Dynamique globale sur les espaces-temps de
Robertson-Walker
dans un milieu fluide parfait relativiste
Mémoire de DEA (Diplôme d'Etudes
Approfondies) en Mathématiques
Option: Analyse
Spécialité: Equations aux Dérivées
Partielles
Chendjou Gilbert Mémoire soutenu le 29 Juillet 2004
devant le jury ainsi constitué:
Président Marcel DOSSA Maître de Conférence
(UYI)
Membre François WAMON Maître de Conférence
(UYI)
Rapporteur Norbert NOUTCHEGUEME Professeur (UYI)
Dédicaces
A mon oncle
Ç) le Père Jean-Marie SIGNIE.
A ma maman
Ç) DJUISSI Hélène.
A mon papa Ç) SAHJoseph.
A la mémoire de mes grand-parents.
Remerciements
Ce travail me donne l'occasion d'exprimer ma profonde
gratitude à tous ceux qui m'ont permis d'une façon ou d'une autre
de le concrétiser. Je rends grâce à Dieu tout puissant pour
tout ce qu'il ne cesse de faire pour moi.
- Je voudrais d'abord m'adresser au Professeur Norbert
NOUTCHEGUEME, celui même qui m'a proposé ce sujet et qui tout au
long de celui ci, a fait preuve de beaucoup de patience, de soutien et de
disponibilité. Mon seul regret est de n'avoir pas su trouver les accents
plus digne pour le remercier; mon souhait est de poursuivre les recherches
à ses côtés. Que le Seigneur le bénisse.
- Je tiens à remercier tous les enseignants du
Département de Mathématiques pour avoir guidé mes pas
jusqu'à ce jour; particulièrement au Professeur David BEKOLLE, au
Professeur Marcel DOSSA, au Professeur Françcois WAMON, et au Docteur
Gilbert MBIANDA.
- Jamais je n'oublierais le Père Jean-Marie SIGNIE, mon
oncle; les mots me manquent. Que serai-je sans toi? Tout simplement Merci.
J'exprime ma reconnaissance à toute ma famille, qui
malgré la distance et le temps, n'a cessé de me soutenir et de
m'encourager. Je vaudrais ainsi remercier ma très chère
mère DJUISSI Hélène de son amour, Dr. Joseph NZONGANG et
Mr.TALLA Rigobert de leur soutien de tout genre.
Je tiens aussi à remercier tous mes camarade de DEA,
ceux avec qui j'ai cheminé jusqu'à la réalisation de ce
travail ainsi que ceux de l'ENS de Yaoundé; j'ai nommé : R.
Kameugne, B. Ntakeu, B. Nguefack, L. Matamba, A. kwessi, D. Kengfack, S.P.
Moutombi, T.Chekouo, M. Kamga, E. Diékouam, C. Piémeu,
L.Tchoualac, J.J. Kengwoung, E.A.Yakam.
Je remercie Bernard Fotsing, Zéphirin Deffo,
Jean-Noél Nzongang, Hugues Chendjou et Serge Fogang pour leur soutien
moral.
- Je ne saurais oublier mes frères et soeurs : Albert
Chendjou, Guillaume Fotsing, Majouwé Solange, Tchabou Rose et
Ayouwé Charlotte pour leur assistance
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permanante.
Enfin, Je dois beaucoup et je leur suis reconnaissant,
à tous les amis qui ont été toujours à mes
côtés pendant les moments difficiles. Merci à Giles
Fotsing, J.J Bankeu, B. Tchouembou, J.M Tchoukouegno, C. Bibai, H. Gallamo, G.
Nguengang, E.Takam, A. Djoukang, F. Eoné, N. Youmbi, P. Nkonlack, B.
Manga, M. Botchack.
Résumé
On se place dans un milieu fluide parfait relativiste. On
considère les équations d'Einstein sur les trois types
d'espace-temps de Robertson- Walker et on étudie pour ces
équations, l'existence globale des solutions dans le temps.
Abstract
Let us consider a relativistic perfect fluid environment; and
let us consider the equations of Einstein on the three types of Robertson-
Walker space-time. We study for these equations, the total existence of the
solutions in time.
Table des matières
Dédicaces i
Remerciements ii
Résumé iv
Abstract v
Introduction 2
1 Préliminaires : Variétes hyperboliques ou
lorentziennes 3
1.1 Exemples d'espace-temps 4
1.2 Tenseurs sur (v4,g) 4
1.3 Connexion sur V4 5
1.4 Expression locale de Vv 6
1.5 Expression locale de Vv(u) 7
1.6 Dérivée covariante d'un vecteur covariant.
7
1.7 Expression locale de Vw, o`u w E T*V4 8
1.8 Torsion de la connexion V. 8
1.9 Courbure de la connexion linéaire V 9
1.10 Connexion Riemannienne ou connexion de Levi-Civita sur (V4,
g) . . 10
1.11 Tenseur de courbure d'une variété riemannienne
10
1.12 Tenseur de Ricci, courbure scalaire 11
2 Equations d'Einstein & espace-temps de Robertson-Walker
13
2.1 Univers de la Relativité Générale et
espace-temps de Rob ertson-Walker. (R.W) 13
2.1.1 Cadre géométrique 13
2.1.2 Représentation de la matière. 14
2.2 Les équations d'Einstein 15
2.2.1 Les équations 15
2.2.2 Solutions classiques. 16
2.2.3 Espace-temps de Robertson-Walker : théorie de
l'univers en es-
pansion (Cosmologie) 17 2.2.4 Ecriture de l'équation
(2.11) dans les 3 types d'espaces temps
de Robertson -Walker. 22
3 Existence globale des solutions dans le temps des equations
(2.14) et (2.15) 24
3.1 Cas de la radiation pure 24
3.2 Cas de la matière pure 26
3.2.1 Existence globale des solutions pour les relations (3.9) et
(3.10) 27 3.2.2 Existence globale des solutions pour la relation (3.11)
28
Conclusion 30
Bibliographie 30
Introduction
En Relativité Générale, et plus
précisement en Cosmologie, l'espace-temps de
FriedmanLemaître-Robertson- Walker (F.L.R. W) est un modèle
particulièrement indiqué pour l'étude de la théorie
de l'univers en expansion. La cosmologie étant elle-même la
recherche des modèles qui représentent l'univers dans son
ensemble, même les galaxies sont, de ce point de vue, assimilables
à des points matériels. Il est donc compréhensible que
dans ce cadre on s'interesse spécialement aux phénomènes
dits spatialement homogènes c'est-à-dire qui ne dépendent
que du temps. Les équations d'Einstein qui sont les équations de
base de la Relativité Générale (en ce sens qu'elles
permettent de comprendre, d'expliquer et même de prédire les
phénomènes de l'univers aussi bien à l'échelle
microscopique qu'à l'échelle macroscopique), présentent
l'inconvénient majeur d'être surdéterminées.
