processus stationnaire.

On vérifie la présence d'une tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat pour la série QQQQ est donné dans la table suivante :



On voit que la probabilité 0.0088 < 0.05, l`hypothèse nulle est rejetée : la tendance est significativement différente de zéro, de plus la statistique de Student t?à = -2.46

est supérieure a la valeur critique -3.4157 (donnée par la table de Dickey- Fuller) pour le seuil 5%. D'où la série possède une racine unitaire (on accepte l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Donc la série QQQQ est non stationnaire de type TS et DS en même temps, pour la stationnariser on a eu recours à une différentiation d'ordre 1.

Notation : On note la série différenciée par DQQQQ, elle est donnée par la formule suivante :

DQQQQ t = QQQQ _t -QQQQ _t-1 .

Diagramme séquentiel de la série différenciée DQQQQ



D'après le graphe on constate que la série DQQQQ semble stationnaire. Pour confirmer cette affirmation on va appliquer les tests statistiques appropriés.

Corrélogramme de la série DQQQQ



On voit que toutes les autocorrélations sont non significativement différentes de 0 ( toutes les p-values sont supérieures à 0,05), ce qui mène à dire que le processus DQQQQ forme un bruit blanc.

On va confirmer cette affirmation a l`aide du test de Dickey-Fuller et du test de Fisher.

Test de Dickey- Fuller Augmenté sur la série DQQQQ

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [4] [5] et [6] de Dickey-Fuller sur la série DQQQQ.

Modèle [6]

d

t .

A ? ? ? â ? ? ? .

DQQQQ ? DQQQQ c t DQQQQ

t t ? ? e

1 j t j

-

j

? 1

Avec e_t est un processus stationnaire.

On vérifie l'absence de la tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat du test pour la série DQQQQ est donné par la table suivante :



A = + ? A +

DQQQQ I DQQQQ ? I DQQQQ E

t t j t j

1 ?

j

.

t

? 1

On remarque que la probabilité de la tendance (= 0,3314) est supérieure à 0,05 ; donc la tendance n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [5]

d

A = + + A +

.

DQQQQ I DQQQQ c I DQQQQ E

t t j t j t

-1 -

j

?

1

Après rejet du modèle [6], on procède au test d'absence de la constante, dont le résultat est donné par la table suivante :



On remarque que la probabilité de la constante (= 0,2 167) est supérieure à 0,05 ; Donc la constante n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [4]

d

On teste alors la présence d'une racine unitaire dans le processus en vérifiant la nullité du paramètre q$ à l'aide d'une statistique de Student, où q$^à désigne l'estimateur des moindres

carrés ordinaires (MCO).

Le résultat du test pour la série DQQQQ est donné dans le tableau suivant :



La statistique de Student (t?à = -21,13193) est inférieure aux valeurs critiques -2,5680; -

1,9412 et -1,6164 pour les seuils 1%, 5% et 10%, d'où la série ne possède pas de racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Test de FISHER pour la série DQQQQ TABLE de l'ANOVA

SDV	SDC	DDL	Moyenne des carrés	Fc	Probabilité		Valeur critique pour F	Lignes
26,1151955	150	0,174101303	0,942	0,66708202	1,226		Colonnes
1,27794251	4	0,3194855629	1,729	0,14191837	2,386		Erreur
110,864057	600	0,184773429					Total
138,257195	754

Test d'influence de facteur colonne, la période (jours : H₀ = pas d'influence)

F_c = 1,729 <Ftheo = 2,386 donc on accepte l'hypothèse nulle ; la série n'est pas saisonnière.

Test de l'influence du facteur ligne, la tendance (H₀ =pas d'influence du facteur

semaine)

statF? = 0,942 < theoF? = 1,226 donc (on rejette l'hypothèse nulle) la série n'est pas affectée d'une tendance.

Conclusion

La série DQQQQ est donc stationnaire et se comporte comme un bruit blanc, passons aux tests pour le confirmer.

s Test de Box - Ljung

Les valeurs de la statistique de Box-Ljung ont de fortes probabilités. Ce qui nous entraîne à dire que les résidus forment un bruit blanc.

Corrélogramme simple et partiel des résidus



La probabilité de la statistique de Box-Ljung est supérieure à 0,05 pour tous les retards et la valeur de la statistique de Box-Ljung quand k = 99, p = 0, q = 0, P = 0 et Q =0 égale à 62,97 est inférieure à ²

?0., 95 (99) = 123,23; On conclue alors que les erreurs ne sont pas corrélées.

Conclusion

Les résultats du test de Box - Ljung sont identiques à ce que nous avons remarqué de visu sur les corrélogrammes simple et partiel.

s Test de la nullité de la moyenne des résidus

Si t < t_n_₁ à 5% (=1,96), on accepte l'hypothèse de nullité de la moyenne des résidus.



D'après le Tableau ci-dessus on a : t = 1,009 qui est inférieure à 1,96 ; Donc on accepte



12 ?

fi₁

l'hypothèse H₀ : « la moyenne des résidus est nulle ».

s Tests de normalité sur les résidus du modèle optimal



s Test de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (aplatissement)



7₁

6
N

						72
fi ?	2

?
24

Test de Skewness:

Test de Kurtosis :

0= 1,6 < 1, 96.

3 = 10,85> 1,96.

N

Alors, les résidus ne sont pas gaussiens. Ce qui est confirmé par le test de Jarque et Bera

· Test de Jarque et Bera :

D'après le tableau la statistique de Jarque et Bera notée (S) est égale à 121,2207 ; elle est supérieure à (2)

? = 5,99. On conclue que les résidus forment un bruit blanc non gaussien.

2

· Test QQ-Plot (méthode graphique) :



Donc l'hypothèse nulle est rejetée, les résidus ne sont pas gaussiens.

Test d'effet ARCH

Une première observation du graphe des résidus ci-dessous montre que la moyenne de cette série est constante alors que sa variance change au cours du temps. De plus le processus étant non gaussien, on suspecte un effet ARCH.



Corrélogrammes simple et partiel des résidus au carré



A partir du corrélogramme on remarque plusieurs termes significativement différents de zéro cela veut dire qu'il y a certainement un effet ARCH. Pour cela on est passé au dont les résultats sont sur le tableau suivant :

H	Pvalue	T-Stat	Critical value
1	0	59,1448	3,8415
1	0	77,9396	5,9915
1	0	84,8244	7,8147

D'après le test H=1, les P-value sont nulles et les T-Stat sont supérieures aux valeurs critiques, donc on rejette l'hypothèse nulle, c'est-à-dire qu'il existe un effet ARCH.

Identification du modèle de type ARCH

Les résultats obtenus dans la table ci-dessus montrent que les paramètres de l'équation de la variance conditionnelle sont significatifs de zéro.



Le modèle retenu est ARIMA(0, 1, 0) avec erreur ARCH (1) s'écrit sous la forme suivante :



E 17 17

t t t

? h IID

t :

( )

0, 1

L

?

? ?

? ?

( )

1 -- B

2

= +

0,14340,2335 E ?

t t

1

h

GLD

t t

? E

Prévision

Pour faire la prévision, on remplace t par t+h dans l'expression ci-dessous du modèle générateur de la série.

On a par la suite

Observation	Prévision	Valeur réelle	Borne Inf	Borne Sup
761	51,04	50,79	50,506	52,082
762	51,7	50,58	50,489	52,155
763	52,43	51,49	50,479	52,168
764	52,44	52,22	50,474	52,168
765	52,65	52,23	50,474	52,169

Graphe de la série réelle et la série prévue





85,00

80,00

75,00

70,00

65,00

60,00

55,00

50,00

45,00

40,00

35,00

1 56 111 166 221 276 331 386 441 496 551 606 661 716

GRAPHE DE LA SERIE BRUTE GLD

TEMPS (JOURS)

Modélisation de la série GLD

Notation

La série GLD est l'actif qui correspond à la valeur de l'OR sur les marchés internationaux. Identification

Les données de la série GLD s'étalent sur une période de trois ans, les observations sont journalières ; du 03 janvier 2005 au 30 novembre 2007 soit 760 observations. L'unité de mesure est le dollar américain.

I- Etude de la stationnarité

Graphe de la moyenne et de la variance de la série brute GLD





114

113

112

111

110

109

1 2 3 4 5

GLD

VARIANCE

GLD

57,66

57,55

57,44

57,33

57,22

57,11

57

1 2 3 4 5

MOYENNE

D'après les deux graphes, on remarque que la moyenne et la variance varient au cours du temps. On peut donc dire que cette série semble non stationnaire.

Pour vérifier ceci, on va appliquer des tests statistiques justes après la présentation des corrélogrammes simple et partiel de la série brute.

Diagramme séquentiel de la série brute GLD

D`après le graphe la série a une tendance haussière, elle n`est donc pas stationnaire. Elle a aussi un corrélogramme qui a une structure particulière.

La représentation graphique fait ressortir une tendance qu'il faut confirmer ou infirmer à l'aide du test de l'analyse de variance et de Dickey-Fuller respectivement.

Examen du corrélogramme de la série GLD

Nous constatons que la fonction d'autocorrélation simple (colonne AC) décroît très lentement, cela est typique d'une série non stationnaire. En revanche, la fonction d'autocorrélation partielle (colonne PAC) a seul son premier terme significativement différent de 0 (l'intervalle de confiance est stylisé par les pointillés).



-Corrélogramme de la série GLD-

II- Application du test de Dickey- Fuller Augmenté a la série GLD

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [1], [2] et [3] de Dickey-Fuller sur la série GLD.

Remarque :

On choisit le retard (d=1) qui minimise les critères d'informations d'Akaike et Schwarz. Modèle [3]

.

d

A = 1 + + + ? A +

GLD GLD c â t GLD

çb ? çb ?

t j t j t

?

j ? 1

Avec e _t est un processus stationnaire.

On teste alors la présence d'une tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat de l'affichage pour la série GLD est donné dans la table

suivante :



On compare la t-statistique du coefficient de la tendance (@trend) avec la valeur donnée par la table de Dickey-Fuller. On voit que la probabilité 0.0 10 < 0.05, l`hypothèse nulle est rejetée : la tendance est significativement différente de zéro, de plus la statistique de Student t?à = -2.539 est supérieure a la valeur critique -3.4157 (donnée par la table de Dickey-

Fuller) pour le seuil 5%. D'où la série possède une racine unitaire (on accepte l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Donc la série GLD est non stationnaire de type TS et DS en même temps, pour la stationnariser on a eu recours à une différentiation d'ordre 1.

Notation : On note la série différenciée par DGLD, elle est donnée par la formule suivante :

DGLD t = GLD _t -GLD t-1.

Diagramme séquentiel de la série ajustée DGLD



D'après le graphe on constate que la série DGLD semble stationnaire. Pour confirmer cette affirmation on va appliquer les tests statistiques appropriés.

Corrélogramme de la série DGLD



On remarque que la première autocorrélation simple et partielle de la série DGLD est significativement différente de 0, pour cela on applique le test de Dickey-Fuller sur cette série différenciée.

Test de Dickey- Fuller Augmenté sur la série DGLD

On procède à l'estimation par la méthode des moindres carrés des trois modèles [4], [5] et [6] de Dickey-Fuller sur la série DGLD.

Modèle [6]

.

d

A = + + â + J A +

DGLD Çb DGLD ? c t Çb DGLD e

t t 1 j t j t

j=1

?

Avec e_t est un processus stationnaire.

Nous testons alors la présence d'une tendance dans le processus en testant la nullité du coefficient de la tendance â. Le résultat de l'affichage pour la série DGLD est donné par la

table suivante :



On remarque que la probabilité de la tendance (= 0,587) est supérieure à 0,05 ; donc la tendance n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [5]

d

.

A = + + A +

D G L D D G L D C D G L D

? Çb ?

t t 1 j t j t

?

j ? 1

On teste alors la présence d'une constante dans le processus en testant la nullité du coefficient de la constante C. Le résultat de l'affichage pour la série DGLD est donné par la table suivante :



On remarque que la probabilité de la constante (= 0,055) est supérieure à 0,05 ; Donc la constante n'est pas significativement différente de zéro.

Modèle [4]

d

? ? ? ? ? ?

D G L D q$ D G L D ? q$ D G L D ?

t j t j t .

t 1 ?

j ? 1

On teste alors la présence d'une racine unitaire dans le processus en testant la nullité du paramètre q$ à l'aide d'une statistique de Student, où q$^à désigne l'estimateur des moindres

carrés ordinaires (MCO).

Le résultat de l'affichage pour la série DGLD est donné dans le tableau suivant :



La statistique de Student t?à = -30,2196 est inférieure aux valeurs critiques,-2,5680; -1,9412

et -1,6164 pour les seuils, 1%, 5% et 10%, d'où la série ne possède pas de racine unitaire (on rejette l'hypothèse nulle «q$ = 0«).

Test de FISHER pour la série DGLD Table de l'ANOVA

SDV	SDC	DDL	Moyenne des carrés	F	Probabilité	Valeur critique pour F
Lignes	77,223075	150	0,5148205	0,98	0,53130603	1,227
Colonnes	4,6413637	4	1,16034093	2,22	0,06512035	2,386
Erreur	313,09244	600	0,52182073
Total	394,95687	754

Test d'influence de facteur colonne (jours)

Fs tat = 2,22 <Ftheo = 2,386 donc on accepte l'hypothèse nulle ; la série n'est pas saisonnière.

Test d'influence de facteur ligne (semaines)

statF? = 0,98 < theoF? =1,227 donc (on rejette l'hypothèse nulle) la série n'est pas affectée d'une

tendance.

En conclusion La série DGLD est donc stationnaire.

Il convient à présent d'estimer le modèle susceptible de la représenter. En observant les corrélogrammes simple et partiel de la série stationnaire DGLD, on remarque que la fonction

d'auto corrélation simple (AC) possède des valeurs importantes aux retards q= 1, 3, 5, 6; et la fonction d'auto corrélation partielle (PAC) possède des valeurs importantes aux retards p= 1, 3, 5, 6.

Par conséquent on a eu plusieurs modèles candidats parmi lesquels on a sélectionné les deux modèles :

Modèles	AIC	BIC
ARIMA (4, 1, 4)	2,16	2,19
ARIMA (7, 1, 7)	2.16	2.22

On a choisi le modèle qui minimise les deux critères AIC et BIC on retient le modèle ARIMA (4, 1, 4).

Estimation des paramètres de modèle



Test de validation des paramètres

Nous remarquons que tous les paramètres du modèle sont significativement différents de zéro. En effet les rapports des coefficients du modèle sont en valeur absolue supérieurs à 1.96, ce qui est confirmé par la probabilité de la nullité des coefficients qui sont toutes inférieures à 0.05.

Représentation graphique des inverses des racines



De la représentation graphique des inverses des racines des polynômes de retards moyenne

mobile et autorégressif nous déduisons que les racines sont toutes supérieurs à 1 en module

(leurs inverses sont en module, inférieures à 1). Représentation graphique des séries résiduelles réelles et estimées



A partir de la représentation graphique des séries résiduelles réelles et estimées on constate que le modèle estimé ajuste bien la série DJGLD.

Il convient maintenant d'analyser les résidus à partir de leur fonction d'autocorrélation et d'appliquer une série de tests.

Tests sur les résidus du modèle optimal

s Test de Box - Ljung

Les valeurs de la statistique de Box-Ljung ont de fortes probabilités. Ce qui nous entraîne à dire que les résidus forment un bruit blanc.

Corrélogramme simple et partiel des résidus



La probabilité de la statistique de Box-Ljung est supérieure à 0,05 pour tous les retards et la valeur de la statistique de Box-Ljung quand k = 99, p = 1, q = 0, P = 0 et Q =0 égale à 84,9 est inférieure à ²

?0., 95 (98) = 122,11 ; on conclut alors que les erreurs ne sont pas corrélées.

Conclusion

Les résultats du test de Box - Ljung sont identiques à ce que nous avons remarqué de visu sur les corrélogrammes simple et partiel.

s Test des points de retournements

n - 2

Le nombre des points de retournements égal à P = ?

Xi = 503

i = 1

Nous avons : n = 759 donc 2

E P n et VAR P -

16 29 n

( ) ( 2) 504,66 ( ) 134,61

= - = = =

3 90

VAR ( P ) = 11,602 , ( ) 0,14

P E P



-

S = 0,14 < S (tabulée) = 1,96

S = = - . Donc :



Var P

( )

Alors, nous acceptons l'hypothèse H₀ : « les résidus sont aléatoires » s Test de la nullité de la moyenne des résidus



D'après le Tableau ci-dessus on a : t = 1,658 qui est inférieure à 1,96 ; Donc on accepte

l'hypothèse H₀ : « la moyenne des résidus est nulle ».

s Tests de normalité sur les résidus du modèle optimal



s Test de Skewness (asymétrie) et de Kurtosis (aplatissement) :





12 ?

fi₁

Après calculs on a obtenu :

7₁

Test de Skewness:

0 = 7,81>1,96.

6
N



24

72			2

Test de Kurtosis :

3 = 20,34 > 1,96.



N

Test QQ-Plot (méthode graphique) :

Ainsi on rejette l'hypothèse de normalité, Ce qui est confirmé par la statistique de Jarque et Bera notée (S) est égale à 472,4083 qui est supérieure à (2)

? = 5,99. On conclut que les

2

résidus forment un bruit blanc non gaussien.

Test d'effet ARCH

Une première observation du graphe des résidus ci-dessous montre que la moyenne de cette série est constante (nulle) alors que sa variance change au cours du temps. De plus le processus étant non gaussien, on suspecte un effet ARCH



Corrélogramme simple et partiel des résidus au carré



A partir du corrélogramme on remarque plusieurs termes significativement différents de zéro cela veut dire qu'il y a certainement un effet ARCH. Pour cela on est passé au test dont les résultats sont dans le tableau ci-dessous :



On a la statistique du multiplicateur de Lagrange n*R² = 18,62 qui est supérieure à

z2 (2) = 5,99 alors on rejette l'hypothèse nulle d'homoscédasticité en faveur de l'hypothèse

alternative d'hétéroscédasticité conditionnelle.

Identification du modèle de type ARCH

On a eu plusieurs modèles candidats dont celui qui minimise les critères AIC et BIC est le modèle ARCH (2).

Les résultats obtenus dans la table ci-dessus montrent que les paramètres de l'équation de la variance conditionnelle sont significativement différents de zéro.



Le modèle retenu avec erreur ARCH (2) s'écrit sous la forme suivante :



h t

0,386 0,118 0,123

+ +

& ? & ?

2 2

t t

1 1

& t

h 1l :

IID

t t t

? (

=

t

? ?

??

? & ll

1 0,9 0,41 1 (1 0,83 0,2 0 ,51 )

+ + -- = + + +

B B B GLD B B B

4 3 4

)( ) t

( )

0, 1

Prévision

Pour faire la prévision, on remplace t par t+h dans l'expression ci-dessous du modèle générateur de la série.

Observation	Prévision	Valeur réelle	Born Inf	Borne Sup
761	76,95	78,28	75,29	78,63
762	76,98	79,4	75,49	78,48
763	76,63	78,63	75,13	78,13
764	76,89	79,37	75,42	78,37
765	76,8	78,6	75,34	78,27

Graphe de la série réelle et la série prévue



Chapitre 3 Lissage Exponentiel

I Introduction

La prévision à court terme a connu des développements importants durant les dernières années; elle constitue la base de l'action. La prise de décision repose en effet toujours sur des prévisions. C'est ainsi qu'une entreprise commerciale s'intéresse aux prévisions des ventes futures pour faire face à la demande, gérer sa production ainsi que ses stocks, mais aussi orienter sa politique commerciale (prix, produits et marketing). De même, on essaie de prévoir les rendements d'un investissement, la pénétration d'un marché ou l'effet de la modération salariale sur l'emploi.

Les développements de la pratique statistique ont permis de disposer d'un certain nombre d'outils de calcul, les méthodes de lissage exponentiel font l'objet de ce chapitre, ces méthodes datent du début des années soixante (HOLT en 1957 et BROWN en 1962). Ils justifient amplement leurs utilisations.

Après avoir fait un lissage exponentiel simple qui ne peut être utilisé en présence d'une tendance ou d'une saisonnalité, nous passons au lissage double et à la méthode de HOLT, ces derniers peuvent convenir pour des séries présentant une tendance. Le lissage de WINTERS intervient dans les cas ou la tendance et la composante saisonnière sont juxtaposées soit de manière additive soit de manière multiplicative.

II Principe de base

La méthode de lissage exponentiel repose sur l'idée suivante : les informations contenues dans une série chronologique ont d'autant plus d'importance qu'elles sont plus récentes. Pour effectuer une prévision, il faut affecter aux informations un poids d'autant plus faible qu'elles proviennent d'époques plus éloignées.

III Description de la méthode

Si x₁, x₂ ,...; x _n sont les termes d'une chronique, la méthode du lissage exponentiel consiste à prendre comme prévision :

x = -- a x _n + a x n -- h telle que 0 ? á ?1, h est l'horizon.

$ $

n h (1 ) 1,

,

Où á, appelée constante de lissage est généralement comprise entre 0 et 1.

Pour débuter le processus de lissage, il convient de choisir une valeur pour la constante. Ce choix est très important car il conditionne la prévision future à travers le degré de

pondération que l'on affecte au passé récent et au passé lointain et ceci pour assurer une bonne qualité de prévision.

IV Lissage exponentiel simple

Cette méthode ne doit être employée que sur une série qui ne présente ni tendance ni De composante saisonnière.

En prenant en compte toute l'histoire de la chronique de sorte que plus nous nous éloignons de la prévision moins l'influence des observations correspondantes est importante.

Cette décroissance de l'influence est de type exponentiel ce qui justifie l'appellation.

Nous disposons d'une série chronologique x =(x1,x2,...,x n ) de longueur enregistrée aux dates 1, . . ., n. Nous nous situons à la date n et nous souhaitons prévoir la valeur x n+h non encore observée à l'horizon h. Nous notons cette prévision : x $,n h . L'entier n est parfois appelé base

de la prévision

Les formules de lissage sont :

x = -- a x _n + a x -- telle que 0 ? á ?1 (*). Avec $

$ $

n h (1 ) 1,

, n h x 1, h = x1, h (initialisation).

Il existe d'autres initialisations x₁ comme la moyenne de la série.

Dans le choix de á, nous distinguons les deux cas particuliers suivants :

? Si á =0, alors toutes les prévisions sont identiques, les prévisions restent inchangées, on dit dans ce cas que le lissage est inerte.

? Si á =1, la prévision est égale à la dernière valeur observée, la nouvelle valeur lissée est toujours égale à la dernière réalisation, dans ce cas on dit que le lissage est hyper réactif.

La relation (*) peut être développée en remontant dans le temps (n-1, n-2, n-3,..., 1 ,0) et laisse apparaître que la nouvelle valeur lissée est une combinaison linéaire de toutes les observations du passé affectée d'un poids décroissant avec l'âge, les poids sont de plus en plus faibles au fur et à mesure que l'on s'éloigne de l'observation actuelle.

On retrouve : x $ a

(1 )

, = -- ? n h

a x

j

n j

--

n -- 1

j 0

Remarque

La formule, $ $

x = -- a x _n + a x n -- h permet :
n h (1 ) 1,

,

? D'interpréter, x $,n h comme le barycentre de x_n et de x $ n -- 1 , h affecté respectivement des

masses (1-á) et á.

? D'interpréter le lissage comme une moyenne pondérée de la dernière réalisation et de la dernière valeur lissée.

? De réécrire cette formule sous la forme suivante : x x _ a x _n x n h

$ , $ 1, ( $ )

n h n h (1 ) 1,

= + _ _ _

Le lissage apparaît comme le résultat de la dernière valeur lissée corrigée par une pondération de l'écart entre la réalisation et la prévision.

? Lorsque á est proche de 0 (a 0), la pondération s'étale sur un grand nombre de termes dépendant du passé, la mémoire du phénomène étudié est forte et la prévision est peut réactive aux dernières observations.

? Lorsque á est proche de 1 (a 1), les observations les plus récentes ont un poids prépondérant sur les anciens termes, la mémoire du phénomène étudié est faible et la prévision est très réactive aux dernières observations.

On peut retrouver l'équation du lissage exponentiel en employant une approche très simple basée sur le concept de la fonction de prévision, telle que:

x $ n , h ? a _n ... ( *** )

Où a_n est une constante qui dépend de l'origine de prévision.

On choisit a_n en utilisant un critère de moindres carrés pondérés, avec des coefficients de pondération décroissant exponentiellement quand on recule dans le passé, de la forme de ^j

J3 ,

on l'appelle facteur d'escompte.

En appliquant la prévision au passé de la série, l'erreur de prévision est la différencex n _ j _ a _n .

La somme des carrés des erreurs à minimiser est alors de la forme :

Q a J3 x _ a ( ) ( ) ? ? _ j n n j n

2

j~0

Egalons à zéro la dérivée par rapport à n a de cette expression:
Q a J3 x _ a

( ) ( )

= _ ? _

2 j

n n j n

j~0

Ce qui entraîne l'équation :

? = ?

J3 x _ a J3

j j

n j n

j j

~ ~

0 0 Or ( ) ¹

? ? _

J3 J3 _

^j 1

j~0

D'où

a J3 J3 x

$ ( ) ( )

? _ ?

1 **

j

n n

j~ 0

L'expression (**) est exactement ce que nous avons trouvé pour la prévision x $,n h, (relation

(*)) du lissage exponentiel simple tel que le facteur d'escompte â est remplacé par la constante de lissage á c'est-à-dire â =á

Démonstration :

x x x

$ ( ) $

n h

, = _ +

1 a a

n n h

_ 1,

a x a

n n n

= _ +

( ) ( )

1 d'après la relation * **

a a _ 1

x x e x e x

_ = = = +

$ $

n n n n n

n

x e a n n n = +

d'ou :

_ 1

a e a a

n n n n

= 1

( )( )

_ + +

a a

_ 1

= _ + _ +

e e a a a

n n n n n

a a a

a a a a

a e a

n n n

= _ + ?

( )

1 si 0 alors :

_ 1

( )

1 _ a

a a e a

n n n n

? + = +

1 1

y

_ _

0 1

< <
y

a

a e a avec

n n n

= +

y _ 1

En conséquence, nous pouvons dire que le lissage exponentiel simple est justifié dans le cas d'une fonction de prévision constante, dans le contexte de moindres carrés pondérés, et elle ne sera vraiment constante que si l'on choisit un facteur d'escompte â égale à 1, ce qui correspond à á =1.

V Choix du coefficient de lissage

Pour débuter le processus de lissage, il convient de choisir une valeur pour la constante á, ce choix est très important car il conditionne la prévision future à travers le degré de pondération que l'on affecte au passé récent et au passé lointain.

