III.3 Equilibre des gouttes pendantes
L'étude mathématique de ce
phénomène est compliquée, car contrairement à la
goutte qui tombe librement et qui est supposée sphérique,
l'influence du champ électrique modifie considérablement la
géométrie de la goutte pendante. La tentative de
résolution mathématique comporte trois parties, l'étude de
l'équilibre de la goutte en absence du champ électrique et en sa
présence et l'influence du mouvement du conducteur sur la forme de la
goutte. [27, 28, 29]
III.3.1 Equilibre de la goutte pendante en absence du
champ (E=0)
En absence du champ électrique, les gouttes
adhérentes aux conducteurs sont sujettes à l'action de deux
forces, leur propre poids et la force de cohésion due à la
tension superficielle.
En se rapportant à la figure (III.5) on
peut exprimer l'équation d'équilibre vertical de la goutte
pendante.
y
x x+dx
T
dy
ds
á
T
Figure III.5 Equilibre d'une goutte
d'eau
Le poids de la goutte entre les cylindres x et x+
dx
|
=2.ð.ñ.g.
|
x.y. dx
|
(III.2)
|
|
La force due à la tension superficielle =
2ð.t((x. sin á
)x+dx - (x. sin á )
x ) (III.3)
On peut écrire :
2 2 ( ( ) ( ) ) 0
. . .g.x.y. dx . t x.sin x + dx x.sin x
ð ñ + ð á ? á
=(III.4)
ñ.g.x.y.dx +
t.d(x.sin á) =0
(III.5)
Sachant que :
ds dx dy ds dx dy
2 2 2 2 2
= + = +
ds dx
=
|
|
|
1+
|
dy
|
2
|
|
|
|
ds dx
=
|
|
( ) 2
y ~
|
|
|
Alors :
~
y
1+
( )
y 2
~
1
=
á
sin
dy
dy
2
ds
dx
dy
1+
dx
Donc :
d ( x ) ( ( y ) ) ( y ( (
y ) ) xy )dx
. sin á 1 2 1
= + ~ - + ~ 2 + ~ ~
3 / 2
(III.6)
ñ ~ ~ ~ ~ ~
. . . . ( 1 ( ) ) ( ( 1 ( ) ) ) 0
g x y dx + t + y 2 - y +
y + xy dx =
3 / 2 2
(III.7)
g
Si on pose k ñ.
= L'équation donnant la forme de la goutte pendante peut
s'écrire :
t
|
( ( ) ) ( ( ) 2)
1 2 1 y
+ ~ - - +
3 / 2 y ~
ky y ~
x
|
(III.8)
|
y
|
|
La méthode de résolution adoptée pour
résoudre l'équation (III.8) est celle de
Runge-Kutta [29] du quatrième ordre. La figure (III.6)
obtenue sous environnement MATLAB [40] montre
l'évolution de la forme de la goutte d'eau sous l'effet de l'apport
d'eau.
-6 -4 -2 0 2 4 6
(mm)
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
a
b
(b)
(a)
Figure III.6 Evolution de la forme d'une goutte
suspendue à une surface plane sous
l'effet de l'apport
d'eau
On remarque que si la goutte est alimentée en eau, sa
forme change de la situation (a) à la situation (b), et tend à
atteindre une forme sphérique sous l'effet de son poids croissant (On
peut remarquer une sorte d'étranglement de la goutte près de sa
surface d'attache). Quand le poids de la goutte dépasse la force de la
tension superficielle, l'équilibre se rompt et la goutte se
détache.
III.3.2 Equilibre de la goutte pendante en
présence du champ (E?0)
La présence du champ électrique se traduit par une
pression électrostatique P sur la surface de la goutte.
La force due à la pression électrostatique = 2
.ð .x.P.dx (III.9)
L'équation d'équilibre de la goutte devient alors
:
2. . .g.x.y. dx 2 . t ( ( x.sin ) ( x.sin
) ) 2 .x.p ( x,y ) . dx 0
ð ñ + ð á ? á + ð =
(III.10)
x dx x
+
ñ + á + =
.g.x.y. dx t. d ( x.sin ) x.p (
x,y ) . dx 0 (III.11)
En substituant l'équation (III.6) dans
l'équation (III.11) on obtient l'équation
suivante :
~~
y
|
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 3 / 2
1 2 1 1
+ - - + - + -
3 / 2 y ~ ~ ~
2 2
p
ky y ~ y y
x t
|
(III.12)
|
|
L'équation (III.12) est résolue
par la méthode de Range- Kutta et un exemple effectué sous
environnement MATLAB est représenté à la
figure (III.7).
0
-1
-2
-3
E=0
-4
E?0
-5
-6
-7
E = 0 E
-6 -4 -2 0 2 4 6
(mm)
Figure III. 7 Evolution de la forme d'une goutte
suspendue à une surface plane sous
l'effet du champ électrique
(représentation graphique)
Figure III.8 Evolution de la forme d'une goutte
suspendue à une surface plane sous
l'effet du champ électrique
(Vue réelle). [1,3]
On peut remarquer que l'effet du champ électrique sur
la goutte se traduit par la modification de sa forme (passage de la forme
hémisphérique à la forme conique). Lorsque les forces de
poids et électrostatique sont supérieures à la force due
à la tension de surface, la goutte se détache (l'éjection
des gouttelettes, parfois l'explosion et le délestage des gouttes). En
général, en présence d'un champ intense, les gouttes
n'atteignent plus de dimensions importantes [1,3], l'éjection des
gouttelettes devient quasi-continue.
III.3.3 Influence du mouvement du conducteur sur la
forme de la goutte
Quand le conducteur est en mouvement (que nous supposons
sinusoïdal), la goutte subit en plus une force d'inertie qui tend à
l'allonger quand le conducteur se déplace vers le haut et
l'écraser contre celui-ci lors de son déplacement vers le bas.
La force d'inertie = 2.ð.ñ.a
cc .x.y.dx
(III.14)
acc : Accélération du conducteur = 2
- Aù
La figure (III.9) montre Influence du
mouvement du conducteur sur la forme de la goutte. La courbe 1 correspond au
passage du conducteur à la position de repos (accélération
nulle), la courbe 2 correspond au passage du conducteur à la position
basse et la courbe 3 correspond au passage du conducteur à la position
haute. Les courbes correspondent à un mouvement sinusoïdal du
conducteur avec une pulsation ù = 1 rad/s et une amplitude
A de 1cm.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
0
acc = 0 acc = -1 acc = 1
-6 -4 -2 0 2 4 6
(mm)
Figure III.9 Evolution de la forme d'une goutte
suspendue sous un conducteur soumis à
un mouvement
sinusoïdal.
| 
