Analyse des détecteurs ca os et ml-cfar dans un clutter de distribution weibull

II.5. ANALYSE DU DETECTEUR ML-CFAR :

Pour les détecteurs CFAR dans un clutter Weibull suggérés précédemment, le seuil adaptative a été basé efficacement sur l'estimation du paramètre d'échelle et le paramètre de forme en utilisant soit les moments ou les statistiques d'ordre. Les deux techniques exposent l'étendue de la perte du CFAR (CFAR loss). Il a aussi été montré que la perte est en rapport avec la variance des paramètres estimés. Pour réduire la variance, et par conséquent la perte CFAR, un algorithme CFAR dans lequel les paramètres sont estimés en utilisant le Maximum de vraisemblance (Maximum-Likelihood).

L'algorithme de l'ML-CFAR est plus coûteux en temps de calcul que les deux autres approches; Cependant, les processeurs modernes peuvent être capables de manipuler un traitement supplémentaire, même s'il n'ai pas rendu effectif, les performances exceptées du ML que l'algorithme peut servir comme une référence comparative pour les algorithmes plus simples.

Par la suite nous développerons l'algorithme ML-CFAR et analyserons sa performance, en commençant avec le cas simple dans lequel le paramètre de forme est connu, et passer aux cas dans lesquels les deux paramètres sont inconnus. Pour le cas général nous montrons que le seuil du ML-CFAR peut être effectif comme c'est montré sur la figure suivante:

Pfa désirée

q₁

Calcul ci

ESTIMATEUR DE
MAXIMUM LIKELIHOOD

?

B

T B 1 /

= .á

q₀

qN/2 qN/2+1

?

?

C

C

?

Comparateur

q_N

Décision

Figure II.2- Le détecteur ML-CFAR.

En prenant le seuil adaptatif suivant la formule:

?

?

T B 1 / C

= .á (ÉÉ-3 5

Dans le cas du ML, B et C sont estimés à partir des N échantillons

x = x x x_N

( ₁ , 2 , ) (ÉÉ?36

?

D'une façon itérative, on peut estimer C à partir de l'équation:

N

?

? ^C ln

x x

j j N

1 1

= - =

¹ ln

j

? x

N j

? ? ? N j = 1

C

x C

j

(ÉÉ?3 7

?

Le C est utilisé alors pour obtenir

j 1

?

B d'après l'équation:

? B	? 1 / C N ? ? 1 ? xj ^C = ?= ? ? ( ÉÉ ? 3 8 ? N j 1 ?

Le coefficient á est une fonction du nombre d'échantillons de référence N et de la probabilité de fausse alarme désirée.á est indépendant des paramètres B et C.

La probabilité de détection sera développée pour le cas d'une cible fluctuante avec une PDF Rayleigh pour les deux types de cibles Swerling1 et Swerling2.

Dans ce cas, une tentative de calculer Pd directement en utilisant la PDF exacte de la CUT, résulte en une intégrale triple qui est difficile à évaluer numériquement, on cherche par conséquent alors une approximation qui est facile a calculée.

Nous notons que quand le SCR est haut, la contribution du SCR dans la CUT est faible, et la PDF exacte de cette contribution n'est pas très importante. Nous supposerons par conséquent que la CUT contient une cible Rayleigh et un clutter Rayleigh avec la même moyenne d'énergie comme le clutter Weibull dans les cellules de références. Cette approximation devient exacte lorsque les cellules de références présentent aussi une PDF Rayleigh.

1)- ML-CFAR avec un paramètre de forme C connu :

On commence notre analyse avec le cas le plus simple dans lequel le paramètre de forme est connu, et on montre alors que á peut être exprimé explicitement relativement à N, Pfa et C connu.

Le bruit de fond est représentée par un ensemble de N échantillons qui sont statistiquement
indépendants et identiquement distribués (IID), x₁ , x₂, x_n , avec une fonction

densité de probabilité Weibull (PDF), un paramètre de forme C connu, et un paramètre d'échelle B inconnu.

MEMOIRE DEFIN D 'ETUDE LES DETECTEURS CA, OS et ML-CFAR

Pour le cas C=2, la PDF devient de forme Rayleigh, pour laquelle il a été montré que l'estimateur du Maximum-likelihood de B est:

Avec un seuil de la forme:

1 / 2 ? N ? 1 2 ? = ?= B ? xj ? ? N j 1 ?