Diverses procédures d'estimation ont été établies, on s'intéresse à la méthode la plus classique qui consiste à retenir une valeur de á qui minimise l'écart entre la prévision et la réalisation sur la partie connue de la chronique. Pour optimiser le choix de la constante á, il suffit de :

? Choisir un des critères d'optimisation : le critère MSE (Mean square error ou moyenne des carrées des résidus) satisfait ce besoin.

? Choisir un ensemble de valeurs de á pour effectuer un balayage, par exemple les valeurs de 0 à 1 par pas de 0,1.

? Choisir la prévision initiale.

? Pour chaque valeur de á choisie, on effectue l'ensemble du lissage exponentiel par application des formules suivantes:

Pour n=1 à N....faire

x_n .'i- --> e_n

x $ n

; - a e_n -->

fin.

? Choisir la valeur de á qui améliore aux mieux le critère MSE (celle qui fournit la plus petite moyenne des carrées des résidus).

VI Lissage exponentiel double

Les formules précédentes permettent de calculer une prévision pour des séries chronologiques stationnaires sans tendance, nous pouvons définir un lissage exponentiel double qui est utilisé en cas de série présentant une tendance.

On part d'une fonction de prévision linéaire de la forme:

->i,h = >n + nh

Notons que :

i>n Et t>n sont des coefficients dépendant de n

On cherche à déterminer les valeurs des deux paramètres par le critère des moindres carrées escomptes â, tel que le facteur d'escompte est remplacer par á c'est-à-dire â =á.

VII Méthode de Holt-Winters

Cette approche a pour but d'améliorer et de généraliser le Lissage Exponentiel Simple. Nous étudions plusieurs cas particuliers de cette méthode :

- ajustement d'une droite affine (sans saisonnalité)

- ajustement d'une droite affine plus une composante saisonnière

- ajustement d'une constante plus une composante saisonnière

Cette méthode est plus souple que le lissage exponentiel amélioré, dans la mesure où elle fait intervenir deux constantes â et y au lieu d'une á.

Telle que 0 <â < 1 et 0 < y < 1 deux constantes fixées et les formules de mise à jour :

=flx_n+(1-fl)[>(n-1)+§(n-1)1

§ = y[t(n)- t>(n -1)1+ (1- y)§(n - 1) La prévision prend la forme :

x $ n , h= a$1+ ha2$(n)

a n a n a n x x a n a n $( ) $( ) $( ) ( ) $ $( ) $( ) 2 2 1 1 2 = _ + _ + _ _ + _ + _ a ? ? ? _ 1 1 1 a 1,1 1 2 1 1 n n ? ? ?

? ?

Si 2 1

? a y

= _ =

1 et

_ a

alors :

1 +a

x_n

= ? _ + _ ? + _

2 $( ) $( ) ( )

2

a n a n

a 1 2

1 1 1

? ? a

2

? ?
? ?

$( ) $( ) ( )

1

= _ + _ ? _ + _

_ ?

a

a n a n a n a n a n

$( ) $( ) $( )

a ²
1 1 1

2 2 1 1 2

( )

1 _ a ? ?

_ _ ? _ + _ ?

( ) $( ) $( )

1 1 1

a ² a n a n

? ?

1 2

2

$( ) ( )

1

= _ + _ _ _ _ ?

a n a n a n a n

_ ?

a

1 $( ) $( ) $( )

2 1 1 2

1 1

( )

1 _ ?

a ?

Remarque

Si â et y sont petits, le lissage est fort puisque á est grand et que nous tenons compte du passé lointain.

Application : Lissage exponentiel

Etude de la série QQQQ

La série QQQQ est tendancielle et ne présente pas de composante saisonnière, donc dans ce cas on a appliqué la technique de lissage double.

XLSTAT 2007

Séries temporelles

Lissage : Holt-Winters

Méthode : Linéaire (Holt)

Alpha : Optimisé / Bêta: Optimisé

Optimiser (Convergence = 0,0000 1 / Itérations = 500)

Prédiction : 5

Intervalles de confiance (%) : 95

Statistiques simples

Var	Obs	Obs. avec données manquantes	Obs. sans données manquantes	Min	Max	Moyenne	Ecart-type
QQQQ	760	0	760	34,41	55,03	41,855	4,589

Coefficients d'ajustement (QQQQ)

Statistique	Valeur
DDL	756,000
SCE	147,206
MSE	0,195
RMSE	0,44 1
MAPE	0,000
MPE	0,045
MAE	0,328
R^2	0,991

Paramètres du modèle (QQQQ)

Coefficient de lissage de la moyenne noté : á= 0,952
Coefficient de lissage de la tendance noté : /3 =0,05 8

La racine des carrés résiduels moyens : RMSE = 0,441



45

40

60

55

50

35

30

0 200 400 600 800

temps

Holt-Winters(QQQQ) QQQQ

Prédiction Borne inférieure (95%)

Borne supérieure (95%)

Holt-Winters / (QQQQ)

Prévisions de la série QQQQ

Dates	Prévisions	Valeurs réelles	Borne inférieure (95%)	Borne supérieure (95%)
03-décembre- 2007	51,337	50,79	50,472	52,202
04-decembre- 2007	51,345	50,58	50,118	52,573
05-decembre- 2007	51,353	51,49	49,820	52,887
06-decembre- 2007	51,361	52,22	49,548	53,174
07-decembre- 2007	51,369	52,23	49,292	53,446

Graphe de la prévision

Etude de la série IEV

La série IEV est tendancielle et ne présente pas de composante saisonnière, donc dans ce cas on a appliqué la technique de lissage double.

XLSTAT 2007

Séries temporelles

Lissage : Holt-Winters

Méthode : Linéaire (Holt)

Alpha : Optimisé / Bêta: Optimisé

Optimiser (Convergence = 0,0000 1 / Itérations = 500)

Prédiction : 5

Intervalles de confiance (%) : 95

Statistiques simples

Var	Obs	Obs. avec données manquantes	Obs. sans données manquantes	Min	Max	Moy	Ecart-type
IEV	760	0	760	70,80	124,60	93,35	16,28

Coefficients d'ajustement (IEV)

Statistique	Valeur
DDL	756,000
SCE	779,719
MSE	1,031
RMSE	1,016
MAPE	0,000
MPE	0,050
MAE	0,725
R^2	0,996

Paramètres du modèle (IEV)

Coefficient de lissage de la moyenne noté : á=0, 876 Coefficient de lissage de la tendance noté : /3 =0,067

La racine des carrés résiduels moyens : RMSE = 1,016



130

120

100

110

90

80

70

60

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Holt-Winters(IEV) IEV

Prédiction Borne inférieure (95%)

Borne supérieure (95%)

Holt-Winters / (IEV)

temps

Les prévisions de la série IEV

Dates	Prévisions	Valeurs réelles	Borne inférieure (95%)	Borne supérieure (95%)
03-décembre- 2007	120,512	116,8	118,522	122,502
04-decembre- 2007	120,609	116,1	117,885	123,333
05-decembre- 2007	120,706	117,05	117,340	124,072
06-decembre- 2007	120,803	118,29	116,839	124,767
07-decembre- 2007	120,900	117,99	116,361	125,439

Graphe des prévisions

Etude de la série GLD

La série GLD est tendancielle et ne présente pas de composante saisonnière, donc dans ce cas on a appliqué la technique de lissage double.

XLSTAT 2007

Séries temporelles

Lissage : Holt-Winters

Méthode : Linéaire (Holt)

Alpha : Optimisé / Bêta: Optimisé

Optimiser (Convergence = 0,0000 1 / Itérations = 500)

Prédiction : 5

Intervalles de confiance (%) : 95

Statistiques simples

Var	Obs	Obs. avec données manquantes	Obs. sans données manquantes	Min	Max	Moy	Ecart-type
GLD	760	0	760	41,26	82,24	57,25	10,55

Coefficients d'ajustement (GLD)

Statistique	Valeur
DDL	756,000
SCE	398,807
MSE	0,528
RMSE	0,726
MAPE	0,000
MPE	0,068
MAE	0,512
R^2	0,995

Paramètres du modèle (GLD)

Coefficient de lissage de la moyenne noté : á=0,905 Coefficient de lissage de la tendance noté : /3 =0,016

La racine des carrés résiduels moyens : RMSE = 0,726

Les prévisions de la série GLD

Dates	Prévisions	Valeurs réelles	Borne inférieure (95%)	Borne supérieure (95%)
03-décembre-	77,514	78,28	76,091	78,938
2007
04-decembre-	77,595	79,4	75,661	79,529
2007
05-decembre-	77,676	78,63	75,328	80,024
2007
06-decembre-	77,757	79,37	75,047	80,466
2007
07-decembre-	77,837	78,6	74,800	80,874
2007

Graphe des prévisions



45

40

85

80

75

70

65

60

55

50

0 100 200 300 400 500 600 700 800

temps

GLD Holt-Winters(GLD)

Prédiction Borne inférieure (95%)

Borne supérieure (95%)

Holt-Winters / (GLD)

Etude de la série SPY

La série SPY est tendancielle et ne présente pas de composante saisonnière, donc dans ce cas on a appliqué la technique de lissage double.

XLSTAT 2007

Séries temporelles

Lissage : Holt-Winters

Méthode : Linéaire (Holt)

Alpha : Optimisé / Bêta: Optimisé

Optimiser (Convergence = 0,0000 1 / Itérations = 500)

Prédiction : 5

Intervalles de confiance (%) : 95

Statistiques simples

Var	Obs	Obs. avec données manquantes	Obs. sans données manquantes	Min	Max	Moy	Ecart-type
SPY	760	0	760	109,41	156,48	130,221	13,138

Coefficients d'ajustement (SPY)

Statistique	Valeur
DDL	756,000
SCE	840,065
MSE	1,111
RMSE	1,054
MAPE	0,000
MPE	0,034
MAE	0,755
R^2	0,994

Paramètres du modèle (SPY)

Coefficient de lissage de la moyenne noté : á=0,886
Coefficient de lissage de la tendance noté : â=0,053

La racine des carrés résiduels moyens : RMSE = 1,054



160

150

140

130

120

110

100

Holt-Winters(SPY) SPY

Prédiction Borne inférieure (95%)

Borne supérieure (95%)

100 200 300 400 500 600 700 800

Holt-Winters / (SPY)

temps

Les prévisions de la série SPY

Dates	Prévisions	Valeurs réelles	Borne inférieure (95%)	Borne supérieure (95%)
03-décembre- 2007	148,519	146,18	146,453	150,585
04-decembre- 2007	148,560	144,87	145,735	151,385
05-decembre- 2007	148,601	147,3	145,126	152,076
06-decembre- 2007	148,642	149,4	144,571	152,713
07-decembre- 2007	148,683	149,37	144,047	153,318

Graphe des prévisions

Comparaison des méthodes

Lorsqu'on adopte plusieurs méthodes de prévision sur une ou plusieurs chroniques, on est amené au bout du compte à les comparer afin de les départager en terme de qualité prévisionnelle, en se basant sur un certain nombre d'outils appelés « indicateurs de mesure de qualité prévisionnelle ». Ils en existent plusieurs, chacun sa procédure et ses propriétés, on

à

X X t t - peut citer à titre d'exemple : erreur relative en pourcentage noté : 100 ER t x = Xt

,

MSE...etc.

Dans notre cas, on utilise le RMSE = MSE avec :

n n

1 1 2

MSE = ? =

i (X X^à )

e 2 ? -

i i

n n

i 1

= i 1

=

: La distance au carré entre la valeur réelle et la valeur

prédite ou bien l'erreur quadratique moyenne.

La méthode jugée meilleure parmi d'autres est celle qui minimise le RMSE, qui signifie que la chronique est bien ajustée et que par conséquent les prévisions seront proches des réalisations.

Comparaison du pouvoir prédictif de la méthode de Box-Jenkins et celui de Holt & Winters :

Méthode Série	Box & Jenkins	Holt & Winter
SPY	1.8246	2.0893
IEV	3.5077	3.5287
QQQQ	0.6964	0.6902
GLD	2.0501	1.2601

Table -1-

Une méthode directe pour comparer l'efficacité des deux approches, consiste à comparer leur pouvoir prédictif, pour cela nous avons calculé les prévisions hors échantillon.

Il en résulte que les modèles ARMA(1, 1, 1) et ARMA(3, 3) sont plus performant que celui des modèle Holt & Winter pour les séries IEV et SPY respectivement, par contre , les modèle Holt & Winter semble meilleur que les modèle ARIMA(0 ,1 ,0) et ARIMA(4, 1, 4) des séries QQQQ et GLD respectivement. Ce jugement a eu lieu grâce aux critères RMSE (voir Table -1-).

Voici la Table-2- qui nous permet de visualiser les prévisions des quatre séries et leurs valeurs réelles avec les deux méthodes Box & Jenkins et Holt & Winters pour la période allant de 03 décembre 2007 au 07 Décembre 2007.

Méthode Série	Box & Jenkins	Holt & Winter
	Prévisions	Prévisions	Valeurs réelles
SPY	148,70	148,51	146,18
	148,96	148,56	144,87
	148,98	148,60	147,3
	149,17	148,64	149,4
	149,41	148,68	149,37
IEV	120,51	120,52	116,8
	120,60	120,61	116,1
	120,68	120,70	117,05
	120,77	120,80	118,29
	120,85	120,90	117,99
QQQQ	51,31	51,33	50,79
	51,29	51,34	50,58
	51,32	51,35	51,49
	51,32	51,36	52,22
	51,32	51,36	52,23
GLD	76,95	77,514	78,28
	76,98	77,595	79,4
	76,63	77,676	78,63
	76,89	77,757	79,37
	76,8	77,837	78,6

Table -2-

Introduction

L'approche ARCH/GARCH a été proposée pour prendre en compte des variances conditionnelles dépendant du temps. Le principe général consiste donc à remettre en cause la propriété d'homoscédasticité que l'on retient généralement dans le cadre du modèle linéaire. La spécification hétéroscédastique conditionnelle ou ARCH a été initiée par Engle (1982) Pour caractériser la dynamique des seconds moments conditionnels que l'on retrouve dans la Plupart des séries financières. Elle a été par la suite généralisée par Bollerslev (1986) avec ce qu'on a appelé l'hétéroscédastique conditionnelle autorégressive généralisée ou GARCH c'est le modèle le plus populaire lorsqu'il s'agit d'estimer les variances conditionnelles.

Les modèles GARCH ne se contentent pas seulement d'estimer des variances qui évoluent dans le temps, mais incorporent également les caractéristiques observés sur les séries financières (leptokurtisme, clusters de volatilité,...).

D'autres généralisations ont été proposées par plusieurs chercheurs, on peut citer les modèles AGARCH, EGARCH, FIGARCH, GJR-GARCH, TARCH,...

I. Diverses Modélisations

I.1 Modèle ARCH (q)

Les économistes utilisent fréquemment des modèles estimés à l'aide des séries temporelles où la variabilité des résidus est relativement faible pendant un certain nombre des périodes successives, puis beaucoup plus grande pour un certain nombre d'autres périodes et ainsi de suite, et ce généralement sans aucune raison apparente, ce phénomène est particulièrement fréquent et visible avec les séries boursières, des taux des changes étrangers, ou d'autre prix déterminés, sur les marchés financiers, ou la volatilité semble généralement varier dans le temps.

Récemment, d'importants approfondissements ont vu le jour dans la littérature pour modéliser ce phénomène. L'article novateur d'Engle (1992), expose pour la première fois le concept d'hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive, ou ARCH. L'idée fondamentale est que la variance de l'aléa au temps t dépend de l'importance des aléas au carré des périodes passés, cependant il existe plusieurs façons de modéliser cette idée de base, la littérature correspondante est foisonnante.

Définition :

Un processus { E _t , t Ecents } satisfait une représentation ARCH (q) si :



E

t t t

= 11 h

q

E E a

2 ?

E h

( / )

t t t

= = +

? 1 0

i ? 1

0, 0 1 , . . . ,

a ~ V =

i

i

? ?

?

? ?L >

a 0

q

a E a

² , 0 , O ù

~

i t i q

?

et (?_t ) t désigne un bruit blanc faible tel que E(ii t ) = 0 et ( ² ) 2

E 1 t = cr .

Pour ce type de processus on retrouve les deux propriétés essentielles vues précédemment à savoir la propriété de différence de martingale E(E t /' t ? 1 ) = 0 et la propriété de variance conditionnelle variable dans le temps puisque :

q

i

/ I = = +?

Var ( ) 2

E . h a a E

t t t i t

1 0 ?

i ? 1

Où It ? 1 est la tribu engendrée par le passé du processus jusqu'au temps t-1.

I.2 Modèle GARCH (p, q) (Bollerslev [1986]) Introduction

Plusieurs variantes du modèle ARCH ont été proposées. Une variante particulièrement utile est le modèle ARCH généralisé ou GARCH suggéré par Bollerslev (1986). Contrairement au modèle ARCH, la variance conditionnelle h_t dépend aussi bien de ses propres valeurs passées que des valeurs retardées de ²

E_t .

Dans la pratique un modèle GARCH avec très peu de paramètres ajuste souvent aussi bien qu'un modèle ARCH ayant de nombreux paramètres, en particulier, un modèle simple qui fonctionne souvent très bien est le modèle GARCH (1, 1).

On considère un modèle linéaire autorégressif exprimé sous la forme suivante :

X_t =E(X _t /X t ? 1)+E t

Où { E _t , t E cents } est un bruit blanc faible tel que E (E_t) = 0 et E ( E _t E s ) = 0 sit ~ s,

satisfaisant la condition de différence de martingale. E(EtIt?1 ) = 0 On suppose toujours que le processus peut s'écrire sous la forme :



E t =? _th_t Où i'_t est un bruit blanc

On cherche à modéliser la volatilité conditionnelle du processus de bruit { E _t , t E cents }

pour tenir compte de la dynamique observée, on peut être amené à imposer une valeur élevée du paramètre q dans la modélisation ARCH (q) ce qui peut poser des problèmes d'estimation.

II s'agit d'une difficulté semblable à celle que l'on rencontre dans les modélisations de l'espérance conditionnelle: si le théorème de Wold assure que toute série stationnaire possède une représentation de type MA, il est possible que pour une série donné, l'ordre de cet MA soit particulièrement élevé, voir infini. Dans ce cas Box et Jenkins proposent de regagner en parcimonie en utilisant une représentation de type AR (p) ou ARMA (p, q). Pour la variance conditionnelle, Bollerslev (1986) définit ainsi le processus GARCH (p, q).

Définition :

Un processus { e _t , t E cents } satisfait une représentation GARCH (p q) si :

??



e ii

t t t

= h

= + ? + ?

q p t t

₂ ( )

où est un bruit blanc

ij

h h

t i t i j

a a e - /3 -

0 t j

i j

= =

1 1

avec les conditions a₀ > 0, a_i ~ 0 /3_j ~ 0 Vi = 1,..., q, Vj = 1,..., p suffisante pour garantir la positivité deh_t . Ainsi l'erreur du processus{ X _t , t E cents } définie par le processus GARCH(p, q) admet pour moments conditionnels : E( e t / e t - 1) = 0

q p

Var e - h a a e /3 e

( ) 2

t t t i t i j t j

/ ' = = + ? + ?

1 0 - -

i j

= =

1 1

Tout comme le modèle ARCH, on peut exprimer le processus ²

e_t sous la forme d'un

processus ARMA défini dans une innovation.

u t = e _t - h t

2

En introduisant cette notation dans l'équation d'un GARCH (p, q), il dévient :

max( , )

p qp

e a a /3 e /3 e u

² ( ) ( )

2 2

t t

- = + + + ? -

u 0 i i j t j t j

t i

- - -

i = 1 j = 1

D'où l'on tire que:

p

max( , )

p q

e a a /3 e u /3 u

2 = + ? + + - ?

2

( )

t 0 i i t j t j

t i

- -

i=1 j=1

Avec la convention a_i = 0 si i> q et /3_j = 0 sij > p.

Remarque :

Le degré de p apparaît comme un degré de moyenne mobile de la représentation ARMA

dans ²

e_t . A partir de cette représentation, on peut calculer de façon aussi simple les moments

et les moments conditionnels du processus d'erreur { e _t , t E cents } mais aussi du

processus{X t ,tE cents }.

Exemple :

Considérons le cas d'un processus GARCH (1, 1) : ? ? =

e i

t t t

h

= + + > ~

?

a a

0 1

0 0

et

2

? ? h h

t t t

a a e ? /3 ?

0 1 1 1 1

Qui peut être représenté par le modèle suivant : e a a /3 e u _t /3 u t

2 = + + ? + -- ?

( ) 1

2

t 0 1 1 t 1 1

Où ( )

u t = e t ? Var e t / ? t ? 1 = e t ? h t

2 2

est un processus d'innovation pour ²

e_t . Sous la condition de stationnarité du second

ordre a₁ + /3 ₁< 1, la variance non conditionnelle du processus { X _t , t E cents } est définie et constante dans le temps.

Sachant que ( ) ( ² )

Var e t = E e _t il suffit, à partir de la forme ARMA (1, 1) sur ²

e_t de définir

l'espérance du processus :

Var

< 1

( ) ( ² ) 0

a

e e

t E t avec

= = +

a /3

1-- - a /3

^{1 1}

1 1

En fin, on peut montrer que, pour un processus GARCH, rappelons la Kurtosis est directement liée à l'hétèroscedasticité conditionnelle. Le cas de la Kurtosis associée à la loi non conditionnelle dans un processus GARCH conditionnellement gaussien :

e t = i _t h _t Où i t ??? N

iid

(0, 1)



Dans ce cas, les moments conditionnels d'ordres 2 et 4 du processus { e _t , t cents } sont liés : E e _t I t _ 3 E e _t I t 1

( ) ( ) ²

4 = ? ? ? ?

2

1 _

En effet on rappelle que si une variable X suit une loi gaussienne centrée: E X = 3 Var X = 3 ? ? E X ? ?

( ) ( ) ( ) ²

4 2 2

Si l'on considère l'espérance des membres de cette équation, il vient :

I t ? 1 E e t

) ( )

?

4

? =

E E e t 4

? (

?

2 2

E E e I ? E E e _t I t E e t

? ? ~ ? ? = ? ?

? ? ? ? ? ?

( ) ( ) ( )

2 2 2

t t 3 1 3

1 ?

Ainsi on déduit que la loi marginale a des queues plus épaisses qu'une loi normale puisque : E e t ~ 3 ? ? E e t ? ?

( ) ( ) ²

4 2

De plus, on peut calculer la Kurtosis comme suit :

E ( )

e ⁴

Kurtosis=

t

2

E ( )

e ²

t

2

3

E E I

? ?

( )

2

? ?

e /

t t _ 1

2

E ( )

e ²

t

2

E ( )

e ²

( ) ( ) { ( ) ( ) }

t 3 2 2

2 2

3 + ? ?

/ _

2 2

2 2 ? ?

e e e

E E

t t t

E E

e e

t t

= + ? ? r ?

( ) { ( ) ( ) ?

3 2

3 / / 2

2 2

E E E

2 ¹

? ? ? ? ? ?

e e e e

t t t t

_

( )

e e

2 / ?

t t _ 1 ?

( ) e ^2 t

2

e ²

E t

Var E

? ?

= +

3 3

E

La Kurtosis est donc liée à une mesure de l'hétèroscedasticité conditionnelle. Proposition

Si le processus{ e _t , t E cents } satisfait une représentation GARCH (p, q) conditionnellement gaussienne, telle que :

où ii

Var ( ) ₂ ( )_t

t

/ = = + ? + -

e _ ? ?e ? _

I h h

t t t i t i j

1 0 _ t j

i j

= =

1 1

??

q p

est un bruit blanc

eii

t t t

= h



La loi marginale de{ e _t , t E cents } a des queues plus épaisses qu'une loi normale (distribution leptokurtique).

E e t ~ 3 ? ? E e t ? ?

( ) ( ) ²

4 2

Son coefficient d'excès de Kurtosis peut s'exprimer sous la forme suivante :

E

Kurtosis= 3

_

2

E ( )

e ²

t

( )

e ⁴

t

Var E

? ?

( )

2

? ?

e e

/

= 3

t t _ 1

2

E ( )

e ²

II. Estimation, Prévision [Christian GOURIEROUX]

Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : Maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments,... (Pour plus de détail voir Gourieroux 1997). Les méthodes généralement utilisées sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L'avantage de PMV réside dans le fait que l'estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposé normale) de la distribution conditionnelle des résidus à condition que sa loi spécifiée appartienne à la famille des lois exponentielles (Gourieroux et

Mont fort 1 989).Ainsi l'estimateur de MV obtenu sous l'hypothèse de normalité des résidus et l'estimateur du PMV sont identiques. Seules leurs lois asymptotiques respectives différent. Toutefois dans le deux cas (MV ou PMV) sous l'hypothèse standard, l'estimateur est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal.

II.1 Estimation

II.1.1 Estimation par le pseudo maximum de vraisemblance (PMV)

Soit {& t ,tE cents } un processus généré par un modèle GARCH (p, q) c'est-à-dire qu'il est solution des équations stochastiques suivantes :

? ? ?



& ij

t t t

= h

2 t ( )

? ???

iid

p q N 0, 1

(* *)

?? = ? ? ? ?

j i

= =

1 1

h h

t j t j i t i

a a ? ? ? ?

0

Où a₀>0, a_i~0 J3 _j ~0 Vi=1,...,p, Vj=1,...,q

Comme le montre l'équation (**), le processus { g _t , t E cents } que nous avons défini a toutes

ses observations conditionnellement au passé, et nous avons les densités conditionnelles alors nous exprimons la fonction de ses densités conditionnelles.

Soit L(O / ? t ) la fonction du pseudo maximum de vraisemblance et

O = a ₀ , a ₁ , . . . , a p , ? 1 , . .., o _q le vecteur des paramètres inconnus. Nous notons f la fonction

( )'

densité et ( )'

? t = ? ₁,..., ? T où T est un entier positif.

T

L f ( / ) O ? = t

( ) ( ) e C O e 6 O = 1 ,..., / / , T t t fJ f 1 ?

t = 1

T 2



? ( ?

1

L ( / ) 2 exp

O ? ?

= l _ ?

2 t

? ( )

^t 2 h

t 1 ? ?

= t

Nous obtenons la fonction log de vraisemblance suivante :

? T 2

- 1? ? ?

?

log ( / ) log 2 exp

2 t

( ) ( )

L h

0 c ?

= -

t f f ?

? t

? ? ?

2 h ?

t = 1 t ?

T ? 2



- ? ? ?

1?

f ?

log 2 h log exp

2 t

= f + -

( )

7r

? ^t 2 h ?

t 1 ? ? ?

= t ?

T ? ?

t 1 ? ?

= t

( )

h

= f - ?

log 2 r 2 t

? ^t 2 h

2

- ?

