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République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de la Poste et des Technologies de
l'Information et de la communication
Agence Spatiale Algérienne
ÉíÑÆÇÒÌáÇ
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Centre des Techniques Spatiales
ÉíÆÇÖáÇ
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ÒÂÑã
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MEMOIRE DE MAGISTER EN
TECHNIQUES SPATIALES ET
APPLICATIONS
Option: Géodésie
Présenté par :
ZEKKOUR Nesrine
Intitulé de sujet
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SOLUTION DU PROBLEME
DE VALEURS AUX LIMITES
GEODESIQUE :
THEORIE DE STOKES-HELMERT
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Soutenu en Juin 2008, devant le jury composé
de:
Mr. BENYETTOU Mohamed /Professeur
(USTO) Président
Mr. ECHERIF Ahmed /Maître de
conférence (USTO) Examinateur
Mr. KAHLOUCHE Salem /Directeur de recherche
(CTS) Examinateur
Mr. ZEGGAÏ Ali /Chargé de
recherche (CTS) Examinateur
Mr. AARIZOU Madani /Chargé de
recherche (CTS) Promoteur
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A celui qui m'a indiqué la bonne voie en me
rappelant que la volonté fait
toujours les grandes
personnes...
A mon
Père,
A celle qui a attendu avec
patience les fruits de sa bonne éducation, qui a
fait grandir en moi
cette soif d'apprendre, qui m'a couverte d'affection et a
consenti tant de
sacrifices toutes ces longues années...
A ma Mère,
A mon
frère Brahim,
A mes soeurs Kenza,
Zahra, Asmaa & Hiba,
A mes amies,
Je dédie ce mémoire.
Je voudrais tout d'abord remercier mon promoteur Monsieur
Madani AARIZOU, directeur du Centre des Techniques Spatiales
et chargé de recherche, d'avoir accepté de travailler avec moi en
me proposant le sujet de magister. Merci pour les conseils avisés qu'il
a su me prodiguer pour guider mes recherches, pour son optimisme et la
confiance qu'il m'a accordée au cours de ces années.
Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à
Monsieur Salem KAHLOUCHE, directeur de recherche et
responsable de la division de Géodésie, de m'avoir accueillie au
sein de la division. Qu'il trouve ici l'expression de ma gratitude pour ses
encouragements ainsi que l'aide tant morale que matérielle qu'il m'a
apportée durant toute cette période, et d'avoir accepté
d'examiner mon travail.
Je remercie le professeur Mohamed BENYETTOU,
professeur à l'université Mohamed BOUDIAF (USTO), de m'avoir fait
l'honneur d'accepter de présider ce mémoire.
Je remercie Messieurs Ahmed ECHERIF,
maître de conférence à l'université Mohamed BOUDIAF
(USTO), Ali ZEGGAÏ, chargé de recherche à
la division de Géodésie, d'avoir accepté d'examiner mon
travail.
Je remercie tout particulièrement Messieurs Dr.
Pavel Novak, Dr. Marcelo Santos, Dr. Artu Ellmann, Dr. Petr
Vaniçek, et mesdames Dr. NACHI et Dr.
MILOUDI pour leur aide constructive ainsi que pour leur soutien qui
m'ont permis de mener à bien ce projet.
Il ne m'est pas permis de passer sous silence l'apport
scientifique de Mme RABEHI Nadjet dans la réalisation
de ce travail. Merci Nadjet pour ton amitié, ta
compétence et le temps que tu as bien voulu m'accorder.
Sans oublier les membres de la division de
Géodésie et mes collègues. Parmi eux, je voudrais tout
particulièrement mettre en évidence Messieurs: Ayouaz,
Ghezali, Gourine, Hasni, Khelifa, Mejahed, Rami, Touati, Touam
Mesdemoiselles Benghanam, Berrahi, Naamaoui, Tabeti,
et Mme Benaraba, Mme Benahmed pour leur soutien
permanent et pour avoir pris le temps de répondre à mes
nombreuses questions.
J'inclus ici une liste d'amis(es), qui ont beaucoup
compté pour moi ces dernières années:
Mme Bouhara kheira, Mme Brachemi
et Mr Chadli. Si Marcel Proust ne croyait
pas en l'amitié, c'est parce qu'il n'a pas connu les miens.
Je voudrais enfin rendre hommage à toute ma famille,
pour son soutien constant, quelles que soient les circonstances. Un grand merci
pour toutes les personnes ayant contribué de prés ou de loin
à l'élaboration de ce mémoire.
Résumé
Il existe différentes méthodes de
détermination du géoïde qui sont utilisées à
travers le monde ; l'une de ces méthodes, des plus avantageuses, est
l'approche de Stokes-Helmert développée à
l'université du New Brunswick (UNB) au Canada. Dans la théorie de
Stokes, le problème de valeurs aux limites géodésiques de
troisième espèce est formulé sous les conditions
d'harmonicité du potentiel perturbateur et d'absence de masses
topographiques à l'extérieur de la surface limite qui est le
géoïde. Or, en pratique, ces conditions ne peuvent être
satisfaites et, de ce fait, des hypothèses simplificatrices sur la
densité des masses topographiques et sur l'analycité de
l'intégrale de Poisson sont émises pour obtenir une solution du
problème. La reformulation du problème de valeurs aux limites
dans l'espace de «Helmert» permet une meilleure modélisation
de la topographie et mène ainsi à une estimation plus
précise de la solution. L'objectif de ce mémoire consiste
à utiliser le schéma de Stokes-Helmert pour définir le
problème de valeurs aux limites et exprimer les anomalies de
gravité dans l'espace d'Helmert. Dans ce contexte nous tiendrons compte,
dans la détermination de la solution, des effets directs topographiques
et atmosphériques sur le potentiel de pesanteur, des corrections
ellipsoïdales et du prolongement descendant des anomalies de pesanteur.
Mots dlés: Anomalie de pesanteur - Effet
atmosphérique - Effet topographique - Géoïde - Potentiel
gravitationnel - Problème de valeurs aux limites
géodésique.
TABLE DES MATIERES
DEDICACE i
REMERCIEMENTS ii
RESUME iv
TABLE DES MATIERES v
LISTE DES FIGURES & TABLEAUX .. viii
INTRODUCTION 2
CHAPITRE I: Notions fondamentales de la
géodésie Physique 6
I.1. Potentiel de pesanteur Terrestre 6
I.2. Champ de pesanteur normal 7
I.3. Potentiel perturbateur 9
I.4. Problème de valeur aux limites
géodésique 10
CHAPITRE II : Théorie de Stokes-Helmert
14
II.1. Potentiel perturbateur de Helmert 14
II.2. Méthode de Stokes-Helmert . 15
II.2.1. L'espace de Stokes-Helmert . 15
II.2.2. les anomalies de pesanteurs dans l'espace de Helmert
17
II.3. La réduction de pesanteur de Helmert . 20
II.3.1. Effets des masses topographiques sur le potentiel 20
II.3.1.1. Effet topographique direct 24
II.3.1.2. Effet topographique secondaire indirect 24
II.3.2. Effet des masses atmosphériques sur l'attraction
de la gravité 25
II.3.2.1. Potentiel gravitationnel résiduel des masses
atmosphériques... 25
II.3.2.2. Effet atmosphérique direct 26
II.3.2.3. Effet atmosphérique secondaire indirect . 28
II.3.3. Prolongement descendant des anomalies de pesanteur de
Helmert . 28
II.3.4. Les corrections ellipsoïdales 32
CHAPITRE III : Problème de valeurs aux limites
de Stokes dans l'espace
de Helmert 35
III.1. Potentiel de pesanteur de référence 35
III.1.1. Potentiel résiduel de référence des
masses topographiques 36
III.1.2. Potentiel résiduel de référence des
masses atmosphériques .. 37
III.1.3. Potentiel de pesanteur de référence dans
l'espace de Helmert .. 39
III.1.4. L'anomalie de pesanteur de référence et le
sphéroïde de référence
39
dans l'espace de Helmert .
III.2. Problème de valeurs aux limites de Stokes dans
l'espace de Helmert 40
III.2.1. Fonction sphéroïde de Stokes 40
III.2.2. Fonction sphéroïde modifiée de Stokes
.. 41
III.2.3. Contribution de la zone proche à haute
fréquence au co-géoïde 43
III.2.4. Contribution de la zone éloignée à
haute fréquence au co-géoïde . 43
III.3. Effet indirect primaire 43
III.3.1. Effet topographique indirect primaire 44
III.3.2. Effet atmosphérique indirect primaire 45
CHAPITRE IV : Application 48
IV.1 Introduction 48
IV.2 Données utilisées 48
IV.3 Principaux programmes utilisés 52
IV.4 Résultats numériques 53
CONCLUSION 65
BIBLIOGRAPHIE 67
LISTE DES FIGURES
I.1 Altitude orthométrique H°
07
I.2 Hauteur du géoïde N et
anomalie de hauteur æ 08
II.1 Des quantités impliqués dans
l'espace Réel et l'espace de Helmert .. 16
II.2 Schéma standard des deux espaces ..
31
IV.A Domaine de calcul du géoïde
gravimétrique et répartition géographique des
données gravimétriques . 49
IV. B Secteur du MNT englobant l'Algérie
50
IV.C Découpage du modèle
numérique GTOPO30 51
IV.1 Modèle numérique de terrain
(30"x30") . 51
IV.2 Modèle numérique de terrain
(5'x5') 52
IV.3.1 Contribution des zones proches au terrain
topographique 54
IV.3.2 Contribution des zones proches au terrain
topographique condensé 55
IV.3.3 Contribution des zones proches aux effets
topographiques directs sur la 55 pesanteur .
IV.3.4 Contribution des zones proches aux effets
topographiques indirects 56 secondaires sur la pesanteur
IV.4.1 Contributions des zones
éloignées au terrain topographique 57
IV.4.2 Contribution des zones
éloignées au terrain topographique condensé 57
IV.4.3 Contribution des zones
éloignées aux effets topographiques directs sur la 58 pesanteur
.
IV.4.4 Contribution des zones
éloignées aux effets topographiques secondaires 58 indirects sur
la pesanteur
IV.4.5 Contribution des zones proches aux effets
topographiques indirects primaires 59 sur l'ondulation du géoïde
.
IV.5.1 Contribution des zones proches aux effets
topographiques primaires indirects 59 sur l'ondulation du géoïde
IV.5.1 Contribution de la zone
éloignée aux effets topographiques primaires 60 indirects sur
l'ondulation du géoïde
IV.6.1 L'effet atmosphérique sur la
pesanteur 60
IV.6.2 L'accélération du plateau
sphérique condensé . 61
IV.6.3 L'accélération
résiduelle de l'atmosphère accidenté 61
IV.7 Ondulation du co-géoïde 62
IV.8 Ondulation du géoïde 63
LISTE DES TABLEAUX
VI.1 Effets topographiques de pesanteur
<<zone proche» - zone étude sur 53
l'Algérie-
VI.2 Effets topographiques de pesanteur
<<zone éloignée» -zone étude sur
53
l'Algérie-
VI.3 Effet atmosphérique de pesanteur -
zone étude sur l'Algérie . 54
VI.4 Statistiques des ondulations du
géoïde et du co-géoïde . 62
INTRODUCTION
Le but principal de la géodésie physique est la
détermination du champ de pesanteur terrestre et par suite du
géoïde qui représente sa surface de référence.
Le processus le plus adéquat à la définition de la forme
réelle de la Terre se base sur la méthode gravimétrique du
"troisième problème de valeurs aux limites". Ce problème
dans la théorie du potentiel gravitationnel consiste à
déterminer une fonction harmonique (potentiel perturbateur) sur une
superficie limite (le géoïde) par l'intermédiaire d'une
combinaison linéaire de cette fonction ainsi que de ses
dérivées normales.
Dans la théorie de Stokes, le problème de
valeurs aux limites géodésiques de troisième espèce
est formulé sous les conditions d'harmonicité du potentiel
perturbateur et d'absence de masse topographique à l'extérieur de
la surface limite qui est le géoïde. Or, en pratique, ces
conditions ne peuvent pas être remplies et, de ce fait, des
hypothèses simplificatrices sur la densité des masses
topographiques et sur l'analycité de l'intégrale de Poisson sont
introduites pour arriver à une solution du problème.
Dans sa première méthode de condensation,
Helmert a proposé une redistribution des masses topographiques sur une
surface interne parallèle au géoïde, située à
une profondeur de 21 kilomètres au-dessus du géoïde. Cette
profondeur est équivalente à la différence dans les
longueurs des demi-petit axe et demi-grand axe de l'ellipsoïde de la
Terre. Elle a été choisie afin de décaler les masses
topographiques au-dessous de la sphère de Bjerhammar, le corps
sphérique le mieux adapté au géoïde.
Dans la deuxième méthode, les masses sont
reconstituées sur le géoïde lui-même. La
redistribution des masses topographiques est effectuée suivant un
procédé local de condensation, c'est à dire, la
compression d'une colonne topographique au dessus d'une base de surface de
condensation infinitésimale. Seulement, l'approximation plane du
procédé, négligeant la courbure du géoïde, a
été développée en détail par Helmert,
appliquant d'autres approximations telles que le calcul de l'effet
topographique sur la pesanteur de la Terre tout en évaluant l'effet de
condensation au niveau de la mer.
La théorie de Stokes-Helmert présentée
dans ce travail étudie en détails la méthode de
condensation de Helmert pour une détermination précise du
géoïde. Dans ce contexte, le 3éme problème de valeurs
aux limites géodésiques est ramené au 1er
problème de valeur aux limites géodésique qui est
résolu dans l'espace de Helmert. La solution est obtenue alors sur le
cogéoïde et sera de nouveau transformée dans l'espace
réel (géoïde) par l'évaluation précise de
l'effet topographique indirect primaire.
Le but principal de la méthode de Stokes-Helmert est de
fournir une théorie assez précise pour le calcul du
géoïde. Ce but sera atteint dans le cas où toutes les
corrections et les transformations de l'anomalie de pesanteur observée
dans l'espace de Helmert sont effectuées à une précision
de 10 uGal [Vaniçek et Martinet, 1994]. Cela implique a priori
que n'importe quel effet sur la pesanteur, pendant les transformations,
supérieur à 10 uGal doit être étudié
et pris en considération.
