Modélisation de l'écoulement des dépôts à vue : cas des banques commerciales camerounaises

ANNEXES

Annexe I : Méthodologie de Box et Jenkins23

Nous présentons ici son algorithme.

Figure : Etape de la méthodologie de Box et Jenkins

Analyse du graphique et du
corrélogramme

Analyse de la saisonnalité

Test de Dickey Fuller

Régression sur le temps si
TS (trend stationary)

Passage aux différences si DS
(difference stationary)

Séries stationnaires yt

Analyse des corrélogrammes
simple et partiel

Détermination des ordres p et q
du processus ARMA

Estimation des paramètres.

Test de Student. Les coefficients
non significatifs sont supprimés.

Tests sur les résidus:
sont ils des bruits blancs?

Non
Ajout d'un ordre p ou q.

Oui

Prévision par ARMA

Recoloration de la série
(exponentiel, saisonnalité )

Source : Régis Bourbonnais, Econométrie, page 250

²³ Pour plus de détails, cf. Régis Bourbonnais, Econométrie, ^5ième édition et cf. M. Djimefo Kapen [2006], Initiation de modèle mathématiques dans la prévision des produits et charge d'une banque, mémoire présenté en vue de l'obtenion du Master de Statistique Appliquée, université de Yaoundé I.

I.1 Analyse de la saisonnalité ou désaisonnalisation

Les méthodes de désaisonnalisation peuvent être classées en deux grandes catégories: Les méthodes non paramétriques et les méthodes paramétriques.

Méthodes non paramétriques, dites « empiriques », permettent de décomposer la série en composantes inobservables par une procédure, souvent itérative, basée sur des lissages successifs. On peut résumer l'ensemble des lisseurs utilisés dans ces méthodes sous le nom de « régressions locales ». Les régressions locales consistent à ajuster des polynômes, en général par les moindres carrés, pondérés ou non, sur des intervalles glissants (se décalant d'un point à chaque fois). Au centre de l'intervalle, la donnée lissée est la valeur, à cette date, du polynôme ajusté (la donnée lissée à la date suivante est obtenue par ajustement d'un polynôme sur l'intervalle suivant). On peut montrer que les régressions locales reviennent à appliquer des moyennes mobiles particulières lorsque les observations sont régulièrement espacées. Ces méthodes se distinguent par leur degré de robustesse: dans un premier groupe, on trouve STL (Cleveland et al. 1990), méthode fondée sur le « lowess », une technique de lissage robuste par régressions locales (Cleveland, 1979); dans un second groupe, figure la célèbre méthode de désaisonnalisation Xl1.

Méthodes paramétriques : elles peuvent aussi se diviser en deux grands ensembles: les méthodes par régression (inspirées de Buys-Ballot) qui posent, pour chaque composante, excepté l'irrégulière, une fonction déterministe du temps; les méthodes fondées sur des modèles stochastiques (non déterministe): il s'agit principalement de modèles ARIMA utilisés pour modéliser les composantes inobservables. Parmi celles-ci, on distingue encore deux groupes: celles qui estiment les modèles des composantes à partir du modèle ARIMA de la série initiale (Burman 1980, Hillmer et Tiao 1982), SEATS (Gomez, MaravalI1997), et celles qui les modélisent et les estiment directement ( Kitagawa et Gersch 1984) comme par exemple la méthode STAMP (Harvey et al. 1995).

Les ouvrages des différents auteurs mentionnés dans ces méthodes, sont cités dans

« COMPRENDRE LA METHODE XII » de Dominique LADIRAY et Benoît QUENNEVILLE.

Nous allons schématiser ces méthodes de désaisonnalisation Figure : Méthodes de désaisonnalisation

METHODES NON PARAMETRIQUES
(méthodes de régression locale)

METHODES PARAMETRIQUES

MOYENNES MOBILES
Slutsky (1927) - Macauley (1930)

REGRESSIONS GLOBALES
Buys-Ballot (1847)

MEDIANES MOBILES

MODELE XII-CENSUS
Bureau du Census (1965)

MODELE ARIMA Box et Jenkins (1970)

S.A.B.L (1982)
LOWESS (1979)
S.T.L (1990)

MODELE Xll-ARIMA
(1994)

S.E.A.T.S. (1980)
S.T.A.M.P. (1987)

MODELES XI2-ARIMA
(1994)

Source : « Cours de séries temporelles », DESS Mathématique de la Décision & DESS Actuariat d' Arthur CHARPENTIER

