L'interaction Faible et les Bosons intermédiaires

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université A/Mira de Béjaïa

Faculté des Sciences et des Sciences de l'Ingénieur
Département de Physique

Mémoire de fin d'études

En vue de l'obtention du diplôme d'études supérieures en physique

Option
Physique Théorique

Thème:

L'interaction Faible et

Les Bosons Intermédiaires

Encadré par : Présenté par M'^s :

M' ADEL KASSA MEBARKI Mourad

KEBBAB Youghourta

*?* Mon père, Ma mère ;*

*?* Mon grand-père, et Ma grand-mère ;*

*?* Mes frères : Fares et Moussa ;*

*?* Mes soeurs : Hakima, Farida et Sabrina;* *?* Mes nièces et neveux;*

*?* Tous mes ami(e)s en particulier Nefha et sa chafi ; * *?* La façon d'équilibre spirituel décrète de la vie : Karima ;* *?* L'univers qui m'a vu naître.*

*M. Mourad*

*?* Mes grands parents : *

Jeddi Akli et qu'il repose en paix

Jeddi Boudjemaa à qui je souhaite une longivité Yemma Jaja et Yemma Taos

*?* Mes parents ; Père et Mère ;*

*?* Mes frères : Yidir, Amnay et Awris ;*

*?* Ma petite soeur : Anya;*

*?* Mes nièces et neveux, et toute ma famille ;*

*?* Tous mes amis de la faculté: Rabah, Ahcene, Wahib, Wahab, Yacine et sans oublier le grand psyco. *

*?* Tous mes amis du village : Aåvivi, Da Lhou, Hocine, Missipsa et Azedine ;*

*?* Mon coéquipier M ourad ;*

*?* Une personne qui a contribué d'une autre manière permanente ; ma bien aimée Hssina ; *

*?* L'univers qui m'a vu naître.*

*K. Jugurtha*

REM ERCIEM ENTS

L'encadrement exceptionnel dont nous avons bénéficié, nous a donnés une grande motivation pour notre travail de fin de cycle. Nos premiers et plus sincères remerciements vont donc à notre encadreur M^r ADEL KASSA. Sa passion communicative pour la recherche nous a fait porter un nouveau regard sur les beautés de ce métier. Merci donc, pour tous les efforts qu'il a mobilisé pour nous faire apprendre beaucoup de choses intéressantes qui ne sont pas programmées dans son cours pédagogique. Et de nous avoir fait ainsi bénéficier de son expérience. Nous n'oublions pas de citer l'extrême richesse de son enseignement et l'influence importante qu'il a eue sur nous.

Que, M^r A. BOUDA et M^r B. BELACHE trouvent ici l'expression de notre profonde gratitude, pour les efforts qu'ils ont déployés au cours de notre formation de D. E. S.

Nos remerciements vont, à tous les enseignants, au personnel du département de physique et tous ceux qui ont participé de loin ou de près à l'aboutissement de ce travail. Nous ne pouvons oublier de remercier tous les membres de nos familles respectives pour leur soutien et leurs encouragements.

Enfin, nos dernières pensées vont à nos parents qui ont toujours su nous apporter soutien, confiance et réconfort. Merci surtout pour tous les »baggages» qu'ils nous ont donnés et qui sont bien utiles pour »tracer la route».

Table des matières

Introduction 2

1 Rappel et formalisme mathématique^[3 6

2 La Théorie de Fermi 10

2.1 La théorie de Fermi à quatre points 10

2.1.1 La désintégration du neutron 11

2.2 La théorie V-A 17

2.2.1 Désintégration du muon dans la théorie V-A 17

3 La théorie des Bosons Vectoriels massifs 27

Conclusion 33

Introduction

Les premières années du 20^ème siècle et spécialement les années vingt ont vu un développement spectaculaire de la physique théorique; développement théorique qui avait ensuite marqué le pas pour près de vingt ans. Entretemps, un nombre important de découvertes expérimentales a été fait dans les années trente.

Après la découverte de la radioactivité en 1896 par Henri Becquerel, Rutherford montre deux ans plus tard que l'uranium émet deux sortes de rayonnement qu'il a appelé alpha (á) et beta (â). P. Villand trouve peu après (avril 1900) un troisième rayonnement, qu'il baptise tout naturellement gamma (ã).

Il est remarquable que ces trois types de rayonnement soient liés aux trois interactions sub-atomiques:

1. interaction forte (á).

2. interaction faible (â).

3. interaction électromagnétique (ã).

Ceci a incité plusieurs savants à travailler sur ces interactions. Parmi eux, Enrico Fermi qui s'est intéressé à l'interaction faible, en 1933. Interprète la radioactivité â et la publia en mars 1934. Il l'a interprétée comme une transformation -par l'interaction faible- d'un neutron en proton et électron avec émission d'un neutrino (en fait d'un neutrino électronique).

Ce fut alors en 1935 que H. Yukawa introduisit l'idée d'un boson intermédiaire, qui devrait être échangé entre les nucléons et qui engendrerait ainsi l'interaction nucléaire. Yukawa détermina l'ordre de grandeur de la masse de ce boson en prenant en compte la portée des forces nucléaires. A ` cette époque là, on évitait d'introduire de nouvelles particules hypothétiques, c'est pourquoi le papier de Yukawa ne commença à être étudié qu'après la découverte de particules avec cette masse dans la radiation cosmique par S. H. Neddermeyer et C. D. Anderson. Il s'avéra plus tard, que les particules de Yukawa sont les pions, avec spin zéro, tandis que les particules de Anderson et Neddemeyer sont les muons avec spin 1/2. Yukawa voulait que sa théorie fût capable de décrire aussi bien les interactions nucléaires que les interactions faibles - le boson négatif de Yukawa, émis par un neutron devrait ensuite se désintégrer en un électron et un anti-neutrino. Cette conception unifiée ne peut pas être maintenue.

Le manque de connaissance de la forme géométrique précise des interactions faibles empêcha pendant longtemps la considération de bosons intermédiaires comme les véhicules de ces interactions. Ce ne fut qu'avec les articles de E. G. C. Sudarshan et R. E. Marshak, d'une part, et de R. P. Feynman et M. Gell-Mann, d'autre part - et aussi de J. Sakurai - que la forme de l'interaction faible fut découverte comme une combinaison des formes vectorielle V et axial A, à savoir, V-A. Dans leur article Feynman et Gell-Mann disent :

»Nous avons adopté le point de vue selon lequel toutes les interactions faibles résultent de l'interaction d'un courant J_u avec lui-même, possiblement par l'intermédiaire de mesons vectoriels de masse large» [7].

Ainsi l'idée de bosons vectoriels intermédiaires dans les interactions de Fermi s'est montrée possible malgré les difficultés de ce modèle : comme dans l'année 1958 on ne connaissait pas les neutrinos muoniques, différents des neutrinos électroniques, G. Feinberg a indiqué que l'absence de la désintégration radiative du muon:

u ? e+ã

était incompatible avec la théorie des bosons vectoriels intermédiaires.

Toutes ces interprétations restaient insatisfaisantes vis-à-vis de quelques physiciens qui n'ont pas cessé de poursuivre leurs travaux sur l'interaction faible. Par exemple, Glashow qui a introduit la notion du boson neutre Z^o, et d'autre part Weinberg et Salam qui ont proposé une description théorique plus satisfaisante, qui consiste à unifier l'interaction faible et l'interaction électromagnétique. Cette dernière est connue sous le nom de »la théorie électrofaible». Weinberg s'est exprimé dans l'un de ses articles sur la désintégration du proton et il a dit : »On sait que le proton a une durée de vie au moins 10²⁰ fois supérieur à l'âge de l'univers, mais la théorie indique qu'il n'est peut être pas éternel. Si cela est, toute la matière ordinaire finira par se désintégrer» [9]

L'existence de bosons d'interactions W #177; et Z^? fut confirmée en 1983 lorsque ceux-ci furent produits et observés directement au collisionneur pp(pp), sps du CERN. Cette confirmation expérimentale valut le prix Nobel de physique 1984 à C. Rubbia et S. Van der Meer.

Notre travail consiste à expliquer l'introduction des bosons vectoriels massifs dans l'interaction faible, par des calculs théoriques à savoir les vitesses de désintégration, sections efficaces et les durées de vie moyennes lors de la désintégration muonique et neutronique.

En commençant par la théorie de Fermi à quatre points (quatre fermions) au premier ordre, puis la théorie V-A. Et ensuite, nous faisons des calculs par l'introduction des bosons intermédiaires par une théorie où nous introduisons les W dans le Lagrangien de l'interaction, qui porte le nom de théorie des bosons vectoriels massifs. Finalement, nous terminons par une discussion des deux modèles et les comparons à l'expérience.

