III.2.3 Problème de Couplage pression-vitesse
La résolution numérique de l'équation
(III.17) n'est pas facile et directe surtout si la variable est l'une des
composantes de vitesse, parce que les coefficients ai (i= E, N, W, S)
apparaissant dans l'équation de discrétisation dépendent
de ces variables et les termes de sources des équations de
quantités de mouvement, impliquent les gradients de pression or nous ne
disposons pas d'équation pour cette variable jusqu'à
présent. Pourtant, la résolution numérique consiste en une
résolution séquentielle des équations de conservation de
la quantité de mouvement et de continuité. Ce couplage
pression-vitesse qui fait la particularité des écoulements
incompressibles, rend la résolution difficile et plusieurs algorithmes
ont été développés pour pouvoir faire intervenir la
pression dans l'équation de continuité.
Parmi ces algorithmes, nous avons entre autres :
> MAC (Marker-And-Cell) de Harlow & Wesh (1965) ;
> Projection Method de Chorin (1968) ;
> SMAC (Simplified MAC )de Amsden & Harlow (1970) ;
> FS (Fractional Step) de Yanenko (1971) ;
> HSMAC (High Simplified MAC) de Hirt & Cook (1972) ;
> SIMPLER (SIMPLE Revised) de Patankar (1980) ;
> SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)
de Patankar (1980); > SIMPLEC (SIMPLE Consistent) ;
> PISO (Pressure-Implicit with Splitting of Operators).
Les trois derniers algorithmes à savoir le SIMPLEC,
SIMPLE et PISO sont intégrés dans le code de calcul FLUENT. Nous
portons notre choix sur l'algorithme de SIMPLE, qui est recommandé pour
les écoulements en régime permanent. Avant de présenter
cet algorithme, nous commençons par décrire la procédure
pour établir l'équation algébrique de la pression.
Rédigé et soutenu par TIENTCHEU NSIEWE Maxwell
Phidelo Page 48
« Etude de la convection naturelle turbulente dans
une enceinte à paroi chauffé »
III.2.3.1 Équation algébrique de
pression
Lorsque le champ de pression est connu, le champ de vitesse est
obtenu directement par la
résolution des équations de quantité de
mouvement. Dans le cas où ce champ est inconnu, l'établissement
d'une équation de pression est nécessaire par
établissement d'une correction. L'intégration de
l'équation générale de transport pour l'équation de
quantité de mouvement sur le volume de contrôle donne les
équations suivantes+ :
? III-19a
? III-20b
Avec bu et bv contenant tous les termes
sources de l'équation sauf ceux de la pression, les deux autres termes
(Pp Pi) Ai et (Pp Pi) Ai représentent
les forces de pression à travers les surfaces Ai (i=E, N, S, W).
Supposons, pour démarrer que la pression est connue (estimation P*) et
calculons le champ des vitesses correspondant à vi* et ui*.
? III-21 a
? III-22 b
Les vitesses calculées avec une estimation de la pression
ne satisfont pas, en général
l'equation de continuité, nous les corrigeons en
utilisant, comme précédemment, une correction en posant :
(Exposant :(*) pour l'estimation, (^) pour sa correction.
III-23a
III-24b III-25c
Si l'on retranche les équations estimées de celles
corrigées on trouve :
? III-26a
? III-27a
Pour des raisons numériques on néglige les termes ?
et ?
par rapport aux termes de pression, les équations
deviennent respectivement (Patankar V., 1980) :
III-28a
|
Les champs des vitesses seront corrigés à partir
de (3.22) par les équations suivantes :
|
III-29b
III-30a III-31b
|
Définissons les pseudo-vitesses Ui» et Vi» selon
les expressions suivantes :
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une enceinte à paroi chauffé »
? III-32a
? III-33b
Les équations (3.23) peuvent être écrites
sous la forme :
III-34a
III-35b
Pour trouver l'équation discrétisée de p'
(équation de correction de pression), il suffit
d'écrire l'équation de continuité comme
une équation de correction de pression. L'équation de
continuité discrétisée pour un volume de contrôle
limité par les faces E, N et S s'écrit :
| 
