Chapitre 3
Simulation d'un modèle simple
3.1 Introduction
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
m3
k13 k32
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
X (cm)
m1 m2
FIG. 3.1 - L'aspect géométrique du modèle
simple masses ressorts
L'idée consiste à écrire un algorithme
sous matlab qui permet de simuler l'ensemble des composants tout en maintenant
la cohérence de l'ensemble de modèle.
Le but de la simulation est de reproduire le comportement de
la valve aortique, lors de son ouverture, en un modèle extrêmement
simplifié et en temps réel à partir des lois de la
physique. Au contraire de l'animation qui est une succession d'images
virtuelles récupérées des résultats de simulation
et qui donne l'illusion de la réalité comme pour la technique des
dessins animés.
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CHAPITRE 3. SIMULATION D'UN MODÈLE SIMPLE
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3.2 Modèle masses ressorts
Le modèle masses ressorts est très
répandu dans le domaine biomédical, il consiste a
discrétiser la structure en un maillage surfacique et d'attribuer
à chaque noeud de ce maillage une masse.
Les liens élastiques, représentés par des
ressorts, voir 3.1, modélisent les interactions entre noeuds voisins
sont régis par l'équation suivante :
f =--kxï. (3.1)
ou k est la raideur du ressort lié
au noeud j.
L'énergie potentielle élastique emmagasinée
du système s'écrit :
1 >
U = kiLl2 i . (3.2)
2
Où Ll est l'allongement du ressort, k est son
coèfficient de raideur.
Le travail fournit par la force extèrieure F ? qui
s'applique sur un objet parcourant un trajet ?8u pour
déformer le ressort depuis sa position de repos est :
8W = F? ?8u. (3.3)
Le travail total fourni par la
force F? s'écrit :
fW = F? ?8u. (3.4)
3.3 Aspect géométrique
Le modèle de la valve a été
simplifié, il est réduit en trois masses et deux ressorts. Les
deux masses, liées aux deux extrémités des deux ressorts,
sont bloquées (aux déplacements et en rotatation), l'autre masse
liée aux deus ressorts elle est libre. Voir la figure 2.3.
Ce modèle est quasi bidimensionnel : nous supposons que
l'écoulement traversant la valve aortique est constant dans la direction
de z ceci signifie que notre système dépendra seulement de la
position de x et y.
La valve aortique est composée de trois feuillets,
symétriques, fortement flexibles, de longueur l et formant un angle a
avec l'axe x. Ces feuillets sont attachés à la racine d'un point
commissure suivant une ligne doublement incurvée (anneau aortique) [7],
comme illustré dans la figure 5.1.
l=r0cosa. (3.5)
L
r0
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CHAPITRE 3. SIMULATION D'UN MODÈLE SIMPLE
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FIG. 3.2 - Les dimensions appropriées de la
géométrie de la valve aortique. l longueur du feuillet, L
longueur du sinus, r0 rayon de la valve, = 19°.
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