Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Abderrahmane Mira - Béjala
Faculté des Sciences Exactes
Département de Mathématiques

Mémoire

En vue de l'obtention du Diplôme de Master en Mathématiques
Option: Analyse et Probabilités

THEME

Résolution de l'équation de Schrödinger linéaire
et
l'ét ude de l'équation non-linéaire avec une non-linéarité compacte

Présenté par: Melle. Thiziri CHERGUI

Soutenu le 05/06/2012 Devant le jury:

Mr.	Abdelnasser DAHMANI	Professeur	U. Bejaia	Président
M^me.	Saadia TAS	Professeur	U. Bejaia	Promotrice
Mr.	Fatah BOUHMILA	Maître de Conférences (A)	U. Bejaia	Examinateur
M^me.	Halima BECHIR	Maître-Assistant (A)	U. Bejaia	Examinatrice



Remerciements

Je remercie Dieu de m'avoir donné la force et la patience afin de parvenir a terminer ce mémoire.

J'exprime toute ma gratitude a M^m S. TAS pour son encadrement, sa disponibilité et ses précieuses remarques. Je lui suis redevable a bien des égards, pour le temps qu'elle m'a consacrée et les nombreux conseils dont elle m'a fait bénéficier, comme pour la confiance et la liberté qu'elle m'a accordées au cours de ces trois mois.

Je remercie Monsieur A. DAHMANI pour l'honneur qu'il ma fait en acceptant de présider le jury de soutenance et de juger ce travail. Je tiens également a le remercier pour son aide précieuse durant mon cursus.

Je remercie Monsieur F. BOUHMILA et M^m H. BECHIR qui ont accepté d'examiner cet humble travail.

Je remercie tous les membres du Département de Mathématiques pour la trés bonne compréhension qui régne entre nous. Je pense tout particuliérement a M. DAHMANI, M. BOUHMILA, M^me. TAS, M^me. BECHIR, M. BERBOUCHA, M. MEHIDI, M. AKROUNE, M^me. et M. BOURAINE, M. KANOUNE, Mme. TALBI et M. BENMEZIANE.

La vie estudiantine est parsemée d'embilches, de problémes techniques, de livres et d'articles introuvables, un grand merci a M.B. KERAI et M.L. BLIDI de les avoir résolus.

Bien sulr, je ne saurai oublier de remercier vivement mes parents qui m'ont toujours soutenue et encouragée.



Dédicaces

Je dédie ce modeste travail
A ma mère qui m'a entouré de sa sollicitude
et de son soutien moral.
A mon père qui m'a encouragé par ses conseils.
A mes seurs et mes frères pour leur soutien moral sans faille
et leurs précieux conseils.
A toute ma grande famille.
A ma très chère nièce Maelys.
A mes amies, en particulier Sonia, Radia, Katia, Farida, Lehna, LamIa, Howa,
Meriem, Leila et Chafia.
A tous mes camarades de promotion avec lesquels j'ai partagé ces années.

Résolution de l'équation de Schrödinger

linéaire et l'étude de l'équation non-linéaire

avec une non-linéarité compacte

Résumé

Ce travail est consacré a l'étude de l'équation de Schrodinger linéaire et non-linéaire. Dans un premier temps, des notions de base et des résultats préliminaires sont énoncés. Le second chapitre concerne l'étude mathématique de l'équation de Schrodinger linéaire. L'existence et l'unicité d'une solution ainsi que les propriétés de dispersion et de régularité de cette solution sont analysées. La dernière partie est dédiée a l'étude de l'équation de Schrodinger non-linéaire

i

8w

+ w + V (x) jwj^p~1 w = 0, w = w(t_; x) : I ~ R^N --p R_; N ~ 2 (NLS)

@t

On p > 1, V : R^N \ {O} --p et I c est un intervalle. Le coefficient V fait l'objet

de diverses hypothèses. En particulier, il est toujours supposé que V (x) --p 0 lorsque jxj --p 00.

La recherche des solutions sous la forme d'ondes stationnaires ço(t, x) = e^i~tu(x) conduit naturellement a l'équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) uj^p~1 u = 0, u : J^N --p 1I, N ~ 2 (EA)

Les deux principaux objectifs pour l'équation non-linéaire sont

(1) Etablir des résultats d'existence, de régularité et d'unicité pour (E).

(2) Discuter la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (NLS) correspondant aux solutions trouvées en (1).

Mots-clés: Equation de Schrodinger linéaire. Equation de Schrodinger non-linéaire. Equations elliptiques semi-linéaire.

Table des matières

Introduction générale 1

1 Notions de base 6

1.1 Résultats préliminaires 6

1 . 1 . 1 Inégalité de Holder 6

1 . 1 . 2 Rappels sur les espaces de Sobolev 7

1 . 1 . 3 Estimations utiles .... 9

1 . 1 .4 Convergence faible 1 0

1 . 1 . 5 Quelques opérateurs continus 1 2

1 . 2 Quelques propriétés de la transformée de Fourier 1 2

1 . 2 . 1 Le produit de convolution 1 3

1 . 3 Rappels sur le calcul différentiel 1 4

1 . 3 . 1 Différentielle au sens de Fréchet 1 4

1 . 3 . 2 Dérivée directionnelle 1 4

1 . 3 . 3 Différentielle au sens de Gâteaux 1 5

1 . 3 .4 Points critiques 1 6

1 . 3 . 5 Continuité et différentiabilité de quelques opérateurs 1 6

1 .4 Multiplicateurs de Lagrange 1 7

1 . 5 Fonctionnelles minorées 1 8

1 . 6 La symétrisation de Schwarz 1 9

1 . 6 . 1 Les fonctions a symétrie sphérique 1 9

1 . 6 . 2 Le réarrangement décroissant 20

Table des matières

1.7 Variétés différentielles ............................2 1

1 . 7. 1 Homéomorphisme ............................2 1

1 . 7. 2 Difféomorphismes et isomorphismes ............ ....2 1

1 . 7. 3 Variété topologique ...........................2 2

1 . 7.4 Sous variétés ..............................2 2

1 . 7. 5 Variété de Nehari ............................23

2 L'équation de Schrödinger linéaire 24

2.1 Introduction 24

2 . 2 Le problème de Cauchy 24

2 . 2 . 1 Donnée dans 8^'(i^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 . 2 . 2 Donnée dans 8(1^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 . 2 . 3 Donnée dans H^s(R^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 . 3 Propriétés des solutions 3 1

2 . 3 . 1 Forme de la solution 3 1

2 . 3 . 2 Dispersion . 32

2 . 3 . 3 Vitesse infinie de propagation 33

3 L'équation de Schrödinger non-linéaire avec une non linéarité compacte 35

3.1 Introduction 35

3 . 2 Etats fondamentaux 36

3 . 2 . 1 Existence 37

3 . 2 . 2 Régularité 46

3 . 2 . 3 Unicité 50

3 . 3 Stabilité orbitale des ondes stationnaires 5 5

3 . 3 . 1 Le problème de Cauchy 56

Conclusion 63

Bibliographie 64

Introduction générale

Les équations aux dérivées partielles permettent d'aborder d'un point de vue mathématique des phénomènes observés, par exemple dans les domaines de la physique et de la chimie. Les situations dépendant du temps se traduisent plus particulièrement par des équations d'évolution tenant compte d'éventuelles interactions entre objets et événements.

L'équation de Schrodinger est l'équation de base de la mécanique quantique décrivant l'évolution dans le temps du vecteur d'état ( ) d'un système quantique arbitraire. Elle est équivalente a un problème aux valeurs propres dans la théorie des espaces de Hilbert comme Von Neumann l'a démontré. On la rencontre lors de la description de phénomènes assez variés, que ce soit dans l'optique quantique (laser), la physique atomique (supraconductivité, condensation de Bose-Einstein), la technologie électronique (semi-conducteurs, transistors), la physique des plasmas, l'astrophysique, la microscopie électronique, la chimie ou encore la biologie.

L'équation de Schrodinger a été établie sous sa forme primitive en 1926 par Erwin Schrodinger et a été généralisée par Paul Dirac quelques années après. Initialement, elle reprenait les idées des mathématiciens Hamilton et Félix Klein pour prolonger la théorie des ondes de matière de De Broglie.

Tout d'abord, Schrodinger considéra le cas particulier d'une onde harmonique de masse n-i, de quantité de mouvement p, de pulsation w, nombre d'onde k, et d'énergie E, qui est associée a une onde plane du type:

W (r, t) = W0ez(kr_u)t)

Puis, en utilisant les relations proposées par De Broglie (E = h w, p = h k on h est la constante de Dirac), on a

W (r, t) = Woe (pr-Et)

i

Il remarqua alors qu'en dérivant l'onde par rapport au temps, il vient :

@ at T (r' t)

-i h

EWoe

;^:t(p r-E h

ET (r, t)

De meme, le gradient de cette fonction d'onde donne :

i

VT (r, t) = pW (r, t)

Nous avons donc, pour toute onde W de cette forme, en tout point et a tout instant :

i h a0

t =

~i hVT = pT

Pour une particule donnée, d'apres la mécanique classique, l'énergie mécanique est donnée par :

E = E, E_p

1

=

2

m v² + V (r)

_p2

=2m #177; V (r)

Cette quantité apparait en fait plus naturellement dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique: la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique est appelée hamiltonien, qui s'identifie ici a l'énergie mécanique totale. En multipliant par la fonction d'onde, il vient que

_P2

2m

T+VT=ET

Enfin, en utilisant les résultats précédents, nous obtenons

(i hV)^2 2m

T+VT=ih @T @t

Donc on peut écrire l'équation de Schrodinger sous l'une ou l'autre des deux formulations suivantes :

Pour toute fonction d'onde W

_h2

2m

W (r, t) + V (r) W (r, t) = i _haW (r, t)

at

ou bien

HW = EW

on la quantité H est appelée "opérateur hamiltonien" ou plus souvent "hamiltonien".

Notre objectif est de donner quelques résultats mathématiques de base concernant l'équation de Schrodinger issue de la physique quantique et dont la solution est appelée fonction d'onde. Elle se présente donc sous la forme suivante :

iatu (t, x) + LIu (t, x) + f (t, x, u (t, x)) = 0, u = u(t, x) : I x R^N , R

La fonction d'onde u décrit ici l'état d'une particule quantique, atu est sa dérivée en temps, est l'opérateur de Laplace. Le terme f(u) modélise l'ensemble des influences
subies par la particule.

Rappelons tout d'abord que l'équation de Schrodinger est un postulat. Elle ne découle d'aucune démonstration formelle ni d'aucun axiome. Schrodinger a postulé cette équation pour représenter les états d'un système quantique. Elle a été confrontée à l'expérience et celle-ci a montré que, jusqu'à présent, on pouvait déduire toutes les données expérimentales de l'équation.

Les physiciens font aussi un autre postulat : la fonction d'onde d'un système, contient toute l'information que l'on peut connaitre du système. Il n'existe pas d'autre moyen d'aborder les propriétés de ce système.

Le mémoire est organisé de la manière suivante :

Le premier chapitre est réservé a quelques rappels d'analyse fonctionnelle et de calcul différentiel introduits pour faciliter la compréhension des sections ultérieures (Points critiques, multiplicateurs de Lagrange, fonctionnelles minorées, la symétrisation de Schwarz, les variétés différentielles).

Dans le chapitre 2, nous nous intéressons a la résolution de l'équation de Schrodinger linéaire. La propriété principale exposée est la dispersion. Celle-ci est caractérisée par le fait que si l'on n'impose aucune condition au bord, alors les solutions de l'équation ont tendance a s'étaler dans le temps. Pour formaliser cette assertion, nous considérons l'équation de Schrodinger linéaire

₈

<

:

au

at

-- iAu = 0 dans D'(I x Rⁿ) u0 = g

Grace a la transformation de Fourier, nous avons une forme explicite de la solution

1 ut (x) = Ne (47r ItI)^2

-iN 7isgn [F (ei x41: g)1 (2xt)

Alors ut(x) satisfait l'estimation de dispersion suivante

--N

lIutho ⁰ (RN) (47 ItI) ² lIglIL^l(R^N)

Pour l'équation de Schrodinger non-linéaire, nous étudions dans le dernier chapitre quelques aspects de l'équation stationnaire avec une non-linéarité compacte

iow +

Aw V (x)IwI^p-1 w = 0, w = w(t, x) : I x R^N --p R, N > 2 (NLS)

ot

On p > 1, V : R^N\101 --p R et I C R est un intervalle. A désigne le Laplacien par rapport a la variable d'espace x E R^N.

Nous faisons diverses hypotheses sur la puissance p et sur le coefficient V .

Pour assurer l'existence de solutions, nous supposons toujours que p est borné supérieurement par une quantité qui dépend de V .

On suppose de plus que V (x) --p 0 lorsque IxI --p oo, hypothese justifiant le vocable "non linéarité compacte".

Nous nous intéressons spécialement a l'existence et aux propriétés de solutions particulieres de (NLS) qui sont des ondes stationnaires. Celles-ci sont des fonctions de la forme cp(t, x) = e^iAtu(x), ou u définie sur R^N, est a valeurs réelles.

Le probleme de l'existence de solutions stationnaires pour l'équation (NLS) est ramené a celui de l'existence de solutions d'une équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) u ^p1 u = 0, u : J^N ! 1I, N ~ 2 (EA)

Ainsi nous prouvons l'existence pour tout A > 0 d'un état fondamental de (EA). Celui-ci est une solution faible qui minimise la fonctionnelle dont (E) est l'équation d'EulerLagrange, sur la variété de Nehari dans H¹ (IR^N). La méthode de minimisation sous contrainte que nous employons est due a Nehari.

Pour obtenir ce résultat d'existence en dimension N ~ 2, nous formulons des hypothèses assez fortes sur le coefficient V . Nous supposons que V 2 C2 (R^N\ {0}) est une fonction radiale telle que V (r) = V (x) > 0 est décroissante en r > 0 et qu'il existe k 2 (0, 2) tel que x ¹ V (x) est borné sur 1^N. En particulier, V tend vers zéro a l'infini. Nous supposons également que 1 < p < 1 + 42k

_N2 . Nous obtenons alors des solutions

positives, radiales et radialement décroissantes.