L'espace-temps homogène de F.L.R. W se présente comme un
modèle que l'on peut raisonnablement envisager pour résoudre ces
équations. L'étude
de ces équations est classique; mais l'on ne s'est pas
spécialement jusque là préoccupé de leur existence
globale dans le temps. C'est ce que nous tâchons de faire dans ce
travail, en étudiant leur dynamique globale pour un milieu fluide
parfait relativiste, qui est la toute première approche de la
matière permettant d'illustrer au mieux les phénomènes
relativistes gouvernés par les équations d'Einstein.
Nous nous plaçons donc dans ce milieu pour dresser dans
un premier temps les équations d'Einstein sur les trois types
d'espace-temps de Robertson- Walker qui, dans notre cas se ramènent
à des équations différentielles non linéaires.
Ensuite, nous étudierons l'existence globale des solutions dans le
temps, ce qui permettrait de prévoir le comportement asymptotique vers
l'infini futur.
Le travail est subdivisé en trois parties :
· Le chapitre 1 présente les éléments
de géométrie hyperbolique, nécessaires pour comprendre la
structure des équations d'Einstein.
· Le chapitre 2 est consacré à
l'établissement des équations à étudier.
· Le chapitre 3 est consacré à l'étude
de l'existence globale des solutions dans le temps.
ChaPItre PremIer
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
g = -- (dx0)2 +
|
E
i=1
|
(dxi)2 (1.1)
|
PRÉLiMiNAiREs : VARiÉTEs
HypERBoLiQuEs ou LoRENTziENNEs
Notation 1.1.
(i) g désigne une métrique pseudo-riemannienne.
(ii) V4 désigne une Variété
différentiable de dimension 4.
(iii) (V4,g) désigne un espace-temps.
Définition 1.1. Soit V4 une variété
différentiable de dimension 4, de classe Cp , p > 1. Une structure
hyperbolique ou lorentzienne sur V4 est la donnée d'un champ de tenseur
g , de classe Cp-1, deux fois covariants, appelé tenseur
métrique et qui est telle que :
- g est symétrique
- Vx E V4 , g induit sur l'espace tangent Tx en x
à V4 une forme bilinéaire non
dégénérée gx
- g est de signature (+, --, --, --) ou (--, +, +, +)
Remarque 1.1.
(R1) (V4,g) est une variété , espace-temps.
(R2) Nous adopterons dans tout ce qui suit la convention de
sommation d'Einstein : AaBa = E
AaBa où les indices grecs varient de 0 à 3
et les indices
a
latins de 1 à 3.
(R3) L'écriture locale de g dans le repère naturel
(ea) est donnée par g = gasdxadxs
où gas = g(ea, es)
Un système de coordonnées (xa) sur (V4,
g) est dit adapté si dans le repère naturel associé
(ea), g s'écrit :
3
en signature (--,+,+,+) ou g = (dx0)2
--
|
3
E
i=1
|
(dxi)2 en signature
|
(+,--,--,--)
Remarque 1.2. Nous avons l'isomorphisme TxV4
ge,R4
Sur R4 muni de son système de coordonnée
globale (xá), la métrique
77 = (dx0)2 --
|
3
E
i=1
|
(dxi)2 ou 77 =
--(dx0)2 +
|
3
E
i=1
|
(dxi )2
|
est appelée métrique de Minkowski.
C'est à Minkowski que l'on doit d'avoir adopté de
représenter un évènement par un point
(x0, xi) de R4 où x0 = t est
le temps et xi, i = 1, 2, 3 est l'espace.
Définition 1.2.
(i) La variété hyperbolique (R4,77) est
appelée espace-temps de Minkowski.
(ii) · Par analogie, toute variété
hyperbolique (V4, g) est appelée espace-temps.
1.1 Exemples d'espace-temps
· L'espace-temps de Minkowski (R4,77).
Si nous adoptons sur R3 le système de
coordonnées sphériques (r, è, ?) on obtient :
77 = dt2 -- dr2 -- r2 [dè2 + sin2
èd?2] tER , r> 0, è E [0, ð], ? E [0, 2ð]
ou
77 = --dt2 + dr2 + r2 r
,^2
[au + sin2 èd?2]
· L'espace temps de Robertson-Walker
g = --dt2 + a2 (t)[e2 A (r )
dr2 + r2dÙ2]
En utilisant les reférentiels dans lesquels les
évènements sont simultanés, ou
g = a2(t)[ --dt2
+e2A(r)dr2+ r2dÙ2]
où dÙ2 = dè2 +
sin2 èd?2 est la métrique de la
2--sphère unité S2 de R3, et a une fonction
donnée de t
1.2 Tenseurs sur (v4,g)
Définition 1.3.
(i) Un vecteur contravariant est un élément u E
Tx et ses composantes dans une base (eá)
de Tx sont notées (uá) i.e u =
uáeá.
(ii) Un vecteur covariant est un élément v E T
x et ses composantes dans la base duale (èa) de
(ea) sont notées (v a) i.e v = v
aèa.
Remarque 1.3. g = gx : Tx×T x ? R
est bilinéaire donc ?u E Tx , ufixé, l'application v
7? g(u, v) est une forme linéaire sur T x , donc u = g(u,.) E
T x. On a donc u =u aèa où u a =
u (ea) = g(u,ea) = g(uâeâ,ea) =
uâg(eâ,ea) = uâgaâ i.e u a =
gaâuâ
En procédant de la même manière avec la
matrice inverse gaâ de g, qui est une forme bilinéaire
sur T x , on associe à tout vecteur covariant u E T
x un vecteur contravariant u E Tx avec uâ =
gaâu a.
Conséquence
g permet d'associer canoniquement à tout vecteur
contravariant u, un vecteur covariant u et reciproquement. On identifie u et u
et on parle seulement :
- du vecteur u
- de ses composantes contravariantes (ua)
- de ses composantes covariantes (ua)
où ua et ua sont liés par
ua = gaâuâ et uâ =
gaâua
Vecteurs temporels, spatiaux ou isotropes
Soit g de signature (-, +, +, +)
1)un champ de vecteur X sur V4 de composantes (Xa)
dans TxV4 est dit : - Temporel si
gaâXaXâ < 0
- Spatial si gaâXaXâ > 0
- Isotrope si gaâXaXâ = 0
2) une courbe C dans V4 est dite, temporelle, spartiale ou
isotrope, si elle admet en tout point un vecteur tangent qui est temporel,
spartial ou isotrope.
3)Si g est de signature (+, -, -, -) changer les signes dans les
inégalités au 1).