Caractéristique de l'interaction faible :

L'interaction faible est principalement responsable de la désintégration des particules. Cette interaction est plus discrète que les autres : elle a une intensité dix millions de fois

plus petite que l'interaction forte (d'ou son nom de faible) et sa portée est la plus courte de toutes; elle agit à 10^-18m c'est à dire pratiquement au contact de deux particules. Sa constante de couplage est d'environ 10^-6. Pourtant l'interaction faible est fondamentale pour nous puisqu'elle régit les réactions thermonucléaires de notre soleil et de toutes les étoiles; sans elle, pas de chaleur, pas de vie.

Il est important de retenir que la force faible s'applique à tous les fermions, y compris les insaisissables neutrinos qui ne réagissent à aucune des autres interactions. Alors que les autres interactions ont des portées théoriquement infinies.

Tout comme le photon est impliqué dans la manifestation de l'interaction électromagnétique, les bosons W #177; et Z^? sont les particules d'échanges caractéristiques de l'interaction faible. Mais à la différence du photon, ces bosons ont une masse 100 fois supérieur à celle du proton, soit 91, 19 GeV pour Z^? et 80, 33 GeV pour W #177;.

Les interactions faibles sont classifiées en trois types selon la nature des particules qu'elles mettent en jeu : Leptoniques, Semi-leptoniques et Non leptoniques (Hadroniques).

1. Leptoniques:

Les particules d'échange(W^#177;, Z^?)se couplent seulement à des leptons. Par exemple la désintégration du muon (u) : u- --* í_L + e^- + í_e

2. Semi-leptoniques:

Les particules d'échanges se couplent aux leptons sur un sommet et aux quarks sur l'autre sommet. Ces échanges impliquent un changement de saveur de quarks qui peut entraîner la conservation ou l'absence de la conservation de l'étrangeté.

Par exemple la désintégration du pion (ð) : ð^- --*u- + í_L

et la désintégration du Kaon (K) : K⁺ --* u+ + í_L

Et la désintégration de la particule Lambda (A^°) : A^° --* p + e^- + í_e

3. Non-leptoniques:

Dans ce cas, les particules d'échanges se couplent aux quarks.

Par exemple la désintégration du Kaon positif (K⁺) : K⁺ --* ð⁺ + ð° Et la désintégration de la particule Lambda neutre (A^°) : A^° --* p + ð-

Toutes ces particules mises en jeu dans tous les types des interactions faibles précédents possèdent : des durées de vies moyennes, des masses et des sections efficaces relatives au mode de désintégration. Les valeurs expérimentales seront récapitulées dans le tableau[6] [10] suivant :

Particules	Masse(MeV)	Durée de vie ô(s)	Section efficace i
muon u	105.6583692 #177; 0.000094	2.19703 #177;0.00004 × 10^-6	u -? e - + íe + í u 100%
W #177;	80.403#177;0.029 GeV	10^-16s	W + -? e + + íe (10.75#177;0.13)% W + -? u+ + íu (10.57 #177; 0.13)%
Z0	91.1876 #177; 0.0021GeV		Z0 -? e^-e^+ (3.363 #177; 0.13)% Z^0 -? u+u- (3.366 #177; 0.15)% Z0 -? ô^-ô^+ (3.370 #177; 0.008)%
Electron(e)	0.518998918 #177;0.00000044
Neutron (n)	939.565360 #177;0.000081	8 mn	n -?p+e - +íe 100% n -? p + e - + íe + ã 6.910-^3%
Tau ô	1776.99 #177; 0.29	290.6 #177; 1.0	ô -? íô + e + íe 17.84 #177; 0.05% ô -? íô+u+íu 17.36#177;0.05%
Neutrino électronique íe	<2 eV	> 300 ^s eV
Neutrino muonique í u	<0.19 eV	> 15.4 ^s eV
Neutrino taunique íô	<18.2 eV
Proton p	938.272029 #177;0.000080	> 2.1 × 10^29ans
Quarck u	1.5 -? 3.0
Quarck d	3.7 -? 7

Chapitre 1

Rappel et formalisme mathématique[3]

Durant la discussion sur la théorie des Interactions Faibles, les propriétés des particules de spin 1/2 jouent un rôle important. Le formalisme de base utilisé pour la description de quelques particules est donné par la Mécanique Quantique Relativiste (M.Q.R). L'équation de mouvement des particules de spin 1/2 et de masse m est donnée par Dirac. Elle s'écrit sous la forme suivante :

(ã^p?_p + m)ø(x) = 0 (1.1)

La fonction d'onde ø(x) est un spineur à quatres composantes. Dans l'équation de Dirac les quatre composantes sont couplées à quatre matrices _ã4×4 qui satisfont les relations suivantes:

{ã^p, ã^í}=2ä p í pour u,í=1-?4

et

(ã^p)² = 1

(ã^p)⁺ = ãp

et la forme de ces matrices est donnée dans la représentation Standard par: (I 0 '\/ 0 -iói ~

ã4 = , ãⁱ =

0 -I iói0

où I matrice unité 2 × 2 et ói sont les matrices de Pauli;

~ 0 1 ~ ~ 0 -i ~ ~ 1 0 ~

ó1 = , ó2 = , ó3 =

1 0 i 0 0 -1

On définit le spineur adjoint ø(x) :

ø(x) = ø+(x) ã4

qui satisfait l'équation du mouvement suivante:

?-

ø(x)( ?/ - m) = 0 (1.2)

Puisque la fonction de Dirac est relativiste, elle satisfait la condition d'invariance de Lorentz, ce qui conduit ø(x) à se transformer de la façon suivante :

ø(x) -? ø^'(x) = Sø(x) (1.3)

où S est une matrice qui vérifie les conditions ci-dessous :

~

S_¹ãPS_¹ = L_{P í}ã^í S_1 = ã⁴S⁺ã⁴ D'où,

'

ø(x) -? ø (x^') = ø(x)S_¹ (1.4)

De (1.3) et (1.4), on voit immédiatement que la forme bilineaire ø(x)ø(x) se transforme comme un scalaire de Lorentz, car :

ø(x)ø(x) -? ø^'(x^')ø^'(x^') = ø(x)S_¹Sø(x) (1.5)

= ø(x)ø(x) (1.6)

De la même manière, on peut définir les propriétés de transformation pour les autres expressions bilineaires formées par les matrices ã; celles-ci sont présentées dans le tableau suivant :

les bilineaires	N^bre de composantes indépendantes	Propriétés de transformation
ø(x)ø(x)	1	scalaire
ø(x)ã^4ø(x)	4	vecteur
ø(x)óPíø(x)	6	Vrai-tenseur
ø(x)ã^5ãPø(x)	4	vecteur axial
ø(x)ã^5ø(x)	1	pseudo-scalaire

On utilise les définitions suivantes :

? ????

????

óPí =

₂(ã^Pã^í- ã^íã^P)

i

et

ã5 = ã¹ã²ã³ã⁴

(ã⁵)² = 1, (ã⁵)⁺ = ã⁵.

La matrice ã⁵ est hérmitienne, et anti-commute avec toutes les autres matrices ã :
{ã^P, ã⁵} = 0

La théorie de Dirac des particules de spin (1/2) est une théorie à une seule particule. La solution de cette équation est donnée par ø(x) décrivant la propagation d'une particule de spin 1/2 et masse m, par contre ø(x) décrit la propagation d'une anti-particule. Cependant, une théorie complètement consistante de particule-anti-particule peut être seulement donnée dans le cadre de la seconde quantification, tel que les propriétés de symétrie des états de plusieurs particules sont proprement prises en compte. Dans le cadre de la quantification de la théorie, le champ ø(x) devient un opérateur agissant dans l'espace des états. Les états sont notés |á). Les opérateurs ø(x) sont choisis de manière qu'ils satisfont certaines relations de commutations imposées à l'avance. La forme de ces champs dans la représentation de fourier est donnée par :

¹ X ø(x) = J2E-pV {b-.p-.ru-.r-.p exp (ipx) + d+ -.p-.rv-.r-.p exp (-ipx)} (1.7)

^-p^-r

1 X

ø(x) = {b⁺

/2E-_pV -.p-.ru-.r-.p exp (-ipx) + _{d-.r-.pv-.r-.p} exp (ipx)} (1.8)

^-p^-r

Où V est le volume, u(p) et v(p) sont des fonctions d'ondes spinorielles, et qui satisfont les équations suivantes :

~

(iãupu + m)uⁱ(^-.p) = 0 (-iãupu + m)vⁱ(^-.p)= O et aussi ils vérifient les relations de fermeture suivantes :

? ????? ?????

2 X i=1 2 X i=1

uⁱ(p)uⁱ(p) = (-ip/ + m), tq. la sommation se fait sur l'indice de polarisation i

vⁱ(p)vⁱ(p) = (-ip/ - m).