Cette étude sera présentée en quatre
étapes :
1. La transformation de l'anomalie de pesanteur observée
à la surface de la Terre en une anomalie de pesanteur de Helmert ,
rapportée à la même surface,
2. Prolongement vers le bas des anomalies de pesanteur de
Helmert au co-géoïde de Helmert,
3. Résolution du problème de valeurs aux limites
géodésique dans l'espace de Helmert,
4. Transformation du co-géoïde au géoïde
en évaluant l'effet topographique indirect primaire.
Ces étapes sont détaillées dans les
différents chapitres contenus dans ce mémoire. Le chapitre I
présente les notions fondamentales de la théorie du potentiel, et
le problème de valeur aux limites géodésiques.
La définition générale de l'espace de
Helmert, les effets topographiques et atmosphériques directs et
indirects, le prolongement vers le bas des anomalies de Helmert ainsi que la
correction ellipsoïdales sont décrits dans le chapitre II.
Le chapitre III fait l'objet de la résolution du
problème de valeurs aux limites géodésiques dans l'espace
de Stokes-Helmert. Nous développerons, également dans ce
chapitre, une méthode de détermination du co-géoïde
de Helmert en introduisant : le potentiel et l'anomalie de pesanteur de Helmert
de référence, le noyau modifié de Stokes, et
l'étude des effets primaires topographiques et atmosphériques sur
l'ondulation géoidale.
Enfin, le chapitre IV présente les problèmes
pratiques et une application de calcul du géoïde. Les
données gravimétriques terrestres provenant du fichier (EOL), le
modèle géopotentiel globale (EGM 96), et un modèle
numérique de terrain en tenant compte des effets topographiques et
atmosphériques directs et indirects sont utilisées. En
conclusion, on compare les différents résultats obtenus.
Bien que la pesanteur soit la force la plus faible de la
nature, son action insidieuse et
cumulative sert à determiner le
destin final non seulement de differents objets
astronomiques mais du cosmos
entier...(Paul Davies, 1994)
CHAPITRE I
Notions fondamentales de géodésie
physique
Le problème fondamental de la géodésie
physique est de déterminer la surface équipotentielle du champ de
pesanteur terrestre coïncidant avec le niveau moyen des mers et servant de
référence pour la définition des différents
systèmes d'altitudes utilisés lors de levés
géodésiques. Cette surface est connue sous le nom de
géoïde. Son comportement dépend des caractéristiques
du champ de pesanteur dont les déformations sont causées par
l'existence de masses internes de différentes densités.
I.1 Potentiel de pesanteur terrestre
On considère le système fondamental terrestre
orthonormé (XYZ) d'origine O, confondue avec le centre
de gravité de la Terre (géocentre), dont l'axe OZ
coïncide avec l'axe moyen de la rotation de la Terre dirigé vers le
pôle nord. L'axe OX est contenu dans le plan méridien de
Greenwich et l'axe OY est orienté de manière à ce
que le système (XYZ) soit orthonormé et direct.
Une quantité de base décrivant le champ de
pesanteur terrestre est le potentiel de pesanteur W (rt). Ce potentiel
est défini comme suit :
W(rt) = V(rt)+t7i(rt) (1.1)
où V(rt) est le potentiel gravitationnel.
t7i(rt) est le potentiel centrifuge.
rt est le rayon géocentrique de la Terre.
Le potentiel de pesanteur W(rt) satisfait aux relations
suivantes :
2w2 à l'extérieur de
SE
AW(rt) =
-4vGp + 2w2 à l'intérieur de
SE
A : opérateur Laplacien ;
SE : surface topographique ;
w : vitesse angulaire de la Terre ;
ñ : densité de masse de la Terre ;
G : constante de la gravité newtonienne
(G = 6.672
x10-11m3s-2kg-1).
Le vecteur pesanteur ?g est défini dans le
système (O, XYZ), par le gradient de W(rt), tel que
:
? = W= t r?W ? W
?W)
g grad "
l?X , ?Y , ?Z ),
t ??W ?W ? W ?
avec ?
? , , représentant la transposée du vecteur
ligne ? ? W ? W ? ?
W .
? ? X ? Y ? Z , ,
? ? ?
? ? x ? y ??
z
Les surfaces dont le potentiel W(rt) est constant
(W(rt)=Const.) sont appelées "surfaces équipotentielles"
ou "surfaces de niveau". Elles sont, en tout point, orthogonales au vecteur
pesanteur ?g . Le géoïde
Sg dont le potentiel W(X, Y, Z)=W0=Const. est
considéré comme la
surface de référence de ces
surfaces ; il représente, physiquement,la surface moyenne des
océans.
Soit P un point à la surface SE, la
distance de ce point au géoïde Sg, le long de
la verticale, est l'altitude orthométrique To du
point P (Fig I.1).
P
SE (surf. Topographique)
n
Ho
Sg (surf. Géoïde)
P0
Figure I .1 : Altitude orthométrique
Ho.
I.2 Champ de pesanteur normal
Le champ de pesanteur normal représente un
modèle théorique du champ de pesanteur réel ; il est
généré par un ellipsoïde de révolution, dont
les dimensions, la masse et la vitesse de rotation sont respectivement, proches
des dimensions, de la masse et de la vitesse de rotation de la Terre. Il est
choisi tel que son centre coïncide avec le centre de gravité de la
Terre, cet ellipsoïde est appelé ellipsoïde de
référence.
Il existe plusieurs ellipsoïdes de références.
Le plus répandu est l'ellipsoïde WGS-84 et il est
défini à l'aide des paramètres suivants :
Le demi-grand axe ae = 6378137 m.
Le demi-petit axe be = 6356752 m. La vitesse
angulaire ù = 7292115x10-11 rad
s-1.
La valeur du potentiel de pesanteur théorique de
l'ellipsoïde de référence WGS84 est:
U0=62636860.8497m2s-2.
Un autre paramètre important est la première
excentricité "e" définie par :
1
e = ?
b 2 2
? - ?
e
? 1
? a 2 e ?
L'évaluation du potentiel de pesanteur normal
U(rt) et de la pesanteur normale ã à l'extérieur
de l'ellipsoïde de référence dépend de la
connaissance de ces quatre quantités ae,
be,ù et U0 [Heiskanen et al.,
1967].
U satisfait : ?U(rt) =
2ù2 à l'extérieur de
Se
-4ðGñN + 2ù2 à
l'intérieur de Se
oil Se est la surface de l'ellipsoïde de
référence et ñN est la densité normale.
Les surfaces U(rt) = Const. sont les surfaces de niveau
normales et la direction normale est déterminée par la direction
de pesanteur normale ãr . La distance h, compté
le long de la
normale à l'ellipsoïde et passant par P,
entre le point P et l'ellipsoïde de référence est
appelée « altitude ellipsoïdale », (Fig.I.2).
Le telluroïde St, surface
géométriquement proche de la surface topographique est
définie par l'ensemble des points Q obtenus par la projection
des points P situés sur la surface topographique le long de la
direction normale (Fig. 1.2).
SE (Topographique)
P
·
Ho
Sg (Géoïde)
h
N
Se (Ellipsoïde)
Se
·
·
SE (Topographique)
P
St (Telluroïde)
Se (Ellipsoïde)
·
æ
Q
h
H
·
·
Figure I.2 : ondulation du géoïde
N et anomalie de hauteur æ
La distance d'un point sur la surface St à
l'ellipsoïde Se le long de la normale à
l'ellipsoïde de révolution est l'altitude normale
HN du point P correspondant (Fig. 1.2).
La distance géométrique séparant le
géoïde et l'ellipsoïde, et comptée le long de la
normale à l'ellipsoïde de référence est
exprimée par la hauteur du géoïde (ou l'ondulation du
géoïde) N (Fig. 1.2) ; elle est donnée par la
formule de Bruns:
N = h - Ho =
T( rt) (1.2)
ã
La différence géométrique, comptée
le long de la normale à l'ellipsoïde de référence,
entre la surface topographique et le telluroide est appelée «
anomalie de hauteur æ ». (Fig. 1.2). Elle est exprimée par la
formule :
æ = h - HN (1.3)
I.3 Potentiel perturbateur
Le potentiel perturbateur T(rt) est donné par la
différence entre le potentiel de pesanteur W(rt) et le
potentiel de pesanteur normal U(rt):
T(rt) = W(rt) - U(rt) (1.4)
Puisque la densité des masses à
l'extérieur de la surface terrestre est supposée nulle,
T(rt) satisfait à la condition d'harmonicité à
l'extérieur de la surface topographique et vérifie, ainsi,
l'équation de Laplace :
?T(rt) = 0 (1.5)
La différence entre la pesanteur réelle et la
pesanteur normale peut être exprimée de deux façons
différentes en fonction de la pesanteur normale:
La perturbation de pesanteur (äg) est
donnée par la différence entre la pesanteur (gp) et la
pesanteur normale au même point (ãp) :
äg(rt) = gp(rt)-ãp(rt) (1.6)
L'anomalie de pesanteur (?g) est définie par
la différence entre la pesanteur au point P (gp) et la
pesanteur normale (ãQ) au point Q (la projection du
point P suivant la normale à l'ellipsoïde de
référence sur le telleroïde) :
?g(rt)= gp(rt)-ãQ(rt) (1.7)
Les objectifs principaux de la géodésie physique
sont la détermination du champ de pesanteur et du géoïde.
Cependant le champ de pesanteur normal peut être directement
évalué à partir d'expressions mathématiques simples
; les problèmes sont donc convertis en la détermination du
potentiel perturbateur T(rt) et de la hauteur du
géoïde N ou de l'anomalie de hauteur æ qui sont
relativement petits. Les données utilisées sont les
quantités du champ de pesanteur mesurées à la surface de
la Terre. Le problème de base de la géodésie physique peut
être exprimé par un problème de valeurs aux limites
géodésiques
I.4 Problème de valeur aux limites
géodésique
Le problème de valeur aux limites
géodésique (BVP: Boundary Value Problem) joue un rôle
fondamental dans la théorie du calcul du géoïde et de son
application. On appelle Ó la surface limite. Un problème
de valeur aux limites en géodésie physique peut être
exprimé comme suit :
?T = 0 à l'extérieur de
Ó
BT = f sur Ó
T = O(r-1) à l'infini
T est le potentiel perturbateur, B est un
opérateur défini sur la surface limite Ó, et
f est une fonction définie sur Ó et provient
des différentes mesures gravimétriques, observation de
nivellement, les systèmes de positionnement globaux (GPS), etc. ....
Généralement, Ó est
l'ellipsoïde de référence, le géoïde ou la
surface de la Terre, et B distingue les opérateurs de
Dirichlet, Neumann ou le problème mixte selon la formulation du BVP
convenant à l'étude [Zhiling Fei 2000].
Selon les différences des données, on énonce
le problème de valeurs aux limites géodésiques sous
diverses formes:
(1) Problème de 1ère
espèce (Dirichlet):
?T = 0 à l'extérieur de
Ó
T = W - U sur Ó
T = O(r-1) à l'infini
Les données de ce problème sont le potentiel de
pesanteur terrestre W sur la surface Ó
(Ó= SE).
(2) Problème de 2ème
espèce (Neumann):
?T = 0 à l'extérieur de
Ó
?T sur Ó
? h
T = O(r-1) à l'infini
= - äg
où ?(.) représente la dérivée
normale.
?h
Dans ce cas, les données sont la pesanteur g
à la surface topographique SE, qui peut être obtenue
par les mesures GPS et gravimétriques.
(3) Le problème de 3ème
espèce (mixte) :
?T = 0 à l'extérieur de
Ó
? T - 1 ?ã T = -?
g
?h ã ?h
sur Ó
T = O(r-1) à l'infini
Les données sont le potentiel de pesanteur W
et la pesanteur g sur la surface SE, qui est obtenue
à partir des mesures gravimétriques et nivellement. Ce
problème représente le problème fondamental de la
géodésie physique dont la formulation est donnée, selon
l'approche de Stokes [Heiskanen et al.1967] par l'équation :
T (rt ) + ?g
(rt ) 0
(1.8)
(1.9)
?T (rt ) 1 ?ã
?h ã ?h
où T est le potentiel perturbateur et
?g est l'anomalie de pesanteur.
Une approximation sphérique à cette équation
est donnée par :
? T (rt ) +
2 T r
( ) ( ) 0
+ ? g r =
?
r R
t t
où R est le rayon moyen de la Terre défini
par : R = 3
a2eb e et ae
, be sont les demigrand axe et demi-petit axe, respectivement, de
l'ellipsoïde de référence.
T (r t)
? - g(rt )
+ã(rt ) + å äg
(rt ) = -äg(rt )
+ åäg(rt) .
?
?r
(1.10)
åäg (rt) est la correction ellipsoïdale
à la perturbation de pesanteur, due au remplacement de la
dérivée normale par la dérivée radiale :
f ? T
åä g ( t ) sin 2
r = ? + Ï ( 2 )
R ? ?
f (1.11)
où f est l'aplatissement
géométrique donné par:
La solution du 3éme problème consiste
à déterminer le potentiel perturbateur T sur le
géoïde par la résolution de l'équation de Laplace
(1.5) sous la condition de la formule fondamentale (1.8) et en connaissant les
valeurs des anomalies de pesanteur ?g sur le géoïde. Sous
ces conditions, il peut être ramené à un problème de
valeurs aux limites de première espèce de la théorie du
potentiel (ou problème de Dirichlet) en considérant le
géoïde comme surface de référence.
Toutefois nous relevons deux importantes objections à
cette théorie. D'une part le manque de précision de la
densité des masses topographiques entre le géoïde et la
surface topographique ne permet pas au potentiel perturbateur de satisfaire
à l'équation de Laplace. D'autre part, nous ne connaissons pas la
valeur de la pesanteur au niveau du géoïde.
Rappelons que les mesures de pesanteur sont effectuées
à la surface du sol ou à une certaine hauteur de celui-ci ; ce
qui nous amène à utiliser une méthode de réduction
pour le calcul de la pesanteur au géoïde. Cependant le manque
d'informations précises sur la densité de la masse topographique
ne permet pas de calculer correctement la pesanteur au niveau du
géoïde. Pour pallier à ces inconvénients ; plusieurs
approches ont été proposées dont la méthode de
Helmert [Helmert, 1884] que nous décrirons en détails dans le
chapitre qui suit.
