Etude des propriétés optiques dans l'infrarouge lointain des hétérostructures à base de semi conducteurs Gaas/ Algaas modèle de la fonction diélectrique

II-2). Analyse de Lorentz:

Pour définir la fonction diélectrique dans un semi-conducteur par le modèle de Lorentz, nous allons considérer dans notre échantillon que les électrons ne sont pas mobiles, mais restent liés à leurs atomes [II-1] [II-3]. C~est le mouvement des atomes les uns par rapport aux autres qui va influencer la polarisabilité de la matière, et donc la fonction diélectrique.

Dans notre échantillon, le monocristal est considéré comme un ensemble d~oscillateurs harmoniques de masse mi, où la déformation xi produit une force de rappel i x _i et où la

2

m i

vitesse s~accompagne d~une force de frottement [II-1] :

m g

i i dt

dx_i

gi : coefficient de frottement. i g i : Constante d~amortissement.

i

mi : masse réduite de l~oscillateur.

La fonction diélectrique se trouve en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un ion ayant un mouvement harmonique de pulsation _i , et en reliant ce mouvement à la polarisabilité

de la matière [II-1][II-2]:

d x ^2 dx i i 2 m + m g + m x eE = i 2 i i i i i dt dt

(II-2)

j t

Or, on suppose que : E E e

= et nous cherchons une solution de la forme :

0

j t

x_i x e

= 0

Dont la solution sera sous la forme:

xi	eE	(II-3)
	2 2 m ( - + ) jm i i i i g

En introduisant la contribution des oscillateurs du type i à la polarisation p i = N_i x _i e. Et d~après la relation entre P et E, on trouve le constant diélectrique relatif R :

P = å p i = e₀( E_R -1)E

i

å p i å N _i x _ie

Þ

R

1 + lⁱ = l1 +l

0 EE

0

1 +å

N _ie²

(II-4)

R i 2m i E- l² + lj og_i)

0

Ni :nombre de paires d'ions de type i. e : charge électrique de l'ion.

: fréquence d'excitation dans l'infrarouge. i :fréquence d'ions de type i.

En revenant à l'expression générale de _R (formule (II.1)) : On écrit :

N e 2 2 2 2

æ - N e

ö æ g ö

i i i i

= +

1 å ÷ - j å

R ÷

i 2 2 2 2 2 i 2 2 2 2 2

è m ( - ) + g

0 ø è m ( - ) + g

i i i i 0 i i ø

Tel que :

Re( ^ER ) = E ' = 1 N i e2 w2 -o2

m_i g0 ( 0..)² 1- 032 ₎2 +a2 gi2 (II-5)

Im( E_R ) = " = å N _i e ² gi

(II-6) i

m i g 0 ( _0i 2 - _r0 2 ₎2 +a2 gi2

La figure.II.1. ci-dessous représente la modélisation de Lorentz de la fonction diélectrique (partie réelle et partie imaginaire) pour le composé semi-conducteur GaAs [II-3] :

Figure.II.1. Fonction diélectrique de GaAs, obtenu par le modèle de Lorentz [II-8]

D~après cette figure, on observe que la fonction diélectrique du composé GaAs ne varie sensiblement avec la fréquence qu~à la zone qui appartient à l~infrarouge lointain entre 20 et 50 microns [II-3], en effet : la masse des deux ions étant grande, se traduit que la fréquence propre _i se situera dans l~infrarouge lointain, et donc le couplage avec la fréquence excitateur sera dans l~infrarouge lointain [II-4]. Ceci montre que la réflectivité optique de ce composé (GaAs) sera dans l~infrarouge lointain.

forcerappel . Tel que : =
ⁱ masse réduit

.

Nous considérons maintenant, qu~il y a un seul oscillateur actif en infrarouge lointain de fréquence i = 1 (couplage entre un seul oscillateur de fréquence propre ₁ et le rayonnement excitateur de fréquence ), et nous isolons donc de la fonction diélectrique relative _R sa contribution décrit par la fréquence ₁ . Dont l~expression devient sous la forme [II-1][II-2]:

R ( 1) ( 1)

= i 1 + _L i = (II-7)

Avec :

N e ²

i

= +

1 å (II-8)

2 2

i 11 m i 0

( - + j g )

i i

appelé la constante diélectrique infinie qui représente la contribution à la polarisation des oscillateurs de fréquences élevées (autres les oscillateurs de type ₁ ).

Et :

N e 1

2

(II-9)

L

2 2

m - +

1 0 ( 1 j g ₁ )

représente la contribution à la polarisation de l~oscillateur actif en infrarouge lointain (l~oscillateur de type ₁ ).

