ANNEXES
ANNEXE I Forces externes exercée sur le
conducteur
La figure AI.1 présente les forces
extérieurs (d'origine extérieure : effet couronne, vent,
gravité) exercées sur le conducteur en mouvement.
fc
V0
·
U
á
fd
fg
Vr
Figure AI.1 Forces externes appliquées sur le
conducteur. [23]
fc : force couronne par unité de
longueur. [N/m].
fg : force gravitationnelle par unité de
longueur. [N/m].
fg=ñ*g (1)
g : accélération gravitationnelle
fd : force de dissipation dans l'air par unité de
longueur. [N/m].
En se référant à la figure A. 1 l'expression
de la force de dissipation dans l'air peut s'écrire
fd=k*Vr*siná
(2)
1
K. air . . C d = ñ
ö (3) 2
Cd : Coefficient de traînée. (dans la
simulation on prend Cd =1)
ñair : masse volumique de l'air (environ 1.2
kg/m3 à 20°C).
Ô : diamètre du conducteur. [cm]
Vr : vitesse relative de l'écoulement. á :
angle de vitesse relative.
·
U
siná= (4)
r
V
V0 : vitesse absolue du vent.
·
U: vitesse du conducteur.
·
Vr V 0 U (5)
= 2 + 2
Si la vitesse du vent est nulle l'expression de la force de
dissipation (2) devient:
fd = k*U (6)
ANNEXE II Transformation de la force couronne sous
forme sinusoïdale à une force impulsionnelle
A.II.1 Force couronne sinusoïdale
La variation de la force induite par effet de couronne dans le
temps est très difficile à évaluer. Certains auteurs [1-6,
21] l'ont estimée à l'aide d'une fonction sinusoïdale,
étant donné que les vibrations du conducteur sont de forme
sinusoïdale de même fréquence que la fréquence
naturelle du conducteur.
La valeur de la force induite par effet de couronne, sous forme
sinusoïdale Fs, est évaluée [6] à l'aide de
l'équation suivante:
(1)
Fa
W
sin * Y
=
ð max
Wa est l'énergie d'amortissement
(égale à l'énergie nécessaire pour maintenir la
vibration ou
l'énergie perdue par frottement par cycle ) est
déterminée expérimentalement à l'aide d'un montage
utilisant un conducteur toronné de 3,58 m de long) placé dans
l'axe d'un cylindre en grillage métallique. Ymax est
l'amplitude de vibration.
La valeur de la force induite par effet de couronne de forme
sinusoïdale a été évaluée par Farzaneh [4]
pour différentes polarités et pour différentes
intensités de champ électrique à la surface du conducteur.
Les résultats se trouvent dans le tableau A.II.
Champ Electrique (kV/cm)
|
Valeur de Force Couronne Sinusoïdal (* 1 0-2
N/m)
|
CC-
|
CC+
|
CA
|
9,3
|
0,08
|
0,08
|
0,18
|
10,2
|
0,09
|
0,15
|
0,68
|
11,1
|
0,18
|
0,6
|
1,53
|
12,1
|
1,69
|
1,6
|
1,41
|
13
|
2,3
|
2,1
|
1
|
13,9
|
2,44
|
2.00
|
0,49
|
14,9
|
2,16
|
1,8
|
0,25
|
15,8
|
1,75
|
1,3
|
0,22
|
16,7
|
1,51
|
1
|
0,2
|
17,6
|
1,36
|
0,85
|
0,2
|
18,6
|
1,27
|
0,75
|
0,2
|
Tableau A.II Force induite par effet de couronne de
forme sinusoïdale en fonction du champ électrique pour les trois
polarités. [4]
A.II.2 Force couronne impulsionnelle
La transformation de la force induite par effet de couronne de
forme sinusoïdale en une force de forme impulsionnelle se fait en
conservant la même quantité d'énergie transmise au
conducteur. L'équation énergétique pour une force de forme
sinusoïdale est présentée dans la section
précédente.