1.3 Connexion sur V4
Définition 1.4. Une connexion linéaire sur V4 est
la donnée d'une application 5 :TV4?T V4?TV4
v 7? Vv
définie sur les champs de tenseurs différentiables
sur V4 et qui est telle que
· 5 (u + v) = 5u + 5v (1.2)
· y(fv)=df®v+fyv (1.3) pour toute
fonction différentiable f.
yv est appelé différentielle absolue ou covariante
de v . v est un vecteur contravariant.
1.4 Expression locale de yv
Soit (ea) le repère naturel de TV4 et
(èa) sa base duale. On a v = vaea de yv
= dva ® ea + va y ea
comme yea E T*V4 ® TV4,
posons yea = l'àaès ®
eA
on obtient alors dva = ?svaès
où ?sva =
eavxao
et donc yv = ?svaès ® ea +
val'Asaès ® eA
d'où les composantes du tenseur mixte yv noté
yavssont données par :
yavs = ?avs +
l'saAvA (1.4)
Remarque 1.4.
· yavs est appelé dérivée
covariante du vecteur v
· Les l'Aas s'appellent coefficients de la
connexion y ou symboles de Christoffel associés à y .
Proposition 1.1. Dans un changement de repère naturel
(xa) , (xa') , où Aaa' =
âme«' et Aaa' =
aaxxaa'
, sont les matrices jacobiennes (inverse l'une de l'autre) de changement
de cartes correspondantes; les coefficients l'Aa:,s'
dans (xa') et l'Aas dans (xa) sont
liées par :
l'A'' a' = AA'Aa As FA +
A A' ?Aa'
a fr, A a, st as 1-- .1-1A
?xTY (1.5)
Preuve. (Indication)
On écrit que les composantes de Vv se transforment comme
celles d'un tenseur mixte
(

1). i.e Va'vs' =
Aaa'Ass'Vavs On exprime
Vavs par (1.4) sachant que vs =
AA'svA' et 1 on déduit (1.5).
Définition 1.5. La dérivée du vecteur y dans
la direction du vecteur u noté Vuy est le vecteur
Vuy = Vy(u)
1.5 Expression locale de Vy(u)
(1.4) donne Vuy = Vy(u)
= (Vays)èa
es(uÀeÀ) = uÀ Va
ysèa(eÀ)es
= uÀ Va
ysäaÀes
= ua Va yses
D'où
Vuy =ua Vayses
(1.6)
(Vuy)s = ua Va ys sont les composantes de
Vuy dans la base (es)
Remarque 1.5. En prenant u = ea et y = es on trouve
:
(Veáes)À =as (1.7)
1.6 Dérivée covariante d'un vecteur covariant.
Soit y E TV4 fixé, on définit l'application Vv :
T*V4 --> T*V4 telle que :
(d1)Vv est linéaire
(d2) Vv (u w) = (Vvu) w + u Vvw (d3)Vv commute avec la
contraction
(d4) Vv f = df (y) pour toute fonction
différentiable f .
Définition 1.6. La différentielle absolue ou
covariante d'un vecteur covariant est l'application
V : T*V4 --> T*V4 xT*V4
w 1--> Vw
telle que
(d5) V w (u1 , u2) = (V u,w)(u2) Vu1, u2 E TV4
1.7 Expression locale de Vw, o`u w E T*V4
Soit (ea) un repère naturel
(Vw)a$ = (Vw)(ea, e$) =
(Veáw)(e$) := Vaw$ on obtient :
Vaw$ = ?aw$ - Fë a$wë (1.8)
(1.8) est l'expression en coordonnées locales de la
dérivée covariante du vecteur covariant w
Remarque 1.6. La notion se généralise aux tenseurs
quelconques t de type (p ).
) q
Vt est défini par une formule analogue à (d5) et
est du type ( p
q+1
La formule obtenue respecte les signes donnés par (1.4)
et (1.8) à savoir le signe
(+) devant F pour un indice contravariant et le signe (-) devant
F pour un indice covariant.
Exemple 1.1.
).
a) T = T p ë localement , T est du type (iVaT p ë= ?aT
p ë+ Fë avT p v - Fv ap T ë (1.9)
v
).
b) T = T a$
ë p localement, T est du type (2 2
VvT a$
ëp = ?v T a$
ëp + Fa vó T ó$
ëp + F$ vó T aó
ëp - Fó vë T a$
óp - Fó vp T a$
ëó (1.10)
1.8 Torsion de la connexion V.
Si f est une fonction de classe C2 sur V4, on a en
appliquant (1.8) au vecteur covariant ?pf: Vë?pf = ?2 ëpf
- Fv ëp?vf
Vp?ëf = ?2 ëpf - Fv pë?vf
D 'où
Vë?pf - Vp?ëf = (Fv pë - Fv ëp)?vf (1.11)
Définition 1.7. On appelle torsion de la connexion V le
tenseur de composantes locales
SasA = rasA --nis (1.12)
Remarque 1.7.
--S est antisymétrique par rapport aux indices
inférieurs
-- (1.5) montre que les rAas ne se
transforment pas comme un tenseur; par contre les SasA sont
bien les composantes d'un tenseur.
1.9 Courbure de la connexion linéaire V
Soit V un vecteur sur V4 de composantes locales V =
(VA). Les VsVA sont les composantes d'un tenseur mixte de
type (1) sur V4. La formule (1.9) donne alors :
Va Vs VA = ?a(VsVA) +rAau Vs
V u -- ruas Vu VA Vs Va VA = ?s(VaVA) +rAsu
Va Vu -- rusa Vu VA or
VaVs = ?aVs + rsauVu
d'où
Va VsVA -- Vs Va VA
= ?a Vs VA -- ?s Va VA +
rAau Vs Vu -- rA suVa Vu +
rusa Vu VA -- ru asVu VA
=
?a(?sVA+rAspVp)--?s(?aVA+rAapVp)+rAau(?sVu+ruspVp)--rAsu(?aVu+ruapVp)+
(rusa -- ruas) Vu VA
= (?arAsp -- ?srA
ap+rAaurusp--rAsuruap)Vp--(ruas--rusa)VuVA
= RAp,asVp -- Spas
Vp VA
i.e
Va Vs VA -- VsVa VA =
RAp,asVp -- Spas
VpVA (1.13)
où
RAp,as =FA -- a FA ru +rAru
a sp ap -- su ap au sp (1.14)
Théorème et définition 1.1. Les RA
p,as sont les composantes d'un tenseur
mixte de type (31) sur V4 appelé tenseur de
courbure ou tenseur de Riemann de la connexion linéaire V.