1



T ? ?

2

= - f + ?

t

1 log 2 C

? ( )

? h t

2 h

t 1 ? ?

= t

2 T

Posons ( )

1

l = - f

t t

2

l o g 2

? ? 1

r h e t

+ =

t ?

? h T

? ?

l t

1

l

t t =

C'est-à-dire ( )

1

l h

= f

- log 2

?T ? ir t

? 2 ?

+ ?

ht t ?

2 T t = 1 ?

La dérivée première et seconde de la fonction de vraisemblance :

5

l

1 1 1

T T ? 2

5 h h

5

= -

5

? ?

t t t

+

0 0 0

2

2 2

T h T h

t t t t

= =

1 1

5 5

^T 5 f ? - ? ?

2

1 1 h t t

&

? 1

2 T h h

t t t

0

= 1 5 ? ?

Prenons par exemple le cas d'un GARCH (1, 1) c'est-à-dire ( )'

0 = a ₀ , a ₁ , /3 1

Donc la variance inconditionnelle est de la forme 2

h t = a ₀ + a 1 ? t - 1 + /3 ₁ h t - 1

Qu'on peut écrire de la manière h h

= + +

a a ? /3

2

t t t

0 1 1 1 1

- -

=

² ( )

² h

a ? /3 a a ? /3

a ++ + +

0 1 1 1 0 1 2 1 2

t - t t

- -

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

= a

/3 a e /3 e /3 a a g /3 h

1

+ + + + + +

0 1 1 1 1 2 1 0 1 3 1 3

t t

- - t t

- -

.
.
.

t -

2 2 t -

j j t

2 1

-

a /3 a /3 E /3

= 0 1 1 1 1 1 1

+ + h

t j

- -

j j

= =

0 0

Alors:

5 5

h h

t - 2

t j t - 1 1

_. +

? /3 /3

1 1

5 5

a a

0 0

j = 1

t - 2

5 h 2 1 1

5 h

t j t -

= +



? /³ e /3

1 1 1

t -

5 a a

5

1 0

j = 1

5 h t
5 /3 1

t - 2 t - 2

1 j 1 2 t

= + + -

j 2

a /3 a /3 e /3

- - -

0 1 1 1 1 1 1

j j t h

( )

1

t -

j = 0 j = 0

Donc:

5 - - 5

1 1 1

^T h

l

T 2

e t t

5 h

? L_i

5

^t +

a a a

2

0 1

2 2

T h T h

t 1 t t

5 5

? 0 ? t 0

=

^T 5 ? ( - ' ?

2

1 1 h t t

e

? 1

2 T h h

t t t

1 0

5 ? ?

a

?

' ? ?

T t 2 2

1 1 ( - e

1 1

5 ' (

h

? ? + -

-

j t t

? ? /3 /3 1

1 1 ? ? 2

2 T h

t t j

1 0

? 5 ?

a h

? ? 1 ? t

l

h h

2

^{1 1 1}

T

5 T

⁵ e ⁵

t

^T 5 ? ( - ' ?



2

1 1 h t t

e

? 1

2 T h h

t t t

1 1

5 ? ?

a

?

T t 2 2

1 1 ( - 2 1 1

5 ' ( '

h e

j t

? + -

-

= ? ? t

/3 e /3

1 1 1 ? ? ?

1

t -

2 T h

t t j

1 0

? 5 ? ?

a h

? ? 1 ? t

T 2

5 5 5

l ^T h h

1 1 1 e

? - +

? ?

t t t

2

5 5 5

/3 /3 /3

2 2

T h T h

t ? 1 t ? 1

1 t 1 t 1

2

1 1

T

5 h ( '

e



t t

? ? ?

2 T h

?

- 1

t t t

1 1

5 /3 h

? ?

2

' ( '

e_t

II ?

-1

) ?

h t

- -

2 2

1 1

T t t

( j j t h

j j

1 1 2 2

t -

= ? ? ?

- -

? a /3 a /3 e /3

+ + -

? ?

1

0 1 1 1 1 1 1

t -

2Th

t j j

? ? =

1 0 0

t ?

La dérivée seconde est de la forme

5 5 5 5 ( 5 ' 5 ( 5 ' 5 5 ?

2 2 2

T ? 1 ?

h h h h h h

T

l 1 1 1 e e

- 2h

t

' ' '

= ? + ? + ?

? ?

t t t t t t t t

? ? ? ? ?

5 5 ? 5 5 5 ? 5 ) ] ? 5 ? 5 ) 5 5

6 6 ? 6 6 6 6 6 6 6 6

' 2 4 '

2 T h h h

2

t 1 t t ? 1 t t ]

II.2 Prévision

II.2.1 Forme des intervalles de prévision

Considérons un modèle ARMA avec erreurs GARCH conditionnellement gaussiennes :

? ?

? ?

?
?

?IL

q O e

( ) ( )

B X B

t t

=



? ?

=h où .

? ?

? est un bruit blanc

t t t t t

q p

t j

-

h h

= ? ?

2

t 0 i t i j

? ?

a a ? ? ?

i 1 j 1

= =

avec a₀ > 0,a i ~ 0,/i j ~ 0 Vi=1p, j=1,q

Un tel modèle peut être analysé de deux façons différentes :

1. On peut dans un premier temps appliquer les procédures classiques d'estimation et d'analyse des processus ARMA, c'est à dire faire comme si les donnés étaient conditionnellement homoscédastiques. Les prévisions à horizon 1 des X_t ,

$

r 1

? ( ) 1 ,

L

X X

= ? ? ?

t u t

? ? ? ?

O ( )

L

C'est-à-dire, les variables sont asymptotiquement sans biais. Dans cette démarche, la variabilité est estimée par :

2

T T

u u

2 1 1 2

c = ? = ?

( - ) ,

X X

t t t

4

TT

t = 1 t = 1

et des intervalles de prévisions sont :

[ X t #177; 2 c ]

u u

(En négligeant l'effet d'estimation deq$ et O).

_u2

c n'est autre qu'une estimation convergente de :

[ ( / )] [[ -E(X / X )] / X ]

2 2

E X E X X EE X

t t t t

-- =

? 1 t t-1 t-1]

EV ( / )

X X

t t ? 1

Eh t

,

C'est-à-dire de la valeur moyenne de la volatilité. Elle est en particulier indépendante de la date t de prévision, de sorte que tous les intervalles de prévision ont la même largeur.

2. Dans un deuxième temps, on peut tenir compte du modèle d'évolution de la volatilité et appliquer les procédures d'estimation spécifiques aux modèles ARCH. si u$

?, O désignent les

estimateurs des polynômes autorégressifs et moyenne mobile, les prévisions à horizon l des X_t , données par :

$

? ? ?

X X

= ? -

( ) 1

L , sont asymptotiquement sans biais. Les intervalles de prévision sont

t

? ? ? ?

? ( )

u t

L

maintenant calculés par :

[ X t #177; 2 h t ]

u $

Ou ht u est l'estimation de la volatilité de la date t. la largeur de ces intervalles dépend maintenant de la date t considérée.

III. Extensions des modèles ARCH / GARCH linéaires et non linéaires

La méthodologie ARCH contribue à relâcher l'hypothèse forte de la constance de la volatilité dans le temps. Suite à l'article pionnier d'Engle, plusieurs variantes du modèle ARCH (p) ont été proposées afin de donner une meilleure description et prévision de la volatilité. Les chercheurs exploitent principalement deux dimensions pour améliorer les modèles GARCH. D'abord, ils s'intéressent aux autres distributions que la loi Normale pour les innovations. Aussi, ils recherchent des modèles plus flexibles expliquant mieux l'évolution de la volatilité. En règle générale, la classe des modèles ARCH peut être divisée en deux sous ensembles : les modèles ARCH linéaires et les modèles ARCH non linéaires. Les premiers regroupent les processus ARCH (p) et GARCH (p, q) décrits précédemment. D'autres variantes comme le modèle GARCH intégré (IGARCH) de Engle et Bollerslev (1986) et le modèle GARCH in Mean (GARCH-M) de Engle, Lilien et Robins (1987) s'ajoutent à la liste des modèles linéaires.

Ensuite, la réaction de la volatilité à un choc sur le rendement peut être différente selon le signe du choc. Une mauvaise nouvelle a généralement un impact plus grand sur la volatilité qu'une bonne nouvelle dans le marché boursier. Ce mécanisme d'asymétrie sur la variance conditionnelle est modélisable par des processus ARCH non linéaires. L'omission de ce fait stylisée du marché, s'il est présent de manière significative, affectera potentiellement la spécification de la variance conditionnelle.

L'estimation des extensions du modèles ARCH/GARCH est faite par la méthode de maximum de vraisemblance décrite précédemment et ce en supposant une distribution des rendements.

III.1 Modèle IGARCH

En bref, le processus IGARCH permet une persistance infinie de la volatilité.

L'effet d'un choc se répercute sur les prévisions de toutes les valeurs futures. Sa spécification est identique à un modèle GARCH (p, q) à la différence qu'une contrainte sur la somme des coefficients est imposée, elle doit être égale à 1. Ceci implique que la variance non conditionnelle n'existe pas dans ce processus. Le modèle RiskMetrics ou moyenne mobile à pondération exponentielle (EWMA), développé par la banque d'investissement JP Morgan pour le calcul de la valeur à risque, est à la base un processus IGARCH (1,1) sans constante dans lequel pour les données quotidiennes, le coefficient suggéré pour le terme d'erreur au carré de la période précédente est 0.06 et celui de la variance conditionnelle retardée est 0.94.



Considéronsc t = ij _t h_t , le processus IGARCH s'écrit :

p q

h a a c ? J3 h ?

= + ? +

2

t i t i j t j

0

i j

= =

1 1

p q

avec les conditions 0 a

> ~ ? ? ? = . Le modèle RiskMetrics est une 0, , 0 et 1 a J3 a J3 i j i j i j = = 1 1

variante du modèle IGARCH (1,1) :

h t = 0.6c t ? 1 + 0.94 h t ? 1

2

Une extension plus fonctionnelle, le modèle GARCH fractionnellement intégré (FIGARCH), est proposée par Baillie, Bollerlsev et Mikkelsen (1996). Ce processus est un cas intermédiaire entre les modèles GARCH et IGARCH. La mémoire longue de la volatilité est prise en compte mais l'effet d'un choc n'est pas infini comme dans le modèle IGARCH, il décroît à un rythme hyperbolique.

III.2 Modèle GARCH-M

Quant au modèle GARCH-M, il introduit la volatilité comme un déterminant de la rentabilité. La variance conditionnelle est alors une variable explicative dans l'équation du rendement, elle intervient dans la fonction de régression pour conditionner le rendement espéré. L'équation de la variance conditionnelle du modèle GARCH-M est identique à la formulation standard du processus GARCH, elle peut être substituée par un autre processus de volatilité. Par exemple, un modèle asymétrique GARCH exponentiel (Nelson, 1991). La représentation GARCH-M est souvent utilisée pour étudier l'influence de la volatilité sur le rendement conditionnel des titres dans les travaux empiriques.

La formulation GARCH-M s'écrit :

X_t = HJ3 + 8h_t + c _t avec c t / I t ? 1 : N(0, h_t)



Considérons e t = i _t ht

p q

ha a e ? f3 h ?

= ? ? + ?

2

t i t i j t j

0

i j

= =

1 1

Dans l'ensemble, les modèles linéaires reposent sur une spécification quadratique des perturbations sur la variance conditionnelle. Ils supposent que c'est l'ampleur et non pas le signe des chocs qui détermine la volatilité. Par conséquent, les chocs positifs et négatifs de même taille ont un impact identique sur la variance conditionnelle.

En d'autres termes, ce sont des processus symétriques. Pourtant, l'hypothèse d'effet asymétrique des chocs sur la volatilité, à savoir la variance conditionnelle réagit différemment aux chocs de même amplitude selon le signe de ces derniers, est très réaliste pour des séries financières et monétaires. Les modèles ARCH symétriques ont le désavantage de ne pas tenir compte de ce fait stylisé possible dans les séries étudiées.

III.3 Modèle EGARCH

Suite à la formulation GARCH de Bollerlev (1986), une seconde mise au point importante de la famille ARCH est sur la spécification de l'asymétrie de la volatilité introduite par Nelson (1991) lors d'une étude sur les rentabilités des titres boursiers américains. À première vue, le modèle EGARCH est caractérisé par une spécification asymétrique des perturbations.

Il permet à de bonnes nouvelles et de mauvaises nouvelles d'avoir un impact différent sur la volatilité.

L'évolution de la variance conditionnelle est expliquée par l'importance des termes d'erreur passés, le signe de ces erreurs et les variances conditionnelles retardées.

Puis, Nelson considère que les conditions sur les paramètres du modèle GARCH sont contraignantes. Elles restreignent la dynamique réelle de la volatilité et la non-négativité des coefficients est souvent violée en pratique quand l'ordre d'un processus GARCH de paramètres p et q est grand. C'est pourquoi dans le modèle EGARCH, la variance conditionnelle est mise sous forme logarithmique donc elle demeure toujours positive.

Dès lors, il n'est plus nécessaire d'imposer des restrictions de positivité sur des paramètres.

Considérons :

.

e_t= i_t h_t



L'équation de la variance conditionnelle d'un processus EGARCH (1,1) s'écrit :

ln(h _t )

a₀ +a₁ ? j

?

) ? + J ₁ ln( a t - 1 ) + yj t - 1

?

2

=



t - 1 - E( j t - 1

Où jt - 1 représente les résidus standardisés à la date t - 1. Le coefficient a₁ mesure l'effet

d'amplitude du terme d'erreur passé. Ensuite, le coefficient y capte l'effet du signe de l'erreur. La relation de récurrence entre la variance conditionnelle à celle de la période précédente est mesurée par le coefficient J₁ .

La valeur E(j t - 1 ) dépend de la loi supposée des innovations standardisées : Pour la distribution Normale :



E ( j _t )

- 1

2

=

?

Pour la loi de Student-t :

2

( ?



v

Fi _i -

v

? )

? ? v

E (j t -

) 2

1 =

2



? ( 1)

v - F? ?

Pour la loi Generalized Error Distribution (GED) :



E

( j t - 1

) 2
=

? ? ? ?
1 3

F ? ? F ? ?

? ? ? ?

v v

Où F(.) désigne la fonction Gamma

? ? v

F? ?

? ?
2

Engle et Ng (1993) notent que la variabilité de la variance conditionnelle du modèle EGARCH est élevée, autrement dit la variance conditionnelle augmente très vite lorsque l'ampleur des perturbations est grande. Ceci peut conduire à des réactions exagérées de la variance conditionnelle dans la prévision.

III.4 Modèle GJR-GARCH

Une autre approche permettant de capter l'effet d'asymétrie des perturbations sur la variance conditionnelle est introduite par Glosten, Jagannathan et Runkle (1993).

La formulation GJR-GARCH est en fait un modèle GARCH avec l'ajout d'une variable muette qui est multipliée par le carré du terme d'erreur de la période passée dans l'équation de la variance conditionnelle. C'est un modèle à seuil où la fonction indicatrice, c'est-à-dire la variable muette, est égale à 1 si le résidu de la période précédente est négatif et elle est nulle

autrement. De cette façon, la variance conditionnelle suit deux processus différents selon le signe des termes d'erreur.

Considérons c t = i _t ht.

L'équation de la variance conditionnelle d'un processus GJR-GARCH s'écrit :

p q

h a a c ? J3 h ? yc ? L ?

= + + +

2 2

t i t i j t j t t

0 1 1

i j

= =

1 1

Où L t ? 1 =1 si c t ? 1 <0, 0 sinon

p q

Avec les conditions 0 a

> ~ + + < 0, , 0 0.5 1. a J3 et a J3 y i j i j i j = = 1 1

L'étude de Glosten, Jagannathan et Runkle (1993) porte également sur le lien entre la prime de risque et la variance conditionnelle des rendements boursiers aux États-Unis. Différentes spécifications du modèle GARCH-M sont utilisées pour fins d'analyse, notamment le modèle GJR-GARCH (p, q) qui capte l'effet d'asymétrie des perturbations sur la variance conditionnelle. Les auteurs se servent des données mensuelles plutôt que journalière de l'indice de la valeur pondéré par la capitalisation boursière de CRSP (Center Research Security Prises) pour réaliser l'étude.

La période concernée allant d'avril 1951 à décembre 1989. À la lumière des résultats, les chocs négatifs provoquent une augmentation de la variance conditionnelle plus forte que des chocs positifs. De plus, au sujet de l'impact de la variance conditionnelle sur l'espérance conditionnelle du taux de rendement excédentaire, le coefficient estimé est négatif comme dans l'article de Nelson (1991) et en plus il est statistiquement différent de zéro. Une hausse de la variance conditionnelle est donc associée à un décroissement du rendement conditionnel. Pourtant, ce résultat est en contradiction avec la plupart des modèles d'évaluation d'actifs qui postulent qu'un actif risqué devrait offrir un rendement supérieur à un actif moins risqué.

Dans la littérature financière, cette relation négative entre les rendements conditionnels et la variance conditionnelle est appuyée par plusieurs travaux, notamment ceux de Black (1976), Bekaert et Wu (2000), de Whitelaw (2000) et de Li et al. (2005). Ce phénomène peut être expliqué par l'effet de levier financier initialement discuté dans l'article de Black (1976), à savoir une baisse du prix d'un titre (rendement négatif) augmente le ratio emprunts/capitaux propres de l'entreprise en question.

Sachant qu'une entreprise plus endettée est plus risquée, donc la volatilité du titre augmente. Une autre explication possible du phénomène est le concept de volatility feedback (Pindyck, 1984 ; French et al. 1987) qui suggère qu'une hausse anticipée de la volatilité accroisse le rendement exigé par les investisseurs puisque le titre deviendra plus risqué, ceci implique que la valeur du titre diminue immédiatement toutes choses étant égales par ailleurs.



III.5 Modèle TGARCH

Considérons c t =? _th_t l'équation de la variance conditionnelle d'un processus TGARCH s'écrit :





p q

h t i t i j t j t t

= + ? + +

a a c ? J3 h ? yc ? L ?

0 1 1

1 1

j =

i=

Où L t ? 1 =1 si c t ? 1 <0, 0 sinon

Le modèle TGARCH (Threshold GARCH) de Zakoian (1994) est similaire au processus GJRGARCH à la différence qu'il spécifie l'asymétrie sur l'écart-type conditionnel et non sur la variance conditionnelle. Il s'agit d'un modèle à seuil où la dynamique de l'écart-type conditionnel des rendements diffère selon le signe des termes d'erreur.

L'équation de l'écart-type conditionnel de TGARCH (1,1) est une fonction linéaire par morceau selon le signe du choc et l'écart-type conditionnel de la période précédente. Par ailleurs, dans le modèle TGARCH, il est possible d'observer une discontinuité de la dérivée de la variance conditionnelle par rapport aux perturbations au voisinage de zéro de telle sorte que les problèmes d'estimation sont plus complexes que le modèle GJR-GARCH. Une extension du modèle est suggérée dans l'article de Rabemananjara et Zakoian (1993), les auteurs exposent qu'il est possible de relâcher les conditions de positivité sur des paramètres, autorisant ainsi un comportement oscillatoire de l'écart-type conditionnel (en valeur absolue) par rapport à la valeur du choc de la période passée.

Nous avons présenté les 3 modèles asymétriques classiques dans la littérature financière. D'autres travaux sur les modèles non linéaires existent, comme ceux concernant les modèles NARCH (Nonlinear ARCH) de Higgins and Bera (1992), NAGARCH (Nonlinear Asymmetric GARCH) de Engel et Ng (1993) et APARCH (Asymmetric Power ARCH) de Ding, Engle et Granger (1993). Pour une description détaillée de la littérature référant aux autres modèles non linéaires, nous renvoyons aux travaux de Hentschel (1995). L'auteur regroupe les modèles asymétriques dans une forme générale. Il compare notamment les modèles par les courbes de réponse à des perturbations (news impact curves).

Il s'agit d'une méthode de comparaison proposée par Engel et Ng (1993), représentant des effets des perturbations sur la variance conditionnelle.

Par exemple, la courbe de l'impact des chocs associés au processus GARCH standard est symétrique et elle est centrée à l'origine. Ceci justifie que le modèle accorde une même importance aux innovations négatives que positives de force égale sur la volatilité.

Pour les modèles EGARCH, GJR-GARCH et TGARCH, leur courbe de réponse à des nouvelles est centrée à l'origine mais asymétrique, ce qui signifie que la variance conditionnelle répond de manière différente au choc de même amplitude selon le signe de ce dernier. Quant au modèle NAGARCH, il se distingue par le fait que sa courbe de l'impact des perturbations est asymétrique et de plus elle n'est pas nécessairement centrée à l'origine.

IV Séries de rendements

En général il très intéressant de voir juste le prix d'un investissement à savoir un titre financier dans notre cas. Du point de vue d'un investisseur le rendement de l'investissement est beaucoup plus intéressant. Principalement du fait qu'un investisseur insiste plus sur le gain relatif réalisable, plutôt que sur le prix nominal de l'investissement, mais aussi parce que le rendement comme indice de changement du prix relatif permet de capitaliser entre compagnies, titres bousiers et monnaies. En plus du fait que les rendements sont généralement stationnaires, une propriété que ne possède pas le prix actuel des titres. Dans le monde de la finance le concept de rendement n'est pas défini de manière claire. Soit X_t le prix d'un titre

au temps t le rendement à l'instant t peut être défini par : Définition 1 : (le taux de rendement arithmétique) :

r1, t

? 1

= t t

X X
-

X_t ? 1

Définition 2 : (le taux de rendement géométrique)

r2, t

( ?

X

= I ?

X

t

log

L ?

t _ 1

Les deux rendements sont reliés par la formule suivante du moins pour les rendements quotidiens :

r e r

r t

1, 2, t = 2, -- 1 ; t

Le taux de rendement géométrique est aussi dit rendement composé. Tout au long de cette partie on utilise le taux de rendement géométrique car il est le plus utilisé dans diverses recherches ce qui permet de comparer les résultats obtenus.

IV.1 Propriétés statistiques des séries de rendement

Les séries des prix d'actifs et de rendements présentent généralement un certain nombre de propriétés similaires suivant leurs périodicités.

Soit X_t , le prix d'un actif à la date t et r_t le logarithme du rendement correspondant :

r t = X _t - X t ?

log log 1

=log 1+D ( ) t Où t t 1 X X ? ? D? ^t X t

désigne la variation de prix.

Charpentier (2002) distingue six principales propriétés qu'on va aborder successivement.

Propriété 1 (stationnarité)

Les processus stochastiques ( _t ) t

X associés aux prix d'actifs sont généralement non

stationnaire au sens de la stationnarité du second ordre, tandis que les processus associés aux rendements sont compatibles avec la propriété de stationnarité au second ordre.

Propriété 2

Les autocorrélations des variations de prix.

La série ²

r_t associées au carrées de rendement présente généralement des fortes autocorrélations, tandis que les autocorrélations de la série r_t sont souvent très faibles (hypothèse du bruit blanc).

Propriété 3 (queues de distribution épaisse)

L'hypothèse de normalité de rendements est généralement rejetée. Les queues des distributions empiriques des rendements sont généralement plus épaisses que celle d'une loi gaussienne. On parle alors de distribution leptokurtique.

Propriété 4 (clusters de volatilité)

On observe empiriquement que de fortes variations des rendements sont généralement suivies de fortes variations. On assiste ainsi à un regroupement des extrêmes des clusters ou paquets de volatilités.

Propriété 5 (queues épaisses conditionnelles)

Même une fois corrigée, la volatilité de clustering (comme pour le modèle ARCH) la distribution des résidus demeure leptokurtique même si la kurtosis est plus faible que dans le cas non conditionnel.

Propriété 6 (effet de levier)

Il existe une asymétrie entre l'effet des valeurs passées négatives et l'effet des valeurs passées positives sur la volatilité des cours ou des rendements.

Les baisses de cours tendent à engendrer une augmentation de la volatilité supérieure à celle induite par une hausse des cours de même ampleur.

IV.2 Modèle des séries des rendements

? = +
r C

t t

?

?

? ?

&ij

t tt

h



Les séries des rendements sont souvent modélisées par des modèles GARCH. Prenons pour exemple un modèle GARCH (1, 1), il s'écrit sous la forme suivante :

? ?L = + +

h h

a a ? ? fl ?

2

t 0 1 1 1 1

t t

Avec a₀ > 0, a₁ ~ 0, /3 1 ~ 0 et C représente la moyenne de la série r_t .

Analyse et estimation des séries de rendements

Dans cette partie on utilise le modèle par défaut GARCH toolbox (boite à outils), pour estimer les paramètres nécessaires à la modélisation des séries de rendements.

? = +

r C

t t

?

?



? =

? 17 h

t t t

? ?L = + +

a a ? fi ?

2

h h

t 0 1 1 1 1

t t

Avec a₀ > 0, a 1 ~ 0, /3 1 ~ 0 et C représente la moyenne de la série r_t .

Les étapes à suivre sont les suivantes :

1- Effectuer une analyse de pre-estimation pour vérifier si les séries de rendements sont hétéroscédastiques, et peuvent être modélisées en utilisant la formulation GARCH.

2- Estimer les paramètres du modèle par défaut.

3- Effectuer une analyse de post-estimation pour confirmer l'adéquation du modèle par défaut choisi.

Série de rendement RNDQQQQ

1- Pre-estimation

? Graphe de la série brute QQQQ et la série de rendements RNDQQQQ



On voit clairement sur le graphe de la série brute QQQQ que ce processus est non stationnaire, et cela provient de l'inclusion de la tendance (caractéristique des séries de prix), par contre la série de rendements logarithmiques RNDQQQQ à droite semble stationnaire autour de sa moyenne, ce qui est une propriété principales des séries de rendements.

Pour confirmer ou infirmer cette stationnarité on procède dans un premier temps à l'analyse des corrélogrammes simple et partiel.

? Corrélogramme simple et partielle de la série RNDQQQQ



D'après les corrélogrammes simple et partiel, on remarque que presque tous les pics sont non significatifs, ce qui confirme la propriété de non corrélation des rendements.

s Corrélogramme des rendements au carré RNDQQQQ



On remarque d'après le corrélogramme des rendements au carré que les autocorrélations sont nettement significatives, cela peut être expliqué par une forte corrélation et une persistance du moment de second ordre.

Mesure de la corrélation

On peut quantifier les autocorrélations précédentes en utilisant les tests d'hypothèses formelles, comme le test de Ljung Box-Pierce et le test ARCH d'Engel.

Sous MATLAB la fonction lbqtest implémente le test de Ljung Box-Pierce Q-test qui suppose sous l'hypothèse nulle que les rendements sont aléatoires.