Développons maintenant l'équation
énergétique pour une force de forme impulsionnelle [7].
n
W F i Temps nbre d applicatio n Y i
a imp
= ( ) * * ' * (
|
) (2)
|
i = 1
Fim(i) : est la valeur de la force
impulsionnelle nodale (pour chaque noeud).
Temps: est le temps d'application de la force
couronne impulsionnelle, il correspond à la période où la
goutte d'eau est allongée et les décharges couronnes sont
actives. Cette force est annulée lorsque la goutte est
éjectée [4]. Des films réalisés à l'aide
d'une caméra haute-vitesse (400 images par seconde) ont servis à
estimé le temps où la goutte reste allongée (force de
couronne agissant sur le conducteur) [4, 7]. Ce temps a été
évalué à environ 20 millièmes de seconde.
nbre d'application : correspond à la fréquence
d'éjection des gouttes.
Lors de la vibration il a été observé
expérimentalement [4, 21] qu'environ 9 gouttes, sur une
possibilité de 27 par mètre de conducteur éclatent
à chaque cycle de vibrations, et ce pour une intensité de pluie
de 25 mm/h. La moyenne d'éjection de chaque goutte est donc
approximativement égale à 2 éjections par seconde.
La valeur de la force impulsionnelle, le temps d'application
et le nombre d'applications de la force induite par effet de couronne par noeud
sont constants pour tous les noeuds. L'équation (2)
devient:
n
W F i Y i
a imp
= 0 .02 * 2 * ( ) (
|
) (3)
|
i = 1
La somme des amplitudes de vibration peut être
transformée par une amplitude moyenne multipliée par le nombre de
noeud [7], tel que:
n
i
|
=
|
1
|
Y ( i ) n *
=
|
Ymoy
|
(4)
|
L'amplitude moyenne pour un système vibrant dans son mode
fondamental peut être exprimée par une fraction de l'amplitude
maximale tel que [7] :
On peut donc écrire l'équation (3)
sous la forme suivante:
2
W 0 . 02 * 2 * n Y max F
i
a = i mp
* * * ( )(6)
3
W a est l'énergie fournie à
un mètre de conducteur pendant une seconde de vibration. Il faut
maintenant diviser le résultat par 5,6 Hz (la fréquence naturelle
des vibrations conformément aux expériences effectuées par
Farzaneh [4]), et multipliée par la longueur totale du conducteur pour
obtenir la valeur de l'énergie fournie au conducteur pendant un cycle de
vibration, et en égalisant les deux équations
énergétiques (1) et (6), on
obtient:
1 2
ð = imp
* *
Y F long cond n Y F i
max sin max
* . * 0.02 * 2 * * * * ( ) (7)
5 . 6 3
( ) ð sin
3 * 5 . 6 * * F
Fimp i = (8)
long cond n
. * 0 . 02 * 2 * 2 *
Pour une longueur du câble égale à 3.58m et
nombre de noeuds égal à 100, l'équation
(8) devient: Fimp (i) = 1.84 F
sin (9)
ANNEXE III Rapport optimal entre le volume de la
goutte avant éjection et le volume de la goutte résiduelle
(Paramètre K)
D'après les observations faites par Hamel [6], les
gouttes d'eau ont un volume optimal dépendant de la polarité et
l'intensité du champ électrique. Lorsque le champ
électrique à la surface du conducteur est faible (11.1 kV/cm ou
moins), le volume des gouttes est plus grand et le nombre d'éjections
plus faible. Par contre, si le champ est plus grand (15.8 kV/cm ou plus), le
volume des gouttes est beaucoup plus petit et le nombre d'éjections plus
grand. De plus, après chaque éjection, un important résidu
de la goutte d'eau demeure suspendu au dessous du conducteur. Dans le but de
simuler le comportement des gouttes d'eau d'une façon réaliste,
on doit évaluer le rapport "K" existant entre le volume avant
l'éjection et le volume d'eau restant sur le conducteur après
l'éjection.
Ce paramètre est évalué
numériquement d'une manière à maintenir l'amplitude des
vibrations et obtenir un nombre d'éjection conforme aux observations
expérimentales. On réalise une approximation de trois courbes
(une pour chaque polarité) donnant le meilleur rapport pour une
intensité de champ donnée.
