Memoire Online - La mécanique statistique des membranes biologiques confinées

Titre de la thèse : La Mécanique Statistique des Membranes Biologiques Confinées

Laboratoire Physique des Polymères et Phénomènes Critiques (LPPPC) Membres du Jury :

Université Hassan II-Mohammedia-Casablanca, Faculté des Sciences Ben M'sik, BP 7955 Casablanca.

Remerciements

Le travail de recherche présenté dans cette thèse a été effectué au sein du Laboratoire de Physique des Polymères et Phénomènes Critiques (LPPPC), de la faculté des Sciences Ben M'sik de Casablanca, Sous la direction de Monsieur le Professeur Mabrouk BENHAMOU.

J'exprime ma profonde gratitude et ma reconnaissance au Professeur M. Benhamou, le Directeur de (LPPPC) pour m'avoir accueilli au sein de son laboratoire et pour l'aide précieuse qu'il m'a apportée. Je le remercie également pour m'avoir encadré, pour ses conseils, son soutien, sa disponibilité et surtout pour ses qualités humaines.

Le Professeur M. Chahid a contribué à l'encadrement de ce travail et participé à son élaboration, je le remercie chaleureusement pour l'intérêt qu'il a apporté à mon travail et pour sa disponibilité et son conseil.

Mes vifs remerciements et mes amitiés les plus sincères s'adressent à Mesdames et Messieurs les Professeurs, H. Ridouane, F. Ben2ouine, A. Derouiche, et A. Bettachy pour avoir participé à ma formation en Master de Physique Matière et Rayonnement.

J'exprime mes sincères remerciements à Messieurs N. Benayad, de la Faculté des Sciences A4n Chok de Casablanca, M. Rahmoune, Professeur à la Faculté des Sciences et Technique de Méknes,A. Derouiche, Professeur à la Faculté des Sciences Ben M'sik de Casablanca, pour l'intérêt qu'ils ont porté à ce travail, en acceptant de le juger et, de surcroît, en être rapporteurs.

Je remercie aussi chaleureusement Mr H. Ridouane pour avoir accepté de présider mon jury de thèse.

Une thèse, c'est aussi un laboratoire où l'on passe de nombreuses heures et où il est bon de se sentir bien. Alors un grand merci à tous les membres du LPPPC, passés et présent, en particulier,T. El khalefi, H.Kaidi, E. Elkennassi ,Y. Madmoune, F. El Hajjaji, H. Qamar, R. Elmiles, A. Charekaoui, A. Nidam,... pour l'ambiance scientifique et amicale qui règne au sein du laboratoire.

Je remercie infiniment tous les membres de ma famille pour leur soutien et leurs encouragements tout au long de mon cursus. A la fin, j'aurais l'immense plaisir de dédier ce manuscrit à ma mère, ma soeur khadija et ma femme qui m'ont particulièrement soutenu au temps des difficultés, sans ce soutien, je n'aurais sans doute pas eu la persévérance de mener ce travail à terme.

Toutes mes excuses à celles et à ceux que j'ai oublié(e)s, et encore merci à toutes et à tous.

Résumé de la thèse :

Cette thèse visait des études étendues des propriétés statistiques des biomembranes.

Plus exactement, nous avons à chercher à quantifier les effets de confinement sur ces mêmes propriétés.

Le premier objectif était l'étude de la dynamique Brownienne de particules entourant une membrane biologique, confinée entre deux parois réfléchissantes parallèles.

En effet, les biomembranes se sont jamais à l'état pure, car elles sont souvent en présence d'entités (particules, macromolécules et autres). Pour simplifier l'étude, ces entités étaient considérées comme des colloïdes ponctuels. Nous avons étudié cette dynamique, à travers la densité locale des particules, qui est fonction non seulement de la distance, mais aussi du temps. Les résultats obtenus généralisent ainsi ceux relatifs aux biomembranes non confinées.

Le second objectif avait trait à l'étude de l'effet Casimir des biomembranes confinées entre deux parois réfléchissantes parallèles. En fait, les fluctuations thermiques de la membrane induisent une force répulsive entre les deux plaques. Cette force, d'origine entropique, a été calculée, du point de vue statique et dynamique.

Le troisième objectif retracé était une étude statistique des biomembranes, immergées dans un liquide trouble, c'est-à-dire contenant des impuretés. Nous avons étudié les effets de ces impuretés sur le spectre de fluctuations des membranes presque planes, sur la forme d'équilibre des vésicules (membranes lipidiques fermées), et sur la transition de délocalisation des phases lamellaires.

Le quatrième objectif était l'étude de la conformation des polymères, à connectivité arbitraire, confinés dans une phase lamellaire ou à l'intérieur d'une vésicule

tubulaire. Une telle étude a été motivée par des intérêts d'ordre biologique.

Le dernier objectif était la séparation de phase entre les phospholipides et des polymères greffés sur une membrane fluide. L'étude a été menée, pour diverses situations, à savoir la qualité du solvant et la polydispersité des chaînes de polymère.

Nous avons montré que ces deux facteurs induisent des changements drastiques du comportement de phase.

L'ensemble des résultats obtenus ont fait matière de plusieurs publications dans des revues scientifiques spécialisées et d'un nombre important de communications (orales ou par affiche), présentées lors de congrès nationaux ou internationaux.

Mots clés : Membranes biologiques - Dynamique Brownienne - Particules - Effet Casimir - Confinement - Milieux troubles - Polymères greffés.

Avenue Hassan II B.P. 150, Mohammedia, Maroc Tél : +212 5 23 31 46 35/36 Fax : +212 5 31 46 34 E-mail : presidence@univh2m.ac.ma

Table des matières

Résumé.					12
1	Introduction générale.				14
2	Composition et fonction des membranes biologiques.				21
	2.1		Représentation des biomembranes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		21
	2.2		Membranes lipidiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		25
			2.2.1 Organisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		25
			2.2.2 Lipides membranaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		27
			2.2.3 Protéines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		30
			2.2.4 Cholestérol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		31
			2.2.5 Mouvements à l'intérieur de la membrane. . . . . . . . . . . .		32
			2.2.6 Perméabilité membranaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		33
	2.3		Membranes artificielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		36
			2.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		36
			2.3.2 Liposomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		36
			2.3.3 Applications des liposomes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		38
	2.4		Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		40
*Table de matière* 3 Mécanique Statistique des biomembranes.						9 45
		3.1		Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		45
		3.2		Compositions et fonctions des biomembranes. . . . . . . . . . . . . .		48
				3.2.1 Les vésicules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		48
				3.2.2 Les lipides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		49
				3.2.3 Les liposomes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		51
		3.3		Propriétés statistiques des biomembranes. . . . . . . . . . . . . . . .		52
				3.3.1 Description thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . .		52
				3.3.2 Théorie de Canham-Helfrich.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .		53
				3.3.3 Spectre de fluctuations thermiques. . . . . . . . . . . . . . . .		56
				3.3.4 Interaction d'Helfrich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		58
				3.3.5 Longueur de persistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		60
		3.4		Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		62
4		Effet de Casimir dans les biomembranes confinées.				66
		4.1		Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		66
		4.2		Formulation théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		70
		4.3		Force de Casimir statique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		78
		4.4		Force de Casimir dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		81
		4.5		Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		90
		Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomem-
		brane confinée.				95
		5.1		Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		96
		5.2		Formulation théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		100

5.3 Evolution temporelle de la densité de particules. . . . . . . . . . . . . 106

5.3.1 Equations de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2 Hamiltonien effectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Membranes presque-plates isolées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4 Vésicules isolées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.5 Phases lamellaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.6 Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.2 D-manifolds non confinés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.3 D-manifolds confinés en Géométrie I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3.1 Relations utiles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.3.2 Extension parallèle à l'axe du cylindre. . . . . . . . . . . . . . 158

7.4 D-manifolds confinés en Géométrie II. . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4.1 Séparation moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4.2 Extension parallèle du polymère. . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5 Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.2 Energie libre du mélange.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.3 Diagramme de phase.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.4 Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Résumé.

Cette thèse visait des études étendues des propriétés statistiques des biomem-branes. Plus exactement, nous avons à chercher à quantifier les effets de confinement sur ces mêmes propriétés.

Le premier objectif était l'étude de la dynamique Brownienne de particules entourant une membrane biologique, confinée entre deux parois réfléchissantes parallèles. En effet, les biomembranes se sont jamais à l'état pure, car elles sont souvent en présence d'entités (particules, macromolécules et autres). Pour simplifier l'étude, ces entités étaient considérées comme des colloïdes ponctuels. Nous avons étudié cette dynamique, à travers la densité locale des particules, qui est fonction non seulement de la distance, mais aussi du temps. Les résultats obtenus généralisent ainsi ceux relatifs aux biomembranes non confinées.

Le second objectif avait trait à l'étude de l'effet Casimir des biomembranes confinées entre deux parois réfléchissantes parallèles. En fait, les fluctuations thermiques de la membrane induisent une force répulsive entre les deux plaques. Cette force, d'origine entropique, a été calculée, du point de vue statique et dynamique.

Le troisième objectif retracé était une étude statistique des biomembranes, immergées dans un liquide trouble, c'est-à-dire contenant des impuretés. Nous avons

étudié les effets de ces impuretés sur le spectre de fluctuations des membranes presque planes, sur la forme d'équilibre des vésicules (membranes lipidiques fermées), et sur la transition de délocalisation des phases lamellaires.

Le quatrième objectif était l'étude de la conformation des polymères, à connec-tivité arbitraire, confinés dans une phase lamellaire ou à l'intérieur d'une vésicule tubulaire. Une telle étude a été motivée par des intérêts d'ordre biologique.

Mots clés : Membranes biologiques - Dynamique Brownienne - Particules - Effet Casimir - Confinement - Milieux troubles - Polymères greffés.

Chapitre 1

Introduction générale.

Les méthodes utilisées pour l'étude des propriétés mecoscopiques de la matière molle (cristaux liquides, films amphiphiles, membranes biologiques, polymères, colloïdes, milieux granulaires....), dont les bases ont été jetées par le Professeur Pierre-Gilles de Gennes (Prix Nobel de Physique, 1991), ont contribué, d'une manière déterminante, au nouvel essor de la biologie cellulaire et au développement de nouvelles méthodes thérapeutiques. Dans l'espace de quelques dizaines d'années, grâce à ces techniques empruntées à la matière, l'on a plus saisir les structures, la manipulation de molécules individuelles, les moteurs biologiques, et la motilité et l'adhésion cellulaires. Actuellement, l'intérêt accordé à ce domaine prend plus d'ampleur.

Ces dernières années, les matériaux biologiques (biomembranes, ADN, ARN, etc.) ont attiré l'attention des Physiciens, mais aussi des Chimistes et Biologistes. En particulier, les physiciens ont mis à la disposition des ces matériaux tout un arsenal d'outils théoriques adaptés aux phénomènes faisant intervenir un grand nombre de molécules, à savoir la Mécanique Statistique, la Théorie de Champ et la Simu-

lation (essentiellement, les méthodes Monte Carlo et Dynamique Moléculaire). En parallèle, la visualisation en temps réel, facilitée par les énormes progrès des moyens optiques, s'est révélée un outil puissant [1]. Ces techniques de visualisation a permis le contrôle de la présence ou l'absence d'effets indésirables, et aussi de présenter le système sous différents aspects (zoom, angles d'observation, éclairement, marquages fluorescents,...). Les techniques de diffusion (rayons-X, lumière et neutrons) ont été déterminantes pour explorer les matériaux biologiques, à toutes les échelles.

Des expériences ont montré que les membranes biologiques peuvent incorporer de grosses molécules (inclusions), telles que des protéines, des particules colloïdales ou d'autres macromolécules [2]. En plus des interactions directes entre ces diverses inclusions, les fluctuations thermiques des membranes engendrent des interactions effectives entre elles [3 - 9]. Notons que ces fluctuations thermiques ont pour origine les chocs incessants de la part des molécules et ions formant le liquide hôte. Donc, une membrane biologique est un système capable de passer par une infinité de configurations. L'apparition des ondulations thermiques ont reçu leur confirmation expérimentale, même sous des conditions physiologiques.

Les matériaux biologiques présentent un grand intérêt, en raison de leurs nombreuses applications dans divers secteurs [10, 11]. Sur le plan conceptuel, leurs principales caractéristiques découlent de leur structure bidimensionnelle et de la richesse de leur comportement thermodynamique.

Aujourd'hui, la structure en bicouche diffuse des membranes biologiques est largement admise par la communauté scientifique. Le dénominateur commun de ces bicouches est qu'elles sont formées de molécules amphiphiles. La majorité des molécules de lipide sont les phospholipides. Une molécule amphiphile est composée d'une

tête polaire hydrophile (qui aime l'eau) et d'une queue hydrophobe [12]. Cette queue qui n'aime pas, est naturellement repoussée par le milieu aqueux. Cette double affinité fait que les molécules s'assemblent de façon à exposer leur tête et protéger leur extrémité lipidique. En plus de ces molécules lipidiques, une membrane cellulaire comporte des protéines transmembranaires et périphériques, des glycoprotéines, des glycolipides, et dans certains cas, du cholestérol et des lipoprotéines [13]. Signalons qu'il existe des membranes biologiques, qui sont dépourvues de cholestérol. C'est le cas des bactéries, par exemple.

Les phospholipides sont loin d'être immobiles, car ils peuvent diffuser librement sur la surface de la membrane. Aussi, ils subissent de rotations autour de leur axe principal [13]. De plus, l'épaisseur de la couche lipidique est de l'ordre de 100 Angströms, qui est naturellement plus faible que son extension latérale. De ce fait, une membrane biologique peut être considérée comme un liquide bidimensionnel. En langage de Géométrie Différentielle, une membrane est une surface fluctuante plongée dans l'espace euclidien à trois dimensions [14 - 16].

Le grand nombre de molécules impliquées et la géométrie locale souvent complexe [14 - 16] rendent difficile le traitement des membranes biologiques, à partir d'interactions microscopiques réalistes. C'est la raison pour laquelle l'on a vu se développer, progressivement, des théories phénoménologiques ignorant les détails microscopiques, mais permettant de prédire la majorité des comportements généraux. Les membranes sont considérées comme des surfaces fluctuantes continues, décrites par une énergie effective qui dépend de la forme locale de la membrane, de son élasticité, de sa topologie, et éventuellement des degrés de liberté supplémentaires en relation les spécificités des diverses espèces chimiques présentes [17, 18].

Mais, très souvent, une biomembrane est en présence de petites entités baignant dans le milieu aqueux (macromolécules ou autres). Bien évidemment, celles-ci influent sur le comportement de cette membrane (spectre de fluctuations, séparation de phase, etc.). Pour mener des études quantitatives des effets de ces corps étrangers, l'on peut les assimiler à des particules colloïdales de forme sphérique (nanoparti-cules). Cette hypothèse n'est valable que si la taille des particules est bien inférieure à la taille caractéristique de la membrane, qui est sa rugosité moyenne.

Cette thèse s'inscrit précisément dans le cadre de la Physique Statistique des biomembranes confinées, pour diverses situations.

La première contribution est le calcul de la force de Casimir entre deux plaques interactives parallèles délimitant un liquide comptant une biomembrane immergée [19]. Cette force répulsive provient des ondulations thermiques de la membrane. Nous avons traité aussi bien l'aspect statique que l'aspect dynamique.

La deuxième contribution se rapporte à une solution colloïdale au contact d'une biomembrane, qui est confinée dans une fente [20]. L'épaisseur de cette fente est supposée beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de la membrane. Le but étant l'étude de la dynamique Brownienne de ces particules, sous la variation d'un paramètre adéquat, tel que la température, par exemple. L'objet de base est la densité locale des particules. Nous avons déterminé exactement cette densité, qui est fonction de la distance et du temps. L'outil pour cela est l'équation de Smoluckowski.

La troisième contribution est une étude détaillée des effets d'impuretés sur les propriétés statistiques des membranes fluides [21]. Celles peuvent être attractives ou répulsives. En premier lieu, nous avons déterminé la rugosité moyenne de la

membrane, en combinant la technique des répliques avec la méthode variationnelle. Le résultat s'exprime en fonction de la concentration des impuretés et l'amplitude de leur interaction avec la membrane. En second lieu, nous avons évalué la taille d'une vésicule isolée, en fonction de ces mêmes paramètres. Enfin, l'étude est étendue à l'adhésion membranaire.

