Economie experimentale et théorie des jeux.

Dans un jeu à n personne où à la fois la communication directe entre les joueurs et la formation de coalition sont impossibles, une issue ( x1, ..., xn ) du jeu ( X1, ..., Xn , U1, ..., Un ) est un équilibre non coopératif ( ou équilibre de NASH ) si elle vérifie :

i ( 1, ..., n ) yi Xi U1 ( yi , xî ) Ui ( x1, ..., xn )

( la notation (y_i , x_î ) désignant l'issue (x₁,..., x_i-1 , y_i , x_i+1, ..., x_n ) )^6(*)3

Selon les termes de LAKHDAR, l'issue ( x₁, ..., x_n ) est dite équilibre non coopératif ou point d'équilibre de NASH si, étant donné n-1 stratégies, le nième joueur ne peut augmenter ses résultats en changeant sa propre stratégie.

Il s'agit donc bien d'un concept de solution du jeu puisque cet n-tuple de stratégies ( ou ce couple pour les jeux à deux joueurs) correspond à ce qu'un analyste du jeu pourrait conseiller à chacun des joueurs. C'est aussi un concept d'équilibre dans la mesure où la description du jeu contient la description du comportement des joueurs et que cette solution est un équilibre de ces comportements : le comportement des joueurs ne les incitant pas à dévier des stratégies proposées par la solution, parce que du point de vue individuelle cette dernière est la meilleure pour chacun tant que le choix des autres est fixé.

En revenant aux deux définitions précedentes, on peut remarquer leur forte tonalité non coopérative. Prenons, pour bien éclaircir l'idée, l'exemple présenté dans le tableau ci-dessous^6(*)4.

Prisonnier B Prisonnier A	Colonne 1		Colonne 2	Ligne 1
5, 5	-1, 6		Ligne 2
6, -1	0, 0

Ce jeu présente le cas d'un dilemme de prisonnier, Nous remarquons comme l'a fait David KREPS, que dans ce jeu l'ensemble formé par la ligne 2 et la colonne 2 est un équilibre de NASH. Mais s'il y a une possibilité de communication entre les joueurs, ceux-ci choisiront sans doute l'autre stratégie, à savoir la ligne 1 et la colonne 1 parce qu'il auront un gain de plus par rapport à la situation d'équilibre. Rappelons-nous cependant que nous nous intéressons ici à la théorie des jeux non coopératifs et que dans ce contexte la possibilité de telles actions n'existe en fait pas, les joueurs devant choisir leurs actions de façon simultanée et indépendante ; chaque joueur choisira donc probablement « l'action non coopérative », puisqu'il n'y a aucune façon pour un joueur de contraindre l'autre à respecter un éventuel accord, ni pour ce dernier d'infliger une punition quelconque pour son non respect.

Le concept d'équilibre de NASH soulève beaucoup de questions d'un grand intérêt. La plus évidente parmi elles est celle concernant l'existence de cet équilibre, c'est à dire dans quelles conditions un jeu possède-t-il au moins un équilibre ? Le théorème de NASH prouve qu'un équilibre existe pour tous les jeux dont les ensembles de stratégies sont des compacts convexes ( en particulier les stratégies mixtes sur un ensemble fini de stratégies pures) et dont les fonctions d'utilité sont continues et quasi-concave par rapport aux stratégies.^6(*)5 Nous trouverons dans l'ANNEXE I l'exemple d'un jeu ou ces propriétés ne sont pas respectées (un jeu fini où les joueurs complètent leurs ensembles de stratégies par l'utilisation des stratégies mixtes^6(*)6 ceci pour leur donner les propriétés voulues par le théorème de NASH, le concept utilisé dans ce cas devient Equilibre de NASH en stratégies mixtes considéré actuellement par de nombreux auteurs comme un véritable concept représentatif de la rationalité individuelle des joueurs surtout pour les prise de décision dans l'incertain ) .

