TPs Calcul Numérique

République Algérienne Démocratique Et Populaire

Centre Universitaire Larbi Ben M 'hidi

Oum El Bouaghi

Institut Des Sciences Exactes

Département D'Informatique

Module : Calcul Numérique

Année Universitaire 2007+2008

TPs Calcul Numérique

Ecrit En Langage C++

3ème Année Ingénieurs

Encadré Par L'enseignant : A.Boukrouma

Réalisé Par L'étudiant : Merazga Salim

Préface

Ce support contient un ensemble de méthodes d'Analyse Numérique programmées en langage C++.

Les programmes sont testés sur des exemples théoriques et ont donné des résultats corrects.

Il serait important qu'ils soient testés avec des valeurs expérimentales afin de mieux approcher la convergence et par là optimiser le temps de programmation.

Il est nécéssaire de tenir compte que les introductions aux méthodes sont restreintes et manquent beaucoup de détailles. Pour plusieurs de détaille il faut revenir aux livres d'Analyse Numérique.

Table De Matière

I - Résolution De Systèmes D'équations Linéaires page 04

I.1 - Méthode De Gauss Avec Pivot Total page 06

I.2 - Méthode De Gauss - Jordan page 10

(Utilisée pour calculer l'inverse d'une matrice)

I.3 - Méthode De Gauss - Seidel page 14

II - Interpolation D'une Fonction Par Un Polynôme page 17

II.1 - Méthode De Newton page 18

II.2 - Méthode De Lagrange page 20

III - Résolution D'une Equation Non Linéaire De Type f(x) = 0

page 22

III.1 - Méthode De Newton - Rap hson page 22

III.2 - Accélérateur D'Aïtken page 24

IV - Analyse De Données Expérimentales page 26

- Méthode Linéaire Des Moindres Carrés

V - Calcul Approché Des Eléments Propres (valeurs et vecteurs propres) page 31
- Méthode De La Puissance Itérée

VI - Calcul Approché Des Coefficients D 'un Polynôme de Degré n

Page 35

VI. 1 - Méthode De Krylov page 36

VI.2 - Méthode De Sauriau - Faddev page 41

VII - Recherche De La Valeur Approchée De La Plus Grande Racine

D 'un Polynôme de Degré n page 44

VII. 1 - Méthode De Graeffe page 44

VII.2 - Méthode De Bernoulli page 47

I - Résolution De Systèmes D'équations Linéaires

En mathématique et plus exactement en algèbre linéaire un système d'équation linéaire est un ensemble d'équation linéaire, par exemple

13xi + 5x₂ -- x₃ = 2

2

5 x_i + ₃ x2 + x3 = 0

x_i + 4x2 -- 9x3 = 1

Le problème qui se pose ici est comment peut-on trouver x1, x2 et x3 qui satisfassent les trois équations simultanément ?

Pour arriver à ce but on a plusieurs méthodes, parmi ces méthodes on a la méthode de Gauss avec pivot total, l'élimination de Gauss - Jordan et la méthode itérative de Gauss - Seidel.

Généralement un système linéaire peut être écrit sous la forme suivante :

aiixi + ai2x2 +
·
·
· + ainxn = b_i

Tel que

x j ; j : 1, n sont les inconnus

aij ; i : 1, m ; j : 1 ; n sont les coefficients

du système

{

anxi + a22x2 +
·
·
· + a2nxn = b₂

ami ^xi+_am2 x2+

·
·
· + amnxn = bm

Ou sous la forme matricielle AX = B où

aii ai2
·
·
· ain x_i b_i

a~i a22
·
·
· a2n

A =
·
· .X=^x
·²et B = b2 ~

ami am2
·
·
· amn x_n b_m

Remarque : toutes les méthodes sont appliquées sur des matrices carrées (nombre de ligne = nombre de colonne) ,sinon il faut la rendre carrée par la multiplication du système au transposé de la matrice elle-même

Supposons A une matrice non-carrée de n lignes et m colonnes (de type (n,m)) et le système linéaire AX = B ;alors on va faire le produit matricielle comme suit : A^t A X = A^t B

Après le produit on obtient le nouveau systeme linéaire W X = V tel que : W = A^t A (matrice carrée de type (m, m) (m lignes et m colonnes))

V = A^t B (nouveau verteur de m composantes)

La matrice A^t est obtenue par l'iversion des lignes de la matrice A en des colonnes.