Les opérateurs b⁺, b, d et d⁺ satisfont les relations d'anti-commutations suivantes :
^{d+-.p^-.r^, d-.p'-.s} = ä-.p-.p'ä-.r-.s

{b+ ^-.p^-.r^, b-.p'-.s } = ä-.p-.p'ä-.r-.s

Et tous les autres anti-commutateurs s'annulent. Il est consistant d'interpréter ces opérateurs comme étant des opérateurs de création et d'annihilation, par leur action sur l'état du vide, qui s'écrit :

|p,ri = a+ pr|O)

et

a+ _pr|p,ri =a+ pra⁺ pr|O) =0

cules identiques; l'existence de cet état viole le principe d'exclusion de Pauli.

On peut faire le passage, dans l'espace des impulsions, du cas discret au cas continus lors de la sommation sur les impulsions finales, en remplaçant la somme par une intégrale:

_X
p~

_Z

V

f(~p) -? d³~pf(~p)

(2ð) ³

Une expérience avec des particules élémentaires consiste à préparer (définir) un certain système initial. Et ensuite, on s'intéresse à l'état final résultant après interaction. A partir de l'état |i) on peut définir l'état |f) tel que :

|f) = S|i); S: est la matrice de diffusion

En général, l'état initial peut se transformer en plusieurs états finaux; ce qui nous permet de définir la probabilité de chaque transition :

P(i -? f^') = |hf^'|f)|²

P(i -? f^') = |(f^'|S|i)|² = |Sfi|²

La connaissance de la matrice S nous aide dans le calculer des quantités physiques de chaque transition comme : les durées de vie moyenne, les sections efficaces, les masses, les vitesses de désintégration, ... Exemple :

|Sfi|² T .

La vitesse de transition s'écrit :

X~ =

|fi

On obtient les durées de vie moyenne des particules par la formule suivante:

1

^ô=1I'

Dans les calculs, on rencontre des difficultés à calculer la fonction de Dirac au carré qui n'a pas de sens mathématique, car il s'agit d'une distribution. Pour enlever cette ambiguïté, on utilise une astuce judicieuse, en faisant le passage au cas discret, en élevant au ^carréles symboles de kronecker, puis en revenant au continu. Cela se résume par la substitution simple de :

[ä⁴(p - p^' - k - k^')]² -? V T

(2ð)4 ä⁴(p - p^' - k - k').

Chapitre 2

La Théorie de Fermi

2.1 La théorie de Fermi à quatre points

L'Italien E. Fermi s'intéressa à l'interaction faible, en donnant une interprétation à la désintégration â en postulant l'existence d'une nouvelle particule qu'il a appelée neutrino; cette interprétation est une conséquence des lois de conservations de l'énergie et de la quantité de mouvement au cours du processus. Cette nouvelle particule doit posséder les propriétés suivantes : charge électrique zéro, masse au repos zéro, spin intrinsèque (à), vitesse comme celle de toutes les particules sans masses, C (vitesse de la lumière).

n ? p + e^- + í_e

Ce fut la première application importante des idées qui venaient d'être développées en électrodynamique quantique, notamment par P. A. M. Dirac, W. Heinsenberg, W. Pauli, P. Jordan, E. P. Wigner et par Fermi lui même. Dans l'article de Fermi, ce dernier affirme que, d'après la théorie du rayonnement électromagnétique, le nombre de photons dans un système n'est pas constant; les photons sont créés lorsqu'ils sont émis par un atome, ils disparaissent lorsqu'ils sont absorbés. Ainsi dans sa théorie de la désintégration â il postule que »le nombre d'électrons aussi bien que celui de neutrinos n'est pas nécessairement

constant. Electrons (ou neutrinos) peuvent être créés ou détruits». Le noyau étant ^regardécomme constitué de protons et neutrons, Fermi dit que l'hamiltonien doit être expriméen fonction des variables des nucléons et des leptons et choisi de telle façon que chaque

transition d'un neutron dans un proton doit être associée avec la création d'un électron et d'un neutrino (aujourd'hui, on le sait, c'est l'anti-neutrino qui accompagne l'électron dans des réactions où le nombre leptonique est nul).

La préoccupation de Fermi était de décrire les expériences sur les rayons â émis par les noyaux et par conséquent sa théorie avait pour but de décrire des électrons et des neutrinos créés et qui se propagent librement comme les photons dans l'émission de la lumière. Il a donc remplacé le champ électromagnétique A_u(x) dans le lagrangien d'interaction de ce champ avec le courant électromagnétique

J^u(x) = iø(x)ã^uø(x) (2.1)

à savoir

L_ã = ie(ø(x)ã^uø(x))A_u(x)

par l'expression qui décrit la création d'un électron et d'un anti-neutrino - le courant faible chargé leptonique de la famille electron, à savoir ø_e(x)ãuø_í(x) .

Ainsi que^GF_v2 est la constante qui remplace dans cette théorie la charge (e^-) et qui exprime l'intensité des interactions faibles, Fermi a postulé le lagrangien d'interaction de sa théorie des rayons â:

LWeak =

^-GF(øp(x)ã^uøn(x)) (øe(x)ã^uøí(x)) v2

L'analogie avec l'électrodynamique l'a incité à choisir l'interaction vectorielle.

2.1.1 La désintégration du neutron

Fermi a postulé le Lagrangien de l'interaction faible(la désintégration â^-)comme suit :

Fig. 1: La désintégration du neutron
L = L0 + LI

Tel que

L0 : est le Lagrangien libre

LI : est le Lagrangien de l'interaction de toutes particules.

GF_)] LI = -_v2 ~(ø_pã^uø_n )(øeãuøíe ) + (ønãuøp ) (øíeãuøe

et

L_o = -ø_n(?/ + mn)øn - ø_p(?/ + m_p)ø p - ø_e(?/ + me)øe - øí_e?/øíe Les solutions du champ de Dirac libre sont de la forme :

Xølibre = }{b~p s~ ?~p u~p~s + d+ ~p~s ?* p^. v~p~s

~ ~ p s

où ?-_p(x) = /ipx

v2VEe^.

Dans notre cas les solutions pour chaque type de particules s'écrit : ø(e)=E { b⁽_kt ?^-k' u⁽;⁾-_' + d^(e)+-k'^-_ó' ?^*-k'v^(f'^)-'

- -
k^'ó^'

ø(p)=E ^-k^-ó ø(n)=E ^-p^-s		{b(p) } -k-ó?-k u(p) -k-ó + d^(p)+-k^-ó ?^*k^- v k-( pó {b^(n)?-pu;e^( )+d(e)p,(4v;.( )}
E ø(íe) = k'' - - ó''	{b(7)i' ? 7' u^(1-^' ·^e)-+d^(íe);^+cit 71 (10*- v(íe) k^" ók k'' k?^- -ó?

L'interprétation des différentes opérateurs est :

b^(n)+-p^-s : opérateur de création de la particule n(neutron).

b^(e)+_k'^-

_ó': opérateur de création de la particule e(électron).

-

b(p)+-k-ó : opérateur de création de la particule p(proton).

b(íe)⁺-

_k?

- '': opérateur de création de la particule í_e(neutrino électronique)

ó

et

d^(n)+-p^-s : opérateur de création de la anti-particule n(anti-neutron).

d^(e)#177;

_k'

_ó': opérateur de création de la anti-particule e⁺(positron).

-

d^(p)+-k^-ó : opérateur de creation de la anti-particule p(anti-proton).

d(íe)-

_k?

_ó'': opérateur de création de la anti-particule í_e(anti-neutrino électronique).

-

On a par définition

ø =ø⁺ã⁴

Donc

ø(e) = E

- -

_k' _ó'

ø(p)=E

^-k^-ó

ø(n)=E

^-p^-s

{

b(e)#177;.-* ,#177; _d(e)+} 4
k^'ó^' ?k-' _kl_c7 ?k' vkló' ã
{_b(p)#177; d(p) } 4

kó, ? (p_k V _Kif. -y

{

bn++ d^(e) (0,e⁺ }-y ps?p^-p^-s/5`s^- , ,

ø(íe) -- E = - - k»ó»

{b(íe)+ ? + ,}ã^4

Calcul de la densité hamiltonienne

H =H0+HI

Comme on a:

H = _X ðøiøi - L

i

Alors

HI = -LI

Pour pouvoir calculer les probabilités et les durées de vies moyennes des particules, lors de l'évolution de l'état initial : un neutron à l'instant t = -8 à l'état final : un proton, un électron et un anti-neutrino électronique à l'instant t = +8.

On définit le produit chronologique des champs qui range les temps d'une manière décroissante de gauche à droite tel que :

re-i R +8

-8 HId4x

S = T

[ Z +8 Z +8

HId⁴x + -1

? T 1 - i HI(x)HI(x)d⁴xd⁴x + . . .

2!

