I-4. Estimation
Considérons un processus centré ARMA (p, q),
solution stationnaire et inversible de l'équation
|
p q
X t - E? i X t - i =
åt - i t i
|
,
|
i = 1 i=1
où åt est un bruit blanc de
variance 2
ó
Un processus Xt est dit inversible s'il
existe un autre processus Yt tel qu'on ait XtYt = 1. On dispose de
données X = (Xl , ...,XT)'.
Dans ce paragraphe, nous considérons l'estimation des
paramètres 2
ó , ? 1 ,..., ? p ,
è 1 ,..., è q .
Notons X , la moyenne arithmétique des
données. On peut estimer ã (h) =Cov( Xt,,Xt-h)
Par
T
ã ( ) ( )( )
1
h = X X X X h
- - , 0,
=
i i h
-
T i = h+1
Et
Par
ñ ( h ) = ã(
h) ã( 0),
( h ) =ãà(
h)
ãà ( 0)
.
à
ñ
On pose ãà ( - h ) =
ãà ( h).
Les estimations ? à 1 , . . . , ?
à p de ? 1,..., ? p peuvent être
obtenues en résolvant le système de p équations
linéaires :
p
13( q + j )- E0 13( q
+ + 0= 0, j =1,..., p.
i =1 i
Pour ce qui est de l'estimation des èi
, on emploiera les autocorrélations inverses ñi
(h) qui sont, par définition, les autocorrélations du
processus dual ARMA (q, p) défini par l'équation
è ( B ) Xt =
ö( B) åt. Les
èi sont donc solutions des équations
q
A.
,( p + j )- Lè i
i3i( p + j + 0= 0 pour
tout
i
=
1
I-5. Vérification.
Les tests que l'on fait subir au modèle sont de deux
types: les tests concernant les paramètres ? i et è
i du modèle
et ceux concernant les hypothèses faites sur
å
· Tests concernant les paramètres
Pour comparer une formulation ARMA (p, q) avec une
formulation ARMA (p1, q1), il est commode de se placer dans le cas
où l'un des modèles est un cas particulier de l'autre. On suppose
dans la suite que l'on part d'un modèle ARMA (p, q) et que l'on
examine les tests correspondant à diverses valeurs de p1, q1
.
° pl = p-1, ql =q.
Il s'agit ici de voir s'il est possible de diminuer d'une
unité le nombre de retards intervenant dans la
partie autorégressive. Ceci revient à tester la
significativité du coefficient ?p ce qui peut
être fait
au moyen' d'un test de type Student.
° pl = p+1, ql =q.
Il s'agit de voir s'il est nécessaire d'introduire un
retard supplémentaire dans la partie autorégressive. Il faut
alors
estimer un modèle ARMA (p1, q1)=ARMA (p+1, q) et
tester dans ce second modèle la nullité de ?p + 1 . Ceci
nous ramène évidemment au cas précédent.
· Test concernant les résidus
Il est question ici de savoir si les hypothèses de
normalité et de bruit blanc sont satisfaites. ° Test
« portmanteau »
C'est un test concernant le bruit blanc.
Ce test est fondé sur la statistique:
k
Q N ñ
= à
2 [ ]
å ?
,
h
h = 1
ñà h [
å? ] étant la corrélation empirique
entre les résidus (distants de h).
à
ñh
T
[ ] [ ] 0 [ ] [ ] ( )( )
1
å ã å ã å
? = ? ?
à / à avec ã å
.
à ? = å å å -
å
- -
h h t t h
T t h
= + 1
On montre que, sous l'hypothèse d'indépendance des
åt , Q suit asymptotiquement (quand N? 8)
une loi du 2
÷ à
K - p - q degrés de
liberté; on refuse donc l'hypothèse d'indépendance, au
niveauá .
Q > 2
÷ 1 - á [k - p- q]
.
° Test de Jarque et Bera Il s'agit là d'un
test de normalité.
k
n
1/ 2
Soit ( )
ì le moment centré empirique d'ordre
k, le coefficient de Skewness ( )
= â1 est égal
X X
-
k i
i= 1
|
ì
à: ( )
â1 = 3
1/ 2
ì 3/ 2
2
|
et le coefficient de Kurtosis
|
â
ì4
2 2
ì 2 .
Si la distribution est normale et le nombre d'observations grand
(n>30) :
6 24
( )
â1 ? 2
1/ 2 N 0; et â? N3; cf.
Régis BOURBONNAIS dans « Manuel et exercices corrigés,
n n
Econométrie ».
Si ( )
â1 et â2
obéissent à des lois normales alors la quantité
1/ 2
Modélisation de l'écoulement des
dépôts à vue : Cas des banques commerciales du
Cameroun
s = ( )2
n n
â + â - suit un
x2 à deux degrés de liberté.
2 3
1
6 24
Donc si s > 2
x1 -á (2), on rejette
l'hypothèse H0 de normalité des résidus au seuil
á .
| 