Les résultas obtenus sont présentées dans
les figures A.III.1, A.III.2, A.III.3.
L'intensité des précipitations est fixée à
25 mm/h.
Tension Négative
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Champ Electrique (kV/cm)
Figure A.III. 1 Rapport K en fonction du champ
électrique en polarité Négative.
Tension Positive
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Champ Electrique (kV/cm)
Figure A.III.2 Rapport K en fonction du champ
électrique en polarité Positive.
Tension Alternative
1.2
1.18
1.16
1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Champ Electrique (kV/cm)
Figure A .III.3 Rapport K en fonction du champ
électrique en polarité Alternative.
Boucle 2 sur 10 noeuds de la partie centrale du
conducteur
Boucle 1 de temps
F F F F F
electro gravité inertie tension i
+ + > +
Test 1 Si
nduite
1
2 3 4
ANNEXE IV
Sous-programme permettant la résolution dans le
temps du système d'équation découplé
Initialisation des variables: -Le volume des gouttes
-Le volume de réinitialisation -La force couronne
-La force de dissipation dans l'air
|
Calcul effectué pour chaque goutte:
-Volume de la goutte -Rayon de la goutte -Force
électrostatique -Force de la gravité -Force de l'inertie
-Force de tension de la surface
-Force moyenne induite par effet de couronne
|
1 2 3
Test 2 Si le rapport est inférieur à la
valeur optimale (K)
Diminution du volume de réinitialisation
-Augmentation du volume de réinitialisation
-Application de la force couronne sur tous les noeuds pendant 20 ms et
après un déphasage de 10ms.
Fin de Boucle 2
Fin de test 1
Fin de test 2
Calcul la force couronne modale
Calcul dela force de dissipation dans l'air sous forme modale
Calcul effectué pour chaque noeud à chaque pas de
temps: -Position du noeud
-vitesse du noeud
-Accélération du noeud
|
Fin de la boucle 1
Fin du sous-programme
Figure A. VI. 1 Sous-programme de résolution
dans le temps du système
d'équation découplé.
ANNEXE V
Interface usager de la simulation
numérique
Le langage de programmation utilisé pour écrire
la simulation numérique est le MATLAB 6.5. Ce langage de programmation
permet de mettre a point, d'exécuter et de tracer les courbes. Il permet
aussi de réaliser des interfaces usager de façon à
faciliter l'utilisation du programme. Les paramètres de simulation sont
entrés directement dans l'interface qui commande la lecture du fichier
contenant les informations supplémentaires et l'exécution du
programme. Ensuite, par simple click sur l'une des icônes, on obtient les
courbes des programmes exécutés dans cette icône et de
même pour tous les autres programmes.
Ce qui suit constitue un guide simple permettant l'utilisation
efficace de cette interface graphique. 1-Après avoir démarrer
Matlab, il faut activer, dans la fenêtre de commande, le
répertoire VIBRATION COURONNE, soit par une commande «cd('VIBRATION
COURONNE') » ou en naviguant dans la fenêtre des
répertoires.
2-Tapez sous la fenêtre des commandes de MatLab la commande
interface, vous devez recevoir l'interface graphique suivante:
3-Entrer les paramètres de la simulation dans
l'interface: tension électrique appliquée au conducteur (kV/cm),
les caractéristiques du conducteur (longueur (m), diamètre (cm),
masse(kg), tension mécanique appliqué aux
extrémités (N)) , l'intensité de la précipitation,
le temps de la simulation. La polarité de la tension positive est prise
par défaut, mais ton peut la changer en cliquant sur l'un des
icônes (négative, alternative).
4- Cliquer sur un des boutons de votre choix pour le type de la
simulation, vous devez obtenir les courbes correspondantes.
4- Dans le menu fichier, sélectionner "forme de la
goutte", Vous obtenez l'interface de la forme de la goutte.
4- L'effet de l'apport d'eau est pris par défaut, mais on
peut le changer, on clique sur le bouton " exécuté ", on obtient
les courbes correspondantes.
|