· Ljung Box-Pierce Q-Test

En utilisant le test de Box Ljung, on peut vérifier qu'il n'y a pas de corrélation significative entre les rendements.

Remarque

Dans les tableaux qui suivent, la sortie H est une décision booléenne, H=0 veut dire qu'il n'y a pas de corrélation significative, H=1 implique l'existence d'une corrélation significative.

H	Pvalue	T-Stat	Critical value
0.000	0.2257	12.9630	18.3070
0.000	0.5151	14.1379	24.9958
0.000	0.7751	15.0221	31.4104

D'après le test on remarque que H=0, les probabilités sont toutes supérieures à 5% et les T-Stat sont inférieures aux valeurs critiques, donc on accepte l'hypothèse de non corrélation des rendements.

s Engel's ARCH Test

Pour appliquer le test de Engel, on implémente la fonction ARCH test qui vérifie la présence d'un effet ARCH, sous l'hypothèse nulle la série de rendements est une séquence aléatoire gaussienne (c'est-à-dire pas d'effet ARCH)

H	Pvalue	T-Stat	Critical value
1.000	0.000	67.0647	18.3070
1.000	0.000	75.1928	24.9958
1.000	0.000	76.8591	31.4104

D'après le test H=1, les P-value sont nulles et les T-Stat sont supérieures aux valeurs critiques, donc on rejette l'hypothèse nulle, c'est-à-dire qu'il existe un effet ARCH.

2- Estimation des paramètres

La présence d'hétéroscédasticité vue dans l'analyse précédente, indique que la modélisation GARCH est appropriée pour mettre en oeuvre ce phénomène.

Parameter	Value	Standard Error	T Statistic
C	0.00046524	0.00033463	1.3903
a0	2.3721 10^-6	1.6617 10^-6	1.4275
GARCH(1)	0.92729	0.028437	32.6086
ARCH(1)	0.04946	0.015371	3.2178

On remarque que tous les paramètres du modèle sont significativement différents de zéro. La condition de positivité des paramètres et aussi vérifiée.

Donc le modèle GARCH(1, 1) peut s'écrire sous la forme suivante :

? = +

-8

RNDQQQQ _t 4.6524 e ? t

?

h

( )

0, 1

? ???

Où N

iid

? 7 ri

t t t

= t

? ?L = + +

2.3721 10 0.04946 0.92729

-6 2

h g

t t t

-1 -1

h

3- Post-estimation

On utilise le graphique ci-dessous pour inspecter le rapport entre les innovations (résidus) dérivées du modèle estimé, les écarts types conditionnels et les rendements observés.



- Comparaison des innovations, écarts types conditionnels et rendements-

On remarque dans la figure précédente que les innovations et les rendements montrent des faibles clusters de volatilité, on note aussi que la somme a₁ + ? 1 = 0.04946+0.92729 est égale

à 0,97675 (strictement inférieurs à 1) ; donc la condition de stationnarité du processus GARCH est vérifiée.

? Graphe des innovations standardisées



D'après le graphe des résidus standardisés, on voit clairement qu'ils montrent une stabilité au cours du temps, avec peu de clusters.

s Corrélogramme des résidus standardisés au carré



D'après le corrélogramme, on voit clairement l'absence de corrélations des résidus standardisés élevés au carré, car aucun pic n'est significatif.

Pour confirmer cela, on effectue le test de Box Ljung-Pierce Q-Test et le test d'Engle.

? Ljung Box-Pierce Q-Test

H	Pvalue	Stat	Critical value
0.000	0.4121	10.3293	18.3070
0.000	0.7557	10.9558	24.9958
0.000	0.8865	12.7834	31.4104

D'après le test on remarque que H=0, les probabilités sont toutes supérieures à 5% et les TStat sont inférieures aux valeurs critiques, donc on accepte l'hypothèse de non corrélation des résidus standardisés.

s Engel's ARCH Test

H	P-value	T-Stat	Critical value
0.000	0.0604	19.0395	19.6751
0.000	0.1646	20.1946	24.9958
0.000	0.2670	23.4546	3 1.4104

D'après le test H=0, les P-value sont supérieures à 5% et les T-Stat sont inférieures aux valeurs critiques, donc on accepte l'hypothèse nulle, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'effet ARCH sur les résidus standardisés.

Conclusion

L'étape de post-estimation sur les résidus standardisés montre la puissance explicative et confirme l'adéquation du modèle par défaut.

Pour les autres séries RNDGLD, RNDSPY et RNDIEV, on a appliqué la même procédure, on a obtenu les modèles suivants :

Série de rendement RNDGLD

Parameter	Value	Standard Error
C	0.00053526	0.00036727
a0	9.4616 10^-6	5.2273 10^-6
GARCH(1)	0.94348	0.012373
ARCH(1)	0.052564	0.011958

Donc le modèle GARCH (1, 1) peut s'écrire sous la forme suivante :

RNDGLDt

= + 0.00053526

Et

iid

t t t

= ? h i

Où N

???

t

-6 2

h = + +

9.46 16 10 0.052564 0.94348

E

t t t

-1 -1

h

? ? ?

? ?



( )

0, 1

E

Série de rendement RNDSPY

Parameter	Value	Standard Error
C	0.00046062	0.00026418
a0	5.9113 10^-6	6.3759 10^-6
GARCH(1)	0.90204	0.024266
ARCH(1)	0.065529	0.016189

Donc le modèle GARCH (1, 1) peut s'écrire sous la forme suivante :

h = 5.911310

t

-6 2

+ +

0.065529 0.90204

E t t

-1 -1

h

?

?

RNDSPY 0.00046062 E

t = + t

iid

E ii

t t t

= h ?

Où N

t ???



( )

0, 1

? ???

iid

E ?

t t t

= h Où N

t

?

?

RNDIEV t

= + 0.00086285

E t



h = 1.9287 10 t

-6 2 + + 0.089584 0.85068 E t t -1 -1 h

( )

0, 1

Série de rendement RNDIEV

Parameter	Value	Standard Error
C	0.00086285	0.00032006
a0	1.9287 10^-6	2.0614 10^-6
GARCH(1)	0.85068	0.041057
ARCH(1)	0.089584	0.023105

Donc le modèle GARCH (1, 1) peut s'écrire sous la forme suivante :

? i ??)

iid

?

t t t

= h OùN

t

h = 6.2741 10

t

? ? ?

? ?



-6 2

+ +

0.031218 0.95158

c t t

-1 -1

h

( )

0, 1

RND OIH

t t

0.0013296

? &

+

Série de rendement RNDOIH

Parameter	Value	Standard Error
C	0.0013296	0.00067436
a0	6.2741 10^-6	6.173 1 10^-6
GARCH(1)	0.95158	0.026164
ARCH(1)	0.031218	0.013188

Donc le modèle GARCH (1, 1) peut s'écrire sous la forme suivante :

I. Introduction

Les modèles ARCH que nous avons abordés jusqu'à présent sont des modèles ARCH univariés. Ils permettent de décrire et de prévoir le comportement de la volatilité d'une série monétaire et plus encore les données financières avec une grande taille. La dynamique d'une série comprend la non constance de la volatilité en fonction du temps et le mécanisme asymétrique potentiel des chocs sur la variance conditionnelle.

Toutefois, l'analyse des risques liés à un portefeuille composé de plusieurs actifs doit se faire dans une optique de risques multiples, à savoir les interactions entre les différents éléments du portefeuille doivent être prises en considération. Or, les modèles univariés ne tiennent pas compte de la corrélation entre les actifs. Il faudrait alors passer aux modèles multivariés afin de capter les liens dynamiques entre les actifs.

II. Modèle VEC

Une première approche est l'extension directe du modèle ARCH au cas multivarié. Elle a été introduite en premier par Engle, Granger et Kraft (1984). Il s'agit d'un modèle ARCH dans lequel chaque variance conditionnelle dépend non seulement de ses propres erreurs au carré des périodes précédentes, mais aussi de celles de l'autre variable du système ainsi que du produit croisé des erreurs passées des deux variables. En appliquant une même extension sur le processus GARCH (1,1), nous obtenons la forme générale du modèle VEC (1,1) proposée par Bollerslev, Engle et Wooldridge (1988). Cette méthodologie permet une dépendance dynamique entre les séries étudiées.

Le modèle VEC (1, 1) est défini par :

1

h = C + Ai7 + Gh t ?

t t

Où C est un vecteur et A, G sont des matrices h t = Vech(H _t )

i7 t = Vech(s _t s _t )

'

Le terme Vech est un opérateur matriciel qui stocke les éléments de la partie triangulaire
inférieure de la matrice H_t de dimension (N x N) dans un vecteur colonne de dimension

(N (N+1)/2 x 1). Prenons un portefeuille à 3 actifs. ? h h h

11 12 13

t t t

H h h h

?

t t t t

= ? 21 22 23

? ? h h h

(h 11 t , h21 t , h31 t , h22 t , h32 t , h33 t ) '

31 32 33

t t t

Alors Vech(H _t ) =

L'opérateur Vec sert à empiler tous les éléments de la matrice Ht dans un vecteur colonne de dimension ((N x N) X 1).

Par exemple pour N=3

On a Vec(H _t) -- (h,

. ,.1t , h_21t , h_31t , h_12t , h22t, h32t , h_13t , _h23t , h33t )

Propriété de l'opérateur Vech

Vec(ABC)-- (C^' 0 A)VecB (II.1)

Où ® est le produit de Kronecker

? ? ?

I_L

[

1_[

h₁ h h

(II.2)

(II.3)

2

1 1 t = C 1 1 + a 11' 1t-1 + g 11h11t -1

(II.4)

2 2 t = 2

C 2 2 #177; a 3 3£ 2 t -1 + g 3 3 h 2 2 t -1

Prenons par exemple un modèle Vech (1, 1) :



h22tC22 h_ÿÿ11t [C11 h21t = C12 + a21 a22 a23 '1t-1'2t-1 + g21 g22 g23 k

a11 a12 a13 ¹ '12t-1 ¹ g11 g12 g13 1 _k1t-1 1



_'2a31a32a33j2t

-

1jg31g32g33^j

h

22t

-

1j

₀² _, , _'2 _,

1t

-

1

L'écriture équivalente donne :

1t = C11 #177; a11-1t-1 ' -12'1t-1-2t-1 #177; a132t-1 ' g11h21t-1 + g12h22t-1 + g13h22t-1

2

21t = C12 + a21' 1t + ,

-i . `^
·22'1t-1' 2t-1 + a23' 2² + t-1 ' g21h21t-1 + g22h22t-1 + g23h22t-1

2 _2t

22t = C22 +a31'11-1²_^,,

ir-i ' '^'32'1t-1' 2t4 #177; a33'2,t-1 ' _,

g31h21t-1 #177; g32 h22t_1 #177; g33 h22t_1

[

Donc pour deux titres financiers le nombre des paramètres à estimer est de 21 dans un modèle VEC (1, 1). Cet exemple met en évidence l'inconvénient majeur du modèle VEC qui est le nombre de paramètres à estimer, il devient de plus en plus grand au fur et à mesure que le nombre des variables augmente. Ainsi, pour un modèle VEC(1, 1) avec 4 titres (actifs) à modéliser conjointement, le nombre de paramètres est égal à 210 et avec 8 titres il atteint 2628.

Afm de réduire le nombre de paramètres à estimer, les auteurs suggèrent la formulation Diagonal VEC (DVEC). En supposant que les matrices A et G sont diagonales, le nombre des paramètres est égal à 9 pour un VEC (1, 1). Dans ce cas les équations deviennent :

h

h 21 t = C + a t-l'2t-1 + g

1 2 g 2 2h 2 1 t -1

h

En supposant que certaines matrices sont diagonales, modéliser conjointement 8 actifs dans la formulation DVEC (1, 1) demande maintenant l'estimation de 52 paramètres.

Les éléments du modèle DVEC (1, 1) suivent en fait un GARCH (1, 1), a savoir que chaque variance conditionnelle est déterminée par le carré de leurs propres erreurs précédentes et son propre retard tandis que la covariance de deux éléments dépend du produit croisé des erreurs passées des deux éléments impliqués et de son propre retard. Cependant, le grand désavantage de ce modèle est l'absence de l'interdépendance entre les composantes du système donc la transmission de chocs entre les variables n'est pas possible. Les variations de la volatilité d'une variable n'influencent pas le comportement des autres variables dans le système. D'autre part, la positivité de la matrice des variances-covariances conditionnelles n'est pas garantie par le modèle. Il faudrait imposer des restrictions sur chaque élément de la matrice des variances-covariances conditionnelles.

Etant donné, la condition de positivité de la matrice H_t , nous pouvons réécrire le système sous forme matricielle de la façon suivante :

f ?

a12

? ?f ?

a 11 2 e 1 1

-

11 11 1 1 2 1

= + ? ?? ?

t

h C

t t t

( )

e e

- -

? ?\ )

a e

12 2 1

t -

? ?

a ₂₂

\ ?

2

a ₂₂

f ?

? ?f ?

a 21 2 e

? ?? ?

? ?\ ?

a e

22 2 1

t -

? ?

a ₂₃

\ ?

2

1 1

h C

21 12 1 1 2 1

t t t

= + ( )

e e

- -

(II.5)

t -

f ?

a32

? ?f ?

a312 e

? ?[ ?

1 1

t -

? ?

a 22

\ ?

? I\ ?

a e

h C

22 22 1 1 2 1

t t t

= + ( )

e e

- -

32 2 1

t -

2

Si nous écrivons les trois dernières équations sous formes matricielles, nous obtenons

H t

f a a a a e

/ 2 / 2 0

11 12 21 22 1 1

?f ?

t -

0 0 /2 /2 0

?? ?

C C

= ? ? ?? ? ? ?? ?

11 12 1 1 2 1 12 13 22 23 2 1

e e a a a a e

?

f ? f ? ?

t t

- - t - (II.6)

0 0 / 2 /2 0

?? ?

\ ) \ j

C C

12 22 1 1 2 1 21 22 31 32 1 1

e e a a a a e

t t

- - t -

? /2 / 2 / 2 0

?? ?

\ a a a a e

22 23 32 33 2 1

?\ ?

t -

Si nous notons A^° la matrice de dimension 4 X4, alors la forme matricielle du modèle Vech (1, 1) peut être écrite comme :

H t = C + I N ® e t - 1 A I N ® e t - 1

( )°? )

'

Et la condition de positivité implique C ~ 0 et A ° ~ 0 avec au moins une inégalité stricte.

III. Modèle BEKK

Une approche qui garantit la positivité de la matrice des variances-covariances conditionnelles est suggérée initialement par Baba, Engle, Kraft et Kroner (1990). Puis, elle a été synthétisée dans l'article d'Engle et Kroner (1995). Le modèle BEKK (p, q, k) prend en compte des interactions entre les variables étudiées.

L'équation suivante spécifie un modèle BEKK (1, 1, K) :

K K HC C A 8 8 A G H G * * * * * * ' ' ' = + ? + t k t t k t k _ _ 1 1 _ 1 k=1 k=1

(III.1)

Où C , A _k et G k

* * * sont des matrices de dimension (Nx N) et C^* est une matrice

triangulaire supérieure et '

CC

* * = . On observe que le 1^er et le 2^e terme de l'équation sont

positifs et donc pour que Ht soit positive, il faut que H_t_₁ soit positive. Voici un modèle BEKK (1, 1, 1).

' 2

h h C C C

1 = [ 1

[ 1 [ 1 [ 1 [ 1

[

?

?

* * * * * * *

a a

11 21 11 11 21 11 12 1 1 1 1 2 1

0 a a 8 8 8

t t 11 12

? ? ? ? + ? ? ? ?

t t t

_ _ _

? ? ?

2

h h C C C

* * * * *

21 22 21 22 22 21 22 1 1 2 1 2 1

0 a a 8 8 8

t t ? J [ ]

a a

* *

J ? j ? j ? ] t t t

_ _ _ 21 22

[ ? ? ?

g g h h g * * * * 11 12 11 1 21 1 1 [ 1 g [ 1 t t _ _ 1 1 12 ? ? g g h h ? ? ? * * 21 22 21 1 22 1 ? J t t _ _ ? J g g * * 21 22

Nous observons que le nombre de paramètres à estimer est réduit à 11 avec un modèle BEKK (1, 1, 1) (21 pour le modèle Vech (1, 1). Si on utilise (II.1), nous pouvons écrire le modèle (6) comme un modèle VEC :

Vec H A A Vec 8 8 G G Vec H t

( _t ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )

= ? + ® + 0 _

* * ' ' * * '

t t

_ _

1 1

D'ailleurs, le modèle BEKK est faiblement stationnaire si les racines caractéristiques De ( A A ) ( G G )

* * * *

® + ® sont plus petites que 1 en valeur absolue et donc nous avons :

_ 1

Vec E VecH A A G G Vec

( ) ( ) ( 2 ( ) ( ) ) ( )

>. = = I _ ® _ ® Q

t N ' '

* * * *

Néanmoins, bien que le nombre des paramètres à estimer soit inférieur à celui du modèle Vech, il demeure encore très élevé. Par exemple, pour un modèle BEKK (1, 1, 8) ayant 8 actifs dans le système, il faut estimer jusqu'à 164 paramètres. Les recherches utilisant ce modèle limitent le nombre d'actifs étudiés et/ou imposent des restrictions comme de supposer que les corrélations sont constantes (Bollerslev 1990). Cependant, cette hypothèse est très forte puisque plusieurs travaux empiriques montrent que les corrélations varient au cours du temps. Le processus FARCH (Factor ARCH) proposé par Engle, Ng et Rothschild (1990) est un cas particulier du modèle BEKK avec des facteurs communs dans la volatilité des séries.

En imposant une structure commune aux éléments de la matrice des variances-covariances, le nombre de paramètres à estimer dans un modèle FGARCH (1, 1, 8) est réduit à 54.

IV. Modèle CCC

Comparée aux modèles multivariés précédents, la formulation CCC (Constant Conditional Correlation) de Bollerslev (1990) diminue grandement le nombre de paramètres à estimer. Par exemple, modéliser conjointement 8 actifs exige l'estimation de 52 paramètres. D'ailleurs, le modèle permet aux covariances conditionnelles de varier dans le temps, mais en supposant que les corrélations entre les variables restent constantes. La méthodologie CCC consiste à estimer en premier la variance conditionnelle de chaque variable du système avec un modèle de type ARCH quelconque. Une matrice diagonale contenant ces variances conditionnelles est ensuite construite et la racine carrée de cette matrice donne une matrice diagonale des écart- types conditionnels D_t des variables étudiées. Le calcul de la matrice des variances

covariances conditionnelles est obtenue par le produit de trois matrices : la matrice diagonale des écart-types conditionnels(D_t), la matrice de la structure des corrélations entre les variables (R) et la matrice diagonale des écart-types conditionnels(D_t).

L

HD RD

t t t

=



Ddiag h h h

t t t NNt

= ( ₁₁ , 22 ,..., )

R p avec ? i n

= ? ?

ij ii

, 1 1,...,

Où R est un une matrice (N x N) contenant les corrélations constantes. Les variances conditionnelles h_iit pour i= 1, ..., N, sont estimés à partir d'un modèle GARCH univarié. Nous

pouvons écrire la covariance entre deux actifs h_ijt comme :



h ijt = p _ij h _iit h _jjt , Vi ~ j

La matrice des variances-covariances conditionnelles est presque toujours définie positive en pratique en raison de la méthodologie d'estimation. L'hypothèse fondamentale du modèle CCC est le fait que les corrélations conditionnelles sont constantes dans le temps. L'avantage de cette hypothèse est la facilité de l'estimation des paramètres et le nombre moins grand de paramètres à estimer. Mais, comme le modèle BEKK, l'hypothèse de constance des corrélations ne résiste pas à la réalité des faits.

La condition de positivité de H_t exige la positivité de R et de h_iit pour i=1,..., N. Dans le

modèle CCC, les éléments de la matrice des corrélations R sont constants. La dynamique de la covariance est déterminée seulement par deux variances conditionnelles, ce qui implique un

paramètres en R (matrice des corrélations).

nombre de ( 1)

N N -

2

Pour une description détaillée des modèles GARCH multivariés présentés précédemment, le nombre de paramètres à estimer représente un problème majeur dans l'application des modèles multivariés. Dans ces conditions, il faut faire des compromis notamment limiter le nombre d'actifs à modéliser dans le système et imposer des restrictions comme la constance des corrélations dans le temps. En effet, les modèles présentés précédemment permettent aux covariances conditionnelles entre les variables étudiées de changer dans le temps mais ces variations sont entièrement attribuées aux fluctuations des variances conditionnelles. Ainsi, Tse (2000), en utilisant le test du multiplicateur de Lagrange, rejettent l'hypothèse nulle de constance des corrélations entre les marchés boursiers de Hong Kong, Japon et Singapore estimées à partir d'un modèle GARCH multivarié BEKK de Engle et Kroner (1995). Par ailleurs, les mécanismes d'asymétrie des chocs sur les variances et les corrélations conditionnelles ne sont pas pris en considération par ces modèles (à l'exception du modèle CCC où il est possible de modéliser la variance conditionnelle des séries avec des modèles ARCH non linéaires). Cependant, il est établi que la volatilité peut réagir différemment selon le signe des chocs et la corrélation entres les marchés boursiers a tendance à augmenter en période de baisse. La négligence de ces phénomènes constitue une source d'erreur possible dans l'estimation de la matrice des variances-covariances conditionnelle, particulièrement dans les situations extrêmes comme une crise financière.

Estimation de la matrice de corrélation

Soit r_t le vecteur de rendements et &_t le vecteur de résidus standardisés 1

& t D t ? r t

?

L'estimation de la matrice de corrélation constante est donnée par :

R

'

& &

tt

1 ^T

? ?T

t

?

1

IV.1 Test de constance de corrélation

Une motivation première de cette approche est que les corrélations entre les actifs ne soient pas constantes au cours du temps. Il faudra donc effectuer un test de constance de corrélation. Il s'agit d'un problème difficile. Engle et Sheppard (2001) ont proposé le test suivant :

p

H₀ : R_t R,V te T Contre H1 : Vech^u(R_t) Vech^uR)+Efi_iVech^u(R_t__i)

i

Où Vech^u est un Vech modifié qui choisit seulement les éléments au dessus de la diagonale. R_t c'est la matrice de corrélation dynamique.

Après avoir estimé les modèles GARCH univarié on standardise les résidus pour chaque série, soit Di¹r_t

On estime ensuite la corrélation entre les résidus standardisés et on standardise conjointement

1

le vecteur des résidus univariés standardisés. C'est-à-dire que l'on utilise

~~R 2D--t1r t

.

Où R² est la racine carrée de la matrice symétrique R .

Sous l'hypothèse nulle de corrélation constante, ces résidus sont indépendants identiquement distribués (iid) de matrice de variance covariance 1_k .

Var R 21 etj R 2 Var(et)R2 R²RR² 1_k

H₀ H₀



Si l'on considère Vech^u R 2 e e

1

1

tt

2 on remarque que

- -

EH0 [Vech^uR 2etetR ² Vech^uE_H0 2etetR ² Vech^u (1k) (c)~ ~ ~ (c)~ ~

Soit le processus centré{ Y_t, te `~ . En supposant une dynamique linéaire de la forme du processus suivant :

Yt a1_k + _fi1Yt~~1+ ...+ fi _sYt~~s + ri _t,t s +1,..., T

Où (ri_t )_test processus centré i.i.d du second ordre de variance a² . Engle et Sheppard proposent pour le test de :

H₀: "a 0, et fi_i 0; V i 1,p" Contre H₁ :a # 0 3ie 1,s tq fi_i #0

Yt est de dimension k(k -1)

2 .

Y1 a + fi1Ys+ ...+ fi sY1+ri1

Ys+2 a + fi1Ys+1+ ...+ fi)72 +ri s+2

.

YT a + fiYT-1
·
·
·vT--s+ + fi + riT

L'écriture matricielle est de la forme suivante :

1Y_s . . . Y₁

1 . . .

Y Y

s + 1 2

. . .

. . .

. . .

1 . . .

Y Y

T - 1 T s

-

?
?
?
?
Y = ?
?
?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

+ = X

?

?

?

?





8 ij
+

? = X X X Y Avec ( $ ) 1

$ ( )

' ' EH 0 ? = 0 s + et $ ( )

Var ? = X X a

' 2

Ceci est justifié asymptotiquement (Hamilton (1994) P.2 15)

On estime ²

cr par :

1 T

= ?T S

t s

= +

s

Y Y

t k j t j

- I - ?

a J3 -

j = 1

? u 2

1

2

-

La statistique de test est la suivante. Il s'agit du tester de Wald adapté à ce problème (Hamilton 1990)

$ $ ' ' ? XX ? ? u 2

Où ( )' ? = a , J3 1 , J3 2 , ..., J3 s Elle suit asymptotiquement une loi du Khi Deux à (s+1)

degré de liberté.

La règle de décision est la suivante :

' ' ? ? ? $ $ XX ? s Si 2 1 > + ^2 ( ) ? u

on rejette l'hypothèse nulle (H0).

Sinon H₀ est acceptée.

V. Modèle DCC (Dynamic Conditional Correlation)

Une approche récente pour modéliser à la fois les variances et les corrélations conditionnelles de plusieurs séries est la méthode DCC (Dynamic Conditional Correlation) proposée par Engle (2002) et Tse et Tsui (2002). S'inspirant du modèle CCC, la démarche de l'estimation comporte 2 étapes. En premier, la variance conditionnelle de chaque variable du système est estimée à partir d'un processus de type ARCH ou GARCH univarié quelconque. A ce point, il est possible de choisir un modèle non linéaire pour prendre en compte le mécanisme asymétrique des chocs sur la volatilité si le phénomène est significativement présent dans la série. Par la suite, les résidus standardisés des régressions effectuées à la première étape sont utilisés pour modéliser les corrélations de façon autorégressive, obtenant ainsi la matrice des corrélations conditionnelles qui varie dans le temps. La matrice des variances-covariances

conditionnelles est le produit de la matrice diagonale des écart-types conditionnels par la matrice des corrélations conditionnelles et par la matrice diagonale des écart-types conditionnels.