La quatrième contribution est une étude conformationnelle d'un polymère isolé, qui est confiné entre deux membranes lipidiques parallèles ou dans une vésicule tubulaire [22]. Pour rester plus général, nous avons supposé que le polymère est de topologie arbitraire, qu'on appelle D-manifold, où D est la dimension spectrale (par exemple, D = 1, pour les polymères linéaires, et D = 4/3, pour les polymères branchés). En fait, D est le nombre de coordonnées locales permettant de caractériser géométriquement le polymère.

La dernière contribution est une investigation de la séparation de phase entre les phospholipides et des polymères greffés sur une membrane fluide [23]. L'étude a été menée, pour diverses situations, à savoir la qualité du solvant et la polydispersité des chaînes de polymère. Nous avons montré que ces deux facteurs induisent des changements drastiques du comportement de phase.

Les deux premiers chapitres sont à caractère bibliographique, où nous rappelons les éléments nécessaires à la présente étude.

Enfin, nous retraçons nos conclusions et présentons certains détails techniques (Appendices A et B) à la fin de ce mémoire.

Bibliographie

Chapitre 2

Composition et fonction des

membranes biologiques.

Dans ce premier chapitre, à caractère bibliographique, nous rappelons, dans un premier temps, la représentation des membranes biologiques, ensuite, les découvertes et les premières observations de la cellule, enfin, la structure et les propriétés des membranes biologiques, principalement pour leurs capacités de séparer deux milieux aqueux l'un de l'autre. Plus exactement, nous explorons la composition des cellules biologiques. En particulier, nous mettons l'accent sur le rôle de chacune de ses composantes. Nous terminons en précisant quelques intérêts et applications des vésicules.

2.1 Représentation des biomembranes.

saires pour le maintien de la vie. La cellule est donc l'unité structurale et fonction-

La cellule est la plus petite unité vivante, capable d'accomplir les fonctions néces-

nelle fondamentale des organismes vivants. Sa taille est de l'ordre du micromètre. C'est d'ailleurs l'une des raisons qui laisse cette brique élémentaire de tous les êtres vivants un objet d'une extrême complexité. La découverte des cellules était intervenue avec la mise au point du microscope.

Ainsi, en 1665, Robert Hooke [1] observa, pour la première fois, des cellules à l'aide d'un microscope à deux lentilles. En 1838, M. Schleiden et Theodor Schwann [2] s'étaient mis d'accord sur la même conclusion. C'est que tous les organismes se composent de cellules, qui y sont décrites comme des petite chambres limitées par une paroi ou encore membrane cellulaire. Cette dernière est alors considérée comme une simple enveloppe renfermant différents constituants de la cellule. En 1847, Théodore Nicolas Gobley [45] isola la lécithine du jaune d'oeuf et découvrit les phospholipides. Singer et Nicolson [11] partirent du modèle de bicouche lipidique de Gorter et Grendel et utilisèrent les découvertes de Frye et Edidin [10], en matière de fluidité de la membrane et de mobilité des protéines. Ce modèle de fluide mosaïque [11] reste le modèle de référence, même s'il a subi quelques aménagements. Dans ce modèle, la membrane plasmique est décrite comme une bicouche lipidique fluide, dans laquelle flottent des protéines, et où les molécules de lipide et protéines sont distribuées plus ou moins aléatoirement. Les protéines sont insérées profondément dans la bicouche lipidique, sous forme compacte. Les protéines peuvent être intégrales (protéines transmembranaires) ou adsorbées à la surface de la bicouche. Les chaînes polypeptidiques, le plus souvent organisées sous forme d'hélices á [12] et contenant de nombreux résidus d'acides aminés hydrophobes, prennent la place des lipides et assurent ainsi la continuité de la partie hydrophobe de la membrane. Alors que es parties les plus hydrophiles des protéines émergent sur au moins une

des deux faces de la bicouche. La face externe de la membrane est rendue encore plus hydrophile, par la présence de résidus osidiques (Fig. 1.1).

L'agitation thermique est responsable de la diffusion et de la rotation de toutes les molécules dans le plan de la membrane.

Des études récentes [13, 14] révélèrent que les lipides et les protéines ne diffusent pas aussi librement. Ce qui contredit alors les prédictions du modèle original de Singer et Nicolson. En effet, les structures membranaires observées à l'aide de techniques nouvelles, comme les pièges optiques, le SPT (Simple Particle Tracking) et le SMT (Simple Molecule Tracking). Cette technique relativement récente a permis le suivi du déplacement de molécules individuelles par vidéomicroscopie couplée à l'analyse d'images. Les sondes utilisées sont soit des particules submicrométriques (particules de latex, nanocristaux ou colloïdes d'or, couplés à la molécule d'intérêt

par un anticorps), et l'on parle alors de suivi de particule unique ou SPT [15, 16], soit des molécules fluorescentes (suivi de molécule unique ou SMT [17]). En fait, la résolution spatiale est de l'ordre du manomètre et la résolution temporelle, généralement imposée par la cadence vidéo, peut atteindre la centaine de Hertz. A partir des trajectoires des molécules, le calcul du déplacement quadratique moyen de la position en fonction du temps permet de déterminer les modes de diffusion.

La méthode de FRAP (Fluorescence Recovery After Photobleaching ) réalise une mesure moyenne sur un grand nombre de molécules. La FCS (Fluorescence Correlation Spectroscopy) effectue une mesure moyenne sur un petit nombre de molécules et nécessite de ce fait un certain nombre de répétitions pour obtenir une valeur finale significative. L'avantage de cette technique de FCS réside dans l'utilisation d'un faible marquage : une faible suppression des molécules d'intérêt est suffisante et même nécessaire pour réaliser des mesures. En effet, la FCS est sensible à l'amplitude des variations de fluctuation d'intensité et donc aux fluctuations du nombre de molécules présentes dans le volume confocal qui a une taille de l'ordre du femtolitre (10^-i5L) , ceci correspond à une concentration volumique de l'ordre de quelques dixièmes de nanomolaires (10^-9M) à un micromolaire (10^-6M).

Les SPT et SMT permettent alors une caractérisation plus fine des sous-populations. Au contraire, ces trois dernières techniques autorisent la mise en évidence de phénomènes qui auraient pu être masqués par l'effet de moyenne de la FRAP. Dans certaines situations ce sont donc des techniques complémentaires.

Malgré la diversité des êtres vivants, les cellules ont des caractères anatomiques, biochimiques et fonctionnels communs.

2.2 Membranes lipidiques.

2.2.1 Organisation.

Les membranes cellulaires sont formés de molécules amphiphiles, qui présentent une partie hydrophobe et un groupement hydrophile [18]. La majorité des molécules lipidiques d'une membrane sont des phospholipides. Ceux-ci contiennent une tête hydrophile attachée à deux chaînes carbonées, contrairement aux surfactants qui ne possèdent qu'une seule chaîne aliphatique.

La solubilité des molécules amphiphiles dépend de la longueur et le nombre des chaînes carbonées.. Les lipides sont très peu solubles. Leur concentration micellaire est de l'ordre de 10^-10M, et au delà de cette concentration, ils s'assemblent en structures qui dépendent de la géométrie de la molécule.

La formation d'une bicouche nécessite que l'aire de la tête hydrophile soit légèrement plus grande ou de la même taille que la section de la chaîne carbonée. Certaines molécules de ce genre s'auto-assemblent, non pas en feuillet, mais en vésicule, c'est-à-dire en structure fermée. En effet, d'un point de vue énergitique, un ensemble de vésicules est plus stable qu'une bicouche infinie, en raison de l'entropie de translation des vésicules [19]. Le rayon minimum de la vésicule est alors fixé par la géométrie de la molécule. Les têtes des lipides sont séparées d'une distance optimale qui résulte de la balance entre l'attraction des parties hydrophobes, qui se protègent de l'eau, et la répulsion (d'origine stérique, électrostatique, etc.) des chaînes. Lorsque les molécules s'auto-assemblent en vésicule, les têtes doivent conserver leur espacement optimal. Cela impose un rayon minimal à la vésicule. Sa taille réelle dépend des conditions de fabrication, et peut aller jusqu'à 100pm pour des vésicules géantes.

Les lipides composant la membrane peuvent former un liquide bidimensionnel ou un gel. La température de transition de l'un à l'autre dépend de la longueur des chaînes aliphatiques. Plus les chaînes sont longues, plus cette température est élévée [19]. Au-dessus de cette température critique (typiquement de l'ordre de 25^?C), la bicouche est fluide, et les lipides diffusent dans le plan de la membrane. Ainsi, pour une composition homogène, le coefficient de diffusion est de l'ordre 10^-12m²/s, c'est-à-dire qu'un lipide parcourt environ 1um en 1s [19]. La conséquence de la fluidité de la bicouche est qu'elle ne présente aucune résistance au cisaillement.. Ce n'est pas entendu le cas en phase gel.

La fonction spécifique des systèmes biologiques vivants (cellules, organites cellulaires et autres organismes) est essentiellement reliée à la structure des membranes plasmiques. Ces dernières protègent la cellule de son environnement. La majorité des cellules procaryotes contiennent un grand nombre de compartiments formant les organites cellulaires, qui sont bordés par une ou deux membranes. Enfin, certains organites responsables de la conversion d'énergie (mitochondries, chloroplastes) contiennent un nombre important de membranes internes, ou bien présentent des repliements très complexes de l'une des membranes qui les protègent.

Nous soulignons que les membranes ne se limitent pas à celui d'un sac mou et inert, mais elles interviennent aussi dans les différentes processus biologiques indispensables à la vie, comme les phénomènes de transport, les processus de conversion d'énergie, la reconnaissance cellulaire, etc. De plus, la membrane plasmique repose sur une charpente dynamique ou cytosquelette. Ce dernier est formé d'un réseau de filaments de protéines, qui favorise la mobilité cellulaire, et contribue à maintenir la forme de la cellule et la cohésivité des tissus. Aussi, il sert comme guide pour le

Enfin, chez tous les êtres vivants, les membranes sont formées, essentiellement, de lipides, disposés en double feuillet (Fig. 1.2), de faible épaisseur, c'est-à-dire de l'ordre de 5 à 10nm. Ces membranes constituent alors une barrière infranchissable pour les ions ou les grosses molécules. En plus des lipides, la membrane cellulaire comporte des protéines, des sucres, etc. C'est donc un milieu complexe, chimiquement actif et en renouvellement constant.

2.2.2 Lipides membranaires.

Les lipides de la membrane cellulaire sont tous des amphiphiles possédant des groupements aliphatiques ou aromatiques (comme le cholestérol) et des groupements polaires variés. La géométrie de chaque chaîne aliphatique dépend de l'existence ou non d'insaturations.. Les chaînes d'acides gras non saturées sont très flexibles et possèdent un très grand nombre de conformations possibles. Chaque liaison possède 3

FIG. 2-3 -- Composition lipidique de différentes types de membranes cellulaires (pourcentage en poids).

degrés de liberté de rotation. La conformation la plus probable est celle de l'extension maximale de la chaîne (configuration trans), conduisant à une énergie minimale. Une chaîne insaturée possède au moins une double liaison. La configuration cis, largement plus probable que la configuration trans, conduit à un coude dans la chaîne carbonée de l'ordre de 30^?.

La tête polaire est attachée à deux chaînes carbonées, par l'intermédiaire d'une molécule servant de lien entre les trois groupements. Ce lien jouant le rôle de squelette pour l'ensemble de la molécule, est généralement réalisé par un alcool, comme le glycérol, ou une sphingosine. Les groupements polaires sont, le plus souvent, basés sur un groupe phospho ou glyco, d'autres molécules venant s'y greffer.

La composition lipidique des membranes cellulaires eucaryotes est très variée (Fig. 1.3). La majorité des molécules de lipide constituant une membrane biologique,

FIG. 2-4 -- Structure d'un phosphoglycérol , le phosphatidyléthanolamine (PE) : (a) formule chimique, (b) modèle compact et (c) représentation symbolique

Selon le type d'organites, les lipides membranaires, représentant 30% à 50% de la masse de la membrane, sont, le plus souvent, des lipides amphipolaires (Fig. 1.4b), qui comportent une tête polarisable hydrophile (le phosphoglycérol substitué, par exemple) et une ou deux queues hydrophobes, formées de longs résidus d'acides gras, qui sont des chaînes hydrocarbonées (Fig. 1.4c). Un exemple de ces lipides est le phosphatidyléthanolamine (Fig. 1.4a).

Pour assurer l'équilibre thermodynamique, un mélange de lipides baignant dans un milieux aqueux, s'organise spontanément en structure lytrope séquestrant les parties hydrophobes des molécules au centre des agrégats. Le contact avec les molécules d'eau étant assuré par les parties polaires (dans l'eau, la concentration micellaire critique est de l'ordre de 10^-12), avec une couche d'hydratation d'épaisseur de l'ordre

Nous signalons que les constituants d'une membrane tiennent ensemble, grâce à l'existence des attractions hydrophobes, qui sont plus faibles que les liaisons covalentes.

2.2.3 Protéines.

Une membrane cellulaire renferment, également, des protéines, qui sont intégrées dans la bicouche lipidique. Ce sont des grosses molécules ou encore macromolécules, dont la fonction est d'assurer les échanges de matière et d'énergie entre l'intérieur et l'extérieur de la membrane. Les lipides servent de solvant pour les protéines membranaires.

L'on distingue des protéines intégrales et protéines périphériques. Les premières pénètrent assez profondément dans la bicouche lipidique, et forment des canaux assurant le passage des ions et autres entités d'un côté à l'autre de la membrane. Les parties hydrophobes de ces protéines se trouvent naturellement entourées par les queux hydrocarbonées des lipides, alors que les régions polaires sont au contact avec le solvant environnant (milieu aqueux). En revanche, les protéines périphériques ne pénètrent pas du tout dans la membrane, et se trouvent plutôt greffées sur la surface membranaire (Fig. 1.2).

Sur la surface interne de la membrane plasmique, des filaments du cytosque-lette aident à maintenir en place certaines protéines périphériques et les protéines intramembranaires associées. Nous signalons que les surfaces interne et externe des membranes sont bien distinctes. En effet, ils ne présentent pas la même compo-

FIG. 2-5 -- Protéines de transport dans une membrane : (a) Protéines porteuses (trans-porteurs),(a) Protéines tunnels (canaux)

sition lipidique et l'orientation des protéines y diffère. Seule la surface externe de la membrane plasmique contient des glycoprotéines [21]. Ces dernières sont d'une importante capitale, car elles participent à un grand nombre de fonctions biologiques, telles que la signalisation, la bioénergétique, l'adhésion, la reconnaissance, et le transport de soluté (Fig. 1.5).

Enfin, nous notons que sur les 20000 structures de protéines solubles connues, seules 48 protéines membranaires sont actuellement identifiées [22].

2.2.4 Cholestérol.

Le cholestérol est un autre constituant des membranes plasmiques, qui possède une structure très différente. C'est une molécule très hydrophobe, rigide, et dotée d'une petite tête hydrophile. Il est plus petit que les autres lipides formant la membrane. Le cholestérol peut interagir avec les lipides environnants, soit par des liaisons hydrogénes, soit en favorisant la condensation des chaînes. La proportion du cholestérol est de l'ordre de 15% à 50%, selon les cellules et les tissus. Son rôle est

de permettre à la membrane de conserver sa fluidité, quelque soit la température. Toutefois, il faut souligner que la structure du cholestérol varie fortement, suivant l'organisme considéré.

Le cholestérol est l'unique stérol des membranes plasmiques de mammifères, mais, également, présent chez nombre d'eucaryotes. Ainsi, chez les levures et les plantes, ce dernier est, respectivement, remplacé par l'ergostérol et des phytostérols, comme le sitostérol ou le stigmastérol. Le cholestérol ne présente pas une distribution homogène au sein des cellules des mammifères, et se retrouve extrêmement concentré au sein de la membrane plasmique, alors qu'il est très peu présent dans les membranes enveloppant les organites à l'intérieur des cellules [23].

2.2. 5 Mouvements à l'intérieur de la membrane.

Des études montrèrent que, suivant la nature de leurs symétrie et environnement, les molécules de lipides sont en mouvement de rotation, autour de deux directions perpendiculaires. Les axes de rotation subissent aussi des oscillations. Les deux mouvements de rotation sont caractérisés par un temps moyen, nécessaire pour qu'une molécule puissent tourner de 1 radian. Les temps de corrélation rotationnels ôilot et T ^ôt sont de l'ordre de 10^-9s à 10^-lis. Pour les lipides, ces ordres de grandeur dépendent, naturellement, du mécanisme et du modèle utilisé, pour la description du mouvement des molécules sondées [24, 25].