-8 -8

On arrête le développement au 1^er ordre, dans l'approximation de Born :

~ Z +8 ]

GF [(ø_pã^uø_n)(ø_eã^uø_íe) + (ø_nã^uø_p)(ø_íeã^uø_e)]d⁴x S = T 1 - i _v2

-8

La densité de probabilité d'évoluer de l'état initial |i) àt = -8, vers l'état final |f) àt = +8 est définit par:
Sif = (f|S|i)

Maintenant on l'applique ici pour notre cas :

|i) = |1n~p~s>= b(n)+ ~p,~s|0)

|f) = |1P~k~_ó,1e^{- ~}k~ób^(e)+

_k' ~

~ ó', 1íe k» ~ ~ ó») = b(p)+ _k' _ ó' d(íe)+

~ k» ~ _ó»|0)

~

(f| = (0|d(íe) ó »b(e) ~ ó' b(p)~k~ó

k» ~

~ _k' ~

D'où

~ [ +8 GF Sfi = (0|d(íe) ó» b(e) ~ k» ~ ~ k' ~ ó'b (p) k~ó T 1 - i v2 -8

~(øpã^uøn)(øeã^uøíe) ]+(ønã^uøp)(øíeã^uøe)] d4xbn+ ~p~s|0)

Z +8 ~

iGF

Sfi = (0|d^(íe)

_{v2 ó}»b^(e) ó' b(p) k ó [(øpãuøn)(øeãuøíe)

k »

_k'

-8

~+(ønãuøp)(øíeãuøe)I b(n)+ p s |0) d⁴x

On a:

{ø(n), b+(n)

p s } = ? p u(n)

p s

øn b(n)+ p s = -b(n)+ p s ø_n + ? p u(n)

p s

_X

{øp,b(p) _{k ó}} =

k ó

?* _kv(p)+

k ó {b(p)+ k ó, b(p)

k ó }ã4

On utilise pour le calcule de l'intégrale :

+8 d4y

ä4(p -i(p_x -p-q)y

_Z

x - p - q) = (2ð)4 e

- 8

= ?* _kv^(p)

k ó

b(p)

k ó ø_p = -øp b(p)

k ó + ø* k v(p)

k ó

{ b(e)

k' ó', ø_e} = ?* k' u(e)

k' _ó'

b(e)

k' _ó'ø e = -ø e b(e)

k' ó' + ø* k' u(e)

k' _ó'

{d(íe) k'' v

_k''

_ó'', ø(í_e)} = ø* _k'' _ó''

d(íe) ó ''ø(íe) = -ø(íe) d(íe) k'' v k'' _ó''

_k''

_k''

ó'' + ø*

Alors

iGFZ +? ó' b(p) k ó(øpã u[? p u(n)

Sf i = (0|d^(íe) I)(ø_eã^uø_íe)b⁽ⁿ⁾⁺

v2 k'' ó'' b(e) p s|0id4x

_k' p s

-8

Car: (0|(b+ p _søn) = 0

Z +8

Sf i = i^GF (0| d(íe)

v 2 k'' ó'' b(e) k' _ó'(?^* _kv^(p)

k ó )ã^u(? _pu⁽ⁿ⁾

p s )(øíeãuøe)|0id4x

-8

Donc

iGFZ +8

Sfi = _v2 (0|(?^* _kv^(p)

k ó )ã^u(?^* _ku⁽ⁿ⁾

p s )(?* _k'u^(e)

k' ó')ãu(?* k''v(íe)

k'' ó'')|0id4x

-8

Z +8

iGF

= _v2 (v^(p)

k ó ãuu(n)

p s )(u(e)

k' _ó'ã^uv k''^(íe) ó'') ?* _k? p?* k'?^* k''d⁴x

-8

D'où

f8⁺⁸ * * = (2ð)
?1^-,.?^-p?_k^-t ?k» 4V² ,VEkE_ktt EpEk^t

4

ä⁴(k + k^t + k^» - p)

Sfi = iGF(2ð)4 (v⁽14^liuV)((u⁽-^e_t⁾,ã^liv !^ue_tt

))ä4(k+k' ? - p)

+ k

4V² ,V2Ek E_ktt EpEkt ka ka k a

La matrice Sfi au carré nous donne la probabilité de transition de l'état initial à l'état final, son calcul est comme suit :

T(2ð)⁸G²_F

= {veã^liue)((uV_eã^live,^e₆⁾_tt)}{ (e9 )+ ãli 41:2 + )}

32 V³EkEk^ttEpEk^t

×ä⁴(k + k^' + k^? - p)

T(271-)⁸G²_F

On pose : A =

32 V³EkE_ktt EpE_kt

| Sfi | 2 = A{(vt.⁾)a(ã^li)as(u_p1),(3(u_p⁽⁾)-r(ã^li)-rË(vt.⁾)Ë}

× {(u⁽iY)t)p(ã^li)p.(v_içr,7)tt).(v⁽_i-r,tt),(ã^li)aÙ(uL)Ù}

On constate que dans la relation précédente, les indices se contractent jusqu'à ce qu'on aura

|Sfi|² = A{(-ik/ - mn)Ëa(ã^li)a,(-ip/ + mp),-r(ã^li)-rË}

× {(-ik/^t+ m_e)Ù,(ã^li)_p.(-ik/^» --- mu_e).c(ã^li)aÙ}

= A Tr{(-ik/ - m_n)(ã^li)(-ip/+ m_p)(ã^li)}

× Tr{(-ik/t + m_e) (ã^li)(-ik/^» - m_ue)(ã^li)}

= A Tr{(-ik_uã^uã^li --- m_nã^li)(-ip_aã^aã^li + m_pã^li)}

× Tr{(-ik^t_uã^uã^li + m_eã^li)(-ik^»_aã^aã^li)}

|Sfi|²= A Tr{-k_uã^uã^lip_aã^aã^li - ik_uã^uã^lim_pã^li + im_nã^lip_aã^aã^li - m_nm_pã^liã^li} × Tr {- k^t_uk^»_aã^u ã^liã^aã^li - im_ek^»_aã^liã^aã^li}

On rappelle que :

Tr(ã^liã^u) = 21 Tr(-eã^u +

= Tr(äliuI4×4)

= 4äliu.

et

Tr(ã^u) = 0.

alors;

|Sfi|² = A{-k_íp_áTr(ã^íã^uã^áã^u) - ikímp ^{Tr(ãíãuãu)+} _imnpá Tr(ã^uã^áã^u)

-mnmp Tr(ã^uã^u)} × {-k^' ík » á Tr(ã^íã^uã^áã^u) - imek» _á Tr(ãuãáãu)} = A(-4k_íp_í - 4m_nm_p)(4k^' _ík^» _í)

Finalement

|Sfi|² = T(2ð)8G2

2 V3EkEk''EpEk' (kpk^'k^' - m_nm_pk^'k^?)

F

Si on passe au calcul de la vitesse de désintégration de ce processus, on trouve un résultat qui n'est pas cohérent avec l'expérience. En effet, le résultat théorique va nous donner une infinité qui est due à l'hélicité du neutrino que cette théorie n'a pas pris en compte (le neutrino a une hélicité gauche).

2.2 La théorie V-A

En 1957, on découvrit que les interactions faibles n'étaient pas invariantes par rapport à une réflexion spatiale (la parité étant violée dans ces réaction). Ainsi le lagrangien devait comprendre non seulement des termes invariants (par parité) du type (øãuø) (øãuø), mais aussi une combinaison de termes pseudo-scalaires tel que (øãuø)(øãuã⁵ø). Ce fut en 1958 que Feynman et Gell-Mann trouvèrent la forme du Lagrangien de Fermi décrivant les réactions faibles. Cela revient à remplacer ãu par ãu(1 + ã⁵) dans le lagrangien précédent. D'où le nom de théorie V-A.

On procède de la même manière que la théorie ci-dessus pour calculer les quantités physique comme la durée de vie moyenne, vitesse de désintégration, les masses, ... Comme on l'a déjà dit, le lagrangien devient :

GF (ø_a(x)ã^u(1 + ã⁵)øb(x)) (ø_c(x)ã^u(1 + ã⁵)ød(x)) + C.C LI = _v2

Où les indices (a, b, c, d) sont les quatre particules d'interaction.

2.2.1 Désintégration du muon dans la théorie V-A

Dans cette partie on va s'intéresser à la désintégration du muon.

GF

LI = _v2[ø_e(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_íe(x)][ø_íu(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_u(x)] + C. C.
Pour alléger la notation, les indices spinoriels ont été omis dans les calculs intermédiaires.

|i) = |ups) = b(u)+

ps |0)

hf | = h0 |d(íe)

k'_ó'b^(e)

kó b(íu)

_p' _s'

A l'ordre GF:

f d4xiGF

Sf i = (0|d^(íe)b^(e)b^(íu) _v2[ø_eã^u(1 + ã⁵)ø_íe(x)]

× [ø_íuã^u(1 + ã⁵)ø_íu(x)]b^(u)+|0)

f d4xiGF

= _v2{ø_u, b^(u)+}{b^(e), ø_e}{d^(íe), ø_e}{b^(íu), øí_u}

× [ã^u(1 + ã⁵)] [ã^u(1 + ã⁵)]

Z d4xiGF Sfi = v2 /2EpV eikp ukó ups v2EkV e

ik x vk^'ó^' e-ik'x ^up's' e-ip^'x v2Ek'V p2Ep'V

×[ã^u(1 +ã⁵)][ã^u(1 +ã⁵)]

Donc

Sfi=

iGF (2ð)ä(p - p^' - k - k^')

v2 J2Ep2Ep'2Ek2Ek'V2

×[u^(e)

_kóã^u(1 +ã⁵)v^(íe)

k'ó'] [u(íu

_p'_s'ã^u(1 +ã⁵)u^(u)

_p'_s'].

