CHAPITRE III
Problème de valeurs aux limites de Stokes dans
l'espace de
Helmert
III.1 Potentiel de pesanteur de
référence
Les anomalies de pesanteur au-dessus de la surface limite sont
exigées pour résoudre le problème de valeurs aux limites
de Stokes. Pour réduire les erreurs de troncature, c.-à-d., la
contribution des zones éloignées dans l'intégration de
Stokes, on définit des parties à haute et basse fréquence
du champ de pesanteur de Helmert [Vanícek et al., 1991].
Le potentiel de pesanteur de référence de
degré n , Wref (r), peut être
exprimé par [Vanícek et al., 1995] :
n + 1
GM ? n ? a ? n
? ? ? ?
0
r r W r
= : ( ) = 1 + ? W Y
t ref n m n m
, ,
r ? ? n = 2 ?r m =-n
Wn,m représente les coefficients
géopotentiels du développement harmonique du potentiel terrestre.
Yn,m sont les fonctions sphériques normales de degré
n et d'ordre m. a0 est le paramètre
arbitraire de longueur (on considère d'habitude le demi-grand axe
principal de
l'ellipsoïde de référence), et n
est le degré maximal d'harmonicité maintenu par rapport
au
modèle géopotentiel utilisé. Dans l'espace de
Helmert le potentiel de pesanteur de référence
W h (r)
ref vérifie la relation suivante :
r ? IR+ : Wrh ef
(r) = Wref -ä Vref(r )
-ä Vef(r) (3.2)
ä ref et V a (r)
Vt (r) ä ref sont les potentiels
gravitationnels résiduels de référence des masses
topographiques et atmosphériques, respectivement.
III.1.1 Potentiel résiduel de
référence des masses topographiques
Selon l'équation (2.34) le potentiel résiduel de
référence des masses topographiques
ävtref peut être défini comme la
différence du potentiel de référence des masses
topographiques Vtref, [vaniçek et al ; 1995],
'
(3 . 3)
|
r-
|
if Ho )1n(
R+ H : Vfef (r ) G
ñ0 11 ?P ? R+ H'
Pn(cosø)( R +
H')2 dH'
H'= 0 rn=0r ?
0
|
et le potentiel de référence des masses
topographiques condensées Vctref, [Novák,
2000]
|
r f R V crtef ( r ) GR
|
?? ó
? ? ?
' 0
|
n+1
')? Pn (cosø ) d?' (3 . 4 )
n
· r NnR
|
Pour les points dont r > R+Hlim situés
à l'extérieur de la sphère de Brillouin1, le
potentiel de référence Vt ref(r)
des masses topographiques donné dans l'équation (3.3) prend
la forme suivante [Vanícek et al., 1995] :
|
r > R
|
D + 1
n+3 H°
(Cnik
(r ) = G ñ 0
R2 i(ln 1 ? C
r3 n Pn (cos
ø) d?' ( 3 . 5 )
n=0 r n + 3 k= 1 j 0
|
Le potentiel gravitationnel résiduel de
référence des masses topographiques devient [Novák, 2000]
:
|
r > R +
|
Hlim :äV tref (r )
? G
|
irT3
E ' F
1,1+3 if
H°((nrik
R Pn(cosø)d?
2 R+1 [ 1 n+
n = 0L r 3 k= 1 ?' ? ?0L R
|
'
|
?? ° ?
H ( ' ) ?
??
0
?' ? ?
R
3R 2 )121 _11 P
n(cosø) d?i H°
S2'
+ [
H°(?' )
R
(3 . 6)
Puisque H° <<R le développement converge
rapidement [Vaniçek et al; 1995] et l'équation (3.6) peut
être réécrite sous la forme suivante :
2
r > R +
t
H : ä V ( )
r ? G ñ R
lim ref 0
nR
? ?
?? ??
1 2 r
?
? [ H °(?
?? P n (cos ø) d ?
?' ? ?0 R2
1
n
n
+
n
=
°(? ) ] 3
?
P (cos ) ' .
ø d ? ( 3 . 7 )
n
3
R
0 ?
3
+
n
+
' ?
3
?
??
?