La deuxième question qu'on peut poser à cet égard est celle concernant la stabilité de cet équilibre. Ce dernier une fois atteint est stable. Les individus n'en bougeront pas si l'histoire du jeu ou les événements les y conduisent. Si x^* est un équilibre de NASH, les agents ont toutes les chances de respecter ce vecteur. Ainsi, nous pouvons expliquer ceci, comme l'a fait Hervé MOULIN, par le fait que l'existence même d'une mince probabilité que les autres jouent x_-i^* augmente la probabilité que le joueur i joue x_i^* puisque cette dernière est la

meilleure réponse à x^*_-i , ce qui en retour augmente la probabilité que les autres jouent x^*_-i et ainsi de suite. Ce processus a été appelé par Hervé MOULIN « un phénomène de convergence psychologique » vers l'équilibre. En effet, les faibles probabilités ont un effet subjectif accru : cela contribue à l'attrait par exemple des billets de loterie et des assurances automobiles - tout ceci concerne des événements relativement improbables, mais à l'impact psychologique fort. En outre l'équilibre de NASH « apparaît en fait comme équilibre « auto-réalisateur », à savoir que les anticipations des joueurs sur leurs stratégies ( de NASH ) provoquent leurs réalisations »^6(*)7 effective.

Le défaut essentiel du concept d'équilibre de NASH est que l'issue correspondante peut être mauvaise du point de vue collectif, c'est dire aller à l'encontre de l'intérêt général. En effet, un équilibre de NASH n'est pas toujours Pareto-optimal. Si on prend les choses à l'envers il est facile de prouver qu'un optimum de Pareto^6(*)8 est un équilibre de NASH car personne ne peut améliorer sa situation sans détériorer celle d'un autre ( donc, si cet autre  ne bouge pas, une telle amélioration n'est pas possible). Mais la réciproque n'est pas vraie et c'est d'ailleurs cette non optimalité au sens de Pareto de certain équilibres de NASH qui est à l'origine de la naissance et la célébrité de fameux « dilemme du prisonnier »^6(*)9. Nous avons constaté dans ce jeu que l'issue d'équilibre

( équilibre en stratégie dominante qui est aussi l'unique équilibre de NASH ), malgré qu'elle s'impose du point de vue individuelle, est rejetée du point de vue collectif et donc n'est plus un optimum de Pareto.

Comme l'a fait remarquer LAKHDAR^7(*)0 la relation équilibre de NASH - optimalité dépend des situations que l'on doit analyser et plus exactement de la nature de la matrice des résultats.

Concernant la question d'unicité de l'équilibre, il est fermement prouvé qu'elle n'est jamais eu une réponse affirmative, cependant il demeure le problème de la sélection d'un état d'équilibre dans le cas ( fréquent) de multiplicité des états associés^7(*)1. Il se peut qu'un jeu comporte plus d'un équilibre de NASH, prenons l'exemple du tableau ci-dessous :

Joueur B Joueur A	t1	t2		t3	s1
( 4, 3 )	( 2, 7 )	( 7, 4 )		s2
( 5, 2 )	( 5, 1)	( 6, 0 )

Remarquons que dans ce jeu les couples ( s₂, t₁ ) et (s₂, t₂ ) sont tous deux des équilibres de NASH. Il y a là un problème sérieux, parce qu'un modèle comportant plusieurs équilibres est en quelque sorte « indéterminé »^7(*)2, dans ce cas ne nous permettant pas de désigner (de manière claire) l'un d'entre eux en tant que solution du jeu ; à supposer que celle-ci existe, elle ne nous aide pas à la trouver^7(*)3. Malheureusement cette situation est fréquente en théorie des jeux, où l'existence d'un et d'un seul équilibre est l'exception plutôt que la règle^7(*)4.

Comme l'a fait mentionner RULLIERE, NASH était lui même conscient de cette difficulté qui peut atténuer le pouvoir productif de son concept d'équilibre. Alors que les principaux critères de raffinement^7(*)5 ont été développés au cours des années 80^7(*)6, on néglige souvent le fait que là encore, NASH a été un précurseur. En particulier, il propose le concept d'équilibre interchangeable. NASH avait aussi proposé une heuristique, donnant lieu par la suite au mécanisme de sélection de la main tremblante^7(*)7 de Selten^7(*)8. Ce qui distingue NASH de SELTEN, cependant, tient au support de la perturbation : tandis que NASH introduit des perturbations sur les paiements en utilité, SELTEN introduit des perturbations sur les ensembles de stratégies ( interprétés comme des erreurs de la part des agents). Il est intéressant de noter que si les travaux de SELTEN portent sur les moyens de raffiner l'équilibre, ils traitent aussi des équilibres peu plausibles (imparfaits) dans une structure de jeu séquentiel. Ainsi, SELTEN a offert une des principales extensions de l'équilibre de NASH avec le critère de perfection en sous-jeu - a ce jour, l'un des concepts les plus utilisés dans la théorie économique contemporaine.