La suite du chapitre est consacrée a l'étude de certaines propriétés des états fondamentaux de (EA). Ces solutions sont radiales et nous ferons donc largement recours a des équations différentielles ordinaires. La section qui suit traite de la régularité des états fondamentaux, sous les mêmes hypothèses, le Théorème (3.2.2) résume ces propriétés. Dans l'autre section, nous supposons que V 2 C¹ (R^N\ {0}) et nous faisons de plus l'hypothèse (H4), qui stipule que rV ⁰(r)

V (r) < 0 est une fonction décroissante. Nous prouvons alors, grace au théorème de Yanagida [23], un résultat d'unicité des états fondamentaux de (EA), valable en dimension N ~ 3. La dernière section est consacrée a l'étude de la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (NLS).

Nous terminons notre travail par une conclusion générale.

CHAPITRE1
	Notions de base

Dans ce chapitre, nous avons compilé un certain nombre de définitions, notations, propositions, lemmes et énoncés de théorèmes qui sont utilisés à un moment ou un autre dans ce mémoire.

1.1 Résultats préliminaires

1.1.1 Inégalité de Holder

Soient un ouvert de R^N muni de la mesure de Lebesgue dx et 1 p +oc, on désigne par q l'exposant conjugué de p, c-à-d: p ¹⁺ _q 1= 1.

Proposition 1.1.1 (Im^~egalit^~e de Holder)

Soient f 2 L (~) et g 2 L (a), alors

₈

<>

>:

f.g 2 L¹ (~)

_f

f.g dx MfMLp(c) MgMLq(~)

~

Remarque 1.1.1 Il convient de retenir une conséquence trés utile de l'inégalité de Holder Soient fi, f2, ..., f, des fonctions telles que

1 = + p1

1 + ... + p2

1 < 1 pk

1

fi 2 L^pi (~) , 1 ~ i ~ k avec

p

Alors le produit f = f1f2...fk appartient a Lⁱ (~) et

MfMLp(c) ~ kf¹MLp¹(f) kf2MLp2(c) ... kfkMLpk(c)

En particulier si f 2 L^P (a) n L^q (Q) avec 1 < p < q < oo, alors f 2 LT (a) pour tout p < r < q et on a l'inégalité d'interpolation

1 0 --

I If (n) c I I I 11⁰Lp (n) II f II L¹4) " r = p 1 ~

q (0 < B < 1)

1.1.2 Rappels sur les espaces de Sobolev

Soit S2 c R^N un ouvert et soit p un reel avec 1 < p < +oo.

Definition 1.1.1 On appelle espace de Sobolev d'ordre un et on note W^12P (a) , l'ensemble des fonctions de L^P (a) dont les dérivées partielles premières au sens des distributions sont des fonctions de L^P (a) , c-d-d

u 2 L^P (Q); 9 gl, g2, gN 2 L^P (Q) tels que

gicp dx, Vcp 2 _c(S2), = 1, N

}

uuxi dx = - f

~

_TIT 1;p (~) =

{

f

~

L'espace W^12P (a) est muni de la norme

11 w 1,p0-) =11kL (-) +

N i=i

~ ~ ~ ~ II

ou axi

~ ~ ~~LP(1)

ou parfois de la norme équivalente

Ilull (n) = (n) +

N i=i

~ II ~ ~ ~

ou axi

~ II ~ ~ ~

^PLP (g1))

1 p

Si p = 2 alors W¹;² (Q) = H¹ (Q) est muni de la norme

1

L2 2 (n))

2

N
i=i

ou

~ II ~ ~ ~

= 1Iu11²L²(n) +

~ II ~ ~ ~

axi

et du produit scalaire

lug V)Hin = (u, V)L202) +

XN ( &IL a V

z=1 - z) L2 (n)

49x;' ox
·

Remarque 1.1.2 Nous désignons par W₀ ¹'^P (a) la fermeture de cr (Q) dans W^I-P (a) .

En particulier pour p = 2,

_w0 1_;2 (-2) _=H10 (-2)

la fermeture de C'° (Q) dans H¹ (a) , est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de H¹ (Q).

Voici maintenant quelques résultats fondamentaux concernant les espaces de Sobolev, il s'agit des théorèmes d'injection de Sobolev qui sont très utiles dans les applications. Définition 1.1.2 Soient E et F deux espaces de Banach. On dit que E s'injecte con-

tinüment dans F et on note E ,! F si les conditions suivantes sont vérifiées (i)E est un sous-espace de F.

(ii) C > 0 telle que

kuM_F ~ C MuM_E , pour tout u 2 E

Autrement dit, toute suite convergente dans E est convergente dans F.

Définition 1.1.3 Soient E et F deux espaces de Banach. On dit que l'injection de E dans F est compacte et on note E ,!,! F si

(i)E s'injecte continüment dans F.

(ii)L'application I : E ~! F est compacte.

Autrement dit, toute suite bornée dans E est relativement compacte dans F. Théorème 1.1.1 (Sobolev, Gagliardo, Niremberg, Voir[5], page 162)

Soit 1 < p < N, on pose p^* = Np

N~p (p^* est dit "exposant critique de Sobolev" de p),

alors

_W1,P (RN) _{C L}°^* (_RN)

et il existe une constante C > 0, telle que

kuM_Lp* ~ C kVuM_Lp , Vu 2 _W1_' (_RN)

Corollaire 1.1.1 Soit 1 < p < N. Alors

_W1_' (RN) C L (R^N) , Vq 2 [p, p^*]

avec injection continue.

1.1. Résultats préliminaires

1.1.3 Estimations utiles

Lemme 1.1.1 Soit k 2 (0, 2) et 1 < p < 1 + 42k

_N2 pour N > 2, alors

]c > 0 telle que

I 1Z1 1X1^-k 1211^19-1 -- 171119-11ICI I I dx< cfllz Our -- Ivr^-1)11Lo 11(PM k~kL~

RN

~

+ ~z (Iur^-1-- Ivr^-1)1La IIPIILT MIL^T} (A.¹)

Pour tout z 2 (R^N) et u,v,c,a, 2 H¹ (R^N), oit -- 1)0 =
·-y = q 2 ~N(p+1)

Nk ; 2^*) et

(p -- 1)o^- = T p +1.

En particulier, il existe D > 0 tel que

I RN	IzI jxj^~k14^9-1 140111 dx < DIIzIILOO 17kp~1 H^1(R^N) 141H^1(R^N) 10H1(RN) (A.2)

Pour tout z 2 (R^N) et u,c,a, c 2 1/¹ (R^N) :

Demonstration. L'inégalité de Holder avec quatre exposants donne

I 13(0,1)

1Z1 1X1^-k HT/I^P-1 -- 17)1^19-11(p111 dx <

8 <> Z :> 13(0,1)

jxj^~k~ dx

9 >= ;>

1 a

11z (171119-1-^1711-1)ILO 1141,7 k~kL~

On et ry sont choisis tels que ¹ ~+ 1 ~+ ~ 2 = 1, on a alors

1

= 1 -

0

0q -- q -- 20

=

0q

~(q -- 2) _--(P-- 1)0
Oq

q --(P+1) = q

1
a

~

2
~



D'on a = q

q-(p+1)'

On a

8 <> Z :> 13(0,1)

jxj^~k~dx

9 >= ;>

1 ~

est fini si et seulement si N -- ka > 0, or

k q N (p + 1)

N ~ k~ > 0 () N > q ~ (p + 1) () N [q ~ (p + 1)] > q k () q > N -- k

D'apres Phypothese on a q 2 (NN-k ⁱ⁾ ) ^2*) '

Donc, ] K > 0 tel que,

I 1Z1 1X1^-k 1711^19-1 -- 1V1^1-111(1 11 dx < K 11.z (1u1^9-1 -- 1v1^9-1)1₁0 Il'Il₁₇ Il~Il_L7

13(0,1)

D'autre part, en utilisant l'inégalité de Holder avec trois exposants, il vient

I {xER^,,1x1>1}

1Z1 1X1^-k 1u1^9-1 -- 1V1^1-1~1(1 11 dx <Ilz ~1u1^p-1 -- 1v1p-1) La Il'IlL, Il~IlL,



On 0 ", r E (2, 2^*) sont choisis comme dans l'énoncé. Il suf fit de poser c = max {K, 1} pour obtenir (A1) .

Pour (A2) , il suffit de poser v = 0 dans (A1) et d'utiliser les inégalités de Sobolev.

1.1.4 Convergence faible

Dans les applications, il est rare que l'on puisse montrer qu'une suite converge en exhibant sa limite. Si l'on parvient a démontrer que la suite appartient a un compact, alors l'existence d'une valeur d'adhérence est assurée, ce qui est souvent une étape fondamentale pour résoudre des problèmes d'analyse. En dimension infinie, la topologie de la norme est trop forte en ce sens qu'elle ne fournit que peu d'ensembles compacts. Nous allons dès lors affaiblir la notion de convergence, ou de manière équivalente munir l'espace d'une topologie plus grossière, pour augmenter le nombre d'espaces compacts. Ce but sera atteint grace a la notion de convergence faible que nous allons introduire dans cette section.

Definition 1.1.4 Soient E un espace de Banach, (x_n)_fEN une suite d'elements de E et x E E.

On dit que (x_n)_nEN converge faiblement vers x dans E si

VI E E^',(f,xn)E^,E --> (i,x)E,E quand n --> cc

On note x_n--^, x.

Proposition 1.1.2 Soit (x_n)_nEN une suite de E. On a

(i)Si x_n --p x fortement alors x_n --, x faiblement.

(ii)Si x_n --
· x faiblement alors 114 < lim inf 11xmll
·

Demonstration.

(i)On suppose que x_n --p x c.a.d 11x_n -- x11 --p 0 lorsque n --p oo. Soit f 2 E^', on a 1(i, xn) -- (f,x)I=1(f,xn-- x)1 < 11f1111xn --x11

Or 11xn --x11 --p 0 et f 2 E^' implique 11/11 < oo, donc

1(i, xn) -- (f,x)I --p0 lorsque n --> 1

(ii)Si x_n --, x il est équivalent a (f, x_n)--p (f, x) implique la suite ((f, x_n))_n est convergente.

Donc la suite ((f, x_n))_n est bornée. Ainsi sup 1(1,xn)I < 00.

nEN

On pose T_n : E' --> R; f 1--> (f, xn) , on a T_n est linéaire continue,

de plus 1Tn1E' = sup {fEodifii<i}

l(f,xn>1 = 11xmll

D'apres ce qui précede on a sup 1T_n (f)1 <00.

nEN

En utilisant le théoreme de Banach-Steinhaus (Voir [5]), on a 9 c > 0 tel que

1⁷¹7/(i)1 c II/II

Donc, ]c > 0 telle que Vn 2 N, V f 2 E^'

V, xn)1 II/II 11xmll

lim inf n-->	l(f,xn)I < lim n-->	inf II/II 11xmll
lim inf n-->	1(f, xn)I II/II lim n!1		inf 11xn11
1(f, x)I II/II lim n!1			inf 11xn11

sup l(f,x)I < lim inf 11x_n11

{fEE',Ilfil<i} n-->

Par conséquent

kxk < uim inf kx_nk

fl-400



1.1.5 Quelques opérateurs continus

Dans l'étude de nombreuses équations aux dérivées partielles nous aurons a considérer des opérateurs locaux définis par des fonctions de dans , appelés parfois opérateurs de Nemitskii ou encore opérateurs de superposition.

Définition 1.1.5 Soit une fonction

f : x R -- 1I; (x,t) F-- f (x,t)

On appelle opérateur de Nemitskii associé a f l'application N qui a une fonction mesurable u définie sur associe la fonction Nu définie sur par

Nu(x) = f (x,u(x))

Définition 1.1.6 Soit un ouvert de IIl^N. Nous dirons qu'une fonction f : x --

1; (x, t) F-- f (x, t) est mesurable en x, continue en t, ou encore une fonction de Carathéodory si la condition suivante est satisfaite

₈

<

:

la fonction f (., t) est mesurable sur , Vt 2 R la fonction f (x,.) est continue sur , p.p en x 2

1.2 Quelques propriétés de la transformée de Fourier

Définition 1.2.1 On appelle transformée de Fourier de la fonction u 2 S (R^N), que l'on note u^{^} ou Fu la fonction définie par

fu^{^} (t) = F u (t) = e_ihx,t>u (x) dx, pour tout t 2 RN

RN

La transformée de Fourier F est une application linéaire bijective bicontinue de S (Ii^") sur S (R^").

On définie la transformée de Fourier inverse Fv, v E S (R^N) par

Fv (t) = (27r)-N I e^i(x'^t)v (x) dx, pour tout t ER^N

R^N

on aFF=FF=I identité de S (R^N) , c.à.d F^-1 = F. Remarques 1.2.1 (Voir [25], page 108-115)

1.Soit z E C tel que Re z > 0. Soit u (x) = On a

N

= (v _.Vz ^7r) , ~E R^N (B.1)
2.(F80,4) = (⁸o, F40) = F4⁰ (⁰) = f cp (x) dx = (1, cp) .

R^N

3.Soit (i^l, cp) = (T, (7)) avec Ci5(x) = cp (-x) , on a

F1 = FF80 = (27r)^N So = (27r)^N So (B.2)

4.Soit A E R\ {0} et T = e^zAl^x12 E S^' (R^N). Alors

/

( _N71^- . A 7r N 1£12

(B.3)FT = ez sgn
·4 _e^- 4),

V1A1

1.2.1 Le produit de convolution

Definition 1.2.2 Si f et g sont deux fonctions continues sur R^N et dont l'une au moins est à support compact, on définit leur produit de convolution par

(f * g) (x) = I R^N

f (x - y) g (y) dy, Vx ER^N

Remarques 1.2.2 (Voir [25])

1) Si T E e (R^N) alors T est une fonction sur R^N.

2) Si f E S^' (R^N) et g E e (R^N), on a

f * g E S0 (1N) et F (f * g) = f

1.3 Rappels sur le calcul différentiel

1.3.1 Différentielle au sens de Fréchet

Définition 1.3.1 Soient w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w ~! 1 une fonction a valeurs réelles.

On dit que F est différentiable en un point u0 2 w au sens de Fréchet s'il existe une application linéaire continue çü 2 X^' telle que

Vv 2 w : F (v) - F (uo) = (ço,v -- u0) + o(v - u0)

L'application linéaire continue çü est appelée la différentielle au sens de Fréchet de F au point u0.

Remarques 1.3.1 1) Si F est différentiable en u0 au sens de Fréchet alors f est continue.

2) Si f est différentiable en u0 au sens de Fréchet alors sa différentielle est unique. Elle est notée Df (u0).

3) Si F est différentiable en tout point de X et si l'application X - X^' : u 7! F^'(u) est continue, on dit que F est continüment différentiable sur X, et on note C¹(X, 1) l'ensemble de ces fonctions.