Le modèle DCC proposé par Engle (2002) s'écrit de la manière suivante :

~°~®~ °~~

H_t DtRtDt

D diag

t

( h1 1t , _h22,...,hNNt )



Où R _t est la matrice de corrélation conditionnelle qui peut être obtenue par l'équation :

Et-(CtC;) Di ¹H_tD_t^-1 R_t Car C_t Di ^1r

On modélise R_t de la manière suivante :

Q_t (1- a - /3 )Q + a (CtC;)#177; ^/3 Qt-1 ^-R_t (diagQt) 1/ 2 Q_t (diag Qt )-1/2

Q_t c'est la matrice de variances-covariances conditionnelles des résidus standardisées. Où Q est la matrice de variances-covariances inconditionnelle de dimension(Nx N),

\'

symétrique et définie positive alors que Et=(å1t,å2t ,...,å_Nt est un vecteur colonne des



résidus standardisés des N actifs du portefeuille à la date t, ri i t C t

Où r_it hitCit V i 1,2 avec{ C_it , te cents`~ iid, de (V. 1) on obtient :

pour i=1,...,N

h iit

P12Et-1( kt h2t ^CuCu)Et-1 (C1tC2t

h1th₂





les coefficients a et /3 sont des paramètres à estimer. La somme de ces coefficients doit être inférieure à 1 pour respecter la positivité de la matrice Q_t.

Corrélation conditionnelle.

Soient deux variables aléatoires _r1t et r_2t centrées



(rtr2t)E (r r )

2t

(V. 1) Car Et-1(rit) hit

P

Et-1

12,t 2 2

E1 fritgt-1(r2t)

t-

t

h₁th₂

Alors on a :

Ainsi on peut dire que la corrélation conditionnelle entre les variables est aussi la covariance entre les résidus standardisés.

R_t( Q _t ) Q _t ( Q _t ) où Q t * diag Q t

* 1/ 2 * 1/ 2

- -

= { } { }

=

V.1 Estimation des paramètres

Pour estimer les paramètres ( )'

? = a ₀ ,a₁ , ...,a _p ,ii ₁ ,..., ii _q nous devons passer par une estimation du maximum de vraisemblance logarithmique. En supposant que les résidus sont gaussiens centrés, la fonction de vraisemblance s'écrit :

l

T

( ) ( ) / 2 1/ 2 ' 1

? n ? ? ?

1

? ? r g

, / 2 exp

= ?

-

? ? - ?

- H - r H r

t t t t t ?

2

t = 1 ? ? ? ?

Où rt désigne l'actif

Car ? r t / t - 1 ? N n ? 0 _n , H t ?

? ? ? ?

? ?

Ainsi on aura la fonction de vraisemblance logarithmique :

( T ? ?

n / 2 1/ 2 ' 1

? ? ?

1

- -

log , / log 2 exp

l ( ) ( )

0 ? & g

= i -

t ? ? ? ?

H r H r



-

fl t t t t ?

? ?

2

t = 1 ? ? ? ?

= -

T

1 ?

2

1

t =

( )

n H r H r

' 1

-

log 2 log

g + +

t t t t

On sait que H t = D _t R _t D _t et 1

s _t D t - r t

= , en remplaçant H_t par l'expression D _t R _t D _t on aura :

T



( ) ( )

1 ' 1 1 1

- - -

log , / log 2 log

l n D R D r D R D r

0 çb e g

= - + +

?

t = 1

t t t t t t t t t

2

= -

T

1 ?

2

1

=

t

( )

n D R R

g e e

' 1

-

log 2 2log log

+ + +

t t t t t

T

Avec cette fonction log-vraisemblance il est très difficile d'estimer les paramètres pour des matrices de grandes tailles. Alors Engle (2002) propose une estimation en deux étapes permettant une estimation consistante des paramètres.

Soit ( ) (

1

L l O çb c n g D r D r c c R ? R ?

= = - ? + + - + +

' 2 ' ' 1

-

log , / log 2 2log log

- )

t t t t t t t t t t t

t=1

2

Donc Engle propose de diviser l'estimation en deux étapes : une partie dépend des paramètres

de la volatilité et la seconde partie dépend à la fois des paramètres des corrélations conditionnelles et des paramètres de la volatilité.

Ainsi la fonction log-vraisemblance s'écrit :

L ? ? ? = l ? ? ? t = L v ? ? t + L c ? ? ? t

( , / t ) log ( , / ) ( / ) ( , / )

T

comprend les paramètres de la

Avec ( ) ( )

L O e n ,r D r D - r

1 ' 2

/ log 2 2log

= - ? + +

v t t t t t

t = 1

2

volatilité( D_t ) .

T

Et ( ) ( )

1

L O çb e R e e e R e

' ' 1

comprend les paramètres de la corrélation

-

, / log

= - - +

c t t t t t t t

2 t = ¹

conditionnelle( R_t ) .

Pour déterminer O $ et ? $ on cherche à maximiser la fonction log-vraisemblance ce qui revient

à max { L v ( / t ) }

_O O e et max { L c ( u , / t ) }

? O 7 e

Etape 1 :

Dans cette première étape d'estimation, un modèle GARCH (p, q) univarié est appliqué aux

variances conditionnelles de chaque actif. A l'issue de celle-ci, les coefficients qui expliquent la volatilité de chaque actif pris individuellement sont obtenus en résolvant le

problème max{L v ( / t ) }

_O O e . Pour la résolution voir chapitre 4.

Etape 2 :

Dans cette seconde phase d'estimation, les coefficients des volatilités obtenus lors de la

première étape, O $ sont maintenant supposés connus et servent à conditionner la fonction de vraisemblance utilisée pour estimer les paramètres q$ de la dynamique de corrélation.

Cette procédure réduit grandement le temps de calcul mais au prix d'une perte d'efficacité dans la mesure où ce n'est qu'une partie de la vraisemblance, celle des corrélations qui est maximisée lors de la seconde étape.

max { L c ( u , / t ) }
? O e

IV.2 Estimation de la corrélation conditionnelle

Dans la deuxième étape d'estimation, les paramètres de la corrélation dynamique sont obtenus par diverses méthodes.

Méthode 1 (le lissage exponentiel)

T

t s

-

. e e

s

1, 2,
t s -

?

? u

1,2

s = 1



t T T

? ?? ?

s s

2 2

? ?? ?

? ?

? e ? e

1,

2,
t s t s
- -
? ?? ?
s s

= =

1 1

C'est-à-dire

.

u ( )( ) ( )



= = - ? ? - ? - + ? -

q où q

1,2,

? ^t , 1

1,2 , , , 1 , 1 , , 1

q

t i j t i t j t i j t

q q

1,1, 2,2,

t t

L'estimateur obtenu est appelé DCC LL INT a + fi =1. Méthode 2 (le Mean Reverting)

.

u ( ) ( ) ( )

q où q

1,2,

? = = ? - a - fi + a ? - ? - + fi -

^t , 1

1,2 , , , , 1 , 1 , , 1



q

t i j t i j i t j t i j t

q q

1,1, 2,2,

t t

Où ? i , j est la corrélation inconditionnelle

Dans cette partie on estime les paramètres des corrélations, L'estimateur obtenu est appelé DCC LL MR si et seulementa +fi <1.

On retrouve l'estimateur DCC LL INT lorsque a + fi =1.

Modèle de corrélation simple

Les modèles de corrélation simple d'Engle s'écrit sous la forme :

Q t t t

t = ( 1 - )( ? - 1 ? ' - 1 )+ Â - 1

Q pour DCC LL INT

Q R t t t

t = ( 1 - a - fi ) + a ( ? - 1 ? ' - 1 ) + fi - 1

Q pour DCC LL MR

R est la matrice de corrélation inconditionnelle Donc la matrice est obtenue par

- 1 / 2

R t =

( ) ( )

d i a g Q t Q _t d i a g Q t

1 / 2 -

V.2 Propriétés asymptotiques de la méthode du PMV

Sous des conditions de régularité supplémentaires portant notamment sur les variances conditionnelles du score et sur la stationnarité du processus observé, on peut alors établir que l'estimateur du pseudo-maximum de vraisemblance est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal :



T ? t ? N I - JI -

( u ) ( 1 ¹ )

- ??>

^d 0,

( ? ?

² lo g ( l _t ( )

9 0

Où I E O

= ? ?

0 ? ? ? ?

'

? ?

? ? a ?

log( l _t ( ) log( l _t ( )

O O

= ? ?

0 0

J E_O

0 ? ? ?

O O '

V. Approche théorique de la gestion de portefeuille : Introduction

Au cours des dix dernières années, on a assisté à un renversement des perspectives au niveau de la gestion de portefeuille. Au lieu de considérer le portefeuille comme étant une somme d'éléments, c'est le portefeuille lui-même qui est devenu l'élément de base, les inter relations entre ces composantes prenant autant d'importance que la qualité intrinsèque de chacune d'entre elles.

La théorie moderne de portefeuille a été la base de ce renversement.

Forgée au début des années cinquante par Harry Markowitz, elle sera reprise, développée et surtout conduite jusqu'à son application pratique par W. Sharpe et par d'autres dans la fin des années soixante. C'est pour la première fois que Markowitz et ses successeurs s'attaquaient à une rationalisation complète de tous les problèmes de gestion de portefeuille et construisaient une théorie globale où rien apparemment n'était laissé dans l'ombre.

Dans cette partie, on va introduire la théorie de gestion quantitative de portefeuille, en commençant par la théorie de Markowitz qui est la théorie fondatrice de ce domaine, en suite on introduit le concept de corrélation qui est sûrement l'un des outils les plus importants dans la gestion de portefeuille, d'où l'intérêt majeur d'estimation des matrices variance-covariance à partir des modèles GARCH-DCC au lieu des matrices de variance covariance empiriques.

V.1 Théorie de Markovwitz

La gestion de portefeuille est née en 1952 à la suite d'un article de H.Markowitz. Il s'agit d'une discipline appartenant à la finance quantitative.

La théorie de Markowitz propose de maximiser la performance du rendement global d'un portefeuille en minimisant son risque.

Comme mesure de performance et de risque cette théorie utilise l'espérance et la variance du portefeuille calculées à partir des espérances et variances des actifs composants celui-ci, supposées connues.

Pour chaque actif i=1 ,. . . ,n, ì désigne l'espérance de gain, ó la variance. Pour deux actifs ñ est

2

i i ij

le coefficient de corrélation.

Si nous représentons par X_i la proportion du capital investi sur l'actif i, l'espérance et la

variance du portefeuille X= (X1, ,X_n ) sont données par :

( )

X

= ?

ⁿ x x

t

=

i i

i_L i_L

E

i ? 1

Var ( ) X	n ?=			t ? ? ? = i j i j i j x x x Q x
i		?	1

? = Q = p a a pour i ~ j et Q ii = ? i

2

Où ii 1, ij ij i j

Pour l'investisseur désirant prendre le moins de risque possible, l'objectif est donc de minimiser la variance du portefeuille.

D'autre part, de manière à garantir un rendement minimum b (choisi par l'investisseur), la contrainte suivante doit être tenue en compte : ~

ì Xb.De plus, étant donné que X_i

t

représente un pourcentage du capital on a : t

e X=1 (où e est le vecteur unité).

Le problème d'optimisation auquel est confronté l'investisseur est donc :

( ) M A R K O W IT Z

Min X Q X t

1

? =

e ^t X

?

?

? ~

X 0

?

u X b

t_>

V.2 Définition d'un portefeuille

C'est la combinaison d'un ensemble de titres possédant des caractéristiques différentes en matière de valeur et de perception de dividendes. Cette combinaison se fait en des proportions différentes afin d'avoir un portefeuille bien diversifié permettant de réaliser un rendement espéré bien déterminé tout en minimisant le risque que peut courir l'investisseur.

Mathématiquement un portefeuille P est un vecteur de proportions Xi relatives chacune à la proportion du capital investi dans chaque titre.

? ?

X1

? ?

? ?

.

? ?

.

P = X

? ?

? ?

i

? ?

.

? ?

? ?

? ?

Xn

Avec i part du capital investi dans l'actif i X =

capital total

Rendements d'un titre :

Le taux de rendement d'une action est la mesure de la rentabilité qu'elle a procurée au cours d'une période donnée. Formellement le rendement d'une action se calcule comme suit :

Soit P_t , le prix d'un actif à la date t et R_t le logarithme du rendement correspondant : RP P

t t t

= log - log -1

log ( )

Où D_t

p p

t - t

-1

1 + D t

p t

= désigne la variation de prix.

-1

Rendements d'un portefeuille : n

R = X R

p t t

?

t=1

C'est la moyenne des rendements des titres constituant le portefeuille pondérés par leurs proportions dans le portefeuille.

On peut également calculer le rendement d'un portefeuille en se basant sur sa valeur. Le calcul se fait de la manière suivante :

V - V

t t-1

R =

p V

t-1

Avec Vt : valeur du portefeuille à la date t Vt-1 : valeur du portefeuille à la date t-1

Risque d'un portefeuille et attitude de l'investisseur :

1. Mesure de risque :

Les taux de rendements successifs d'une action ou d'un portefeuille peuvent avoir d'importantes fluctuations autour de leur valeur moyenne.

Pour mesurer ce risque, dont l'origine revient à ces fluctuations, on a recours à l'écart type ou la variance des rendements par période.

La variance de l'action sur T périodes est :

1

ó = T

i

T

? ? )

R - R

i,t i

t=1

2

Avec Ri,t : le taux rendement de l'action i au cours de la période t. Ri :la moyenne arithmétique des taux de rendement.

Si, par ailleurs, on veut connaître le lien qui existe entre les fluctuations des taux de rendement de deux actions i et j il faut recourir à la covariance.

ó ij	1
	T

n n

?? ( ) ( )

i=1 j=1

R - R R - R

i,t i j,t j

L'interprétation de la covariance est liée à son signe. En effet si la covariance est positive alors on peut dire que les taux de rendement des actions i et j évoluent dans le même sens et si la covariance est négative alors les deux taux évoluent dans deux sens contraires. Enfin si la covariance est nulle alors on conclura qu'il n'y a aucune relation entre les évolutions des rendements deux titres. On pourrait aussi définir un troisième concept qui est le coefficient de corrélation qui s'obtient en rapportant la covariance au produit des écarts type des taux de rendement des titres i et j.

= ó , C e coefficien t est com pris entre -1 et 1 .

ij

ñ ij i j

óó

Si le coefficient de corrélation est positif alors les taux de rendements des actifs i et j ont
tendance à évoluer dans le même sens et plus ñ_ij se rapproche de 1 plus les variations de

deux variables deviennent proportionnelles. Et si ñ_ij est négatif alors les deux variables ont

tendance à varier dans un sens opposé. Plus ce coefficient se rapproche de -1 plus leurs variations en valeur absolue deviennent proportionnelles. En fin, une corrélation nulle indique qu'il n'y a pas de relation entre les taux de rendements des titres considérés.

2. Risque d'un portefeuille :

Nous avons présenté la technique utilisée pour la mesure du risque d'un titre. Dans cette partie on va s'intéresser au risque total du portefeuille. Pour un portefeuille qui se compose

de N titres, son taux de rendement dépendra à la fois des taux rendements des différents titres et aussi de leurs différentes proportions.

N

Ainsi : > Rp =

X R i i

i= 1

N

Donc : ?

E(Rp) = X E(R )

i i

i=1

Et :

ó 2 2 2 2 2

p 1 1 1 2 1,2 1 N 1,N 2 2 2 1 2,1

= X ó +X X ó +....+X X ó +X ó +X X ó +.... ...+X ó +X X ó +X X ó +....

2 2

N N N 2 N,2 N 1 N,1

NN

On peut aussi obtenir :

ó = X X ñ ó ó

2

p i j

?? i j i j

i=1 j=1

Cette dernière expression de la variance renseigne sur le lien étroit entre le risque du portefeuille et la corrélation existant entre les rendements des titres le constituant. Par ailleurs on peut définir un autre concept qui est la contribution d'un titre au risque du portefeuille. En effet la variance peut s'écrire :

? ? ? ?

2 2 2 2

2 2 2

ó =X X ó ... X ó ... X ó ... X X ó ... X ó ... X ó ..

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

p i N i i i

1 1 1 1,i 1,N 1 i,1 N i,N

( )

X ó ... X ó ... X ó

2 2 2

1 N,1 N,i N N

+ + + +

i

.. . X + N

La contribution du titre i dans le risque est alors :

X _i X ₁ ó _i,1 ... X _i ó _i ... X _N ó _i,N C'est la contribution absolue, elle dépend de trois

( + + + + )

2 2 2

facteurs :

V' La variance de son rendement

V' La covariance du titre avec les autres titres

V' La proportion du titre dans le portefeuille

3. Corrélation et diversification :

La corrélation est sûrement l'un des outils les plus importants utilisé dans la gestion de portefeuille, car elle sert à déterminer si les rendements de différents placements dans un portefeuille réagissent de façon identique ou opposée en fonction des conditions économiques.

En statistiques, le degré de corrélation est le degré d'association entre 2 variables aléatoires. Mathématiquement et aussi en finances, la corrélation est exprimée par un coefficient de corrélation qui varie entre -1 (pas de corrélation) en passant par 0 (tout à fait indépendant) et +1(corrélation maximale). Cependant, il est important de ne pas confondre corrélation avec causalité.

Depuis l'avènement de la théorie de la gestion moderne du portefeuille, il y a 50 ans, la règle d'or dans la constitution d'un portefeuille consiste à combiner diverses catégories d'actif qui affichent la plus faible corrélation possible entre elles. Bien que cette règle soit valide a priori, on a eu tendance à oublier qu'une forte corrélation des rendements entre les divers actifs n'équivaut pas nécessairement à des rendements similaires.

Un peu de technique

L'analyse de corrélation consiste à mesurer l'interrelation entre deux variables; le résultat de cette mesure s'appelle «le coefficient de corrélation». La mesure d'un coefficient de corrélation peut varier entre +1 et -1. Un coefficient de +1 représente une corrélation positive parfaite, alors qu'un coefficient de -1 représente une corrélation négative parfaite, ce qui signifie de façon générale que les deux variables (ex : rendement de deux placements) réagiront de façon opposée face à un même événement.

Il existe une règle générale pour évaluer le coefficient de corrélation de différents actifs ou placements :

Corrélation élevée

Plus de 0.75; cette mesure implique que les deux actifs réagissent de façon très similaire aux conditions du marché et que leurs rendements iront généralement dans la même direction. Corrélation modérée

Entre 0.25 et 0.75; implique que les deux actifs répondent de façon assez similaire aux conditions du marché, mais que leurs rendements pourront évoluer plus ou moins dans la même direction.

Corrélation basse

Entre 0.00 et 0.25; les deux actifs réagissent différemment aux conditions du marché et leurs rendements ont tendance à demeurer indépendants l'un de l'autre.

Corrélation négative

Moins de 0.00; les actifs réagissent différemment aux conditions du marché et leurs rendements évoluent en direction opposée.

Diversification du risque

Afin de réduire le risque total d'un portefeuille, il est préférable de combiner des actifs présentant une corrélation négative ou légèrement positive. Une combinaison d'actifs entretenant une corrélation négative parfaite permet en effet d'éliminer la variabilité du rendement du portefeuille, c'est-à-dire son risque.



Corrélation entre les séries M, N et P. Les séries présentant une corrélation positive parfaite, M et P, sur le graphique de gauche varient dans le même sens. En revanche, les séries présentant une corrélation négative parfaite, M et N sur le graphique de droite, varient en sens diamétralement opposé.



Combiner des actifs corrélés négativement afin de diversifier les risques. Le risque lié à la variabilité des rendements résultant de la combinaison d'actifs corrélés négativement, F et G, dotés du même rendement espéré, r, donnent un portefeuille (graphique de droite) et ayant le même rendement espéré mais avec un facteur de risque moindre.

Certains actifs ne sont pas corrélés : ils ne présentent aucune liaison et leurs rendements respectifs sont totalement indépendants. La combinaison d'actifs non corrélait permet également de réduire le risque (certes, cette méthode n'est pas aussi efficace que la combinaison d'actifs corrélés négativement, mais elle est toujours plus que la combinaison d'actifs corrélés positivement dans la parenthèse. Les actifs non corrélés présentent un coefficient de corrélation égale à 0, point médian entre une corrélation positive parfaite et une corrélation négative parfaite.

Conclusion :

Donc, lors du choix du portefeuille, l'investisseur doit prendre en compte ces trois facteurs pour bien gérer son risque. Dans notre mémoire les deux premiers facteurs ont été pris en compte dans un contexte des modèles GARCH multivariés, plus précisément le modèle GARCH-DCC qui prend en considération l'interdépendance entre les actifs, cela en permettant à la matrice de corrélation d'être dynamique dans le temps. Donc à chaque fois on peut refaire l'optimisation pour obtenir une meilleure diversification.

Application de la méthode multivariée

Le but de cette application est d'estimer deux types de modèles GARCH multivariés: CCC (Constant Conditional Correlation) et DCC (Dynamic Conditional Correlation). Les données journalières utilisées sont les indices de prix : QQQQ, SPY, GLD, IEV et l'indice ajouté dans cette partie OIH.

L'analyse des données journalières couvre la période de 03 janvier 2005 au 30 novembre 2007, ce qui nous donne 780 observations par marché. Ces indices sont pris en dollar américain. Ils ont été extraits de la base de données Yahoo finance.

L'échantillon est constitué de 5 marchés dont 2 américains (QQQQ et SPY), 2 internationaux (GLD et OIH) et le dernier IEV qui représente le marché européen.

Statistique descriptive

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
Moyenne	0.000773	0.00117	0.000335	0.00065	0.000357
Minimum	0.06100	0.054100	0.031500	0.041200	0.040400
Maximum	-0.070900	-0.063800	-0.039900	-0.055500	-0.041800
Ecart-type	0.011791	0.018721	0.007623	0.009881	0.009908
Skewness	-0.661455	-0.263921	-0.418388	-0.290512	-0.109315
Kurtosis	6.2451	3.075056	5.537491	5.687913	4.004332

Le tableau ci-dessus affiche un ensemble de statistiques descriptives des variables de nos séries. Les distributions des cinq actifs sont significativement différentes de la distribution normale au seuil de 5%. Ces séries sont caractérisées par des coefficients d'aplatissement suffisamment supérieurs à celui de la loi normale. Elles présentent également des coefficients d'asymétrie différents de celui d'une distribution normale.

La négativité des coefficients d'asymétrie pour les séries indique que ces branches d'activités ont subi plus de chocs négatifs que de chocs positifs durant la période analysée. Les spécifications GARCH adoptées sont susceptibles d'expliquer une part significative de la non-normalité de ces séries. En effet, l'application du test Jarque-Bera aux séries de rendements révèle la non-normalité des séries qui s'explique par la présence des effets GARCH.

Analyse graphique



Le graphe précèdent représente l'évolution des prix des actifs, sur le marché boursier. Un examen minutieux des changements à court terme (une semaine) fait apparaître de nombreux pics compensés souvent par des creux, plus précisément des variations traduisant la forte volatilité des prix boursiers.

Traitement logarithmique

Quand il s'agit des prix, la transformation des données par l'introduction des rendements logarithmiques est très fréquente ; en particulier, elle est utilisée lorsqu'on constate que la série chronologique a une forte variabilité instantanée ou si elle est affectée d'une tendance. En plus du fait que les rendements sont généralement stationnaires, une propriété que ne possède pas les séries prix.



Estimation du modèle CCC

La méthodologie du modèle CCC de Bollerslev (1990) qui est le précurseur du DCC de Engel (2002) consiste à estimer en premier :

- la variance conditionnelle de chaque actif avec un modèle de type GARCH. Une matrice diagonale contenant ces variances conditionnelles est construite, la racine carrée de cette matrice donne une matrice diagonale des écart-types conditionnels D_t des actifs étudiés.

Le calcul de la matrice de variances covariances conditionnelles H_t est obtenue par le produit de trois matrices : la matrice diagonale des écart-types conditionnels D_t , la matrice R de corrélation entre les variables et la matrice diagonale des écart-types conditionnels D_t .

Le modèle s'écrit de la manière suivante :

IL

HD RD

t t t

=

Ddiag= t

R p

= ij

, 1

avec ? ?

ii

( ₁₁ , 22 ,..., )

h h h

t t NNt



Estimation

Pour des raisons de parcimonie et de simplicité, le modèle GARCH (1,1) de Bollerslev est une réponse sur-mesure, puisqu'il est équivalent à un modèle ARCH d'ordre infini. En effet ce dernier intègre toute l'information avec moins de paramètres à estimer.

La première étape de la procédure utilisée dans Engle (2002) renvoie à l'estimation d'un GARCH pour chacune des séries.

Afin d'obtenir les paramètres p et q des GARCH univariés, on a utilisé l'approche Box-Jenkings (1976) qu'on a appliqué à chacune des 5 séries:

· Auto corrélation des rendements

· Test de Engle pour la présence des ARCH

· Estimation du GARCH (p, q) et le test de Ljung-Box

Le choix des paramètres p et q d'une série donnée est obtenu en prenant le modèle qui a le critère d'information bayésien (BIC) le plus petit.

En utilisant la procédure Ccc-Mvgarch¹⁰, on estime des GARCH univariés pour chacune des séries de rendements. Les résultats obtenus sont les suivants :

¹⁰Programme MATLAB disponible sur le site de http://www.kevinsheppard.com/research/MatlabAtlas/MatlabAtlas.htm

Estimation des paramètres des modèles GARCH (1,1)

Le tableau ci-dessous résume les paramètres du modèle GARCH de chaque série.

	GLD	OIH	SPY	IEV		QQQQ	Alpha 0
1,92E-06	2,53E-05	3,42E-06	1,25E-05	1,10E-05		Alpha 1
0,060912	0,04371	0,092956	0,16105	0,094017		Béta 1
0,92886	0,8858 1	0,85236	0,72462	0,79884

Matrice de corrélation R

	GLD	OIH	SPY	IEV		QQQQ	GLD
1	0,3558	0,1903	0,4017	0,1261		OIH
	1	0,5 135	0,485 1	0,3849		SPY
		1	0,8117	0,8489		IEV
			1	0,6725		QQQQ
				1

Le tableau 2 ci-dessus présente les coefficients de corrélation entre les rendements des indices boursiers des sociétés américaines (SPY), les sociétés technologiques américaines (QQQQ), les sociétés européennes (IEV), l'indice de l'or (GLD) et celui du pétrole (OIH). Ce tableau, montre que:

· Les sociétés américaines et les sociétés technologiques américaines (SPY, QQQQ) sont fortement corrélées. La corrélation est de 84,89% ce qui implique que les deux actifs réagissent de façon très similaires aux conditions des marchés et que leurs rendements iront dans la même direction. Cette corrélation s'explique par le fait que des perspectives économiques favorables (respectivement défavorables) pour les grandes sociétés américaines sont également favorables (respectivement défavorables) pour les sociétés américaines de technologie (QQQQ). Les plus gros clients des sociétés américaines de technologie sont les sociétés américaines traditionnelles (SPY), viennent ensuite les sociétés européennes qui sont elles aussi dépendante de la technologie américaine mais dans une moindre mesure (67,25 %). Les sociétés américaines traditionnelles (SPY) sont très fortement corrélées (81,17 %) aux sociétés européennes (IEV). Ce traduit une forte intégration de ces deux grandes économies qui sont les plus puissantes à l'heure actuelle.