L'autre extension majeure^7(*)9 de l'équilibre de NASH est due à la contribution de HARSANYI^8(*)0. En introduisant la notion de type de joueur, elle permet de représenter l'incertitude aussi bien sur les actions passées que sur les caractéristiques des joueurs. Cette équivalence, plus connue sous le nom de « doctrine d'HARSANYI », a donné un caractère suffisamment général au concept d'équilibre de NASH. Ce type d'extension de l'équilibre de NASH a permis, par la suite, d'apporter une meilleure justification à l'usage de la stratégie mixte. Il s'agit là d'interpréter une stratégie mixte d'un joueur comme des croyance ou des conjectures de la part de ses adversaires concernant son propre comportement. Cette approche a donné lieu, d'une part, au concept d'équilibre corrélé de AUMANN^8(*)1 et, d'autre part, à la caractérisation des fondements épistémiques de l'équilibre de NASH^8(*)2.

Pour d'autres^8(*)3, dans certains cas on a pas besoin de tous ces raffinements, car le fait de connaître ( sans préciser comment) les conjectures de l'autre définit là encore un état parmi d'autres, la sélection peut s'effectuer grâce à des conventions qui sont de connaissance commune entre les joueurs portant généralement sur des phénomènes culturels hors modèles^8(*)4. Se sont là des hypothèses fortes considérées par pas mal d'auteurs comme source de faiblesse de ce concept d'équilibre. Ainsi, Olivier DE WOLF^8(*)5 pense que cet équilibre est moins une conséquence nécessaire de la rationalité. Pour lui cette solution ne paraît avoir du sens que si l'on suppose que chacun des joueurs, au moment de choisir sa stratégie, prédise correctement celles sélectionnées par ses adversaires. En d'autres termes, l'utilisation de cet équilibre suggère une sorte de don divinatoire de la part des joueurs ainsi qu'une capacité inimaginable de stockage d'information ( mémoire) ou de calcul. Un autre problème est que le théorème fondamental de NASH est basé sur la limite suivante : certes on pense à la place de l'autre (selon les principes classiques de la théorie de l'esprit), mais on ne pense pas un seul instant que l'autre puisse ne pas penser comme on pense qu'il devrait penser. Ces hypothèses portant sur les caractéristiques des joueurs étant très contraignantes. Bernard WALLISER^8(*)6 parle d'une analogie avec le commissaire-priseur walrassien qui fournit les prix d'équilibre aux agents économiques, puisqu'on peut introduire une entité fictive, le « régulateur nashien » qui calcule un état d'équilibre de jeu et suggère aux acteurs de l'adopter. Encore faut-il que les acteurs l'adoptent effectivement, ce qui n'est le cas que s'ils ont de bonnes raisons de penser que leurs adversaires l'adopteront aussi.

Ceci est dit, l'équilibre de NASH reste toujours un des concepts de base préconisé pour la construction de modèles s'appliquant à des domaines très variés ( économie industrielle, économie internationale, économie du travail, macro-économie, etc.).

2-3-2- Jeux coopératifs

Comme on l'a montré sur l'exemple du dilemme du prisonnier et sur celui de la bataille des sexes, l'équilibre de NASH n'est pas un concept de solution satisfaisant pour les jeux où la coopération est possible. La coopération qui est traduite par la formation de coalitions nécessite des concepts de solutions qui caractérisent les coalitions que les agents ont intérêt à former. Pour l'étude de tels jeux, la considération des stratégies individuelles n'est pas nécessairement utile, on préfère décrire le jeu par une forme dite forme « caractéristique » qui consiste à attribuer une valeur à chaque membre de la coalition, cette valeur étant ensuite répartie entre les joueurs.