1.3.2 Dérivée directionnelle

Définition 1.3.2 Soient w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w ~! R une fonction a valeurs réelles.

Soit u0 2 w et v 2 X tels que pour t > 0 assez petit, on a u0 + tv 2 w. On dit que F admet au point u0 une dérivée dans la direction v si

uim t4O+	F (uo + tv) -- F (uo)
	t

existe. On notera cette limite par F ~ 0(a).

Une fonction F peut avoir une dérivée directionnelle dans toute direction v 2 X, sans être continue.

Lorsque la dérivée directionnelle de F existe pour certains v 2 X on introduit la notion de dérivée au sens de Gâteaux.

1.3.3 Différentielle au sens de Gâteaux

Définition 1.3.3 Soit w un ouvert d'un espace de Banach réel X.

Soit F : w ~! une fonction.

On dit que F est différentiable au sens de Gâteaux (ou G-différentiable) en un point u0 2 w s'il existe çü 2 X^' telle que, dans chaque direction v 2 X oh F (a + tv) existe pour t > 0 assez petit, la dérivée directionnelle F ~ ⁰(u0) existe et on a

uim t-40+	F (uo + tv) -- F (uo)	= (',v).
	t

L'application çü est appelée la différentielle de F au sens de Gâteaux au point u0 (ou la G-différentielle de F au point u0), on note F⁰ (u0) = çü.

Remarques 1.3.2 1) Si F est différentiable au sens de Fréchet alors elle est différentiable au sens de Gâteaux, de plus les dérivées coIncident.

En effet, pour une application F différentiable au sens de Fréchet, on a

F (u + tv) - F (u) = (F⁰ (u),tv) + o(tv) = t (F⁰ (u),v) + o(tv)

et Donc	F (u + tv) - F (u) t		o(tv) = (F^0 (u),v) + t
uim t-40+		F (u + tv) - F (u) t		= (F^0 (u),v)

2) (Jne fonction G-différentiable n'est pas nécessairement continue.

Proposition 1.3.1 (Voir [16], page 54)

Soit F une fonction continue d'un ouvert w a valeurs dans R

et G-différentiable dans un voisinage de u 2 w.

On désigne par F⁰ (v) la G-différentielle de F au point v et on suppose que l'application v i~- F⁰ (v) est continue au voisinage de u. Alors

F (v) = F (u) + (F⁰ (u),v -- u) + o(v -- u)

c'est a dire que F est différentiable au sens de Fréchet et sa dérivée classique coIncide avec F⁰ (u).

1.3.4 Points critiques

Definition 1.3.4 Soit w un ouvert d'un espace de Banach réel X et F : w --! R. une fonction. On dit que m E w est un maximum relatif (resp. un minimum relatif) s'il existe un voisinage V de m tel que pour tout x E cnV, on a f (x) << f (m) (resp f (x) > f (m)) . Un point qui est un maximum ou un minimum est un extremum.

Definition 1.3.5 Soient X un espace de Banach, w C X un ouvert et F E C¹(w, R). On dit que u est un point critique de F, si F^'(u) = 0. Si u n'est pas un point critique, on dit que u est un point régulier de F.

Remarque 1.3.3 Lorsque X est un espace fonctionnel et l'équation F^'(u) = 0 correspond a une équation aux dérivées partielles, on dit que F^'(u) = 0 est l'équation d'Euler satisfaite par le point critique u.

Exemple 1.3.1 L'exemple le plus simple de points critiques d'une fonctionnelle

F E C¹ (w, I) est un point extrémal, c-d-d le point oit F atteint un maximum ou un minimum.

Definition 1.3.6 Soit c E R., on dit que c est une valeur critique de F E C¹(w,R), s'il existe u E w tel que F(u) = c et F^'(u) = 0. Si c n'est pas une valeur critique, on dit que c est une valeur régulière de F.

1.3.5 Continuite et differentiabilite de quelques operateurs

Lemme 1.3.1 (Voir [13] , page 92)

Soit N > 2, k E (0,2) et 1 < p < 1 + _21

Pour z E L^°° (R^N), posons W(u) = z IxI^-k IuI^p-1 u et 4)(u) = I z IxI^-k IuI^P-1 dx,

R^N

alors les propriétés suivantes sont vérifiées

1.W E C(H1 (RN) , H* (RN)) et ]c1 > 0 telle que

11W(u)11..(RN ) << c1 11u11pH1(RN ) Vu E H¹ (R^N)

1.4. Multiplicateurs de Lagrange

2.Nous posons

e(u)[v, w] = I

ZI-k 1 1 -1 X1 1211^19 V w dx, Vu,v,w 2 H^1 (R^N)

R^N

Alors e(u) est une forme bilineaire symetrique bornée Vu 2 H¹ (R^N). Il existe un operateur B(u) 2 L(H¹ (R^N) ,H^* (R^N)) tel que

e(U)[V, w] = (B(u)v,w)H*(RN)H1(RN) , Vv,w 2 H¹ (R^N)

De plus B 2 C(H¹ (R^N) , L(H¹ (R^N) ,H^* (R^N))) et

11B(u)11L(H1(RN),H*(RN)) c1 lur^~1

H1(RN) , Vu 2 H¹ (R^N)

En outre 4¹ 2 C¹(H¹ (R^N) , H^* (R^N)) et V(u) = pB(u), Vu 2 H¹ (R^N) . 3.4(u) 2 C²(H¹ (R^N) ,11) avec

o^f(u)v = (P+1) (11r(U))0,*(RN),H1(RN) = 03#177;').1 zlxr^k lur¹ u vdx, Vu, v 2 H¹ (R^N)

R^N

et

Z~⁰⁰(u)[v_; w] = p(p+1)~(u)[v_; w] = p(p+1) z Ixr^k 1711'¹ v wdx,Vu,v,w 2 H¹ (RN)

R^N

1.4 Multiplicateurs de Lagrange

Dans plusieurs cas, trouver la solution d'une équation aux dérivées partielles revient a minimiser une fonctionnelle sur un ensemble de contraintes ou sur une variété.

D'ofi l'utilité de préciser le sens qu'on donne a un point critique ou a une valeur critique sur un ensemble de contraintes.

Definition 1.4.1 Soit X un espace de Banach, F 2 C¹(X, R) est un ensemble de con-traintes

S = {v 2 X; F(v) = 0}

On suppose Vu 2 S, on a F^'(u) _L 0. Si J 2 C¹(X, R) on dit que c 2 R. est valeur critique de J sur S, s'il existe u 2 S et A 2 R. tels que J(u) = c et f(u) = AF^'(u).

1.5. Fonctionnelles minorées

Le point u est un point critique de J sur S et le réel A est appelé multiplicateur de Lagrange.

Remarque 1.4.1 Lorsque X est un espace fonctionnel et l'équation J^'(u) = AF^'(u) correspond a une équation aux dérivées partielles, on dit que J^'(u) = AF^'(u) est l'équation d'Euler Lagrange satisfaite par le point critique u sur la contrainte S.

Donnons un résultat qui établie l'existence d'un multiplicateur de Lagrange.

Proposition 1.4.1 (Voir [16], page 55)

Sous les hypotheses de la définition précédente, supposons que u0 E S est tel que

J(u0) = inf v2S

J(v)

Alors il existe un A E R, tel que

J^'(u0) = AF^'(u0)

1.5 Fonctionnelles minorées

Soit E un espace topologique, une fonction F : E - R est dite semi-continue inférieurement (en abrégé s.c.i.) si pour tout A E l'ensemble {x E E; F (x) A} est fermé.

On dit que F est semi-continue supérieurement (en abrégé s.c.s.) si --F est s.c.i.

Définition 1.5.1 Soit E un espace de Banach, V est une partie de E. Une fonction

J : V - R est dite faiblement séquentiellement s.c.i si pour toute suite (u_n) de V convergeant faiblement vers u E V on a J (x) uim inf J (xn)

fl-400

Une fonction J : H¹ (Ii^") - R est dite faiblement séquentiellement continue (f.s.c) si pour toute suite (u_n) de H¹ (ii^") convergeant faiblement vers u E H¹ (ii^")

on a J (u_n) - J (u) fortement.

1.6 La symétrisation de Schwarz

La symétrisation de Schwarz est une méthode de modélisation de certains problèmes de la physique, et aussi l'un des principaux outils dans l'étude des inégalités isopérimétriques (inégalité portant sur le volume d'une large famille de domaines et le volume de leurs frontières respectives) et les problèmes de compacité.

Plusieurs types de symétrisation sont connus dans la littérature mathématique, on peut citer la symétrisation de Steiner, la symétrisation de chapeau et la symétrisation de Schwarz, que l'on va considérer dans ce mémoire.

La symétrisation de Schwarz est aussi connue comme le réarrangement décroissant des fonctions a symétrie sphérique. Ce type de symétrisation consiste de passer d'une fonction quelconque a une fonction radiale décroissante, tout en conservant la norme dans les espaces L^p, et en faisant décroltre la norme du gradient pour certaines classes de fonctions admissibles, alors pour quelques problèmes variationnels on peut utiliser u (on u est la symétrisation de Schwarz de la fonction u) au lieu de la fonction générale u.

Ces propriétés nous permettent de démontrer l'existence de solutions de quelques équations elliptiques avec perte de compacité on les méthodes classiques sont diffi ciles a utiliser.

1.6.1 Les fonctions a symétrie sphérique

Une fonction u E L (R^N), avec N ~ 2 est dite a symétrie sphérique si pour toute matrice de rotation S agissant sur R^N on a

u (Sx) = u (x), p.p sur RN

On dit alors que u est radiale, car pour r > 0, en posant f (r) = u (x) pour x E R^N tel que x = r, on définit une fonction f p.p sur R+ qui permet de reconstruire

entièrement u.

Si la fonction f est décroissante sur ]0, +oc[ on dit alors que u radiale décroissante.

1.6.2 Le réarrangement décroissant

Il ya plusieurs réarrangements de fonctions possibles dont l'idée générale est la suivante : Etant donné une fonction u de R^N vers donnée, on cherche une fonction u ayant des propriétés fixées à l'avance et équimesurable avec u, c'est-à-dire vérifiant

Vt > min u, rries ({u^* > t}) = rries ({u > t})

On rries désigne la mesure de Lebesgue et {u > t} est l'ensemble des points x de R^N tels que u(x) > t.

En particulier, cela implique

_I fF (u (x)) dx = F (u^* (x)) dx

RN RN

On F est une fonction mesurable quelconque sur , et signifie notamment que les normes I^I de u et u sont égales.

De plus si u est une fonction de H ₀ (a), alors u est une fonction de H ₀ (B), on B est la boule de même volume que a, et que sa norme est plus petite, c'est-à-dire que

_Z fjVu^*j² dx jVuj² dx

B

Théorème 1.6.1 (Voir [16], page 260)

Soient 1 p 1 et u 2 _II (II\r) une fonction positive.

Il existe une fonction unique u 2 _Ip (RN) telle que u ~ 0 et VA > 0

rries ([u^* ~ A]) = rries ([u ~ A])

Out l'ensemble [u ~ A] est une boule B (0, A).

La fonction u est radiale décroissante et on l'appelle le réarrangement décroissant, ou la symétrisée de Schwarz de la fonction u.

De plus pour toute fonction continue et croissante G : R+ -p R telle que G (0) = 0, on a

_I fG (u (x)) dx = G(u^* (x)) dx

RN RN

Proposition 1.6.1 (Voir [16], page 264)

Soit u 2 _H1 (RN) une fonction positive. Alors la symétrisée u appartient a _H1 (RN) et on a

_I fjVu^*j² dx < jVuj² dx

RN RN

1.7 Variétés différentielles

1.7.1 Homéomorphisme

Définition 1.7.1 Soient E et F des espaces topologiques.

On appelle homéomorphisme de E sur F une bijection de l'ensemble des ouverts de E sur l'ensemble des ouverts de F.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une bijection de E sur F soit homéomorphisme est qu'elle soit bicontinue.

Remarque 1.7.1 Toute bijection continue d'un espace complet sur un autre est un homéomorphisme.

1.7.2 Difféomorphismes et isomorphismes

Soit U c E et V c F deux ouverts dans des espaces normés E et F.

Définition 1.7.2 Un difféomorphisme est une bijection différentiable f : U - V telle que f_¹ soit également différentiable.

Si f : U -p V est un difféomorphisme alors

f o f^~1 = IV et f¹ o f = IU

on peut alors dériver en tous points x 2 U et y = f (x) 2 V

Df (x) 0 D ^(f_1) (y) = IF et D ^(f_1) (y) 0 Df (x) = IE

Ce qui indique que Df (x) et D (f^-1) (y) sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre.

Cela s'écrit

D ^(f_1) (f (x)) = [Df (x)]_¹

Proposition 1.7.1 (Voir [8], page 35)

Si f est un difféomorphisme, alors en tout point sa différentielle est un isomorphisme vérifiant

D ^(f_1) (f (x)) = [Df (x)]_¹

Si de plus, f est C^k alors f_¹ l'est également.

Remarque 1.7.2 L'existence d'un difféomorphisme entre U et V fait que les espaces E et F sont isomorphes. Il ne peut donc exister de difféomorphisme d'un ouvert de Rⁿ vers un ouvert de R^m_; lorsque m =6 n:

Ce que l'on appelle habituellement un "changement de variables" est en fait un difféomorphisme.

1.7.3 Variété topologique

Définition 1.7.3 Une variété topologique a m dimensions est un espace topologique M dont tout point a admet un voisinage ouvert U homéomorphe a un ouvert de m
·

La donnée d'un tel homéomorphisme :

x : U -p V c m

est appelée carte locale de M au voisinage de a. L'ouvert U c M est le domaine de la carte.

1.7.4 Sous variétés

Définition 1.7.4 Une partie M de Rⁿ est une sous variété différentiable de dimension p ii, si pour tout x E M, il existe un voisinage ouvert U de x dans Rⁿ et un difféomorphisme çü : U -p V c Rⁿ de sorte que

ço(U n M) = V n (R^p x {0Rn-p})

Remarque 1.7.3 Si le difféomorphisme est de classe C^tm, M sera dite sous variété de classe C^m.

1.7.5 Variété de Nehari

Nous terminons ce chapitre en introduisant la notion de variété de Nehari. Cette notion nous permettra dans le chapitre 3, de construire, en minimisant l'énergie sur cette variété en question, des points critiques du problème elliptique semi linéaire (EA) soumis aux conditions (H0) - (H4).