Remarque 1.8. La courbure et la torsion ont des
définitions intrinsèques sur
V4.
a) S est la forme 3--linéaire définie par :
S:TV4xTV4xT*V4*1R
(u, v, w) 7? S(u, v, w) = w(Vuv - vvu - [u,
v])
b) R est la forme 4-linéaire définie par :
R:TV4×T*V4×TV4×TV4?R
(u, x, v, w) 7? R(u, x, v, w) = x{(Vv Vw
- Vw Vv - 5[v,w])u}
1.10 Connexion Riemannienne ou connexion de Levi- Civita sur
(V4,g)
Théorème et définition 1.2. Il existe sur
(V4, g) une connexion linéaire et une seule 5 telle que :
1. 5 est sans torsion i.e S = 0,
2. yg=0
5 est appelé connexion riemannienne ou connexion de
Levi-Civita de (V4, g)
Preuve. La condition 2. donne
5ëga$ = ?ëga$ - í ëagí$ - í
ë$gaí = 0
après permutation circulaire sur les indices et
contraction avec le tenseur métrique g, l'on déduit :
ë a$ =
|
1
2
|
gëu(?agu$ + ?$gau - ?uga$) (1.15)
|
(1.15) donne l'unicité desë a$ donc de 5
dès que g est donnée.
|
|
1.11 Tenseur de courbure d'une variété
riemannienne
Définition 1.8.
· On dit que l'espace-temps (V4, g) est plat si son tenseur
de courbure est nul i.e Rë u,a$ = 0 .
· Un espace-temps qui n'est pas plat est dit courbe.
Exemple 1.2. L'espace-temps de Minkowski (R4,
ç) est plat.
Il en résulte de même de tout espace-temps dont la
métrique est constante.
Remarque 1.9. Comme 5 est sans torsion, (1.14) donne
Va V$ V ë - V$ Va V ë = R ë
u,a$V ë.
On associe àRa $,ëu grace à g le
4-tenseur covariant Ra$,ëu = gaíRí$,ëu.
(1) R est symétrique par rapport aux groupes d'indices
(aâ) et (At) i.e
Ras,Àp = RÀp,as
(2) R est antisymétrique par raport à chaque paire
d'indices i.e
Ras,Àp = --Rsa,Àp ; Ras,Àp = --
Ras,pÀ
(3) Ras,Àp + RaÀ,ps + Rap,sÀ = 0 (on fixe a
et on fait une permutation circulaire sur â, A, t,)
(4) identité de Bianchi
V vRas,Àp + V ÀRas,pv + V pRas,vÀ = 0
(permutation circulaire sur les 1'r , 4' et 5' indices.)
1.12 Tenseur de Ricci, courbure scalaire.
Le tenseur de Ricci est défini par :
Ras = RÀa,Às = gÀp
Rpa,Às
Ras est symétrique
Ras = gÀp Rpa,Às =
gÀpRÀs,pa = Rps,pa = Rsa
Définition 1.9.
(i) On appelle courbure riemannienne scalaire de (V4, g) le
scalaire R = Raa =
as
g R as
(ii) Un espace-temps (V4, g) est dit à courbure constante
si la fonction courbure scalaire est une fonction constante sur (V4,
g).
(iii) On a V agÀp = 0 = V
Àgas
on a Vs = gasVa
On dit que g est transparente par différentiation
covariante i.e g se comporte comme une constante pour V.
(iV ) On définit aussi l'opérateur Va
par Va = gaÀV À;
, 2 1 ,
V aRa" -- V" R= 0 (1.16)
Preuve. Les identités de Bianchi donnent par contraction
avec g :
V vRa s,Àp+ V ÀRa s,pv + V pRa
s,vÀ = 0
Contractant les indices a et A, on a vu l'antisymétrie en
vA,
VvRsp + VaRa s,pv -- VpRsv = 0
D'où la contraction avec g et la transparence de g donne
:
VvRsp + VaRaspv -- VpRs v = 0
Contractant maintenant en â et v on a vu
l'antisymétrie de R en aâ et en tv
vâRâu +
vaRau - vuR = 0
i.e 2 va Rau - vuR = 0
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D'où (1.16) Définition 1.10.
(i) Un vecteur v est dit transporté par
parallélisme le long de l'arc de courbe différentiable c : t 7?
x(t), si sa dérivée dans la direction du vecteur tangent u
à c est nulle i.e vuv = 0 où u = dx dt , x = x(t)
(ii) La courbe différentiable c est dite
auto-parallèle si son vecteur tangent u est transporté par
parallélisme le long de c : i.e
vuu=0; (1.17)
Une telle courbe s'appelle une géodésique de (V4,
g).
L'expression locale de (1.17) est donnée par:
d2xa dxë dxu
dt2 + a = 0 (1.18)
ëu dt dt
Remarque 1.10. Vu l'expression (1.15) des a ëu, (1.18) est
une équation différentielle non linéaire du second ordre
dont les coefficients dépendent des gëu et des
?agëu.
EQUATIONS D'EINSTEIN &
ESPACE-TEMPS DE
ROBERTSON-WALKER
Nous nous proposons dans ce chapitre d'introduire les
équations d'Einstein, qui sont les équations de base de la
Relativité Générale. Nous présenterons ensuite les
espaces -temps de Robertson-Walker sur lesquels nous étudierons la
dynamique globale pour un milieu fluide parfait relativiste.
2.1 Univers de la Relativité Générale et
espace-temps de Robertson-Walker. (R.W)
2.1.1 Cadre géométrique
Le cadre géométrique de la Relativité
Générale est batî sur les principes même de cette
théorie qui a été conçue par Albert Einstein pour
généraliser la Relativité Restreinte. On a :
a) Principe de la covariance générale.
Il stipule que :
Les lois de la physique doivent s'exprimer de la même
manière par rapport à n'importe quel repère.
Conséquence. On choisit comme cadre
géométrique général une variété
espace- temps (V4, g) pour écrire les lois sous forme tensorielle, donc
intrinsèque.
b)Principe d'équivalence.
Il stipule que :
Les forces de gravitation sont des forces inertielles et ne
doivent pas être considérées comme des forces
extérieures. On déduit alors de la relation fondamentale de la
dynamique relativiste que la trajetoire d'un point matériel, soumis
seulement aux forces de gravitation est une géodésique temporelle
de (V4, g).
Par ailleurs, on a observé que dans un champ de
gravitation non uniforme, les trajectoires des points matériels qui sont
des géodésiques même si elles sont parallèles au
départ , ne le restent pas en générale : c'est la
caractéristique même des espaces- temps courbes.
Conséquence. (V4, g) doit être un espace-temps
qui peut être courbe. L'espacetemps de la Relativité Restreinte
étant l'espace-temps de Minkowski; l'espace-temps (V4, g) doit
être localement plat, Minkowskien. En d'autres termes, il doit exister en
tout point un système de coordonnées spatio-temporelles
adaptées (xa) tel que dans le repère naturel
associé (e0, e.) i = 1, 2, 3 g s'écrive comme la métrique
de Minkowski.
2.1.2 Représentation de la matière.
Le tenseur d'impulsion -énergie.