Parmi donc les méthodes non paramétriques, nous nous sommes intéressés à la désaisonnalisation par moyenne mobile centrée. Si on s'intéresse à la moyenne mobile centrée d'ordre m, elle est définie comme suit:

m impair (m =2p + 1) :

M_m

( X + Xt - p+ 1 + ... + X _t + ... + X t + p - 1 + Xt +p ) ( X _t ) = t - p

2 p +1

,

t= p + 1, ..., n - p ; m pair (m = 2 p) :

( 0.5 X t - p + Xt - p + 1 + ... + X t - 1 + X + X t + 1 + ... + X t + p - 1 + 0.5X_+p ) ,

p

M_m ( X _t) =

2

t = p+1,..., n- p ;

La procédure de désaisonnalisation d'une série est fonction du type de schéma.

· Schéma additive

Soit X, notre série. Comme il s'agit d'une série mensuelle, dont la période est 12, nous allons considérer la moyenne mobile centrée d'ordre 12. Soit MM(12), la série obtenue après avoir appliqué à X cette moyenne mobile. Les différences saisonnières sont obtenues en retirant de la série initiale la moyenne mobile i.e. X - MM (12). Comme X et MM(12) n'ont pas la même longueur, alors la soustraction se fait comme suit: pour une année donnée, nous faisons la différence aux mois identiques. Cette différence ne se fait qu'entre les périodes où nous observons les réalisations simultanées de X et de MM (12). Les coefficients saisonniers ne sont autres que les moyennes des différences saisonnières pour chacun des mois. Comme la somme des coefficients saisonniers doit être nulle, alors les coefficients saisonniers corrigés sont obtenus en retirant des coefficients corrigés leur moyenne arithmétique. Nous pouvons donc désaisonnaliser la série en retranchant de chacune des valeurs initiales le coefficient saisonnier correspondant.

· Schéma Multiplicatif

On calcule d'abord les rapports saisonniers qui sont le rapport de la série initiale par la moyenne mobile correspondante. Les 2 séries n'étant pas de même longueur, le rapport s'effectue comme suit: Pour une année donnée, nous faisons le rapport aux mois identiques. Ce rapport ne se fait qu'entre les périodes où nous observons les réalisations simultanées de X et de MM(12).

Les coefficients saisonniers s'obtiennent en faisant la moyenne des rapports saisonniers pour chacun des mois. La moyenne de tous ces coefficients devant être égale à 1, les coefficients saisonniers corrigés s'obtiennent en procédant à la division de chacun de ces coefficients par leur moyenne arithmétique. On peut donc désaisonnaliser la série en divisant chacune des valeurs initiales par le coefficient saisonnier correspondant. Une fois la série désaisonnalisée, on peut passer au test de stationnarité.

I-2. Stationnarisation.

1-2-1. Objectif et définition de la stationnarité.

Nous ne pouvons identifier les caractéristiques stochastiques d'une série chronologique que si elle est stationnaire.
La stationnarité est la clef de l'analyse des séries temporelles. Une série chronologique est dite stationnaire si elle ne
comporte ni tendance ni saisonnalité. On dira aussi qu'une série { yt } est strictement stationnaire si la distribution

conjointe de ( Yt1 ,..., Y_tk) est identique à celle de ( Yt1 + t ,..., Y_{tk+ t} ), quelque soit k est un entier ( où

t1 ,
·
·
· ^,tk a )

positif arbitraire et (t1, t2,,..., tk, t) une liste de k + l entiers positifs arbitraires.

Autrement dit, la stationnarité stricte dit que la distribution conjointe de ( Yt1 ,..., Y_tk ) est invariante quand on fait

glisser dans le temps. Cette condition est difficile à vérifier et on utilise, en général, une version plus faible de la stationnarité. On dit qu'une série temporelle {Yt} est faiblement stationnaire si la moyenne de Yt et la covariance entre Yt et Yt-l sont invariantes par translation du temps. Précisément, {Yt} est faiblement stationnaire si :

(a). E (Yt ) = ì où ì est une constante indépendante de t,

(b). cov ( Y _t , Y t - l ) ne dépend que de l, entier.

La stationnarité faible (ou de second ordre) implique que le graphe de la série en fonction du temps montre des fluctuations autour d'un niveau moyen, fluctuations qui se ressemblent, quel que soit la date autour de laquelle on examine la série.