1 Sphère géocentrique minimale contenant
la masse entière de la Terre
Exprimons les surfaces harmoniques des altitudes orthometriques
par [Kellogg,
1929] :
(3 . 8)
4 ð n
?? H° Pn (cos ø )
d?' = ? H Yn,m
m=-n
?ti 2 n +1
0
Le potentiel résiduel de référence des
masses topographiques devient alors [Novàk,
2000] :
(R )n
r
Hv. n, m
Yn:m
n
n
n
2 n + 1
0
n
m
r > R +H : ä V t ( )
2
r ? ð G
lim ref
n(n
n
3
2ð
(3 . 9
G
)
0
3
2 n + 1
R
m
n
H Y
3
n m n m
, :
n
III.1.2 Potentiel résiduel de
référence des masses atmosphériques
Le potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques Varef(r) prend la forme
suivante [Novàk, 2000] :
r
rlim
: Va (r ) = G? ?? P n
(cosø) ? ña (r' ) r
'n+2
?' ? ?0 r'=R + H°
(?')
r > r lim
1
ef
n = 0 rn+ 1
dr
' '
d ?
(3 . 1 0)
Pour définir le potentiel gravitationnel résiduel
de référence des masses atmosphériques V a
(r)
ä ref , la densité atmosphérique
ña(?) peut être remplacée par un
modèle de densité latéralement symétrique
[Sjöberg, 1998] et [Novák, 2000]
R
, , 2 : ( )
a ?
a
r R H r
? + ° > ? ? Æ +
í í ñ r = ñ
lim 0 ??
R + H°L1
Où ña0 est la
densité atmosphérique au niveau de la mer, et le nombre entier
positif
constant í?Z+ détermine la
densité atmosphérique modèle de distribution.
Si l'intégration au-dessus du rayon géocentrique
r à partir de la surface de la Terre rt à la
limite supérieure de l'atmosphère rlim est
évaluée en employant la densité atmosphérique
modèle de l'équation (3.11); alors le potentiel gravitationnel de
référence des masses atmosphériques peut être
écrit comme selon la relation (3.13) [Novàk, 2000] :
Chapitre III Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
'
d ?
Pn
ø
)
(cos
r r í
lim lim ? R ?
a + 2 2
,
( 3 . 12)
> ? ? Æ+ =
2 í , 1,2, . . . , :
n n ( )
r r dr
n a r dr
n +
?
í =
ñ ñ 0 ? ??
??
r= R + H ° r=R
+ H°r
Ainsi:
,
> 2 ?
r
í
í ?
> r
lim
?
3
í
n
r
n = 0 rn+1
rlim
°
r'=R+H
3
í
3
+
C nk
1
=
k
í + 3
Pn (cos ø) d? ' (3 . 1 3 )
k
í
GR
a
ñ
a
ñ
?
V r G R
a ( ) ?
ref
V
í
( ) [ ]
k k
r R
- - °
H
í + 3 lim
R
Le potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques condensées V:f (r) prend la
forme suivante :
Æ +
r>r,í > 2 ?
í ?lim
Appliquons le théorème binomial à
l'évaluation de la densité de surface atmosphérique
óa(?);
R R 3-í 3-í
í> 2 ?í ?Æ+ :
óa( ?)= ñ 0
r2 dr=ñ O3
?Ckí
R 2 r=R +
H°(?' ) r - V k=1
( ) [ ] (3 . 1 4)
k k
r R H
lim - - ° )
R
'
°
)
d
ø
?
Pn
(cos
R 1
? 0(
?0 r;-3-íí
a
n+1
G ñ 0n R ??
ca ref
(r)
r lim
r'=R+H
3
-
í
R
() [ ] (cos ) ' ( 3 . 1 5 )
k k
- H °
3 r R -
- í lim P ø d ?
k k n )
3
- -- í k =1
R
n
0
í
R
a
G
ñ 0
=
??
3
-
í
?
C
n
+ a a
, 2
í > ? ?
í Æ : ä V ( ) 2
r = - ð G ñ 0 ?
ref
n ? R ?
? ?
? r ?
H Y
2
n m n m , , m
n
r > rlim
n
2 n + 1
-
+
n
n
=
-
1
)
-
n (n
2 í + 3
2 n + 1
n ? R ?
? ?
? r ?
