II.2 Etude de Maaroufi
Maaroufi a étudié les vibrations induites par
effet de couronne par une méthode analytique [1].
En premier temps, il a choisi de la littérature les
meilleures formes pour les forces qui sont appliquées à un
conducteur HT en présence des gouttes pendantes.
Ensuite à l'aide du modèle expérimental
utilisé par Ferzaneh dans son laboratoire (figure II.4) il a
calculé la force totale qui induit les vibrations couronnes. Il trouve
que cette force est de l'ordre de 1 0-3 N/m dans les conditions
habituelles (intensité de la pluie de 10 mm/h et intensité du
champ électrique 20 kV/cm).
Afin de calculer l'amplitude de vibration induite par effet
de couronne, Maaroufi a établit l'équation du mouvement vertical
du conducteur et les différentes forces de dissipation exprimées
par :
m + C -á = d + c
+
F F
2
?
2 ? ? 2
U U U
? t ? t ? x 2
mg (II -1)
Afin de calculer l'amplitude maximale des vibrations, le point
central de la portée a été utilisé pour
évaluer la solution.
ð
U x t q t n
( , ) ( ) sin( x )
= avec n=1 (II -2)
L
q(t): flèche à mi-portée en
fonction du temps
L: longueur de la portée
donc,
2 2
? (II -3)
u x t ð
( , ) = - n 2 u x t
( , )
2 2
? L
x
L'équation (II -6) peut s'écrire :
? U F F
+ C + = d +
c +
ù U
? t m m
? 2
? t 2
U2
g (II -4)
où ù 2 = n 2
ð 2 T / L 2 m =
pulsation naturelle
Il conserve uniquement le déplacement relatif à la
position d'origine, l'équation (II -4) devient (en
posant y = u) :
? 2
y ? y F F
? t 2
2
ù (II -5)
y =
+ C + d + c
m m
? t
ð
Si ( , ) ( ) sin( )
y x t Y t
= , l'équation (II -5) devient :
x
L
.. .
ð ð
+ + = d + c
ð F F
sin( ) sin( ) sin( )
x c Y x Y
ù 2
Y x
L L L mm
|
(II -6)
|
|
Puis l'équation (II -6) a
été multipliée membre à membre par sin (ðx/L)
et a été intégrée de 0 à L, il obtient
l'équation suivante :
. . . ð
2 L F F
+ + ù =
2 ( d c ) sin( )
Y c Y Y + x dx (II -7)
L0 m m L
- k 1 V 1 2
Où force de disipation dans l' air
F = =
d
V1 = vitesse de déplacement du
conducteur
Une fonction sinusoïdale a été
utilisée pour représenter la variation de la force induite par
effet de couronne dans le temps :
)
L
ð
Fc F wt
= 0 cos( ) sin( x
(II -8)
Donc l'équation (II -8) s'écrit
maintenant :
. . . k 1 . 2 + 0
wt (II -9)
á F
Y c Y Y
+ 2 = - 8
+ ù Y cos
ð m m
3
Il utilise l'équation du bilan énergétique
:
.
2ð
w c Y dt
2
0
Si:
.
2 ð ð
8 2
k F
+ w w
1 3 0
á Y dt - cos 0
wt Y dt =
0 3 ð m 0 m
.
(II -10)
64 2 0
k w 2 F
1 + -
A c wA
9 ð m m
0 (II -11)
ð
ð=
.
Y(t) = Asinwt Y(t)
Aw cos wt
=
Après l'intégration, l'équation (II
-10) devient :
2 2 2 + 1 0
64 k F
w
î ð îð
9
m
L'amplitude de vibration au centre de la portée est alors
donnée par l'équation suivante :
w
A
64 k w
1
= (II -12)
Les résultats sont regroupés sous forme de
graphique. Pour un conducteur de masse m = 1,5 kg/m, de
diamètre Ô = 3 cm, avec une fréquence ù = 36 Hz et
un pourcentage d'amortissement î % = 0,1, l'amplitude de
vibration au centre de la portée obtenue, pour une force induite par
effet de couronne Fo = 0,01 N/m, est A = 2,32 mm.
Dans les calculs précédents le vent a
été supposé nul. En présence du vent l'amplitude de
vibration a été établit comme suite :
A = 0 (II -13)
m.2...
î ù 2 + ù
F
m
k .U .
0
Il trouve que l'influence du vent est considérable sur
l'amplitude des vibrations induites par effet de couronne, en effet pour des
vitesses du vent de l'ordre de 7 m/s toute possibilité de vibrations par
effet de couronne est annulée, et un vent de 1 m/s réduirait
considérablement l'amplitude obtenue sous vitesse de vent nulle.
| 