La fonction caractéristique associe à chaque coalition un nombre : sa valeur. A chaque coalition correspond un jeu à deux joueurs ( cette coalition et la coalition formée par tous les autres joueurs) et à somme constante. Ce jeu a une valeur qui est le maximum des gains minimaux que la coalition peut obtenir en jouant contre celle formée par tous les autres joueurs. C'est cette valeur qui est donnée à cette coalition par la fonction caractéristique.

De façon générale, on peut définir un jeu coopératif de la façon suivante :

Un jeu coopératif ( I, v ) est donné par

· Un ensemble fini de joueurs I

· Un nombre v ( S ) pour chaque coalition S I

appelé valeur de S.

Pour bien éclaircir, prenons les trois exemple ci-dessous :

Exemple 1 :

On a un groupe de pécheurs, et un groupe de pilotes de bateaux. Pour partir à la pêche, il faut être un pilote et un pécheur.

Les pêcheurs : I = A B , ou A est l'ensemble des pêcheurs et B celui des pilotes. Pour S I , v ( S ) = min( S A, S B ) .

L'assemblée : I = { 1 , 2 , 3 } .

v ( S ) = 1 si card ( S ) 2 ,

v ( S ) = 0 sinon.

Exemple 2 :

Jeux d'unanimité

C'est un jeu dans lequel v ( I ) = 1 , et v ( S ) = 0 si S I .

Exemple 3 :

Jeux de majorité

On a I joueurs. Chaque joueur i possède p_i voix. La majorité est à q voix.

v ( I ) = 1 si _i p_i q

v ( I ) = 0 sinon.

Dans le but de garder les choses un peu claires, nous allons présenter seulement les concepts de solution les plus importants pour les jeux ayant un vecteur de paiements et une fonction d'utilité transférable.

Le concept le plus important dans ce cadre est celui « d'imputation ». Une imputation est une liste de paiements (ou une redistribution des ressources) proposés à chaque joueurs. Elle est telle que :

- chaque joueur reçoit au moins autant que ce qu'il peut s'assurer en jouant seul contre tous les autres joueurs,

- la somme des paiements de tous les joueurs est égale à la somme des paiements qu'ils obtiendraient en jouant tous ensemble.

Formellement une imputation est un vecteur8(*)7

x = ( x_i ) i I tel que _I x_i v ( I ).

IL s'agit donc d'une redistribution de la valeur totale (au plus) à tous les joueurs.

2-3-2-1- La solution de VON NEUMANN et MORGENSTERN

C'est une solution basée sur le concept de dominance : une imputation I domine une imputation J s'il existe une coalition dont la valeur ( définie par la fonction caractéristique) est au moins égale aux paiements proposés par l'imputation J.

Une solution est alors un ensemble d'imputations qui ne sont pas dominées et qui sont telles que toute imputation qui n'est pas solution est dominée par l'une des imputations de la solution.

La faiblesse de ce concept réside dans ce que le nombre d'imputations dans une solution et le nombre de solutions sont très grands : il n'a donc pas de pouvoir prédictif.

2-3-2-2- Le noyau^8(*)8

Le principe de cette solution a été avancé pour la première fois par EDGEWORTH^8(*)9 en 1981, le premier qui a constaté ce fait est SHUBIK^9(*)0 cependant, c'est à DEBREU et SCARF^9(*)1 qu'on doit la démonstration de cette liaison. DEBREU et SCARF fondaient leur démonstration sur la méthodes des duplication successives pour justifier que l'analyse en terme de la solution du noyau permet l'apparition d'un système de prix. En se basant sur la même méthode ( duplications successives) les deux auteurs pouvaient, en plus, généraliser considérablement le résultats précédent, ils montraient que « s'il y a des duplications successives, dans un marché avec n'importe quel nombre d'échangistes différents, le coeur se ``rétrécit'' (...) jusqu'à ce que l'on obtienne une^9(*)2 allocation limite, à laquelle peuvent être associés des prix, qui peut être considérée comme la limite du coeur. »^9(*)3. En d'autres termes, on peut dire qu'ils ont pu démontrer que : à la limite^9(*)4 les allocations du coeur et les allocations concurrentielles coïncident^9(*)5.