Définition 1.7.5 La variété de Nehari, notée NA , est l'ensemble des points u de _H1 (RN) tel que

JA (u) = 0

oh JA est une fonctionnelle, autrement dit

NA = {u E H¹ (R^N)\{0} : JA (u) = 0}

CHAPITRE2
	L'équation de Schrödinger

linéaire

2.1 Introduction

De nombreuses équations aux dérivées partielles, qui permettent de modéliser l'évolution d'un système au cours du temps, peuvent être reformulées sous la forme d'un problème de Cauchy abstrait.

On s'intéresse dans ce chapitre a l'opérateur de Schrodinger P = @ @t -- iL et a l'équation d'évolution qui lui est associée

@u at

-- ilXu = 0, dans D^'(1I x 1I^N) (1.1)

u0 = g

a2

_PN
j=1

@x2 :

j

dont l'inconnu est une fonction u : x W^V - II1. Les arguments de u sont les variables d'espace X1, X2, ..., XN, et le temps t. Le Laplacien _x vaut

2.2 Le problême de Cauchy

Nous étudions le problème de Cauchy avec des données dans 8^'(R^N), 8(R^N) et enfin des données dans H8(RN).

1 [(Tto+,, (to + 63,
·) (t0, .)>] + ¹ (Tt0+€2 -- Tto, (to, -))

~

= lim

j-->

j j

Avant d'enoncer les theoremes, nous rappelons d'abord quelques proprietes de l'espace C^k(I, (a)) et des distributions temperees.

Soient I un intervalle ouvert de IR et t E I, tel que Tt est un element de g(a).

Definition 2.2.1 On dit que (Ti) E C^k(/,g(a)) si

Vcp E C¹₀ (a) l'application de I dans IR, t 7-p (Ti,c,a) est de classe , avec k E MA+ool .

Proposition 2.2.1 Soit (Ti) E C^k(/,g(a)). Pour tout 0 < s < k et pour tout t E I, il existe une distribution Tt ⁽⁸⁾ telle que (TM E C^k'(/, D^'(a)) et

Vt0 E I, V(p E (a)

[(_d ^d_t) ⁸ (⁷¹ ( P)1 (to) = (⁷¹4⁸⁾ 7 ( la) 7

Demonstration. Nous demontrons pour k = 0 et k = 1 et pour k > 1 se demontre par recurrence.

Soit k = 0, on a s = 0, donc il suffit de prendre Tt (°) = Tt.

Pour k = 1, s = 1. Soit to E I et (€j) une suite de reels tendant vers zero.

Tt0+~j ~Tt0

Posons Tj = comme (Ti) E C^k(I, D^'(a)), alors Vcp E Co (a), (Ti,c,a) con-

E,

verge dans IR et qui est egale a M) (Ti, (p)] (to)

Donc ilexiste une distribution Tt(0 1) telle que (Ti (P) (⁷¹4,¹⁾ (P) :



Par consequent, R jⁱ_t) (Tt, cp)] (to) = (Tt(0 1) ^,,a) , et comme le membre de gauche est continu, on a (T⁽₀¹⁾) E C^°(I, g(2)).

Proposition 2.2.2 Soit (Ti) une suite de C^l(I, D^'(a)) et un element de C^°₀ (I x a). Alors l'application t 7-p (Ti₃ (t,.))₁50₁) est de classe C¹ sur I et verifie

dt (Tt (t .)) = (T⁽¹⁾ , ^(t .)) + (Tt, a (t ) ) (*)

ot

Demonstration. Soit to E I et (€j) -p 0 lorsque j oo, on a

d 1

dt '

(Tt (t -)) = lim T +6 N + ci^,-)) (Tt0, (to^,-))]

j^,00 ei K °

D'apres la proposition précédente

lira 1 3 j

(Tt0+c, -- Tt0, (t0,
·)) = (Tt "), (t_' ))

D'autre part, Tt0+c, Tt0 dans D^' (Q) et

j = lira j-+00

~, ( (t0 + ei, .) -- (t0, .)) --> @ ^1at (t0, .) dans C^10 (K), on K est un compact,



tel que supp _j C K. D'on le résultat.

Maintenant on va rappeler quelques remarques sur les distributions tempérées quand va utiliser dans les démonstrations.

Definition 2.2.2 5^'(R^N) est le dual topologique de S(IR^N), c'est a dire l'espace vectoriel des formes linéaires continues de S(R^N) dans R, avec S(R^N) est constitué des fonctions u appartenant a C'(R^N) telles que

Va, E N^N, ]C_a,s > 0, xa8$u(x) ~~ < Ca,0;, Vx E R^N

Remarques 2.2.1 1) Soit T E (R^N) et cp E C^k(I, 8), oit k E N et I est un ouvert de R^N. On pose F(t) = (T,c,a(t,.)), alors F E C^k(I).

2) Soit I un intervalle de R. On peut définir l'espace C^k(I, (R^N)) en disant que (Ti) E C^k(I, (R^N)) si, pour tout cp E S(IR^N), l'application de I dans R, t 7----> (Ti, cp) appartient a C^k(/).

2.2.1 Donnée dans Si(IN)

Enoncons le théoreme qui nous donne l'existence et l'unicité de la solution u du probleme (1.1).

Theoreme 2.2.1 Soit g E S^'(R^N). Alors il existe une unique solution u = (ut) E C^'(R, S^'(R^N)) telle que (1.1) soit vérifié.

Demonstration. a) Existence: Soit t E R.

g E S^'(R^N) implique que g E S^'(R^N), et eitjj2^g E S^'(R^N), posons

211 = P(e^-itle) (1.2)

On a donc ut 2 S'(R^N).

D'autre part u0 = g et pour cp 2 S(R^N) on a

hut; f) = (P1(e-it1°9)' = (la) = (§' ^e-itl°(P)

En utilisant les deux remarques de (2.2.1), on obtient que ut 2 C^cx)(R, 8'(1[8^N)), et comme hut; 0) = 4⁰) on a aussi ut 2 C^°(1, s^'(l^N)).

Rappelons ensuite que u est définie par

(U) =I hut_; (t,.)) dt, 8 2 S(R x R^N) (1.3)

R

Pour 2 S(1I x R^N), montrons que at -- iAu, ) = 0.

(au~ @u ~ ~ ~

u; @

@t ~ i~u_; = @t ; ~ i h~u_; i = ~ ~ i hu_; ~ i

@t

~ ~ Z u; @ = ~ @t + i~ = ~ R				~ ~ ut; @ @t + i~ dt
= 1			~ ~ Z F ^ut; @ @t + i~ dt = ~ R		(fit, F(^a+ i6. )) dt ot
= 1 = 1			(e-it1.129, (at -- i 1.1^2)F^- (t, .)) dt ( ~ ^g; @ @t(e~itj:j2 F (t; :)) dt
Kau at i°u, )= I R		a at (§' (e-itil2 F (t, ·))) dt = 0
Car lira t!1	F (t,) = 0. (puisque D(R^N) s'injecte continCiment dans S(R^N) avec densité)

b) Unicité:

Soit u1 et u2 deux solutions de (1.1), et posons u = u1 -- u2, alors u 2 C^cx)(R,S'(R^N)) et vérifie iAu = 0, u0 = 0.
Montrons que u 0, pour tout 2 S(1I x R^N).

@u ~ ~ ~ Z u; ( @ @t ~ i~u; = ~ @t + i~) = ~ R

~ ~ ut; ( @t @ + i~) (t; :) dt = 0

D'apres (*), on a

~ ~ _Z

ut_; ( @t @ (t_; :) dt =

R

_D E Z

_u(1)

t ; (t_; :) dt ~

R

Z~

R

dt hut_; (t
·)) dt

d

D'où	Z R	D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ R			dt hut; (t ·)) dt -- i I R		hut; (t, ·)) dt = 0
Comme lira t--#177;co			(t, = 0, alors
Z R				D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ i R		hut; 0 (t, .)) dt = 0, 8 2 S(IR. x R^N) (1.4)

D'autre part, on a F u(1)

t = ^{^}u⁽¹⁾

t . En effet Vcp 2 5¹(11e), on a

_{D E D E D E}

F (u(1) u⁽¹⁾ = d

t ); ' = t ; '^ ^{^}u⁽¹⁾

dt hut_; ^{^}'i = dt d h^{^}ut_; 'i = t ; '

On déduit que

Z R	D E Z u(1) t ; (t; :) dt ~ i R		hut; 6, (t, ·)) dt = I R		D E Z ^^u^(1) t ; F (t; :) dt ~ i R		~^^ut;F (0 (t, ·))) dt
=1		DF (t, .)) dt + i I R		(fit, 1-12 F (t; .)) dt

D'où

D F (t, .)) dt + i I

0-'11,1.12 F (t, .)) dt = 0 (1.5)

_Z

R

R

Comme (1.5) est vrai 8 2 S(118 x R^N), en particulier pour telle que F (t, = c^it1~12c(0x(t), on cp 2 S(118^N) et x 2 S(118). On déduit que

_Z [(^f111)' eitil2W) i (^fit' ¹¹² eitil2W)] x(t)dt = 0, Vx 2 S(1R) (1.6)

R

La fonction entre crochets étant une fonction continue de t sur IIB, il en résulte que

(fill)'eit1.12(P) i (^fit' ^{1.12 eit112(P}) = 0, Vt 2 IIB, Vcp 2 S (1.7)

Or d'apres (*) on a _dt (fit, (la) = eitil2 (la) + eit1.12 (la)

D'ou V cp E S(R^N) la fonction t H Cut, eitil2 _(la) est constante. Donc

(fit, e^it1.124⁰) = (fio,4⁰) = ⁰

Soient t_o E R et 0 E S(R^N) quelconque.

La fonction cp^,() = e^-it°106(~) est dans S(R^N). D'on

(¹⁴⁰' ^eit°1
·12w) = ^{(fito, 0)} = 0



Donc fit() = 0 dans S'(R^N),et ut = 0 ,Vt E R. En utilisant (1.3) on aura, u 0.

2.2.2 Donnée dans S(I1N)

Theoreme 2.2.2 Si g E 5¹(11e), alors la solution u du probleme (1.1) appartient a C^°°(R, S(118^N)), et elle est donnée par la formule

u(t, x) = (27)^-Ni e^i4-itz2§(~)ck (1.8)

R^N

Demonstration. Par (1.2) on a ut = (e^-ite§), et comme g E S(118^N) on aura g^{^} E S(R^N) et e^-it1.12§E S(R^N), d'ofi ut E S(R^N).

Montrons que ut vérifie (1.8), on a

rat = F (C^ite §) = (27)-N i ei4e-ite §()4 = (27) N i e §()ck

R^N R^N

D'autre part l'application (t, x) 7--! ut(x) = u(t, x) est C^°° sur R x R^N, on a Va, ~ E N^N, Vx E R^N

x^aDlu(t, x) = (27)^-N xa i 11¹³ e^j4e^-ite§()d

R^N

= (27)^-Ni D ~(eⁱ⁴)e^-ite 11 §()ck

RN

= (27)^-Ni eix~ (--N) [ C^ite 11¹³ §()]ck

RN

i= eⁱ⁴1³_0,0(t, )e^itjj2§()c

R^N

On /³₀,s est un polynome en (t, ). D'apres le théoreme de la convergence dominée; Si

to --> to, alors sup xER

x^aD1 (u(tn, x) -- u(to,x))1 --p 0. On montre de la même maniere

que pour tout k 2 N, Oⁱ_t^'u 2 C^° (R,S(R^N)).



Par conséquent, ut 2 C^""(R, (11e)).

2.2.3 Donnée dans Hs(RN)

Theoreme 2.2.3 Soit s 2 R, si g 2 H^s(R^N) alors la solution u du probleme (1.1) appartient a C^°(R_; 1⁸(1^N)), Vk 2 N,

(u^(k)

t ) 2 C^°([, H^8-2k(R^N))

de plus

{

IlUtI1H.(RN) = kgkH^s(R^N ) , Vt 2 R

M^ulk)M

(1.9)

< ) ,Vt 2 R, Vk 2 N^*

H.-²k(RN)

Demonstration. Montrons d'abord (1.9). D'apres la formule (1.2) , on a

rat=e ~itj~j2^g; pour tout t 2 R. Comme g 2 H⁸(1R^N), g est une fonction mesurable, donc fit l'est aussi.

112 IlUtIlHs(RN) = I R^N

(1 + 11^2)^8 e-ite ()r =I R^N

(1 + 11^2)^8 1^ ()1^2 ck

Ilut11²H.(RN) = Mg11²H.(RN) , pour tout t 2 R

D'autre part ul^k) = F ((^--i0^k e^-ite , donc 9 ck > 0 tel que

~ ~ I 2 ~u ~ (k) ~ ~ = ^tH^s-2k(R^N) RN

(1 + 112)8-2k (-i~)2k ()^2 ck

< Ck I (1 + 11²)⁸j^{^}g ()j² d = kgk2 H^s(R^N )

R^N

D'on (1.9) est vérifiée.

Soit t_o une suite qui converge vers to dans R, on a

- UtiiHs (RN) = I (1 + 11²)^.9e^-ztnl~^l2-- e-ihe 2 I9 ()1² d

R^N

D'apres le théoreme de la convergence dominée on aura Ilut_n - ut11²_/N_RN) -> 0 lorsque t_n -> to.

c.a.d u 2 0(118,1/⁸(118^N)).

de meme

~ ~ulk)21,8_2k(RN) .1 (1 + ₁₁2₎.9-2k (--io2k - e-ito10 ₂ 1§ (012 d

RN

~ ~ 2

~

Donc _~u^(k) ~ _u(k) ~ ~ ! 0 lorsque t_n ! t0_; ce qui implique

t_n t

Hs 2k(RN)

(u^(k) t ) 2 C^°(118, B^8-2k(R^N)), Vk 2 N.

2.3 Propriétés des solutions

2.3.1 Forme de la solution

Théoreme 2.3.1 Si g 2 5^1' (R^N) alors pour tout t _L 0, la solution du probleme (1.1) sWrit

1 tit (X) = N e (47r Itl)^2

~ ~ ~~ ~ x ~ ~iN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 4t F 4t g (1.10) 2t

Oit sgn t designe le signe de t.