Remarque :u^(u)

p_setu^(íu)

p_ssont différents.

Ils vérifient par exemple :

_X
s

_u(u)

ps u(u)

ps = -ip/ + m_u

_X
s

_u(íu)

ps u(íu)

ps = -ip/ + m?0 _íu= ip/

|Sfi|^2 T	=	G2 F (2ð)^4ä(p - p^' - k - k^')
		2V^32Ep2Ep'2Ek2Ek' ×Tr{u^(e)ã^(u) (1 + ã^5)v^(íe)v^(íe)ã^4(1 + ã^5)ã^áã^4u^(e)} ×Tr{u^(íu)ã^u(1 + ã^5)u^(u)u^(u)ã^4(1 +ã^5)ã^áã^4u^(íu)}

La vitesse de désitégration est :

X (u^- -? e - + íe + íu) = |fi

|Sfi|^2 T;

X |fi

Z >1 2 d3p'd3kd3k' V ^3 = (2ð)9 ó,ó^',s^'=1

On utilisera aussi le fait que le muon initial est non polarisé, donc

1

uu psu u ps = ₂(-ip/ + m_u)

s=1

GF = = 4(2ð)5

Z d3p' 1 d^3k d^3k^' 2Ek' ä (p - p^' - k - k^') 2E p 2Ep' 2Ek

×Tr{(-ik/ + m_e)ã^u(1 + ã⁵)(-ik/^' + 0)ã⁴(1 + ã⁵)ã^áã⁴}
×Tr{(-ip/^' + 0)ã^u(1 + ã⁵)(-ip/ + m_u)ã⁴(1 + ã5)ãáã4}

Nous avons supposé que les neutrinos avaient une masse nulle. Calcul des traces :

On a:

(1 + -y⁵)m₁,-y⁴(1 + -y⁵) = (1 + -y⁵)(1 - -y⁵)-y⁴m₁, = 0

De même pour le terme en m_e. On posera donc m1, = m_e = 0 dans les traces. On simplifie les -y⁴ :

Tr(...-y⁴-y^a-y⁴)Tr(...-y⁴-y^a-y⁴) = Tr(...-y⁴-y⁴-y⁴)Tr(...-y⁴-y⁴-y⁴) + Tr(...-y⁴-yⁱ-y⁴)Tr(...-y⁴-yⁱ-y⁴) = Tr(...-y^a)Tr(...-y^a);

on a utilisé

(...-yⁱ-y⁴)(...-yⁱ-y⁴) = +(...-y⁴-yⁱ)(...-y⁴-yⁱ)

Nous devons donc calculer :

(I) = 4Tr[kb-y^1,kb^'-y^a(1 --- -y⁵)]Tr[pb^'-y^1,pb-y^a(1 - -y⁵)] Dans notre calcul, on a deux types de traces à calculer :

Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) et Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³-y⁵)

Rappel :

(-i)⁴ = 1; (1 + -y⁵)² = 2(1 + -y⁵)

Tr (-y^1,-y^u) = ₂Tr(-y^1,-y^u + -y^u-y^1,)
1

= Tr(81,uI4x4)

= 481,u.

Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) = Tr[-y^1,-y^u(--y³-y^a + 28_a3)]

= 881,u8á3 - Tr[-y^1,(--y³-y^u + 283_u)-y^a]

= 881,u8o3 + Tr[(--y³-y^1, + 283₁,)-y^u-y^a] - 883u81,a = -Tr(-y³-y^1,-y^u-y^a) + 881,u8á3 - 883u81,a + 881,38ua Tr(-y^1,-y^u-y^°-y³) = 481,u8a3 - 481,á8u3 + 481,38uá.

Donc :

Tr(kb-y^1,k^'b-y^a) = k_uk^'3Tr(-y^u-y^1,-y^beta-y^a)

= kuk^'3[48u1,83 --- 48u381,á + 48u,81,3]

= 4k1,k? á --- 481,kk^' + 4kák' 1,

De même pour Tr(p^'b-y^1,pb-y^a) = 4p^' - up_á + 4p^'_ap1, - 48 1,ap^'p

Si on remplace -y⁵ par -y¹-y²-y³-y⁴, on pourrait calculer Tr(-y^1,-y^u-y^a-y³-y⁵) de la même manière

que précédemment ; le résutat contiendrait des termes _{8li18u28a3834+} toutes les permu-
tations des indices iii, v, a, l3, avec des signes #177;. Le résultat serait complètement anti-

symétrique dans l'interchange de deux indices quelconques ; le résultat est proportionnel à cliua3 défini complètement anti-symétrique et c1234 = +1. Une autre manère de voir ceci est de considérer :

Tr(-y^li-y^u-y⁵) = 0

En effet :

Si iii = v, -yli-y^u = 1, et Tr-y⁵ = 0

Si _iii =6 v, ex : _iii = 1, v = 2, alors Tr(^-y¹-y²-y⁵) = Tr(--y³-y⁴) = 0

Considérons Tr(-yli-y^u-y^a-y³-y⁵) :

Si deux indices sont les mêmes, ex : _iii = v, alors -yli-y^u = 1, et on a Tr(-y^a-y³-y⁵) = 0. Donc tous les indices doivent être différent, sinon c'est zéro.

-y⁵) = -4

Si tous les indices sont différents, ex : iiival3 = 1234 = Tr(-y^li-y^u-y^a-y³-y⁵)Tr(-y⁵-y⁵) = +4 Un autre exemple : iiival3 = 3214 = Tr(-y^li-y^u-y^a-y³-y⁵) = TrQy³-y²-y¹-y⁴

-v- }

-₁,5

Cela donne le résultat simple :

Tr(-yli-yu-ya-y3-y5) = _4cliua3

Nous avons donc :

(I) =Tr[k/-y^lik^'/-y^a(1 --- -y⁵)]Tr[p^'/-y^lip/-y^a (1 - -y⁵)]

= 4(4klik^'_a + 4kak^'_li - 48liakk^' - 4c^Pliaak^Pk^'a)

×(4p_lip^'_a+ 4pap^'_li --- 48liapp^' - 4cP'lia'ap'P' pa')

Quand on développe cette expression, on aura des termes qui contiennent un tenseur cPliaa, anti-symétrique en _iii et v. Ces termes seront multipliés par des termes comme plip^'_a + _pap'li, symétrique en iii et a. Cela donne zéro pour ces termes.

Ce qui reste sont des termes avec z~ro tenseurs c, et des termes avec deux tenseurs c. Termes sans c :

64(kp k^'p^'+kp^'k^'p-kk^' pp^'+kp^' k^'p+kp k^'p^'-kk^' pp^'-kk^'(pp ^'+pp^' -4pp^')) = 128(kp k^'p^'+kp^' k^'p) Termes avec c :

64 cliaPacliaP''' .. J-..- ?

kPk'a p'P^' pa^'

Ce terme est nul à moins que p = p^' et u = u' ou p = u^' et u = p'

En effet : iii et a sont sommés : prenons par exemple iii = 1 et a = 2. Alors

On aura donc :

E12paE12p' a' -- =

{

+1 si p = 3, a^- = 4, p^' = 3, a-^' = 4 , - 1 si p = 3, a^- = 4, p^' = 4, a-^' = 3 , +1 si p = 4, a^- = 3, p^' = 4, a-^' = 3 , - 1 si p = 4, a^- = 3, p^' = 3, a-^' = 4 , 0 ailleurs .