D'après le principe de la covariance
générale, la représentation de la matière se fait
par un tenseur qui sert de source au champ de gravitation. Ce tenseur comprend
différents termes correspondants aux différentes sortes
d'énergies. Le tenseur approprié est un tenseur symétrique
d'ordre 2 , Ta$, appelé : tenseur d'impulsion-énergie
. En tant que représentant l'énergie, le tenseur
d'impulsion-énergie Ta$ doit vérifier des conditions
dites de positivité. On distingue les conditions suivantes dues à
Hawking et Ellis :
(i) Ta$XaX$ = 0 pour tout vecteur temporel
(Xa) dite condition de positivité faible
(ii) Ta$XaY$ = 0 pour tous vecteurs
temporels (Xa), (Y $), dite condition de positivité
dominante
Un espace-temps est dit vide si Ta$ = 0
Exemple de tenseur d'impulsion-énergie
· Schéma matière pure.
L'un des milieux les plus simples est celui dit de matière
pure décrit par :
· Une fonction scalaire positive p, appelée
densité de matière.
· Un champ de vecteurs temporels unitaire u.
Le tenseur d'impulsion-énergie est donné par :
Tas = pua us
· Fluide parfait relativiste.
C'est un schéma matière pure auquel s'ajoute la
pression. Aux fonctions p (densité) , u (vecteur unitaire temporel)
s'ajoute une fonction positive P appelé pression . On a P<<p.
Le tenseur d'impulsion-énergie d'un fluide parfait
relativiste est donné dans un reférentiel où le fluide est
au repos par :
Tas = (P + p)uaus - Pgas en
signature (+, -, -, -)
Tas = (P + p)uaus + Pgas en
signature (-, +, +, +)
2.2 Les équations d'Einstein.
2.2.1 Les équations.
Les équations conçues sur la base des principes
ci-dessus et de façon à redonner les équations de la
gravitation newtonienne pour les mouvements lents s'écrivent :
1
Ras --- 2 Rgas + Agas = KTas (2.1)
où
Ras est le tenseur de Ricci de (V4, g)
R est la courbure riemannienne scalaire de (V4, g)
Tas est le tenseur d'impulsion-énergie
A est une constante appelée constante cosmologique.
K est une constante que nous présenterons par la
suite.
Remarque 2.1. Si Sas = Ras - 12Rgas (tenseur
d'Einstein). Sas vérifie la condition
vaSas = 0
En effet
va San = va (Ran --
12Rgan)
= v aRan -- 21 va (Rgan)
= vaRan -- 12gan va R (car va
gan = 0)
= vaRan -- 21 vn R (cargan v a
= vn) =0
d'après la propriété (1.16) du tenseur de
Ricci.
Remarque 2.2. La condition que les équations d'Einstein
(2.1) doivent redonner
les équations de la gravitation newtonniene pour les
mouvements lents permettent de déterminer la constante K dans
(2.1) comme étant :
K = 8î,r
où G est la constante de gravitation newtonnienne
C est la célérité de la lumière
On prend souvent C = G = 1
Donc K = 8ð
Remarque 2.3. Le tenseur d'impulsion énergie
Tan est soumis aux 4 conditions
vaTao = 0 (2.2)
dites de conservations et qui sont conséquences de (2.1)
et de v aSan = 0
Remarque 2.4. Résoudre les équations d'Einstein ,
c'est déterminer à la fois
la source du champ de gravitation (Tan) et le champ
de gravitation représenté par g = (gan).
Les équations d'Einstein sont en définitive le
système de (14) équations aux dérivées
partielles (2.1) et (2.2) pour les 20 inconnues (gan)(10) et
(Tan) (10).
Ce système est donc surdéterminé dès
le départ, et sa résolution nécessite des
hypothèses complémentaires qui mènent à des
solutions particulières.
2.2.2 Solutions classiques.
Généralité.
Nous adoptons pour la métrique g , la signature (--, +,
+, +)
Définition 2.1. Un espace temps
(1[84, g) est dit à symétrie sphérique
si ses 2-surfaces (t, r, è, ?) (t = cste, r = cste) sont des
2-sphères.
Remarque 2.5. A priori, les métriques induites par g sur
les 2-sphères sont de la forme
dl2 = f(t, r) [dè2 +
sin2 èd?2] f > 0
Nous allons prendre le cas où f(t, r) = r2 et
donc
dl2 = r2 (dè2 +
sin2 èd?2)
(r, è, ?) sont les coordonnées
sphériques.
Notons (eá) le vecteur tangent à la
ligne (xá) variable.
Les vecteurs eè ,e? sont tangents aux 2-
sphères t = cste , r =
cste. et dans un espace à
symétrie sphérique, on peut supposer que les vecteurs sortant et
et er sont orthogonaux à eè et e? .
Exemple 2.1.
· Une solution classique à symétrie
sphérique des équations d'Einstein du vide (S00 = 0) est
l'espace-temps de Schwarzschild dont la métrique g est donnée
par:
g = --(1 -- 2M r )dt2 + 1
1_2M
r
|
dr2 + r2 [dè2 +
sin2 èd?2]
|
|
qui se réduit à la métrique de Minkowski
pour r ? +8
· Le cas où f(t, r) = a(t)r2 fournit les
espaces-temps dites de Robertson-Walker.
Nous les présenterons au paragraphe suivant. C'est sur ces
espaces-temps que nous étudierons la dynamique globale.
2.2.3 Espace-temps de Robertson-Walker : théorie de
l'univers en espansion (Cosmologie)
On prend ici V4 = R x S où S est une 3-
variété riemannienne à courbure constante
k.
Définition 2.2. La Cosmologie est la recherche des
modèles qui représentent
l'univers dans son ensemble.
Remarque 2.6.
1) De ce point de vue, même les galaxies sont
assimilées à des points matériels.
2) Une approche raisonnable consiste à considérer
les phénomènes qui ne dépendent que du temps. De tels
phénomènes sont dits homogènes. a) La métrique de
Robertson-Walker
La métrique de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker
(F.R.L.W) est donnée dans le cas k = cste par :
g = --dt2 + a2(t)[ dr2
1 -- kr2 + r2dÙ2] (2.3)
oÙ
k = constante = courbure de S
dÙ2 = dè2 + sin2
èd?2
a(t) est appelé facteur d'expension cosmologique. Notons h
la métrique de S i.e h = dr2
1_kr2 + r2dÙ2
Remarque 2.7. (Les trois types d'espaces-temps de Robertson-
Walker)
On montre au moyen d'un changement d'échelle que l'on se
ramène aux 3 cas k = --1,k = 0,k = +1
(i) Si k = --1 ,et si r = sinhá, alors dr2
1_kr2 = dr2
1+r2 = dá2 h = h_1 = dá2
+ sinh2ádÙ2 (métrique d'une
variété riemannienne S à courbure constante
négative.) Dans ce cas, nous avons le type dit hyperbolique.