H Y
3
n m n
, , ,
nn
2
1
n
+
n
=
m
)
( 3 . 16
n
a
ñ0
3
R
Le potentiel gravitationnel résiduel de
référence des masses atmosphériques ä
ref(r))est alors obtenu par la différence du
potentiel gravitationnel de référence des
massess
atmosphériquesVraef(r))
et du potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques condenséesV ca (r)
ä ref )
|
?
|
h
g ref
|
( r g)
g
|
h
? T r
ref ( )
|
|
|
? r
|
|
|
|
|
|
|
III.1.3 Potentiel de pesanteur de référence
dans l'espace de Helmert
Le potentiel de pesanteur de référence
Wrhef(r) dans l'espace de
Helmert (3.2) peut être exprimé par la formule suivante
[Vanícek et al. 1995] :
|
r > R : W rh ef (r) =
GM 1+?
r
n=2
|
( ) n + n
1
a ?
0 ?W n h
m Y n,mdj (3 . 1 7 )
r
m n
=
|
Le terme de sommation dans cette expression est fini. En
d'autres termes ; cette relation est valable au niveau du
co-géoïde. Comme cette surface est inconnue, l'approximation
appropriée du géoïde (rg r0) peut
être utilisée [Vaniçek et al., 1995].
|
Avec r g r 0 ? a ( 1 - f
sin 2? )
Le potentiel de pesanteur de référence de Helmert
au niveau du co-géoïde devient :
|
( 3 . 1 8 )
|
?n n -I
r > R : Whef
(rd GM 1 + ?[ 1+( n+ 1 ) f
sin2 ? ]?W!, m Yn,m1 (3 . 1
9 )
0 n= 2 m = -n ?LI
in+1
Tel que : n = 1 , 2 ,..., n : a 0 1
=1+ ( n +1 ) f sin 2 ? - ..., (3 . 20
)
r g 11
III.1.4 L'anomalie de pesanteur de
référence et le sphéroïde de référence
dans l'espace de Helmert
Selon la condition aux limites [Heiskanen et al., 1967],
l'anomalie de pesanteur de référence de Helmert peut être
exprimée comme suit :
2
(r
g
T rhef
+
R
) ( 3 . 2 1 )
Oil T rh ef( rg )
?Trh ef( r0 ) = Wrhef
(rg) -U0 (ö) décrit le potentiel
perturbateur de référence
de Helmert. Le sphéroïde de référence
est donné par l'ondulation co-géoïdale de
référence Nh (?)
ref . L'application de la formule sphérique de
Bruns [Bruns, 1878] au potentiel
perturbateur T rhef (rg),
l'ondulation co-géoïdale de référence Nh
(?)
ref peut être exprimée par la
formule suivante :
(3 . 22 )
T r
h ( ) ,
h ref g
N ref ? =
( )
ã 0 ( ö )
III.2 Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
La surface limite équipotentielle dans l'espace de
Helmert est donnée par l'ondulation co-géoïdale
Nh(?). Cette surface peut être évaluée
à partir des anomalies de pesanteur de Helmert
?gh(R) rapportée à la sphère de
référence de rayon R par l'application des formules de
Stokes et Bruns dans l'équation suivante [Heiskanen et al., 1967] :
N h (?) = R
?? ? g R S d
h ( ) ( )
ø ?
4 ( )
ð ã ö ? ? ?
0 ' 0
'.
(
3 . 23
)
avec S(ø) étant la fonction
sphérique homogène de Stokes donnée par :
S( ø )= 2n+ 1
c°
? P n (cosy) = 1 +
cosø - 6 sin ø - 5co w/
-3costyln(sin ø + sin2
ø ) (3 .24)
n=2 n- 1 2 2 2 2
Pour évaluer l'ondulation co-géoïdale
Nh par une intégration extérieure selon
l'intégrale de stokes dans l'équation (3.23), l'anomalie de
pesanteur ?gh(R) doit être connue au-dessus de la
Terre entière.
III.2.1 Fonction sphéroïde de
Stokes
Dans la pratique, les anomalies de pesanteur au-dessus de la
Terre entière ne sont pas disponibles. Pour cette raison Vanícek
et Kleusberg (1987) ont présenté l'idée de séparer
la sommation sur n dans la fonction de Stokes donnée par
l'équation (3.24) en partie de degré bas et partie de
degré haut :
n
8
S ( )
ø = ? ø ?
2 1
n + 2 1
n
n +
P (cos ) + P n (cos ).
