Systeme de transition sur les ordre Partiellement complet

S_ystèmes de transition sur les ordres partiels

complets

DONGHO Joseph

Janvier 2006

Dédicaces

Je dédie ce travail à :

· Mon père FOMDOCK Joseph _qui m'a toujours procuré ce dont j'avais besoin pour mon épanouissement. Que cette oeuvre soit une exhortation à ses voeux.

· Ma mère NGUIMMO Jeanne pour sa vitamine de croissance. Merci Maman.

· A mon tuteur REMBOU ZEUFACK Célestin _que je considère beaucoup.

· A ma défunte _grand-mère ZEMFACK Cecile. Que ceci soit un début d'accomplissement de tes rêves.

· A mon oncle et plus _que père TELEZEM Jean Marie pour toute sa débauche d'éner_gie à la réussite de ce travail. Que ce mémoire soit pour lui le fruit de ma promesse.

Remerciements

Mes remerciements vont tout droit :

· A l'endroit du Dr. NKUIMI JUGNIA Célestin pour avoir _guidé mes premiers pas dans la recherche. Que cette oeuvre soit pour lui le _ga_ge de toute ma reconnaissance, afin _que l'élève sache _qui est le maître et le vénère.

· A tous mes ensei_gnants du supérieur, pour les connaissances de toute nature dont ils m'ont fait _grâce. Particulièrement, je dit un _grand merci à mon ensei_gnant de lo_gi_que Dr. Marcel TONGA dont la ri_gueur et la flexibilité dans les principes m'ont donné un amour illimité de l'al_gèbre.

· Je remercie tous les membres de l'ERAL pour l'instruction _qu'ils m'ont donnée à travers les séminaires et Ateliers. Que Dieu prête lon_gue vie à cette modeste é_quipe. Plus particulièrement, je remercie mes aînés de l'option caté_gorie à savoir Kiampi, Mavou_ggou, Tchou_gon N_guefack, Ko_guep, Fokou, Tchoupo.

· A mon ami de toutes les peines et joies MBIAKOP Hilaire Geor_ges.

· A mes frères et soeurs FOUELEFACK Mitterine . MANETEUG Mitterine, NOUMOGNI Robert, M TENANGUE Gu_y, Mme TENANGUE Laure, DONKENG Pascal, TEMGOUA Solan_ge, LEMOGO David pour _qui je ne re_grette pas la fraternité.

· A ma modeste famille Annie Noel DONFACK, DONGHO Berkoff Junior, FUMDOCK TSAFACK Veudris U, MAGIMTSA Maïva

· A mon cousin et père Dr. TEMGOUA Abert Pascal, pour m'avoir accueilli à Yaoundé et pour m'avoir assisté dans toutes mes entreprises. Je lui exprime ici toute ma _gratitude ainsi _qu'à sa modeste famille _que je respecte beaucoup.

· A mes camarades de promotion en l'occurrence , TABET, PELAP, DIEKOUAM, TCHOUKOUEGNO, NGONDIEP, MENOUKEU, ONGADOA Christian à _qui j'exprime un _grand soula_gement. Qu'ils trouvent en ce mémoire le fruit des nuits blanches passées dans les amphis et laboratoires.

Que tous ceux _qui ont contribué de loin ou de près à la réussite de ce chef d'oeuvre acceptent mes sincères remerciements.

iii

Résumé

Considérons un ordre A dont toute partie diri_gée admet un supremum. Un tel ordre est appelé opc. La collection des parties de A filtrantes et inaccessibles par suprema diri_gés induit sur A une structure topolo_gi_que appelée topolo_gie de Scott. Les applications continues au sens topolo_gi_que entre opc^s sont essentiellement celles _qui préservent les supréma diri_gés. En informati_que théori_que, un s_ystème de transition est un couple ( ) formé d'un

S, S //

ensemble S et d'un sous ensemble S // de S X S. Jus_qu'à présent, cette théorie n'est

définie _que sur la caté_gorie ENS. Nous l'introduisons sur la caté_gorie CPO dont les objets
sont des ensembles enrichis d'une structure ordonnée. Par analo_gie au cas ensembliste, un

( )

s_ystème de transition sur la caté_gorie CPO est simplement un couple A, A // formé

d'un opc A et d'un sous opc A // de A X A.

Nous montrons _que bon nombre de propriétés des s_ystèmes de transition ensemblistes restent vraies dans le cas des s_ystèmes de transition sur les opc^s.

Table des matières

Dédicaces i

Remerciements ii

Résumé iii

Introduction 1

1 ETUDEDELA CATÉGORIE CPO 2

1.1 Construction de la caté_gorie CPO. 2

1.1.1 Quel_ques définitions de bases 2

1.1.2 Quel_ques exemples d'opc⁵ 3

1.1.3 Morphismes d'opc⁵ . 4

1.1.4 Topolo_gie de Scott 5

1.1.5 Caractérisation des monos et épis dans la caté_gorie CPO. 8

1.2 Produits d'opc⁵ . 10

1.3 Exponentiation dans CPO 16

1.3.1 Graphe d'un homomorphisme d'opc⁵ 18

1.4 Coproduit des opc⁵ 20

1.4.1 Exemples de coproduits 21

1.5 Complétion d'un ensemble ordonné en un opc 22

2 SYSTÈME DE TRANSITION SUR LA CATÉGORIE CPO 26

2.1 Construction de la caté_gorie des s_ystèmes de transition sur CPO. 26

2.1.1 Quel_ques définitions de base. 26

2.1.2 Quel_ques propriétés des s_ystèmes de transition. 27

2.1.3 Quel_ques exemples et contre exemples de s_ystèmes de transition. 29

2.1.4 Morphismes de s_ystèmes de transition. 29

2.1.5 Quel_ques propriétés des morphismes de s_ystèmes de transition. . 30

2.1.6 Quel_ques exemples de morphismes de s_ystèmes de transition. . . 31

2.2 Notion de bissimulation entre s_ystèmes de transition sur CPO 34

2.2.1 Quel_ques exemples de bissimulations 34

2.2.2 Construction de _quel_ques bissimulations . 36

2.3 S_ystème de transition et coal_gèbre d'un endofoncteur de CPO 37

2.3.1 Coal_gèbre 37

2.3.2 S_ystème de transition comme coal_gèbre d'un foncteur 38

Biblio_graphie 40