_Efcpe Efap' a' ~ 8 8 ¹-8 ¹

pp' a a p8a a p'

Donc

_Euapc Eiwp' c' = N ( 8pp^' 800^' -- _8p0' 8_{0 p}' ) ; il faut trouver le nombre N

On prend { a- ^P P 3

= a-^f =4

{

Epa34Epa34 = N; les valeurs possible de iiiet v : iii = 1=v = 2 _iii = 2 = v = 1 =2 = N

Donc les termes avec 2E donnent :

64 × 2(8_pp'8' - 8 pa'8,p')kp _k?ó _p'p^' pa' = 128(kp^' k^'p - kp k^'p^')

Résultat :

4Tr[k/-y^uk/^'-y^a(1 - -y⁵)] Tr[p/^'-y^up/-y^a(1 - -y⁵)] = 256(kp^')(k^'p)

Remarque : De nos jours, il est beaucoup plus simple de faire ce calcul de trace avec un ordinateur. Facile d'écrire le code, et le résultat est assuré! ! Voici le code avec le programme FORM :

#-

Off statistics;

ü k, kp, p, pp;

I mu, al;

.global

L aa =

g_ (1, k)

* g_ (1, mu)

* g_ (1, kp)

* g_ (1, al)

* ( 1- g5_ (1) )

*

g_ (2, pp)

* g_ (2, mu)

* g_ (2, p)

* g_ (2, al)

* ( 1 - g5_ (2) ) ;

trace4, 1;

trace4, 2;

print;

.end

Après compilation de ce programme, le résultat qu'on a obtenu est :

aa = 64 (kp^') (k^'p)

La vitesse de désintégration devient :

f d3p'

G2 d³k d³k^'

F

F = 2Ek' ä(p - p^' - k - k^') (kp^')(k^'p)

ð⁵E p 2E_p' 2Ek

Il faut intégrer! (de manière intelligente!). Nous calculons F dans le référentiel propre du muon, c-à-d p = (^~O, im,). La durée de vie ô, = ~ dans ce référentiel.

Dans un autre référentiel où le muon a une vitesse ~v, sa durée de vie sera ô~v =ôu

q

1- v2 _c2 (dilatation du temps).

On a : p~ = Ô'

? ??? ???

E p = m, k^'p = -m,Ek' = -m,|^~k^'| (^~k^' pour øíe) kp^' = k(p-k-k^') = -Ekm, +m2 e -kk' ä(p - p^' - k - k^') =ä(^~v^' + k^~ + ^~k^')ä(m, - Ep' - Ek - Ek')

Intégrons par rapport à d3 _p'. (^~p^' impulsion deí, final)

Cela revient à éliminer ä(^~p^' + k^~ + ^~k^') et faire les remplacements : ^~p^'-? -(~k+ ^~k^' ; donc E_p' -? |^~k + ^~k^'|

on a:

f d3k

G2 d³k^' 1

F

F = m,|~k'|(-m2 _e +m,Ek+^~k^~k^'-EkEk')ä(m,-|^~k+ ^~k^'|-Ek-Ek')

ð⁵E_p 2Ek 2Ek' 2|^~k + ^~k^'|

^~k|| ^~k^'| cosè.

Ce que nous devons intégrer ne dépend que de Ek' = |^~k^'|, de |^~k|, et ^~k^~k^' = |

La fonction de Dirac ne contribue que si son argument est nul. Comme son argument dépend de | ^~k|, | ^~k^'| et cos è = z, alors certaines limites seront imposées à|^~k^'| et|^~k| qui normalement vont de O à l'infini. Voyons comment cela fonctionne:

Physiquement, les énergies, Ek et Ek' ne peuvent dépasser m,, sinon nous allons faire intégration sur d3k'.

On écrit d³k^' = |^~k^'|²d|^~k^'| sin èdèdö; è est mesurée par rapport à ^~k^' [la direction de k~ sera appelée l'axe des z].

L'intégration sur dö donne 2ð. On fixe |

^~k^'| et on intègre sur R 2ð 0dè sin è.... La fonction

de Dirac nous sera utile pour faire cette intégration. On écrit :ä(m_u - Ek - Ek' - |^~k + ^~k^'|) = ä(f(z)) avec z = cos è ?> R 2ð

₀dè sin è... = R 1 -1dz....

Nous devons résoudre f(z) = 0;

ä(z - z0)

et utiliser ä(f(z)) = |f'(Z)| ; (z0 solution)

qf(z)=m_u -Ek- |k^'| - ^~k² + ^~k^'2 + 2|^~k||^~k^'|z = 0

(m_u - Ek - |^~k^'|)² = ^~k² + ^~k^'2 + ^~k^~k^'z

^~k^'|)²-^~k²-^~k^'2

2|

^~k||

z = (mu-Ek-|

~k'| = z0

On a aussi f^'(z) = -|

vm_u-Ek -|

~k'| |f^'(z0)| =

^~k||^~k^'|

|

m_u

-Ek-|~k'| (le dominateur est =6 de 0 )

^~k||

^~k^'|

Remarquons que z varie de -1 à +1. Donc toute valeur de z0 tel que : |z0| > 1 ne donne aucune contribution. Ceci limite les valeurs de|^~k| et|^~k^'| possibles à:

~~ = 1 (en d'autre termes, z0 = cos è et on n'accepte que | cos è| ? 1)

~~

^~k^'|)²-^~k²-^~k^'2

(m_u-Ek-|

^~k||^~k^'|

2|

Ceci définit une région d'intégration pour les variables |^~k| et|^~k^'|. Nous appelons cette région ~. On a donc:

1

_Z

G2 d³k |^~k^'|²d|^~k^'|

F

~ = ð⁵m u 2Ek 2Ek'

Ù

2|^~k+ ^~k^'|
_z }| {
1

2(m u -Ek - Ek')^mu|

^~k^'|

×(m_uEk -m2 e - EkEk^' +|~k||~k'|z0) ₍mu - Ek - Ek^'₎

|^~k||^~k^'|
| _{z -I

1

|f'(z0)|

On remplace z0 :

|-. k||^-. k^'|z0 = (m_u - Ek - Ek')² - ^~k² - ~k'2 2

On utilise Ek' = | ^~k^'|, et on simplifie : L'avant dernière parenthèse se réduit à:

(

m2 u

2

m_u| ^~k^'|)

m2 e

2

_f

G2 d³k |^~k^'|d|^~k^'| ₍m²

F 2 - m2

u

~ = ð5 (2ð) 2 - m_u|^~k^'|)

e

2Ek 4|^~k|

Ù

tel que :

_{f f}

d³k... =|^~k²|d|^~k|(4ð)...

G^2F i = ð5

f (8ð)2 d|^-. k|d|^-.k^'|^|~k| | 8 Ek Ù

^~k^'|(

m2 u 2

m2 e 2

mu|

~k'|)

Il nous reste à préciser cette région pour définir les bornes d'intégration sur |^~k| et|^~k^'|.

VNote : Ek = ^~k² + m² _e.

~ est défini par : |z0| = 1

-2| ^~k|| ^~k^'| = (m_u - Ek - | ^~k^'|)² - ^~k² - ^~k^'2 =2|^~k||^~k^'|

(|^~k| - | ^~k^'|)² = (m u - Ek - |^~k^'|)² = (|^~k| + |^~k^'|)²

On utilise deux fois : a² - b² = (a - b)(a + b)

(m_u - Ek+ |^~k|)(m_u - Ek- | et

(m_u - Ek - | ^~k|)(m_u - Ek + |

^~k| - 2|^~k^'|) = 0

^~k| - 2|^~k^'|) = 0

? ?

?

La première in~galité (m_u - Ek + |^~k|)(m_u - Ek - |^~k| - 2|^~k^'|) = O n'est vrai que si l'un est positif et l'autre négatif. Le premier terme est plus grand que le 2^eme, donc :

{

m_u - Ek + |^~k| = O (1)

m_u - Ek - |^~k| - 2|^~k^'| = O (2)

La deuxième inégalité (m_u - Ek - |^~k|)(m_u - Ek +|^~k| - 2|^~k^'|) = O n'est vrai que si

les deux positifs, car le premier terme (m_u - Ek - |^~k|) ne peut être négatif! (sinon il y a contradiction avec l'équation (1) ci-dessus).

Donc:

(3)

m_u - Ek + |^~k| - 2|^~k^'| = 0 (4)

_{mu - Ek - |^~k| = 0

Résultat :

| k| et | k^'| sont positifs et vérifient (2), (3) et (4).

? ?????????

?????????

V- _{z -,

=A

0 = | k| =

m_L - Ek - | k|

k^'| = m_L - Ek +| k|

2 2

2m_L
V- _{z }

=C

m2 L - m2 e

= |

V- _{z -,

=B

(l'équation (1) découle maintenant de (3) et est donc superflue).

(2), (3) et (4) ?

