Controle neuro-flou robuste des systèmes non-linéaires

On obtiens A ?  = U  et A ? = .

Exemple en logique floue :

Soit un ensemble de référence U = { a , b , c , d , e , f , g }.

Soit C et D deux sous-ensembles de U .

C	0.4	0.8	1	0.8	0.2	0.5	0.1
D	0	0.5	0.3	0.9	1	0.7	0

a b c d e f g

	0.6		0.2	0	0.2	0.8	0.5	0.9
CnD	0	0.5		0.3	0.8	0.2	0.5	0
C?D	0.4	0.8		1	0.9	1	0.7	0.1
Cn	0.4	0.2		0	0.2	0.2	0.5	0.1
C?	0.6	0.8		1	0.8	0.8	0.5	0.9

On obtiens : Cn ET C ? U .

D. Le produit cartésien :

Soient A1 , A2 , ... , An des ensembles flous définis sur les univers de discours U1 , U2 , ... , Un respectivement , leur produit cartésien est un ensemble flou ( relation flou ) noté par :

A = A1 . A2 . .... An , avec une fonction d'appartenance définis par :

ì_{A1. A2.... An} ( x₁ x₂ ... x_n ) = min [ ì_A1 (x₁) , ì_A2 (x₂) , ... , ì_An(x_n) ] _. ( I . 10)

Chapitre 1 : La logique floue

Exemple :

ì_A1 (x₁) ì_A2 (x₂)

ì_A1 (x₁) ì_A2 (x₂)

Figure I.6 : le produit cartésien en logique floue .

E. La concentration de A :

La concentration de A noté con (A) est défini par :

ì _conA (x) = ì²_A(x) ( I . 11)

F. La dilatation :

La dilatation de A noté dil (A) est défini par :

ì _dil(x) = vì_A(x) ( I . 12)

G. Egalité et inclusion des sous ensemble flous :

Deux sous ensembles flous A et B sont égaux , si leur fonctions d'appartenance prennent la même valeur pour tout élément de U :

x U : ì_A(x) = ì_B(x) ( I . 13)

H. Normes et conormes triangulaire :

une norme triangulaire (t-norme) est une fonction :

T : [0.1] . [0.1] [0.1]

qui vérifie la commutativité l'associativité et un élément neutre 1 .

Chapitre 1 : La logique floue

cas particulier :

L'opérateur T = min est une norme triangulaire , toute t-norme peut servir à définir l'intersection de deux sous ensembles flous A et B , tel que C = A n_T B , que l'on associe une fonction d'appartenance définis par :

x U : ì_c(x) = T (ì_A (x) , ì_B(x) ) (I . 14)

Une conorme triangulaire ( t-conorme ) est une fonction :

?: [0.1] . [0.1] [0.1]

qui vérifie la commutativité , l'associativité et un élément neutre 0 .

Toute t-conorme peut servir à définir l'union de deux sous ensembles flous A et B ,

tel que :

D = A?_T B , que l'on associe une fonction d'appartenance définie par :

x U : ì_D(x) = ? ( ì_A(x) , ì_B(x) ) (I . 15)

Toute norme a une co-norme associé (et vis versa ) par les lois de Morgan :

?( x , y ) = 1 - T (1-x , 1-y )

T ( x , y ) = 1- ? (1-x , 1-y)

Parmi les couples normes/co-normes d'opérateurs T/ ? , min / max est le plus fréquemment utilisé car il maintien le plus grand nombres des propriétés de l'intersection et de l'union habituelles , bien qu'il existe d'autre opérateurs comme [8] .