Formellement le noyau est défini de la façon suivante :

Une imputation u₁ ... u_n est bloquée par une coalition S formée de s joueurs, s'il existe des valeurs u₁^s ... u_n^s dont la somme est la valeur de la coalition et pour chaque joueur i : u_i^s u_i. Autrement dit, l'imputation u₁ ... u_n est bloquée par la coalition S si celle-ci offre aux joueurs qui la forment des gains supérieurs à ceux qui leur sont proposés par l'imputation u₁ ... u_n. Le noyau (ou coeur) est caractérisé par une série d'inégalités larges. C'est donc un ensemble fermé, et convexe. I. e. si x et y sont dans le noyau et [0 , 1], alors x + (1 - ) y est dans le noyau.

Le noyau du jeu est alors un ensemble d'imputations qui ne sont bloquées par aucune coalition. Cela signifie que tout ensemble d'agents, la somme de gains proposés par l'imputation est supérieure à celle qu'ils obtiendraient en se coalisant. C'est une condition très contraignante et pour de nombreux jeux le noyau est vide, c'est dire qu'une telle solution n'existe pas.

De nombreux concepts de solutions ont été proposés moins restrictifs que le noyau et plus restrictifs que la solution de VON NEUMANN et MORGENSTERN.

Une approche intéressante caractérise la valeur que chaque agent attribue au jeu en fonction des coalitions auxquelles il peut appartenir, nous la présentons ci-dessous.

2-3-2-3- La valeur de SHAPLEY

La valeur de SHAPLEY pour un jeu est en fait un vecteur : c'est une liste des valeurs que chaque joueur peut attendre du jeu. Le système de coalitions qui résout le jeu doit être tel que chaque joueur obtienne cette valeur.

La valeur de SHAPLEY existe et peut être calculée pour tous les jeux pour lesquels trois axiomes sont vérifiés :

- la valeur d'une coalition est la somme des valeurs de SHAPLEY des joueurs qui la forment ;

- la valeur de SHAPLEY de chaque joueur ne change pas si les rôles des joueurs sont permutés ;

- si un jeu est décomposé en deux sous jeux, la valeur de SHAPLEY du jeu est, pour chaque joueur, la somme des valeurs des deux sous-jeux.

La valeur de SHAPLEY de chaque joueur est donnée par la formule suivante : N est la coalition de tous les n joueurs, T est une coalition de t joueurs quelconques, V est la fonction caractéristique et V_i est la valeur de SHAPLEY du joueur i :

[ V(T) - V(T- i ) ]

(T - 1) ! (n - t) !

n !

T N i T

V_i =

La valeur de SHAPLEY à l'avantage d'être basée sur un axiome de symétrie et un axiome d'efficacité. On peut résumer ces deux axiomes en disant qu'à des droits égaux correspondent des rémunérations égales et que le résultat est optimal selon le critère de Pareto^9(*)6. A cet égard, il faut noter que là aussi il a été démontré^9(*)7 que lorsque le nombre d'agents augmente, la valeur de SHAPLEY tend vers l'allocation associé au système prix concurrentiel.

CONCLUSION

Comme conclusion, on peut dire que les apports potentiels de la théorie des jeux pour l'analyse du décideur sont difficiles à évaluer. A partir de la discussion qui précède, on peut définir deux utilisations très différentes:

· Premièrement, la théorie des jeux nous permet de définir formellement quelques unes des situations de conflit et de coopération ainsi que les choix offerts au joueurs. En effet,, si l'on arrive à classer une situation-type, on peut mieux décrire (du moins analytiquement) ce qu'un acteur peut potentiellement faire, même si cette théorie n'arrive pas souvent à fournir des recettes optimales. L'utilité principale de la théorie des jeux réside donc dans la compréhension de la structure de l'interaction entre les joueur, non seulement pour connaître la meilleure façon de jouer, mais aussi pour comprendre les différentes décisions possibles et les effets d'un changement des règles du jeu^9(*)8.

· Deuxièmement et paradoxalement, la théorie des jeux nous amène vers une négation de la pensée de la maximisation individuelle du profit. En effet, la méthode de choix rationnelle et formelle n'est applicable qu'à une partie infime de l'action humaine. Nous tirons une deuxième leçon de la théorie des jeux: des situations de décision qui ont l'air très simples ne sont pas si simples que cela. On constate très rapidement qu'un choix ne peut pas se fonder uniquement sur des règles de choix individuelles (utilité du type "maximin"), mais également sur la base de comportement ayant trait au raisonnement à long terme ainsi qu'à l'interaction entre joueurs.