Démonstration. Casl. Supposons g 2 _C1 ~RN~ ; la formule (1:2) donne

0

ut (x) = F (C^ite "g ()) et d'apres le théoreme (2.2.2) on a

u (t, x) = (27r)^-N I e^i4-iql2§()d _ (27)^-N P (c^ite (x)

R^N

Et comme T*S = F (1^.1.,§) , VT 2 5^1' (R^N) et VS 2 (R^N) (d'apres la remarque (1.2.2)) alors

u (t, x) = (27r)-N [^P (^Cite) * gl (x)

D'apres (B.3) dans les remarques (1.2.1) on aura

u (t, x) = (27)^--N 7rN t^2

~ eiN ~ ei :jxj2 4 sgn t 4t

* g I (x) (1.11)

Or

~ ~i1x12 e 4t * (x) = I R^N

Z g (y) ei jx~yj2 4t dy = ei jxj2 4t RN

g (y) e^-iL^Yeqt d y

~ ~ ~ x ~

= ei jxj2 ei jxj2

4t F 4t g

2t

Remplaçant dans (1.11) on obtient le résultat

1 u (t; x)-- N e (47r ItI)^2

~ ~ ~~ ~ x ~ ~iN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 4t F 4t g 2t

Cas 2. Supposons g E S^' (R^N) .

On a Co (R^N) dense dans 5^1' (R^N) , donc

Vg E S0 (RN) , gk E Cr (R^N) tel que gk --> g dans S^' (R^N)

D'apres le théoreme (2.2.2), on a uk E (R, S (R^N)) on uk est la solution du probleme

(1.1) avec donnée gk, et d'apres le théoreme (2.2.1) on a

(Uk)t = F (e^-itlx12 §k)

Or §k --> g dans 5^1' (R^N) et e^-itlx129k --> e^-itlx129 dans 5^1' (R^N) ,

donc (uk)_t --> (u)_t dans S^' (R^N) , ou u solution de (1.1) avec donnée g. D'autre part, e^illⁱt ²gk --> ei jxj2

4t g dans 5^1' (R^N).

Donc

F (e^{i 11}: gk) o At --> F (e^{i 141}: g) o A _t dans 5^' (R^N)



avec At : R^N --> R^N; x 7--> ;.

D'ofi la formule (1.10) est vérifiée pour g E S^' (R^N) .

2.3.2 Dispersion

Theoreme 2.3.2 Pour tout t _L 0 et tout x E R^N, si g E L¹ (R^N) alors la solution u du probleme (1.1) verifie

-N

lIutlIL^.(R^N) (47 ItI) ² lIglIL^l(R^N)

Demonstration. D'apres (1.10) on a

~ ~ ~~ ~ x ~

1

ut (x) = ₂ eiN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2

4t F 4t g

(4 jtj)N 2t

donc	MUt (X)11L°°(RN) =	~ II ~ ~ ~ ~	1		~ ~ ~~~ ~ eiN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 ~ 4t F 4t g ~ ~
			(47r Itl)	N 2			L^o(R^N)
= 1 2 jtj~ (4)^N						~ ~ ~~ N ~ ei jxj^2 ~ ~ 2 ~F ~ 4t g ~Lo(RN)

~ 1NItl

(47r) 2

~ ~ ~~

~ ei jxj² ~

~ ~F ~

4t g ~

1

= N ² lIghl(RN)

L^l (R^N) (4ir) 2

N
2

N

D'of.i le résultat.

2.3.3 Vitesse infinie de propagation

Enoncons le corollaire qui donne la régularité de la solution qui dépend du comportement de la donnée a l'infini et non pas de sa régularité.

Corollaire 2.3.1 (i)Soit u solution du probleme (1.1).

Si g 2 E^' (R^N) alors

ut 2 C^°° (R^N) , Vt =6 0

(ii)Soient A > 0 et g (x) = e-iAlx12, alors

4A

u 1 = (47A)N2 eiA1
·12e-iN 74 80

Demonstration.

~

(i)Comme ei jxj2

4t g 2 "0 ~RN~ alors F ~ ei jxj2

4t g 2 C^°° (R^N) d'apres la remarque (1.2.2) , en utilisant (1.10) on aura le résultat.

(ii)Toujours d'apres (1.10) , on a

~ ei~jxj2e~i~jxj2~

u 1 (x) = N 2 ~~ N 2 ein ~ 4 ei~jxj2F

4

= AA2 A2 ein 4 e^iAlx12F (1)

N N 7r
·

= A 2 _7r^-- 2 _e^--in4 e^zAlx12 (27r)^N So, d'apres (B.2) dans les remarques (1.2.1)

Donc

u 1 = (4ii-A)N 2 ei~j:j2e~i" ~ 4 80

4A



Remarque 2.3.1 On a d'aprês (i) une donnée qui n'est pas réguliêre qui a donné une solution de classe C^OO (i^N). Tandis (ii), une donnée COO (i') fournit une solution qui est singuliêre.

le corollaire montre que la régularité de la solution pour t =6 0, n'est pas reliée a la régularité de la donné en t = 0, mais de son comportement a l'infini.

Ce phénoméne est connu sous le nom de propagation a Vitesse infinie.

CHAPITRE3
	L'équation de Schrödinger non-linéaire avec une non linéarité compacte

3.1 Introduction

Ce chapitre concerne l'existence, régularité, unicité et la stabilité des ondes stationnaires de l'équation de Schrodinger non-linéaire

i@w + w + V (x) jwj^p~1 w = 0, w = w(t_; x) : I ~ R^N ! R_; N ~ 2 (NLS)

@t

avec N ~ 3 et p > 1. Les solutions stationnaires sont sous la forme

w (t,x) = e^i~t u(x), on A > 0 et u : R^N ! R

Une telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si la fonction u satisfait l'équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) uj^p~1 u = 0, u : 1E^N 1I, N ~ 2 (EA)

Les solutions des équations (NLS) et (EA) sont des solutions faibles.

3.2 Etats fondamentaux

Dans cette section, nous présentons une approche variationnelle du probleme elliptique semi-linéaire

Au -- Au + V (x)IuI^p-1 u = 0, u : R^N --> R, N > 2 (EA)

On p > 1 et V : R^N\ {0} --> R. Nous prouvons sous certains hypotheses l'existence d'un état fondamental de (EA), pour tout A > 0, par une méthode de minimisation sous contrainte dans l'espace de Sobolev H¹(R^N). Un état fondamental est une solution faible non triviale de (EA) qui minimise la fonctionnelle dont (EA) est l'équation d'Euler Lagrange sur un certain sous-ensemble de H¹(R^N) qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de (EA).

Les états fondamentaux sont des fonctions positives, radiales et radialement décroissantes, qui tendent vers zéro exponentiellement vite a l'infini. Nous établirons aussi des propriétés de régularité des états fondamentaux.

Nous verrons ensuite, pour N > 3 et pour chaque A > 0, qu'il n'existe qu'une seule solution de (EA) ayant ces propriétés.

Formulons d'abord les hypotheses sous lesquelles nous démontrerons les résultats mentionnés ci-dessus :

(H0) V E C (R^N\ {0})

(H1) V E C¹ (RN\ {0})

(H2) ] k E (0, 2) tel que IxI^k V (x) E L^°°(Il^N). De plus 1 < p < 1 + 4N-22k

(H3) V (x) > 0, Vx E R^N\ {0} et V est a symétrie sphérique, radialement strictement décroissante.

Si (H1) est vérifiée, la fonction

V~ (r) : (0, oo) --> R telle que V^~ (r) = V (x) pour r = IxI

satisfait V^{~ '}(r) < 0 pour tout r > 0.

(H4) La fonction ^rV'(r) est décroissante sur (0, oo).

1⁷(r)

Exemple 3.2.1 Des exemples typiques de fonctions satisfaisant les hypotheses (H0) a
(H4) sont donnés par V^~ (r) = r^-k pour le cas oil V est non borné et V^~ (r) = 1 _k pour

(1+r²) 2

le cas oil V est borné.

Remarque 3.2.1 Les hypotheses (H0), (H2) et (H3) interviennent dans la démonstration de l'existence d'un état fondamental, les résultats de régularité nécessitent l'hypothese (H1).

L'hypothese (H4) ne sera utilisée que pour démontrer l'unicité de la solution.

3.2.1 Existence

Soit V une fonction radiale et supposons que les hypotheses (H0) et (H2) sont satisfaites. Nous munissons H¹(118^N) de la famille de normes équivalentes

1

hull = {I'Vul²L2 + A Iu1² _1,2}² , VA > 0

Nous introduisons également la famille de produits scalaires correspondants a ces normes
(u, v)_A = (Vu, Vv)L2 + A (u, v)_L2 , VA > 0

Considérons la fonctionnelle 0 : H¹ (R^N) --> IR définie par

0 (u) = I V (x)lur⁺¹ dx (2.1)

R^N

Grace a l'inégalité (A.2) du lemme (1.1.1) et les hypotheses (H0), (H2) on a 0 est bien définie et qu'il existe des constantes C, CA > 0 telles que

10 (u)I =

I N

V (x)lur^+1 dx

~~~~~~

< C lIuMPH+1(RN) < CA kuk^p+1

~ , Vu 2 H1 (R^N) (2.2)

Lemme 3.2.1 La fonctionnelle 0 définie par (2.1) appartient a C²(H¹ (R^N) ,118).

De plus, on a les formules suivantes

0' (u)v = (p + 1) I V (x)1u1^P-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N)

R^N

et

0^''(u)[v, w] = p(p + 1)f V (x)1u1^P-1v wdx, Vu, v, w E H¹ (R^N)

R^N

Demonstration. D'apres le lemme (1.3.1), posant z(x) = V (x)1x1^k et identifiant 0 avec 0 on aura 0 E C²(H¹ (R^N) , R.), de plus

0' (u)v = (p + 1) I z(x)1x1^-k 1u1^p-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N)

R^N

et

0^''(u)[v, w] = p(p + 1)f z(x)1x1^-k 1u1^p-1 v wdx, Vu,v,w E H¹ (R^N)

R^N

Les deux formules sont ainsi satisfaites.

Lemme 3.2.2 La fonctionnelle 0 definie precedemment est faiblement sequentiellement

continue (f.s.c.) sur H¹ (R^N).

Demonstration. Montrons que pour toute suite bornée (u_n) de H¹ (R^N) et u E H¹ (R^N) tels que u_n --, u on a 10 (un) -- 0 (u)1 < c, Vc > 0.

Soit (u_n) C H¹ (R^N), et u E H¹ (R^N) tels que u_n --
· u, alors

10 (un) -- 0 (u)1 =

I N

V (x)1unr^+1 dx -- I R^N

V (x)1u1^p+1 dx

~~~~~~

<f 1V (x)1 11u_n1^P+1 -- 1u1^p14~_~ dx

R^N

Or d'apres (H2), on a l'existence de k E (0, 2) tel que 1x1^k V (x) E L^°°(118^N). Donc ] c > 0 tel que 1V (x)1 < c1x1^-k

D'of.i

10 (u_n) -- 0 (u)1 < c I 1x1^-k 11u_n1^p+1 -- 1u1¹⁺¹_~ dx

R^N

Pour tout R > 0, on a d'apres l'inégalité de Holder

I B(0,R)

Ixl--k 1lund^p+1 -- 1u1^1+1~ dx <

8 <> Z :> B(0,R)

Ixl^--rk dx

9 >= ;>

1 r <> I :> B(0,R)

1lundp+1 _ 1u1'+18 dx

9 >= ;>

1 .9

8 r ,s > 1 tels que ₇.¹ + ₈¹ = 1, la première intégrale du membre de droite converge si N -- kr > 0 c'est a dire r < ^N_k , donc 1 -- ¹> k _N ce qui équivaut a s > ^N

N--k.

D'autre part, on a u_n --
· u dans H¹ (R^N) et d'apres la compacité de l'injection de Sobolev sur les bornés réguliers de R^N et la continuité de l'application u --> 1u1¹⁺¹ de L(p+1)8 (B (0, R)) --> L⁵ (B (0, R)) , s > 1 impliquent que

1ju_n1^P+1 -- 1u1¹⁹⁺¹ --> 0 lorsque n --> 1

L.(B(o,n))

Par conséquent 9 C > 0, tel que

I B(0,R)

Ixl--k lundp+1 _ 1ujp+1~~ dx < C llunri Huip#177;ii --> 0 lorsque n --> 1 I IL.(B(O,n))

Traitons maintenant l'intégral sur le complément de B (0, R). Fixons 6 > 0, et supposons

R > 6

_1 k .

On a lx1 > R ce qui implique Ixr^k < R^rk < 6, drof

I R^N\B(O,R)

Ixl^--k 1 lunlp+1 -- lulp+11 dx < 6 I R^N\B(O,R)

1lundp+1 _ lur+1 dx

Par le prolongement de Sobolev et le fait que (u_n) est bornée dans H¹ (R^N) , on aura l'existence de C1 > 0 tel que

I

R^N\B(O,R)

Donc

Ixl--k 1lunlp+1 -- _lulp+11 _dx < Ci6

Ixl--k 1lu_nd^p+1 _ 1uj^p+1~_~ dx < 6

10 (u_n) -- 0 (u)1 < K1 Hu_nI^P+1 -- 1 I 1

.u.^P+1 ,L.(B(,),R))+K2 I

R^N\B(O,R)

D'of.i 0 (un) --p 0 (u) lorsque n --p oo.

Nous commencerons par montrer que, pour tout A > 0, on peut définir sur H¹ (R^N) une fonctionnelle SA dont (EA) est l'équation d'Euler-Lagrange associée. Ensuite, nous présenterons la méthode de minimisation sous contrainte que nous allons employer, ce qui nous conduira naturellement a la définition d'état fondamental. Le reste de cette partie est consacré a la démonstration d'existence d'un état fondamental de (EA), pour tout A > 0.

Soit SA : H¹ (R^N) --> IR la fonctionnelle définie par

1 1

SA (u) = 11u11²

2 A (p + 1)0(u)

D'apres le lemme (1.3.1) on a SA E C² (H¹ (R^N) , IR) avec

S^'A(u)v = (u, v)_A - I V (x)lul^P-1 u vdx, Vu, v E H¹ (R^N) (2.3)

R^N

et

S⁰)⁰(u)[v, w] = (v, w)_A - p I V (x)lul^p~1 v wdx, Vu, v, w E H¹ (R^N) (2.4)

R^N

Maintenant on va définir les solutions faibles non triviales de (EA) comme étant les points critiques de SA.

Definition 3.2.1 Une fonction u E H¹ (R^N) est une solution faible de (EA) si S^'A(u) = 0 c'est a dire

I RN

Vu Vv + Au v dx - f R^N

V (x)lul^p~1 u vdx = 0, Vv E H^1 (R^N)

Remarques 3.2.2 (i) Une solution classique est une fonction u E C2 (R^N\ {⁰}) qui vérifie (EA).

