2.3.1 Transformée de Fourier à
fenêtre glissante
La représentation temps fréquence met en jeu
deux opérations réciproques: J'analyse et la synthèse.
Pour effectuer l'analyse du signal, on le décompose en une somme de
fonctions élémentaires øa ,b
(fonctions sinusoïdales pour J'analyse de Fourier) où 'a' est
lié à la
fréquence et 'b' est lié au temps. Pour
décomposer un signal quelconque on affecte à chaque
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
fonction élémentaire des coefficients
Ca,b ou :
+8
Ca , b ? S ( t ) ø
a , b ( t ) dt
= 2.2
-8
Ces coefficients donnent une information directe sur les
propriétés temporelles et fréquentielles du signal. Les
fonctions øa ,b doivent être bien
localisées dans le temps, de
sorte que les coefficients Ca , b
dépendent seulement des valeurs que prend le signal dans l'intervalle de
temps sur lequel la fonction øa ,b n'est
pas négligeable. La synthèse donne les règles permettant
de reconstruire un signal à partir des éléments Ca
, b fournis par I'analyse.
En 1940, D.Gabor [2.4] découvre la
première forme de représentation temps fréquence. Il
obtient une analyse temporelle en découpant arbitrairement le signal en
des plages de longueur limitée. Chaque plage, centrée autour du
paramètre ' b' de localisation en temps, est alors étudiée
séparément des autres par L'analyse traditionnelles de Fourier,
ce qui revient à décomposer le signal sur des fonctions
élémentaires øa ,b qui
dérivent toutes d'une
même "fonction fenêtre" ø(t)
par translation et modulation en temps. C'est la
transformation de Fourier a fenêtre glissante.
L'inconvénient majeur de ce procédé est
que la longueur de la plage est fixée une fois pour toutes et que l'on
ne peut pas analyser simultanément des phénomènes dont les
échelles de temps sont différentes. Ce problème est
résolu par l'analyse multi échelle par ondelettes où il y
a des familles d'ondelettes qui correspondent à des
décompositions différentes. Elles ont des
propriétés différentes et permettent ainsi des analyses
différentes. L'analyse par ondelettes est une méthode
mathématique pour représenter le signal.
2.4 Transformée en ondelettes
J. Morlet [2.5] a construit une famille d'ondelettes
engendrée par une seule ondelettes ø (t) dite
analysante et définie par :
- t 2
ø = × 2.3
2
a b t t a
( ) cos( 5 )
,
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
II a construit les ondelettes øa
,b à partir de l'ondelette analysante
ø, non pas par
translation et modulation, comme pour la transformée de
Fourier a fenêtre glissante, mais par translation en temps
(paramètre 'b') et contraction ou dilatation en temps selon que le
paramètre 'a' (fréquence) est plus petit ou plus grand que un. Il
suffit donc de "jouer à l'accordéon" avec I'ondelettes analysante
y pour obtenir la famille des ondelettes øa ,b.
La transformée en ondelettes réalise une analyse
à toutes les échelles. Elle est une fonction
S(a, b) qui associe aux paramètres 'a' et 'b'
la valeur du coefficient Ca , b de
l'ondelette
øa,b dans la
décomposition du signal. La quantité 'b' est le paramètre
de localisation temporelle, tandis que (1/a) est le paramètre de
fréquence. Ca , b est une intégrale qui mesure
la somme des aires algébriques décrites par la courbe (produit
s (t) øa,b )
comme montre la figure 2.1 .
2.4.1 Transformation continue en ondelettes
La transformation continue en ondelette, ou transformation
intégrale en ondelette a la possibilité de faire un "zoom", c'est
à dire que la dimension de la cellule de Gibbs (voir la figure
2.2) peut s'adapter à la position du centre dans le plan (t,
w), et devient plus étroite si l'on se déplace vers les hautes
fréquences, et plus large vers les basses fréquences [2.6]. Une
expansion d'ondelette utilise des transformations et des dilatations d'une
fonction fixe, l'ondelette ø , Dans le cas de la transformation
continue en ondelettes, les paramètres de
translation et de dilatation varient continuellement, et la
transformation utilise les fonctions:
1
ø a b x
, ( ) = ø
a
x b ?
?? ??
a
? -
Où a, b ? R , a ? 0 2.4
Alors, la transformation continue en ondelettes définie
par :
W(a,b) =< f,øa
, b> 2.5
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
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(a) Ondelette de morlet øa
,b de fréquence 1/a centrée en
b.
(b) signal S(t).
(c) produit S (t)
øa,b .
(d) mesure du coefficient Ca , b
représenté par
L'intégrale « aire » du signal produit.
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Figure 2.1
Pour pouvoir définir correctement la transformation en
ondelettes il faut que ø possède Tes
propriétés suivantes :
1. ø est aussi une fonction fenêtre, dont
le centre est w0 > 0 , pour localiser les
fréquences en utilisant l'effet de "zoom".
2. Ø = ? ø ù ù < +8
C ù 2 d
1 pour permettre la reconstruction de f à partir des
valeurs
( )
de la transformée par ondelette W(a,
b).
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Chapitre 2 Transformée en ondelettes
La transformation continue en ondelettes nous permet
d'utiliser des ondelettes plus générales. Et elle est
utilisée dans la détection de la singularité et dans
l'interprétation (caractérisation).
Figure 2.2 : Cellule de Gibbs
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