(ÉÉ?39

T(x)=á.B (ÉÉ?40

La probabilité de fausse alarme est alors:

- N

1 á ²

?

Pfa = ? +?? (ÉÉ?4 1

? N?

Nous utiliserons la même procédure pour déterminer le seuil, avec B estimé, quand C est connu mais n'est pas nécessairement égal à 2. La référence [9] montre que pour un tel cas l'estimateur ML-CFAR est donné par :

1 / ? ? N 1 ? xj ^C B = ?= ? ? ? N j 1 ?

C

(ÉÉ ? 42

Et un seuil T égale:

1/ C

? ? N

1 ?

( ) . . ?

C

T x B

= = ?=

á á ? x_j ( ÉÉ ? 43

? N j 1?

Une fausse alarme se présente lorsque la valeur dans la cellule sous test (CUT) dépasse le seuil, en mettant :

8

Pfa P [ CUT T ( x ) ] f x ( x ) = > ? 0

dx (ÉÉ?44

Le premier terme dans l'intégral est:

8

P CUT T f x dx

( ? )

> =(ÉÉ?4 5

t

?

?

??

8 - 1

Cx ^C

t

exp

B ^C

C ? x ?

? ? ??

dx

(ÉÉ?4 6

- ?? B ??

? ? T ? ?

P CUT T exp

( > = -

? ?? ?? ? ( ÉÉ ? 47

? ? B ? ?

On remplacer le seuil de l'équation (ÉÉ ? 43 dans l'équation (ÉÉ ? 47 nous obtenons, pour le premier terme dans l'intégrale :

C

C N x ?

( T exp á

? ? ?

j

P CUT > = - ?=

? ? ? ? ( ÉÉ ? 4 8

? N j ? ?

? ? B

1 ?

Le deuxième terme dans l'intégrale de l'équation (ÉÉ ?44 est la PDF commune pour N cellules est :

C - 1 C

? x ? ? ? x ?

j j

? ? exp ? - ? ?

f x B B

( )

x=

?=

j 1

N

C

?

?

??

? B ? ? ? ? ?

(ÉÉ ? 49

En insérant les équations (ÉÉ ? 48 et (ÉÉ ? 49 dans l'équation (ÉÉ ?44 nous obtenons:

N 8

Pfa = ??

j=1 0

C - 1 C

C ? x C

? ? ? x ? ?

j

? ? . exp 1 á ? j

? - ? +

? ? ? ? ? dx ( ÉÉ ? 5 0

i

B ? B N

? ? ?

? ? ? ? B ? ?

C

? x ?
j

On remplaçons y ?

= nous obtenons:

ⁱ B

?

? ?

? - ?

exp ? ?

? ?

áC ? ? y

N ?

? ? dy (ÉÉ?5 1

i i

?

N 8

Pfa = ??

j=1 0

1+

T x Pfa ^N

- 1 / 1

( ) (

= ? -

?

N?

)x C ? (ÉÉ?5 3
j ?= j 1 ?

1/ C

Ce qui donne:

- N

Pfa

= ? + á C ?

? 1? (ÉÉ?5 2

? N?

L'équation (ÉÉ ? 5 2 indique que l'algorithme est en effet CFAR, puisque la probabilité de fausse alarme est indépendante de B. On remplaçant l'équation ( ÉÉ ? 5 2 dans l'équation ( ÉÉ ?43 , on obtient le seuil dans une expression simple.

L'analyse précédente suppose un détecteur linéaire où la variable aléatoire x est distribuée avec une distribution Weibull pour un paramètre de forme C. Par contre pour un détecteur quadratique la variable aléatoire 2

y = x est aussi Weibull, avec un paramètre de forme égale C/2. Le seuil deviendra alors [11]:

T y Pfa ^N

- 1 / 1

( ) (

= ? -

?

?

N?

) y C / 2 ? (ÉÉ?54

j

?=

j1?