D'un autre côté, les molécules lipidiques peuvent aussi passer d'une bicouche à l'autre (mouvement en flip-flop). Néanmoins, c'est un phénomène qui reste lent, car il est très défavorable de faire passer la tête polaire des lipides à l'intérieur de la zone

hydrophobe constituée par les queues des lipides. On a un coefficient de diffusion de l'ordre de Df = 10^-8s^-¹ [18]. Il faut noter que ce passage d'un feuillet à l'autre a bien lieu dans les membranes biologiques, avec un temps de corrélation, de l'ordre de l'heure ou du jour, selon la nature du phospholipide [26].

Les molécules lipidiques sont sujet, également, de mouvements intramoléculaires, tels que les mouvements d'isomérisation trans/gauche des chaînes hydrocarbonées et des rotations des liaisons carbone-carbone, avec des temps de corrélation, respectivement, de l'ordre de 10^-10s et 10^-11s.

2.2.6 Perméabilité membranaire.

Notons que la cellule est capable d'accepter de nombreuses variétés de petites molécules, et de refuser d'autres. Evidemment, toutes les substances ne traversent pas la membrane à la même vitesse. D'un autre côté, la cellule, entant que système thermodynamique ouvert fonctionnant dans des conditions hors d'équilibre, effectue, en permanence, des échanges de la matière et du combustible avec le milieu environnant. En fait, ces échanges permettent à la cellule de maintenir les concentrations des solutés dans le cytoplasme, différentes de celles du milieu extracellulaire. Pour préserver l'équilibre à l'intérieur de la cellule, la membrane cellulaire joue le rôle de barrière hautement sélective, en imposant à chacune des substances qui la traversent un bilan positif ou négatif (Fig. 1.7).

Contrairement aux membranes artificielles, les membranes biologiques peuvent être traversées par des ions et molécules. Ces substances hydrophiles évitent le contact avec la bicouche lipidique, et passent au travers des protéines. Deux types de

FIG. 2-6 -- (a) simple et (b) Diffusion facilitée à l'aide d'une protéine porteuse. La barriére de potentiel G(b) que doit passer le soluté par diffusion facilitée à travers la membrane est abaissée par rapport à la diffusion simple G(a).

protéines transmembranaires spécifiques sont utilisées par la cellule : protéines porteuses et canaux protéiques. Les premières subissent un changement de conformation pour faire passer les solutés spécifiques d'un côté à l'autre de la membrane. Les canaux protéiques qui se présentent comme des pores étroits traversant la membrane, sont remplis d'eau. Chaque protéine assure le transport d'une classe particulière de molécules ou d'ions. La perméabilité sélective de la membrane dépend donc des propriétés chimiques de la bicouche et des protéines. A côté de la perméabilité sélective, propre à la membrane, deux facteurs physico-chimiques essentiels déterminent l'am-

plitude de transport, qui est due à un gradient de concentration, ou à une différence de potentiels électriques des deux côtés de la membrane.

Les transports biologiques peuvent être classés en deux catégories, distincts, selon que le flux de matière est dirigé dans le sens du gradient de potentiel électrochimque de l'espèce déplacée ou dans le sens opposé. Le premier cas correspond à un transport passif, et le second à un transport actif au travers des protéines porteuses. L'on distingue deux types de transports actifs : primaire ou secondaire. Ce dernier est une diffusion d'un soluté (généralement H+ ou Na+) dans le sens de son gradient de concentration. Aussi, il peut entraîner le mouvement d'un autre soluté dans le sens opposé à son gradient. Dans ce cas, l'énergie nécessaire au mouvement contre-gradient a pour origine un gradient de concentration du soluté co-transporté. A titre d'exemple, les cellules épithéliales contiennent des transporteurs d'oses ou d'acides aminés, qui sont commandés par le gradient de Na+. Le transport contre-gradient est dfl à une réaction métabolique, lumino-chimique ou autres [27].

Un autre type de transport est le transport de macromolécules. C'est l'endocytose. D'abord, la macromolécule contacte la membrane, en formant une pochette (invagination), puis un pincement, suivi d'un détachement d'une vésicule. Ensuite, cette vésicule relâche la macromolécule à l'intérieur. L'on parle, aussi, de l'exodocytose, qui consiste à un transport de macromolécules de l'intérieur vers l'extérieur.

2.3 Membranes artificielles.

2.3.1 Définition.

Les membranes fluides artificielles sont des enveloppes inertes, à structures fixes, douées de fonctions dynamiques, et en interaction directe avec le milieu ambiant. Toutefois, ces objets restent encore d'une grande complexité, en raison de leur cytos-quelette qui leur confère des propriétés viscoélastiques et du nombre important de leur constituants. Ils choisirent alors d'enlever tout ce qui dépasse la membrane (gly-cocalix), puis, tout ce qui n'en constitue pas l'élément dominant (enzymes, protéines membranaires...).

2.3.2 Liposomes.

Les liposomes sont des vésicules sphériques, dont le diamètre est de quelques milliers de manomètres. Elles ont été synthétisées, volontairement, par Bangham, en 1968. Ces vésicules sont composées d'une ou plusieurs bicouches lipidiques permettant de séparer un milieu intravésiculaire d'un milieu extérieur. Au sein de ces bicouches, tout comme pour les membranes biologiques, les mouvements des phospholipides sont observés. Les liposomes sont faciles à pré parer. L'hydratation d'un film phospholipidique permet d'obtenir des liposomes multilamellaires. Pour obtenir ces liposomes, des étapes supplémentaires sont nécessaires.

Les liposomes sont utilisés dans l'industrie, comme vecteurs de substances en cosmétologie (crèmes hydratantes, antioxydants...), ou en pharmacologie, en tant que vecteurs de transport de médicaments vers l'organisme cible [28]. Aussi, ils sont

parfois employés comme vecteurs de thérapie génique, ou encore comme supports de vaccins.

Tous les liposomes submicroniques SUV (Liposome Unilamellaire de petite taille : 30 - 50nm, de diamètre) et LUV (Liposome Unilamellaire de grande taille : 50 - 500nm, de diamètre) ont été intensivement étudiés. Mais de par leurs dimensions, ils possèdent une courbure plus élevée que les membranes plasmiques, et de ce fait, ils constituent des modèles assez éloignés de la cellule. Ils s'apparentent d'avantage à certains organites comme les vésicules de sécrétion, les liposomes ou les endosomes. La préparation de populations unimodales de vésicules unilamellaires nécessite, pour être reproductible, l'utilisation des méthodes hautement invasives telles que la so-nication [29], l'ulrafiltration [30] ou l'évaporation de solvants organiques [31]. De plus, le résultat de ces préparations est souvent instable dans le sens où les objets obtenus changent aisément de forme et de taille. Toutefois, il n'est pas encore clair que l'état vésiculaire soit un état d'équilibre ou seulement un état intermédiaire par lequel passe le mélange lipide-eau avant d'atteindre sa configuration d'équilibre final [32, 33].

Les vésicules unilamellaires de taille proche de la cellule GUV (Giant Unilamellar Vesicles -Liposome unilamellaire géant : 1-200pm, de diamètre) ont, ensuite, attiré l'attention, car elles constituent un système idéal pour l'observation directe, par les techniques de microscope optique (contraste de phase, fluorescence, RICM (Fig. 1.9), des propriétés physiques et chimiques des membranes, et pour leurs applications techniques [34]. Plusieurs travaux ont été consacrés à l'inventaire, par exemple, des formes d'équilibre et aux propriétés mécaniques des GUVs [35].

L'étude des formes d'équilibre d'une vésicule sans contrainte extérieure, nécessité

largement utilisées dans d'autres applications, principalement pour leur capacité à

FIG. 2-7 -- (a) Vésicule géante (b) Une membrane constitué d'un double feuillet

des efforts considérables théoriques, numériques et expérimentaux [36]. L'observation expérimentale a permis de confirmer la validité de certains travaux théoriques. En retour, ces modèles théoriques servent à interpréter les manipulations menées sur des vésicules, afin de mesurer des paramètres physiques de la membrane elle-même, à savoir la constante de courbure, la tension, ou le couplage avec un réseau réticulé ou avec des protéines adsorbées.

2.3.3 Applications des liposomes.

En plus d'être un système mimétique de la membrane cellulaire, les vésicules sont

Chapitre 1 : Composition et fonction des membranes biologiques. 39

Les vésicules utilisées à des fins thérapeutiques sont appelées liposomes. Elles peuvent être utilisées pour transporter dans l'organisme des médicaments hydro-p hiles ou non : un médicament soluble dans l'eau sera dissout dans le milieu aqueux à l'intérieur de la vésicule alors qu'un médicament hydrophobe sera dissout dans la bicouche [37]. Par contre, la capacité à exposer des protéines à la surface permet d'utiliser les liposomes comme vaccins, ayant l'avantage de ne pas contenir de matériel génétique tout en présentant la molécule antigénique [38].

Les vésicules utilisées dans la cosmétique sont aussi appelées liposomes. Tout comme celles utilisées en pharmacie, elles servent à appliquer localement une substance, sur la peau dans le cas présent.

Les vésicules, utilisées comme systèmes modèles de la membrane cellulaire, ont largement contribué à en comprendre les propriétés mécaniques. Mais leur intérêt biomimétique ne s'arrête pas là : elles permettent aussi de mimer des processus cellulaires impliquant la membrane [39].

De même, il est possible de reconstituer dans une vésicule un aster de microtu-bules, c'est à dire une structure de microtubules en étoile [40]. Les microtubules sont des filaments de tubulines polymérisées et sont utilisés par la cellule comme compo-

sants de son cytosquelette ; lors de la réplication de la cellule, il apparaît un aster de microtubules qui va permettre de tirer de part et d'autre le matériel génétique. Comprendre comment ces structures grandissent et interagissent avec la membrane est une étape dans la compréhension du processus de division.

Les vésicules forment des réservoirs de petits volumes, isolés du milieu environnant. Aussi, il est possible de les utiliser comme des petits réacteurs chimiques, en induisant des réactions à l'intérieur de l'espace confiné d'une vésicule [41 - 43]. La possibilité de connecter les vésicules par des tubes de membrane permet aussi de former des circuits micro-fluidiques [44]. Les contenus peuvent être transférés d'une vésicule à une autre simplement en appuyant sur la vésicule à remplir : la présence d'un obstacle augmente la tension de surface, qui provoque un flux de lipides et un écoulement depuis la vésicule voisine.

2.4 Conclusions.

Ce chapitre a été destiné à une revue de la description des membranes biologiques. Plus exactement, nous avons explicité leurs compositions, ainsi que le rôle de chacune des composantes de la membrane. Aussi, nous nous étions tardés sur tous les modes de transport au travers une membrane cellulaire. Egalement, l'accent a porté sur les vésicules et leur grande importance surtout en biologie, en pharmacologie ,en cosmétologie ,en biochimie, et en biophysique .

Enfin, cette description est d'une grande utilité d'un côté pour avoir une idée

général sur les membranes biologiques et leurs rôle dans la régulation de différence de potentiel entre le milieux intérieur et le milieux extérieur de la cellule et d'un autre côté pour comprendre la physique des membranes esquissée dans les chapitres qui suivront.

Bibliographie

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G. Staneva, Thèse de Doctorat, Université de Paris VI,Pierre et Marie Curie,

D. Baeriswyl, M. Droz, A. Malaspinas, P. Martinoli, éditeurs, Tenth Gwatt

Chapitre 3

Mécanique Statistique des

biomembranes.

Dans ce chapitre, à caractère bibliographique, nous donnons un aperçu sur les propriétés statistiques des membranes lipidiques, à l'équilibre thermodynamique. Le sujet est très riche, mais nous nous contentons de présenter ici une revue succinte des propriétés thermiques de ces interfaces molles.

Nous rappelons, également, les outils de la Physique Statistique permettant la description des membranes fluides, entant que systèmes incorporant un nombre considérable de molécules et macromolécules.

3.1 Introduction.

Les membranes cellualires jouent un rôle crucial pour la vie, car elles protègent la cellule de son environnement, et les organites à l'intérieur de cette cellule [1]. En fait, ces membranes constituent une barrière étanche protegeant les cellules, et à

Les chercheurs s'accordent à ce que les membranes biologiques se présentent essentiellement comme une bicouche, formée de molécules amphiphiles. La majorité de ces molécules sont des phospholipides, qui possèdent une tête polaire hydrophile (qui aime l'eau), liée chimiquement à deux chaînes d'acides gras hydrophobes (qui n'aiment l'eau), une saturée et l'autre insaturée (Fig. 2.1).Aussi, les membranes biologiques contiennent du cholestérol, des protéienes et des glucides. Chacune de ces composantes a un rôle spécifique à jouer. Par exemple, le cholestérol permet la rigidification et la fluidité de la membrane. Les protéines assurent le transport d'ions, de molécules et de macromolécules. L'on distingue des transports passifs et actifs, l'endocytose et l'exoendocytose. Les glucides ressembles aux phospholipides, mais ne contiennent pas de goupements phosphates, plutôt des résidus sucrés.

En milieux aqueux, les lipides s'organisent, le plus souvent, en bicouche. Celle-ci contient une partie apolaire au centre où l'eau n'a pas accès, et une partie polaire

FIG. 3-2 -- Représentation schématique de la membrane cellulaire montrant les différentes molécules constituant la membrane. La membrane est constituée d'un double feuillet phos-pholipidique associé à des protéines .

en contatct avec le milieu aqueux de part et d'autre de la bicouche. La structure se referme sur elle-même, et l'on obtient, ainsi, une vésicule fermée, qui sépare un compartiment interne aqueux du milieu aqueux externe (Fig. 2.2). C'est le modèle de fluide mosaïque, largement reconnu par la communauté scientifique.

Ce chapitre s'organise comme suit. En Sec. I, nous esquissons les compositions et fonctions des membranes biologiques. Nous décrivons, en Sec. II, leurs propriétés statistiques. Certaines remarques concluantes sont retracées dans la dernière section.

3.2 Compositions et fonctions des biomembranes.

La vie dans toute sa diversité n'est devenue possible qu'après l'apparition des membranes. Ces entités séparent et protègent les systèmes vivants primitifs de leur environnement, tout en autorisant des échanges régulés de matière avec ce même environnement [2] (Fig. 2.2).

Pour comprendre les propriétés des membranes biologiques, il est possible d'utiliser un système modèle formé uniquement de lipides. Ces derniers ont la capacité de s'assembler spontanément en une double couche de molécules, comme dans la membrane cellulaire. Plongée dans l'eau, la bicouche se referme sur elle-même pour former une vésicule. En fait, cette organisation spontanée est due au caractère am-phiphile et à la forme cylindrique des lipides. Aussi, les vésicules présentent des similitudes avec les bulles de savon et avec les cristaux liquides smectiques.

3.2.1 Les vésicules.

Les vésicules ont été découvertes volontairement par Bangham, en 1968 [3]. Elles se présentent dans la nature comme des capsules biologiques nécessaires au transport de molécules entre les différents milieux membranaires (cellules, mitochondries, appareil de Golgi, ....). Actuellement, les vésicules sont utilisées dans diverses applications, comme éléments actifs en industries pharmaceutique et en cosmétiques [4], ou comme modèle très simplifié des cellules vivantes au laboratoire. Généralement, les vésicules sont des coquilles fluctuantes en suspension dans l'eau ; leur taille peut varier de quelques dizaines de nanomètres à quelques centaines de micromètres. Dans la nature, les vésicules sont constituées de molécules biologiques

FIG. 3-3 -- Schéma de représentation des trois modes élastiques de déformation des membranes

(phospholipides, protéines, cholestérol, ...), mais pour les physiciens, elles peuvent aussi être formées à partir de tensio-actifs ou de molécules polymérisables [5] ; ce qui modifie considérablement leurs propriétés mécaniques (Fig. 2.3). Objets bidimensionnels sans tension de surface, les propriétés physiques des vésicules sont fixées par la connaissance de trois grandeurs : le module de cisaillement, d'élasticité et de courbure.