ø ( 3 . 25 )
n - 1 n - 1
n = 2 n n
= + 1
Le deuxième terme dans l'équation (3.25)
représente la fonction sphéroïde de Stokes Sn> n
(ø), [Vanícek et al., 1987] et [Vanícek et al.,
1998]
8 2 1
) (3 . 26 )
n +
S ( ø ) = ? P n ø
(cos
n=n +
1n
-
n n
> 1
Substituons la décomposition de la fonction
sphérique de Stokes S(Ø) dans l'équation (3.23),
le co-géoïde peut être décomposé en partie de
basses et hautes fréquences [Martinec, 1993]
Nh
n
n +
h 2 1
R ? P n
n - 1
? n = 2
'
d?
ø)
R
g ( )
N h h
( )
? = ref ( )
? + N ( )
? = ?? ?
n n
0
? ' ?
> 4 ð ã
0
R
+ ?? ?
8
hg (R) ? 11 Pn
n=n+
2 nn
4 ð
? ' ? ? 0
d?
(cosø) (3 .27)
Le co-géoïde de
référence2 de degré n est donné
par les altitudes co-géoïdales de référence
Nhref et Nhn>n . Notons
que ces altitudes représentent le co-géoïde à haute
fréquence [Novák et al., 2001]. Selon cette approche ; on assume
le co-géoïde de référence, déterminé
à partir des données satellitaires, [Vanícek et al.,
1987]. La surface d'intégration par la formule de l'intégrale de
Stokes est utilisée pour calculer la partie à haute
fréquence du co-géoïde à partir des données de
pesanteur terrestre.
III.2.2 Fonction sphéroïde modifiée de
Stokes
Les valeurs de la fonction sphéroïde de Stokes S
n >n (v) varient proportionnellement
par rapport à la distance sphérique T. Le
domaine d'intégration ?0 de l'intégrale de Stokes peut
être décomposé en deux domaines. L'un concerne les zones
proches ?ø0 (ø?[0,
ø0]) et l'autre les zones éloignées
(ø? [ø0,R-]). [Vanícek et
al., 1987] :
(cosd
= +
)
3 . 2 8
(
?? if ?? d?
CIE (-Ivo
?? ? 0 ?? ?0-?ø0
Les contributions des zones proche et éloignées,
à haute fréquence, aux altitudes co-
géoïdales Nhn > n ,? '
ø 0 et Nh n > n , ? ' 0 - ? ' ø
0 sont données respectivement, par :
Nnn = 4 ð ã
?
'
d?
)
(3 . 3 0
(ø)
N n>nø0 (?) = 4
?? ? g (10 S n>n
ðã0 ?'??0
-?ø0
2 Sphéroïde.
(
)
3 . 3 1
?
ø ?
,ø) P n (cosø
)
(3 . 3 2
)
Chapitre III Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
Selon Molodensky (1960), Vanícek et Kleusberg (1987) ont
proposé une modification de la fonction sphéroïde de
Stokes S n >n (ø) afin de minimiser au
sens des moindres carrés la
contribution de la zone éloignée (erreur de
troncature) Nh . La fonction sphéroïde
n > n ,? '0 -?'ø 0
modifiée de Stokes S n >n
(ø0 ,ø ) peut alors être
exprimée comme suit :
?
0,
,
0,ø
ø
0
0ø=IL
(y/ , )
> n
S n
(),
ø
?
ø
0 ,ø
>n
Sn
0
et, le développement en série de polynômes de
Legendre
où Qn(ø0,ø)
décrivent les coefficients de troncation pour la fonction
sphéroïde modifié de Stokes S n >n
(ø0 ,ø ) , le produit de (3.32) par
les polynômes de Legendre Pm(cosø)
donne :
S n> n (V/ 0 = ? 2
n2+ 1 QA/ 0
1
8n=n+
? ø ? 0, ð: S nn>
(v) P m (cos = ? 2 Qn 2 n
+1Q_ (w0 , v) Pn
(cosø) P
m(cosø) (3 . 3 3)
n=n + 1
8
En intégrant, par la suite, le résultat obtenu sur
l'intervalle ø?[0,ð ] on aura :
( 3 . 3 4 )
ø)sin ødø
(cos
Sn
>n
m
(w 0,ø) P
ð
Qn ?Pn
ø 0
(Y1 o ,
(cos
=
ø) P m (cos ø ) sin
ødø
En employant la propriété d'orthogonalité
des polynômes de Legendre exprimées dans les relations suivantes
:
(
)
3 . 3 5
(
)
3 . 3 6
0
ð
2
=
0,
ð
n
dø
ø ]2 sin ø
?ø ?