(ii) Si k = 0 alors h = h0 = dr2 +
r2dÙ2 (métrique euclidienne de S = 3 ,
espace plat à courbure nulle) nous avons le type dit plat.
(iii) Si k = +1, on ah = dr2
1_r2 +r2dÙ2 ~ 0 Donc dr2
1_r2 ~ 0 i.e 0 <r < 1 r = siná
donne dr2
1_r2 = dá2, h = h1 = dá2 +
sin2 ádÙ2 (métrique de S = 3 ,
variété
riemannienne S à courbure constante positive) Dans ce cas
nous avons le type dit elliptique .
Dans la suite, nous étudierons la dynamique sur ces
espaces-temps de RobertsonWalker pour un milieu fluide parfait relativiste.
b) Dynamique sur Robertson-Walker.
Nous considérons un milieu fluide parfait relativiste
oÙ
Taâ = (p + P)uauâ + Pgaâ
oÙ
p est la densité de la matière; P est la pression;
(ua) est un vecteur unitaire temporel. g étant la
métrique de (2.3) .
Nous prenons p = p(t), et P = P(t), u vecteur unitaire tel que
ur = uè = u? = 0, Alors
gaâuauâ = g00(u0)2 =
--(u0)2 = --1 Donc, u0 = 1 ou u0 =
--1.
Il est à noter que u qui est temporel est dit :
-- Orienté vers le futur si u0 = +1
-- Orienté vers le passé si u0 = --1
Nous obtenons donc pour le tenseur d'impulsion-énergie
:
T00=p,Tii=Pgii; Taâ = 0 si á =6 â
T00 = g0ëg0uT ëu =
(g00)2T00 = p
T ii = g ijgikT jk = Tii
(gii)2 = gii P
Táâ =
gáugâëTuë = 0 si
á =6 â
Puisque P et p ne dépendent que du temps t , les
équations de conservation du tenseur d'impulsion-énergie sont
données par :
VáTá0 = 0 (2.4)
Déterminons ces équations.
VáT á0 = 8áTá0
+ [á á1T10 + [0 á1T á1 {
p si í = 0
or T 10 =
n
0 sino
p si á = í = 0
si á = í =6 0
0 si á =6 í
T á1 =
? ??
??
P gáá
D'où
VáT á0 = 8tT00 + [á á0T00
+ [0 ááT áá = 8tp + [i i0T00 + [0
iiT ii
Or [i i0 = aÿ a ; [0 11 = aÿa
1-kr2 ; [022 = r2aÿa et [0
33 = r2aÿasin2 è
Donc
VáTá0 = 8tp+3
aÿ ap+3 aÿ aP
VáTá0 = 0 ? a8tp + 3ÿap
= -3ÿaP
? a38tp+3a2ÿap=
-3a2ÿaP
?
8t(pa3) = -P8t(a3) (2.5)
Ici a est le facteur d'expension cosmologique, qui est une
fonction de t. Illustration dans le cas de la matière pure et de la
radiation pure. Dans le cadre de notre travail, nous étudions les cas
où
P = 0 (matière pure ou nuage de poussière)
P = ñ 3 (radiation pure)
Pour P = 0 , on obtient de (2.5) que
dt(pa3) = 0
d (2.6)
Pour P = ñ 3, on a :
8t(ña3) = -ñ
38t(a3) ? 38t(ña3) +
ñ8t(a3) = 0
? 3a38tñ + 3ñ8ta3 +
ñ8ta3 = 0
? 3a38tñ + 3ñ8ta3 +
3ña28ta = 0
?
a38tñ+ñ8ta3+ña28ta = 0
?
a38tñ+3ña28ta+ña28ta =
0
? a38tñ+4ña28ta= 0 ?
a48tñ+4ña38ta= 0 ? a48tñ
+ ñ8ta4 = 0 ? 8t(ña4) = 0
Donc pour P = ñ 3 , on a
dt(ña4) = 0
d (2.7)
Ecriture des équations d'Einstein dans un milieu fluide
parfait relativiste.
Dans ce milieu, nous avons : ur = uè =
u? = 0. Donc l'équation (2.1) se réduit à :
1
R00 + 2R- A = 8ðT00 (2.8)
où R00 est le tenseur de Ricci de g
R est la courbure riemannienne de g
Déterminons R00 et R
R00 = RÀ 0,À0
= 8ÀÀ 00 - 8 tÀ
0À + À íÀõ 00 -
À í0õ 0À = -8tÀ
0À - À í0 õ0À
À=6í
( aÿ a si À = í =6 0 = -38t( aÿ a ) - 3(
aÿ a )2 car À í0 = 0 si
=-3 =-3
|
·aa-(ÿa)2
a2
·a a
|
3(aÿ a)2
|
Donc
Détermination des symboles de Christoffel associés
à 5
Pour l'expression de la courbure riemannienne scalaire de g ,
déterminons les symboles de Christoffel associés à 5
Nous savons déjà que reás =
12ge11[?ag11s + ?sga11 - ?11gas]
Tout calcul fait on trouve :
r0 =
as
|
{
|
aÿa si á =3= 1
1-kr2
r2aÿa si á = 3 = 2
r2aÿa sin2 e si á =3 = 3
0 sinon
|
si á = 0 et 3=1
aÿ a
{
r1
=
as
kr si á = 3 = 1
1-kr2
- r(1 - kr2) si á = 3 = 2
- r sin2 e(1 - kr2) si á = 3 = 3
0 sinon
- sin e cos e si á = 3 = 3
si á = 1 et 3=2
0 sinon
1 r
{
r2 =
as
si á = 0 et 3=2
aÿ a
cos o si á = 2 et3=3
sin
1 r
0 sinon
si á = 1 et 3=3
{
r3 =
as
si á = 0 et 3=3
aÿ a
Expression de la courbure riemannienne scalaire de g.
