Distribution des Anophèles nili et des Anophèles moucheti au sud du Cameroun : influence des facteurs du milieux

Annexe 4 : Résultats de l'analyse des correspondances multiples

Annexe 5 : Le modèle Logit

La distribution logistique à l'origine du modèle Logit admet comme fonctions de répartition et de densité les expressions suivantes :

( ) ( )

exp x â ( ) ( )

exp x

F x â

i i

â = f x â =

i i

1 exp

+ ( )

x â 1 exp

+ ( ) ²

x â i i

On a ainsi :

1

( ) ( ) ( )

exp - x â

F x F x 1

i

â = - =

â =

i ⁱ 1 exp

+ -

( ) ( )

x â 1 exp

+ x â
i i

Remarquons que la probabilité associée à la loi logistique peut être inversée. Si on note pi la probabilité que yi = 1, on a alors la représentation suivante :

â

p i

Log =x i

1

- p i

Et l'on vérifie bien que la probabilité que yi = 1 est une fonction croissante de la combinaison linéaire

4.1. Estimation du modèle Logit

L'estimation du modèle Logit repose aussi sur la maximisation de la log-vraisemblance.

La vraisemblance s'écrit

.

1 - y y i

i

^N 1 exp ( )

x â

i

L y x

( )

, , â = ?

1 exp

+ ( )

x â 1 exp

+ ( )

x â

i = 1 i i

soit la log-vraisemblance :

N { ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) }

- 1

= -

Log L 1 y Log 1 exp

+ x + y x yLog

- 1 exp

+ x

i i â i i â i i â

i=1

N

=- {( ) }

Log 1 exp

+ x yx

â â

-

i i i

i=1

Les conditions du premier ordre sont :

N N

? LogL exp N

( )

x _i â

G ( â ) = = yx ' - x ' = ?

0 y F x x

- ( â ) ' = 0

i i

? + ( ) i i i

â = i

1 1 1 exp x

i i = i â

i=1

Le Hessien est :

^N exp ( )

x _i â

H ( )

â = - x x

' i i

( ) ²

i = 1 1 exp

+ x _i â

Après convergence, les valeurs des probabilité estimées sont alors calculées en remplaçant â par son estimation â.

exp ( )

Pi =

x â à

i

( )

x â à

i

1 exp

+

4.2. Effets marginaux

Les effets marginaux mesurent la sensibilité de la probabilité de l'événement y_i = 1 par

rapport à des variations dans les variables explicatives xi. En plus des multiples avantages que présente la forme de la fonction logistique, il existe une égalité qui est en outre particulièrement intéressante en ce qui concerne l'analyse économique des résultats d'estimation. Il s'agit de la relation suivante

P

xi â = i

e

1 - P i

En effet, on sait que la probabilité Pi désigne la probabilité associée à l'événement complémentaire yi = 1, et que 1-Pi désigne par conséquent la probabilité associée à l'événement complémentaire yi = 0.

4.3. Définition et interprétation de la côte

De façon générale, la quantité c i = p _i (1 - p _i ) représente le rapport de la probabilité

associée à l'événement y_i = 1 à la probabilité de non survenue de cet événement : il s'agit de la cote. Dans un modèle Logit, cette cote correspond simplement à la quantité ^xi

e â :

x_i â

P i

c = = e

^{i 1} P

-

i

Si ce rapport est égal à ci pour l'individu i, cela signifie qu'il a ci fois plus de chance que l'événement associé au code y_i = 1 se réalise, qu'il ne se réalise pas.