· Les coefficients de corrélation entre les rendements de l'indice du pétrole (OIH) avec les valeurs des sociétés américaines (QQQQ et SPY) et européennes (IEV) sont moyens, autour de 50%. La corrélation avec les sociétés américaines (SPY) et européennes (IEV) est de 51,53 % et 48,51 % respectivement. Cela montre une dépendance de ces sociétés au pétrole dans la mesure où une augmentation de leur valeur (perspective d'augmentation de l'activité) fait

monter le prix du pétrole. Les sociétés technologiques (QQQQ) dépendent moins du pétrole puisqu'elles sont fondées sur l'innovation et moins sur les grandes infrastructures de fabrication consommatrice d'énergie comme les usines ce qui explique une corrélation plus faible de 38,49 %.

s Les coefficients de corrélation entre l'indice de l'or (GLD) et les sociétés américaines (SPY, QQQQ) sont faibles et parfois moyen avec IEV et OIH. Cela s'explique par le fait qu'en période de crise boursière l'or, qui est considéré comme une valeur sûre (refuge), monte de manière importante. Dans une période de crise persistante, les valeurs qui montent ensuite sont les matières premières, comme le pétrole, suivi des valeurs des sociétés européennes. Cela explique une corrélation de 3 5,58% entre GLD et OIH et de 40,17% entre GLD et IEV. Ces dernières sont recherchées comme alternatives aux sociétés américaines. Cependant, le coefficient de corrélation le plus faible est de 12,6 1% entre GLD et QQQQ et 19,03 % entre GLD et SPY. Cela traduit la politique de la réserve fédérale américaine qui a décidé de dépareiller sa monnaie de la valeur de l'or dans les années 80 pour démontrer la force de son économie. Cette faible corrélation démontre que l'économie américaine est suffisamment forte pour ne pas dépendre de la valeur de l'or.

Matrice de variance covariance à l'instant t =1 :

GLD

GLD 0,1043

?

OIH

?
?

SPY

?

IEV

QQQQ ?

OIH
0,0733
0,4067

SPY 0,0184 0,0983 0,0901

IEV 0,0696 0,0166 0,1308 0,288

QQQQ 0,0184 0,1108 0,115 0,1629 0,2037

? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 4 10

Matrice de variance covariance à l'instant t = 780 :

? ? ? ?? ? ? ? ?

10

--3

GLD OIH SPY IEV QQQQ

GLD 0,1826 0,0883 0,0238 0,05 0,0177

?

OIH 0,337 0,0871 0,082 0,0735

?
?

SPY0,0853 0,069 0,08 16

?

IEV0,0848 0,0644 QQQQ ? 0,1083

On remarque de ces deux tableaux précédents que la matrice de variance covariance varie au cours du temps, cela est dû certainement aux fortes fluctuations de la volatilité de chaque indice, car la matrice de corrélation est supposée constante dans le modèle CCC.

Prévision de la matrice variance covariance à l'instant t = 781 :





On sait que H t = D _t RD _t , alors u u u

H t + 1 = D t + 1 R D t + 1 , où u $ $ $

D t + 1 = diag ( h 11t+1, h 22t+1 ,..., h 55t+1),

donc pour faire la prévision de la matrice variance covariance, il suffit seulement de prévoir la matrice de variances conditionnelles, d'où :

0 ?

?

0

?
?

0

?

0

?
?

0.0105 ?

D u781

? 0.0132 ? 0 ? = 0 ? ? 0 ? ? 0

0 0.0182 0 0 0

0 0 0.0090 0 0

0 0 0 0.0099 0



Donc on obtient la matrice variance covariance suivante :

? ? ? ? ?? ? ? ?

10

?

3

GLD OIH SPY IEV QQQQ

GLD 0,1741 0,0856 0,0226 0,0526 0,0175

?

OIH 0,3326 0,0844 0,0878 0,0737

?
?

SPY0,0812 0,0726 0,0803

?

IEV0,0985 0,0701 QQQQ ? 0,1103

Test de constance de corrélation

Analyse graphique :

Les graphes ci-dessous affichent les niveaux des corrélations conditionnelles dynamiques estimés selon l'approche de Engle (2002). A l'observation de l'évolution de ces corrélations, il semble que ces dernières affichent des tendances variées qui laissent présager que les interprétations basées sur l'hypothèse de constance des corrélations seraient erronées.



Mise en oeuvre du test :

Divers tests statistiques furent développés pour tester l'hypothèse de constance des corrélations entre une structure dynamique de celles-ci. Le test proposé par Engle et Sheppard (2001) est implémenté dans cette analyse. Sous l'hypothèse nulle, ce test suit asymptotiquement une distribution Khi deux à (p+1) degrés de liberté.

Les hypothèses du test sont les suivantes :

p

H₀ :R _t =R,VtE T Contre 1 ( ) ( ) ( )

H Vech R Vech R Vech R

u u

: J3 ?

u

= +?

t i t i

i= 1

On effectue le test de Engle et Sheppard (2001) sur les 5 séries, en gardant la même hypothèse de départ concernant la structure de la variance, c'est-à-dire qu'elle suit un processus GARCH (1,1).

Aussi on teste la présence d'autocorrélation dans la matrice de corrélation avec un retard. Le tableau suivant présente les résultats du test.

Test de Engle et Sheppard

(2001)

Echantillon	P Value		T statistic
	0.055		13.76

Les conclusions du tableau ci-dessus sont claires, on rejette l'hypothèse que la corrélation est constante dans l'échantillon. La modélisation DCC semblerait plus appropriée afin de capturer l'évolution dynamique de la matrice de corrélation.

Estimation du modèle DCC

Comme on l'a signalé dans le chapitre 5, l'estimation des paramètres se fait en deux étapes, la première concerne la partie de volatilité O, la seconde étape pour la partie corrélation dynamique.

Dans la première étape d'estimation, un modèle GARCH (1,1) est appliqué aux variances conditionnelles de chaque actif. A l'issu de celle-ci les coefficients qui expliquent la volatilité pour les 5 séries prisent individuellement sont affichés sur le tableau suivant :

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
Alpha 0	1,92E-06	2,53E-05	3,42E-06	1,25E-05	1,10E-05
Alpha 1	0,060912	0,04371	0,092956	0,16105	0,094017
Bêta 1	0,92886	0,88581	0,85236	0,72462	0,79884

Ces paramètres sont estimés à l'aide de la fonction Dcc-Mvgarch¹¹.

Interprétation

Sur les marchés boursiers, il existe, en général, une persistance (á + â) proche de l'unité, malgré la contrainte (á + â) < 1 imposée. Ceci étant, la série qui a une volatilité plus sensible aux innovations que les autres (á élevé) est IEV avec une valeur égale à 0,16. Inversement, OIH a une volatilité qui semble moins affectée par les chocs. Les autres séries (GLD, SPY et QQQQ) ont une sensibilité aux chocs oscillant entre [0,06 0,095].

En ce qui concerne les effets autorégressifs de ces volatilités, on remarque qu'il est dans l'ensemble supérieur à 0,80, sauf pour IEV où il n'est que de 0,72; et inférieur à 0,96. La série GLD a le coefficient autorégressif le plus élevé (0,9288) ce qui explique la forte variation des rendements.

Remarque

Les paramètres obtenus par la fonction Dcc-MVGARCH sont identiques à ceux obtenus par la modélisation des séries de rendements.

Pour estimer la matrice de corrélation temporelle DCC, on commence par calculer la matrice de variance covariance conditionnelle Q_t des résidus standardisés qui s'écrit de la forme

suivante :

Q = -- a - /3 Q + a e _t e _t + /3 Q t ?

t 1 1

( ) ( )

'

¹¹ Programme MATLAB disponible sur le site de http://www.kevinsheppard.com/research/MatlabAtlas/MatlabAtlas.htm

Application :

La matrice Qt à l'instant t = 1 GLD GLD0,9578 OIH SPY IEV QQQQ

OIH 0,3549 0,9806

SPY 0,1847 0,5038 0,9751

IEV 0,3872 0,4775 0,7917 0,9805

QQQQ 0,1162 ? 0,3803 ? ? 0,8277 ? ? 0,6544 ? 0,9796 ? ?

La matrice Qt à l'instant t = 780

GLD GLD0,9581 OIH SPY IEV QQQQ La matrice Qt à l'instant t = 781 GLD			OIH 0,4249 1,00 OIH	SPY 0,2102 0,6150 1,0731 SPY		IEV 0,4278 0,5682 0,8743 1,0456 IEV		QQQQ 0,1707 ? 0,5451 ? ? 0,9420 ? ? 0,7591 ? 1,1125 ? ? QQQQ
GLD OIH SPY IEV QQQQ	0,9729	0,4244 0,9837			0,1991 0,5981 1,0513		0,4408 0,5613 0,8510 1, 0394		0,1636 ? ? 0,5290 ? 0,9212 ? ? 0,7401 ? 1, 0877 ? ?

Après calcul de la matrice Q_t , on modélise la matrice R_t de la manière suivante :

? 1 / 2 ? 1 / 2

R t =

( ) ( )

diagQ t Q _t diagQ t

Application : Matrice de corrélation à l'instant t = 1 GLD OIH GLD1 0,3662 OIH 1 SPY IEV QQQQ	SPY 0,1912 0,5152 1			IEV 0,3996 0,4869 0,8097 1	QQQQ 0,1200 0,3880 0.8469 0.6678 1
Matrice de corrélation à l'instant t = 780 GLD OIH GLD1 0,4341 OIH 1 SPY IEV QQQQ		SPY 0,2073 0,5936 1	IEV 0,4274 0,5556 0,8254 1			QQQQ 0,1654 0,5168 0,862 1 0,7038 1

Prévision de la matrice de corrélation à l'instant t = 781

GLD OIH SPY IEV QQQQ

GLD OIH 1 0,4338 1

SPY 0,1969 0,5881 1

IEV 0,4384 0,5551 0,8142 1

QQQQ 0,1591 0,5114 0,8615 0,6961 1

Paramètres de la partie corrélation

Paramètres	Valeurs
áDCC	0 ,01853
âDCC	0,94881

On constate qu'à l'image de la majeure partie des séries d'actifs à l'étude, les corrélations conditionnelles dynamiques ont un effet autorégressif inférieur à 0,94. Pour ce qui est de la

sensibilité aux chocs de nos corrélations, elle est moins importante que celle que l'on trouve pour les 5 séries ci-dessus (0.01853).

On a, par conséquent, une volatilité avec une sensibilité aux chocs beaucoup plus forte pour les corrélations comparativement à celle des rendements d'actifs.

Simulation par backtesting de stratégies d'investissements

Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons présenter la partie pratique de notre mémoire. Cette partie consiste à présenter un programme, que nous avons réalisé en Matlab, qui permet d'effectuer une opération appelée dans le monde de la finance, le Backtesting. Cette opération, consiste à simuler dans le passé une stratégie d'allocation de portefeuille, c'est-à-dire une manière d'attribuer des poids à chacun des actifs du portefeuille au cours du temps. Elle permet en particulier, de vérifier de manière empirique, comment une stratégie donnée se serait comportée dans des conditions réelles en se plaçant dans le passé sur une période donnée.

Description du Backtesting effectué

L'opération de backtesting consiste à simuler dans des conditions réelles une stratégie d'allocation de portefeuille. Elle consiste à choisir une date particulière dans le passé, à allouer un capital donné (une somme d'argent) dans un portefeuille à cette date en utilisant la formule d'optimisation introduite dans le chapitre précédant. Elle consiste ensuite à réallouer le capital du portefeuille chaque semaine ou chaque mois, c'est à dire avec une fréquence donnée. On imite ainsi un gestionnaire de fond qui, en fonction de l'évolution du marché va attribuer son capital en prenant en compte les variations de prix constatées sur les marchés le dernier mois ou les dernières semaines. Dans notre cas, ces variations sont traduites par le calcul de nouveaux rendements espères pour chacun des actifs et d'une nouvelle matrice de corrélation estimée selon la méthode GARCH DCC. Celle-ci prends en compte les données des prix des actifs depuis la date initiale jusqu'à la date de réallocation. Les valeurs se trouvant après la date de réallocation ne peuvent effectivement pas être prises en compte puisqu'elles se trouvent dans le futur à ce moment-là.

Dans notre cas pratique, nous avons choisi de tester notre approche sur le portefeuille composé de GLD, OIH, SPY, IEV et QQQQ introduits précédemment.

Nous avons effectué le Backtesting sur une période allant de janvier 2005 à décembre 2007, avec une réallocation des poids tous les mois (22 jours ouvrables).

La réallocation, c'est-à-dire le nouveau calcul des poids est effectué en fonction des mesures de performances (rendements espérés) et du risque estimé sous forme de la matrice de corrélation calculée au moyen de la méthode GARCH DCC.

A la première date du backtesting, on suppose que le capital initial du portefeuille est de 100 unités. On réalise une opération d'optimisation qui donnera pour chaque actif un poids donné. Le capital investit sur chaque actif correspondra au capital initial multiplié par le poids correspondant. Ensuite, les jours suivants la valeur de ce portefeuille va évoluer.

En effet, chaque jour séparant deux allocations, les poids vont rester constants mais les prix des différents actifs vont évoluer sur les marchés. Ces variations de prix vont donner, chaque jour, une nouvelle valeur au capital investit dans chaque actif et donc au portefeuille. La nouvelle valeur du portefeuille correspond à la somme des nouvelles valeurs des capitaux investis dans chaque actif. Les jours prochains, la valeur du portefeuille va changer conformément au changement des prix des actifs détenus dans le portefeuille.

Lors d'une nouvelle période de réallocation, nous calculons la valeur du portefeuille le jour précédant de la réallocation. Nous calculons de nouveaux poids au moyen d'une nouvelle opération d'optimisation et le nouveau capital du portefeuille est réparti sur les différents actifs et ainsi de suite jusqu'à la fin de la période de backtesting.

Afin de comparer l'efficacité de l'optimisation en utilisant la méthode GARCH DCC, nous allons calculer la valeur du portefeuille en utilisant en parallèle une méthode d'optimisation qui utilise une matrice de corrélation empirique. Pour les deux méthodes, tous les paramètres d'optimisation seront les mêmes mis a part la matrice de corrélation. Nous allons également supposer que le capital initial est de 100 unités pour les deux portefeuilles ce qui permettra de les comparer par la suite sur une base commune. Un portefeuille qui vaudra 120 unités à la fin du backtesting correspondra à un portefeuille dont la valeur aura augmenté de 20% sur cette période.

La fonction de backtesting que nous avons réalisé est la suivante :

[PortA_NAV, PortB_NAV, PortWtsA, PortWtsB] = backtesting (NAV, Window, StartDate, EndDate, Frequency).

Le programme matlab

function [TickSeries, PortA_NAV, PortB_NAV, PortWtsA ,PortWtsB] = backtesting(NAV, Window, StartDate, EndDate, Frequency)

%

% Backtesting simulation (Mean-Variance optimization)

%

% Inputs

% NAV : market data (price or Net Asset value)

% Window : estimation window

% StartDate : backtesting begin

% EndDate : backtesting end

% Frequency : rebalancing frequency
%

% Outputs

% TickSeries : NAV (base 100) of assets

% PortA_NAV : NAV of optimal portfolio with empirical cov. matrix

% PortB_NAV : NAV of optimal portfolio with GARCH cov. matrix

% PortWtsA : optimal weights of portfolio with empirical cov.
ma t r ix

% PortWtsB : optimal weights of portfolio with GARCH cov. matrix

%

% Example

% backtesting(NAV, 250, 250, 779, 22)

%

% author: Khaled Layaida, M.Allamine Alhabo, (2008)

%

% get/load data ETFs

%disp('Load Market Data ...'); %addpath . /market_data

%load serie

% log-returns

serie = price2ret(NAV);

% number of dates and number of assets [NumDates, NumAssets] = size(serie);

% tests

if (Window < 12)

disp('Input error - the input parameter window is too small ! Window >= 12 pts');

return;

end;

if (StartDate < Window)

disp('Input error - the start date of the backtesting is smaller than window estimation !');

return;

end;

if (StartDate > (EndDate-2))

disp('Input error - the end date of the backtesting must be bigger than start date + 1 !');

return;

end;

% backtesting parameters

NumOpt = floor((NumDates-StartDate)/Frequency + 1); % number of rebalancing (optimization)

% Quadratic programming options

options = optimset('quadprog');

options = optimset(options, 'LargeScale','off'); f = zeros(NumAssets,1); % linear part

Aeq = ones(1,NumAssets); % matrix of equalities constraints

beq = ones(1,1); % vector of equalities constraints

lb = zeros(NumAssets,1); % lower bounds

ub = 0.5*ones(NumAssets,1); % upper bounds

% initialisation

PortWtsA = [] ; % weights of portfolio A

PortRiskA = [];

PortReturnA = [];

PortWtsB = [] ; % weights of portfolio B

PortRiskB = [];

PortReturnB = [];

normFro = [];

% backtest loop: Start date -> End date

ii = 0;

%sprintf('Backtest ... with %i', NumOpt, ' rebalancing ...'); for k = 1:NumOpt

% use subdata for rebalancing ii

index = ii*Frequency + StartDate + 1 - Window : ii*Frequency + StartDate;

RetSeries = serie(index,:);

% cumulative estimation window (for GARCH) index_cum = 1 : ii*Frequency + StartDate; RetSeriesGARCH = serie (index_cum,:);

ii = ii + 1;

% expected returns and empirical cov. matrix [ExpReturn, ExpCovariance] = ewstats(RetSeries);

% GARCH cov. matrix

[ExpCovarianceGARCH] = covGARCH (RetSeriesGARCH);

% Frobenius-norm of matrix

covDif f = ExpCovariance-ExpCovarianceGARCH; normFro = [normFro, norm(covDiff,'fro')];

% target return

TargetReturn = -10000; %TargetReturn = mean(ExpReturn);

%TargetReturn = 20000;

% Mean-Variance optimal portfolio

% portfolio A (empirical cov. matrix)

[WtsA, fval,exitflag, output, lambda] = quadprog(ExpCovariance, f, - ExpReturn,-TargetReturn,Aeq,beq,lb,ub,[] ,options);

PortWtsA = [ PortWtsA, WtsA];

PortRiskA = [ PortRiskA, sqrt(WtsA'*ExpCovariance*WtsA)];

PortReturnA = [ PortReturnA, ExpReturn*WtsA];

% portfolio B (GARCH cov. matrix)

[WtsB, fval,exitflag, output, lambda] = quadprog(ExpCovarianceGARCH, f, - ExpReturn,-TargetReturn,Aeq,beq,lb,ub,[] ,options);

PortWtsB = [ PortWtsB, WtsB];

PortRiskB = [ PortRiskB, sqrt(WtsB'*ExpCovarianceGARCH*WtsB)];

PortReturnB = [ PortReturnB, ExpReturn*WtsB];

end

% returns -> prices

[TickSeries] = ret2price(serie(StartDate+1:EndDate,:));

% construct portfolio NAV

PortA_NAV	=	[];
PortB_NAV	=	[];
coefA	=	1;
coefB	=	1;

for k = 1:NumOpt-1

index = 1 + (k-1)*Frequency: k*Frequency; WtsA = [];

WtsB = [];

for i = 1:Frequency

WtsA = [WtsA; PortWtsA(:,k)']; WtsB = [WtsB; PortWtsB (: , k) '];

end;

PortA_NAV = [ PortA_NAV; coefA*sum(WtsA.*TickSeries(index, :),2)];
PortB_NAV = [ PortB_NAV; coefB* sum(WtsB.*TickSeries (index, :) , 2)];

if (k < (NumOpt -1))

coefA =

PortA _NAV(k* Frequency) /sum(PortWtsA(: , k+1)'.*TickSeries (k*Frequency+1, :) , 2) ;

coefB =

PortB_NAV(k*Frequency) /sum(PortWtsB(: , k+1)'.*TickSeries (k*Frequency+1, :) , 2) ;

end;

end

% portfolio log-returns

PortA_ret = price2ret(PortA_NAV); PortB_ret = price2ret(PortB_NAV); [n, p] = size(PortA_NAV);

% plot NAV

hold on;

title('Portfolios and Assets NAV');

xlabel ('Time');

ylabel('NAV (base 100)'); plot(100*PortA_NAV, 'b'); plot(100*PortB_NAV, 'r'); for k = 1:NumAssets

plot(100*TickSeries(1:n,k), 'g');

end;

hold off

%

% ex-post Perf. and Risk Analysis % % Total return %

perfA = 100* (PortA_NAV(n)-PortA_NAV(1))/PortA_NAV(1);

perfB = 100* (PortB_NAV(n)-PortB_NAV(1))/PortB_NAV(1);

% Mean return %

meanA = 100*mean(PortA_ret);
meanB = 100*mean(PortB_ret);

% volatility %

volatilityA = 100*STD(PortA_ret);
volatilityB = 100*STD(PortB_ret);

% Value-at-Risk %

%ValueAtRiskA = portvrisk(PortReturn, PortRisk, RiskThreshold, PortValue);
%ValueAtRiskB = portvrisk(PortReturn, PortRisk, RiskThreshold, PortValue);

% display results

disp('Total perf.% Mean% Vol%');

disp([perfA, meanA, volatilityA; perfB, meanB, volatilityB] ); End.

Cette fonction permet de réaliser l'opération de backtesting et d'afficher le graphe des valeurs des portefeuilles calculés avec la méthode GARCH DCC et avec la méthode empirique.

Les paramètres d'entrée de la fonction sont :

NAV : la matrice qui contient les séries des prix des actifs.

Window : la fréquence pour estimer la matrice empirique, cela veut dire que l'on prend 50 valeurs précédant la date d'allocation pour calculer la matrice empirique.

StartDate : début du backtesting.

EndDate : fin du backtesting.

Frequency : fréquence de ré optimisation (ici on optimise chaque 22 jours).

Les paramètres de sortie sont :

TickSeries : valeurs de chaque actif à base 100.

PortA_NAV : valeurs de chaque actif à base 100, avec la matrice empirique.

PortB_NAV : valeurs de chaque actif à base, avec la matrice du GARCH DCC. PortWtsA : les proportions optimales du portefeuille avec la matrice empirique. PortWtsB : les proportions optimales du portefeuille avec la matrice GARCH DCC.

L'opération de backtesting est effectuée dans Matlab au moyen de deux commandes :

1) La commande : [NAV]=xlsread ('données'); permet de charger les pris des actifs depuis un fichier Excel et les stocker dans un tableau NAV dans le MATLAB.

2) la commande : [TickSeries, PortA_NAV, PortB_NAV, PortWtsA, PortWtsB]=backtesting (NAV, 250, 250, 779, 22); cette commande permet de lancer le programme qui calcule en même temps la matrice de corrélation empirique et la matrice de corrélation avec le modèle GARCH DCC, en suite lancer le programme d'optimisation avec chaque matrice. Cela va nous permettre de voir l'efficacité des modèles GARCH DCC au sens de la minimisation de la variance (risque).

En fin d'optimisation, on obtient les pourcentages d'allocation, ainsi que la valeur de chaque portefeuille à base 100.

Application :

Dans cette partie on va appliquer le backtesting en posant les contraintes suivantes :

1. l'optimisation ne peut pas allouer 50% du capital sur un seul actif.

2. l'optimisation ne peut pas allouer 35% du capital sur un seul actif.

3. l'optimisation est effectuée sans contraintes, il est possible que chaque actif puisse représenter 100 % du capital du portefeuille à l'issu de l'optimisation.

Dans la suite de ce chapitre, nous allons donc appliquer ces trois opérations de backtesting et comparer les résultats avec la méthode empirique. Pour chaque test, nous allons afficher : le graphique des rendements des deux portefeuilles, la composition initiale et finale des portefeuilles ainsi que l'évolution de la composition du portefeuille au cours de la période du backtesting.

Contrainte 1 : Maximum 50 % sur chaque actif

Dans cette partie, on suppose que l'investisseur ne peut pas mettre plus de 50 % de son capital sur un seul actif, cela en posant cette contrainte dans le problème d'optimisation précèdent. Diagrammes en camembert :

La méthode empirique :

Ces diagrammes montrent la stratégie d'allocation initiale et finale de l'investisseur, et cela on se basant sur le programme d'optimisation quadratique, la matrice de corrélation utilisée dans cette partie est calculée empiriquement.

Proportions initiales (Décembre 2005) Méthode empirique
							Proportions finales (Décembre 2007) Méthode empirique
50%	0% 8%				42%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
							50%	0%	5%				45%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
							0%
0%

La méthode GARCH DCC :

En prenant en compte la matrice GARCH DCC dans l'optimisation, on voit que les proportions d'investissement sont différentes à ceux de la méthode empirique, par exemple dans la partie empirique on a initialement 8% QQQQ et 42% GLD, mais dans cette partie on remarque une diminution de l'actif QQQQ (4%) aussi l'actif GLD avec 36%, aussi on voit que la proportion de l'actif SPY a diminué de 4% c'est-à-dire avec une proportion de 45%. Dans la période décembre 2007, on remarque que les proportions sont 45% GLD, 5% QQQQ et 50% SPY, alors qu'on ne possède pas de OIH et IEV dans le portefeuille.

Proportions initiales (Décembre 2005) GARCH DCC						Proportions finales (Décembre 2007) GARCH DCC
45%	0% 4%			36%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
						50%		0%		0%	50%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
15%						0%

Composition historique des portefeuilles

Méthode empirique:

Ce diagramme nous donne la composition historique du portefeuille après chaque allocation optimale (22 jours ouvrables), cette allocation est effectivement basée sur la minimisation de la volatilité, et cela en se basant sur la matrice de corrélation calculée empiriquement.

Composition du portefeuille (Méthode empirique) 1
0,9
0,8			QQQQ IEV SPY OIH GLD
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
0,1 0
Dates

Tableau historique des allocations :

Le tableau ci dessous affiche les différentes proportions de chaque actif durant toute la période du backtesting, il nous permet de voir les valeurs exactes des allocations après chaque optimisation mensuelle, avec la matrice calculée empiriquement.