Si la formation de bicouches de lipides et de tensio-actifs est relativement bien comprise [6, 7], la formation des vésicules et les conditions de leur stabilité restent encore mystérieuses. Dans la majorité des cas, en particulier celui des vésicules de lipides, l'état thermodynamique des bicouches est la structure smectique des lamelles empilées.

3.2.2 Les lipides.

Les lipides jouent un rôle important dans la cellule, et constituent les composantes majeures des membranes. Ils renferment également une importante quantité

d'énergie stockée, et ils sont directement impliqués dans la signalisation cellulaire [2], à la fois comme hormones stéroïdes (oestrogènes et testostérone) et comme messagers potentiels transportant les signaux des récepteurs membranaires aux cibles situées à l'intérieur de la cellule.

Les acides gras sont des acides carboxyliques possédant une chaîne aliphatique hydrophobe saturée ou insaturée. Il s'agit d'une longue chaîne hydrocarbonée comportant le plus souvent 16 à 18 atomes de carbones, avec un groupe carboxyle (COO-) à une extrémité.

Il faut noter que la nature hydrophobe de ces chaînes d'acides gras est responsable de la plupart des comportements des lipides complexes, et particulièrement de la formation des membranes biologiques.

Les phospholipides sont les principaux constituants des membranes cellulaires. Ces lipides possédant un groupe phosphate, sont des molécules amphiphiles. Leur tête polaire hydrophile détermine le type de phospholipide. En fait, plusieurs variétés peuvent coexister, et se distinguent uniquement par la longueur de leur queue, c'est-à-dire les acides gras les constituant.

Les phospholipides se différencient les uns des autres par la nature de leur tête polaire, c'est-à-dire l'alcool qui estérifie une seconde fois l'acide phosphorique, et également par leurs acides gras qui déterminent la longueur de l'encombrement stérique des molécules. Par ailleurs, d'autres molécules, comme le cholestérol, sont

susceptibles de s'ajouter aux phospholipides, pour modifier sensiblement certaines propriétés des membranes comme par exemple la fluidité, ou la manière dont les phospholipides de même type s'associent préférentiellement pour former des micro-domaines ou rafts.

La portion glycérole et phosphate de la molécule est dite hydrophile, alors que les acides gras sont hydrophobes. Dons, la partie hydrophile est soluble dans l'eau, alors que la partie hydrophobe ne l'est pas (elle est soluble dans les lipides) (Fig. 2.1).

3.2.3 Les liposomes.

Nous avons noté, auparavant, que les liposomes sont des vésicules sphériques, dont le diamètre varie de quelques dizaines à quelques milliers de nanomètres. Ces vésicules sont composées d'une ou de plusieurs bicouches lipidiques permettant de séparer un milieu intravésiculaire d'un milieu extérieur. Au sein de ces bicouches, tout comme dans les membranes biologiques, les mouvements des phospholipides sont observés. Les liposomes sont faciles à préparer [8]. En effet, l'hydratation de film phospholipidique permet d'obtenir des liposomes multilamellaires. Les liposomes possèdent un grand potentiel d'applications, en particulier, ils sont utilisés dans l'industrie, comme vecteurs de substances cosmétologiques ou de thérapie génique, pour délivrer des médicaments, ou encore comme supports de vaccins. Les liposomes constituent surtout un bon modèle membranaire, et sont largement employés, pour mieux comprendre les mécanismes intervenant au niveau de la membrane, comme la perméabilité, la fluidité, l'ancrage de protéines ou encore la fusion de deux mem-

Notons que les phospholipides se réorganisent dans une configuration la plus thermodynamiquement stable (énergie minimale) (Fig. 2.5).

3.3 Propriétés statistiques des biomembranes.

Dans ce paragraphe, nous rappelons l'essentiel de l'étude des propriétés mécaniques de la bicouche lipidique ainsi que le formalisme associé. L'outil pour cela est une approche élaborée par Helfrich, basée sur l'énergie de courbure.

3.3.1 Description thermodynamique.

Parmi les paramètres pertinents dans la description d'une membrane fluide, nous pouvons citer son aire totale,AT, et son aire projetée, AP. Ces aires sont deux variables thermodynamiques indépendantes [6, 7]. En effet, l'aire totale ne peut être modifiée que par échange de molécules avec un réservoir ou par effet de dilatation (due aux fluctuations thermiques de la membrane). Des expériences d'aspiration par

micropipette ont montré que les vésicules sont très résistantes aux déformations de compression et de dilatation [9] : les membranes sont peu extensibles et peuvent donc être considérée comme incompressibles. La variable conjuguée à l'aire totale AT est alors directement proportionnelle au potentiel chimique des tensio-actifs.. En revanche, l'aire projetée AP dépend des contraintes appliquées : cisaillement, adhésion, ..., le paramètre conjugué étant une tension de surface. Une propriété spéciale de ces systèmes auto-assemblés est que, en l'absence de contraintes, l'aire projetée d'une membrane fluctuante s'adapte, de manière à minimiser l'énergie, et donc s'ajuste pour annuler la tension de surface. Notons que ce point n'est pas forcément vrai pour une surface fermée, comme par exemple une vésicule, où les fluctuations thermiques sont responsables de la tension [10,11].

3.3.2 Théorie de Canham-Helfrich.

La description théorique des membranes a réellement débuté avec les travaux de Canham puis ceux de Helfrich [12, 13]. En s'inspirant des propriétés des films minces, les auteurs proposèrent une approche phénoménologique basée sur l'énergie élastique de courbure suivante

2 sont les deux courbures principales, (C1 + C2) /2 la courbure moyenne (Fig. 2.6),

et C1C2 la courbure totale (de Gauss) (Fig. 2.7). L'énergie (2.1) peut être vue comme un développement en puissance des invariants du tenseur de courbure. Le der-

FIG. 3-5 -- Une forme de selle de cheval »dans le cas ci=-1/ Ri<0, c2 =1/R2>0.

nier terme de cette équation est un terme de tension de surface, et Co est la courbure spontanée de la membrane, qui peut être associée à une asymétrie de composition de la bicouche. Le paramètre K est la constante de rigidité de courbure. Cette dernière a été mesurée expérimentalement par des méthodes d'aspiration par micropipette, ou par l'étude de l'amplitude des fluctuations thermiques de la membrane [14,15]. Les valeurs obtenues sont de 10 à 50kBT, pour les membranes phospholipidiques. Quant au paramètre KG, il représente la constante élastique de courbure gaussienne, et est associé à la topologie de la membrane. Le théorème de Gauss-Bonnet [16] permet d'évaluer l'intégrale de la courbure gaussienne pour une surface fermée sans bords. Ce théorème stipule que cette intégrale dépend uniquement de la topologie de la surface, et s'exprime sous la forme suivante

FIG. 3-6 -- Une forme ellipsoïydale d'une surface dans le cas : c1 =1/R1>0 ,c2 =1/R2< 0

où la constante g est le genre topologique, et correspond au nombre de poignées de la surface (g = 0, pour la sphère, g = 1, pour le tore). Pour un système constitué de plusieurs surfaces fermées, on peut écrire la contribution de la courbure gaussienne à l'énergie de courbure comme

Ici, N est le nombre de composants déconnectées et Nh est le nombre total de poignées.

En fait, cette contribution à l'énergie de courbure agit comme un potentiel chimique qui gouverne la topologie du système. En particulier, il est important de connaître le signe de R. C'est lui qui contrôle l'apparition de poignées sur la surface, c'est-à-dire la formation de point selle de courbure moyenne quasi-nulle et de

Revenons à l'énergie de courbure de Cahnam-Helfrich et notons qu'il est possible, à partir de cette énergie, d'étudier la stabilité d'une phase lamellaire.. Nous avons vu que le terme de courbure gaussienne est celui qui contrôle la topologie du système, alors que les fluctuations de forme de la surface sont gouvernées par la courbure moyenne. On peut imaginer deux mécanismes de déstabilisation de la membrane : (i) par la création d'un passage qui coûte une énergie -47ri (en première approximation, le passage est une surface minimale de courbure moyenne nulle), et l'on gagne donc de l'énergie à créer des passages, si k > 0, (ii) ou par formation d'une vésicule (l'énergie de courbure d'une vésicule sphérique étant 47r (2k + R), et l'on gagne donc de l'énergie à créer des vésicules, si k < -2k .

3.3.3 Spectre de fluctuations thermiques.

Sous l'effet de l'agitation thermique, les molécules du milieu aqueux diffusent sur la membrane, et donc celle-ci fluctue autour de sa position d'équilibre. De nombreuses études [17] ont été consacrées à la quantification de l'effet de ces fluctuations sur la forme des vésicules. Nous nous limiterons ici au cas de membranes presque-planes. Dans ces conditions, on peut décrire la forme de la surface dans la représentation de Monge, où la position d'un point de la membrane est repérée par sa hauteur h (r) = h (x, y), par rapport à un plan de référence parallèle à la position moyenne de la membrane (Fig. 2.7).

L'énergie de la membrane peut alors être linéarisée et s'exprime comme suit

avec le potentiel extérieur U (h), qui décrit les interactions entre la membrane et un substrat solide ou une autre membrane. Ici, ã est le coefficient de tension interfaciale.

Si, maintenant, on linéarise le potentiel U autour de l'équilibre, l'énergie devient quadratique dans la déformation h (r). On peut donc décomposer la déformation de la membrane en mode de Fourier d'amplitude

Par ailleurs, le théorème d'équipartition de l'énergie permet d'écrire l'amplitude carrée moyenne de chaque mode, et l'on a

3.3.4 Interaction d'Helfrich.

Les fluctuations de forme d'une membrane lorsqu'elle se trouve au voisinage d'un substrat solide ou d'une autre membrane, conduisent à une interaction d'origine entropique dépendant de la rigidité des membranes et de la température. Cette interaction a été décrite, pour la première fois, par Helfichen 1978. Elle permet, en particulier, de comprendre la remarquable stabilité des phases lamellaires des tensio-actifs neutres.

Considérons une membrane de module de courbure ê, et négligeons, dans un premier temps, la tension de surface. Les fluctuations de cette membrane sont confinées entre deux murs distants d'une distance finie î? (Fig. 2.9a). L'on suppose qu'il n'existe que des interactions stériques à très courte portée entre les murs et la membrane. L'amplitude des fluctuations de la membrane est donc limitée par la présence des murs. On peut raisonnablement supposer qu'un choc de la membrane sur un mur décorrélé complètement les fluctuations. On voit alors la membrane comme une mosaïque de patch indépendants de taille î²II et d'amplitude de fluctuation moyenne

Ici, îII représente la longueur de corrélation dans le plan. On peut maintenant relier ces deux grandeurs en utilisant l'expression du spectre de fluctuations, définie par la relation (2.8), avec U^?= 0 et ã = 0. Alors, l'on a

FIG. 3-8 - Une membrane liquide fluctuante , qui est confinée entre deux plaques parallèles

Il reste à calculer la variation d'énergie libre, ?FS, par unité de surface due au confinement de la membrane. La courbure de la membrane liée à la présence des murs est simplement donnée par R^-¹ ~ îL/î2II. On en déduit la contribution enthalpique

Les bouts de la membrane, de taille î2II, étant indépendants, le confinement réduit leur entropie de kB et l'on obtient

A l'aide de ces considérations, l'on déduit que la variation de l'énergie libre due au confinement est

Il s'agit d'une interaction répulsive, qui est proportionnelle à l'énergie d'agitation thermique kBT, et inversement proportionnelle au module de courbure de la membrane. Traditionnellement, l'on introduit une constante, cH, et l'on écrit l'énergie de répulsion de Helfrich comme suit

Nous rappelons que de nombreuses études théoriques et numériques ont suivis les travaux pionniers de Helrich. Ainsi, Seifert [19] a proposé une généralisation de l'interaction de Helfrich au cas des membranes sous tension (ã = 0).

Dans le cas asymétrique d'une membrane neutre qui fluctue près d'un seul substrat (ou d'une seule autre membrane), l'interaction entropique (répulsion de Helfrich) repousse la membrane qui peut décoller.

Noter également que les fluctuations thermiques influent également sur les propriétés élastiques de la membrane.

3.3. 5 Longueur de persistance.

Nous finissons cette section par un rappel de la notion importante de longueur de persistance, î_p, qui est liée au phénomène de froissement de la membrane. Cette longueur a été introduite, pour la première fois, par de Gennes et Taupin [20, 21]. Cette idée a donné lieu, par la suite, à une quantité impressionnante de travaux sur les surfaces fluctuantes. Cette longueur de persistance peut être comprise en notant

qu'une surface, si elle n'est soumise à aucune tension latérale (u = 0), reste rigide jusqu'à une certaine longueur î_p. C'est la longueur au-delà de laquelle la membrane perd sont ordre orientationnel, et plus froissée à des échelles supérieures à cette même longueur. Afin de déterminer une telle longueur, il suffit de calculer la fonction de corrélation du vecteur normal n

où a_oreprésente la taille typique des lipides. La relation précédente montre que la longueur de persistance est d'autant plus importante que la rigidité de courbure est forte. Aussi, cette même échelle de longueur est sensible à la température, et qu'elle se déplace vers ces faibles valeurs à mesure que la température augmente. La formule (2.14) suggère que pour des échelles inférieures à î_p, la membrane est plane, et ses orientations sont alors corrélées. En revanche, au-dessus de î_p, la membrane est plutôt froissée, et ses orientations sont décorrélées [21]. Nous soulignons, de passage, qu'au-dessus de î_p, la description d'une membrane quasi-plane, gouvernée par le Hamiltonien de Canham-Helfrich, n'a plus de sens.

Revenons à la définition (2.15) et notons le point important suivant. C'est que la longueur de persistance î_pdépend du rapport k/kBT, et ceci d'une manière exponentielle. Une petite variation de k entraîne donc une grande variation de îp.

Ainsi, si ê N 10kBT, cette longueur est astronomique, et la membrane est lisse, à toutes les échelles. Si ê N kBT, î_pN 0, 5 pm, pour la valeur a_oN 10 Angströms, les fluctuations de courbure sont assez fortes, pour des vésicules géantes ou des globules rouges. Si ê N 0, 1kBT, î_pN 230 Angströms.

Enfin, soulignons que, pour les micro-émulsions, la longueur î_pfixe l'échelle de taille de la dispersion de l'huile dans l'eau ou l'inverse.

3.4 Conclusions.

Dans ce chapitre, nous avons passé en revue les différentes composantes des biomembranes. Les lipides ont la caractéristique de s'auto-organiser spontanément en une bicouche. Cette structure, à la base de la membrane cellulaire, a des propriétés très anisotropes. Les vésicules, des bicouches refermées sur elles-mêmes, quant à elles, sont largement utilisées à la fois en biologie, comme systèmes modèle de la membrane cellulaire, et en physico-chimie, en particulier pour leur capacité à séparer physiquement un petit volume d'eau du milieu aqueux environnant.

Les propriétés de la bicouche homogène sont aujourd'hui bien comprises. Pour progresser dans la modélisation de la membrane, des vésicules composées de plusieurs types de lipides ont été développées. De tels mélanges présentent des séparations de phases, conduisant à la formation des domaines de compositions différentes, flottant dans une membrane classique [1].

Aussi, nous avons présenté les propriétés élastiques des bicouches lipidiques, en se basant sur une description phénoménologique de Canham-Helfrich. Nous avons rappelé, également, comment on en déduit le spectre de fluctuations, ainsi que la

répulsion entropique due au confinement de la membrane. L'accent a été, également, mis sur la notion importante de longueur de persistance.

Bibliographie

Chapitre 4

Effet de Casimir dans les

biomembranes confinées.

Dans ce chapitre, qui consiste notre première contribution originale, nous réexaminons le calcul de la force de Casimir entre deux plaques interactives parallèles délimitant un liquide comptant une biomembrane immergée. Nous désignerons par D, la distance qui sépare les deux plaques, et l'on suppose que cette dernière est beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de cette membrane. Cette force répulsive provient des ondulations thermiques de la membrane. Nous avons traité aussi bien l'aspect statique que l'aspect dynamique.

4.1 Introduction.

parent la cellule de son environnement, et agissent alors comme une barrière sélective

Les membranes cellulaires ont une importance cruciale dans la vie, car elles sé-

de la matière. Les détails descriptifs de l'organisation structurale et des fonctions de base des biomembranes peuvent être trouvés dans Réfs. [2 - 8].