N e

1

2 2

m 1 0 ( ₁ - + j g₁)

2

= +

R

(II-10)

Dont, la normalisation de _R par rapport à ₁ nous donne l~expression suivant :

W - W
² j

- W + W

2 2 2 2

(1 )

R 4 p

1

avec :	W
		1

qui montre que l~oscillateur de Lorentz se caractérise par trois paramètres :

N 1e 2	4 p	: (p est la force d'oscillateur).
2 m1 0 1

1 : Fréquence angulaire.

g1 : Constante d'amortissement.

1

Cependant, ces simples équations de la fonction diélectrique obtenues en dessus (formule : (II-5)(II-6)(II-10)) permettent d'expliquer au niveau microscopique l'évolution de la réflectivité optique et sa dépendance en fonction des différents paramètres ( ₁ , , & ). Dont l'intérêt

pratique de cette fonction diélectrique est le calcul de la partie réelle n et de la partie
imaginaire k de l'indice réfraction complexe n = n - I jk en fonction de fréquence à partir les

relations suivantes ((II-11)(II-12)) :

'' = n = ( n - jk )

2 2

R = ' - j

Þ n ² - k 2 = ' ; 2 nk =''

D'où :

1

rt 1 2

æ ' ' ''

( )

2 2 2 ö

+ + ÷

n= 2 ÷

è ø

1 2 ö1¹²

(II-12)

(II-1 1) et k =l p^{i I} I ÷

è 2

æ -

t

' + ' 2 +

e

''2 ø

avec: n : est l'indice de réfraction (permet de décrire macroscopiquement
l'interaction entre une onde électromagnétique et la matière).

k : est l'indice d'atténuation de l'onde, autrement dit : il décrit l'absorption du milieu définit par :

2 k = ^w " c nc

Nous sommes donc en mesure de calculer les constantes optiques n et k, et enfin le pouvoir réflecteur de la réflexion R, et la transmission T. Par exemple à l'interface air/matériau :

R

( n - 1)² +k²

( n +1)

(II-13) ; T = 4n (II-14) => R+T=1

² + lk² ( n + 1)² + k2

II-2-1). Explications des phénomènes optiques par le modèle de la fonction diélectrique (Modèle de Lorentz) :

Comme nous l'avons déjà entrevu, les propriétés optiques (réflectivités) d'un semi-conducteur sont liées à l'indice de réfraction complexe, et par conséquent sont liés à la fonction diélectrique complexe (formule (II-11) et (II-12)). Cependant, dans la première partie de ce paragraphe nous avons déterminé la fonction diélectrique (formule (II-10)) par le modèle de Lorentz (la fonction diélectrique est décrite par la vibration des phonons optique).

R

N ₁e²

2 m1 ^E0 1 1- ⁶² +j g₁)

Dont la détermination et la compréhension des facteurs gouvernants cette fonction diélectrique (n, k, y , &) sera l'objectif de cette partie, tels que nous allons présenter les phénomènes physiques entrent en jeu lorsqu'un semi-conducteur (GaAs) soumis à une excitation de champ électrique E (statique ou dynamique).

a). 1er cas : (champ électrique statique ; champ électrique dynamique de fréquence très faible) .

Dans le cas où le champ électrique de l'onde excitateur est statique, la fonction diélectrique est considérée comme constante réelle ( R = Cste = S ), en effet [II-1][II-2] :

tt> Pour E=E0 (constant). D'après l~équation de mouvement d'un oscillateur harmonique (ionique), on trouve :

eE₀

2

x

i

m

D'où :

(II-15)

p=

m

e ²E₀

2 i

Et, alors :

+

R

N e2

₂ Cste réelle =E _S

m1 0 1

D'où :

N e ²

1

= + (II-16)

S 2

m 1 0 1

tt> Autrement, pour E variable et de fréquence très faible ( << 1 ). En partant de

l'expression de la fonction diélectrique (formule (II-10)), on arrive à une constante diélectrique statique, en effet [II-1][II-2] :

N e 1	2

m₁ e₀ ( ,31 ² 1- 03 ² +j g₁)

Pour :

R

2

2

= 1 +_lå N _ie

N ₁e

L

et

Où : co= co₁ Þ

2 m1 0 1

Alors :

N ₁e²

= R 2 S

m1 0 1

C'est-à-dire, la constante diélectrique relative R devient statique (formule (II-16)). On déduit alors que la fonction diélectrique où le champ électrique E est statique a le même comportement ( R = Cste réelle) que le cas où le champ E est dynamique de fréquence très faible ( << ₁).

Cependant, la constante diélectrique réelle (c-à-d : ne contient pas de terme y qui décrit l'amortissement et par conséquent les pertes) revient à dire que la polarisation P résulte de la contribution des oscillateurs du semi-conducteur suivait instantanément les éventuels changements de E (s'il est dynamique), autrement dit que : l'oscillateur i se vibre avec la même fréquence du champ E (le champ E et la polarisation P sont en phase) [II-2][II-5].