CHAPITRE II
Théorie de STOKES-HELMERT
La deuxième méthode de condensation de Helmert
est appliquée en même temps qu'à la théorie de
Stokes comme étant la méthode la plus simple pour résoudre
le Problème de valeurs aux limites géodésiques. La
combinaison de ces deux méthodes est dite Théorie de
"STOKES-HELMERT" qui a été développé par
Vaniçek et Martinec en 1994. Cette théorie est basée d'une
part, sur l'idée de condensation de Helmert pour la détermination
précise du géoïde, et d'autre part sur les
propriétés théoriques de la solution de Stokes dans
l'espace de Helmert.
II.1 Potentiel perturbateur de Helmert
Le potentiel perturbateur T n'est pas harmonique
à l'intérieur des masses topographiques oil le géoïde
est souvent localisé. Par conséquent, afin d'établir
l'harmonicité du potentiel perturbateur, les masses
atmosphériques et topographiques doivent être enlevées ou
remplacées. Ces opérations peuvent être
réalisées en employant la deuxième méthode de
condensation de Helmert.
Si les masses topographiques sont condensées en une
couche située sur le géoïde, le champ de pesanteur terrestre
changera légèrement. L'espace obtenu après une telle
condensation est l'espace de Helmert. Les quantités indiquées
dans cet espace seront dénotées par l'indice supérieur
h. Le potentiel de pesanteur de Helmert est défini comme suit
:
Wh(rt) = W(rt) - äV(rt) (2.1)
Ainsi, le potentiel perturbateur Th dans
l'espace de Helmert devient :
Th(rt) = T(rt) - äV(rt)
(2.2)
Avec
äV(rt) = äVt(rt) +
äVa(rt) (2.3)
äVt est le potentiel topographique
résiduel. Ce potentiel est la différence entre le potentiel des
masses topographiques Vt et le potentiel des masses
topographiques condensées
Vct :
äVt(rt)= Vt(rt)-
Vct(rt) (2.4)
De même, äVa est le potentiel
atmosphérique résiduel. Il est obtenu en soustrayant le potentiel
de la couche atmosphérique condensée Vca du
potentiel des masses atmosphériques Va:
äVa(rt)= Va(rt) -
Vca(rt). (2.5)
Le géoïde décalé s'appelle le
co-géoïde1. La fonction Th est
harmonique en tout point à l'extérieur du co-géoïde.
Ceci est évident du fait que la densité des masses au-dessus du
géoïde est nulle partout, de sorte que l'équation de Laplace
soit satisfaite à l'extérieur du géoïde:
? T ( r ) = 0
h r = r (2.6)
g
Avec rg est le rayon géocentrique du
géoïde.
Le co-géoïde de Helmert est décalé
de quelques mètres du géoïde sous l'effet indirect de
condensation de Helmert. Ce dernier est connu sous le nom de l'effet
topographique indirect primaire (PITE2) [Heiskanen et al. 1981]. Il
représente la différence de la Terre modèle de
|
Helmert et de la Terre réelle, son expression est
définie comme suit :
|
ä V R
t ( )
|
|
|
|
.
|
ã0
où äVt est le potentiel
topographique résiduel, R est le rayon moyen de la Terre et
ã0 est la valeur de la pesanteur normale sur
l'ellipsoïde de référence [Novak., 2000].
II.2 Méthode de Stokes-Helmert
II.2.1 L'espace de Stokes-Helmert
Plusieurs chercheurs se sont intéressés à
la détermination précise du géoïde. Wichiencharoen
[1982] et Wang et Rapp [1990] ont calculé, respectivement, l'effet
topographique indirect et direct sur le géoïde. Heck [1992], a
utilisé la deuxième méthode de condensation de Helmert. La
théorie de Stokes-Helmert, présentée ci-dessous, est une
recherche complète sur la méthode de condensation de Helmert pour
une détermination précise du géoïde. Dans cette
théorie le problème de valeurs aux limites
géodésique est résolu dans l'espace de Helmert. La
solution sur le co-géoïde de Helmert est alors transformée
de
1 Géoïde dans l'espace de Helmert.
2 Primary Indirect Topographic Effect
nouveau dans l'espace réel (le géoïde) par
l'évaluation précise de l'effet topographique indirect
primaire.
Le but principal de la méthode de Stokes-Helmert est de
fournir une théorie assez précise dans le calcul du
géoïde. Cette précision peut atteindre 1cm sur une distance
de 100 km ou 10cm sur une région plus importante. L'obtention de tels
résultats nécessite une précision de 10 pGal
[Vaniçek et al.1994] sur toutes les corrections et transformations
de l'anomalie de pesanteur observée dans l'espace de Helmert. Ceci
implique que n'importe quel effet sur la pesanteur, pendant les
transformations, supérieur à 10 pGal doit être
étudié et pris en considération.
Le potentiel résiduel äV(rt) est un moyen
de passage de l'espace réel à l'espace de Helmert et inversement
tel que c'est indiqué par les relations (2.2), (2.3) et (2.4). Or pour
évaluer ce potentiel, on doit connaître la différence entre
la densité des masses topographiques et celles des mêmes masses
condensées. Cependant, en première approximation, la
densité topographique est modélisée comme étant une
distribution latérale de la densité de la surface topographique.
Une connaissance approximative de cette distribution assurerait la
précision exigée dans l'évaluation de äV(rt)
et des transformations de pesanteur [Martinec et al., 1994].
La pesanteur de Helmert gh(rt) à la
surface de la Terre est la somme de la pesanteur observée g(rt)
à la surface de la Terre, de l'effet topographique direct
äAt(rt) et de l'effet atmosphérique direct
äAa(rt) référé à la surface de
la Terre :
gh(rt) = g(rt) -äAt(rt) -
äAa(rt) (2.7)
L'effet topographique direct (DTE3) sur la
pesanteur est une quantité résiduelle. Cet effet,
évalué à la surface de la Terre, est obtenu en soustrayant
l'attraction gravitationnelle des masses topographiques condensées de
l'attraction des masses topographiques. De façon analogue, l'effet
atmosphérique direct (DAE4) sur la pesanteur est une
différence entre l'attraction gravitationnelle de l'atmosphère
entière et l'attraction gravitationnelle de l'atmosphère
condensée. Chacun des deux effets est obtenu en considérant,
respectivement, la dérivée radiale des potentiels topographiques
résiduels et atmosphériques résiduels suivants:
t t
ä ? ?
A r
t ? V V V ct
ä ( ) = - = - + = A r A
r
t ( ) ( ),
ct
- (2.8)
t t t
? r ? r ?r
a a ca
? ä ? ?
a V V V
( )
r a
= - = - ( ) ( ).
ca
ä A + = A r - A r (2.9)
t t t
? r ? r ? r
Plus de détails sur l'estimation de
äAt(rt) et de äAa(rt) seront
donnés dans les sections (II.3.1.1 & II.3.2.2).
II.2.2 les anomalies de pesanteur dans l'espace de
Helmert
La perturbation de pesanteur de Helmert est définie
par:
äg h( rt ) = - ?h + å
ä g ( r t ) =g( rt ) - ã (
r t ) + åäg ( r t ) - äA t
( r t ) -äA a( rt). (2.10) ? r
La relation entre la perturbation de pesanteur et l'anomalie de
pesanteur de Helmert ?gh peut être obtenue à
partir de la condition au limite suivante :
3 Direct Topographical Effect.
4 Direct Atmospheric Effect.
T r
h
? ( )
= -
r r
+ ?ã (r)
= r t r r=rt
? g h ( r t)
?
+ å äg ( r t)
?
L'anomalie de pesanteur de Bouguer simple ( rt)
?g (pour la densité topographique
SB
moyenne pt0 ) est défini
par [Heiskanen et al., 1967] :? ( ) = ( ) - ( ) - 2 0 ° ( ? )
g SB g r r ðñ t
r ã GH
t t Q t
(2.12)
ãQ (rt) est le
prolongement ascendant de la pesanteur normale ã0 (
rt ) , calculé sur
l'ellipsoïde de référence, au telluroide tel
que:
ã Q ( r t ) =
ã 0 frt) + ?ã HN K2) + 1
?2 ã [ HN K)r + 1 ?3ã [
HN KI )] 3 +L (2.13)
?n 2 ?n2 6 ?n
3
Notons que cette relation est en fonction de l'altitude
normale HN. Or, dans ce type d'applications, ce sont les
altitudes orthométriques H° qui sont habituellement
employées. Une différence entre les altitudes
orthométriques et normales sera estimée dans le but de
transformer la relation (2.13) en une relation en fonction de l'altitude
orthométrique [Heiskanen et al., 1967]:
( rt)
? g SB (r
H N ( ? ) - ° ? = ° ?
H ( ) H ( )
ã0
t) (2.14)
En substituant l'équation (2.14) dans l'équation
(2.13) et en négligeant des limites non linéaires de la
série de Taylor ; on obtient l'expression suivante :
SB
? ã ? ? g ( )
r ?
t
ã ( )
r = ã ( )
r + H ° ? +
( ) 1
? ? (2.15)
Q t t
0 ? n ã ( ) Ò
? ? r
0 t ÿ
En développant ã Q (
rt) , nous n'avons pris en considération que les
termes linéaires de la
série de Taylor. Toutefois, cette simplification ne
donne pas des résultats précis, et une approximation d'ordre
supérieur est donc exigée. Dans ce cas nous tiendrons compte de
la latitude ainsi que des effets d'altitude [Vanicek et al., 1994].
Sachant que l'anomalie de pesanteur à l'air libre
vérifie la relation suivante [ibid.] :
?ã
?g FA r t g r t
( ) = ( ) -ã0 (rt)- H ° (
?) (2.16)
? n
Alors l'équation (2.16) peut être
réécrite sous la forme :
? ã ä V( rt ) ?ã
Th ( r t) ?
= -
?n ã 0 ( r t
)? n ã 0 ( rt)
T h ( rt ) ?äV(
rt) ?n ?n
(2.17)
( rt ) - ã ?n
H°(?)
?
?g FA
?g SB ( r t)
ã0 (
rt)
Le gradient vertical de la pesanteur normale est approximé
par:
1 ?ã 2
ã ?n
= - R -ån (rt) (2.18)
ån(rt) est la petite correction
ellipsoïdale pour l'approximation sphérique définie par :
?1 T ( )
rt
å ( ) 2
r ? m f
+ (cos 2 ? - ) , (2.19)
n t ?? 3 Òÿ R
m est le paramètre géodésique
défini par[Torge 1989]
2
ù
a
m
(2.20)
e
( ? )
ã
oil a est le demi-grand axe, ù la vitesse de rotation de
la Terre (considérée constante) et ãe la valeur
de la pesanteur normale évaluée à l'équateur.
Par substitution de ces deux approximations dans
l'équation (2.11), la forme sphérique de la pesanteur
observée peut être écrite en termes d'anomalies de
pesanteur de Helmert
?g h ( rt).
h ( ) ( ) ( )
FA t a
r = ? S r ( ) A r
t a
+
g r + S r + ä ( ) + ä A
r
( ) + ä S r
?g
î
ä ä ( )
t t t t t t t
|
= -
|
2 ? T h
T h - + å g t
( ) ( ).
r - å n r t
ä
R ?r
|
(2.21)
|
Ici, l'effet topographique secondaire indirect (SITE5)
sur la pesanteur s'écrit [Vaniçek et al., 1999] :
ä t 2 ä
S r
( ) = V ( r )
t (2.22)
t t
R
et quant à l'effet atmosphérique secondaire
indirect sur la pesanteur (négligeable en calcul) s'écrit [ibid.]
:
äS a ( r t ) = 2
R äVa (rt) (2.23)
Enfin, la correction du géoïde au
quasi-géoïde est donnée par [ibid.] :
5 Secondary Indirect Topographical Effect.
2
î
ä S r
( ) H r g r
° t ?
( ) ( )
SB
t = (2.24)
t
R
L'anomalie de pesanteur de Helmert peut également
être formulée en fonction de l'anomalie de pesanteur de Bouguer.
L'anomalie complète de Bouguer ?gCB est
définie telle que [Heiskanen et al., 1967] :
|
?
|
CB tc
( ) g r
SB FA
g r ( ) g r
( ) g r
( ) 2 G 0 H ° + ä g
r
tc
= ? + ä = ? ð ñ
- ( ) .
t t t t t
|
(2.25)
|
ägtc(rt) est la correction de
terrain.
La formule générale de l'anomalie de Helmert
devient:
? g ( )
g r
CB tc
= ? ( ) 2 0 ( )
+ ð ñ
G H ° ? - ä g ( ) ( ) ( )
r + å ä r - å r
+
t t t g t n t
t
+
?äV
( r)
?r
?ä V r
a ( ) 2 2 2
° ? ?
( ) ( )
SB + V r
t
+ a
H g r ä ( ) + ä V r
( ). (2.26)
t t t
? r R R RR H °
Pour l'évaluation de l'anomalie de pesanteur de Helmert
(rt)
?g h sur la surface de la
Terre selon l'équation (2.26), on doit calculer les effets
topographiques directs et secondaires indirects sur la pesanteur.
II.3 La réduction de pesanteur de
Helmert
Les données gravimétriques requises pour la
solution rigoureuse du problème de valeurs aux limites
géodésiques sont décrites dans ce chapitre. La
deuxième méthode de condensation de Helmert [Helmert, 1884 et
Lambert, 1930], basée sur la substitution du potentiel gravitationnel
des masses topographiques et atmosphériques par le potentiel
gravitationnel d'une couche extérieure concrète sur le
géoïde, est employée dans la réduction de la
pesanteur [Vaniçek et al., 1999].
II.3.1 Effets des masses topographiques sur la
pesanteur
Le potentiel résiduel de pesanteur äV ,
qui a été présenté pendant la "helmertisation" du
champ de pesanteur de la Terre à l'extérieur du
géoïde, peut être défini comme la somme des potentiels
résiduels topographique et atmosphérique.
Le premier terme de la somme, appelé également
l'effet topographique indirect sur la pesanteur, est la différence du
potentiel gravimétrique des masses topographiques Vt
et du potentiel gravimétrique topographique de la couche
condensée Vct, tels que [Martinec et Vaniçek,
1994]:
( ) ( )
r t 3 '
?
= ?
ñ '
3 R 2
- 21 - (2.33)
r g ( ? ')+ H ° ( ?
V t ( r) = G ?? ?