Les membranes cellulaires sont formées par une bicouche de phospholipide combinée avec une variété de protéines et de cholestérol. Particulièrement, ces derniers assure la fluidité des bicouches. Un phospholipide est une molécule amphiphile qui possède une tête polaire hydrophile (qui aime le milieu aqueux) attachée à deux chaînes carboniques hydrophobes (qui n'aiment pas le milieu aqueux).

Les phospholipides se déplacent librement dans la bicouche membranaire, dont l'épaisseur est de l'ordre de 50 Angströms. En fait, ces deux propriétés permettent de considérer la membrane comme une membrane fluide à deux dimensions.

La membrane fluide, auto-s'assemblée de solutions du surfactant, peut avoir une variété de formes et de topologies [9], qui ont été expliquées en terme de l'énergie de courbure [10, 11].

Dans de vraies situations, les biomembranes ne sont pas confinées dans les liquides à extension infinie, mais elles sont plutôt confinées par des frontières géométriques, telles que les globules blancs et rouges ou des liposomes, comme vecteurs de transport de médicaments dans les vaisseaux sanguins [11 - 14]. Pour la simplicité, nous considérons la situation où la biomembrane est confinée dans un domaine liquide, qui est fini dans une direction spatiale donnée. Nous désignons par D, la taille géométrique de ce domaine. Pour un tube, D étant le diamètre, et pour un domaine liquide délimité par deux plaques parallèles, cette taille est simplement la séparation entre les murs. Naturellement, la longueur D doit être comparée à la rugosité en volume, Li, qui est la taille typique des bosses provoquées par les fluctuations thermiques de la membrane. Ces fluctuations dépendent naturellement de la nature

des molécules de lipide formant la bicouche. La biomembrane est confinée seulement quand D est beaucoup plus petite que la rugosité en volume L^~_?. Cette condition est semblable à celle habituellement rencontrée dans le contexte des polymères confinés [15].

Les ondulations de la membrane provoquent des interactions effectives répulsives entre les frontières géométriques confinantes.. La force induite ou encore force du Casimir, qui est manifestement fonction de la taille D, doit s'atténuer avec la distance. Dans ce chapitre, nous sommes intéressés par la façon dont cette force diminue avec la distance. Pour simplifier les calculs, nous supposons que la membrane est confinée entre deux plaques parallèles, qui sont à une distance finie l'une de l'autre, c'est-à-dire D < Li.

Le mot "Casimir" est inspiré de l'effet Casimir traditionnel. Un tel effet, prédit pour la première fois par Hendrick Casimir, en 1948 [16], peut être considéré comme l'une des découvertes fondamentales du siècle dernier. Selon Casimir, les fluctuations quantiques du vide d'un champ électromagnétique confiné produisent une force attractive entre les deux plaques parallèles non chargées et parfaitement conductrices. L'effet Casimir a été confirmé dans des expériences plus récentes par Lamoreaux [17] et par Mohideen et Roy [18]. Par la suite, Fisher et de Gennes [19] remarquèrent que l'effet Casimir apparaît aussi pour les systèmes critiques, tels que les fluides, les mélanges de liquides simples ou de polymères, l'hélium liquide ⁴He ou les liquide-cristaux, dans des géométries restreintes ou en présence de particules colloïdales immergées. Pour ces systèmes, les fluctuations critiques du paramètre d'ordre jouent le rôle des fluctuations quantiques du vide, et conduisent à des forces de longue portée entre les plaques confinantes ou entre les colloïdes immergés [20, 21].

Pour calculer la force de Casimir entre les plaques parallèles, nous élaborons d'abord une théorie des champ générale, qui prend en considération les interactions primitives senties par la membrane confinée. Comme nous verrons ci-dessous, en régime de confinement, ce modèle de champ dépend seulement de deux paramètres, qui sont la constante de rigidité de courbure de la membrane et d'une constante de couplage contenant toute les informations sur le potentiel d'interaction exercé par les plaques. En outre, le dernier paramètre est une fonction connue de la séparation D. A l'aide de l'énergie libre construite, nous avons calculé, pour la première fois, la force de Casimir statique (par unité d'aire), fJ. Les calculs exacts montrent que cette dernière diminue avec la séparation D, selon une loi de puissance, c'est-à-dire f ~ ê-1 (kBT)²D^-³, avec une amplitude connue. Ici, kBT désigne l'énergie thermique, et ê est la constante de rigidité de courbure de la membrane. Naturellement, cette force augmente avec la température, et a des valeurs significatives seulement pour des biomembranes à faible ê. Le deuxième problème que nous avons examiné est le calcul de la force de Casimir dynamique, n(t). Plus précisément, nous avons considéré une biomembrane à une température T, qui est au début dans un état d'équilibre où elle est presque plate, et nous étions intéressés par la façon dont la force induite se développe dans le temps, avant que l'état final soit atteint. En utilisant un argument d'échelle, nous avons montré que la rugosité de membrane, L? (t), augmente avec le temps, comme L? (t) ~ t¹/⁴(t < ô), avec ô ~ D⁴, est le temps final, durant lequel la membrane atteint son état d'équilibre final. En plus, nous constatons que la force augmente avec le temps selon _n(t) ~ t¹/²(t < ô). La discussion est étendue à la vraie situation où la biomembrane est en présence d'interactions hydrodynamiques, provoquées par le liquide ambiant. Dans ce cas,

nous montrons que L? (t) ~ t¹/³(t < Th) et FI (t) ~ t²/³(t < Th), avec le nouveau temps final Th ~ D³.

En conséquence, les interactions hydrodynamiques provoquent des changements drastiques des propriétés dynamiques de la membrane confinée, puisque la rugosité et la force induite se développent plus rapidement.

Ce chapitre est organisé comme suit. En Sec. II, nous présentons le modèle de champ permettant la détermination de la force Casimir, du point de vue statique et dynamique. Les Secs. III et IV sont consacréss au calcul des forces induites statiques et dynamiques. Nous retraçons nos conclusions dans la dernière section. Quelques détails techniques sont présentés dans l'Appendice A.

4.2 Formulation théorique.

Nous considérons une membrane liquide fluctuante, qui est confinée entre deux plaques parallèles interactives 1 et 2, séparées par une distance finie D. Naturellement, la séparation D doit être comparée à la rugosité en volume de la membrane, L^°_?, quand le système est illimité (la membrane est libre). La membrane est confinée seulement quand la condition L << L^°_?est satisfaite. Pour la situation opposée, c'est-à-dire L >> L^°_?, nous nous attendons à des corrections de taille finie, expo-nentiellement petites. Ici, z = -D/2 et z = D/2 sont les positions des deux plaques, dans la direction perpendiculaire. Pour la simplicité, nous supposons que les deux surfaces sont physiquement identiques. Nous désignons par V (z), le potentiel d'interaction exercé par une plaque sur la membrane fluide, en l'absence de l'autre. Habituellement, V (z) est la somme de deux potentiels, l'un est répulsif et l'autre

représente le potentiel d'hydratation répulsif, qui est dû aux molécules d'eau insérées entre les têtes hydrophiles des molécules de lipide [22]. L'amplitude Ah et la portée du potentiel, ëh, sont de l'ordre de Ah ' 0.2J/m²et ëh ' 0.2 - 0.3nm. En fait, l'amplitude Ah est Ah = Ph X lh, avec la pression d'hydratation Ph ' 10⁸- 10⁹Pa. Ici, VvdW(z) est le potentiel de van der Waals entre une plaque et la biomembrane, qui sont séparées par une distance z. Sa forme est comme suit

Ici, H désigne la constante d'Hamaker, qui est homogène à une énergie. Pour des surfaces de basses énergies (solides organiques), H est de d'ordre de 10^-21J, soit du même ordre de grandeur que l'énergie thermique kBT. En revanche, elle ne dépasse pas 10^-18J, pour des surfaces de hautes énergies (métaux, céramiques, ...). Dans les phases vapeurs, H est totalement négligeable. Dans la formule précédente, ä est l'épaisseur de membrane, qui est de quelques nanomètres. Pour des grandes valeurs de la distance z, l'on a

Généralement, en plus de la distance z, le potentiel d'interaction, V (z), dépend de certaines échelles de longueur, (î_~, ..., î_n), qui sont les portées des interactions. La membrane fluide sent alors le potentiel total suivant

Comme la membrane peut être regardée comme une plaque élastique à deux dimensions, alors, dans la représentation de Monge, un point de surface peut être décrit par un vecteur-position tridimensionnel r = (ñ, z) E R³, où ñ = (x, y) E R2 est le vecteur transverse, et z = h (x, y) E [-D/2, D/2] est la distance perpendiculaire à la plaque localisée à z = 0. Ici, la fonction de hauteur h (x, y) peut prendre des valeurs positives ou négatives. L'Hamiltonien total, H, du système est donné par [9, 23]

Ici, ê est la constante de rigidité de courbure. Cette dernière est comparable à l'énergie thermique kBT, où T est la température absolue et kB est la constante de Boltzmann. W(h) est le potentiel d'interaction par unité d'aire, qui se présente comme suit

où le potentiel U(h) est celui défini par la relation (3.2), et L est la taille linéaire latérale de la biomembrane.

Maintenant, discutons les propriétés analytiques du potentiel d'interaction, W (h). Premièrement, la relation (3.2) suggère que ce potentiel total est une fonction paire de la distance perpendiculaire h, c'est-à-dire

Deuxièmement, quand ils existent, les zéros, ho, de la fonction potentielle W (h) sont tels que

Cette égalité indique que, si ho est un zéro de la fonction potentielle W (h), alors -ho l'est aussi. Le nombre de zéros est alors un nombre pair. En outre, dans tous les cas, les ho sont différents de 0. En effet, la quantité V (D/2) est non non nulle, puisqu'elle représente le potentiel créé par une plaque au milieu du film. Nous soulignons que, lorsque le potentiel considéré est différent de zéro, il est répulsif ou attractif. Quand ce même potentiel s'annulent en quelques points, alors il est soit répulsif ou attractif entre deux zéros consécutifs.

Troisièmement, nous notons d'abord que, de la relation (3.2), nous déduisons que la dérivée première de la fonction potentielle est une fonction impaire, auquel cas W' (-h) = -W^'(h). En appliquant cette relation à la médiane h = 0, nous obtenons que W^' (0) = 0. Par conséquent, le potentiel W présent un extremum à h = 0, quelle

que soit la forme de la fonction V (h). Nous trouvons aussi que l'extremum h = 0 est un maximum, si V ^?(D/2) < 0, et est un minimum, si V ^?(D/2) > 0. Le potentiel W présente une tangente horizontale à h = 0, si seulement si V ^?(D/2) = 0. D'une part, la condition générale donnant les extrema {h_m} est

Puisque la dérivée première W^'(h) est une fonction impaire de la distance h, elle doit avoir un nombre impair de points extremum. Le point h = h_m est un maximum, si

Notons que les déductions ci-dessus dépendent, naturellement, de la forme du potentiel d'interaction V (h).

Enfin, une analyse dimensionnelle simple montre que le potentiel d'interaction total peut être réécrit sous la forme d'échelle suivante

où (î₁, ..., î_n) sont les diverses échelles de longueurs, et Ö (x1, ..., xn+1) est une fonction d'échelle à n + 1 facteurs. En conclusion, nous notons que le potentiel de paire, W (h), ne peut pas être singulier à h = 0. C'est plutôt une fonction analytique dans la variable h. Par conséquent, aux rapports fixés æ_i/D, un développement limité, au second ordre, de la fonction d'échelle Ö, autour de la valeur h = 0, donne

Nous nous limitons à la classe des potentiels qui présentent un minimum autour du plan d'équilibre, situé à h = 0. Dans ce cas, le coefficient ã est défini positif, c'est-à-dire ã > 0. Bien-sûr, un tel coefficient dépend des rapports æi/D. Dans le régime de confinement, où la distance h est assez petite, nous pouvons assimiler le potentiel d'interaction total par la partie quadratique. Dans ces conditions, le Hamiltonien Can ham-Helfrich devient

Le préfacteur ã sera calculé plus loin. L'expression ci-dessus de la constante élastique u donne une idée sur sa dépendance de l'épaisseur du film D. En outre, nous soulignons que ce coefficient peut être considéré comme un multiplicateur de Lagrange

que l'égalité précédente indique que la rugosité de la membrane est indépendante

Nous aurons besoin de la fonction de corrélation (ou fonction de Green) hauteur-hauteur

G(ñ - ñ^') = (h(ñ)h(ñ^')) - (h (ñ)) (h (ñ^')) . (3.14)

(^~ê?²_ñ +^~p) G(ñ - ñ^') = ä2 (ñ - ñ^') . (3.15)

Ici, ä2 (x) est la fonction de Dirac bidimensionnelle, et ?_ñ = ?²/?x² + ?²/?y² représente l'opérateur Laplacien en dimension 2. Nous avons employé les notations ^~ê = ê/kBT et u = p/kBT, pour désigner les constantes d'élasticité de la membrane réduites.

A partir de ce propagateur, nous déduisons l'expression de la rugosité de la membrane, ou encore le carré moyen de déplacement,

Une telle quantité mesure l'amplitude des fluctuations thermiques de la membrane, autour du plan d'équilibre, situé à h = 0. Nous montrons, dans l'Appendice B, que la rugosité de la membrane est exactement donnée par

à condition qu'on soit dans le régime de confinement, c'est-à-dire D << Li. Notons

des propriétés géométriques de la membrane (à travers ê). Nous soulignons que cette même relation peut être retrouvée en utilisant l'argument que chaque point de la membrane a la même probabilité de se retrouver en n'importe quel point entre les deux plaques [24].

La constant élastique u peut être calculée, en utilisant la relation connue

Cette formule indique clairement que cette constante élastique décroît avec la séparation D, comme D^-⁴. Le terme uh²/2 décrit alors un potentiel de confinement, qui assure la localisation de la membrane autour du plan d'équilibre. L'intégrale spatiale de ce terme représente la perte d'entropie causée par le confinement de la membrane. La valeur (3.19) de la constante élastique est compatible avec la contrainte (3.17). Par conséquent, le modèle élaboré est basé sur le Hamiltonien (3.13), avec un potentiel de confinement quadratique.

Nous considérons une membrane confinée entre deux parois impénétrables, séparées par une distance D. Dans ce cas, la décroissance exponentielle des corrélations d'orientation est gouvernée par la longueur L11. Les fluctuations de la hauteur de la membrane sont caractérisées par l'échelle L1, qui doit rester en dessous de la séparation D. De la relation standard

libre associée est tel que : F = -kBT ln Z, qui est, naturellement, une fonction de la

Contrairement à L1, l'extension latérale L11 dépend des caractéristiques de la membrane (à travers ê).

Les étapes suivantes consisteront au calcul de la force de Casimir en équilibre et hors équilibre.

4.3 Force de Casimir statique.

Les membranes des vésicules présentent des fluctuations thermiquement excitées. Généralement, les objets tels que des interfaces, les membranes ou les polymères subissent de telles fluctuations, afin d'augmenter leur entropie de configuration. Pour des biomembranes et des agents tensio-actifs de la bicouche lipidique, la conséquence de ces ondulations provoquent une force induite, appelée force de Casimir. Pour calculer la force désirée, nous partons de la fonction de partition, construite avec le Hamiltonien (3.13). Cette fonction de partition est l'intégrale fonctionnelle suivante

L'intégrale fonctionnelle s'étend sur toutes les configurations du champ h. L'énergie

séparation D. Si nous désignons par E = L² l'aire de la surface commune des deux plaques, la force de Casimir (par unité d'aire), fJ, est moins la dérivée première de l'énergie libre (par unité d'aire) par rapport à la séparation D, c'est-à-dire

L'expression ci-dessus de la force de Casimir (par unité d'aire) appelle les re-

Cette force par unité d'aire est homogène à une pression. En fait, fJ est la pression suffisante pour maintenir les deux plaques à une certaine distance D l'une de l'autre. En terme de la fonction de partition, nous avons

En utilisant la définition (3.19) et les relations (3.23) et (3.24), nous trouvons que

De cette relation, nous extrayons l'expression du potentiel de séparation (par unité d'aire) [25]

Premièrement, cette force décroît plus vite que la force de Colomb, qui se comporte plutôt comme D^-².

Deuxièmement, cette même force dépend de la nature des lipides formant la bicouche lipidique (à travers la constante de rigidité de courbure de la membrane ê). Notons que la présente force n'est pas universelle, contrairement à l'effet Casimir rencontré habituellement en Théorie Quantique des Champs [16] et en Phénomènes Critiques [20]. Cela tient au fait que l'amplitude de cette même force dépend de la nature des molécules de lipide formant la bicouche.