On intégre /| k^'| :

Z B A

( ) | k'|(m2 L - m2 L - m2 d| k'| e e ) - mL| k^'|^2 = m2 (A2 - B^2) - mL (B3 - A3) 2 4 3

)2 + | k|²

k| ((m_L - Ek ) - mL

12 | k|[3(m L - Ek

m2 L - m2 e

4 |

=

Z G2 F d| k|^| = F = ð3

k|2 (m2 L - m2 e (mL - Ek ) - m L [3(m L - Ek ^)2 + | k|^2]) Ek 4 12

0 = | k| =

_q

m2 L - m2 e

C = ; Ek = k² + m2

2m_L

m2 L - m2 e

2m_L

est équivalent à: m_e = Ek = m2 u+m2

2mu .

e

De plus | k|d| k| EkdEk (changement de variable car E2 k = k² + m² _e). En posant | k| = m_e; Ek = m_evx² + 1

d| k| = m_edx; x : 0 m2 u-m2

2mume ;

e

On obtient :

GF m_e

F=

Zð3 0

m2 u-m2 e
²mume

~ m2 ~

x2 L - m2 x2 + 1) - mL (3m_L - me v

e (m_L - me v x2 + 1)² - mL

dx vx2 + 1 12 x2

4 12

L m5 ~

G2 - m8

F L

F = 192 - m3 24 + mLm ⁴

_Lm² ) + m6

e e

8 ln(mL

e e

ð3 m_e 24m L 192m3 L

G^2F i = ð3

m5 u 192

? l )4 ln (m u ) + 8( me ? 1 e -8( me )2 + 24( me )6 - m8 ] |{z} mu mu me m u m4 u ~ C'est le terme dominant car : 8( me )2 ?2 × 10^-4 mu

Le résultat est identique à celui de [2]. Remarque :

et ln(x + vx² + 1). La probabilité de trouver le bon résultat est nulle si on fait ce calcul _àL'intégrale peut se faire à la main. La primitive s'exprime en fonction de xn, vx² + 1

la main. Nous avons fait ce calcul en utilisant le logiciel MAXIMA (libre!). Le code est :

f(x) :=integrate(

me^2 *

x ^2/sqrt (x^21)+^*

(

(mu^2-me^2)/4 * ( mu-me ^*sqrt(x^21))+

- mu/12 * ( 3 * (mu-me ^*sqrt(x^21))² + + me^2 ^*x^2 )

)

, x) ;

f(x);

subst ( asinh(x) = log(mu/me) , % ) ;

subst ( sqrt(x^21)=(mu²++ me^2)/2/mu/me , % ); subst ( x = (mu^2 me^2)/2/mu/me , %);
expand(%);

Chapitre 3

La théorie des Bosons Vectoriels

massifs

Les calculs aux ordres supérieurs, que ce soit la théorie de Fermi, ou la théorie V-A divergent. Des infinités apparaissent et il n'y a aucun moyen de les faire disparaître, contrairement aux théories dites renormalisables (dans une théorie renormalisable, on rencontre des infinités, mais ces dernières peuvent être absorbées dans les paramètres de la théorie, rendant la théorie finie).

Pour éliminer ces problèmes, Weinberg et Galaschow ont ré-interprété les calculs en introduisant l'idée des particules messagères de spin 1 véhiculant les interactions faibles par une simple comparaison aux interactions électromagnétiques. La nouvelle forme du Lagrangien d'interaction faible sera similaire à celle de l'interaction électromagnétique, en remplaçant la charge électrique »q» par la constante de couplage »g_w», et le champ A_u(x) par les champs W_u(x). Ces particules messagères sont massives.

Restant dans le cadre de la désintégration muonique, le Lagrangien sera sous la forme: L_w =i gw u + C.C]

_v2 [øeãu (1 + ã⁵)

2 øí_eW u - + øíuãu (1 + ã⁵)

2 øuW +

Où: C.C veut dire complexe conjugué.

Les équations quantiques pour les champs libres W^#177;, dans la jauge de Lorentz, sont (ce sont les équations de Proca pour une particule massive, de spin 1) :

~

(?² - Mw)W u #177; = 0, -? (*) ?_uW_u^#177;= O, -? (**) La solution générale de l'équation (*)(ressemble à l'équation de Klein-Gordon) est :

XW u - = k~

au ~k? k + cu+ k~ ?* k~

Tel que le W_L vérifie

{ kLaL k~ = 0, ? 3 a indépendants ;

?LWL = 0 kLcL+

k~= O, ? 3 c indépendants.

aL k~

=

3 X i=1

a^~kiå

On pose:

L ? oùå vérifient :åLkL = O

^~ki

et les a-_ki(i=1?3) sont des opérateurs arbitraires. De même pour

3

cL+ k~			=		X i=1	c+ ~kiå	^~ki L
Il y a plusieurs choix pour å L tel que å ^~ki		L kL = O. On va se mettre dans le cas où ils sont ^~ki
choisis pour être vecteurs propres de S~	k~ |^~k|			avec valeurs propres				? ? ?	+1, i=1; -1, i=2; O, i=3.

Lorsque ^~k//(oz) :

å_L = (1,i,O,0).

^~k1

å_L = (1, -i, 0,0).

^~k2

E i|^~k|

å_L = ( 0, 0,

~k3 M , ).

M_w

Pourk^~ arbitraire, leså~ki _L sont obtenus par une rotation adéquate (comme dans le cas du photon).

Remarque :

Le photon n'a pas de masse, il a deux polarisations mais par contre les bosons vectoriels sont massifs avec trois polarisations.

Ce qui apparaît dans les calculs est :

3

_X
i=1

å_L å

^~ki

.

^~ki kLkí

í = ä _Lí + M2 w

Finalement les champs W - auront la forme suivante :

XW u - = ^~ki

a^~kiå

u ?~k + cu+ ~ki ~ki å

í ?* ^~ki k~

Avec comme interpretation desa~ki, c~ki :

ak,i : opérateur d'annihilation de la particule W -.

c+ k,i : opérateur de création de la particule W⁺.

ck,i : opérateur d'annihilation de la particule W⁺.

a+ k,i : opérateur de création de la particule W -.

Les opérateurs de céation et d'annihilation obéissent aux relations de commutations suivantes:

[ ak,i, ak^',i^'] = [c+ k,i, c+ k',i' ] = 0 [ ak,i, c+ k',i'] = [ ck,i, a+ k',i'] = 0 [ak,i,a⁺ k',i'] = [ck,i, c+ k',i'] = äk,k^'äi,i^'

On définit les états initial et final de la désintégration du muon comme la partie précédente :

|i) =bu⁺

ps |0)

hf| = h0|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

p^'s^'

Dans cette section, nous allons faire le calcul au deuxième ordre, c'est-à-dire : [ J +8 J +8 ]

HId⁴x - 1

S = T 1 - i HI(x)HI(y)d⁴xd⁴y

2!

-8 -8

d'où: Sfi = (f|S|i)

R +8

Sfi = h0|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

_p'_s'T[1 - i R +8

-8 HId⁴x - 1 -8 HI(x)HI(y)d4xd4y]bu+

ps |0)

2!

J +8

Sfi = (O|d^íe

_k'_ó'b^e kób^íu

p's' T[ - 1 HI(x)HI(y)d4xd4y]bu+

ps |O)

2!

J +8

-8

= 'O| díe

k'ó' be _kó bíu

p's' T[ - 1 : HI(x) :: HI(y) : d4xd4y] bu+

ps | O)

2! -8

+8

fi=

4 k

S -1 (0|dM 'b

ó ^k p

e _ób^u_s'd⁴xd⁴y T [g

2 : {(ø_e (x)ã^u (1 + ã⁵)ø_íe (x))W_u^-(x)

-8

+(ø_íu(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_u(x))W_u⁺ (x) + C.C} :

_×gw

2

: {(ø_e(y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe)W_í^- (y) +(ø_íu(y)ã^í(1+ ã⁵)ø_u(y))W_í⁺(y) + C.C} : ] b;',:|0)

On développe ce terme, on trouve :

--96,

2 f-Foo

Sfi=--

(0|be bíu

k'ó' kó _p' _s'

T [ : (ø_e (x)ã^u (1 + ã⁵)ø_íe (x)W_u^- (x))(ø_e (y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe W_í^- (y)) : |._z}

(A)

+ : ((ø_e(x)ã^u(1 + ã⁵)ø_íe)W_u^-(x))(ø_íu(y)ã^í(1 + ã⁵)ø_u(y)W_í⁺(y)) : | _{z }

(B)

+ : ~ø_íu(x)ã^u(1+ ã⁵)ø_u(x)W_u⁺ (x)) (ø_e (y)ã^í (1 + ã⁵)ø_íe W_í^- (y)) :

|..(%)

+ : ~ø_íu(x)ã^u(1 +ã5)øu(x)Wu + (x))ø_íu(y)ã^í (1 + ã⁵)ø_u(y)W_í⁺ (y)) : ^|"(r)

] × d⁴xd⁴y b^u+_ps|0)

Plus des termes qui donnent zéro.

En tenant compte des relations de commutation et d'anti-commutation suivantes : [W_í^#177;(x), b⁺] = [W_í^#177; (x) , b] = [W_í^#177; (x) , d] = [W_í^#177; (x) , d⁺] = 0

{ø(x),bk_ó} = ?^*kukó bkó øk = -øk _bkó + ?^*kukó

{dk''ó'',øk''}= ?* _k''v_k''_ó'' d_k'' _ó'' ø_k'' = -ø_k'' d_k'' _ó'' + ?* _k''v_k'' _ó''

{ø(x),b⁺_ps} = ?(x) ups ø(x) b⁺ps = -b+ _psøp + ?_p ups

On trouve que le premier terme (A) et le quatrième terme (D) de la dernière relation de Sfi sont nuls, à cause de l'existence des opérateurs b⁺ et b respectivement, qui commutent avec tous les champs de ces deux termes jusqu'à ce qu'ils agissent sur (0| et |0) respectivement, pour donner zéro. Donc, il nous reste que deux termes qui ne sont pas nuls ; le deuxième (B) et le troisième (C), qui sont égaux d'après la définition du produit chronologique T. Nous allons les simplifier en commençant par le deuxième terme (B):

En utilisant le théorème de Wick, T(B) s'écrit facilement comme un produit de contractions, qui sont soit des anticommutateurs pour les fermions, soit un propagateur WW.