ñ (r ', ?') N (r , r ' ) r
'2 dr ' d ?' (2.27)
|
?
|
' ?? r r
' ( ')
= ?
0 g
|
et
V ct ( r) =G ??ó ( ?V
(r , ø, rg( ?')
)rg( ?')2 d?' (2.28)
Avec: ñ(r' , ?' ) est la densité
des masses topographiques.
ó(?') est la densité de la couche
topographique condensée.
H°(?') est l'altitude horthométrique.
N(r,ø, r') est la forme spatiale du noyau de
Newton définie par: N(r,ø,r') = l-1(r,ø,r')
; où l(r,ø,r') est la distance séparant le
point de calcul (r,?) du point courant d'intégration
(r',?') d'élément de surface d? .
|
1
l ( r , ø , r') =
(r2 + r'2-2 rr ' cos
ø )2
ø est l'angle entre r et r',
peut être calculé de la façon suivante:
|
(2.29)
|
cos sin ' sin cos ' cos cos '
ø ö ö ö ö ( ë
ë)
= + - (2.30)
rg(?') est le rayon géocentrique du
géoïde.
? = (?,ë) l'angle solide où ? et
ë sont les coordonnées géographiques
géodésiques
?0 = { ? / ? ?[-ð/2, ð/2],
ë?[0, 2ð]}.
Les potentiels Vt et
Vct peuvent être simplifiés en utilisant
l'approximation du géoïde par la sphère de
référence de rayon R, et en utilisant un modèle
simplifié de densité des masses topographiques ñ(
r , ? ' ) ñ(?') et rg(?') R.
L'approximation sphérique entraîne une erreur
dans la hauteur géoïdale [Martinec, 1993].
Les équations (2.27) et (2.28) peuvent donc être
écrites, respectivement, comme suit :
R+H°
(?
')
V r G
t ( ) = ?? ( ) ?
ñ ? ' N(r , ø,
r' ) P2 dr ' (2.31)
V ct (r ) = GR2 ??
4? ')* ,ø, Off (2.32)
La densité des masses topographiques condensées
ó(?') est reliée à la densité des masses
topographiques ñ (? ') par le principe de conservation des
masses topographiques [Wichiencharoen, 1982];
ó ( ?' ) =ñ (
?' ) R + H ° ?(')
r '2 dr ' = ñ ( ? '
) H ' ) + H ° 2 ( ? + H
° 3 ( C22')
R 2 3 R
r ' = R ? ? ? ?
Le potentiel topographique résiduel des masses
topographiques äVt devient :
R + H°(?')
äVt ( r ) = G ??
ñ( a) ? Í( r ,v,r ') r '
2 ,53^' Al' - G if ñ(?'
)r3 (a)- R3
Í ( , , ) '
? ??
' r ' =R ?'? ?
r R d
ø ? (2.34)
3
0 0
D'après Gradshteyn et Ryzhik [1980], l'intégrale de
Newton est:
R+H°
(?')
1
r'-r
+
) r R
' =
cosø
N r r
( , , '
ø
(?')
R+H °
?
r '=R
N (r ,yi, P) r
'2 dr'
( ' 3 cos ) r r
+ ø +
2 N r r
( , , '
ø
1
)
r2
2
(3 cos2 ø-1) ln
La singularité de l'intégrale de Newton peut se
produire au point de calcul pour Ø=0.
Le potentiel topographique sur la surface topographique
Vt(r) peut être décomposé en un
potentiel topographique du plateau sphérique de Bouguer
Vts(r) et en celui du terrain accidenté
Vtr(r) [Martinec, 1993].
L'évaluation correcte de toutes ces intégrales
exige une bonne connaissance de la densité topographique
ñ(?). Celle-ci peut être remplacée par la somme
suivante:
ñ(? ' ) = ñ0 +
äñ (? ') (2.35)
ñ0=2.670 kg/m3 représente la
densité topographique moyenne ; la forme générale du
potentiel topographique devient :
? 2
H ° ( ? ) 1 ? ° ?
H ( ) ?
H ° ? +
( ) 1
? + ? ?
? R 3 ? R ?
?
R+H °
+ Gñ 0 ?? ? N(r ,yt,
r') r '2 dr ' di
? ?
li
( ')
?
(2.36)
R2
(?)
V r
t ( ) 4
= ð G ñ 0
rt
(?)
r'=R +H °
? ? ?
' 0
+ G ?? äñ(?') ? N(r
,v, r') r '2 dr '
cll.
Le premier terme de l'équation (2.36) est le potentiel
gravitationnel du plateau sphérique de Bouguer (de densité
topographique moyenne ño et d'épaisseur H°(?)).Le
deuxième terme représente le potentiel gravitationnel du terrain
accidenté et le troisième terme représente l'effet de la
distribution de densité topographique äñ(?) sur le potentiel
gravitationnel.
L'effet topographique direct des masses topographiques sur la
pesanteur, créé en un point à la surface de la Terre, est
donné par la dérivée radiale du potentiel des masses
topographiques Vt [Martinec et al., 1994a]:
(?
?V
t
A
(rt
)
r
=R + H°
?0
(?)
(?)
r
=R +H
?N(r , r
?r
R+H°
G ?? ñ( ?') ?
r ' =R
r'2dr ' d?'
(2.37)
?r
Il prend la forme suivante:
°
( ?)
r =R +H
r = R +H
?N
( r ,y1, r')
?r
4ð R 2 Gp0 H
° p) L1 +i-p?()+ [
H121+G ñ fr JJ
r t ( ?)2 R 3 R2
0
? '??
t
? V
( r)
?r
R +H
0 r '=R +
H° ( ?)
( ?')
r '2 dr '
( ?)
1
r '2 dr id?' . (2.38)
(
?
)
+
äñ
( ? )
R +H
r '=R
?° ( ?')
?r
?N
( r,y1, r
r = R +H
Un procédé semblable peut être
appliqué au potentiel gravimétrique des masses topographiques
condensées. Si on considère la décomposition de la
densité topographique des masses topographiques condensées
ó(?)=ó0 + äó(?), le potentiel des masses
topographiques condensées s'exprime comme suit:
ct
V
( r ) = 4ðG ó + G
ñ 00
(
)
?
R 2 r 3 ( ?') -
r3 ( ?) ?? N ( r , R )
d ?'
3
äñ
? '? ?
+ G ??
? '? ?
3 3
( ? ') -
( ? ')r N r R d
( , , ) '.
ø ? (2.39)
3
2
2 rr' cosy-)
r2
+r'2-
=
'2dr'
r'2dr'
( ')
?
)
ct
A
(rt
R +
r)
r
V
ct
?r
Selon Martinec, 1993 nous avons:
( ')
? ? N r r
( , , ' )
ø ?r
=R ? r
2 ?? ó ( ?') ?N(
r
,v
, R?
)
GR
R H
+ °
H° ( ?) ?1 ?0
r
r
R+H °
r'=R
'
r
R + H°
(?)
R+H° (?'
r' =R
r - coSV
3
'.
d ?
1
'
)
N r r
( , ,
ø
(2.40)
(r '2 cosv + 3r
2 cosv +r?-6 rr' cos2
ø ) N( r , v, r ' ) +
r(3 cos2 ø-1) ln
- 23 -
'
r-
cosy/
Ici, le premier terme de l'équation (2.39) est le
potentiel gravitationnel du plateau sphérique condensé. Le
deuxième terme représente le potentiel gravitationnel du terrain
accidenté condensé. Enfin, le troisième terme
décrit l'effet de la distribution de densité topographique
condensée sur le potentiel gravitationnel.
L'effet topographique direct des masses topographiques
condensées sur la pesanteur est représenté par la
dérivée radiale du potentiel des masses topographiques
condensées Vct. Cet effet est
également comptée sur la surface de la Terre [Martinec et al.,
1994a]:
II.3.1.1 Effet topographique direct
L'effet topographique direct sur la pesanteur est
défini par la dérivée radiale du potentiel résiduel
äAt des masses topographiques,
référé à la surface de la Terre [Martinec, 1993 ;
Martinec et al., 1994a].
R + H
( )
?
ä At(rt)
r
? (r)
8 V
?
r
? Vt(r)
?
r
r
=R+ H°(?)
V
ct
(r)
?
r
r
R + H ° (?)
(2.41)
En appliquant la décomposition des densités dans
les équations (2.37) et (2.40); l'effet topographique direct sur la
pesanteur prend finalement la forme suivante :
?N
??
? ,?0
r '2 dr W? '- Gñ
( ?)
r 3(?' ) - r X?) ?N
3
( r ,v, R)
?r
?r
° ( ? r r = R+H
r = R+ H°°(
?)
t
( r)
?äV
?r
r R H
= +
?? ?r
Gñ0
? a?0
d ?+
'
+ G 4)( ?
? a?0
r t
3 ( ?)' - R 3 ?N ( r
,V, R)
3 ?r
|
') r+ H°
7,R
|
( ?)
|
?N
|
|
|
|
r '2 dr ' d?'-
G
|
??
|
4)( ?')
|
|
|
?r
|
|
|
|
|
|
|
|
( ?)
|
? ,?0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'.(2.42)
d?
R
r = +H( ? )°
II.3.1.2 Effet topographique secondaire
indirect
L'application de la correction topographique à l'anomalie
de pesanteur donne l'origine
de l'effet
2 2 R + H 0 ( a) 2
3 r ( a) -R3 topograp
ä Vt ( r) = G ??
ñ(? ' ) ? Nr ,v,r ')r
'2 cii- ' di- G ?? ñ
( ?') Í ( , , ) '
; (?) t (?) ' ? P= R
r(?) ? 3
r R d
ø ?
0 0
hique
indirect secondaire, cet effet atteint des valeurs significatives
dans des régions montagneuses, où il peut atteindre 100
mGal.
L'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur, qui
se rapporte à la surface de la Terre, est donné par
l'équation [Martinec et Vanicek, 1994b].
2 2
( ?)
t rt ( ?) rt( ?) V t V
.
r
2
ct
(2.43)
Par suite, on obtient l'équation suivante:
R+H
r R d
ø ?
r (?) r ( ? ) r R
' = r ( ? ) 3
t t ' t
? ? ? ? ? ?
'
0(
2 2
? 2 r
30)
(2..44)
( r) = G ??ñ( a) ? Nr
,v,r ') r WAY- G ?? ñ(
?') -R3 Í ( , , ) '
0 0
II.3.2 Effet des masses atmosphériques sur la
pesanteur
Transformons le problème de valeurs aux limites
géodésiques formulé dans l'espace réel par
l'équation (2.11), dans l'espace de Helmert selon l'équation
(2.21). L'effet des masses atmosphériques sur la pesanteur est
représenté par les effets atmosphériques directs et les
effets atmosphériques secondaires indirects.
II.3.2.1 Potentiel gravitationnel résiduel des
masses atmosphériques
Identiquement au potentiel gravitationnel résiduel des
masses topographiques, "le potentiel gravitationnel résiduel des masses
atmosphériques" äVa(r) est donné par la
différence du potentiel gravitationnel Va(r) des
masses atmosphériques et Vca(r) le potentiel
gravitationnel des masses atmosphériques condensées (selon la
deuxième méthode de condensation de Helmert) sur le
géoïde [Vanícek et al., 1999].
äV a ( r ) = Va (r
) - Vca (r) . (2.45)
Sous l'approximation sphérique du géoïde, le
potentiel gravitationnel des masses atmosphériques
Va(r) est :
|
rlim
V a ( r ) = G ?? ?
ña( ?' )N ( r , ø
, r ') r '2 dr ' AY,
??0 r ' = R + H° ( ?')
|
(2.46)
|
ña(?') est la densité
atmosphérique réelle et rlim est la limite
supérieure de l'atmosphère oil la densité
atmosphérique devient négligeable.
Le potentiel gravitationnel des masses atmosphériques
condensées Vca s'exprime par:
V ca ( r ) = GR 2
óa ( ?)'N ( r , ø, R )
d?', (2.47)
Avec óa(?) comme densité
extérieure des masses atmosphériques condensées.
Selon le principe de conservation des masses, la densité
des masses atmosphériques condensée est définie par:
óa ( ? ) 1 r?
R 2 ña ( r ) r
2 dr , (2.48)
r = R + H.( ?)
Par substitution de l'équation (2.48) de la
densité extérieure atmosphérique
óa(?) dans l'équation (2.47) ; le potentiel
gravitationnel Vca(r) des masses atmosphériques
condensées prend la forme suivante:
rlim
V ca ( r )= G ??
ña ( ON ( r ø , R ) r
'2 dr ' d?'.(2.49)
? ' ?? 0 r '= R + H ° ( ?')
Formellement, les masses atmosphériques de la Terre
peuvent être décomposées en :
- Plateau sphérique dont le rayon est compris entre la
limite supérieure de la
surface topographique (R +Hlim, Hlim = max
H°) et la limite supérieure de l'atmosphère
rlim (50 km);
- L'atmosphère accidenté délimité par
la surface de la terre (R +H°) et sa
limite supèrieure.
Le potentiel gravitationnel Va(r) des masses
atmosphériques peut alors être décrit par [Novák,
2000] :
R+H lim r lim
|
V r G
a a
( ) = ?? ? ñ (r' ) N ( r
,v, P) P2 d? + G ?? ?
ña ( ' ) ( , ,
r N r ø
|
r' ) r '2 dr ' ' .
?
|
(2.50)
|
|
??0 r'=R + H °
(?')
|
?? ? = +
' 0 r R H
' lim
|
Décomposons également le domaine
d'intégration de la densité atmosphérique
extérieure óa (?) dans l'équation (2.48) comme
suit:
R+ Hlim 1 rlim
óa (?) ? ña (r) r
2 dr + ? ña (r) dr
(2.51)
R2 r= R + H° (?)
R2 r=R + Hlim
Le potentiel gravitationnel Vca des masses
atmosphériques condensées devient [Novák, 2000] :
R+
H
lim m
V ca (r ) = G ?? ? ñ a
(r' ) N ( r , ø , R)
r'2 dr ' d ?' rli
+G ff ? ña (r' ) N ( r
, ø , R) r '2 dr '
d?' . (2.52)
?' ? ?0 r'=R+H°(?'
