Annexes
Annexe AI : Etude à l'état
Chapman-Jouguet (CJ)
En différenciant l'équation (1.8) et en sachant
que h0, ??0, ??0 sont des constantes, on obtient :
1
??h1 = ??1????1 + ??1????1 = 2 [????1(??0 + ??1) + ????1(??1 -
??0)] (1.10)
Où ?? représente l'entropie.
Le point Chapman-Jouguet (CJ) correspond à
l'état de mélange réactif où la condition de
tangence entre la droite de Rayleigh-Michelson et l'adiabatique de Crussard est
satisfaite, dans ce cas ????1 = 0.
???? = ??1 - ??0 = ??1 (1.11)
( ????)?? ??0 + ??1
Où ??1 représente la célérité
du son. Avec l'équation (1.10), on en déduit :
2 = ????1
2 +
????1
??2??1
2 > 0 (1.12)
????1
??2??1 ??0 - ??1 ??2??1
2??1
1
2??1
L'équation (1.12) montre dans le plan (??, ??) que le
point CJ correspond à un minimum d'entropie sur la branche des
détonations. Dès lors, la condition de sonicité au point
de tangence CJ est établie comme suit :
|
2??1
|
??2??1
|
??2
1
|
??1 - ??0
|
??12 + ????1
??12 = 0 = ??1 - ??1 (1.13)
|
|
=
??0 - ??1
|
|
|
????1
|
??0 - ??1
|
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On a alors ??1 = ??1.
Cas des gaz polytropiques :
Le gaz polytropique est un gaz qui obéit à la loi
des gaz parfaits ???? = ???? et qui vérifie
??
la relation ?????? = ???????? (avec ?? = ???? le rapport
des chaleurs massiques et ?? = où
???? ????
????: masse molaire). De ces expressions, de nombreuses
simplifications apparaissent pour les équations (1.2), (1.3) et (1.4) en
supposant que l'enthalpie vaut h = ?????? = ?????? ??-1 et en tenant
compte de la chaleur libérée par les
réactions chimiques Q reliant h0 et h1. Dès lors, le
système devient :
??1 - ??0
|??0| = ?? - ??0 = ??0v (1.14)
??0 - ??1
|??0| - |??1| = ??1 - ??0 = v(??1 - ??0)(í0 + ??1)
(1.15)
|
??1??1
??1 ??0
??1 - 1
|
??0??0
|
1
?? = 2 (??1 - ??0)(??0 + ??1) (1.16)
|
|
??0 - 1
|
(- ???? = ??1 ??1 = ??1 - ??0
????)(1.17) ??1 ??1 ??0 - ??1
|
Si la détonation est dite forte c'est-à-dire que
??2 » ??02 = ??0
??0
??0
|
, ??0 étant la célérité du
|
son, les valeurs de ??0, ??1 peuvent
différer fortement lorsqu'il y a une forte libération
d'énergie.
Le rapport ??1 peut s'exprimer à l'aide
de l'équation (1.16) :
??0
??0 + 1
= ??0
??0 + 1
??0
1
??1
??0 - 1
??0+ 2????0
??1 ??0 - 1 ??1 ??1
(1.18)
(1.19)
??0[ 2
??1 - 1 ??1 - ??0 2 - 1 ??0 - 2??0??
??02 = (??- ??0)2 =
(??1 - ??0) (??0 + 1
??0 - 1 ??1 + ??0)
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Des équations (1.14) et (1.15) en substituant
??1 il vient :
La condition de tangence (1.17) s'écrit comme ceci :
|
??1
|
??12
|
=
|
0
|
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
|
|
??1 ??0 ??1
??0
=
|
|
??0
??1 1) ??1 1
|
|
(??1 +
??0 -
Ou encore :
(??1 - ??0)
|
|
??0 ??1 =
- ??0
??1 (??1 + 1) - ??0
Dès lors d'après (1.14) on peut écrire :
??0(?? - ??0)2 = ??1 (??1 + 1) - ??0
On injecte ainsi ??1 dans l'expression (1.19)
4 2
??0 (??12 - 1)??
2(??- ??0 [ ??12 - ??0
]
(??-
) )
|
|
- + 2
??0 ??0 (??0 - 1)??0 ??0
|
+ 2
??0
|
La solution de cette équation, dans le cas de
détonation, est fournie par Stanyukovich :
|
|
|
|
|
|
|
?? - ??0 =
??0 v(??1
|
-
|
1
)
|
??
|
??0
+
|
+ ??1
|
|
2
|
|
2
??0
|
(??0
|
|
- 1)??0
+ v(??1 + 1
2 ) ?? 2 + ??0 - ??1 (1.24)
??0 (??0 - 1)??0
Avec la chaleur de réaction Q qui peut s'exprimer comme
ceci :
4
(?? - ??0 + ??12
??02 ??0 2
??0 )
(?? - ??0) ??0
??12 - ??0
(1.25)
(??0 - 1)??0
)
??=
??12 - 1
2
2
Le tableau A.1 reprend les grandeurs caractéristiques
à l'état CJ dans un gaz polytropique avec ?? constant (?? = ??0 =
??1) , et dans le cas d'un choc forts ??2 »
??02 .
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|
|
|
Gaz idéal Cp constant
|
|
|
Gaz idéal Cp constant et choc fort ??2 »
??02
|
|
??
|
-
|
??0
=
|
|
|
|
|
|
??
1
v(??2 -
v(??2 - 1
|
1
|
??
|
|
??= v2(??2 - 1)??
??0??2
|
|
??0
|
??1
??0
|
2 ) 2 + +
??0 2
1 ??0
= + 1)
((?? -
??0)2
|
)
|
??0 2
|
|
?? + 1 ??0
??1 ??0 ?? + 1 ??0
= = +
|
??1 =
?? + 1
??1 ?? + 1
=
|
|
??0 ??1 ?? ????1
??1 ??1??1
=
|
??0 ??
T1 ?? ??2
=
|
|
??0 ??0??0
??1 = ??1 = v??????1
??1 + ??1 = ?? - ??0
|
2
??0 ?? + 1 ??0
????
|
|
??1 =
?? + 1
??
|
|
??1 = ??+ 1
|
Tableau A.1 - Caractéristiques de
détonation CJ pour un gaz polytropique à ã constant sous
l'hypothèse d'un choc fort
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