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,42389	0	0,5	0	0,07611
janv-06	0,37319	0	0,5	0	0,12681
févr-06	0,31551	0	0,5	0,039197	0,14529
mars-06	0,2943	0	0,5	0,06502	0,14068
avr-06	0,21528	0	0,5	0,11997	0,16475
mai-06	0,19627	0	0,5	0,079208	0,22452
juin-06	0,18516	0	0,5	0,037334	0,27751
juil-06	0,17966	0	0,5	0,024975	0,29537
aoùt-06	0,18313	0	0,5	0,070324	0,24654
sept-06	0,16463	0	0,5	0,098395	0,23698
oct-06	0,14205	0	0,5	0,14098	0,21698
nov-06	0,15193	0	0,5	0,13404	0,21403
déc-06	0,16469	0	0,5	0,12482	0,21049
janv-07	0,17223	0	0,5	0,088494	0,23927
févr-07	0,18806	0	0,5	0,057388	0,25456
mars-07	0,20609	0	0,5	0	0,29391
avr-07	0,23204	0	0,5	0	0,26796
mai-07	0,22355	0	0,5	0	0,27645
juin-07	0,26982	0	0,5	0	0,23018
juil-07	0,26605	0	0,5	0	0,23395
aoùt-07	0,33515	0	0,5	0	0,16485
sept-07	0,39176	0	0,5	0	0,10824
oct-07	0,41407	0	0,5	0	0,08593 1
nov-07	0,41818	0	0,5	0	0,081825
déc-07	0,45213	0	0,5	0	0,047867

Méthode GARCH DCC :

On voit d'après cette composition historique, que la stratégie d'investissement est basée principalement sur l'action refuge GLD avec 50% du capital, et cela tout le long du backtesting, on remarque aussi que la proportion de SPY est aussi remarquable, par contre les autres actifs ne figurent pas avec des pourcentages considérables.

Par exemple, on voit l'actif OIH figure dans le graphique en début de période, après il disparaît pour réapparaître entre avril et août 2007, dans cette période on voit aussi l'apparition de l'actif IEV avec les même proportions a peut prêt.

Composition du portefeuille (GARCH DCC) 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
		QQQQ IEV SPY OIH GLD
Dates

Proportions avec la matrice GARCH DCC :

Le tableau ci-dessous affiche les valeurs du graphique précédent. On voit l'inclusion brusque des actifs OIH et IEV entre Avril et Juin 2007, cela a causé la diminution des parts de l'actif SPY dans le portefeuille. La proportion du GLD est de 50% pendant toute la période, elle désigne une valeur maximale que peut prendre cet actif.

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,36407	0,14979	0,4443	0	0,041835
janv-06	0,5	0,017636	0,48236	0	0
févr-06	0,5	0,16536	0,33464	0	0
mars-06	0,5	0,16441	0,33559	0	0
avr-06	0,5	0,15325	0,34675	0	0
mai-06	0,5	0,14609	0,35391	0	0
juin-06	0,5	0,0069236	0,49308	0	0
juil-06	0,5	0	0,5	0	0
aoùt-06	0,5	0	0,5	0	0
sept-06	0,5	0	0,5	0	0
oct-06	0,5	0	0,5	0	0
nov-06	0,5	0	0,5	0	0
déc-06	0,5	0	0,5	0	0
janv-07	0,5	0	0,5	0	0
févr-07	0,5	0	0,5	0	0
mars-07	0,5	0	0,5	0	0
avr-07	0,5	0,15173	0,12109	0,22719	0
mai-07	0,5	0,16387	0,11988	0,21625	0
juin-07	0,5	0,18366	0,11412	0,20222	0
juil-07	0,5	0	0,5	0	0
aoùt-07	0,5	0	0,5	0	0
sept-07	0,5	0	0,5	0	0
oct-07	0,5	0	0,5	0	0
nov-07	0,5	0	0,5	0	0
déc-07	0,5	0	0,5	0	0

Comparaison des valeurs historiques de chaque portefeuille :

Portfolio and asset NAV
1,8
1,6 1,4
1,2 1
		Empirique GARCH DCC
0,8
0,6
0,4
0,2 0
	Dates

On remarque d'après le graphique ci-dessus que le rendement du portefeuille avec la méthode GARCH DCC est nettement supérieur à celui de la méthode empirique, surtout dans les période de forte volatilité (entre le mois de février et septembre 2006), on remarque que dans cette partie le rendement est nettement meilleur, on peut donc affirmer que les modèles GARCH DCC sont puissant au sens de l'anticipation rapide de la corrélation, cette anticipation cause évidemment un changement rapide des allocations lors de l'optimisation.

Contrainte 2 : Maximum 35 % sur chaque actif

Dans cette partie, on suppose que l'investisseur ne peut pas mettre plus de 35 % de son capital sur un seul actif, cela en posant cette contrainte dans le problème d'optimisation précédent. On a posé cette nouvelle contrainte pour voire est ce que cette dernière peut changer les résultats de l'optimisation, c'est la méthode utilisée souvent par les gestionnaires de portefeuilles, cela pour forcer la diversification et diminuer ainsi le risque.

Diagrammes en camembert :

La méthode empirique :

Ces diagrammes montrent la stratégie d'allocation initiale et finale de l'investisseur, et cela on se basant sur le programme d'optimisation quadratique, la matrice utilisée dans cette partie est calculée empiriquement.

Proportions initiales (Décembre 2005) Méthode empirique 22%
		Proportions finales (Décembre 2007) Méthode empirique
		30% 0%					35% 0%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
35%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
8% 0%
35%
		35%

On remarque que les proportions initiales et finales n'ont pas changé pratiquement, sauf pour le de IEV qui a diminué jusqu'à atteindre la valeur 0%, ce qui veut dire l'absence totale de cet actif, aussi l'augmentation de la proportion de l'actif QQQQ. Alors que l'actif OIH est depuis le début en 0%.

La méthode GARCH DCC :

Ici, les proportions de départ sont de 11% QQQQ, on remarque aussi qu'on a la même valeur de GLD 35%, mais dans cette partie l'actif OIH est inclus dans le portefeuille avec 19%, cela est peut être dû au pouvoir prédictif de la volatilité de la méthode GARCH DCC, c'est-à-dire que dans cette période on a eu sûrement une baisse remarquable de volatilité, ce qui implique a causé l'inclusion de cet actif dans cette méthode.

Proportions initiales (Décembre 2005) GARCH DCC 11%								Proportions finales (Décembre 2007) GARCH DCC
35%	0%					35%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
								27%					35% 3%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
								0%
								35%
19%

Composition historique des portefeuilles

Méthode empirique :

Ce diagramme nous donne la composition historique du portefeuille après chaque allocation optimale (chaque 22 jours ouvrables), cette allocation est effectivement basée sur la minimisation de la volatilité, on remarque que ce portefeuille se compose de 4 actifs, il est diversifié en plus grande partie entre QQQQ, SPY, GLD et une petite proportion de l'actif IEV. Tout le long de l'historique on remarque l'absence de l'actif OIH, et cela contrairement à la méthode GARCH DCC, c'est à cause des différences entre les matrices de corrélation.

Composition du portefeuille (Méthode empirique) 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
		QQQQ IEV SPY OIH GLD
Dates

Proportions avec la matrice empirique :

Le tableau dans la page suivante affiche les différentes proportions de chaque actif durant toute la période du backtesting, il nous permet de voire les valeurs exactes des allocations après chaque optimisation mensuelle (22 jours ouvrables), avec la matrice calculée empiriquement.

On voit que les proportions de la série OIH sont nulles tout le long du backtesting, celles de SPY sont constantes et maximales, puisque elles sont égales à la contrainte supposée (35%). Les autres actifs ont par contre des proportions variables dans le temps, et cela est dù aux changements de la volatilité du portefeuille.

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,35	0	0,35	0,08194	0,21806
janv-06	0,35	0	0,35	0,067631	0,23237
févr-06	0,32003	0	0,35	0,098958	0,23101
mars-06	0,29927	0	0,35	0,12564	0,22509
avr-06	0,217	0	0,35	0,18111	0,25189
mai-06	0,19964	0	0,35	0,136	0,31435
juin-06	0,18791	0	0,35	0,11209	0,35
juil-06	0,18186	0	0,35	0,11814	0,35
aoùt-06	0,18669	0	0,35	0,13878	0,32453
sept-06	0,16884	0	0,35	0,1668	0,31437
oct-06	0,14647	0	0,35	0,20999	0,29355
nov-06	0,15652	0	0,35	0,20432	0,28917
déc-06	0,17006	0	0,35	0,19507	0,28487
janv-07	0,17936	0	0,35	0,15852	0,31212
févr-07	0,19607	0	0,35	0,12789	0,32604
mars-07	0,22493	0	0,35	0,075066	0,35
avr-07	0,26159	0	0,35	0,038414	0,35
mai-07	0,23734	0	0,35	0,068735	0,34392
juin-07	0,30162	0	0,35	0	0,34829
juil-07	0,3	0	0,35	0	0,35
aoùt-07	0,35	0	0,35	0	0,3
sept-07	0,35	0	0,35	0	0,3
oct-07	0,35	0	0,35	0	0,3
nov-07	0,35	0	0,35	0	0,3
déc-07	0,35	0	0,35	0	0,3

Méthode GARCH DCC:

Après diminution de la contrainte jusqu'à la valeur 35%, on remarque des changements significatifs dans les proportions, contrairement à la méthode empirique.

Le changement principal est l'inclusion de l'actif OIH avec des proportions importantes, et cela tout le long de la période du backtesting, on voit aussi que les proportions de l'actif QQQQ ne sont pas les mêmes (dès fois nulles), par contre le premier portefeuille contenait de fortes proportions de QQQQ.

Composition du portefeuille (GARCH DCC) 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 ^0,40,3 0,2 0,1 0
		QQQQ IEV SPY OIH GLD
Dates

Proportions avec la méthode GARCH DCC :

Le tableau suivant montre la différence significative entre les deux portefeuilles, au sens de diversification, cela est naturellement à cause des différences entre les matrice de corrélation, cette différence cause des changements dans l'optimisation, car elle est basée sur la minimisation de la volatilité qui s'écrit en fonction de la corrélation entre les rendements des différents actifs.

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,35	0,18935	0,35	0	0,11065
janv-06	0,35	0,17061	0,35	0,03721	0,092176
févr-06	0,35	0,25907	0,35	0,011695	0,029231
mars-06	0,35	0,26393	0,35	0,0036128	0,032454
avr-06	0,35	0,26284	0,35	0	0,037155
mai-06	0,35	0,25449	0,35	0	0,045505
juin-06	0,35	0,17813	0,35	0,11767	0,0041986
juil-06	0,35	0,17164	0,35	0,12836	0
aoùt-06	0,35	0,15025	0,35	0,14975	0
sept-06	0,35	0,13663	0,35	0,16337	0
oct-06	0,35	0,12713	0,35	0,17287	0
nov-06	0,35	0,11995	0,35	0,18005	0
déc-06	0,35	0,12057	0,35	0,17943	0
janv-07	0,35	0,13242	0,35	0,16758	0
févr-07	0,35	0,13014	0,35	0,16986	0
mars-07	0,35	0,13492	0,35	0,16508	0
avr-07	0,35	0,21158	0,088423	0,35	0
mai-07	0,35	0,22504	0,085912	0,33905	0
juin-07	0,35	0,2487	0,081176	0,32013	0
juil-07	0,35	0,17807	0,35	0,12193	0
aoùt-07	0,35	0,14458	0,35	0,15542	0
sept-07	0,35	0,14236	0,35	0,15764	0
oct-07	0,35	0,13674	0,35	0,16326	0
nov-07	0,35	0,056212	0,35	0	0,24379
déc-07	0,35	0,02917	0,35	0	0,27083

Comparaison des rendements historiques des deux portefeuilles :

En posant la contrainte pas plus de 35%, le rendement des deux portefeuilles se rapprochent, mais celui de la méthode GARCH DCC reste toujours supérieur à celui de la méthode empirique.

Le graphique suivant affiche les résultats :

Portfolio and asset NAV
1,6
1,4
1,2
1
0,4 0,2 0		Empirique GARCH DCC
	0,8
	0,6
	Dates

Contrainte 3 : dans cette partie l'investisseur peut placer tout son capital sur un seul actif. Donc l'investisseur est exposé au risque de perdre toute fortune.

Diagrammes en camembert :

La méthode empirique :

Ces diagrammes montrent la stratégie d'allocation initiale et finale de l'investisseur, et cela on se basant sur le programme d'optimisation quadratique, la matrice utilisée dans cette partie est calculée empiriquement, le programme d'optimisation n'est soumis à aucune contrainte, au sens que les proportions de chaque actif peuvent varier entre 0% et 100%.

Proportions initiales (Décembre 2005) Méthode empirique 0% 0%
										Proportions finales (Décembre 2007) Méthode empirique 0%
								40%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
										57%							43%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
60%						0%
										0%

On voit que cette fois le portefeuille est réparti initialement seulement sur les deux actifs SPY et GLD, avec les proportions respectivement 60% et 40%, ces deux actifs sont maintenus tout le long du backtesting, on peut voir cela avec les proportions finales sur le diagramme en camembert et le tableau historique des allocations ci-dessous.

La méthode GARCH DCC :

On voit que les proportions initiales de ce portefeuille sont de 15% OIH et 4% QQQQ, le reste du capital est réparti presque semblablement entre GLD et SPY. Juste après cette période on remarque la disparition de l'actif OIH du portefeuille.

Proportions initiales (Décembre 2005) GARCH DCC 0% 4%							Proportions finales (Décembre 2007) GARCH DCC 0% 0%
45%					36%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
							55%					45%	GLD OIH SPY IEV QQQQ
15%
							0%

Composition historique des portefeuilles :

Méthode empirique :

Dans cette partie, on voit que le portefeuille est panaché seulement entre l'actif SPY et GLD, la proportion de SPY est nettement plus grande que celle de GLD.

On voit aussi une très faible proportion de QQQQ entre août et décembre 2007.

Composition du portefeuille (Méthode empirique) 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
		QQQQ IEV SPY OIH GLD
Dates

Allocations avec la méthode empirique :

Le tableau ci-dessous montre bien que le portefeuille comporte seulement deux actifs, car les proportions des autres actifs sont toutes nulles.

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,40238	0	0,59762	0	0
janv-06	0,33761	0	0,66239	0	0
févr-06	0,28326	0	0,71674	0	0
mars-06	0,26366	0	0,73634	0	0
avr-06	0,19407	0	0,80593	0	0
mai-06	0,16256	0	0,83744	0	0
juin-06	0,13331	0	0,86669	0	0
juil-06	0,12084	0	0,87916	0	0
aoùt-06	0,12733	0	0,87267	0	0
sept-06	0,10793	0	0,89207	0	0
oct-06	0,086667	0	0,91333	0	0
nov-06	0,095493	0	0,90451	0	0
déc-06	0,10489	0	0,89511	0	0
janv-07	0,097432	0	0,90257	0	0
févr-07	0,10374	0	0,89626	0	0
mars-07	0,10456	0	0,89544	0	0
avr-07	0,1241	0	0,8759	0	0
mai-07	0,089102	0	0,9109	0	0
juin-07	0,16178	0	0,83822	0	0
juil-07	0,17809	0	0,82191	0	0
aoùt-07	0,29933	0	0,68424	0	0,016429
sept-07	0,36392	0	0,63608	0	0
oct-07	0,39237	0	0,6007	0	0,0069254
nov-07	0,39355	0	0,60645	0	0
déc-07	0,43296	0	0,56704	0	0

La méthode GARCH DCC :

Le diagramme suivant montre la composition historique du portefeuille en optimisant avec la matrice GARCH DCC, ce portefeuille est panaché seulement avec les actif SPY et GLD. L'actif OIH est inclus au début avec de petites proportions, mais après juin 2006 il ne fait plus partie de ce portefeuille. On voit aussi de très faibles proportions de QQQQ juste au début du backtesting.

Composition du portefeuille (GARCH DCC) 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
		QQQQ IEV SPY OIH GLD
Dates

Proportions avec la méthode GARCH DCC :

	GLD	OIH	SPY	IEV	QQQQ
déc-05	0,36407	0,14979	0,4443	0	0,041835
janv-06	0,70364	0	0,29636	0	0
févr-06	0,81414	0,025608	0,15137	0	0,0088825
mars-06	0,79983	0,025452	0,17253	0	0,0021918
avr-06	0,78757	0,019813	0,19262	0	0
mai-06	0,78528	0,011579	0,20314	0	0
juin-06	0,65375	0	0,34625	0	0
juil-06	0,67228	0	0,32772	0	0
aoùt-06	0,63736	0	0,36264	0	0
sept-06	0,61046	0	0,38954	0	0
oct-06	0,5927	0	0,4073	0	0
nov-06	0,56008	0	0,43992	0	0
déc-06	0,5783	0	0,4217	0	0
janv-07	0,5705	0	0,4295	0	0
févr-07	0,5832	0	0,4168	0	0
mars-07	0,56575	0	0,43425	0	0
avr-07	0,84662	0,0013472	0,15204	0	0
mai-07	0,85078	0,005443	0,14378	0	0
juin-07	0,8617	0,0090138	0,12929	0	0
juil-07	0,5624	0	0,4376	0	0
aoùt-07	0,5277	0	0,4723	0	0
sept-07	0,48123	0	0,51877	0	0
oct-07	0,47608	0	0,52392	0	0
nov-07	0,451 77	0	0,54823	0	0
déc-07	0,45346	0	0,54654	0	0

Comparaison des rendements historiques des deux portefeuilles :

Comme dans les parties précédentes, on voit dans ce graphique le décalage nette entre les deux portefeuilles, la méthode GARCH DCC se comporte mieux que la méthode empirique même si on n'impose aucune contrainte.

Donc on peut dire que la méthode GARCH DCC est meilleure que la méthode empirique utilisée souvent par la plupart des gestionnaires de portefeuilles financiers, et cela surtout dans les période de forte volatilité, par exemple dans la période entre mars et juin 2006 on voit que la courbe GARCH DCC en rouge est nettement supérieure à la courbe empirique (voire graphe ci-dessous).

Portfolio and asset NAV
1,8 1,6 1,4
	1,2
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0		Empirique GARCH DCC
Dates

Interprétation des résultats :

Ces résultats montrent que les techniques qui tiennent compte des corrélations dynamiques performent mieux que les méthodes traditionnelles basées sur les corrélations empiriques. L'écart entre les niveaux de rendement produit par les opérations d'optimisation basées sur des matrices empiriques et DCC GARCH fait bien ressortir les différences très nettes. En particulier, en période de forte volatilité, le modèle DCC GARCH semble mieux anticiper le changement des corrélations. En effet, on remarque que lorsque la volatilité des marchés augmente dans les périodes suivantes :

1. Février 2006 à Juin 2006.

2. Avril 2007 à Août 2007.

3. Novembre 2007 à Décembre 2007.

Le graphique suivant affiche les rendements historiques des actifs tout le long du backtesting, il montre aussi les trois périodes volatiles que l'on a précisé précédemment.



Plutôt que de tenter d'interpréter la composition des portefeuilles lors du backtesting, opération difficile, nous allons tenter d'identifier la variation de la composition du portefeuille à des périodes clés. En effet, la composition du portefeuille évolue de manière plus importante dans ces périodes pour le portefeuille DCC GARCH que dans le cas empirique.

La différence des rendements tout au long du backtesting permet de montrer que les rendements des portefeuilles GARCH sont quasi-systématiquement supérieurs à ceux de la méthode empirique. Cette supériorité demeure vraie lorsqu'on applique des contraintes sur les poids. Ces contraintes sont souvent utilisées par les gestionnaires de portefeuille pour forcer la diversification et diminuer ainsi le risque.

Les techniques DCC GARCH sont plus efficaces dans la mesure où elles se soucient des changements dans les corrélations et qu'elles tiennent compte de leurs dynamiques dans le calcul des poids optimaux des portefeuilles. Les poids calculés lors de l'optimisation incorporent une plus grande quantité d'informations sur l'évolution des marchés.

D'après nos résultats, le DCC GARCH apparaît comme la meilleure option que puisse avoir un gestionnaire qui veut améliorer ses rendements ou encore couvrir ses actifs contre les risques de marchés.

Conclusion générale

Au cours de la préparation de notre mémoire de fin d'études, nous avons été amenés à faire des prévisions à l'aide de diverses méthodes sur des séries financières. Et essayer d'attendre l'objectif principal de notre étude qui est de tester une nouvelle modélisation de la matrice de variance covariance pour l'optimisation de portefeuilles financiers.

Pour cela nous avons proposé dans un premier temps d'étudier individuellement les séries en utilisant l'approche univariée, cette approche nous a permis de représenter nos séries avec des modèles ARMA et ARIMA avec des résidus ARCH ou GARCH.

En suite on est passé à la méthode Holt & Winters, pour faire une prévision à court terme et comparer les résultats avec ceux de la méthodologie de Box et Jenkins.

En effet, l'application de ces deux méthodes sur des séries financières nous a permis de conclure que :

Les modèles ajustés ARMA (1,1) et ARMA (3,3) sont plus performant que celui de la méthode Holt & Winters pour les séries IEV et SPY qui représentent respectivement la valeur des actions de 350 sociétés les plus représentatives de l'économie européenne et la valeur des actions de 500 compagnies les plus représentatives de l'économie américaine.

Par contre, la méthode Holt & Winters semble meilleure que les modèles intégrés ARIMA (2, 1,0) et ARIMA (4, 1,4) des séries QQQQ et GLD qui représentent respectivement la valeur des actions des 100 plus grandes compagnies innovantes autre que financières et la valeur de l'OR sur les marchés internationaux.

Cependant la méthodologie de Box et Jenkins ne prend pas en compte l'interdépendance des séries, pour cette raison nous avons proposé par la suite une approche hétéroscédastique multivariée pour parer aux insuffisances de l'approche univariée.

Dans la partie multivariée, nous avons passé en revue les différentes méthodes utilisées dans l'estimation de la volatilité. Nous avons d'abord commencé par les différentes approches depuis leurs créations, la première approche est le modèle VEC proposé par Bollerslev, Engle et Wooldrige (1988), c'est une extension directe du modèle ARCH univarié, l'inconvénient majeur de ce modèle est le nombre de paramètres à estimer, il devient de plus en plus grand au fur et à mesure que le nombre des variables augmente. Pour réduire le nombre de paramètres à estimer, les auteurs suggèrent la formulation diagonale VEC (DVEC).

Certes, ce modèle réduit remarquablement le nombre de paramètres à estimer par rapport au modèle précédent, mais le grand désavantage de ce modèle est l'absence de l'interdépendance entre les composants du système donc la transmission de chocs entre les variables n'est pas possible. Les variations de la volatilité d'une variable n'influencent pas le comportement des autres variables dans le système. D'autre part, la positivité de la matrice des variances covariances conditionnelles n'est pas garantie par le modèle. Il faudrait imposer des restrictions sur chaque élément de la matrice des variances covariances conditionnelles.

Pour pallier aux insuffisances des modèles VEC et DVEC, une approche qui garantit la positivité de la matrice des variances covariances conditionnelles est suggérée par Baba, Engle, Kraft et Kroner (1 990).Puis elle a été synthétisée dans l'article d'Engle et Kroner (1995). Le modèle BEKK prend en compte des interactions entre les variables étudiées. Néanmoins, bien que le nombre des paramètres à estimer soit inférieur à celui des modèles VEC et DVEC, il demeure encore très élevé. Les recherches utilisant ce modèle limitent le nombre d'actifs étudiés et ou imposent des restrictions comme de supposer que les corrélations sont constantes.

On a commencé par une modélisation de la matrice variance covariance par la spécification CCC de Bollerslev (1990), en suite on a effectué un test de constance de corrélation pour passer au modèle DCC de Engle et Sheppard (2002). Le DCC GARCH de Engle et Sheppard (2002) a été retenu comme modèle économétrique de référence car il permet de réduire de manière significative le nombre de paramètres à estimer et il fournit une interprétation relativement simple des corrélations. Ce type de modèle GARCH est donc beaucoup plus rapide à implémenter et beaucoup plus convivial lorsque vient le moment d'interpréter les coefficients, c'est cela l'avantage qu'il offre aux professionnels de la finance.

Les résultats du modèle GARCH DCC ont été comparés en matière de gestion de portefeuille à ceux de la méthode de calcul empirique de la matrice de corrélation utilisée par la plupart des sociétés financières.

Cette comparaison a eu lieu grâce à une opération appelée dans le monde de la finance, le Backtesting. Cette opération, consiste à simuler dans le passé une stratégie d'allocation de portefeuille, c'est-à-dire une manière d'attribuer des poids à chacun des actifs du portefeuille au cours du temps. Elle permet en particulier, de vérifier de manière empirique, comment une stratégie donnée se serait comportée dans des conditions réelles en se plaçant dans le passé sur une période donnée.

Afin de comparer l'efficacité de l'optimisation en utilisant la méthode GARCH DCC, nous avons calculé la valeur du portefeuille en utilisant en parallèle une méthode d'optimisation quadratique (modèle mean-var de Markowitz) qui utilise une matrice de corrélation

empirique. Pour les deux méthodes, tous les paramètres d'optimisation étaient les mêmes mis a part la matrice de corrélation, on note aussi que lors des simulations par Backtesting on a fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de coûts de transactions (ou qu'ils sont négligeables).

En fin on achève notre étude avec les résultats du Backtesting qui ont montré l'efficacité du modèle GARCH DCC par rapport à la méthode empirique, car ce modèle prend en compte la dynamique des volatilités des covariances et la fait introduire dans l'optimisation de portefeuille.

Le rendement du portefeuille GARCH DCC superforme nettement le rendement de la méthode empirique dans les périodes de forte volatilité, par contre dans les autres périodes il semble que les deux portefeuilles soient identiques, ce qui explique l'apport majeur de l'introduction de la dynamique entre les actifs dans l'optimisation de portefeuille.

Cette nouvelle méthode d'estimation de la matrice variance covariance est une nouvelle porte pour la gestion de portefeuilles financiers, car elle donne des résultats remarquables par rapports aux autres méthodes classiques et empiriques.

On espère avoir répondu aux problèmes posés et que les résultats trouvés seront d'une utilité pertinente surtout dans le monde de la gestion de portefeuilles financiers.

ANNEXE A : Symboles et Tableau

Symboles :

AR (p) Autorégressive processus of ordre p (processus autorégressive d'ordre p).

MA (q) moyenne mobile d'ordre q.

ARIMA (p, d, q) processus autorégressif moyenne mobile intégré d'ordre (p, d, q). GARCH(p, q) Generalised Autoregressif Conditional Heteroscedasticity

CCC Constant Conditional Correlation

DCC Dynamic Conditional Correlation

? Produit de Kronecker

AIC Akaike information.

SC Schwarz criterion.

E espérance.

e erreur.

Var variance.

MSE mean square error matrix (matrice de l'erreur quadratique moyenne).

T taille de l'échantillon ou longueur de la série chronologique.