Le propagateur bosonique sera :

× e-iq(x-y)

(0|T[W_u^-(x)W_í⁺(y)1|0) = W_u^-(x)W_í⁺(y) × è(x0 - y0) + W_í⁺(y)W_u^-(x) × è(y0 - x0) Zd⁴q äuí + qlli£dt

(0|W u ^-(x)W_í⁺(y) |0) =

i(2ð)⁴ q² + M²_W - io

En effet :

16 -8

Sfi 2gW2 f+8 d4xd4y [ (?: (x)uî(ã^u (1 + ã⁵)?_íe (x)vp )(?^*(y)upY (1 + ã⁵)?_u (y)u;, )1

+8 ä

quqí

× 1

d4q uí MZ iq(x - y)

J^.

i(2ð)⁴ -8 q2 io

e

e (+8 [ r8 +8

d4q _d4_xei(q-k-k^') _d4_yei(p-q-p^')

_v

S i 1 fi 8(2ð)⁴ ,V2E_p2E_p'2Ek2Ek'V⁴ L8

-00 -

8

(uîjã^u(1 + ã^5)v^íek'u^íi£p'ã^í(1 + ã^5)/e) ×

+ quqí uí 1 M^2w q2 +M^2w -io

1 +8

Sfz 8(2ð)⁴ . =^Wd⁴q [(2ð)⁴ä(q - k - k^') (2ð)⁴ä(p^' - q - p^') ,V2E_p2E_p'2Ek2Ek'V⁴ f8

(u^e+ ã^5)v^íek'up^'ã^í(1 + ã^5)u4;) ×

+ quqí uí 1 M^2w q2 +M^2w -io

)_upp)_í

äuí

Sfi ieW (270⁴ ' '

8(p - p - k - k) (u^e_k^u (1 + ã⁵)v^íe_k'u^íi£_p'ã^í (1 + ã⁵)u;^,,) × Mw²₂ 8 ,V2 E_p 2E_p'2 Ek 2 Ek'V4p-p+ MI2D - io

Comme les composantes des impulsions p et p' sont négligeables devant la masse de W, c'est-à-dire : MW » p, p'.

Donc ils seront négligées dans notre cas non-relativiste :

äuí M²W .

qi£q'

uí M2 W
_q2 Ml247 io ~

Finalement nous obtenons :

ig² (2ð)⁴ä⁴(p - p^' - k - k') [ue ]

W

Sfi = _kóã^u(1 + ã⁵)v^íe _p'_s'ã^u(1 + ã⁵)u_ps

8M² /2Ep2Ep'2Ek2Ek' k'ó'uíu

W

Diagrammatiquement, nous avons:

Fig. 2 : La désintégration du muon via échange de boson vectoriel

On voit que ce résultat ressemble bien à ce celui de la théorie de V-A sauf les constantes de coulage qui les différent. On est retombé sur la même trace de la méthode précédente, donc sans refaire le calcul, on prend directement le résultat trouvé et l'injecter ici. Mais avant de procéder à cette étape on compare les deux résultats pour extraire les deux constantes de couplage par la relation suivante :

	GF	g2 W
tel que :	v2	8M2 W

GF : est la constante de couplage de Fermi.

gW: est la constante de couplage de la méthode des bosons vectoriels. MW: est la masse du boson mis en jeu dans l'interaction.

Nous avons illustrer dans cette section la nécessité d'introduire les bosons vectoriels massifs pour le processus de la désintégration du muon. C'est -à-dire que le muon se désintègre en un neutrino muonique plus un boson massif, possédant une durée de vie extrêmement petite, qui à son tour va donner un électron et un neutrino électronique. La particule d'échange (W) a une impulsion p' et une énergie _E~p, mais E2 p~=6 ~p² + M2 W . Nous disons que cette particule est virtuelle.

Cette interprétation est valable même au niveau des particules composées de quarks, où dans ces cas, c'est les quarks qui interagissent. Prenons l'exemple qu'on a déjà traité ^àla section (I), la désintégration du neutron. Le neutron est composé de trois quarks (udd),

lors de la désintégration un quark down (d) change de saveur pour devenir un quark up (u), en émettant un boson W qui immédiatement donne un couple de fermions (électron et un neutrino électronique). Mais les deux autre quarks n'interagissent pas, ce qui nous permet d'avoir à la fin trois quarks (uud), qui est la structure du proton en quarks.

Conclusion

En conclusion, nous avons développé dans ce travail un point de vue théorique, qui n'est pas éloigné de l'expérience. Cependant de nombreuses hypothèses jalonnent notre parcours dont certaines sont sous-entendues par nos connaissances expérimentales. Bien évidemment, seule l'expérience nous permet de juger l'efficacité et justesse d'une théorie et d'un modèle. Mais il faut cependant savoir s'affranchir de ces connaissances pour pouvoir mieux comprendre le mécanisme des éléments.

Vu le rôle et l'intérêt des interactions faibles dans notre vie quotidienne, ou le rôle qu'elles jouent pour expliquer plusieurs phénomènes physiques en commençant par la théorie de création de l'univers jusqu'à l'explication de la stabilité des noyaux atomiques, plusieurs physiciens ont continué à travailler là-dessus. Donc, notre travail consiste à expliquer quelques processus d'interaction à savoir la désintégration du neutron et celle du muon.

Nous avons commencé par la théorie de Fermi à quatre points, pour la désintégration du neutron, là où nous avons montré les problèmes de cette théorie pour le calcul de la matrice de diffusion aux ordres supérieurs. Ensuite,nous avons présenté la manière que Fermi a amélioré sa théorie en considérant que les interactions comme des interactions vectorielles et axiales. Cette dernière est connue sous la théorie V-A. Et comme ces deux théories sont non-renormalisables, car elles génèrent des infinités que nous pouvons pas éliminer.

Vu la similitude entre l'interaction électromagnétique et l'interaction faible, on a introduit des particules messagères lors de l'interaction faible qui sont plus massives. L'introduction de ces particules messagères dans l'interaction faible permis d'enlever les ambiguïtés et les problèmes des premières théories proposées au début, à savoir la théorie à quatre points et V-A. Mais les résultats de la théorie des bosons vectoriels, lors du développement au deuxième ordre (cas de faibles énergies), coïncident avec ceux de la théorie de Fermi, mais ce n'est pas le cas aux ordres supérieurs. Ce qui a permis de relier les deux constantes de couplage.

La théorie de l'interaction faible est assez complète et bien comprise de nos jours. Elle permet en plus de décrire correctement les processus suivants :

? ??????

??????

W - -* e - + í_e W+ -* e⁺ + í_e W + -* d + u W+ -* u+ + í_u

...

Et beaucoup d'autres que nous n'allons pas énumérer (voir [2]).

Faute de temps, nous n'avons pu introduire les vecteurs Z⁰ (non chargés) qui se coupleraient de la même manière que les W mais avec des courants neutres (ex : Z_uø_eãu(a + bã⁵)ø_e)

Bibliographie

[1] T.Van Ritbergen, R.Stuart, Phys. Lett. B437, 201(1998); Phys. Rev. Lett. 82, 488(1999).

[2] M. Veltman : Diagrammatica-The Path to Feymman Rules; University of Michigan.

[3] HandBook of Physics Eddited by : E. U. Condon, Ph. D and Hough Odishaw; Second Edition.

[4] Cours et TD de Monsieur Adel Kassa; Théorie Classique des Champs et Théorie Quantique des Champs; Université de Béjaia.

[5] An Introduction to Quantum Field Theory : Michael E. Peskin,Stanford Linear Accelerator Center; Daniel V. Schroeder, Weber State Univesity.

[6] Notes du cours du Professeur Mikhail Shaposhnikov, Sven Bachmann, été 2005 : Champs Quantiques Relativistes; Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Laboratoire de Physique des Particules et de Cosmologie.

[7] José Leite Lopes, Menbre de l'Acadimia Brasileira de Ciências : Article sur l'Unification des forces en Physique; Avril 2000.

[8] S. F. Novaes, Instuto de F~~sica Te~orica, Universidade Estadual Paulista; Article : An introduction of Standar Model, Jan 2000.

[9] Les particules élementaires, collection : Bibliothèque por la science Diffusion Belin(page 180)

[10] http :// pdg.lbl.gov, site internet de partcules data book.

[11] www.wikipedia.com