Une troisième utilisation que nous n'avons encore pas discuté est la suivante :

· Les jeux comme cadre expérimental pour décortiquer le raisonnement de sujets dans des situations type: la discussion des jeux expérimentaux a montré les potentialités de cet usage, ainsi que l'apport des croyances dans la détermination de l'issue d'équilibre. Grâce à un environnement contrôlé d'action, il nous est possible de formuler quelques règles de décision, comme la règle "la confiance induit la confiance, et la méfiance induit la méfiance" applicable dans des situations où (1) la coopération est profitable, (2) la coopération de l'un et la non-coopération de l'autre est désastreuse pour l'un, et (3) la non-coopération des deux est mauvaise pour les deux. Nous essayerons dans le troisième chapitre de traiter avec plus de soin le rapprochement entre le laboratoire et la théorie des jeux pour découvrir et montrer la solidité de cette union.

* ⁶³ - MOULIN H. (1981), op.cit.

* ⁶⁴ - l'exemple est tiré de KREPS D. (1999), op.cit p27.

* ⁶⁵ - Hervé MOULIN (dans MOULIN H. (1981), op.cit) présente le Théorème de NASH comme suite : si pour tout i = 1, ..., n les ensembles X_i sont des sous-ensembles convexes et compacts d'un espace vectoriel et si les fonctions d'utilité vérifient :

Pour tout i, i = 1, ..., n, u_i est continue et x_i u_i (x_i , x_î) est quasi-convexe sur X_i

Alors le jeu possède au moins un équilibre non coopératif.

* ⁶⁶ - Pour de plus amples détails voir le travail de MAUROY H. ( 2002), « Equilibre de NASH en stratégies mixtes, critères de classement des loteries et déformation des paiements », Revue Economie Appliquée, N°3, p.91-104.

* ⁶⁷ - WALLISER bernard (2002), op. cit, p 699

* ⁶⁸ - Hervé MOULIN ((1981) op. cit) définit l'optimum de Pareto comme suit :

une issue ( x₁, ..., x_n ) du jeu ( X₁, ..., X_n , u₁, ..., u_n ) est dite dominée par l `issue ( y₁, ..., y_n ) si on a :

i 1, ...,n u_i ( x₁, ..., x_n ) u_i ( y₁, ..., y_n )

i 1, ...,n u_i ( x₁, ..., x_n ) u_i ( y₁, ..., y_n )

on appelle optimum de Pareto une issue qui n'est dominée par aucune autre issue.

* ⁶⁹ - cf. supra p. 55.

* ⁷⁰ - LAKHDAR B. (1985), op.cit, p 133

* ⁷¹ - Walliser B. (2002), op.cit

* ⁷² - VERGARA F. (1992), op. cit

* ⁷³ - KREPS D. (1999), op. cit p. 86

* ⁷⁴ - L'apport le l'économie expérimentale en ce qui concerne ce sujet est important, ainsi Gerard CACHON ET Colin CAMERER ont souligné que « In games with multiple equilibria ... players must somehow coordinate their choices to achieve Pareto efficiency...but generally leave unanswered a central question. Why is one equilibrium selected rather than another ? Experimental analysis is well suited to help answer this question because the specialized conditions of a coordination game can easily be created in the laboratory. Then a wide range of variables can be altered to help infer the principles that guide selection of equilibria » « dans les jeux à plusieurs équilibres... les joueurs doivent d'une manière ou d'une autre coordonner leurs choix afin d'atteindre l'efficience paretiènne. .. mais généralement reste encore une question centrale sans réponse : pourquoi un équilibre doit être choisi au lieu d'un autre ? l'analyse expérimentale est bien conçu pour répondre à de telle questions parce que les conditions spéciales des jeux de coordination sont faciles à créer dans le laboratoire. Donc, une large gamme de variables peuvent être modifiées dans le but de déduire les principes de sélection d'équilibre. » p. 165 dans CACHON G. .P., CAMERER C. F. (1996), « Loss-Avoidance and Forward Induction in Experimental Coordination Games », Quarterly Journal of Economics, February, 165-194.