Troisièmement, à température et à distance fixées, l'amplitude de force n'a de valeurs significatives que pour les petites constantes de rigidité de courbure de la membrane.

Enfin, comme elle se doit, cette force augmente avec la température. En effet, à température élevée, les ondulations de la membrane sont très fortes.

En conclusion, le préfacteur numérique 3/8 (ou amplitude d'Helfrich cH [9]) est proche de la valeur obtenue en utilisant la simulation Monte Carlo [26].

Dans la Fig. 3.1, nous superposons les variations de la force statique réduite, fJ /kBT, en fonction de la séparation D, pour deux systèmes lipidiques, à savoir les SOPC et DAPC [27], à la température T = 18C^?. Les constantes de rigidité de courbure respectives sont : ê = 0.96× 10^-19J et ê = 0.49 × 10^-19J. Ces valeurs dimensionnées correspondent aux constantes : /Z = 23.9 et ^~ê = 12.2. La méthode courante pour la mesure de ces constantes de rigidité est la méthode de micro-pipette [27]. Les courbes tracées reflètent la discussion faite ci-dessus.

FIG. 4-1 -- Les variations de la force statique réduite, fJ /kBT, en fonction de la séparation D, pour deux systèmes lipidiques, à savoir SOPC ( ligne continue) et DAPC (ligne pointillés ), à la température T = 18C^?

4.4 Force de Casimir dynamique.

Pour étudier les phénomènes dynamiques, la quantité d'intérêt est la fonction hauteur, h (r, t), qui dépend du vecteur-position r = (x, y) E R²et du temps, t. Cette dernière représente l'observation dans le temps du système, avant qu'il atteigne son état d'équilibre final. Nous rappelons que la fonction h (r, t) est solution de l'équation non-dissipative de Langevin (avec bruit) [28]

Ici, n° est le Hamiltonien statique (divisé par kBT) et F > 0 est le coefficient cinétique. Ce dernier a les dimensions : [F] = L°T -1

de longueur et T_°est l'unité de temps. Ici, v (r, t) est une force aléatoire Gaussienne,

(v(r, t)v(r^', t^')) = 28e (r - r^') 8 (t - t^') . (3.29b)

La fonction de corrélation temporelle, dont la transformée de Fourier est le facteur de structure dynamique, est définie par la valeur moyenne suivante (par rapport au bruit),

G (r - r^', t - t^') = (h(r,t)h(r^',t^'))_í- (h(r,t))_í(h(r^',t^')) í , t > t^'.

L'équation dynamique (3.28) montre que la fonction hauteur h est une fonctionnelle du bruit v, et nous écrivons : h = h [v]. Au lieu de résoudre l'équation de Langevin pour h [v], puis moyenner, ensuite, sur la distribution du bruit, P [v], les fonctions de corrélation et de réponse peuvent être directement calculées à l'aide de la théorie du champ usuelle, d'action [28 - 31]

où h (r, t) est un champ auxiliaire, couplé au champ externe h (r, t).

Les fonctions de corrélation et de réponse peuvent être calculées en remplaçant le Hamiltonien statique, H0, défini par la relation (3.13), par un nouveau, qui est : H0 [h, J] = H0 [h] - f d^erJh. En conséquence, pour une observable quelconque O, nous avons

La notation ~O~_J est la moyenne calculée avec l'action A h, h, J , associée à l'Ha-

miltonien H0 [h, J]. En raison de la structure de l'égalité (3.33), le champ conjugé h est appelé champ de réponse. Maintenant, si O = h, nous obtenons la réponse du champ de hauteur à la perturbation externe J,

R(r - r^',t - t^') = ä äJ (r,t'))J = Ch(r,t) h(r',t')> _ .(3.34)

La causalité implique que la fonction de réponse est nulle pour t < t^'. En fait, cette fonction peut être reliée à la fonction de corrélation temporelle, en utilisant le théorème de dissipation-fluctuation, selon lequel

h (r,t) h(r^',t^') = -è (t - t^')?t ~h(r,t)h(r^',t^')~_c . (3.35)

La formule ci-dessus montre que la fonction de corrélation temporelle, C (r - r^', t - t^') = (cp (r, t) cp (r^', t^'))_c, peut être déterminée par la connaissance de la fonction réponse. En particulier, nous trouvons que

L²1(t) = (h² (r, t))_c = -2 f (h, (r, t) h (r^', t^')) . (3.35a)

La limite t -* -oo donne la valeur normale L²₁ (-oo) = 0, car l'état initial correspond à une interface complètement plate.

Considérons, maintenant, une membrane à la température T, qui est initialement dans un état d'équilibre thermique où elle est plate. A un temps postérieur, t, la membrane possède une certaine rugosité, L1(t). Naturellement, cette dernière est une fonction du temps. Nous sommes intéressés par la façon dont il augmente au cours du temps. Nous précisons que les fluctuations thermiques provoquent une rugosité de la membrane, qui est caractérisée par l'apparition des bosses anisotropes. Par conséquent, un segment de taille linéaire L effectue des excursions de taille [32]

Une telle relation définit l'exposant de rugosité, (. Notons que L est de l'ordre de la longueur de corrélation parallèle , L11. De la relation (3.20), nous déduisons l'exposant ( et la valeur de l'amplitude B. Alors, nous avons ( = 1 et B ~ (kBT/ê)^1/2.

Afin de déterminer la croissance de la rugosité dans le temps, L1 (t), la clé est de considérer l'excès d'énergie libre (par unité d'aire) ?F, due au confinement (perte d'entropie). La formule (3.27) nous indique que ?F doit diminuer avec la séparation. Le résultat s'écrit [32]

En outre, une analyse attentive de l'équation de Langevin (3.28) montre que

Nous soulignons que cette loi d'échelle est conforme aux prédictions de Monte Carlo [32, 33]. La solution de cette équation, de premier ordre, est [34]

où Lmax représente une certaine longueur d'onde, au-dessus de toutes les fluctuations

de forme, qui ne sont pas accessibles par la membrane confinée. L'interaction de

Premièrement, la rugosité augmente avec le temps (l'exposant è? étant défini positif). En plus, l'exposant è? est universel, indépendamment de la constante de rigidité de courbure ê.

Deuxièmement, notons que, dans l'égalité (3.39), nous avons ignoré une certaine amplitude, qui n'est pas universelle et se comportant comme ê-1/4. Cela signifie que la rugosité temporelle est significative, seulement pour ces biomembranes de petite

Quatrièmement, cette rugosité peut être interprétée comme la taille perpendiculaire des trous et vallées, au temps t.

Enfin, la rugosité augmente jusqu'à un temps final, ô. Ce dernier peut être interprété comme le temps au bout duquel le système atteint son état d'équilibre final. Le temps caractéristique se comporte comme

où nous avons ignoré une certaine amplitude dépendant de ê. Ici, LL ~ D est la rugosité finale. Explicitement, nous avons

Comme qu'il devrait être, le temps final augmente avec l'épaisseur du film D. d'une part, nous pouvons réécrire le comportement (3.39) comme suit

Cette égalité signifie que le rapport de rugosité, en fonction du temps réduit, t/ô, est universel.

Maintenant, pour calculer la force de Casimir dynamique, nous partons d'une formule analogue à (3.24), c'est-à-dire

Ce qui est très semblable à la relation statique (3.25), mais avec une rugosité de membrane dépendant du temps , L1 (t). La combinaison des formules (3.43) et (3.46) mène à l'expression désirée de la force de Casimir (par unité d'aire), en fonction du temps,

où ri(ô) est la force de Casimir statique finale, définie par la relation (3.25). L'exposant de force, èf, est tel que

Alors, la force induite se développe dans le temps comme t^1/2, jusqu'à ce qu'elle atteigne sa valeur finale, ri (ô). Au temps ô, l'amplitude de la force diminue comme ê-3/2. En outre, notons que l'égalité ci-dessus signifie que le rapport de force, en fonction du temps réduit, est universel.

Dans la Fig. 3.2, nous reportons la force de Casimir dynamique réduite, ri (t) / ri (ô), en fonction du temps renormalisé t/ô.

où (ôh) est la force de Casimir statique, relation (3.25). Le nouvel exposant de

FIG. 4-2 -- La force de Casimir dynamique réduite, (t) / (ô), en fonction du temps renormalisé t/ô.

Considérons cette fois-ci une membrane, qui en présence d'interactions hydrodynamiques. Dans ce cas, la rugosité se développe dans le temps comme [35]

Donc, l'augmentation de la rugosité avec le temps est relativement plus rapide que celle où la membrane est en absence d'interactions hydrodynamiques. Dans cette situation, la force de Casimir dynamique est telle que

FIG. 4-3 -- La force dynamique réduite (avec des interactions hydrodynamiques), Hh (t) /H (Th), en fonction du temps renormalisé t/Th.

Ici, Th ~ D³est la nouvelle échelle de temps, au bout duquel la membrane confinée atteint son état d'équilibre final. Par conséquent, la force de Casimir dynamique croit avec du temps comme t²/³, donc plus rapidement que celle en l'absence d'interactions hydrodynamiques, qui croit plutôt comme t¹/².

Nous illustrons, dans la Fig. 3.3, la variation de la force dynamique réduite (avec des interactions hydrodynamiques), Hh (t) /H (Th), en fonction du temps renormali-sée t/Th.

Après, nous avons abordé le calcul de la force de Casimir statique, fJ. A l'équi-

4. 5 Conclusions.

Dans ce chapitre, nous avons réexaminé le calcul de la force de Casimir entre deux parois parallèles délimitant une membrane lipidique fluctuante, qui est immergée dans un certain liquide. Cette force est provoquée par les fluctuations thermiques de la membrane. Nous avons étudié le problème, du point de vue statique et dynamique. Nous nous étions intéressés, pour la première fois, à la variation temporelle de la rugosité, Li, en partant d'une membrane qui est initialement dans un état plat, et à une certaine température.

Naturellement, cette rugosité se développe avec le temps, et nous avons trouvé que Li(t) ,,, t^e^? (èi = 1/4), à condition que les interactions hydrodynamiques soient ignorées. Pour de vrais systèmes, toutefois, ces interactions sont importantes, et

.èi = 1/3 . Le processus dynamique est alors arrêté à un ô (ou ôh) final, qui re-

présente le temps nécessaire pour que la biomembrane atteigne son état d'équilibre final. Ce temps final se comporte comme : ô ~, D⁴ (ôh ~, D³), avec D l'épaisseur du film.

Maintenant, supposons que le système est exploré à des échelles de l'ordre de la longueur d'onde, q^-¹, où q = (4ð/ë) sin (è/2) est le module du vecteur d'onde, ë est la longueur d'onde du rayonnement incident, et è est l'angle de diffusion. Dans ces conditions, le taux de relaxation, ô(q), comme fonction de q, se comporte comme ô^-¹ (q) N q1/3? = q⁴ (^.ô^-¹(q) t,, q1/ê? = q³) . Physiquement parlant, le taux de relaxation caractérise la croissance locale des fluctuations de taille q^-¹.

libre, en utilisant une Théorie de Champ appropriée, nous avons montré que cette force décroît avec la séparation D comme : f ~ D^-³, avec une amplitude se comportant comme ê^-¹, où ê est la constante de rigidité de courbure de la membrane. Une telle force est alors très petite, en comparaison à la force de Coulomb. En outre, cette force a tendance à disparaître, quand la température du milieu est suffisamment abaissée.

La force de Casimir dynamique, fJ(t), a été calculée, en utilisant une équation de Langevin non-dissipative (avec un bruit), satisfaite par la fonction hauteur. Nous avons montré que II (t) ~ t^èf (èf = 2è? = 1/2). Quand les effets hydrodynamiques

d'interactions sont importants, nous avons trouvé que la force dynamique augmente

Enfin, notons que nous avons ignoré certains détails, tels que le rôle des inclusions (protéines, cholestérol, glycolipides, et autres macromolécules) et la différence chimique entre espèces sur l'expression de la force. Il est bien établi que ces détails conduisent simplement à une renormalisation additive de la constante de rigidité de courbure de la membrane. En effet, nous écrivons êeffective = ê + äê , avec ê la constante de rigidité de courbure de la membranes dépourvue d'inclusions, et äê est la contribution des entités incorporé. Généralement, le décalage äê est une fonction de la concentration des inclusions et de la composition des espèces de la nature chimique différente (divers phospholipides formant la bicouche). Par conséquent, pour prendre en considération la présence des inclusions et de la différence chimique, il serait suffisant de remplacer la constante ê par une effective ê+äê, dans les relations établies ci-dessus.
·

Bibliographie

Science, Engineering and Applications, p. 701, D. Reiidel Pulishing Compagny, 1986.

Chapitre

Dynamique Brownienne de

colloïdes au contact d'une

biomembrane confinée.

Dans ce chapitre, qui consiste notre deuxième contribution originale, nous considérons une solution colloïdale au contact d'une biomembrane, qui est confinée dans une fente. L'on suppose que l'épaisseur de cette fente est beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de la membrane. Le but étant l'étude de la dynamique Brownienne de ces particules, sous la variation d'un paramètre adéquat, tel que la température, par exemple. L'objet de base est la densité locale des particules. Nous déterminons exactement cette densité, qui est fonction de la distance et du temps. L'outil pour cela est l'équation de Smolokowski.

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 96

.1 Introduction.

Les membranes biologiques constituent un élément fondamental dans l'organisation cellulaire, car elles séparent la cellule de son environnement, et agissent comme une barrière sélective vis-à-vis de la matière. Les détails descriptifs de l'organisation structurale et les fonctions de base des biomembranes peuvent être trouvés dans les Réfs. [2 - 8].

Les membranes cellulaires sont formées par une bicouche de phospholipides combinée avec une variété de protéines et de cholestérol. Particulièrement, ces derniers assure la fluidité de la bicouche. Un phospholipide est une molécule amphiphilique possédant une tête polaire hydrophile attachée à deux chaînes carboniques hydro-p hobes.

Les phospholipides se déplacent librement sur la surface de la membrane, et l'épaisseur de la bicouche membranaire est de l'ordre de 50 Angströms. En fait, ces deux propriétés permettent de considérer la membrane comme une membrane fluide à deux dimensions.

Les membranes fluides, auto-s'assemblées de solutions du surfactant, peuvent avoir une variété de formes et de topologies [9], qui ont été expliqués en terme de l'énergie de courbure [10, 11].

Généralement, les biomembranes ne sont pas immergées dans les liquides d'extension infinie, mais elles sont confinées dans des domaines à frontières géométriques. Des exemples typiques sont fournis par les globules blancs et rouges ou liposomes (agents de transport de médicaments [12 - 15]), dans les vaisseaux sanguin. Pour obtenir des résultats quantitatifs, nous considérons la situation où la biomembrane

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 97

est piégée dans un liquide délimité par deux parois parallèles, qui sont séparées par une distance finie, L. Cela veut dire que la séparation L est plus petite que la rugosité moyenne de la membrane, eL (géométrie en film). Cette dernière peut être considérée comme la dimension typique des bosses, causée par les fluctuations thermiques de la membrane. Bien sûr, l'échelle et dépend de la nature des molécules de lipide formant la bicouche. Alors, la condition L < eL assure le confinement de la biomembrane. Une telle condition est semblable à cela rencontrée habituellement dans le contexte des polymères confinés [16].

Généralement, les membranes fluides ne sont pas pures. En effet, elles sont en présence d'entités, comme les protéines, les petits et les macro-ions, ou des structures complexes [17]. Par exemple, les suspensions des membranes utilisées dans les détergents et les produits de beauté sont habituellement en contact avec de nombreux additifs (macromolécules ou colloïdes), dans le but d'améliorer leur efficacité et de contrôler leurs propriétés de visco-élasticité [18]. Pour modéliser l'organisation de ces entités externes ainsi que leur influence sur les propriétés mécaniques et topologiques de la membrane fluide, la manière la plus simple consiste à considérer ceux-ci comme de petites colloïdes sphériques. Nous croyons que cette considération a une bonne signification physique, lorsque les tailles de certaines phénomènes sont plus grandes que les dimensions caractéristiques des entités voisines (diamètre des particules, rayon de giration des macromolécules, etc.).