(ii) Nous dirons qu'une solution, faible ou classique, est non-triviale si elle n'est pas identiquement nulle.

(iii) En utilisant la densité de Cr (R^N) dans H¹ (R^N) , on montre facilement que toute solution classique est aussi solution faible.

Chercher des solutions faibles de (EA) revient a chercher des points critiques de SA. Mais la fonctionnelle SA n'est ni bornée inférieurement ni supérieurement sur _H1 (i!\r)_. Par conséquent, on ne peut pas trouver des points critiques qui soient des points d'extremum global de SA. Pour contourner cette diffi culté on va utiliser une méthode de minimisation sous contrainte qui due a Nehari et qui consiste a minimiser SA sur une sous-variété qui contient toutes les solutions faibles non-triviales de (EA) et qui est appelée variété de Nehari. Il s'avère que, restreinte a cette sous-variété, la fonctionnelle SA est bornée inférieurement. Nous allons voir que, grace a la continuité séquentielle faible de q, et utilisant la technique de symétrisation de Schwarz, il est possible d'établir l'existence d'un minimiseur de SA sur la variété de Nehari qui soit une fonction positive et radiale. Il découle des propriétés de la variété de Nehari et de la méthode des multiplicateurs de Lagrange que tous les minimiseurs de SA sur la variété de Nehari sont des points critiques de SA.

La contrainte est donnée par la fonctionnelle JA 2 _C2 (_H1 (RN) , 1) définie par

1 ~ - 1

JA (u) = 2 kuk² ₂q(u)

La variété de Nehari NA C _H1 (RN) est ainsi définie par

NA = {u 2 H¹ (R^N)\{0} : JA (u) = 0}

Maintenant on va étudier le problème de minimisation suivant

mA = inf {SA (u) : u 2 NA} (2.5)

Definition 3.2.2 Une fonction u 2 _H1 (RN) est appelée état fondamental de (EA) si c'est un minimiseur du probléme (2.5).

Enonçons le lemme qui affi rme qu'un état fondamental est une solution faible de (EA), et qui donne quelques propriétés importantes de la variété NA.

Lemme 3.2.3 Supposons que les hypotheses (H0) et (H2) sont vérifiées.

(i)Si u est une solution faible de (EA), alors u 2 NA.

(ii)] SA > 0 tel que MullA> 6A, Vu 2 NA.

(iii) NA est une sous-variété de H¹ (R^N) de classe C². (iv)Pour tout u 2 NA, SA (u) = A (p) 14²A ofi A (p) = 2rp-#177;11) > 0. (v)Si u 2 NA et SA (u) = MA, alors u est une solution de (EA).

Demonstration.

(i)Soit u solution faible de (EA), alors S⁰A(u) = 0, or S^'A(u)u = Mull²A -- 0(u) = 2JA (u) , c'est a dire

JA (u) = ₂¹S⁰ A(U)U, Vu 2 H¹ (R^N) (2.6)

D'ofi JA (u) = 0 . Donc u 2 NA.

(ii)Soit u 2 NA implique que JA (u) = 0, et comme S^'A(u)u = Mull²_A -- cb(u) = 2JA (u), on aura

114²_A = cb(u), Vu 2 NA (2.7)

D'apres (2.2) on a 10 (u)1 < CA MUM13A +1 :

Donc

14²A = O(U)CA 114¹³A⁺¹

ofi CA > 0.

Le résultat suit du fait que p > 1.

1

Ce qui équivaut a Mull_A > SA avec SA = (_C¹ , Mull²_A) p+1
·

(iii)Découle du théoreme de submersion car, pour tout u 2 NA

J⁰A (u) u = mull²_A -- ¹₂0^'(u)u = o(u) p + 1

2 (u) = 1 ~ p

2 0(u) < 0 (2.8)

Puisque p > 1 et Mull²_A = 0(u), Vu 2 NA d'apres (2.7).

(iv)Pour tout u 2 NA, d'apres (2.7) on a Mull²_A = 0(u).

_1i ~

Or S~(u)u = 1 2 kuk2 ~ ~ 1

p+1~(u) = 2 ~ 1 kuk² = p1

2(p+1) kuk2 ~ .

p+1

d'oñ le résultat.

(v)Soit u 2 NA et SA (u) = mA, c'est a dire que u est un minimiseur du problème (2.5). D'après la proposition (1.4.1) il existe un multiplicateur de Lagrange 2 tel que

S0 ~(u)v = J0 ~ (u) v, Vv 2 _H1 (_IN)

posons v = u, on aura

S0 ~(u)u = J0 ~ (u) u

Par (2.6) , et le fait que u 2 NA, on a S⁰ _~(u)u = 0, d'autre par, nous avons J ~ (u) u < 0 par (2.8).

Par conséquent = 0 et S⁰ (u) = 0. Donc u est une solution de (EA).



Remarque 3.2.3 (a)Les points (ii) et (iv) du Lemme (2.1.3) impliquent que mA > 0, de sorte que SA > 0 sur NA.

(b)Le point (iv) implique que toute suite minimisante pour le probléme (2.5) est bornée.

Pour la démonstration de l'existence d'un état fondamental de (EA), nous aurons besoin du lemme suivant qui établit l'existence d'une projection lisse de H1 (R^N)\{0} sur NA.

Lemme 3.2.4 Soit u solution faible de (E,), il existe une fonction tA 2 _C2 (_H1 (RN) \{0}, (0, oc)) qui jouit des propriétés suivantes.

(i)Vu 2 _H1 (RN) \ {0} et t 2 R, t u 2 NA si el seulement si t = tA (u).

(ii)Pour tout u 2 _H1 (i') \ {0}, nous avons que tA (u) 1 si JA (u) 0 et tA (u) ~ 1

si JA (u) ~ 0.

Demonstration. La fonction définie par

2 } tA (u) = MuM {^A 0 (u) a les propriétés énoncées, en effet

1 p-1 , Vu E H^1 °R^N) \ {0}

(i)Soit u solution faible de (EA), on a d'apres (i) du lemme (3.2.3) que u E NA, donc si t = t), (u) alors t u E NA.

Supposant maintenant que t u E NA, alors (2.7) donne

Mtug = 0(tu) = f V (x) ltur^l dx = ltly3+1 I R^N R^N = ltl^P+1 0(u) c'est a dire t^P-1 = lol^u(ll, d'ou t = t), (u) . (ii)Si JA (u) < 0 alors 2 MuMA -- 0 (u) < 0 Donc MuM^2A < 0 (u) , par conséquent tA (u) < 1. De même pour JA (u) > 0 on a tA (u) > 1.

V (x)lul^P+1 dx



Nous sommes maintenant en mesure de prouver l'existence d'un état fondamental de (EA).

Theoreme 3.2.1 Supposons que les hypotheses (H0) , (H2) et (H3) sont satisfaites. Alors VA > 0, il existe une fonction _A E NA telle que S)( )) = m),. De plus, _A est positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Demonstration. Considérons une suite (u_n) C NA telle que SA (u_n) --> mA lorsque

Ti --> cc.

Si u E H¹ (R^N) implique que lul E H¹ (R^N), donc SA et JA ne changent pas lorsqu'on remplace u par lul, nous pouvons supposer que u_n > 0.

Soit alors la suite (v_n) C H¹ (R^N) définie par v_n, = to (un) un, oil u_n^* est la symétrisation de Schwarz de u_n, et to est la projection donnée par le lemme (3.2.4).

Nous allons montrer que (v_n) est aussi une suite minimisante pour le probleme (2.5). D'apres les propriétés de la symétrisation de Schwarz, on a

I RN

Zu2 n dx = R^N

Z(u n)^2 dx et R^N

IV un1^2 dx > I RN

IVu^~n1^2 dx

De plus puisque la fonction s 1--> 1sr⁺¹ est croissante sur [0, oo[ et comme V = V^* par (H3), nous avons que

I RN

Z V (x) up+1 n dx ~ R^N

Z V^* (x) ~up+1 ~~ dx = n R^N

V (x) (un)^P+1 dx

ainsi, Mu_n11²_A > 1u^~_n1²_A et 0 (u_n) < 0 (u^~_n). Par conséquent

1 2 1

JA (u_n) = 2 ^11u1A 2 -- 0 (u^~_n)

1 2 1

< 2 Mu_nlI_A -- ₂0 (u_n) = JA (u_n) = 0, car (u_n) c NA

Donc JA (un) < 0 et d'apres le lemme (3.2.4), on aura tA (u_n^*) < 1

Par construction v_n = tA (un) un 2 NA, et d'apres (iv) du lemme (3.2.3) on a

ma < SA (v_n) = A (p) Iv_nl²_A = A (p) Ita (u_n) u^*_n1²_A = A (p) tA (un)2 Mu*m12A < A (p) Iu^*_n1²_A < A (p) Ilu_n11A = SA (u_n) --> mA

Donc (v_n) C Na est aussi une suite minimisante.

D'apres (b) de la remarque (3.2.3), (v_n) est borné dans H¹ (R^N) . Nous pouvons donc supposer qu'il existe v 2 H¹ (R^N) tel que v_n --
· v dans H¹ (R^N) . Nous allons montrer que v 2 NA et SA (v) = mA.

Puisque 0 est (f.s.c) par le lemme (3.2.2), nous avons que

0 (v) = lim 0 (vn) = lim n--> n-->

Ilvn11^2A , d'apres (2.7)

0 (v) > 8 ~ > 0, d'apres (ii) du lemme (3.2.3) On en déduit que v =6 0.

Maintenant, comme .k2 ~ est faiblement séquentiellement semi-continue inférieurement, on a

1 - 1

JA (v) = 2 kvk² ₂ (v)

1

<

2

uim

fl-400

inf MvThk2 ~ -- 1 2 (v) = 2 1 uim

n!1 inf ~ (v_n) - ¹ ₂ (v) = 0

et donc tA (v) < 1 par le lemme (3.2.4).

Nous allons voir que tA (v) = 1. Puisque tA (v) v 2 NA on a

mA < S,, (tA (v) v) = A (p) tA (v) vk2 ~ = A (p) tA (v)² kvk2 ~ < A (p) kvk2 ~

< A (p) uim Th-400 inf v k2 ~ = uim Th-400

SA (va) = mA (2.9)

Ceci montre que SA (tA (v) v) = mA et tA (v) = 1 car sinon nous aurions une inégalité stricte dans (2.9), c'est a dire mA < mA, ce qui est absurde.



Finalement puisque v est positive a symétrie sphérique et radialement décroissante par construction, v jouit les mêmes propriétés, donc il suffit de prendre A = v pour avoir le résultat.

3.2.2 Régularité

Dans cette section, nous montrons que l'état fondamental est en fait une solution classique de (EA) et nous étudions ses propriétés asymptotiques. Nous travaillons avec A > 0 ffxé et pour alléger la notation, nous notons simplement l'état fondamental. Comme est une fonction radiale, l'étude de sa régularité se ramène a l'étude de la régularité d'une solution d'une équation différentielle ordinaire (EDO) du deuxième ordre.

Nous commençons par introduire deux espaces de fonctions sur la demi-droite.

Définition 3.2.3 Plaçons-nous en dimension N ~ 2 et considérons l'espace H _r des fonctions de H¹(Ii^") qui sont radiales (ou à symétrie sphérique) c'est-à-dire telles que

X N

i=1

)

_x2

i

u(jxj) = u~ (r) avec r = jxj =

Définissant les espaces hilbertiens réels L²_r et 1-1^-,!^- c L²_r

1,^2,

=

{

v : (0, oo) --> R. tel que

I 0

rN-1 v (r)^2 dr < oo

}

et Hr^l = {v E L^2r : v^' E Lr ^2} c Lr^2

et nous les munissons respectivement des produits scalaires

(u) v)L, r

=

I 0

rN-1 u v dr et (u,v)r (ut , 04, A = + A (u, v)L2

et des normes correspondantes, 1.1L, _r et 11.11_r,A .

Proposition 3.2.1 (Voir [13] , page 22)

Soit N > 3 et u : R^N --> IR une fonction a symétrie sphérique.

Soit v : (0, oo) --> IR de telle sorte que u (x) = v (r) pour r = 1x1, x E IR.^N\ {0} . Alors u E H¹ (R^N) si et seulement si v E II,!^-.

Notant wN la surface de la sphère unité dans R^N, on a

I

R^N

I

0

I

0

u (x)² dx = wN

et

I

R^N

1Vu (x)1² dx = wN

r^N-lv (r)² dr

rN-lvt (r)2 dr

N -- 1 v00 + r

v^' -- Ay +

1^-7 (r) 1v1^P-1 v = 0, r > 0 (2.10)

Grace a la Proposition (3.2.1), le résultat suivant réduit l'étude des propriétés de a celle des propriétés d'une fonction de H,,!, solution d'une équation diférentielle ordinaire du deuxième ordre.

Proposition 3.2.2 Supposons que la fonction V est radiale et soit 17 : (0, oo) --> IR telle que V (x) = 17 (r) pour 1x1 = r > 0.

Soit u : le --> IR une fonction radiale et v : (0, oo) --> IR tel que u (x) = v (r) .

Si u E H¹ (R^N) et u est une solution faible de (EA) alors v E I-/^-₇!^- et v une solution au sens de distribution de

Demonstration. Nous savons par la Proposition (3.2.1) que v 2 H.

~RN~ ~ _H1 ~RN~ :

Soit ' 2 C1 0 (0_; 1) et posons ~ (x) = ' (r) : Alors ~ 2 C1 ₀ D'apres la définition (3.2.1) on a

I RN

Vu Vv + Au v dx -- I R^N

V (x)lur^l u vdx = 0, Vv 2 1/^1 (R^N)

Et comme c 2 Hⁱ (R^N) on a

Vu '-(A -- V (x)1u1^P-1) u clx = wN

rN-1 _{eV + [^A - ^{17 (r)1v119-1}] ^v(P} ^dr

0 = I

RN

.0

I

0

Donc

wN

.0 I 0

T^N-1 V^'Vdr = --wN

.0 I 0

r^N-1 [A - 17 (r)Ivr^il vcp dr

ainsi r^' v^' possede une dérivée au sens des distributions (r^i'v^')^' : (0, oo) --> R. telle

que

(rN-1 v')' = _rN-1 [A - -_/7- _(r)Ivri] _v

Puisque r^1-N 2 C^°° (0, oo) , v^' a une dérivée au sens des distributions v⁰⁰ : (0, oo) --> R. qui satisfait

(of = (_ri-N [_rN-i_vly _ (1 -- N) r-N [_rN-le] + _rl-N [_rN-le]^I

(v,), _ N ~ 1 r		v^' + [A -- 1^7 (01v1^19-1] v
D'ofi	N -- 1 v00 + r		v^' -- Av +17(r) Ivr^i v = 0, r > 0



Ce qui montre que v est une solution au sens des distributions de (2.10).