(cos
m : ? [P n
0
2 n + 1
ð
? P
n (cos ø ) P m (cos
ø ) sin ødø = 0
m
ð
n
0,
?ø ?
Et, en remplaçant S n >n
(w0 ,ø) de l'équation (3.31), les
coefficients de troncature Qn(ø0,ø) de la
fonction sphéroïde modifié de Stokes deviennent [Molodensky
et al., 1960].
ð
ð
0 ,ø) = ? S n> n
(ø) P n(cos ø )
sin ødø (3.37)
n (ø 0
,ø) = ? S n> n (ø)
P n(cos ø ) sin ødø
(3.37)
n (ø
ø =0
ø =0
III.2.3 Contribution de la zone proche à haute
fréquence au co-géoïde
L'anomalie de pesanteur de Helmert rapportée au
co-géoïde peut être divisée en anomalies de pesanteur
de basses fréquences (de référence) ? g hn <
n ( R ) = ? g rh ef(R) et anomalies de
pesanteur de hautes fréquences (résiduelles) ? ghn
>n(R) . L'anomalie de pesanteur de Helmert de basse
fréquence ? grhef (R) est évaluée selon
l'équation (3.21).
L'anomalie de pesanteur de Helmert à haute
fréquence gh (R)
? est évaluée en
n >n
soustrayant l'anomalie de pesanteur de référence
de l'anomalie de pesanteur de Helmert prolongée vers le bas au
co-géoïde suivant l'équation (2.75). En tenant compte de
l'équation (3.28) ; la contribution de la zone proche des anomalies de
pesanteur à haute fréquence de Helmert à l'altitude
co-géoïdale Nh peut être décrite
par :
n > n ,? 'ø 0
'
d?)
)
3 . 38
)
(
R
N h ? g h
= ??( )
R S ( ø
n n , ' n n n n
>
> ? >
ø 0 4 ð ã 0 '
0
? ? ?
ø
III.2.4 Contribution de la zone éloignée
à haute fréquence au co-géoïde
La contribution de la zone éloignée à haute
fréquence des anomalies de pesanteur de Helmert A gh
>n (R) à l'altitude co-gécalal Nh
est donnée par :
n > n ,fr0 -?'ø0
' ( 3 . 39 )
R
h h
N ( )
? = ?? ? g ( ) ( , )
R S ø ?
n n
> , ? ?
- n n
> n n ø d
>
' ' 0
0 ø 0 4ð
?
ø 0
ã 0 ? ? -
'
?0
Si les anomalies de pesanteur ne sont pas disponibles au-dessus
de la Terreentière,, le calculnumériquee peutêtree fait en
employantl'équationn suivante
( 3 .40 )
R 8 n
h h
N ( )
? = ? Q ( , )
ø ø ? T ( )
r Y
n n
> , ? ?
- 0 , n m
,
' 0 ' 0 n n m
m =-nn
ø 2 n n
= + 1
III.3 Effet indirect primaire
Aprèssl'évaluationn duproblèmee de
valeurs aux limites de Stokes dans l'espace de Helmert on obtient
leco-géoïdee de Helmert. Pour trouver legéoïdee
dansl'espaceeréel,, les effets topographiques et atmosphériques
indirects primaires sur les ondulationsgéoïdaless sont
évalués. Le potentiel perturbateur de pesanteur de
Helmert rapporté à la surface du géoïde (dans
l'approximation sphérique) vérifie la relation suivante:
T h ( R ) = T (R ) -
ä V t (R ) - ä V a (R ) ( 3 . 4 1
)
En appliquant la formule sphérique de Bruns aux potentiels
perturbateurs T(R) et de Helmert Th(R) on
obtient:
N
(?)
( 3 . 42 )
T(R)
ã0 (ö)
Th (R ) T
(R
ã0 (ö)
) -ä V t (R) -ä V a
(R)
ã0 (ö)
N h (?)