* ⁷⁵ - les raffinements de l'équilibre sont des techniques consistant à invoquer une notion plus forte d'équilibre, ces raffinements de l'équilibre

sont en effet définis en imposant des conditions plus restrictives aux comportements qui constituent un équilibre de NASH ; en général, ils consistent à interdire aux joueurs d'effectuer des menaces ou des promesses qui ne sont pas crédibles ou de déduire des propositions non crédibles de leurs observations.

* ⁷⁶ - Pour de plus amples détails voir KREPS D. (1999), op. cit

* ⁷⁷ - Voir Annexe I

* ⁷⁸ - voir à cet égard:

- SELTEN R. (1965), « spieletheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nash-frageragheit », Zeitschrift fur die Gesamte

staatswissenschaft, 12, p. 301 -324.

- SELTEN R (1975), « Reexamination of the Perfectness Concepts for Equilibrium Points in Extensive Games », International Journal of Game Theory, 4, p. 25-55.

* ⁷⁹ - Cependant il existe d'autres techniques de raffinement, parmi les plus importantes d'entre elles on peut cité l'utilisation de la récurrence

à rebours et de la récurrence projective ( forward induction)

* ⁸⁰ - HARSANYI J.C. (1967-1968), « Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players », Management Science, 14, p.159-

182, p. 320-334, p. 486-502 cité dans RULLIERE J. L. (2000), op. cit.

* ⁸¹ - AUMANN R.J. (1974), « Subjectivity and Correlation in Randomized Strategies », Journal of Mathematical Economics, 1, p. 67-96.

* ⁸² - AUMANN R.J., BRANDENBURGER A. (1991), « Epistemic Conditions for Nash Equilibrium », Working Paper, n°91-042, Harvard

Business School.

* ⁸³ - Comme bernard WALLISER

* ⁸⁴ - David KREPS ( KREPS D. (1999), op. cit ) avait exprimé différemment cette idée en disant : « ...dans certains jeux où il existe une multiplicité d'équilibres, les joueurs « savent » néanmoins comment se comporter. Ce savoir provient à la fois d'expériences passées directement utilisables et de connaissances sur la façon dont les individus agissent en général. » p 89.

* ⁸⁵ - DE WOLF O. (1998), « Fondements des concepts de solution en théorie des jeux », Annales d'économie et de statistique, N°51, p 2.

* ⁸⁶ - WALLISER B. (2002), op. cit, p 694.

* ⁸⁷ - SCHOTTER A., SCHWODIAUER G. (1981), op. cit, p 487.

* ⁸⁸ - Les termes Noyau et Coeur sont utilisés dorénavant comme synonymes.

* ⁸⁹ - EDGEWORTH Y. F. (1991), Mathematical psychics : an assay on the application of mathematics to moral sciences, Kegan Paul,

London.

* ⁹⁰ - SHUBIK M. ( 1959), Stratégie et structure de marché , New York: Wiley, 1959. Edition française (1964), Dunod, Paris.

* ⁹¹ - DEBREU G., SCARF H. (1966), « théorème de limite sur le coeur d'une économie », Techniques Economiques Modernes, N°5,

GAUTTIER - VILLARS, Paris, p 19-33.

* ⁹² - le caractère gras et le soulignement est le notre.

* ⁹³ - SHUBIK M. (1991), Théorie des jeux et sciences sociales, Economica, traduit par Bernard GUERRIEN, Nicolas PONTY et Raoul

SALOMON, p 399- 400.

* ⁹⁴ - Lorsque les trois hypothèses suivantes :

- Insatiabilité ;

- Convexité forte des préférences ;

- Continuité des préférences.

sont respectées par la fonction de préférence.

* ⁹⁵ - Voir LAKHDAR B. (1985), op. cit. p. 86 pour la démonstration.

* ⁹⁶ - SHUBIK M. (1991), op. cit p 401.

* ⁹⁷ - voir : - SHAPLEY L., SHUBIK M. (1967), « Concepts and theories of pure competition », dans « Essays in mathematical economics in honour of Oskar MORGENSTERN, édité par Martin SHUBIK, Princeton University Press, Princeton, p 63-79.

- SHAPLEY L., SHUBIK M. (1969), « On market games », Journal of Economic Theory, Juin, p.9-25.

* ⁹⁸ - GARICANO L. (2000), op. cit p 15.