BEKK Baba Engle Kraft et Kroner

Tables de Dikey Fuler

Valeurs critiques du test de Dickey Fuller pour p =1

T

1%

5%

10%

Modèle [1]

100	-2,6	-1,95	-1,61
250	-2,58	-1,95	-1,62
500	-2,58	-1,95	-1,62

Modèle [2]

100	-3,51	-2,89	-2,58
250	-3,46	-2,88	-2,57
500	-3,44	-2,87	-2,57

Modèle [3]

100	-4,04	-3,45	-3,15
250	-3,99	-3,43	-3,13
500	-3,98	-3,42	-3,13

Valeurs critiques de la constante et de la tendance :

Modèle [2]
Constante

	1%	5%	10%
100	3,22	2,54	2,17
250	3,19	2,53	2,16
500	3,18	2,52	2,16



RH ₀

AH ₀

p

A = #177; ? A #177; #177; #177;

X q X _ çb X ? J3 t C e

t t j t j

1 t

j ? 1

p

A = #177; ? A #177; #177;

X ? X ? ? X C e

t t j t j t

1 ?

j ? 1

A

p

X ? X ? çb X e

t t j t j t

= #177; A #177;

1 ?

j ? 1

AH ₀

R H0

AH ₀

AH ₀

R H0

RH₀

.

.

.

R H0

AH ₀

Modèle [3
Constante

	1%	5%	10%
100	3,78	3,11	2,73
250	3,74	3,09	2,73
500	3,72	3,08	2,72

Tendance

	1%	5%	10%
100	3,53	2,79	2,38
250	3,49	2,79	2,38
500	3,48	2,78	2,38

Algorithme de Dicky-Fuller augmenté :

Annexe B: Programmes Matlab

GARCH univarié:

function [parameters, likelihood, ht, stderrors, robustSE, scores, grad] = garchpq(data , p , q , startingvals, options)

% PURPOSE:

% GARCH(P,Q) parameter estimation with normal innovations using

analytic derivatives

%

% USAGE:

% [parameters, likelihood, ht, stderrors, robustSE, scores, grad] =

garchpq(data , p , q , startingvals, options)

%

% INPUTS:

% data: A single column of zero mean random data, normal or not for

quasi likelihood

%

% P: Non-negative, scalar integer representing a model order of the
ARCH

% process

%

% Q: Positive, scalar integer representing a model order of the GARCH

% process: Q is the number of lags of the lagged conditional

variances included

% Can be empty([] ) for ARCH process

%

% startingvals: A (1+p+q) vector of starting vals. If you do not
provide, a naieve guess of 1/(2*max(p,q)+1) is

% used for the arch and garch parameters, and omega is set to make

the real unconditional variance equal

% to the garch expectation of the expectation.

%

% options: default options are below. You can provide an options
vector. See HELP OPTIMSET

%

% OUTPUTS:

% parameters : a [ 1+p+q X 1] column of parameters with omega, alpha1,

alpha2, ..., alpha(p)

% beta1, beta2, ... beta(q)

%

% likelihood = the loglikelihood evaluated at he parameters

%

% ht = the estimated time varying VARIANCES

%

% stderrors = the inverse analytical hessian, not for quasi maximum
liklihood

%

% robustSE = robust standard errors of form A^-1*B*A^-1*T^-1

% where A is the analytic hessian

% and B is the covariance of the scores

%

% scores = the list of T scores for use in M testing

%

% grad = the average score at the parameters

%

% COMMENTS:

%

% GARCH(P,Q) the following(wrong) constratins are used(they are right for
the (1,1) case or any Arch case

% (1) Omega > 0

% (2) Alpha(i) >= 0 for i = 1,2,...P

% (3) Beta(i) >= 0 for i = 1,2,...Q

% (4) sum(Alpha(i) + Beta(j)) < 1 for i = 1,2,...P and j = 1,2,...Q

%

% The time-conditional variance, H(t), of a GARCH(P,Q) process is modeled

% as follows:

%

% H(t) = Omega + Alpha(1)*r_{t-1}^2 + Alpha(2)*r_{t-2}^2 +...+

Alpha (P)*r_{ t-p} ^2+...

% Beta(1)*H(t-1)+ Beta(2)*H(t-2)+...+ Beta(Q)*H(t-q)

%

% Default Options

%

% options = optimset('fmincon');

% options = optimset(options , 'TolFun' , 1e-003);

% options = optimset(options , 'Display' , 'iter');

% options = optimset(options , 'Diagnostics' , 'on');

% options = optimset(options , 'LargeScale' , 'off');

% options = optimset(options , 'MaxFunEvals' ,

'400* numberOfVariables');

% options = optimset(options , 'GradObj' , 'on');

%

%

% uses GARCH_LIKELIHOOD and GARCHCORE. You should MEX, mex 'path\garchcore.c', the MEX source

% The included MEX is for R12, 12.1 and 11 Windows and was compiled with Intel Compiler 5.01.

% It gives a 10-15 times speed increase

%

% Author: Kevin Sheppard

% [e-mail]

% Revision: 2 Date: 12/31/2001

if size(data,2) > 1

error('Data series must be a column vector.') elseif isempty(data)

error('Data Series is Empty.')

end

if (length(q) > 1) | any(q < 0)

error('Q must ba a single positive scalar or an empty vector for ARCH.') end

if (length(p) > 1) | any(p < 0)

error('P must be a single positive number.') elseif isempty(p)

error('P is empty.')

end

if isempty(q)

q=0; m=p; else m = max(p,q);

end

if nargin<=3 | isempty(startingvals)

guess = 1/(2*m+1);

alpha = .15*ones(p,1)/p;
beta = .75*ones(q,1)/q;

omega = (1-(sum(alpha)+sum(beta)))*cov(data); %set the uncond = to its e xpe c t ion

else

omega=startingvals (1);

alpha=startingvals (2:p+1);

beta=startingvals (p+2:p+q+1);

end

LB = [];

UB = [];

sumA = [-eye(1+p+q); ... 0 ones(1,p) ones(1,q)];

sumB = [zeros(1+p+q,1);... 1];

if (nargin <= 4) | isempty(options) options = optimset('fmincon');

options = optimset(options , 'TolFun' , 1e-003);

options = optimset(options , 'Display' , 'iter');

options = optimset(options , 'Diagnostics' , 'on'); options = optimset(options , 'LargeScale' , 'off'); options = optimset(options , 'MaxFunEvals' , 400* (1+p+q)); options = optimset(options , 'GradObj' , 'on');

end

sumB = sumB - [ zeros(1+p+q,1); 1]*2*optimget(options, 'TolCon', 1e-6);

stdEstimate = std(data,1);

data = [ stdEstimate(ones(m,1)) ; data];

% Estimate the parameters.

[parameters, LLF, EXITFLAG, OUTPUT, LAMBDA, GRAD] = fmincon('garchlikelihood', [omega ; alpha ; beta] ,sumA , sumB ,[] , [] , LB , UB,[] ,options,data, p , q, m, stdEstimate);

if EXITFLAG<=0

EXITFLAG

fprintf(1,'Not Sucessful! \n') end

parameters(find(parameters < 0)) = 0;

parameters(find(parameters(1) <= 0)) = realmin;

if nargout>1

[likelihood, grad, hessian, ht, scores, robustSE] = garchlikelihood(parameters , data , p , q, m, stdEstimate); stderrors=hessian^ (-1);

likelihood=-likelihood; end.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin du programme%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

GARCH multivarié CCC (CCC-MVGARCH) :

function [parameters, loglikelihood, R ,Ht, likelihoods, stdresid, unistdresid, hmat, stderrors, A, B,

j ointscores] =cc _mvgarch (data, archP, garchQ)

% PURPOSE:

% Estimates a multivariate GARCH model using Bollerslev's constant

correlation estimator

%

% USAGE:

% [parameters, loglikelihood, R, Ht, likelihoods, stdresid,

unistdresid, hmat, stderrors, A, B, jointscores] =...

% cc_mvgarch (data, archP, garchQ)

%

% INPUTS:

% data: A zero mean t by k vector of residuals from some filtration

% archP: One of three things: Empty in which case a 1 innovation
model is estimated for each series

% A scalar, p in which case a p

innovation model is estimated for each series

% A k by 1 vector in which case the

ith series has innovation terms p=archP(i)

% garchQ: One of three things: Empty in which case a 1 GARCH lag

is used in estimation for each series

% A scalar, q in which case a q

GARCH lags is used in estimation for each series

% A k by 1 vector in which case the

ith series has lagged variance terms q=archQ(i)

%

% OUTPUTS:

% parameters= A vector of parameters estimated form the model of the

fo rm

% [GarchParams (1) GarchParams (2) ... GarchParams (k)

Correlation(ccvech of the correlation matrix)]

% where the garch parameters from each estimation are of

the form

% [omega(i) alpha(i1) alpha(i2) ... alpha(ip(i)) beta(i1)

beta(i2) ... beta(iq(i))]

% loglikelihood=The log likelihood evaluated at the optimum

% R = k x k matrix of correlations

% Ht= A k by k by t array of conditional variances

% likelihoods = the estimated likelihoods t by 1

% stdresid = The multivariate standardized residuals

% unistdresid = Residuals standardized by their estimated std devs

% Hmat = The t by k matrix of conditional variances

% stderrors=A length(parameters)^2 matrix of estimated correct

standard errors

% A = The estimated A form the rebust standard errors

% B =the estimated B from the standard errors

% scores = The estimated scores of the likelihood t by

length (parameters)

%

% COMMENTS:

% % % Author: Kevin Sheppard

% [e-mail]

% Revision: 2 Date: 12/31/2001

% Lets do some error checking and clean up [t, k] =size (data);

if k<2

error('Must have at least 2 data series') end

if ~(isempty(archP) | length(archP)==1 | length(archP)==k) error('Wrong size for archP')

end

if ~(isempty(garchQ) | length(garchQ)==1 | length(garchQ)==k) error('Wrong size for garchQ')

if isempty(archP)

archP=ones (1,k);

elseif length(archP)==1 archP=ones (1,k)*archP; end

if isempty(garchQ)

garchQ=ones (1,k);

elseif length (garchQ) ==1 garchQ=ones (1, k)*garchQ; end

% Now lest do the univariate garching using fattailed_garch as it's faster then garchpq

stdresid=data;

options=optimset ( 'fmincon');

options=optimset (options, 'Display','off', 'Diagnostics','off', 'MaxFunEvals', 1000*max(archP+garchQ+1), 'MaxIter' ,1000*max(archP+garchQ+1), 'LargeScale', 'o ff', 'MaxSQPIter' ,1000);

options = optimset(options , 'MaxSQPIter' , 1000);

hmat=zeros (t, k);

for i=1:k

fprintf(1,'Estimating GARCH model for Series %d\n',i)

[univariate{ i} .parameters, univariate{ i} .likelihood,

univariate{i} .stderrors, univariate{i} .robustSE, univariate{i} .ht, univariate{ i} .scores] ...

= fattailed_garch(data(:,i) , archP(i) , garchQ(i) , 'NORMAL',[], options); stdresid(:,i)=data(:,i)./sqrt(univariate{i} .ht);

hmat(:,i)=univariate{ i} .ht;

end

unistdresid=stdresid;

% The estimated parameters are real easy

R=corrcoef (stdresid);

% We now have all of the estimated parameters parameters=[ ];

H=zeros (t, k);

for i=1:k

parameters=[ parameters;univariate{ i} .parameters]; H(:,i)=univariate{ i} .ht;

end

parameters=[ parameters;ccvech(R)];

%We now have Ht and the likelihood

if nargout >=2

[loglikelihood, likelihoods] =cc _mvgarch _full _likelihood (parameters, data, archP,garchQ);

likelihoods=-likelihoods;

loglikelihood=-loglikelihood;

Ht=zeros (k, k, t); stdresid=zeros (t, k);

Hstd=H.^ (0.5); for i=1:t

Ht(:, :,i)=diag(Hstd(i, :))*R*diag(Hstd(i, :)); stdresid(i,:)=data(i,:)*Ht(:,:,i)^(-0.5);

end

if nargout>=9

%How ar we going to get STD errors? Partitioned invers probably. Well, we need to get the scores form the dcc model, the joint likelihood.

%We then need to get A12 and A22 so we can have it all. We also need to get A11 in the correct form.

A=zeros (length(parameters) ,length(parameters));

index=1;

for i=1:k

workingsize=size (univariate{ i} . stderrors);

A (index: index+workingsize-1, index: index+workingsize-

1)=univariate{ i} .stderrors^ (-1);

index=index+workingsize;

end

% Ok so much for a All and A12 and A22, as we have them all between whats above

fprintf(1,'\n\nCalculating Standard Errors, this can take a while\n'); otherA=dcc_hessian('cc_mvgarch_full_likelihood' ,parameters, (k* (k-1) /2), data, archP,garchQ);

A(length(parameters)-(k* (k-1)/2)+1:length(parameters), :)=otherA;

% tempA=hessian _2sided('dcc _garch _full _likelihood' ,parameters, data,

archP, garchQ, dccP, dccQ);

% A(length(parameters)-1 :length(parameters), : )=tempA(length(parameters)-

1 : length (parameters),:); %That finishes A

% We now need to get the scores for the DCC estimator so we can finish B jointscores=zeros (t,length(parameters));

index=1;

for i=1:k

workingsize=size (univariate{ i} . scores, 2);

jointscores (:, index:index+workingsize-1)=univariate{ i} . scores; index=index+workingsize;

end

%Now all we need to do is calculate the scores form teh dcc estimator and we have everything

h=max(abs(parameters/2) ,1e-2)*eps^(1/3);

hplus=parameters+h;

hminus=parameters-h;

likelihoodsplus=zeros (t,length(parameters));

likelihoodsminus=zeros (t,length(parameters));

for i=length(parameters)-(k* (k-1)/2)+1:length(parameters) hparameters=parameters;

hparameters (i) =hplus (i);

[HOLDER, indivlike] = cc_mvgarch_full_likelihood(hparameters, data, archP,garchQ);

likelihoodsplus (:, i)=indivlike;

end

for i=length(parameters)-(k* (k-1)/2)+1:length(parameters) hparameters=parameters;

hparameters (i) =hminus (i);

[HOLDER, indivlike] = cc_mvgarch_full_likelihood(hparameters, data, archP,garchQ);

likelihoodsminus (:, i)=indivlike;

end

CCscores=(likelihoodsplus(:,length(parameters)-(k* (k1)/2)+1:length(parameters))-likelihoodsminus(: ,length(parameters)-(k* (k-

1) /2) +1: length (parameters)))... ./(2*repmat(h(length(parameters)-(k* (k-1)/2)+1:length(parameters)) ',t,1)); jointscores(: ,length(parameters)-(k* (k-

1) /2) +1: length (parameters) ) =CCscores;

B=cov (jointscores);

stderrors=A^ (-1)*B*A^ (-1)*t;

end %Done!

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Helper Function

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [parameters] =ccvech (CorrMat)

[k, t] =size (CorrMat);

parameters=zeros (k* (k-1) /2,1);

index=1;

for i=1:k

for j=i+1:k

parameters (index) =CorrMat (i, j);

index=index+1;

end end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Helper Function

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function [CorrMat] =ccivech(params)

[k, t] =size (params);

for i=2:m

if (k/((i* (i-1))/2))==1

sizes=i;

break

end

end

index=1;

CorrMat=eye (sizes)

for i=1:sizes

for j=i+1:sizes

CorrMat (i, j ) =params (index); CorrMat (j,i) =params (index); index=index+1;

end

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin du programme% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

Test de Engle et Sheppard:

function [pval, stat] =dcc_mvgarch_test(data,archP,garchQ,nlags); % PURPOSE:

% Test for presence of dynamic correlation

%

% USAGE:

% [pval, stat] =dcc_mvgarch_test(data,archP,garchQ,nlags);

% INPUTS:

% data - T by k matrix of residuals to be tested or dynamic

corrrelation

% archP - The length of the news terms in each univariate garch(either

a scalar or a k by 1 vector)

% garchQ - The length of the smoothing terms in each univariate

garch(either a scalar or a k by 1 vector)

% nlags - THe number of lags to use in the test

%

% OUTPUTS:

% pval - The probability the correlation is constant

% stat - The Chi^2 stat, with nlags+1 D.F>

%

% COMMENTS:

% % % Author: Kevin Sheppard

% [e-mail]

% Revision: 2 Date: 12/31/2001

[t, k] =size (data);

if isempty(archP)

archP=ones (1,k);

elseif length(archP)==1 archP=ones (1,k)*archP; end

if isempty(garchQ)

garchQ=ones (1,k);

elseif length (garchQ) ==1 garchQ=ones (1, k)*garchQ; end

[holder,holder2,holder3,holder4,holder5, stdresid] =cc _mvgarch(data,archP, gar chQ);

outerprods=[];

for i=1:k

for j=i+1:k;

outerprods=[ outerprods stdresid(:,i) .*stdresid(:,j)];

end
end

j=size (outerprods, 2);

regressors=[];

regressand=[];

for i=1:j

[Y,X] =newlagmatrix(outerprods (:, i) ,nlags, 1);

regressors=[ regressors; X]; regressand=[ regressand; Y]; end

beta=regressors\ regressand; XpX=(regressors'*regressors); e=regressand-regressors* beta; sig=e'*e/ (length(regressors-nlags-1));

stat=beta'*XpX*beta/sqrt (sig); pval=1-chi2cdf(stat,nlags+1); end.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin du programme% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

GARCH multivarié DCC (DCC-MVGARCH) :

function [parameters, loglikelihood, Ht, Qt, stdresid, likelihoods, stderrors, A,B, jointscores] =dcc_mvgarch(data,dccP,dccQ,archP,garchQ)

% PURPOSE:

% Estimates a multivariate GARCH model using the DCC estimator of

Engle and Sheppard

%

% USAGE:

% [parameters, loglikelihood, Ht, Qt, likelihoods, stdresid,

stderrors, A,B, jointscores]...

% =dcc_mvgarch (data, dccP, dccQ, archP, garchQ)

%

% INPUTS:

% data = A zero mean t by k vector of residuals from some

filtration

% dccP = The lag length of the innovation term in the DCC

estimator

% dccQ = The lag length of the lagged correlation matrices in

the DCC estimator

% archP = One of three things: Empty in which case a 1

innovation model is estimated for each series

% A scalar, p in which case a p

innovation model is estimated for each series

% A k by 1 vector in which case the

ith series has innovation terms p=archP(i)

% garchQ = One of three things: Empty in which case a 1

GARCH lag is used in estimation for each series

% A scalar, q in which case a q

GARCH lags is used in estimation for each series

% A k by 1 vector in which case the

ith series has lagged variance terms q=archQ(i)

%

% OUTPUTS:

% parameters = A vector of parameters estimated form the model of

the form

% [GarchParams (1) GarchParams (2) ...

GarchParams (k) DCCParams]

% where the garch parameters from each estimation

are of the form

% [omega(i) alpha(i1) alpha(i2) ... alpha(ip(i))

beta(i1) beta(i2) ... beta(iq(i))]

% loglikelihood = The log likelihood evaluated at the optimum

% Ht = A k by k by t array of conditional variances

% Qt = A k by k by t array of Qt elements

% likelihoods = the estimated likelihoods t by 1

% stderrors = A length(parameters)^2 matrix of estimated correct

standard errors

% A = The estimated A form the rebust standard errors

% B = The estimated B from the standard errors

% scores = The estimated scores of the likelihood t by

length (parameters)

% % % COMMENTS:

% % % Author: Kevin Sheppard

% [e-mail]

% Revision: 2 Date: 12/31/2001

% Lets do some error checking and clean up [t, k] =size (data);

if k<2

error('Must have at least 2 data series')

end

if length (dccP) ~=length (dccQ) | length (dccP)~=1 error('dccP and dccQ must be scalars')

end

if ~(isempty(archP) | length(archP)==1 | length(archP)==k) error('Wrong size for archP')

end

if ~(isempty(garchQ) | length(garchQ)==1 | length(garchQ)==k) error('Wrong size for garchQ')

end

if isempty(archP)

archP=ones (1,k);

elseif length(archP)==1 archP=ones (1,k)*archP; end

if isempty(garchQ)

garchQ=ones (1,k);

elseif length (garchQ) ==1 garchQ=ones (1, k)*garchQ; end

% Now lest do the univariate garching using fattailed_garch as it's faster then garchpq

stdresid=data;

options=optimset ( 'fmincon');

options=optimset (options, 'Display','off', 'Diagnostics','off', 'MaxFunEvals', 1000*max(archP+garchQ+1), 'MaxIter' ,1000*max(archP+garchQ+1), 'LargeScale', 'o ff', 'MaxSQPIter' ,1000);

options = optimset(options , 'MaxSQPIter' , 1000);

for i=1:k

% fprintf(1,'Estimating GARCH model for Series %d\n',i)

[univariate{ i} .parameters, univariate{ i} .likelihood,

univariate{i} .stderrors, univariate{i} .robustSE, univariate{i} .ht, univariate{ i} .scores] ...

= fattailed_garch(data(:,i) , archP(i) , garchQ(i) , 'NORMAL',[], options); stdresid(:,i)=data(:,i)./sqrt(univariate{i} .ht);

end

options=optimset ( 'fmincon');

%options = optimset(options , 'Display' , 'iter');

%options = optimset(options , 'Diagnostics' , 'on'); options = optimset(options , 'LevenbergMarquardt' , 'on'); options = optimset(options , 'LargeScale' , 'off');

dccstarting=[ ones(1,dccP)* .01/dccP ones(1,dccQ)* .97/dccQ]; %fprintf(1, '\n\nEstimating the DCC model\n')

[dccparameters,dccllf,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,GRAD] =fmincon('dcc_mvgarch_lik elihood' ,dccstarting,ones (size(dccstarting)),[ 1-

2*options.TolCon] ,[] ,[] ,zeros(size(dccstarting))+2*options.TolCon,[] ,[] ,opt ions, stdresid,dccP,dccQ);

% We now have all of the estimated parameters

parameters=[ ];

H=zeros (t, k);

for i=1:k

parameters=[ parameters;univariate{ i} .parameters]; H(:,i)=univariate{ i} .ht;

end

parameters=[ parameters;dccparameters'];

%We now have Ht and the likelihood

[loglikelihood, Rt, likelihoods,

Qt] =dcc_mvgarch_full_likelihood(parameters, data, archP,garchQ,dccP,dccQ); likelihoods=-likelihoods;

loglikelihood=-loglikelihood;

Ht=zeros (k, k, t);

stdresid=zeros (t, k);

Hstd=H.^ (0.5);

for i=1:t

Ht(:,:,i)=diag(Hstd(i,:))*Rt(:,:,i)*diag(Hstd(i,:)); stdresid(i,:)=data(i,:)*Ht(:,:,i)^(-0.5);

end

save tempHt Ht

clear Ht

if nargout >=7

%How ar we going to get STD errors? Partitioned invers probably. Well, we need to get the scores form the dcc model, the joint likelihood.

%We then need to get A12 and A22 so we can have it all. We also need to get A11 in the correct form.

A=zeros (length(parameters) ,length(parameters));

index=1;

for i=1:k

workingsize=size (univariate{ i} . stderrors);

A (index: index+workingsize-1, index: index+workingsize-

1)=univariate{ i} .stderrors^ (-1);

index=index+workingsize;

end

% Ok so much for a All and A12 and A22, as we have them all between whats above

% fprintf(1,'\n\nCalculating Standard Errors, this can take a while\n');

otherA=dcc_hessian ( 'dcc _mvgarch _full _likelihood' ,parameters, dccP+dccQ, data, archP,garchQ,dccP,dccQ);

A(length(parameters)-dccP-dccQ+1 :length(parameters), : )=otherA;

% tempA=hessian('dcc _garch _full _likelihood' ,parameters, data,

archP, garchQ, dccP, dccQ);

% A(length(parameters)-1 :length(parameters), : )=tempA(length(parameters)-

1 : length (parameters),:); %That finishes A

% We now need to get the scores for the DCC estimator so we can finish B jointscores=zeros (t,length(parameters));

index=1;

for i=1:k

workingsize=size (univariate{ i} . scores, 2);

jointscores (:, index:index+workingsize-1)=univariate{ i} . scores; index=index+workingsize;

end

%Now all we need to do is calculate the scores form teh dcc estimator and we have everything

h=max(abs(parameters/2) ,1e-2)*eps^(1/3);

hplus=parameters+h;

hminus=parameters-h;

likelihoodsplus=zeros (t,length(parameters));

likelihoodsminus=zeros (t,length(parameters));

for i=length (parameters) -dccP-dccQ+1 : length (parameters) hparameters=parameters;

hparameters (i) =hplus (i);

[HOLDER, HOLDER1, indivlike] = dcc _mvgarch _full _likelihood(hparameters, data, archP,garchQ,dccP,dccQ);

likelihoodsplus (:, i)=indivlike; end

for i=length (parameters) -dccP-dccQ+1 : length (parameters) hparameters=parameters;

hparameters (i) =hminus (i);

[HOLDER, HOLDER1, indivlike] = dcc _mvgarch _full _likelihood(hparameters, data, archP,garchQ,dccP,dccQ);

likelihoodsminus (:, i)=indivlike; end

DCCscores= (likelihoodsplus (:, length (parameters) -dccP-

dccQ+1 : length (parameters) ) -likelihoodsminus (:, length (parameters) -dccPdccQ+1:length(parameters)))...

./(2*repmat(h(length(parameters)-dccP-dccQ+1:length(parameters)) ',t,1));

j ointscores (:, length (parameters) -dccP-dccQ+1 : length (parameters) ) =DCCscores; B=cov (jointscores);

A=A/t;

stderrors=A^ (-1)*B*A'^ (-1)*t^ (-1); end

%Done!

load tempHt

end.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin du programme% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

Bibliographie

A. Ouvrages

1. BOSQ Denis, Jean- pierre LECOUTURE « Analyse et Prévision des séries chronologiques Méthodes paramétriques et non paramétriques »

2. Bourbonnais .régis : « Econométrie », ^4ème édition Dunod, Paris 2002.

3. Bourbonnais régis - Michel Terraza : « Analyse des séries temporelles », édition Dunod, Paris 2004.

4. Bourbonnais régis - Usunier Jean Claude : « Prévision des ventes », ^3ème édition Economica, Paris 2001.

5. Bollerslev, T. et E. Ghysels (1996), « Periodic AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity »,Journal of Business and Economics, 14(2) :139-52.

6. Bollerslev, T., R.Y. Chou et K. F. Kroner (1992), « ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence », Journal of Economics, 52:5-59.

7. Boullerslev, T. (1990), «Generalized AutoRegressive Conditional Heterosedasticity »

8. Charpentier Arthur: « Cours de séries temporelles théorie et applications », édition université Paris DAUPHINE. Larousse illustré, édition librairie Larousse 1984.

9. Capéraà Philippe - Bernard van Cutsen « Méthodes et modèles en statistique non paramétrique », édition Dunod, Paris 1988.

10. Cappiello, Engle and Sheppard, 2002, Asymmetric Dynamics in the Correlations of International Equity and Bond Returns», UCSD Discussion Paper, Correlations between 34 International equity and bond indices.

11. Dominick, (1986), «Econométrie et statistique appliquée », Serie Schaum.

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