) ? ' ? ? 0 r'=R+ H lim
II.3.2.2 Effet atmosphérique direct
L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur est
défini comme étant la dérivée radial du potentiel
gravitationnel résiduel äVa des masses
atmosphériques rapporté à la surface terrestre
[Vaniçek et al., 1999 e tNovák, 2000]:
|
?
|
ä V a
|
(r
|
)
r
|
|
|
|
=
|
?V a
|
(
|
r
|
)
r
|
|
|
?V ca
|
(r
|
)
r
|
|
|
|
(2.53)
|
|
?r
|
|
|
=
|
R + H°
|
( ?)
|
?r
|
|
|
|
=R+ H°
|
(?)
|
?r
|
|
=R+ H°
|
(?)
|
.
|
Chapitre II Théorie de Stokes-Helmert
Puisque l'effet atmosphérique direct du plateau
sphérique sur la pesanteur (liée par les rayons
géocentriques des limites supérieures de la topographie
Hlim et de l'atmosphère rlim) au point
intérieur, r< R +Hlim, est nul [Mac Millan, 1930]
?r <R+ Thim : G ?? rr
pa (r ' ) ?N(r ?
r'2dr ' dff= 0, (2.54)
? ? ? 0r '= R+
r
r
H lim
La limite de rugosité, qui représente l'effet
atmosphérique direct sur la pesanteur entre la topographie (r = R +
H°) et la limite supérieure de la topographie (r = R +
Hlim), est donnée par [Novàk, 2000] :
°
=
)
r
(?)
R +H
)
'
R+Hlim
G
a(
r'=R + H° (?')
( , ,
r r
ø
?r
?N
'
ñ
(
r
?V a
?r
°
=
)
r
R +H
( ?)
r'2dr ' d?'.
(2.55)
Comme l'effet atmosphérique direct du plateau
sphérique de condensation sur la pesanteur avec la densité
atmosphérique extérieure óa(?) au
point externe au-dessus de la couche de condensation r>R est
égale à une constante [Mac Millan, 1930] :
rlim KR)
G??? ña(r' ) r
'2di ?N(r '
a?? 0 r '=R +fihm
?r
R2 rim
d ? =
'
ña
(r) r '2dr' ,
-4ðG
?
(2.56)
r
r 2
r R
' = + H lim
L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur des masses
atmosphériques condensées devient :
= - 4 ð G rt( ?) ? ña ( r
')r ' 2 dr ' +
lim
r '= R +H lim
ca
? V
r
( r)
°
?
( )
?
r = R +H
lim
R + H
? N ( r ,ø ,R)
G ?? ? ñ a( r
')r ' 2 dr ' d ? '. (2.57)
?' ??0 r ' = R + H ° (
?') ?r r =R + H°
Par substitution de (2.55) et l'équation (2.57) dans
l'équation (2.53) ; l'effet atmosphérique direct sur la pesanteur
prend la forme suivante :
R + Hlim
?äV a ( r)
? r
?N ( r , , r')
2 rlim
R
G ?? ?
a
( r ')
r '2 dr d?' +4ð G ?
ña ( r ')r ' 2 dr '
r ' = R + H° ( ?')
?rr t
lim
r = R + H° ( ?) ? ' ?
?0 r = R + H° ( ?) r ' =
R + H
ñ
R + Hlim
G ?? ? ña ( r ')r
'2dr
?'? ? 0 r '= R + H° (
?')
'. (2.58)
?N
d?
( r ø, R)
°
'
?r
r =R +H
( ?)
II.3.2.3 Effet atmosphérique secondaire
indirect
L'effet atmosphérique secondaire indirect sur la pesanteur
définie sur la surface de la Terre, peut être décrit par
l'expression suivante [Novák, 2000] :
2 Va (r) = 2 Va (r) - 2V
ca(r) . (2.59)
r t rt rt
Si on considère les équations (2.50) et (2.52), le
potentiel de la gravité résiduel äVa
dans l'équation (2.59) prend la forme suivante:
r lim R2 r lim
äV a ( r) = 4ðG ?
ñ a ( r ') r ' dr ' -
4ðG ? ña ( r ') r
'2 dr '+
r t r R
' = + H limr ' = R+Hlim
R + H lim R+Hlim
|
G ?? ? ñ
|
a a
( )
r N r r dr d G
' ( , , ') '
ø ?- ?? ? ñ ( r '
|
)r '2 dr ' N ( r
, ø , R ) d? '.(2.60)
|
??? = + ° ?
' r R H
' ( ') ? ?? = + ° ?
' r R H
' ( ')
0 0
II.3.3 Prolongement descendant des anomalies de pesanteur
de Helmert
Dans la formulation standard du problème de valeurs aux
limites géodésique de Stokes, la solution (le potentiel
perturbateur T) est déterminée au-dessus de la surface
limite, le géoïde, alors que les observations (les valeurs de
pesanteur g) sont mesurées à la surface de la Terre.
Pour obtenir ces valeurs aux limites, les observations doivent être
réduites de la surface terrestre au géoïde. Cette
réduction est appelée le prolongement descendant d'anomalie de
pesanteur.
Le prolongement descendant peut être appliqué aux
valeurs observées g, les perturbations de pesanteur
äg, le potentiel perturbateur T, ou n'importe quelle
combinaison de ces quantités. Une fois qu'on peut prolonger T
vers le bas, le prolongement descendant des autres quantités peut
être également déterminé.
Maintenant exprimons ce problème du point de vue
mathématique. Il y a deux classes du prolongement descendant pour
déterminer le géoïde: le prolongement descendant de Poisson
basé sur la formule intégrale de Poisson. La deuxième
catégorie est nommée : le prolongement descendant analytique qui
est basé sur la série de Taylor. Or le problème
rencontré réside dans la divergence de la série de Taylor
quand le point d'intégration est proche du point de calcul. L'outil
mathématique standard utilisé en étudiant le prolongement
descendant aussi bien que le prolongement ascendant est le
théorème de Poisson. Le théorème de Poisson assure
cela par une fonction f, connue sur une sphère de rayon
R et harmonique en
dehors de cette sphère. Nous pouvons calculer les
valeurs de la fonction f(r,???) sur n'importe quel point
à l'extérieur de la sphère (r >R) par
l'intégrale de Poisson selon [Kellogg ; MacMillan, 1930] :
f (r , ?) =
? ?
f R K r R d
( , ' ) ( , , )
ø ?
?'
(2.64)
'
,
1
4
ð
OA K est le Noyau de l'intégral de Poisson
défini par [Sun et al., 1998] :
|
K(r t,
ø,R
|
)
|
8? R
? (2 1)
n + ??
n=2 rÒÿ
t
|
n
|
+
|
1
|
Pn
|
(cos )
ø
|
(2.65)
|
t
2 - R2
r
,
R
=
l3 (r t, ø,
R)
Une expression semblable à l'équation (2.64) peut
être déterminée également pour le calcul de la
dérivée radiale d'une fonction harmonique f [Heiskanen
et al., 1967].
)
?f
=
R
'.
d?
(2.66)
K(r , ø,R
'
?r
?
? ?f ?' ?r
4ðr
r ,
R,?
Puisque les masses topographiques et atmosphériques
sont condensées sur le géoïde, l'espace de Helmert au-dessus
du géoïde (rapproché par la sphère
géocentrique de rayon R (rgR)), est
harmonique. L'anomalie de pesanteur de Helmert Agh
multiplié par le rayon géocentrique de la surface terrestre
rt satisfait l'équation de Laplace au-dessus du
géoïde,
r t fR: ?2[rt?g h
( rt)]= 0 , [Vaniçek et al; 1996].
L'intégrale de poisson pour ?gh est donnée
par la formule suivante [kellogg, 1929] :
R
h
? = ?? K r R g R d
h
g r
( ) ( , , ) ( )
ø ?
t ?
t
4 ð
rt
? '? ? 0
OA ?gh(rt) est le vecteur des anomalies de
pesanteur de Helmert sur la surface de la Terre et ?gh(R) est le
vecteur des anomalies de la pesanteur de Helmert sur le Co-géoïde
(rapprochée encore par la sphère de référence de
rayon R).
La forme discrète de l'équation de
l'intégrale de Poisson dont la forme générale est
l'équation de l'intégrale de Fredholm de première
espèce, peut être exprimée comme suit [Martinec, 1996] et
[Huang, 2002] :
? h g ( r t ) = K (rt,
ø , R) ? gh(R ),
(2.68)
Selon l'itération approchée de Jacobi [Ralston,
1965] pour la solution d'un système d'équations
algébriques linéaires, la matrice K(rt, w,R) , peut
être exprimée sous la forme :
K ( rt ,ø ,
R) = I - B
(rt,ø, R) , (2.69)
I est la matrice unité et B est la
matrice creuse déduite de la matrice K par suppression des
termes de la diagonale. En substituant l'équation (2.69) dans
l'équation (2.68), on obtient le système d'équations
algébriques suivant [Martinec, 1996] :
? h =? h + ø ?
g ( R ) g ( r )
B ( r , , R ) g h (
R ).
t t (2.70)
Le système d'équation (2.70) peut être
résolu itérativement. On commence par le vecteur d'anomalies
à l'air libre de pesanteur à la surface terrestre ?gFA
(parce que ces dernières sont semblables aux anomalies de pesanteur de
Helmert sur le géoïde)
|
? g
|
h
|
(
|
R
|
FA
)
0 ? g (r t) .
|
(2.71)
|
La kième étape d'itération (k
>0) ?gh(R)1k, est effectuée selon l'équation
suivante [Martinec, 1996] :
|
? g h ( R ) = B (r
tø , R) ? gh (R)
+?
|
g
|
h
( )
r (2.72)
t
|
|
k k
|
-
|
1
|
Ainsi, lorsque la différence des résultats de
deux itérations??gh(R)1k - ?gh(R)1k-11est
inférieure à la tolérance 6, le processus des
itératifs s'arrête. Le résultat de cette opération
est la solution de l'équation (2.68), [Martinec, 1996]
|
k
? g h ( R) = ? gh (r
t) + ??gh(R)k
k =1
|
,
|
(2.73)
|
Où k est la valeur de la dernière
itération.
Figure II.2 Schéma standard des deux
espaces
Le prolongement vers le bas, basé sur la formule
d'intégrale de Poisson, est connu pour être un problème
instable, ce problème de stabilité été
étudié par Martinec (1996). En raison de l'instabilité,
les erreurs existantes dans l'expression de ?gh(rt) peuvent influer
sur la solution. Cependant, quand les valeurs moyennes sont employées au
lieu des valeurs discrètes, ce problème est
légèrement allégé, car les valeurs moyennes ne
montrent pas les fréquences les plus élevées.
II.3.4 Les corrections ellipsoïdales
Pour résoudre le problème de valeurs aux limites
de Stokes, les anomalies de pesanteurs rapportées à la surface de
la Terre doivent être prolongées vers la surface du
géoïde. Pour cette raison, le potentiel gravitationnel au-dessus du
géoïde doit être harmonique.
Dans l'espace de Helmert la fonction r?gh est
harmonique [Vanicek et Martinec, 1994] ; Noter la présence des deux
corrections ellipsoïdales dans les expressions (2.22) et (2.27).
Wong [2001] a prouvé que les corrections
ellipsoïdales sont harmoniques. D'ailleurs, si la forme ellipsoïdale
d'une fonction est harmonique alors sa forme sphérique l'est aussi.
Ainsi, par convention, le prolongement vers le bas peut être
traité avec les anomalies «sphériques» de Helmert, en
d'autres termes sans considérer les corrections ellipsoïdales
åäg et ån. Cela signifie que les
anomalies de pesanteur de Helmert ne doivent pas être corrigées
pour la correction ellipsoïdale avant le prolongement vers le bas. Les
corrections ellipsoïdales appropriées sont ajoutées aux
anomalies de Helmert seulement au niveau du géoïde. Rappelons que
ceci est appliqué dans l'espace de Helmert plutôt que dans
l'espace réel.
h
2
T
h ( )
R
? T
?r
R
Comme déjà mentionné, selon les
investigations de Wong [2001] on peut ajouter la correction ellipsoïdale
au niveau du géoïde. Afin d'obtenir des anomalies
ellipsoïdales du type d'anomalies sphérique (toutes les deux sont
rapportées au niveau du géoïde) l'expression suivante peut
être employée :
å R - R
n å ä g
R = ? g R
h +
( ) ( ) ( ) ( )
e 2
g R
h ( ) (3 cos 2 2 ) ( )
è - T R
h
= ? -
R
e 2
+ cos
R
è è
sin
)
? T
h ( )
R
?r
(2 . 74
Avec : è est la co-latitude
géocentrique.
e2 est l'excentricité de
l'ellipsoïde de référence.
|
åä g
|
e 2
( )
R = - (3 cos 2 2) ( )
è - T R
h
R
|
h
e 2 ? T R
( )
å ( )
R = - cos sin
è è
n R ? r
Le potentiel perturbateur T(rt) (en dehors des masses
topographiques) peut être estimé à partir des
modèles géopotentiels sphériques harmoniques:
|
n
GM 8 ? a I n
T r
H ( ) =
t ? ?] ?
??
r t n = 2 r t m=0
|
[ cos
n T m m ë S sin ] (sin )
C + n T m m ë P ö ( 2 . 75
)
, , n m
,
|
Analogiquement, la première dérivée du
potentiel perturbateur peut être estimée par
l'intermédiaire de la première dérivée des
fonctions de Legendre associées, comme suit :
H n
? T R GM
( ) 8 [ a 1 n P (sin ö
)
,
[ C T cos m S T n m
ë sin ë ] ?
= ? IJ ? + m (2 . 76)
, ,
? ö n 2 ?? n m n m
R = R m = 0 ?ö
Dans l'équation (2.75), on note par TH le
potentiel perturbateur "Helmertisé" (c.-à-d., le potentiel
perturbateur T correspond au niveau du géoïde avec la
contribution des masses topographiques et l'évaluation du prolongement
vers le bas). Pour la "Helmertisation" les coefficients harmoniques
sphériques des altitudes topographiques peuvent être
employés (pour plus de détails voir le chapitre III).
CHAPITRE III
Problème de valeurs aux limites de Stokes dans
l'espace de
Helmert
III.1 Potentiel de pesanteur de
référence
Les anomalies de pesanteur au-dessus de la surface limite sont
exigées pour résoudre le problème de valeurs aux limites
de Stokes. Pour réduire les erreurs de troncature, c.-à-d., la
contribution des zones éloignées dans l'intégration de
Stokes, on définit des parties à haute et basse fréquence
du champ de pesanteur de Helmert [Vanícek et al., 1991].