Nous savons donc qu'il existe une fonction ~ 2 11^-₇!^- telle que (x) = ~ (1x1) et qui satisfait l'équation (2.10). Afin d'établir que est une solution classique de (EA) et d'étudier ses propriétés asymptotiques, nous allons considérer l'équation générale

N -- 1 v00 + r

v^' -yv r2 ~ v + Q (r) v = 0; r > 0 (2.11)

Nous supposons que 7 > 0, ,u > 0 et Q : (0, oo) --> R. est une fonction continue telle que r^kQ (r) est bornée sur (0, oo) , on k 2 (0, 2) . Les résultats que nous allons prouver concernant (2.11) nous serons utiles plus tard dans un autre contexte.

Lemme 3.2.5 Soit v 2 H^!_r une solution au sens des distributions de (2.11). Alors v 2 C² (0, oo) et v est une solution classique de (2.11). Si de plus, Q 2 C¹ (0, oo), alors v 2 C³ (0, oo) .

Demonstration. Comme v 2 H^!_r, v 2 C (0, oo) et v^' 2 4, (0, oo) .

Alors, il decoule de (2.11) que v 2 H/²₀, (0, oo) , ce qui implique v 2 C¹ (0, oo) , car



H^m (Q) s'injecte d'une façon continue dans C^k (Q) avec Q un ouvert de R^N et m > N2 + k toujours d'apres (2.11) nous aurons v 2 C² (0, oo) .

Si Q 2 C¹ (0, oo), (2.11) implique alors v 2 C³ (0, oo) .

Definition 3.2.4 Soit f : Q c R^m --> IR oit Q est un ouvert non-borné de 1[8^m, m > 1. Nous disons que f tend vers zéro exponentiellement (vite) a l'infini s'il existe E > 0

tel que lim xEndx1-^,00

e^€1x1f (x) = 0. Nous écrivons alors f (x) --p 0 exponentiellement (vite)

lorsquelx1 --p 1 ou simplement f (x) --p 0 exponentiellement (vite) a l'infini.

Lemme 3.2.6 (Voir [14] , page 38)

Si v 2 H^!, est une solution de (2.11) , alors v jouit des propriétés suivantes

(i)Les limites lim 7-:	v (r) et lim 7-:		r v^' (r) existent et sont finis.
De plus, si it = 0, on a lim r-q)		r v^' (r) = 0.

(ii)Si Q --> 0 exponentiellement a l'infini, alors v, v^' --> 0 exponentiellement a l'infini. Nous pouvons maintenant prouver les proprietes suivantes de l'etat fondamental .

Theoreme 3.2.2 Supposons satisfaites les hypotheses (H0), (H2) et (H3) et soit

u 2 H¹ (R^N) une solution non-triviale de (EA), positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Alors u jouit des propriétés suivantes.

(i)u 2 C (R^N) n C² (R^N\ {0}) et u est une solution classique de (EA). De plus, si V satisfait (H1) alors u 2 C³ (RN\ ₁₀₁₎ .

(ii)u est strictement positive et radialement strictement décroissante sur RN.

(iii)u (x) - 0 et Vu (x) - 0 exponentiellement lorsque x - oc.

Démonstration.

(i)Soit v 2 H tel que u(x) = v (r) pour x = r, et x 2 ^N\{0}.

V~ (r) v (r) ^'~1 , ainsi u est une solution

r

D'après le lemme (3.2.5), on a v 2 C² (0, oc). En posant dans (2.11) 'y = A, = 0 et Q(r) =

classique de (EA) sur ^N\ {0}, u 2 C² (I^N\ {0}).

{0})

Si V 2 C¹ (R^N\ {0}) on a également u 2 C³ (R^N\ .

(ii)Nous savons d'après la Proposition (3.2.2) et du Lemme (3.2.5) que v est une solution classique non-triviale de l'équation différentielle ordinaire (2.10), ce qui implique qu'elle ne peut être constante sur un intervalle. De plus, par hypothèse, v est une fonction positive et décroissante sur (0, oc). Elle est donc strictement positive et strictement décroissante sur (0, oc). Donc u l'est aussi et on a d'après le théorème d'existence que la solution est radiale, d'oñ le résultat.

(iii)La décroissance exponentielle résulte du lemme (3.2.6).



3.2.3 Unicité

Soit N ~ 3. Nous supposons que les hypothèses (H1) a (H4) sont satisfaites.

Nous montrons qu'il est alors justiflé d'appliquer a (E) un théorème d'unicité dii a Yanagida [23]. Ce théorème très technique fournit un résultat d'unicité concernant les solutions positives de l'équation

LIu + g ( x ) u + h ( x ) u^° = 0 (2.12)

sur B (0,R) c J^N avec 0 < R oc, N ~ 3 et p > 1.

Moyennant l'abus de notation u(1x1) u(r) pour 1x1 = r, toute solution radiale de

(2.12) satisfait l'EDO du deuxieme ordre

N -- 1 u'' + r

u^' + g (r) u + h (r) u^p = 0 (2.13)

Nous sommes intéressés par la situation on R = oo.

Le théoreme précédent porte plus précisément sur l'unicité des solutions de (2.13) qui satisfont

u (0) < oo, u (r) > 0 pour tout r > 0 et lim u (r) = 0 (2.14)

r-+00

Les hypotheses de base concernant les coefficients g et h sont les suivantes

(A1) g,h E C¹ (0, oo)

(A2) r^2-5g (r) --p 0 et r^2-5h (r) --p 0 lorsque r --p 0 pour un 8 > 0.

Sous ces conditions, toute solution u de (2.13)--(2.14) appartient a C (0, R)f1C² (0, R) et satisfait ru^' (r) --p 0 lorsque r --p 0.

Dans notre cas, nous intéressons a la situation qui correspond a l'EDO (2.10), a savoir

g (r) = --A et h (r) =17 (r) (2.15)

Les hypotheses (A1) et (A2) sont satisfaites puisque, par (H2) ,

r^k+97 (r) --p 0 lorsque r --p 0, Vc > 0

avec k E (0, 2) .

Sous ces hypotheses, le Théoreme de Yanagida concernant le cas R = oo peut etre formulé comme suit.

Théorème 3.2.3 ( Voir [23])

Si les conditions (C1) -- (C6) ci-dessous sont satisfaites, alors il existe au plus une solution de (2.13) -- (2.14) qui verifie (C7).

Les hypotheses (C1) a (C7) portent sur les trois fonctions suivantes, J, C et H, dépendant d'un paramétre m 2 [0, N - 2]

J (r; u, m) ~ rm+2u' (r)² + (2N - 4 - m) rm+1u' (r) u (r)

u (r)²

+ (N-2--m)(2N-4--m)r^m

2

+ r^m+2g (r) u (r)² + 2r^m+2h (r) u (r)^P+1

p + 1

C (r; m) = rm+2g' (r) - 2 (N - 3 - m) r^m+1g (r)

+ m (N - 2 -- m) (2N - 4 -- m) rm_1

2

H (r; m) 2rm+2 h' (r)

p + 1

_I ~

m+1h (r)

2N - 4 - m - ₂m + 2 r

p + 1

(C1) h (r) ~ 0 pour tout r > 0.

(C2) C (r; N - 2) 0 pour tout r > 0.

(C3) Pour tout m 2 [0, N - 2], il existe a (m) 2 [0, oc] tel que C (r; m) ~ 0 pour r 2 (0,a (m)) et C(r;m) 0 pour r 2 (a (m) ,oc). Si a (m) = 0 (resp a (m) = oc), cela signifie que C (r; m) 0 (resp C (r; m) ~ 0) pour tout r > 0.

(C4) H (r;0) ~ 0 pour tout r > 0.

(C5) Pour tout m 2 [0, N - 2], il existe /3 (m) 2 [0, oc] tel que H (r; m) ~ 0 pour r 2 (0, /3 (m)) et H (r; m) < 0 pour r 2 (/3 (m) , oc). Si /3 (m) = 0 (resp /3 (m) = oc), cela signifie que H (r; m) 0 (resp H (r; m) ~ 0) pour tout r > 0.

(C6) Concerne le cas oh g = 0 et n'intervient donc pas dans la discussion.

(C7) Demande que J (r; u (r) , m) -p 0 lorsque r -p 1 pour tout m 2 [0, N - 2].

Nous utilisons maintenant ce théorème pour prouver le résultat d'unicité suivant.

Corollaire 3.2.1 Supposons que les hypotheses (H1) a (H4) sont vérifiées et que N ~ 3. Alors il existe au plus une solution non-triviale de (EA) qui soit positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

Demonstration. Soit u une solution non-triviale de (EA) qui soit positive, a symétrie sphérique et radialement décroissante.

D'apres le theoreme (3.2.2) on a u est strictement positive et u (x) --p 0 lorsque lx1 --> oo, donc u satisfait (2.14).

Il suffit donc de montrer que les conditions (C1) a (C6) sont satisfaites, puis de verifier que u satisfait la condition (C7) .

D'apres (2.15), les fonctions J, G et H sont donnees explicitement par

J (r; u, m) r^m+2u^' (r)² + (2N -- 4 -- m) r^m#177;lu^' (r) u (r)

u (r)²

+ (N -- 2 -- m) (2N -- 4 -- m) r^m

2

-- Ar^m+2u (r)² + 2r^m+2V (r) u (r)^P+1

p + 1

G (r;m) = 2A (N -- 3 -- m) r^m+1

r^m-1

+ m (N -- 2 -- m) (2N -- 4 -- m) ₂

H (r; m) 2r^m+2

V~ 0 (r) p + 1

{2N 4 m 2m + 2r p + 1

m+1 V~ (r)

(C1) Exige que V^~ (r) > 0 pour tout r > 0, ce qui est vrai par (H3).

(C2) G (r; N -- 2) = --2Ar^N-1 < 0 pour tout r > 0.

(C3) Ecrivons G comme

G (r; m) = r^m-1 {2A (N -- 3 -- m) r² + m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- rr21) 1

a (m) depend de m via les coefficients du polynOme du deuxieme degre entre accolades. Si m 2 [0, N -- 3], on a

N -- 3 -- m > 0 et m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- m2 ) >0

On peut choisir a (m) = oo.

Si m 2 ]N -- 3,N -- 2[ on a

N -- 3 -- m < 0 et m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- m2 ) > 0

a (m) est la racine positive de 2A (N -- 3 -- m) r² + m (N -- 2 -- m) (N -- 2 -- T) .

(C4) Exige que H (r; 0) < 0 pour tout r > 0.Dans notre cas, cela revient a dire que

2

r2 1^-7⁰ (r) (2N 4 4 r 17(r) < 0, pour tout r > 0.

p + 1 p + 1

Nous avons par l'hypothese (H3) que V^~ (r) > 0 et V~ 0 (r) < 0 pour tout r > 0. Donc il suffit d'avoir (2N 4 p+4 1) > 0 et qui est équivalent a p > ⁴_N^-N₂. Or 4N-N2 < 1, VN > 3, et comme p > 1, (C4) est véri...ée.

(C5) On a

H (r; m) 2r^m+2

V~ 0 (r) p + 1

{ 2N 4 m 2m + 2 }r p + 1

m+1 V- (r)

... y

H (r; m) r^m+1 V(r) r V⁰ (r) am}

P +1 V (r)

Avec a_m = { 2N 4 m 2 P:₁²

} . D'apres Phypothese (H4) la fonction ^r :_i-_i^i-l₍^'_,⁽V est décrois-

sante sur (0, oo) .

Donc ],8 (m) = oo tel que (C5) est satisfaite.

(C7) Si u est une solution non triviale de (EA) , on a u --> 0, u^' --> 0 lorsque r --> oo. D'ou J (r; u (r) , m) --> 0 lorsque r --> oo.



Le corollaire est démontré.

Donc nous avons montré l'existence, régularité et l'unicité des solutions de (EA), de plus les solutions sont positives radiales, et radialement décroissantes.

3.3 Stabilité orbitale des ondes stationnaires

Nous étudions dans cette section la stabilité des ondes stationnaires pour l'équation de Schrodinger non linéaire

ow

i + Aw + V(x)1w1^P-1 w = 0, w = w(t,x) : I x R^N --> R, N > 2 (NLS)

ot

Définition 3.3.1 On dit que w est une solution de (NLS) s'il existe T E (0, oo[ tel que
w E C ((0, T), H1 ^(RN, R.)) n C¹ ((^0, T), H^-1 (R^N, R.))

et

i

ow

ot + Aw + V (x)1w1^P-1 w = 0 dans _H-1 (RN ,R) , Vt E (0, T) Oit H^-1 (R^N, R) designe l'espace dual de H¹ (R^N, R.).

La solution est dite globale en temps ou simplement globale si on peut prendre T = oo. Sinon, elle est dite locale en temps ou simplement locale.

Une onde stationnaire est une solution de (NLS) de la forme cp (t, x) = e^atu(x) avec A E R et u : R^N --> R. Si la variable t E I représente le temps, le parametre A est interprété physiquement comme une fréquence.

Une telle fonction est solution de (NLS) si et seulement si u E H¹ (R^N, R) est une solution de l'équation de Schrodinger stationnaire

Au -- Au + V (x)1u1^p-1 u = 0, u : R^N --> R, N > 2 (EA)

qui a été étudiée dans les sections précédentes. Nous avons vu qu'il convient en effet de chercher des solutions de (EA) dans l'espace de Sobolev H¹ (1[8^N,118) et, sous des hypotheses sur p et V , nous avons montré l'existence d'états fondamentaux _A de (EA), pour tout A > 0.

Définition 3.3.2 Soit uA une solution faible de (EA) . Une onde stationnaire de la forme cpA(t,x) = e^iAtuA(x) est dite orbitalement stable dans H¹ (R^N,R), si pour tout E > 0, il existe 8 > 0 tel que, pour toute solution w : (0, oo) x R^N --> R de (NLS) satisfaisant 11w (0, .) -- uA11H1(RN;R) < 8, on a

inf

oER

sup

t>0

11w (0, .) -- e^i°uAllip(RNR) < E

Remarque 3.3.1 Nous definissons l'orbite de w comme l'ensemble

O (w) = {ew : 0 ER} C H¹ (1[8^N, IR) , pour tout w E H¹ (RN, 1)

Une onde stationnaire cp),, d'orbite O (u),) est stable si toute solution w (t, .) de (NLS) avec condition initiale w (0, .) proche de O (u),) reste proche de O (u),) pour tout t > 0.

