Systeme de transition sur les ordre Partiellement complet

1.5 Complétion d'un ensemble ordonné en un opc.

_OO

_OO

_OO

_OO

Lors_que l'on considère un opc et _que l'on oublie les opérations partielles de supremum filtrants l'on obtient simplement un ensemble ordonné. Nous voulons étudier le problème inverse i.e partir d'un ordre et construire un opc dont la structure soujacente est la plus proche possible de la structure de départ. Dans un sens _que nous allons préciser et _qui est techni_quement appelé propriété universelle.

Soit (A, =) un ordre. Une partie I de A est dite descendante si pour tout x, y E A, x = y E I impli_que x E I. Dans ce contexte, nous entendons par idéal de A toute partie descedante et diri_gée de A. L'exemple t_ype est le se_gment inférieure x ? défini par x. Notons Id(A) l'ensemble des idéaux de A. Id(A), muni de l'inclusion, est un ordre. La proposition ci-dessous montre _que Id(A) est un opc _qui est le complété de A.

Proposition 1.11. Soit (A, =) un ordre. Les propriétés suivantes sont vérifiées :

(i) Id(A) est un opc.

(ii) A se plon_ge dans Id(A) par çA : A -? Id(A)

x 7? x ?

(iii) Pour tout opc B, toute application continue f : A -? B croissante se factorise de manière universelle à travers çA. i.e, _qu'il existe une uni_que application continue f : Id(A) -? B au sens de Scott rendant commutatif le dia_gramme suivant.

A çA //

Id(A)

_Â

_Â

_Â

_Â f

_Â

²²Â

^CCCCCCCC_CCCC

f CCCCC!C!

B

Preuve.

(i) Il suffit de montrer _qu'une union filtrante d'idéaux de A est un idéal de A. Soit {Ia}aEË une famille filtrante d'idéaux de A.

· Montrons que S aEA

Ia est descendante.

· Montrons que U aEA

Ia est filtant. Soient x, y E U aEA

Ia. Il existe a, â E A tels que

x E I_a, y E Iâ. La famille _{Ia}aEA étant filtrante, il existe ä E A tel _que I_a, Iâ ç I8. On a donc x, y E I8 et il existe z E I8 tel _que x, y z.

(ii) Il est clair _que çA est un plon_gement.

(iii) Soit B un opc. Soit f : A -? B une application croissante. Cherchons l'uni_que application continue au sens de Scott f : Id(A) -? B telle _que f o çA = f.

Si f o çA = f, alors f o çA(x) = f(x) i.e f(x ?) = f(x) pour tout x E A. Or pour tout

idéal I de A, I = U aEI

x ?. Donc pour tout idéal I de A on doit avoir

f(I) =f(U x ?)

xEI

= V8 {f(x ?), x E I} = V⁸f(I)

donc f(I) = V8 f(I) pour tout idéal I de A. f est bien définie car I étant une partie diri_gée de Id(A) et f croissante, f(I) est une partie diri_gée de B. Il est clair _que f oçA = f.

Montrons _que f est continue au sens de Scott. Soit S une partie diri_gée de Id(A)

f(VId(A) S) = f( U I)

IES

= V8 _f( U I)

IES

=V8 U f(I)

IES

=

V^8f(S)

Ce _qui montre _que f est continue au sens de Scott.

Unicité de f. Soit g : Id(A) -? B une application continue telle _que g o çA = f. Alors pour x E A, g o çA(x) = f(x)_; i.e g(? x) = f(x). Donc Pour tout I E Id(A), g(I) = f(I).

La correspondance _qui à tout ordre (E; ) associe l'opc (Id(E), ç) des idéaux de (E, ) est fonctorielle_; elle se définie sur les flèches par :

(E, ): f // (F, ) Â // Id(f) : Id(E) // Id(F)

IÂ // f(I)

où f est l'uni_que application continue rendant contimutatif le dia_gramme suivant :

f

²²

E çE //

Id(E)

_Â

_Â

_Â

_Â f

_Â

²²Â

FçF // Id(F )

En notant Ord la caté_gorie des ordres et des applications croissantes, Id est un foncteur de Ord dans CPO. Ce foncteur est un adjoint à _gauche du foncteur d'oublie

U : CPO -? Ord. En effet, pour tout opc A et pour tout ensemble ordonné , pour toute application croissante h: (E', =') -? (E, =), le dia_gramme suivant est commutatif.

CPO (Id(E), A) ?E,A //			Ord (E, U(A))
Id(h)^*				h*
²		²

CPO (Id(E'), A) ?E',A // Ord (E', U(A))

car pour toute application continue

Id(E) u // A

on a :

h* (?E,A(u)) = h^* (u|E) = u o h

et

?E',A (Id(h)^*(u)) = ?E',A (u o h) = u o h|EF = u o h

Donc h^* o ?E,A = ?E⁰,Ao Id(h)^*.

De même, pour tout opc B, pour toute application continue h : A -? B, le dia_gramme suivant commute.

CPO (Id(E), A) ?E,A //			Ord (E, U(A)) U(h)^*
h*
²²		²

CPO (Id(E), B) ?E,B // Ord (E', U(B))

Donc, Id est un adjoint à droite de U. On note Id a U.

Exemple d'idéaux d'un ensemble ordonné.

Les idéaux de l'ordre (E, =) ci-dessous représenté sont : ö,{a}, {c}, {a, b, c}, {c, d} :

E= b d

_OO

_OO

__????????????????

a

c

nous en déduisons le dia_gramme des idéaux suivant :

Id(E) = {a, b, c} {c, d}

^{ddHHHHHHHHHHH}HH_HHHHHH

{a}

{c}

_[[77DD

_{77 7} 77

77

77
_7
7

7

ö

Qui est bien celui d'un opc. C'est même un opc minoré.

ChaPItre DeUx

SYSTÈME DE TRANSITION SUR

LA CATÉGORIE CPO

Dans ce chapitre, nous proposons une définition de s_ystème de transition à support un opc. Nous définissons les bissimulations entre ces s_ystèmes et nous démontrons _quel_ques unes de leurs propriétés.