L'organisation des nanoparticles autour d'une membrane fluide fluctuante, dans un domaine liquide infini, est le sujet de nombreux travaux théoriques très récents [19 - 21]. La question a été adressée aux propriétés statistiques des particules médiatisées par les ondulations de la membrane. En particulier, il a été trouvé que

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 98

ces ondulations induisent une agrégation des perles, au voisinage de la membrane fluide. Une telle agrégation est causée par l'apparition des forces attractives due à leur contact avec la membrane. Aussi, l'attention a été prêtée sur la transition de phase [19] conduisant les colloïdes d'une phase dispersée (gaz) à une phase dense (liquide).

Dans un travail très récent [22], on a étudié la dynamique Brownienne des nano-particules, de faible densité, qui sont au contact d'une membrane fluide pénétrable. Les colloïdes et la membrane ont été supposées qu'elles baignent dans un domaine liquide infinie. Plus précisément, le problème posé était comme ces particules sont poussées par le potentiel externe vers l'interface. Cette dynamique Brownienne sera étudiée, à travers l'évolution dans le temps de la densité de particules, sous l'effet de certains paramètres convenables (température, pression, environnement, etc.), lorsqu'elle est passée d'une valeur initiale à une autre finale.

Nous rappelons que le mouvement Brownien gouverne plusieurs phénomènes dépendant du temps, en allant des suspensions [23 - 28] aux solutions de polymère [29]. Ce mouvement peut être traité, en utilisant deux approches, à savoir l'équation de Smoluckowski ou l'équation de Langevin. Bien que ces deux formulations théoriques soient différentes, elles sont physiquement équivalentes. L'équation de Smoluckowski qui est une généralisation de l'équation de diffusion habituelle, a une pertinence claire des processus thermodynamiques irréversibles. En revanche, l'équation de Langevin n'a aucun rapport direct avec la thermodynamique, mais elle fournit un outil prospère pour la description de larges classes de processus stochastiques.

Dans ce chapitre, le but est d'étendre l'étude de la dynamique Brownienne au cas où les particules colloïdales sont au contact d'une membrane fluide fluctuante,

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qui est trompée dans un liquide délimité par deux parois impénétrables. Plus précisément, la question est de savoir comment cette dynamique peut être affectée par le confinement de la membrane. Comme nous verrons ci-dessous, ce confinement induit des changements drastiques des propriétés statistiques des perles.

Pour étudier la dynamique Brownienne d'une suspension colloïdale, près d'une membrane fluide fluctuante confinée, nous utilisons une approche basée sur l'équation de Smoluckowski. Cette dernière décrit l'évolution dans le temps de la densité de particules. Pour cela, nous rappelons d'abord la détermination du potentiel externe de la force moyenne induit par les fortes fluctuations thermiques de la membrane [20]. Pour simplifier l'étude, nous supposons que les particules sont ponctuelles et de très faible densité. La première hypothèse reste valable tant que nous nous sommes intéressés par de fortes ondulations de la membrane, alors que la deuxième signifie que les interactions mutuelles entre particules peuvent être ignorées. Donc, l'interaction restante provenant d'un potentiel externe, tire son origine des fluctuations thermiques de l'interface. Dans le domaine de distance d'intérêt, qui est la région autour de la membrane fluide, nous déterminons la forme exacte de la densité locale de particules. Cette forme dépend de la distance perpendiculaire z, comptée à partir d'une paroi prise comme origine, le temps t, et d'un certain temps caractéristique, T ~ L³/w, où L est la séparation entre les murs confinants et w est une constante de couplage mesurant l'amplitude de la force d'interaction colloïde-membrane. Cette échelle de temps peut être interprétée comme le temps nécessaire pour que les particules occupent les nouveaux trous et vallées de la membrane.

Notons que l'étude présentée dans ce chapitre, est une extension naturelle de l'étude statique de l'organisation de particules colloïdales, au contact d'une seule

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 100

Ce chapitre s'organise comme suit. Dans Sec. II, nous présentons l'essentiel de la Théorie de Champ permettant le calcul d'une quantité de base, qui est le potentiel de la force moyenne, dû aux ondulations de la membrane. L'étude de la dynamique Brownienne est le but de la Sec. III. Quelques remarques finales sont retracées dans la dernière section.

.2 Formulation théorique.

Nous considérons une membrane liquide fluctuante, qui est confinée entre deux murs parallèles interactifs 1 et 2. Nous désignons par L leur distance de séparation finie. Naturellement, la séparation L doit être comparée à la rugosité en volume de la membrane, e^o?, quand le système est illimité (membrane libre). La membrane est confinée seulement lorsque la condition L << e^o? est satisfaite.

Dans la représentation de Monge, un point de la surface peut être décrite par un vecteur-position tridimensionnels, r = (p, z) E R³, où p = (x, y) E R²est le vecteur transverse et z = h (x, y) E [-L/2, L/2]. La distance perpendiculaire est comptée du plan localisé à z = 0. Ici, la fonction de hauteur h (x, y) peut prendre des valeurs positives ou négatives.

Le Hamiltonien, 7-lo, est celui de Canham-Helfrich [10, 30], avec une tension de surface nulle (u = 0),

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 101

Ici, ê est la constante de rigidité de courbure. Cette dernière est comparable à l'énergie thermique kBT, où T est la température absolue et kB est la constante de Boltzmann. En fait, le terme uh²/2 décrit le potentiel de confinement assurant la localisation de la membrane autour d'un plan d'équilibre. L'intégrale ci-dessus représente la perte d'entropie due au confinement de la membrane. La valeur (4.2) de la constante élastique est compatible avec la contrainte que

à condition qu'on soit dans le régime de confinement où L << e1. La quantité mesurant les fluctuations, est une fonctionnelle de la hauteur (amplitude de fuctuations) autour d'un plan d'équilibre, localisé à z = 0. Nous rappelons que le résultat (4.3) a été obtenu récemment dans la Réf. [31] .

Maintenant, nous considérons un assemblage de N particules colloïdales qui sont mobiles autour d'une membrane fluide fluctuante. Pour simplifier les calculs, les particules sont supposées ponctuelles. En fait, cette supposition a un sens, seulement si la dimension des particules est plus petite que la rugosité de la membrane, e? = L/2v3. Typiquement, les particules considérées ont un diamètre de quelques nanomètres, en comparaison avec la rugosité qui est de l'ordre de 1 micromètre. De plus, nous supposons qu'il n'y a aucune interaction directe colloide-colloide. Cette hypothèse reste valable tant que la dispersion colloïdale est de faible densité. Nous rappelons que, dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'influence des ondulations

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de la membrane sur le mouvement des particules. Bien sflr, les interactions mutuelles primitives entre nanoparticles devraient être prises en considération, quand on s'intéresse à leur transition de la phase (agrgation collodale), près d'une interface fluide attractive [20].

Le Hamiltonien total décrivant la physique des colloids et membrane, s'écrit [19].

avec le Hamiltonien H_o[h], relation (4.1). Dans la définition précidente, Hcm représente l'interaction colloïde-interface. Généralement, cette dernière est une fonction compliquée des positions des particules et des configurations de la surface. Il est alors naturel de comparer la distance caractéristique î? (de l'ordre du micromètre) à la taille des particules (de l'ordre de quelques nanomètres). Si nous nous intéressons au régime où l'interface subit de fortes fluctuations, la taille des particules est plus petite queî?. En fait, cette hypothèse permet de négliger les effets de taille finie. Même avec cette simplification, Hcm reste encore être compliqué. Pour simplifier, nous supposerons que le potentiel d'interaction colloïde-surface est de contact, c'est-à-dire

Ici, S (z) est la fonction de Dirac. Dans cette définition, la somme discrète porte sur toutes les positions des particules, ri = (p_i, zi), avec 1 = i = N. Ici, w > 0 est la constante de couplage de surface. En fait, w joue le rôle de la longueur d'extrapolation, rencontré habituellement dans le contexte des Phénomènes Critiques

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 103

de Surface [32 - 34]. Dans ce modèle, l'interface est supposée pénétrable, et les colloïdes peuvent se trouver des deux côtés de l'interface. Comme il est montré dans Réf. [20], les ondulations de la membrane induisent des interactions à un et deux corps, et même plus, entre les colloïdes. Le calcul exact de ces interactions effectives a été accompli en utilisant la méthode du cumulant standard, qu'on rencontre en Théorie de Champ Statistique [35, 36].

Le système physique que nous considérons, par la suite, est une suspension très diluée de colloïdes identiques, qui sont au contact d'une membrane fluide fluctuante. Donc, les interactions mutuelles entre particules peuvent être ignorées, et la seule interaction restante est un potentiel à un seul corps (attractif), U (z), entre colloïdes et interface. Son expression est [20]

La quantité |Uo| est la profondeur du potentiel. Notons que, dans l'expression du potentiel d'interaction obtenue dans un travail antérieur [20], la rugosité î? est remplacée par son expression : î? = L/2s/3.

Faisons des commentaires à propos de l'expression du potentiel extérieur ci-dessus, ressenti par les nanoparticules.

Premièrement, en plus de la distance perpendiculaire z, le potentiel d'interaction dépend naturellement de la séparation L entre les parois réfléchissantes et de la constante couplage de surface w.

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 104

Deuxièmement, le potentiel à un corps passe par un seul minimum situé à z = 0. De plus, il est symétrique autour du point minimum.

Troisièmement, la remarque est que la profondeur de potentiel, |U0|, dépend de trois types de paramètres, qui sont la température absolue T, la constante de couplage de surface et l'épaisseur du film L. Par exemple, si T et w sont fixées, la profondeur du potentiel est inversement proportionnelle à la séparation L. Cela signifie que le potentiel externe ressenti par les perles n'a de valeurs appréciables, que pour des membranes se trouvant dans des fentes très étroites. Si T et L sont maintenant fixées à certaines valeurs, la profondeur du potentiel augmente linéairement avec la constante de couplage surface w.

Quatrièmement, nous soulignons que |U0| doit être petite, en comparaison avec l'énergie thermique kBT. Cela implique que la constante de couplage de surface w !doit bornée supérieurement, c'est-à_dire w < w^* = L x 2ð/3.

Enfin, comme il se doit, en l'absence d'interactions entre colloïdes et membrane (w = 0), le potentiel à un corps disparaît. Le potentiel (réduit) ressentis par les nanoparticules, U(z)/kBT, en fonction de la distance perpendiculaire renormalisée, z/L, est celui représenté sur la Fig. 4.1, pour deux valeurs de la constante de couplage de surface : w1 = 0, 5 x L et w2 = 0, 9 x L. La courbe dessinée avec le paramètre w2 est naturellement en dessous de celle avec une constante de couplage de surface w1 < w2.

L'expression ci-dessus du potentiel à un corps est l'ingrédient principal pour l'étude de la dynamique Browienne des particules de très faible densité, qui sont situées à proximité d'une membrane souple. Mais, afin de faciliter les calculs et obtenir des résultats exacts, l'expression ci-dessus pour le potentiel extérieur doit

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 105

est la constante élastique. La relation précédente montre que la constante élasique

FIG. 5-1 -- Le potentiel (réduit) ressentis par les nanoparticules, en fonction de la distance perpendiculaire renormalisée, z/L , pour deux valeurs de la constante de couplage de surface : w1 = 0, 5 x L et w2 = 0, 9 x L

être simplifiée. Puisque l'essentiel du phénomène se produit dans l'intervalle |z| < î? = L/2V3, un tel potentiel peut être approximé par [22]

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 106

.3 Evolution temporelle de la densité de particules.

Considérons est une suspension colloïdale, de très faible densité, qui est au contact d'une membrane fluide fluctuante. Sous un changement d'un certain paramètre physique convenable (la température, par exemple), le système est hors équilibre. Maintenant, nous nous intéressons à l'évolution dans le temps de la densité de particules, avant que la suspension colloïdale atteigne son état d'équilibre final. Hors équilibre, cette densité dépend de la distance perpendiculaire z, à partir du plan horizontal localisé à z = 0, et du temps t. La densité de particules, n (z, t) représente le nombre de colloïdes par unité de volume, à la distance z et au temps t. Pour simplifier l'étude, nous considérons que la suspension est de très faible densité, c'est-à-dire qu'l n'y a pas d'interactions mutuelles entre particules. Donc, la seule interaction induite entre les petites particules est un potentiel externe causé par les ondulations de la membrane.

.3.1 Equations de base.

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 107

où A est une constante de normalisation, et U (z) est un potentiel à un corps (attractif ), développé par la membrane fluctuante. La densité de particules à l'équilibre peut s'écrire comme

où le potentiel harmonique W (z) est celui défini par la relation (4.9). Dans la relation (4.12), n_on'est rien d'autre que la valeur maximale de la densité de particules à l'origine z = 0. Par conséquent, la formule (4.12) peut être supposée valable, pour toutes les valeurs de z, et en particulier, n (oo) -* 0.

Quand la dispersion colloïdale est hors équilibre, en plus de distance, la densité dépend du temps. Cela veut dire que les nanoparticles sont sujet d'une dynamique Brownienne, en présence du potentiel harmonique W (z). Pour calculer cette densité locale, nous rappelons que le phénomène de diffusion peut être correctement décrit par la loi de Fick. Cette dernière suggère que, si la densité est non uniforme, le flux, j (z, t), est directement proportionnel au gradient spatial de la densité, c'est-à-dire

C'est la loi de Fick modifiée. Ici, le coefficient de diffusion D est donné par

C'est la relation d'Einstein (théorème de fuctuation-dissipation [28, 29]), qui affirme que la quantité D caractérisant le mouvement thermique est reliée au coefficient de friction æ, qui spécifie la réponse à une force extérieure. Le coefficient de diffusion

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 108

ou diffusivité des particules, D, contient alors toutes les informations concernant les propriétés statistiques des particules. Notons que, plus ce coefficient de diffusion est important, plus importante sera la vitesse à laquelle se déplacent les particules. Pour une température plus élevée, les particules diffusent beaucoup, par contre, pour des solutions plus visqueuses, les particules diffusent moins. Le signe moins indique que le courant des particules se déplace des zones où la concentration en particules est élevée vers les zones où elle est faible. Revenons au coefficient de friction æ (æ^-¹étant la mobilité), et rappelons que si les particules sont assimilées à des billes de rayon a, ce coefficient a pour expression [37] : æ = 6ðç_sa, où ç_sest la viscosité du solvant.

En plus, nous avons l'équation de continuité, ou la loi de conservation des espèces (la variation de la quantité d'espèces dans un volume est égale au bilan de flux entrant et sortant),

Une combinaison des relations (4.13) et (4.15) donne l'équation de Smoluckowski (à une dimension)

satisfaite par la densité de particules locale n (z, t). A l'équilibre, nous avons ?n/?t = 0, et alors, le vecteur densité de courant de particule j ne dépend ni du temps, ni de la position. Dans ces conditions, l'équation différentielle (4.16) devient : kBT?n/?z+n? W/?z = 0, dont la solutution est neq (z) = n_oexp {-W (z) /kBT}.

Si nous remplaçons le potentiel harmonique W (z) par sa forme explicite (4.9),

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 109

Cette nouvelle équation de Smoluckowski doit satisfaire les deux conditions aux limites

Si la température T et la séparation L sont fixées, les densités de particules initiale et finale à l'équilibre, ni (z) et nf (z), sont complitement déterminées par les constantes de couplage de surface initiale et finale w_% et wf. Par conséquent, la dynamique Browienne peut être causée par un changement de l'environnement membranaire.

où les deux densités de particules à l'équilibre initiale et finale sont données par

n (z, t) = nf (z)+e^t/^ôf [2ðDô (e2t/ôf - 1)]-1/2 +8 dy exp - (zet/ f - y)

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 110

où w. et wf > wi sont les constantes de couplage de surface initiale et finale. Cela veut dire que l'interaction colloïde-membrane est soudainement augmentée de w. à wf. Comme il devrait être, le temps ô dépend des caractéristiques de la membrane fluide, et de ses interactions avec les petites particules, à travers la rugosité moyenne î?, et la constante de couplage de surface w. En particulier, ôf peut être interprété comme un temps au-delà duquel le système colloïdal atteint son état d'équilibre final. Les fortes ondulations de la membrane (ou les fortes intéractions colloïdes-membrane) nécessitent un petit temps avant que le système colloïdal atteigne son état d'équilibre final. En fait, l'échelle de temps ôf peut avoir une autre signification physique, et peut être regardée comme un temps pour que les particules occupent les nouveaux trous et vallées de la membrane.