3.3.1 Le probleme de Cauchy

Dans cette dernière partie nous discuterons le problème de Cauchy associé a (NLS) et établissons des conditions sous lesquelles ce problème admet des solutions locales ou globales. Nous définissons également les fonctionnelles appelées énergie et charge qui, sous des hypothèses appropriées, sont des constantes du mouvement pour (NLS).

Nous considérons le problème de Cauchy suivant

8 < :

iat + w + g (w) = 0 (PC) w(0) = cp E H^1 (R^N)

On g E C (H¹, H^-1) est une non-linéarité donnée comme l'opérateur de superposition w ig (w) = V (x)1w1^p-1 w (voir définition (1.1.5)).

Nous définissons les deux fonctionnelles E et Q : H¹(11e) --> , appelées respectivement l'énergie et la charge, par

E (u) = 21 I RN

1Vu1^2 d x p 1 I + 1 RN

V (x)1u1^P+1 dx

et

Q (u) =.1

2 _RN

1u1² dx

On a Q E C² (H¹(118^N),11:0 et d'après le lemme (3.2.1), E E C² (H¹(118^N),118) .

Theoreme 3.3.1 (Voir [6])

Soit g E C (H¹(1^N), H^-1(1^N)) une non linearite de la forme g = gi+g2 E C (H¹(1^N), H^-1(1^N))

satisfaisant les hypotheses suivante

(1)gi (0) = 0 et il existe Gi E C¹ (H¹(118^N), IR) tel que Gi (0) = 0 et gi = G⁰ _i.

(2)Il existe ri, pi 2 [2, 2*] tels que, pour tout M > 0, il existe Ci (M) > 0 tel que

gi (u) --gi (v)1Lp0%(RN) < Ci (M)lu -- vILT%(RN)

pour tout u, v 2 H¹(118^N) satisfaisant

Mullip(RN)+11v61(RN) <_<M

Alors, pour tout cp 2 H¹(118^N), il existe T = T (cp) > 0 et une unique solution de (PC)

w 2 C ~[0, T) , H¹(I^N)) n C¹ ~[0, T) ,H^-1(1^N))

En outre, il ya conservation de la charge et de l'énergie

Q (w (t)) = Q (cp) et E (w (t)) = E (cp) pour tout t 2 [0, T)

(3)Si de plus, il existe 9 E 2 (0, 1) et une fonction rl 2 C ([0, E) , [0, oo)) , telle que rl (0) = 0, qui satisfont

G1 (u) + G2 (u) < 1 2 ^E Mull2Hi(RN) + ( 1u12L2(RN)) Pour tout u 2 H¹(118^N) tel quelluLi(RN) < E.

Alors il existe 8 > 0 tel que, pour tout cp 2 H¹(118^N) satisfaisant IpLi(RN) < 8, on peut poser T (cp) = 1 et on a, de plus

sup { 11w (t)1111-1(RN) : t > 0} < E

(4)S'il existe E 2 (0, 1) et une fonction rl 2 C ([0, oo) , [0, oo)) telle que rl (0) = 0, qui satisfont

2 2

G1 (u) + G2 (u) < 1 ₂ E 11u11Hi(RN) ( 1u1L2(RN))

--

Pour tout u 2 H¹(118^N). Alors on peut poser T (cp) = 1 pour tout cp 2 H¹(118^N).

Remarque 3.3.2 Le résultat (3) assure l'existence globale pour des conditions initiales suffisamment petites et (4) garantit l'existence globale pour toute condition initiale dans H¹(R^N).

Lemme 3.3.1 Sous les hypotheses (H0) et (H2) . Soit g (u) = V (x)IuI^P-1 u, alors il existe gi et g2 tels que g = gi + g2 et qui satisfont les hypotheses (1) et (2) du theoreme (3.3.1). La partie (3) du theoreme est vraie, si de plus 1 < p < 1 + 4-_N 2k, alors (4) est vraie.

Demonstration. Soient

g1 (u) = XB(o,1) (x) g (u) , Vu E H^l(1^N)

et

g2 (u) = [1 -- xj3(0,1)(x)] g (u) , Vu E H^l(1^N)

Comme g (u) = V (x)IuI^p~1 u, alors gi (0) = 0, pour i = 1, 2 Posons maintenant,

et	Gl (u) =	1 ^1p + 1 RN		1 (x) IxI^~k IuI^p+1dx, avec 1 (x) = XB(o,i)V (x) IxI^k
G2 (u) = p + 1 1 1 RN			2 (x)IxI^~k IuI^p+1 dx, avec 6 (x) = [1 -- xB(0,1) (x)] V (x)IxI^k

On a d'apres (3) du lemme (1.3.1) que Gi (u) E C²(H¹ (R^N) ,118) et ci (u) = gi (u) , d'on (1) est vérifiée.

Montrons (2) , Soient u, v E 1/¹ (R^N) satisfaisant

llullH1(RN) + llvllH1(RN) < M



Soit cp E Co (RN, R) . Pour la fonction gi, en utilisant les inégalités de Holder avec quatre exposants a, 0, ri, p1 > 1 tels que 1 + 1 ~ + r1 1 + 1 1 = 1,on a

1 N

[g (u) -- gl (v)]cp dx

~~~~~~

<1 RN

X.13(o,1) (x) I V (x)I IIur^-1 u -- dx

~~

et

Or -- = -- IvrI = f p It (u -- v) + vI^p~i (u -- v) dt ~

~ ~

0

IV (x)I < C IxI^~k d'apres l'hypothese (H2) :

Donc

I N

[g1 (u) -- g1 (v)] cp dx

~~~~~~

· C I B(0,1)

1x1^-k

~~~~~~

1 I 0

p It (u -- v) + vr^1 (u -- v) dt

~~~~~~

kpl dx

· C I Ixl^-k (1u1 + 1vj)^P-1 1u -- vIkpl dx

B(0,1)

<C

8 <> Z :> B(0,1)

Ixl^-ka dx

9 >= ;>

1 a <> I :> B(0,1)

(lul + 1v1)^(P-1)3 dx

9 >= ;>

1 0

1u -- v1L^ri(R^N) 1WILPI(RN)

)

< C1 11u1 + _I v I I0-L(p-1ip(RN ) 1u -- v1L^ri(R^N) 1WILP¹(R^N)

<

1u -- v1L^ri(R^N) 1WILM.(RN )

C1 _{(1u1L(p-i)0(RN)} + 1 v1L(p-1)/3 (RN))p-1

~ p1

? C2 kukH¹(R^N ) + kvkH¹(R^N ) 1u ~v1L^ri(R^N) 1(P1LP1(RN)

< C2 M^P-1 Iu -- v1L^rl(R^N) 1(PLPi(RN)

Si a, 0 > 1 verifiant N -- ka > 0 et (p -- 1)j 2 [1,2] ,

si N > 3. Ceci est vrai, si p < 1 + 42k

_N2 qui est verifier par l'hypothese (H2) .

Donc (2) est vrai pour g1.

De meme pour g2, en utilisant l'inegalite de Holder avec trois exposants a, T1, p1 > 1 tels que ^1a + _ri1 + pi1 = 1, et T1 = p1 = p+ 1, on a

I N

[g2 (u) -- g2 (v)] cp dx

~~~~~~

<f R^N

[^1-- XB(0,1) (x)] 1V (x)1 HuI^P-1 u -- jvj^P-1 v1 ki01 dx

C I R^N,B(0,1)

1x1^-k

~~~~~~

1 I 0

p It (u -- v) + vr^1 (u -- v) dt

~~~~~~

kpl dx

or lx1 > 1 sur IR.^N\B (0,1) implique Ixr^k < 1 sur IR.^N\B (0,1)

par consequent

I N

[g2 (u) -- g2 (v)] cp dx

~~~~~~

· C1 f R^N,B(0,1)

(lul + lvj)^P-1 lu-- vl kpldx

~ P ~1

? C2 kukH¹(R^N ) + kvkH¹(R^N ) 1u -- v1LP+¹(R^N) 1(P1I,P+¹(RN)
< C2 M^P-1 1u ~vIIP+¹(R^N) 1(P1LP+¹(RN)

D'on g2 satisfait l'hypothese (2) .

Pour (3) , soit a, > 0 tel que 1+ 1 ~= 1, on a

1 Gl (u)1 = P + 1		I N	1 (x) jxj^~klur^+1 dx					~~~~~~	< II ih,--(RN) I P+1 B(0,1)		Ixl^-k 14^9+1 dx
1 ~ <C IxI^-k« dx II B(0,1) }						8 <> I 17.1,1^(1)+43 dx :> B(0,1)				1 0 9 >= ;>
< ca	II B(0,1)			lul^(P+43 dx	9 >= ;>		1 0

avec 0 < C_a < 1 et N -- ka > 0, on va choisir a 2 (1, ^Nk) tel que 2 < + 1) Q < 2^* alors

1G1 (u)1 < C_a juj^(p+1)

L(p+1)~(RN ) , 2 H¹ (R^N)

de plus, on a pour N > 2, H¹ (R^N) c L^q (R^N) , Vq 2 [2, 2^*] avec injection continue. Dans notre cas, + 1) Q 2 [2, 2^*] implique H¹ (R^N) c L^(P+1)0 (R^N) avec injection

continue.

donc, 9 E 2 (0,1) tel que lul_L(p+1)0(_RN) < 1 pour u 2 H¹ (R^N) tel que Mull_EN_RN) < E. ainsi

1G1 (u)1 c CalUIL(p+1)0(RN) VU 2 H¹ (R^N) tel que Mull_ip(_RN) < ~ D'autre part, on a d'apres l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg que

₈

<

:

jujLr(RN) ~ C⁰juj^1~~

Lq(R^N ) 1⁷1^~Lp^*(R^N)

0 -

avec p< r< p*,1-- ^1-_*⁰ ,

N

p p P PN*

Or lul^°Lp* CIVu

(RN) Lp(R^N) -

Soit p^* = 2^*, p = 2 et r = (p + 1) 0, on a

U1L(P+¹)0(RN) C⁰juj^1~~

L²(R^N ) 1VUIL2(RN) ~ C⁰juj^1~~

L²(R^N ) kuk~ l(RN)

et

G1 (u)1 < Ca ^(C')2 1U1 ₎II II2r? ) ;

VU 2 H¹ (R^N) tel que MullHi(RN) < C

Par consequent, pour tout E > 0, il existe Cl (E) > 0 tel que

G1(u)I MullHi(RN) + Ci (~) juj2 L²(R^N ) , Vu 2 H1 (R^N) tel que MullHi(RN) < C

Comme p + 1 > 2, choisissant E > 0 plus petit, nous avons aussi que

Z G2 (U)^116 16° (RN) p + 1 R^N\B(0,1)		Ixr^k lur^+1 dx
<11616^0(R^N) P+ 1 j RN	lur^+1 dx

~ C1l'Ul_p²+1(RN) _;Vu 2 H¹ (R^N) tel que Mullip.(RN) < ~ De la meme maniere, on trouve l'existence de C2 (E) > 0 tel que

1G2 EMHi(RN) + C2 (E) jUj2L2(RN ) ; 8u 2 H¹ (R^N) tel que Mull_Hi(_RN) < E

D'on (3) est verifiee.

Pour (4) on va utiliser la meme methode que precedemment, avec 1 < p < 1 + 4-_N 2k : On va choisir ¹ 2 ( N k , 1 + N 2 P+2 1 ) dans ce cas + 1) ry < 2 avec ry = N (2 1 (2,#177;11),3)
et ¹ + 1 ~ = 1:



~

Nous obtenons alors pour tout u 2 H¹ (R^N)

1G1 (u)1 < Ca luIPL#177;p#177; (RN) < C_a (C^")^P+1 kuk^(p+1)~

H¹(R^N ) juj(p+1)(1~~)

L²(R^N )

Ainsi, bE > 0, 9C1 (E) > 0 telle que

1G1 < E 114H1(RN) + C1 (E) 1742(RN) Vu 2 H¹ (R^N)

OLl 2(1)(p+1)

2(p+1) > _0.

De meme, Vu 2 H¹ (W^N)

1G2 < C2 lUI^PL^#177;p-F^li(RN) C2 (Crl kuk(p+1)~1

H¹(R^N ) Iral(P2#177;(R11)-71)

On ryl = N (2 1 p+1 ₁) et (p + 1) ryl < 2. Donc, Ve > 0, 9C2 (6) > 0 telle que

1G2 EllrallH1(RAT) + C2 (E) 11/17,2(RN) Vu 2 H¹ (R^N)

Où 1 = 2(1-1)(p+1)

2-(p-l-l)y1 > 0.

D'oñ les hypotheses du point (4) sont vérifiées pour 1 < p < 1 + 4-2k

_N .

Donc on a montrer que les solutions de (PC) sont des solutions classiques c-à-d w C ([0, T) , H¹(1^')) n C¹ ([0, T) , H^-1(1^N)).



De plus on a une conservation de charge et d'énergie Q (w (t)) = Q (ço) et E (w (t)) = E (ço) pour tout t [0, T).

Enfin, les solutions sont orbitalement stables.

Conclusion

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés a la résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et non linéaire. Pour l'équation linéaire, nous avons utilisé les propriétés de la transformée de Fourier. Pour l'équation non linéaire, nous avons traité le cas stationnaire, ce qui nous a amené a la résolution d'une équation semi-linéaire. Par la méthode de minimisation avec contrainte sur la variété de Nehari, nous avons montré l'existence d'états fondamentaux, nous avons obtenu des solutions positives, radiales et radialement décroissantes. Certaines propriétés des états fondamentaux ont été aussi considérées a l'instar la stabilité orbitale. Il existe de nombreuses notions de stabilité différentes, dépendant des équations étudiées. L'idée générale est que, plus le système admet de symétrie, plus la notion de stabilité qui convient est faible.

Nous regrettons de ne pas avoir eu suffi samment de temps pour faire le résultat de nondégénérescence des solutions qui est un élément essentiel dans la théorie de bifurcation et est un résultat de continuation globale. Cette théorie établie l'existence dans RxH1 (RN) d'une branche de solutions de (EA) de la forme

{(A,uA) : 0 < A < A0} C R x _H1 (_RN)

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