Le potentiel de pesanteur de référence de
degré n , Wref (r), peut être
exprimé par [Vanícek et al., 1995] :
n + 1
GM ? n ? a ? n
? ? ? ?
0
r r W r
= : ( ) = 1 + ? W Y
t ref n m n m
, ,
r ? ? n = 2 ?r m =-n
Wn,m représente les coefficients
géopotentiels du développement harmonique du potentiel terrestre.
Yn,m sont les fonctions sphériques normales de degré
n et d'ordre m. a0 est le paramètre
arbitraire de longueur (on considère d'habitude le demi-grand axe
principal de
l'ellipsoïde de référence), et n
est le degré maximal d'harmonicité maintenu par rapport
au
modèle géopotentiel utilisé. Dans l'espace de
Helmert le potentiel de pesanteur de référence
W h (r)
ref vérifie la relation suivante :
r ? IR+ : Wrh ef
(r) = Wref -ä Vref(r )
-ä Vef(r) (3.2)
ä ref et V a (r)
Vt (r) ä ref sont les potentiels
gravitationnels résiduels de référence des masses
topographiques et atmosphériques, respectivement.
III.1.1 Potentiel résiduel de
référence des masses topographiques
Selon l'équation (2.34) le potentiel résiduel de
référence des masses topographiques
ävtref peut être défini comme la
différence du potentiel de référence des masses
topographiques Vtref, [vaniçek et al ; 1995],
'
(3 . 3)
|
r-
|
if Ho )1n(
R+ H : Vfef (r ) G
ñ0 11 ?P ? R+ H'
Pn(cosø)( R +
H')2 dH'
H'= 0 rn=0r ?
0
|
et le potentiel de référence des masses
topographiques condensées Vctref, [Novák,
2000]
|
r f R V crtef ( r ) GR
|
?? ó
? ? ?
' 0
|
n+1
')? Pn (cosø ) d?' (3 . 4 )
n
· r NnR
|
Pour les points dont r > R+Hlim situés
à l'extérieur de la sphère de Brillouin1, le
potentiel de référence Vt ref(r)
des masses topographiques donné dans l'équation (3.3) prend
la forme suivante [Vanícek et al., 1995] :
|
r > R
|
D + 1
n+3 H°
(Cnik
(r ) = G ñ 0
R2 i(ln 1 ? C
r3 n Pn (cos
ø) d?' ( 3 . 5 )
n=0 r n + 3 k= 1 j 0
|
Le potentiel gravitationnel résiduel de
référence des masses topographiques devient [Novák, 2000]
:
|
r > R +
|
Hlim :äV tref (r )
? G
|
irT3
E ' F
1,1+3 if
H°((nrik
R Pn(cosø)d?
2 R+1 [ 1 n+
n = 0L r 3 k= 1 ?' ? ?0L R
|
'
|
?? ° ?
H ( ' ) ?
??
0
?' ? ?
R
3R 2 )121 _11 P
n(cosø) d?i H°
S2'
+ [
H°(?' )
R
(3 . 6)
Puisque H° <<R le développement converge
rapidement [Vaniçek et al; 1995] et l'équation (3.6) peut
être réécrite sous la forme suivante :
2
r > R +
t
H : ä V ( )
r ? G ñ R
lim ref 0
nR
? ?
?? ??
1 2 r
?
? [ H °(?
?? P n (cos ø) d ?
?' ? ?0 R2
1
n
n
+
n
=
°(? ) ] 3
?
P (cos ) ' .
ø d ? ( 3 . 7 )
n
3
R
0 ?
3
+
n
+
' ?
3
?
??
?
1 Sphère géocentrique minimale contenant
la masse entière de la Terre
Exprimons les surfaces harmoniques des altitudes orthometriques
par [Kellogg,
1929] :
(3 . 8)
4 ð n
?? H° Pn (cos ø )
d?' = ? H Yn,m
m=-n
?ti 2 n +1
0
Le potentiel résiduel de référence des
masses topographiques devient alors [Novàk,
2000] :
(R )n
r
Hv. n, m
Yn:m
n
n
n
2 n + 1
0
n
m
r > R +H : ä V t ( )
2
r ? ð G
lim ref
n(n
n
3
2ð
(3 . 9
G
)
0
3
2 n + 1
R
m
n
H Y
3
n m n m
, :
n
III.1.2 Potentiel résiduel de
référence des masses atmosphériques
Le potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques Varef(r) prend la forme
suivante [Novàk, 2000] :
r
rlim
: Va (r ) = G? ?? P n
(cosø) ? ña (r' ) r
'n+2
?' ? ?0 r'=R + H°
(?')
r > r lim
1
ef
n = 0 rn+ 1
dr
' '
d ?
(3 . 1 0)
Pour définir le potentiel gravitationnel résiduel
de référence des masses atmosphériques V a
(r)
ä ref , la densité atmosphérique
ña(?) peut être remplacée par un
modèle de densité latéralement symétrique
[Sjöberg, 1998] et [Novák, 2000]
R
, , 2 : ( )
a ?
a
r R H r
? + ° > ? ? Æ +
í í ñ r = ñ
lim 0 ??
R + H°L1
Où ña0 est la
densité atmosphérique au niveau de la mer, et le nombre entier
positif
constant í?Z+ détermine la
densité atmosphérique modèle de distribution.
Si l'intégration au-dessus du rayon géocentrique
r à partir de la surface de la Terre rt à la
limite supérieure de l'atmosphère rlim est
évaluée en employant la densité atmosphérique
modèle de l'équation (3.11); alors le potentiel gravitationnel de
référence des masses atmosphériques peut être
écrit comme selon la relation (3.13) [Novàk, 2000] :
Chapitre III Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
'
d ?
Pn
ø
)
(cos
r r í
lim lim ? R ?
a + 2 2
,
( 3 . 12)
> ? ? Æ+ =
2 í , 1,2, . . . , :
n n ( )
r r dr
n a r dr
n +
?
í =
ñ ñ 0 ? ??
??
r= R + H ° r=R
+ H°r
Ainsi:
,
> 2 ?
r
í
í ?
> r
lim
?
3
í
n
r
n = 0 rn+1
rlim
°
r'=R+H
3
í
3
+
C nk
1
=
k
í + 3
Pn (cos ø) d? ' (3 . 1 3 )
k
í
GR
a
ñ
a
ñ
?
V r G R
a ( ) ?
ref
V
í
( ) [ ]
k k
r R
- - °
H
í + 3 lim
R
Le potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques condensées V:f (r) prend la
forme suivante :
Æ +
r>r,í > 2 ?
í ?lim
Appliquons le théorème binomial à
l'évaluation de la densité de surface atmosphérique
óa(?);
R R 3-í 3-í
í> 2 ?í ?Æ+ :
óa( ?)= ñ 0
r2 dr=ñ O3
?Ckí
R 2 r=R +
H°(?' ) r - V k=1
( ) [ ] (3 . 1 4)
k k
r R H
lim - - ° )
R
'
°
)
d
ø
?
Pn
(cos
R 1
? 0(
?0 r;-3-íí
a
n+1
G ñ 0n R ??
ca ref
(r)
r lim
r'=R+H
3
-
í
R
() [ ] (cos ) ' ( 3 . 1 5 )
k k
- H °
3 r R -
- í lim P ø d ?
k k n )
3
- -- í k =1
R
n
0
í
R
a
G
ñ 0
=
??
3
-
í
?
C
n
+ a a
, 2
í > ? ?
í Æ : ä V ( ) 2
r = - ð G ñ 0 ?
ref
n ? R ?
? ?
? r ?
H Y
2
n m n m , , m
n
r > rlim
n
2 n + 1
-
+
n
n
=
-
1
)
-
n (n
2 í + 3
2 n + 1
n ? R ?
? ?
? r ?
H Y
3
n m n
, , ,
nn
2
1
n
+
n
=
m
)
( 3 . 16
n
a
ñ0
3
R
Le potentiel gravitationnel résiduel de
référence des masses atmosphériques ä
ref(r))est alors obtenu par la différence du
potentiel gravitationnel de référence des
massess
atmosphériquesVraef(r))
et du potentiel gravitationnel de référence des masses
atmosphériques condenséesV ca (r)
ä ref )
|
?
|
h
g ref
|
( r g)
g
|
h
? T r
ref ( )
|
|
|
? r
|
|
|
|
|
|
|
III.1.3 Potentiel de pesanteur de référence
dans l'espace de Helmert
Le potentiel de pesanteur de référence
Wrhef(r) dans l'espace de
Helmert (3.2) peut être exprimé par la formule suivante
[Vanícek et al. 1995] :
|
r > R : W rh ef (r) =
GM 1+?
r
n=2
|
( ) n + n
1
a ?
0 ?W n h
m Y n,mdj (3 . 1 7 )
r
m n
=
|
Le terme de sommation dans cette expression est fini. En
d'autres termes ; cette relation est valable au niveau du
co-géoïde. Comme cette surface est inconnue, l'approximation
appropriée du géoïde (rg r0) peut
être utilisée [Vaniçek et al., 1995].
|
Avec r g r 0 ? a ( 1 - f
sin 2? )
Le potentiel de pesanteur de référence de Helmert
au niveau du co-géoïde devient :
|
( 3 . 1 8 )
|
?n n -I
r > R : Whef
(rd GM 1 + ?[ 1+( n+ 1 ) f
sin2 ? ]?W!, m Yn,m1 (3 . 1
9 )
0 n= 2 m = -n ?LI
in+1
Tel que : n = 1 , 2 ,..., n : a 0 1
=1+ ( n +1 ) f sin 2 ? - ..., (3 . 20
)
r g 11
III.1.4 L'anomalie de pesanteur de
référence et le sphéroïde de référence
dans l'espace de Helmert
Selon la condition aux limites [Heiskanen et al., 1967],
l'anomalie de pesanteur de référence de Helmert peut être
exprimée comme suit :
2
(r
g
T rhef
+
R
) ( 3 . 2 1 )
Oil T rh ef( rg )
?Trh ef( r0 ) = Wrhef
(rg) -U0 (ö) décrit le potentiel
perturbateur de référence
de Helmert. Le sphéroïde de référence
est donné par l'ondulation co-géoïdale de
référence Nh (?)
ref . L'application de la formule sphérique de
Bruns [Bruns, 1878] au potentiel
perturbateur T rhef (rg),
l'ondulation co-géoïdale de référence Nh
(?)
ref peut être exprimée par la
formule suivante :
(3 . 22 )
T r
h ( ) ,
h ref g
N ref ? =
( )
ã 0 ( ö )
III.2 Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
La surface limite équipotentielle dans l'espace de
Helmert est donnée par l'ondulation co-géoïdale
Nh(?). Cette surface peut être évaluée
à partir des anomalies de pesanteur de Helmert
?gh(R) rapportée à la sphère de
référence de rayon R par l'application des formules de
Stokes et Bruns dans l'équation suivante [Heiskanen et al., 1967] :
N h (?) = R
?? ? g R S d
h ( ) ( )
ø ?
4 ( )
ð ã ö ? ? ?
0 ' 0
'.
(
3 . 23
)
avec S(ø) étant la fonction
sphérique homogène de Stokes donnée par :
S( ø )= 2n+ 1
c°
? P n (cosy) = 1 +
cosø - 6 sin ø - 5co w/
-3costyln(sin ø + sin2
ø ) (3 .24)
n=2 n- 1 2 2 2 2
Pour évaluer l'ondulation co-géoïdale
Nh par une intégration extérieure selon
l'intégrale de stokes dans l'équation (3.23), l'anomalie de
pesanteur ?gh(R) doit être connue au-dessus de la
Terre entière.
III.2.1 Fonction sphéroïde de
Stokes
Dans la pratique, les anomalies de pesanteur au-dessus de la
Terre entière ne sont pas disponibles. Pour cette raison Vanícek
et Kleusberg (1987) ont présenté l'idée de séparer
la sommation sur n dans la fonction de Stokes donnée par
l'équation (3.24) en partie de degré bas et partie de
degré haut :
n
8
S ( )
ø = ? ø ?
2 1
n + 2 1
n
n +
P (cos ) + P n (cos ).
ø ( 3 . 25 )
n - 1 n - 1
n = 2 n n
= + 1
Le deuxième terme dans l'équation (3.25)
représente la fonction sphéroïde de Stokes Sn> n
(ø), [Vanícek et al., 1987] et [Vanícek et al.,
1998]
8 2 1
) (3 . 26 )
n +
S ( ø ) = ? P n ø
(cos
n=n +
1n
-
n n
> 1
Substituons la décomposition de la fonction
sphérique de Stokes S(Ø) dans l'équation (3.23),
le co-géoïde peut être décomposé en partie de
basses et hautes fréquences [Martinec, 1993]
Nh
n
n +
h 2 1
R ? P n
n - 1
? n = 2
'
d?
ø)
R
g ( )
N h h
( )
? = ref ( )
? + N ( )
? = ?? ?
n n
0
? ' ?
> 4 ð ã
0
R
+ ?? ?
8
hg (R) ? 11 Pn
n=n+
2 nn
4 ð
? ' ? ? 0
d?
(cosø) (3 .27)
Le co-géoïde de
référence2 de degré n est donné
par les altitudes co-géoïdales de référence
Nhref et Nhn>n . Notons
que ces altitudes représentent le co-géoïde à haute
fréquence [Novák et al., 2001]. Selon cette approche ; on assume
le co-géoïde de référence, déterminé
à partir des données satellitaires, [Vanícek et al.,
1987]. La surface d'intégration par la formule de l'intégrale de
Stokes est utilisée pour calculer la partie à haute
fréquence du co-géoïde à partir des données de
pesanteur terrestre.
III.2.2 Fonction sphéroïde modifiée de
Stokes
Les valeurs de la fonction sphéroïde de Stokes S
n >n (v) varient proportionnellement
par rapport à la distance sphérique T. Le
domaine d'intégration ?0 de l'intégrale de Stokes peut
être décomposé en deux domaines. L'un concerne les zones
proches ?ø0 (ø?[0,
ø0]) et l'autre les zones éloignées
(ø? [ø0,R-]). [Vanícek et
al., 1987] :
(cosd
= +
)
3 . 2 8
(
?? if ?? d?