2/ C

Quand le paramètre de forme C est connu, le seuil est basé sur l'estimation du paramètre d'échelle, comme dans l'équation (ÉÉ ? 43 . La probabilité de détection sera par conséquent :

8

Pd

=

? ( P CUT 0

>? á B f(B)dB (ÉÉ ? 5 5 B

Où f_? est la PDF du ML, donné par :

(B)

B

N ? N ? f y B C ( ) = ?? ?? B	C N y C ? ( ) ? . 1 - exp ? - . y C N ? C N - 1 ! ? B ?		(ÉÉ?5 6
La probabilité de CUT supérieure à un seuil T est donnée par : 8 P(CUT T f CUT ( y ) dy > = ? 0		(ÉÉ?5 7

Nous supposerons une cible fluctuante avec une PDF Rayleigh, et une puissance moyenne de ²

B_t . Le clutter dans la CUT seront rapprochés par une PDF Rayleigh avec la même puissance moyenne comme celle du clutter Weibull dans les cellules de références.

La puissance moyenne du clutter ²

B_C sera reliée avec le paramètre d'échelle B :

2 ?

B_C B

2 2

= ? + C

?? 1 ?? (ÉÉ?58

Du fait que la cible et le clutter dans la CUT sont Rayleigh distribué, la PDF de la CUT sera aussi distribué en Rayleigh.

? ?

? 2 ?

y - y

f y

( ) = exp ? ? ( ÉÉ ? 5 9

CUT2 ? ? ? + ? ?

B 2 2 2 2

2

? +

1 B t t

?? ?? + B

? ?? 1 ?? + B ?

C ?C ?

On défini le SCR par:

(ÉÉ ? 60

SCR t

=

B ² ? +

?? 1 C ??

B 2

2 ?

En remplaçant l'équation (ÉÉ ? 5 9 dans l'équation (ÉÉ ? 57, nous obtiendrons :

2

? ?

? ? ?

? - B ?

? ?? ??

á

P CUT B

? > ? exp ? ?

?? á ?? = ( ÉÉ ? 6 1

? ( ) ?

2 ? ?

² + ? +

? B SCR

1 1

?? ??

?C?

Aussi en remplaçant l'équation (ÉÉ ? 5 6 et (ÉÉ ?6 1 dans l'équation (ÉÉ ? 5 5 nous trouverons Pd :

Pd=

? ?

8 ? ( ) 2 ? N CN C

1

-

? á . y ? N ? C y

. ? - N y

. ?

? exp ? ? . ? ?

( ) ( )

?? ?? exp dy ( ÉÉ ? 62

C C

? ? ? - ? ?

⁰ B SCR

² + ? + 2 B N 1 ! B

1 1

? ?? ?? ?

? C ?

Substituer

C

N y

.

z = ( ÉÉ ? 63

B ^C

Nous obtenons le résultat pour la probabilité de détection quand SCR>>1 :

SCR

?
8 ?

1 - 1

Pd

z ^N

= ( ) (

? exp ?

N - 1 ! ?

⁰ 1 +

? ?

?

2 2 / C ?

(ÉÉ?64

? á ? z ? ?? - z dz

?

?? N

? ?

) ? + 2

? ? 1 ?? ?

C ?

Pour le cas spécial de clutter Rayleigh (C=2), cet intégral est résolu explicitement, en le réduisant au résultat connu :

- N

2

? á ?

Pd = + 1

? 1 ? ( ÉÉ ? 65

N SCR

(

? + ?

MEMOIRE DEFIN D 'ETUDE LES DETECTEURS CA, OS et ML-CFAR

L'équation (ÉÉ ?64 est une expression approximative, parce qu'en dépit du fait que le clutter dans les cellules de référence suit une distribution Weibull, la CUT est supposée suivre une distribution Rayleigh (avec la même puissance moyenne). Pour vérifier l'exactitude de cette approximation, nous comparons la Pd qui utilise l'équation (ÉÉ ?64 avec la simulation Monte- Carlo dans laquelle la CUT contient un clutter Weibull (et une cible Rayleigh). Les résultats sont donnés dans la figure II.3.

Pd

Figure II.3- La probabilité de détection en fonction de SCR.
Pfa=10^-5 ; C=1; N=16.

Cette courbe est une approximation théorique dans laquelle la cellule sous test est supposée contenir une cible plus un bruit de Rayleigh. Les points représentent des résultats de Monte- Carlo dans lesquels la CUT contient la cible plus le bruit de distribution Weibull correcte. Chaque point individuel est obtenu à partir de 1000 itérations de monte-carlo. Pour des faibles SCR nous cherchons que la Pd réelle soit quelque peu plus élevée que celle prédite par

l'équation (ÉÉ ?64 .