( 3 . 43 )
La relation entre l'ondulation du géoïde
N(Q) et l'ondulation du co-géoïde
Nh(.0) est présentée par la formule
suivante
Nh (?) T(R) Th
(R ) ä Vt (R ) ä
Va
ã0 (ö )
ã0 (ö ) ã0
(ö ) ã0(ö
(R)
)
(3 . 44
)
t
ä V (R)
ã0(ö)
représente l'effet topographique indirect primaire sur la
hauteur géoïdale.
t
ä V (R)
ã0(ö)
représente l'effet atmosphérique indirect primaire
sur la hauteur géoïdale.
III.3.1 Effet topographique indirect primaire
Vu la décomposition de la densité topographique
latéralement variable ñ(Q) en densité
topographique latéralement variable moyenne et en densité
topographique « perturbatrice », (Eq. 2.36), et en retranchant la
singularité faible de l'intégrale de Newton, le potentiel
gravitationnel des masses topographiques Vt(R)
(réduites sur le géoïde) peut être écrit comme
suit [Martinec, 1993] :
V 4ðG ñ 0 H°(?) [
R + 2 H°(? )] + G ñ 0 ?? ? N
(R , ø , r' ) r '2 dr
' d?
')
?
'
t
(R )
'
?
?
)
r'=R+H°(
?0
?? äñ (?' ) ?
'? ?0 r'=R
+ G
(3 . 45 )
(
N R , ø , r' r dr '
d?' ,
)
12
R+H
où le premier terme de la somme décrit le potentiel
gravitationnel de la calotte sphérique de Bouguer rapporté au
géoïde.
De même, le potentiel gravitationnel des masses
topographiques condensées Vct(R)
référé sur le géoïde peut être
décrit comme suit [Martinec, 1993] :
3 3
V ct
'3 3
(R) =4ðG ñ r t 3 R R
+ G ?? 0 r t 3 -rt
N(R , ø ,
R)A2
?'??0
|
+ G ??äñ(?
?0
|
|
|
r '3 - R3
|
N (R , ø , R)
d?' , (3 . 46
|
)
|
|
3
|
Le premier terme représente le potentiel gravitationnel de
la couche sphérique de condensation.
Par substitution du potentiel gravitationnel des masses
topographiques Vt (R) dans l'équation (3.45) et le
potentiel gravitationnel des masses topographiques condensées
Vct(R) dans l'équation (3.46), dans la formule du
potentiel gravitationnel résiduel des masses topographiques
äVt(R), l'effet topographique indirect primaire sur la
hauteur géoïdale prend la forme suivante [Martinec, 1993] :
R)
ñ0 ?? ?
N(R , ø , r' ) r
'2 dr '
G
RH
°
äV [ H°
]2 rt3 - R3 G
ã0 (ö)
ã0 (ö) 4 ðñ0 2 3R
ã0(ö)
R+H
'3 3
N R
r')r dr ' d?
, ø
12 '
ã0 (ö) r t
- rt
ño ??
N(R , ø , R)
d?'+ ?? äñ(? ' ) ?
?a? 0 3 ã0 (ö)?'? ?
0 r'=R
3
??
G
(ö)
ã0
(cr)- 3 R N(R , ø
, R)d?
III.3.2 Effet atmosphérique indirect
primaire
L'effet atmosphérique indirect primaire sur l'altitude
géoïdale peut être décrit par la forme de base
suivante [Novàk, 2000] :
äVa (R )
r(R)Vca (R)
ã 0 0 ã0 (()
ã0(0)
( )
G
(3 .4 8)
?? ? ñ(r' ) N ( R
,v , r' ) r '2 dr ' ??
? ña (r' ) N ( R ,v,
R) r '2 dr ' d?'.
ã0
(0)
0r '= R + H
°( ST ) ã0 (ö)?'?
P=R +H°(?')
L'ordre de grandeur de l'effet atmosphérique indirect
primaire sur l'altitude géoïdale est relativement plus petit que
l'effet topographique indirect primaire sur la hauteur géoïdale.
De ce fait il peut être évalué à un
degré d'exactitude suffisant avec modèles atmosphériques
existants [Novàk, 2000].
Une fois le potentiel perturbateur réel
déterminé sur le géoïde, il peut être converti
en hauteurs géoïdales par la formule de Bruns. Le potentiel
perturbateur réel T(rt) à l'extérieur de
l'atmosphère est obtenu à l'aide d'un prolongement continu de
T(R). Le potentiel de pesanteur réel W, pour n'importe
quel point donné, en dehors de l'atmosphère, est alors simplement
obtenu à partir de l'équation (1.2).
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