CIE (-Ivo
?? ? 0 ?? ?0-?ø0
Les contributions des zones proche et éloignées,
à haute fréquence, aux altitudes co-
géoïdales Nhn > n ,? '
ø 0 et Nh n > n , ? ' 0 - ? ' ø
0 sont données respectivement, par :
Nnn = 4 ð ã
?
'
d?
)
(3 . 3 0
(ø)
N n>nø0 (?) = 4
?? ? g (10 S n>n
ðã0 ?'??0
-?ø0
2 Sphéroïde.
(
)
3 . 3 1
?
ø ?
,ø) P n (cosø
)
(3 . 3 2
)
Chapitre III Problème de valeurs aux limites de Stokes
dans l'espace de Helmert
Selon Molodensky (1960), Vanícek et Kleusberg (1987) ont
proposé une modification de la fonction sphéroïde de
Stokes S n >n (ø) afin de minimiser au
sens des moindres carrés la
contribution de la zone éloignée (erreur de
troncature) Nh . La fonction sphéroïde
n > n ,? '0 -?'ø 0
modifiée de Stokes S n >n
(ø0 ,ø ) peut alors être
exprimée comme suit :
?
0,
,
0,ø
ø
0
0ø=IL
(y/ , )
> n
S n
(),
ø
?
ø
0 ,ø
>n
Sn
0
et, le développement en série de polynômes de
Legendre
où Qn(ø0,ø)
décrivent les coefficients de troncation pour la fonction
sphéroïde modifié de Stokes S n >n
(ø0 ,ø ) , le produit de (3.32) par
les polynômes de Legendre Pm(cosø)
donne :
S n> n (V/ 0 = ? 2
n2+ 1 QA/ 0
1
8n=n+
? ø ? 0, ð: S nn>
(v) P m (cos = ? 2 Qn 2 n
+1Q_ (w0 , v) Pn
(cosø) P
m(cosø) (3 . 3 3)
n=n + 1
8
En intégrant, par la suite, le résultat obtenu sur
l'intervalle ø?[0,ð ] on aura :
( 3 . 3 4 )
ø)sin ødø
(cos
Sn
>n
m
(w 0,ø) P
ð
Qn ?Pn
ø 0
(Y1 o ,
(cos
=
ø) P m (cos ø ) sin
ødø
En employant la propriété d'orthogonalité
des polynômes de Legendre exprimées dans les relations suivantes
:
(
)
3 . 3 5
(
)
3 . 3 6
0
ð
2
=
0,
ð
n
dø
ø ]2 sin ø
?ø ?
(cos
m : ? [P n
0
2 n + 1
ð
? P
n (cos ø ) P m (cos
ø ) sin ødø = 0
m
ð
n
0,
?ø ?
Et, en remplaçant S n >n
(w0 ,ø) de l'équation (3.31), les
coefficients de troncature Qn(ø0,ø) de la
fonction sphéroïde modifié de Stokes deviennent [Molodensky
et al., 1960].
ð
ð
0 ,ø) = ? S n> n
(ø) P n(cos ø )
sin ødø (3.37)
n (ø 0
,ø) = ? S n> n (ø)
P n(cos ø ) sin ødø
(3.37)
n (ø
ø =0
ø =0
III.2.3 Contribution de la zone proche à haute
fréquence au co-géoïde
L'anomalie de pesanteur de Helmert rapportée au
co-géoïde peut être divisée en anomalies de pesanteur
de basses fréquences (de référence) ? g hn <
n ( R ) = ? g rh ef(R) et anomalies de
pesanteur de hautes fréquences (résiduelles) ? ghn
>n(R) . L'anomalie de pesanteur de Helmert de basse
fréquence ? grhef (R) est évaluée selon
l'équation (3.21).
L'anomalie de pesanteur de Helmert à haute
fréquence gh (R)
? est évaluée en
n >n
soustrayant l'anomalie de pesanteur de référence
de l'anomalie de pesanteur de Helmert prolongée vers le bas au
co-géoïde suivant l'équation (2.75). En tenant compte de
l'équation (3.28) ; la contribution de la zone proche des anomalies de
pesanteur à haute fréquence de Helmert à l'altitude
co-géoïdale Nh peut être décrite
par :
n > n ,? 'ø 0
'
d?)
)
3 . 38
)
(
R
N h ? g h
= ??( )
R S ( ø
n n , ' n n n n
>
> ? >
ø 0 4 ð ã 0 '
0
? ? ?
ø
III.2.4 Contribution de la zone éloignée
à haute fréquence au co-géoïde
La contribution de la zone éloignée à haute
fréquence des anomalies de pesanteur de Helmert A gh
>n (R) à l'altitude co-gécalal Nh
est donnée par :
n > n ,fr0 -?'ø0
' ( 3 . 39 )
R
h h
N ( )
? = ?? ? g ( ) ( , )
R S ø ?
n n
> , ? ?
- n n
> n n ø d
>
' ' 0
0 ø 0 4ð
?
ø 0
ã 0 ? ? -
'
?0
Si les anomalies de pesanteur ne sont pas disponibles au-dessus
de la Terreentière,, le calculnumériquee peutêtree fait en
employantl'équationn suivante
( 3 .40 )
R 8 n
h h
N ( )
? = ? Q ( , )
ø ø ? T ( )
r Y
n n
> , ? ?
- 0 , n m
,
' 0 ' 0 n n m
m =-nn
ø 2 n n
= + 1
III.3 Effet indirect primaire
Aprèssl'évaluationn duproblèmee de
valeurs aux limites de Stokes dans l'espace de Helmert on obtient
leco-géoïdee de Helmert. Pour trouver legéoïdee
dansl'espaceeréel,, les effets topographiques et atmosphériques
indirects primaires sur les ondulationsgéoïdaless sont
évalués. Le potentiel perturbateur de pesanteur de
Helmert rapporté à la surface du géoïde (dans
l'approximation sphérique) vérifie la relation suivante:
T h ( R ) = T (R ) -
ä V t (R ) - ä V a (R ) ( 3 . 4 1
)
En appliquant la formule sphérique de Bruns aux potentiels
perturbateurs T(R) et de Helmert Th(R) on
obtient:
N
(?)
( 3 . 42 )
T(R)
ã0 (ö)
Th (R ) T
(R
ã0 (ö)
) -ä V t (R) -ä V a
(R)
ã0 (ö)
N h (?)
( 3 . 43 )
La relation entre l'ondulation du géoïde
N(Q) et l'ondulation du co-géoïde
Nh(.0) est présentée par la formule
suivante
Nh (?) T(R) Th
(R ) ä Vt (R ) ä
Va
ã0 (ö )
ã0 (ö ) ã0
(ö ) ã0(ö
(R)
)
(3 . 44
)
t
ä V (R)
ã0(ö)
représente l'effet topographique indirect primaire sur la
hauteur géoïdale.
t
ä V (R)
ã0(ö)
représente l'effet atmosphérique indirect primaire
sur la hauteur géoïdale.
III.3.1 Effet topographique indirect primaire
Vu la décomposition de la densité topographique
latéralement variable ñ(Q) en densité
topographique latéralement variable moyenne et en densité
topographique « perturbatrice », (Eq. 2.36), et en retranchant la
singularité faible de l'intégrale de Newton, le potentiel
gravitationnel des masses topographiques Vt(R)
(réduites sur le géoïde) peut être écrit comme
suit [Martinec, 1993] :
V 4ðG ñ 0 H°(?) [
R + 2 H°(? )] + G ñ 0 ?? ? N
(R , ø , r' ) r '2 dr
' d?
')
?
'
t
(R )
'
?
?
)
r'=R+H°(
?0
?? äñ (?' ) ?
'? ?0 r'=R
+ G
(3 . 45 )
(
N R , ø , r' r dr '
d?' ,
)
12
R+H
où le premier terme de la somme décrit le potentiel
gravitationnel de la calotte sphérique de Bouguer rapporté au
géoïde.
De même, le potentiel gravitationnel des masses
topographiques condensées Vct(R)
référé sur le géoïde peut être
décrit comme suit [Martinec, 1993] :
3 3
V ct
'3 3
(R) =4ðG ñ r t 3 R R
+ G ?? 0 r t 3 -rt
N(R , ø ,
R)A2
?'??0
|
+ G ??äñ(?
?0
|
|
|
r '3 - R3
|
N (R , ø , R)
d?' , (3 . 46
|
)
|
|
3
|
Le premier terme représente le potentiel gravitationnel de
la couche sphérique de condensation.
Par substitution du potentiel gravitationnel des masses
topographiques Vt (R) dans l'équation (3.45) et le
potentiel gravitationnel des masses topographiques condensées
Vct(R) dans l'équation (3.46), dans la formule du
potentiel gravitationnel résiduel des masses topographiques
äVt(R), l'effet topographique indirect primaire sur la
hauteur géoïdale prend la forme suivante [Martinec, 1993] :
R)
ñ0 ?? ?
N(R , ø , r' ) r
'2 dr '
G
RH
°
äV [ H°
]2 rt3 - R3 G
ã0 (ö)
ã0 (ö) 4 ðñ0 2 3R
ã0(ö)
R+H
'3 3
N R
r')r dr ' d?
, ø
12 '
ã0 (ö) r t
- rt
ño ??
N(R , ø , R)
d?'+ ?? äñ(? ' ) ?
?a? 0 3 ã0 (ö)?'? ?
0 r'=R
3
??
G
(ö)
ã0
(cr)- 3 R N(R , ø
, R)d?
III.3.2 Effet atmosphérique indirect
primaire
L'effet atmosphérique indirect primaire sur l'altitude
géoïdale peut être décrit par la forme de base
suivante [Novàk, 2000] :
äVa (R )
r(R)Vca (R)
ã 0 0 ã0 (()
ã0(0)
( )
G
(3 .4 8)
?? ? ñ(r' ) N ( R
,v , r' ) r '2 dr ' ??
? ña (r' ) N ( R ,v,
R) r '2 dr ' d?'.
ã0
(0)
0r '= R + H
°( ST ) ã0 (ö)?'?
P=R +H°(?')
L'ordre de grandeur de l'effet atmosphérique indirect
primaire sur l'altitude géoïdale est relativement plus petit que
l'effet topographique indirect primaire sur la hauteur géoïdale.
De ce fait il peut être évalué à un
degré d'exactitude suffisant avec modèles atmosphériques
existants [Novàk, 2000].
Une fois le potentiel perturbateur réel
déterminé sur le géoïde, il peut être converti
en hauteurs géoïdales par la formule de Bruns. Le potentiel
perturbateur réel T(rt) à l'extérieur de
l'atmosphère est obtenu à l'aide d'un prolongement continu de
T(R). Le potentiel de pesanteur réel W, pour n'importe
quel point donné, en dehors de l'atmosphère, est alors simplement
obtenu à partir de l'équation (1.2).
Chapitre IV
Application
IV.1 Introduction
Cette partie consiste en la mise en application de la
théorie développée dans les chapitres
précédents à travers la détermination du
géoïde et du quasi-géoïde1 ; leur calcul
fait appel à un ensemble de méthodes établies depuis
longtemps: Gauss (1828), Bessel (1837), Listing (1873), Stokes (1849) et,
Helmert (1884).
Le géoïde est calculé à l'aide des
programmes GRAVSOFT et d'autres programmes réalisés au LAREG
(Laboratoire de Recherche en Géodésie de l'Institut
Géographique National, Marne la Vallée) et à l'ESGT
(École Supérieure des Géomètres et Topographes) [H.
Duquenne, 2005], en tenant compte des noyaux modifiés de Stokes.
IV.2 Données utilisées
Les données utilisées sont une combinaison de
données gravimétriques, du modèle géopotentiel et
du modèle numérique de terrain.
Données gravimétriques
La zone choisie dans cette application s'étale de
[32°, 37°] en latitude et [-3°, 5°] en longitude et
contient 2064 points. Ces données sont acquises auprès du BGI
(Bureau Gravimétrique International). Elles sont réparties sur le
territoire Algérien et elles sont assemblées dans un fichier
nommé EOL dont dispose le CTS. Ce choix est dû à la
densité de points relativement élevée et à la
nature du terrain dans cette région.
Un programme informatique est élaboré pour
générer une grille gravimétrique
quireprésente la zone d'étude d'espacement en latitude
et en longitude (??,?ë) de (5'x5') à partir
d'un échantillon de données répartis
aléatoirement sur la zone d'étude pour des données
d'anomalies à l'air libre où on introduit les limites Nord, Sud
et le pas en latitude, et Est, Ouest et le pas en longitude.
1 Surface permettant la conversion des hauteurs
ellipsoïdales en altitudes normales.
Données du modèle
géopotentiel
Le modèle géopotentiel utilisé est le
modèle EGM96 (Earth Geopotential Model - 1996), développé
jusqu'au degré et ordre 360. Il englobe les résultats
définis à partir de l'analyse des orbites des satellites et les
données gravimétriques de l'ancienne Union soviétique,
l'Amérique du sud et l'Afrique. Il contient les coefficients harmoniques
du potentiel et les erreurs moyennes correspondantes.
Le modèle global d'élévation TUG87 a
été également utilisé, il contient la
représentation harmonique sphérique de la topographie globale au
degré et à l'ordre 180. Les coefficients pour la puissance de la
topographie globale jusqu'au degré et à l'ordre 90 sont
également disponibles pour l'évaluation des effets dus aux masses
topographiques éloignées.
Figure IV. B : Secteur du modèle
numérique de terrain englobant l'Algérie
(source).
Modèle numérique de terrain
Le calcul des effets de la topographie nécessite
l'existence d'un modèle numérique de terrain de haute
résolution. A cette fin et par manque d'un MNT précis sur
l'Algérie, un modèle a été
généré à partir des informations
altimétriques liées aux observations gravimétriques
fournies par le BGI; ceci signifie que ce MNT n'est pas plus homogène
que la répartition des stations gravimétriques et comporte les
mêmes lacunes. C'est bien évidemment un handicap pour une solution
définitive de géoïde.
Le modèle numérique de terrain utilisé
dans cette application est le modèle GTOPO30, c'est un modèle
numérique global d'élévation. Il est le résultat
d'une collaboration entre le personnel du centre de surveillance
géologique EROS Data Center en 1996. GTOPO30 a été
développé pour satisfaire au besoin d'utilisation des
données géospatiales et des données topographiques
à l'échelle régionale et continentale.