Nous avons :
R = Rg = gas Ras
= g aaRaa
= g aa Re a ,e0
= g aa [?e reáá
-?áreáe+reueruáá-reuárõáe]
Donc
R = g00 [?ere00 - ?tre0e
+reueru00 - reu0rn0e] + g11[?ere11 -?rre
1e + re ueru 11 -reu1rõ1e]+
22
_ r rie
y L?e' 22 - ?ore2e +reueru22 - reu2r)2e] +
g33 [?ere33 - ?c,,re3e +reueru33- re
u3rõ 3e]
En remplaçant les coefficients rás11 par
leur valeur, on obtient :
g00 [8ëë 00 - 8të 0ë + ë
íëí 00 - ë í0 õ
0ë] = 38t( aÿ a) + 3( aÿ
a)2 g11 [8ëë 11 - 8rë 1ë + ë
íëí 11 - ë í1õ
1ë] = 2( aÿ a )2 + a· a + 2k
a2
g22 [8ëë 22 - 8èë 2ë +
ë íëí 22 - ë
í2õ 2ë] = 2( aÿ a )2 + a· a + 2k
a2
g33 [8ëë 33 - 8?ë 3ë + ë
íëí 33 - ë í3õ
3ë] = 2( aÿ a )2 + a· a + 2k
a2
Donc
R = 38t( aÿ a) + 9(
aÿ a)2 + 3·a a + 6k

a2
= 3·aa-( ÿa)2

a2 + 9( aÿ a)2
+ 3·a a + 6k
a2
=6
·a a
- 3( aÿ a)2 + 9(
aÿ a)2 + 6k

a2
= 6[·a a + ( aÿ a) 2
+ a2 k ] D'où
+ (aÿ )2 + a2 k] (2.10)
a
R=6[
·a a

injectant (2.9) et (2.10) dans (2.8), on obtient :
-3·a + 1 26[·a a +
( aÿ a)2 + a2 k ] - ? =
8ðT00
a
? 3[( aÿ a)2+ a2 k
]-?=8ðp ?
(aÿ )2 + k 8ðp A
a2 = 3 + (2.11) a3
avec aÿ = da dt
(2.6) et (2.7) donnent
p= a3 A (matière pure) (2.12)
B
p = a4 (radiation pure) (2.13)
où A et B sont des constantes positives car p et a le
sont. Ces deux relations montrent que p est connue dès que a l'est.
2.2.4 Ecriture de l'équation (2.11) dans les 3 types
d'espaces temps de Robertson -Walker.
Type plat (k = 0)
La relation (2.11) donne ( aÿ a) 2 =
8ðñ
3 + A3
Type elliptique. (k = 1)
La relation (2.11) donne ( aÿ a) 2 +
a2 1 = 8ðñ

3 + A3
Type hyperbolique. (k = --1)
La relation (2.11) donne ( aÿ
a)2 -- a2 1 =8ðñ

3 + Ë 3
Nous étudierons l'existence des solutions globales dans le
temps pour les équations ci-dessus, dans le cas où A = 0.
Elles s'écrivent donc; vues les expressions de (2.12) et
(2.13)
(ÿa)2 + k = 8ðA
3a (cas de la matière pure) (2.14)
(ÿa)2 + k = 8ðB
3a2 (cas de la radiation pure) (2.15)
où k = --1,0,+1
EXISTENCE GLOBALE DES SOLUTIONS
DANS LE TEMPS DES EQUATIONS
(2.14) ET (2.15)
Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier
l'existence globale des solutions dans le futur des équations (2.14) et
(2.15)
3.1 Cas de la radiation pure
Considérons l'équation (2.15) (ÿa)2
= ab2 -- k avec b = 8ðB
3 = 0 et
k =6 0 et qui exige b -- ka2 = 0 ( toujours
réalisé si k = --1 et k = 0) Alors aÿ = #177;
,/b--ka2
a
aa
On a donc Vb -- dka2 = #177; dt
.
Intégrons cette dernière égalité :
Posons u = b -- ka2 , alors du = --2akda Donc
ada = --du . du = #177; dt
2k ' 2k ,/u
,/uk = #177;t + c
Intégrant, on obtient i.e vu = k(#177;t + c)
i.e u = k2(#177;t + c)2
On a donc b -- ka2 = k2(#177;t + c) 2
c étant une constante arbitraire, prenons d = #177;c
On obtient :
ka2 = b -- k2(t + d)2 (3.1)
(2.14) et (2.15) 25
Discutons suivant les valeurs de k l'existence globale des
solutions de (3.1)
· Si k = 1
Alors a2 = b -- (t + d)2
a2 étant une quantité positive, on obtient b -- (t
+ d)2 = 0 i.e 0 (t + d)2 b D'où t est
borné. et par suite
l'équation (2.15) n'admet pas de solution globale dans le futur.
· Si k = --1
Alors --a2(t) = b-- (t+d)2 i.e
a2(t) = --b+ (t+d)2 , ?t = 0v
a2 étant une quantité positive, on obtient --b +
(t + d)2 = 0 i.e t = b -- d Donc t n'est pas borné dans R+ ,
on obtient comme solutions globales dans le
futur de l'équation (2.15)
p
a(t) = (t + d)2 -- b (3.2)
Remarque 3.1. Si t0 = 0 est l'origine des temps, on choisit d de
manière que d> 0 et d2 = b; et donc, a existe sur [0,
+8[.
· Si k = 0v v
On a (ÿa)2 = b b
a2 ; aÿ = #177; a i.e aÿa = #177; b
D'où aÿa est constant
v
i) Si aÿa = -- b, alors aÿ 0 car a = 0v
Intégrant cette denière relation sur [0, t] on
obtient a2(t) = --2 bt + a2(0) , ?t = 0 v
Ce qui exige --2 bt + a2(0) = 0 i.e 0 t
a2(0)
v 2 b
D'où t est borné; et par suite les solutions de
(2.15) ne sont pas globales. v
ii) Si aÿa = + b, alors aÿ = 0v
Intégrant cette dernière relation sur [0, t] on
obtient a2 (t) = 2 bt + a2 (0) , ?t = 0
v
a2 étant une quantité positive, on obtient 2 bt +
a2(0) = 0 , i.e. t = --a2(0)
v 2 b
Donc t n'est pas borné dans R+ , et par suite , on obtient
comme solutions globales dans le futur de l'équation (2.15)
q v
a(t) = 2 bt + a2(0), ?t = 0 (3.3)
(2.14) et (2.15) 26
3.2 Cas de la matière pure
Considérons l'équation (2.14) i.e
(ÿa)2 = q a - k avec q = 8ðA
3 = 0 et qui exige
q - ka = 0 (toujours réalisé si k = 0 et k = -1)
· Si k = 0
vq
Alors (ÿa)2 = q 2 a ÿ = #177;vq .
D'où a1
a i.e aÿ = #177; va i.e a1 2 a ÿest
constant.
i) Si a1 2 aÿ=-vq , alorsaÿ<0 Intégrant
cette dernière relation sur [0, t] on obtient a3 2(t) =
-3 vqt+a2(0) , ?t = 0
2
Cequiexige-3 vqt+a2(0)=0 i.e 0 = t =
a2(0)
2vq
2
D'où t est borné, et par suite les solutions de
(2.14) ne sont pas globales.
ii) Si a1 2 aÿ = +vq, alors aÿ = 0
Intégrant cette dernière relation sur [0, t] on
obtient a3 2(t) = 3 vqt+a2(0) , ?t = 0
vqt + a2(0) = 0 , i.e. t = -a2(0)
2
a2 étant une quantité positive, on obtient
3 vq
2 3
2
Donc t n'est pas borné dans +; et par suite , on obtient
comme solutions globales dans le futur de l'équation (2.14)
a(t)= [3 vqt+a2(0)]2 3 , ?t=0 (3.4)
2
· Sik=60.