2)- ML-CFAR avec un paramètre de forme C inconnu :

Quand le paramètre d'échelle et le paramètre de forme sont inconnus, ils ont besoin d'être estimé simultanément à partir des cellules de référence. Le seuil adaptatif sera basé sur

? ?		? ?
les valeurs estimées	B etC. Dans cette section nous dériverons les valeurs estimé		BetC, qui

assure que le seuil décrit par l'équation (ÉÉ ?3 5 ,est en effet un détecteur CFAR, puis nous discuterons la relation entre le coefficient a et la probabilité de fausse alarme Pfa.

· L'estimateur du paramètre de forme C et paramètre d'échelle B :

Pour obtenir l'estimateur ML, nous dérivons le logarithme de la PDF commune f(x) des N cellules de références, par rapport aux paramètres B et C, ensuite on met la dérivée à zéro. L'ensemble d'équations résultant, peut être résolu répétitivement pour obtenir l'estimateur ML de B et C.

Supposons l'indépendance entre les cellules de références, la PDF commune est donnée par :

N ? C

N ? x ?

( ) ¹ exp

? C -

f x ? ?

= ?

?= ? x C j

?? ?? ( ÉÉ ? 66

^C B

j

?? ?? - C

B j 1 ? ? ? ? ? ?

N

N

Pour laquelle nous obtenons :

1

ln ( ) ln . ln ( 1) ln

f x N C N C B C x

= - + - -

? ?

j _C x_j (ÉÉ ? 67

N - =

C

1 1

B j

f x ?= ?

N

? ln ( ) NC C?x?

j

= - + ? (ÉÉ?68

? B B B B

j 1 ? ?

C

N N

? ? = ? = B

ln ( )

f x N ? x ? ? x ?

N B x

ln ln ln

(ÉÉ ? 69

j j

= - + - ? ? ? ?

j

? C C 1 1 ? B

j j ? ??

On posant :

0

?

N j = 1

? ln ( ) =

f x

?B

Nous obtenons :

C x ?

j ? ( ÉÉ ? 70

B ?

De même pour l'équation (ÉÉ ? 69 , nous utilisons l'équation (ÉÉ ? 70 :

j j N

1

?

=

? _xC

j

?

C

(ÉÉ ? 7 1

j 1

L'équation (ÉÉ ?7 1 peut être résolu itérativement pour obtenir C qui sera utilisé alors dans

?

l'équation (ÉÉ ? 70 pour obtenirB.

Pour justifier le choix du seuil comme décrit par l'équation (ÉÉ ?3 5 , nous notons en premier

que quand B et C sont connus exactement dans l'équation (ÉÉ ? 47, la probabilité de fausse alarme est décrite par:

C

? ?

= - ? T ?

Pfa exp ? ?? ?? ? ( ÉÉ ? 72

? ? B ? ?

Où :

T B Pfa

= - ln

(

1/C

(ÉÉ?73

Par contre lorsque B et C ne sont pas exactement connus, et sont remplacés par leurs valeurs estimées qui ne sont pas sans erreurs; le seuil donné présente une plus grande Pfa qui est prédit par l'équation (ÉÉ ? 72 . Pour compenser cela, nous remplaçons (-ln Pfa) par un paramètre a, lequel peut être vérifié pour déterminer la Pfa désirée. Le seuil est par conséquent présenté par :

T B 1 / C

= .á(ÉÉ-74

? ?

Pour un grand nombre de cellules de référence N, et une Pfa relativement élevée, a est légèrement plus élevée que (-lnpfa).

Une étude dans la référence [9] sur les propriétés des détecteurs CFAR, justifie dans l'appendice À l'approche heuristique qui a mené à l'équation (ÉÉ ?74;

La technique de simulation donne des résultats entre le facteur a et Pfa pour deux valeurs de N (16 cellules et 32 cellules). Ces résultats sont tracés dans la figure 2.

Pfa

Figure II.4- Le facteur u en fonction de Pfa.

Nous avons aussi ajouté la courbe de (-ln Pfa); pour laquelle ci converge quand N tend vers l'infini. Dans La figure II.4, chaque point sur la courbe qui correspond à N=32 a été obtenu à partir de 100.000 itérations et chaque point sur la courbe N=16 a été obtenu à partir de 50.000 itérations. Les courbes sont obtenues en utilisant l'interpolation linéaire entre les points, sans lissage [11].