Figure IV.C : Découpage du modèle
numérique GTOPO30
Deux modèles numériques de terrain ont
été employés dans ces calculs numériques: le M.N.T
large (5' x 5') pour les zones éloignées du point
considéré et le M.N.T fin (30" x 30") pour les zones proches de
ce même point. Les surfaces océaniques sont indiquées par
les valeurs 9999. Ces deux MNT sont illustrés dans les figures suivantes
(Fig.IV.1) et (Fig.IV.2)
Figure IV.1 : Modèle numérique de
terrain (30»x30»)
Figure IV.2: Modèle numérique de
terrain (5'x5') IV.3 Principaux programmes utilisés
Les différents programmes utilisés pour
l'application de la détermination du géoïde
gravimétrique sont :
GEOGRID (programme écrit par
Tscherning et al., 1994)
Un programme informatique est élaboré pour
générer une grille gravimétrique à partir d'un
échantillon de données répartis aléatoirement.
Le calcul fait intervenir les routines suivantes :
DTE.f Ce programme calcule la contribution des
zones proches à l'effet topographique direct sur la pesanteur.
DTF.f Ce programme calcule la contribution des
zones éloignées à l'effet topographique direct sur la
pesanteur.
DAE.f Ce programme calcule l'effet
atmosphérique direct sur la pesanteur.
PTE.f Ce programme calcule la contribution des
zones proches à l'effet topographique primaire direct sur l'ondulation
du géoïde.
PTF.f Ce programme calcule la contribution
des zones éloignées à l'effet topographique primaire
direct sur l'ondulation du géoïde.
STE.f Ce programme calcule la contribution des
zones proches à l'effet topographique secondaire indirect sur la
pesanteur.
STF.f Ce programme calcule la contribution des
zones éloignées à l'effet topographique secondaire
indirect sur la pesanteur.
GIN.f Ce programme transforme les anomalies de
pesanteur via la formule de Stokes-Helmert en ondulations
géoïdales.
IV.4 Résultats numériques
Les valeurs statistiques des effets topographiques et
atmosphériques de pesanteur, décrits au chapitre II, sont
données dans les tableaux (IV.1), (IV.2) et (IV.3).
|
Paramètre
|
Min
|
Max
|
Moy
|
Dev-Std
|
Unite
|
|
Effet du terrain
|
-0,06
|
417,06
|
13.10
|
41,6
|
mGal
|
|
Effet du terrain
condense
|
-110,75
|
468,7
|
1.69
|
29,92
|
mGal
|
|
Effet direct
|
-166,99
|
387,03
|
11.41
|
36,17
|
mGal
|
|
Effet secondaire indirect
|
-0.4721
|
-0.0009
|
-0.0250
|
0.0519
|
mGal
|
|
Effet primaire indirect
|
-1,283
|
-0,003
|
-0,136
|
0,095
|
m
|
Tableau IV.1: Effets topographiques de
pesanteur <<zones proches»
- zone étude sur
l'Algérie-
|
Paramètre
|
Min
|
Max
|
Moy
|
Dev-Std
|
Unite
|
|
Effet du terrain
|
-31,38
|
117,136
|
60.938
|
36,529
|
mGal
|
|
Effet du terrain
condense
|
-31,43
|
117,424
|
61.039
|
36,628
|
mGal
|
|
Effet direct
|
-0,311
|
0,066
|
-0.101
|
0,105
|
mGal
|
|
Effet secondaire indirect
|
-0.059
|
0.068
|
-0.007
|
0.0256
|
mGal
|
|
Effet primaire indirect
|
-0,079
|
0,165
|
0,0615
|
0,0419
|
m
|
Tableau IV.2: Effets topographiques de
pesanteur <<zone séloignées»
-zone étude sur
l'Algérie-
|
Paramètre
|
Min
|
Max
|
Moy
|
Dev-Std
|
Unité
|
|
Effet atmosphérique direct
|
0,6603
|
0,9064
|
0,807
|
0,0295
|
mGal
|
|
Accélération du plateau sphérique
condensé
|
-0,8692
|
-0,715
|
-0,787
|
0,032
|
mGal
|
|
Accélération résiduelle de
l'atmosphère accidentée
|
-0,102
|
0,042
|
0,0127
|
-0,0063
|
mGal
|
Tableau IV.3: Effets atmosphériques de
pesanteur - zone étude sur l'Algérie-
Les contributions des zones proches au terrain, au terrain
condensé, aux effets topographiques directs, et aux effets
topographiques secondaires indirects sur la pesanteur, calculées sur la
topographie sont décrites dans les figures suivantes :
Latitude(degre)
37
36
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.3.1 Contribution des zones proches
au terrain topographique (mgal)
37
36
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.3.2 Contribution zones proches au
terrain topographique condensé (mgal)
Latitude(degre)
37
36
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.3.3 Contribution des zones proches aux
effets topographiques
directs sur la pesanteur (mgal)
Latitude(degre)
37
36
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.3.4 Contribution des zones proches
aux effets topographiques secondaires
indirects sur la pesanteur (mgal)
Les intégrales de Newton ont été
calculées en utilisant les altitudes de point de la grille 30"x30" dans
un rectangle de 1°x1° centré au point de calcul. Les altitudes
moyennes de 5'x5' ont été employées pour
l'intégration au-dessus du reste du chapeau sphérique.
Les effets correspondants pour les zones
éloignées, décrits également au chapitre II, sont
illustrés par les figures (IV.4.1) et (IV.4.2) (IV.4.3). Quant aux
valeurs de l'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur nous les
avons représentées sur les figures (IV.4.4) et (IV.4.5).
37
36
Latitude(degre)
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.4.1: Contributions des zones
éloignées au terrain topographique (mgal)
37
36
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.4.2: Contribution des zones
éloignées au terrain topographique condensé
(mgal)
37
36
37
36
Latitude(degre)
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.4.3: Contribution des zones
éloignées aux effets topographiques directs sur la pesanteur
(mgal)
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.4.4: Contribution des zones
éloignées aux effets topographiques secondaires indirects sur la
pesanteur (mgal)
37
36
Latitude(decgre)
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.4.5: Contribution des zones proches
aux effets topographiques
secondaires indirects sur la pesanteur (mgal)
Les résultats de la contribution des zones proches et les
zones éloignées aux effets topographiques primaires indirects sur
l'ondulation du géoïde sont représentés dans les
figures suivantes:
37
36
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.5.1: Contribution des zones proches
aux effets topographiques primaires
indirects sur l'ondulation du
géoïde (m)
37
36
Latitude(degre)
35
34
33
32
-2 -1 0 1 2 3 4
Longitude(degré)
Figure IV.5.2: Contribution des zones
éloignées aux effets topographiques primaires
indirects sur
l'ondulation du géoïde (m)
L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur ainsi que
l'accélération du plateau sphérique condensé et
l'accélération résiduelle de l'atmosphère
accidenté sont indiqués dans les figures (IV.6.1), (IV.6.2) et
(IV.6.3)
37
36
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.6.1 : Effet atmosphérique sur
la pesanteur (mgal)
37
36
Latitude(degre)
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.6.2: Accélération du
plateau sphérique condensé (mgal)
37
36
Latitude(degre)
35
34
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.6.3: Accélération
résiduelle de l'atmosphère accidenté (mgal)
Les ondulations totales du géoïde N sont
obtenues à l'aide de la formule (3.44) en
Vt R
ajoutant les effets topographiques indirects primaires sur la
hauteur géoïdale ä ( ) et les
ã 0 ( ö )
Vt R
effets atmosphériques indirects primaires sur la hauteur
géoïdale ä ( ) aux ondulations du
ã 0 ( ö )
co-géoïde Nh.
Le tableau (IV.4) présente les statistiques correspondant
aux ondulations du co-géoïde Nh et les ondulations du
géoïde N.
|
Paramètre
|
Min
|
Max
|
Moy
|
Dev-Std
|
Unité
|
|
Ondulation du co-géoïde
|
6.21
|
68.91
|
33,43
|
13,65
|
m
|
|
Ondulation du géoïde
|
5,61
|
68,69
|
33,20
|
13,96
|
m
|
Tableau IV.4: Statistiques des ondulations du
géoïde et du co-géoïde
37
36
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.7 : Ondulation du
co-géoïde Nh (m)
37
36
|
La ltitu d e(d eg re)
|
35
34
|
33
32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Longitude(degré)
Figure IV.8: Ondulation du géoïde
N (m)
Pour mettre en évidence la précision du
modèle du géoïde gravimétrique
déterminé, les hauteurs géoïdales calculées
par voie gravimétrique sont comparées aux ondulations du
géoïde dérivées à partir des observations GPS
et de nivellement de précision (points GPS nivelés) tel que :
N (GPS/Nivellement) = he - H°
Où : he est la hauteur
ellipsoïdique obtenue par GPS et H° est l'altitude
orthométrique déterminée par nivellement. Ces trois
quantités doivent correspondre au même ellipsoïde de
référence et être de précision comparables.
Dans le cas de notre application, l'absence d'information quant
à la précision des mesures gravimétriques, l'inexistence
d'un modèle numérique de terrain réel ainsi que
l'insuffisance des observations ne permettent pas d'effectuer une analyse de
précision réelle et fiable.
CONCLUSION
La théorie de Stokes-Helmert consiste à
résoudre l'intégrale de Stokes par la deuxième
méthode de condensation de Helmert dans laquelle toutes les masses
(topographie et atmosphère) se situant au-dessus du géoïde
sont condensées en une mince couche sur le géoïde.
La résolution du problème de valeurs aux limites
géodésiques dans l'espace de Helmert nécessite une
évaluation des valeurs moyennes des anomalies de pesanteur de Helmert
sur la surface de la Terre. Ces valeurs dépendent des valeurs moyennes
des anomalies de pesanteur à l'air libre, des corrections
ellipsoïdales à la perturbation de pesanteur, de la correction
ellipsoïdale due à la l'approximation sphérique, des effets
topographique et atmosphérique directs, des effets topographiques et
atmosphériques indirects secondaires et de la correction du
géoïde/quasi-géoïde.
Puisque les anomalies de pesanteur à l'air libre ne
sont pas appropriées à l'interpolation, leurs valeurs moyennes
sont calculées à partir des anomalies moyennes de Bouguer en
soustrayant les valeurs moyennes de la correction gravimétrique du
terrain et de la pesanteur du plateau de Bouguer avec la densité
topographique moyenne.
Des valeurs moyennes des anomalies de Bouguer sont
déterminées à l'aide de la moyenne d'un certain nombre de
valeurs discrètes, qui sont prévues sur la grille
régulière des anomalies de Bouguer complètes aux points
d'observation.
Pour résoudre le problème de valeurs aux limites
de Dirichlet, les anomalies moyennes de pesanteur de Helmert sont
prolongées vers le géoïde en appliquant l'équation
discrète de l'intégrale de Poisson.
Le prolongement descendant des anomalies de pesanteur dans
l'espace de Helmert dans la grille de 5'x5' peut réduire en partie
l'instabilité du mauvais effet. Pour cela l'espace sans topographie est
plus approprié au prolongement descendant que l'espace de Helmert. Pour
cette raison, seulement l'effet des masses topographiques sur la pesanteur peut
être soustraite des anomalies de pesanteur sur la surface de la Terre.
L'attraction universelle des masses topographiques condensées est alors
ajoutée aux anomalies de pesanteur prolongées sur le
géoïde.
Les anomalies de pesanteur de référence et le
sphéroïde dans l'espace de Helmert sont évalués
à partir des coefficients géopotentiels jusqu'au degré
20.
Pour obtenir le géoïde, le co-géoïde
(donné par les hauteurs co-géoïdales discrètes) est
transformé dans l'espace réel par l'évaluation des valeurs
discrètes des effets
Conclusion
topographiques et atmosphériques indirects primaires.
L'effet topographique indirect primaire peut être calculé à
partir des formules mathématiques, tandis que l'effet
atmosphérique indirect primaire peut être considéré
constant.
Pour l'évaluation des effets topographiques et
atmosphériques sur le potentiel, le domaine d'intégration est
coupé en domaine des zones proches et celui des zones
éloignées. Les contributions de la zone proche sont alors
évaluées par l'intégration numérique au-dessus de
la grille suffisamment dense des élévations du modèle
numérique de terrain (particulièrement l'intégration
numérique de l'effet topographique et l'effet topographique
condensé exige une densité des données d'altitude au
secteur intermédiaire entourant le point de calcul).
L'exactitude réelle de la détermination de
géoïde est limitée tout d'abord par l'exactitude et la
distribution spatiale des observations terrestres de pesanteur et des altitudes
orthometriques. D'autres attributs importants son l'exactitude de la
formulation théorique et l'exactitude des solutions
numériques.
Les facteurs principaux limitant la théorie de
détermination du géoïde sont l'approximation de la
densité topographique réelle par la topographie de Stokes, la
détermination des données de pesanteur pour le prolongement
descendant, l'effet topographique direct primaire, et l'approximation
sphérique du géoïde dans le cas de l'évaluation des
effets topographiques.
Pour le cas de l'Algérie, on a utilisé les
données gravimétriques du fichier EOL et sont au nombre de 12000
points pour tout le territoire Algérien. Ce nombre est très
insuffisant pour espérer une bonne précision d'un modèle
régional de géoïde ; d'où la nécessité
de densifier le réseau gravimétrique Algérien.
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Abstract
There are several methods for the determination of the geoid
and are in service around the world. One of the most advantageous methods is
the approach of Stokes-Helmert developed at the University of New Brunswick
(UNB) in Canada. In Stokes's theory, the geodetic boundary value problem (GBVP)
of third kind is formulated under the conditions of harmonicity of the
disturbing potential and absence of topographical masses outside the boundary
surface which is the geoid. In practice, these conditions cannot be carried out
exactly and, so of the simplifying assumptions on the density of topographical
masses and the Poisson's integral are introduced for obtaining the solution of
the problem. The reformulation of the GBVP in «Helmert's space»
allows modeling better of topography and thus leads to a more precise estimate
of the solution. The objective of this report consists in using the
Stokes-Helmert scheme for the definition of the BVP and expressing the gravity
anomaly in Helmert space. This will require holding account rigorously, in the
determination of the solution, the direct topographic and atmospheric effect,
the ellipsoidal corrections and the «downward continuation» of the
gravity anomaly.
Key words: gravity Anomaly - atmospheric effect
- topographic effect - Geoid - gravitational Potential - geodetic boundary
value problem.
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