Nous considérons toujours l'équation
(ÿa)2 = q a - k et qui exige q - ka = 0 (toujours
réalisée si k = -1)
Cette équation équivaut encore à
davq-ka = #177;dt
a
i.e
(a q - ka)1 2 da = #177;dt (3.5) Posons u = ( a
q-ka)1 2 , alors
a =
qu2
(3.6)
1 + ku2
Dérivons cette égalité, on obtient :
da du
= (1+ku2)2 i.e. da = 2qu
2qu (1+ku2)2 du
Intégrons l'égalité (3.5) , on obtient :
I=R( a
q-ka)1 2 da=#177;t+c
i.e. I = R u. 2qu
(1+ku2)2 du = #177;t + c
Utilisons la technique d'intégration par parties.
Pour celà posons dV = 2qu
(1+ku2)2 du , U = u, alors
V = qu2 1
1+ku2 = q k [ (1+ku2)-1
1+ku2 ] = q k - q k 1+ku2
(2.14) et (2.15) 27
On peut donc pour cette intégration par parties remplacer
V par v = --q 1
k 1+ku2
car dv = 2qu
(1+ku2)2 du Donc:f du
I = --q u
k 1+ku2 + k q 1+ku2
Or f du
1+ku2 =
|
(
Arc tan u si k = 1
II1+u
1 II si k = --1
2 ln 1-u
|
Donc:
{I =
|
1+u2 +qArctanu--c si k= 1
qu
II1+u
1-u2 --
qu II -- c si k = --1
2 ln
q
1-u
|
Nous obtenons donc les relations :
qu
1 + u2 + qArc tan u = #177;t + c si k = 1 (3.7)
ln IIII
1+u
IIII = #177;t +c si k=--1 (3.8)
qu q
1--u
i.e.
et
1--u2 2
1 + u2 + qArc tan u = t + c si k = 1 (3.9)
qu
qArctanu = t -- c si k = 1 (3.10)
qu
1 + u2
qu
|
q
|
ln
|
IIII
|
1+u
|
IIII
|
= t+c si k=--1 (3.11)
|
1--u2
|
2
|
1--u
|
3.2.1 Existence globale des solutions pour les relations (3.9) et
(3.10)
i.e -- qu
1+u2 + qArc tan u = #177;t + c si k = 1
Posons
Nous avons ç(0) = --c et lim
u--++oo ç(u) = qð 2 -- c
Comme ç est continue sur R+, ç est bornée
sur R+ i.e
II
qu q II
1 -- u2 + 2 ln I1 + u I
I = t -- c si k = --1 (3.12) 1 -- u I
(2.14) et (2.15) 28
?á,âER telque á < ö(u) < â ,
VuER+
D'où á < #177;t <â (car #177;t =
ö(u))
Ce qui montre que t varie dans un intervalle borné de R,
et par suite l'équation (2.14) n'admet pas de solution globale lorsque k
= 1.
3.2.2 Existence globale des solutions pour la relation (3.11).
~~1+u
i.e qu ~~ -- c = t si k = --1
1ru2 -- 2 ln
q
1ru
Remarquons d'abord que lorsque k = --1, u = ( a
q+a)1 2 , d'où 0< u < 1.
~~ = 1+u
Or 0 < u < 1. ~~1+u
1ru 1ru
Posons {
(u) = qu
1ru2 -- q 2 ln1+u
1ru -- c
0<u<1
est définie et continue sur ]0, 1[ .
semetsouslaformeØ(u) = 1
1ru[ qu
1+u -- q 2{(1--u) ln(1+u)--(1--u) ln(1--u)}]--c.
q étant positif, il apparait que :
lim (u) = +8 et lim
u?>0 (u) = --c
u?<1
De plus, est dérivable sur ]0, 1[ et Vu E ]0, 1[, on a
'(u) = 2qu2
(1ru2)2 > 0.
D'où est strictement croissante
étant continue et strictement croissante, réalise
une bijection continue de ]0, 1[ sur] -- c, +8[; admet donc une
réciproque
r1 :] -- c, +8[--*]0, 1[
t7--* r1(t)
(u) = t ? u = r1(t)
Si on veut prendre l'origine des temps à t = 0, on
prend c> 0; d'où --c < 0. comme est continue et strictement
croissante , ?!u0 E]0, 1[ tel que (u0) = 0; on obtient u0 = r1(0); u
= u0 (u) > 0 et
r1 : [0, +8[--* [u0, 1[ (car r1 est croissante).
Nous avons donc t E [0, +8[; et par suite, on obtient comme
solutions globales dans le futur de l'équation (2.14)
a(t) = q( r1(t))2 (3.13)
1 -- ( r1(t))2
avec
a(0) = qu2 0 (3.14)
1 -- u2 0
(2.14) et (2.15) 29
Remarque 3.2. On utilise la méthode ci-dessus pour
étudier l'existence globale des solutions de l'équation (2.8)
dans le cas d'une constante cosmologique ? non nulle. L'étude
précédente montre que dans un cas comme dans l'autre
(matière pure ou radiation pure), il n'y a pas existence globale sur
l'espace temps de Robertson- Walker de type elliptique (k = 1).
Conclusion
Tout au long de ce travail, nous avons étudié
l'existence d'une solution homogène globale dans le temps des
équations d'Einstein sur l'espace-temps de Robertson- Walker dans un
milieu fluide parfait relativiste. Il découle de cette étude que,
dans un cas comme dans l'autre (matière pure ou radiation pure), il n'y
a pas existence globale des solutions sur l'espace temps de Robertson-Walker de
type elliptique (k = 1)
Cependant, plusieurs questions restent encore posées;
notamment celle de savoir si l'on peut employer la même méthode
dans le cas des phénomènes non homogènes? Ceci pourrait
faire l'objet de nos prochaines investigations.
Bibliographie
[1] Actes du Séminaire GIRAGA, Yaoundé 1998
[2] Aubin, T. : A Course in Differential Geometrie, Graduate
Studies in Mathematics, Springer-verlag, New York, 2000.
[3] Bernard, Schultz. : A first Course in General Relativity,
Cambridge, University Press, 1985.
[4] Choquet-Bruhat, Y. : Géométrie
Différentielle et Systèmes Différentiels
Extérieurs, D UNOD, 1968.
[5] De Rham, G. : Variété Différentiable,
Herman, Paris, 1955.
[6] Lichnérowicz, A. : Théories Relativistes de la
Gravitation et l'Electromagnetisme, MASSON et Cie, 1955
[7] Perko, Lawrence. : Differential Equations and dynamical
Systems, Springer- Verlag, New York, 2000.
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