Une intégration sur la variable y dans la relation (4.19) donne la forme de la densité de particules temporelle

n (z, t) = no [1 + ç ^(e-^2t/ôf - ^1)]-1/2 exp -1 + ç (e2t/ôf _ 1) ( 2Dôi) ,

La notation est l'adsorbance moyenne. Cette dernière est définie comme le nombre

Chapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 111

Premièrement, il est facile de vérifier que la solution (4.23) satisfait les deux conditions aux limites (4.18), où les états à l'équilibre initial et final sont définis par les relations (4.20) et (4.21).

Deuxièmement, quant la densité de particules est réduite par nⁱ, elle devient une fonction d'échelle universelle, indépendamment de tous les détails particuliers de la membrane, et de ses interactions avec les colloïdes. Cette fonction dépend de trois facteurs sans dimensions, qui sont la distance renormalisée z/v2Dôi, le rapport de temps t/ôf et l'écart réduit ç = (ôi - ôf) /ôi. Notons que tous les détails microscopiques (interactions membrane-colloïde) sont entièrement contenus dans ôi et ôf.

Finalement, nous notons que la courbe représentant la densité de particules temporelle, à temps fixé, atteint un maximum unique à z = 0, et présente une symétrie autour de ce même point, pour toutes les valeurs de t/ôf et ç.

Dans la Fig. 4.2, nous reportons la densité de particules temporelle réduite, n (z, t) /nⁱ, en fonction de la distance renormalisée z/v2Dôi, en choisissant trois valeurs du rapport de temps t/ôf : 0, 0.5, et oo. La première et la troisième valeur correspondent, respectivement, aux états initial et final. Ces courbes sont tracées avec le paramètre ç = 0.5.

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 112

FIG. 5-2 -- la densité de particules temporelle réduite, n (z, t) /nⁱ, en fonction de la distance renormalisée z/v2Dôi, en choisissant trois valeurs du rapport de temps t/ôf : 0 ( ligne pointillée ) , 0.5 ( ligne continue), et 8 (ligne en pointillée). La première et la troisième valeurs correspondent, respectivement, aux états initial et final. Ces courbes sont tracées avec le paramètre ç = 0.5 (wf = 2wi)

.4 Conclusions.

Ce travail est consacré à l'étude de la dynamique Brownienne de petites particules colloïdales, qui sont au contact avec une membrane fluide pénétrable attractive. Le liquide hôte est délimité par deux parois parallèles séparées par une distance finie. La membrane entourée par des colloides est confinée si seulement si l'épaisseur de la bicouche est plus petite que la rugosité moyenne en volume de la membrane.

La physique a été discutée, en fonction de trois paramètres pertinents, qui sont la

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 113

Enfin, notons que, quand la séparation L est beaucoup plus grande que la rugosité

température absolue, T, la séparation entre les parois, L, et l'amplitude d'interaction colloïde-membrane, w. Dans notre étude, nous avons fixé la température et l'épaisseur du film à quelques valeurs, et varié la constante de couplage de surface. Cela peut être réalisé expérimentalement en changeant l'environnement de la membrane (force ionique).

Pour la présente étude, nous avons fait trois hypothèses : (i) les particules sont ponctuelles, (ii) de très faible densité (pour ignorer leurs interactions mutuelles), et (iii) interagissent fortement avec la membrane. Pour accomplir l'étude de la dynamique Brownienne, nous avons été utilisé un formalisme théorique basé sur l'équation de Smoluchowski. Cette dernière est satisfaite par la densité de particules temporelle, à laquelle nous nous étions intéressés. Nous avons calculé cette quantité physique exactement, autour du plan d'équilibre où l'essentiel du phénomène se produit. Dans ce domaine, le potentiel externe de la force moyenne a été approximé par un potentiel harmonique. Cela signifie que nous étions en présence de particules Browniennes se mouvant dans un potentiel harmonique. En plus de la diffusion habituelle, ces particules effectuent de petites oscillations, avec une fréquence se comportant comme /ù ~ w/L³. Comme nous avons montré, la densité de particules dépend du temps et de la distance perpendiculaire, et fait intervenir un temps caractéristique se comportant comme ô ~ L³/w. Nous avons interprété cette échelle de temps comme la durée au bout de laquelle les nanoparticles atteignent leur état d'équilibre final . Aussi, elle peut être considéré comme le temps où les particules sont piégées dans les nouveaux trous et vallées, de taille légèrement plus petite que l'épaisseur du film L.

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 114

en volume, î1, en plus des paramètres évoqués ci-dessus, le phénomène physique dépend des caractéristiques de la membrane (à travers les constantes élastiques de la membrane). Dans ce cas, la dynamique Brownienne peut être aussi causée par un changement de ces paramètres.

Comme dernier mot, nous soulignons que les résultats obtenus dans ce chapitre, peuvent être étendus à des bicouches de tensio-actifs, bien que les deux systèmes ne soient pas des mêmes structure et composition.
·

Bibliographie

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 116

hapitre 4 : Dynamique Brownienne de colloïdes au contact d'une biomembrane confinée. 117

Chapitre 6

Mécanique Statistique des

membranes confinées dans un

liquide trouble.

Dans ce chapitre, qui consiste notre troisième contribution originale, nous étudions les effets d'impuretés sur les propriétés statistiques des membranes fluides. Celles peuvent être attractives ou répulsives.

En premier lieu, nous déterminons la rugosité moyenne de la membrane, en combinant la technique des répliques avec la méthode variationnelle. Le résultat s'exprime en fonction de la concentration des impuretés et l'amplitude de leur interaction avec la membrane. En second lieu, nous déterminons la taille d'une vésicule isolée, en fonction de ces mêmes paramètres. Enfin, l'étude est étendue à l'adhésion membranaire.

6.1 Introduction

En général, un milieu aqueux qui supporte des membranes biologiques est supposé homogène. En fait, tout système réel contient obligatoirement des impuretés. Dans la plupart des circonstances, on essaie de les éliminer, sous des conditions bien contrôlées. Mais, si ces entités sont présentes, il est aussi intéressant d'étudier leurs effets sur les propriétés statistiques des biomembranes, tel que le spectre de fluctuations et le comportement dynamique. Dans le cas général, les inhomogénéités aléatoires ont tendance à provoquer le désordre du système. Il est important de faire une distinction entre deux états de désordre : recuit et trempé. Le premier est utilisé, lorsque les impuretés et les constituants hôte (phospholipides) sont en équilibre [2]. Cela signifie que leurs mobilités respectives sont comparables. Si ce n'est pas le cas, ces constituants hôte et les impuretés sont hors équilibre, et le désordre est plutôt trempé [2]. Lorsque la Mécanique Statistique est utilisée, celle-ci consiste à faire la trace sur toutes les ondulations membranaires, avant d'effectuer la sommation sur le désordre des impuretés. Bien que le désordre trempé soit plus difficile à analyser, il reste plus réaliste que son homologue recuit. En effet, la thermique et l'étalement du bruit ont des rôles très différents.

Dans ce chapitre, le système physique que nous considérons est une membrane fluide (presque-plane ou fermée), trompée dans un milieu aqueux trouble. Ce dernier est imprégné par une faible quantité d'impuretés, qui peuvent être attractives ou répulsives vis-à-vis de la membrane. L'objectif est de montrer comment ces entités peuvent modifier les propriétés statistiques de la membrane fluide. Ces propriétés seront étudiées à travers l'amplitude de fluctuations. Afin de modéliser le système,

nous supposons que les impuretés agissent comme un potentiel aléatoire externe, avec une distribution Gaussienne (désordre non corrélé). En outre, nous supposons que le désordre est trempé. Pour faire les calculs, nous utilisons la théorie mathématique des répliques [3, 4], basée sur une méthode analytique, combinée avec la méthode variationnelle, généralement rencontrée en Mécanique Quantique [5] et en Phénomènes Critiques [6, 7].

Dans ce chapitre, nous calculons, dans un premier temps, la rugosité moyenne d'une membrane quasi-plane, en fonction des paramètres primitifs de la membrane pure (sans impuretés) et un certain paramètre dépendant de la fraction volumique d'impuretés et l'amplitude de leur force d'interaction avec la membrane. La conclusion essentielle est que les impuretés attractives augmentent les fluctuations de la forme dues aux ondulations thermiques, alors que les impuretés répulsives ont tendance à supprimer ces fluctuations, et conduisent alors au confinement de la membrane. En second lieu, nous analysons les effets d'impuretés sur la forme d'équilibre des vésicules (fermées), à travers la résolution de l'équation de courbure (pour les vésicules sphériques). Nous montrons que la vésicule est plus stable en présence d'impuretés répulsives, en comparaison avec celles attractives. En troisième lieu, nous étendons l'étude à des phases lamellaires, qui sont formées par deux membranes fluides parallèles. Nous montrons que la présence des impuretés aléatoires affectent drastiquement les propriétés physiques de l'adhésion membranaire.

Ce chapitre est organisé comme suit. Dans la Sec. II, nous décrivons les fondements du modèle utilisé. La Sec. III traite du calcul de l'amplitude des fluctuations d'une membrane fluide isolée presque-plane et du diamètre à l'équilibre d'une vésicule fermée, entourées par des impuretés attractives ou répulsives. L'extension de

l'étude aux phases lamellaires est l'objectif de la Sec. IV . Quelques remarques finales sont retracées dans la dernière section.

6.2 Hamiltonien effectif.

Nous considérons une membrane fluide fluctuante, immergée dans un liquide à trois dimensions, qui contient de très petites impuretés. Pour simplifier l'étude, nous supposons que les impuretés sont ponctuelles.

Dans la représentation de Monge, un point de l'interface peut être repéré par les coordonnées (x, y, h (x, y)). Ici, (x, y) représentent les coordonnées sur le plan de projection, et h (x, y) la fonction hauteur pouvant prendre des valeurs positives ou négatives. Dans ce qui suit, nous adopterons la notation (r, z = h (r)), où r = (x, y) ? R²est le vecteur transverse et z la distance perpendiculaire au plan de projection.

La Mécanique Statistique des membranes fluides, sans impuretés, est basée sur l'énergie libre de courbure de Canham-Helfrich [8]

avec ê la constante de rigidité de courbure, et u > 0 est le paramètre de confinement. La membrane est supposée sans tension. En fait, cette supposition ne change pas les conclusions faites ci-dessous. Le terme de confinement est responsable de la localisation de la membrane dans quelque région de l'espace Euclidien, où elle fluctue autour d'un plan d'équilibre. Pour modéliser les effets d'impuretés sur les propriétés statistiques du système, nous supposons que celles-ci ont tendance à renforcer le

confinement de la membrane, si elles sont répulsives, et elles rendent cette membrane plus libre, si les particules sont plutôt attractives. Ces tendances peuvent être expliquées par le fait que le paramètre température est supposé local dans l'espace, et en faisant la substitution

Le déviation V (r) peut être regardé comme un potentiel externe aléatoire. Pour simplifier, la distribution de probabilité correspondante est supposée être Gaussienne (désordre non carrelées), et l'on a alors

Ici, -v est une constante positive, qui est proportionnelle à la concentration des impuretés et à l'amplitude de leur force d'interaction avec la membrane. La notation ä2 (r) signifie la fonction de Dirac à deux dimensions.

Par conséquent, le Hamiltonien de Canham-Helfrich revêt la nouvelle forme suivante

Pour des impuretés répulsives, il suffit de remplacer V (r) par iV (r), avec i² = -1. Puisque la distribution de désordre est Gaussienne, tous ses moments impairs sont nuls. Cela implique que toutes les grandeurs physiques calculées avec le potentiel imaginaire pur iV sont des nombres réels.

Les impuretés et la membrane ne sont pas en équilibre, donc le désordre est plutôt trempé. Dans ce cas, nous n'avons pas à moyenner la fonction de partition, Z, mais plutôt son logarithme, ln Z. Ce dernier, définit l'énergie libre. La fonction de partition, à une configuration d'impuretés donnée, s'écrit

En terme du potentiel aléatoire réduit, V, la deuxième loi du désordre apparaissant

dans la relation (5.3), devient : V (r) V~ (r^') = -vä (r - r^'), avec la constante de couplage renormalisée : v = v/ (kBT)². Une simple analyse dimensionnelle montre que : [îZ] = L⁰, [u] = L^-⁴ et [v] = L^-^s, avec L une certaine longueur pouvant être l'épaisseur de la membrane.

Pour calculer la moyenne ln Z, la procédure standard consiste à utiliser la méthode des répliques [3], basée sur la limite

A [h1, ..., h_n] = f d2r $2 ~ (?h_á)² + 2 h²_á + v8 ~ ha (2_, h²â ,

(5.10) où les indices grecs désignent les répliques. Le dernier terme est responsable de l'interaction effective entre les répliques, dues à la présence d'impuretés (i < 0). L'action ci-dessus décrit des impuretés attractives. Pour des impuretés répulsives, le couplage i doit être remplacé par -v. L'apparition de ce terme signifie que la présence des impuretés augmente l'entropie, si elles sont attractives, et la diminue lorsqu'elles sont répulsives.

Au paragraphe qui suit, l'objectif est une détermination quantitative du spectre de fluctuations d'une membrane presque-plate, en présence d'impuretés.

6.3 Membranes presque-plates isolées.

Nous commençons en considérant des impuretés attractives. Bien sûr, l'intégrale fonctionnelle (5.9) ne peut être calculée exactement. Pour faire les calculs, nous ferons usage de la méthode variationnelle. Pour cela, nous introduisons l'action d'essai suivante

avec le nouveau paramètre de confinement ri. Avec cette action, la fonction de partition, Z_ç, est exacte, et nous avons

Introduisons alors la valeur moyenne d'une fonctionnelle X [h1, ..., h_n], calculée avec l'action A_ç[h1, ..., h_n],

(X)₀= Zç f Dh1...Dh_nX [hl, ..., h_n] exp {-A_ç[h1, ..., h_n]1 . (5.14)

avec E l'aire d'un plan de référence. Notons le second membre de cette inégalité

dépend du paramètre variationnel ri. Une assez bonne approximation de - ln Z est

(L'indice CM est pour thorie de champ moyen). Le paramètre variationnel ri est tel

En introduisant le carré de la rugosité de la membrane habituelle (sans impuretés),

et des formules (5.19) et (5.19a) donne la valeur minimale de ri, qui satisfait la relation suivante

Le carré de la rugosité de la membrane, ó², est donné par les équations paramétriques

avec la nouvelle constante de couplage sans dimensions w = -64I (óg)³ > 0. Notons que la constante de couplage w > 0 est directement proportionnelle à la fraction volumique des impuretés et à l'amplitude de leur force d'interaction avec la membrane.

Premièrement, il n'a de sens que si ó²/ó < 1/w. Cette condition est remplie pour de très faibles désordres (w est assez petite).

Deuxièmement, puisque w est défini positive, nous avons : ó² > óô. Une comparaison entre cette inégalité et celle juste évoquée au-dessus implique que 0 < w < 1. Troisièmement, si nous choisissons comme variable x = ó²/óô, nous aurons

Par conséquent, w est en fonction de x (Fig. 5.1). Cette formule peut être expérimentalement utilisée pour estimer le couplage d'impuretés w, à travers la mesure du rapport de rugosité ó²/óô. Si w est fixée à une certaine valeur, la variable x est

L'existence de ses racines dépend de la valeur de la constante de couplage renorma-lisée w. Nous montrons qu'il existe une valeur typique w^*= 2/3V3 du couplage w séparant différents régimes :

Dans ce cas, le rapport o²/o peut être obtenu en résolvant numériquement l'équation algébrique (5.31).

Certaines valeurs du couplage d'impuretés w et les valeurs correspondantes du rapport de rugosité u²/u2. Pour les impurities attractives.

Nous reportons, au Tab. I, certaines valeurs du couplage d'impuretés w et les valeurs correspondantes du rapport de rugosité u²/u^~_~.

Il est facile de voir que ce rapport u²/u augmente avec le couplage w, pourvu que w soit dans l'intervalle w < w^*.

Maintenant, pour des impuretés répulsives, le rapport (5.28) doit être remplacé

Comme il devrait être, la rugosité de la membrane est réduite par la présence

FIG. 6-1 -- Le couplage d'impuretés w en fonction du rapport de rugosité o²/o² , pour les impuretés attractives .

L'égalité (5.34) peut être transformée en la forme suivante (Fig. 5.2)

FIG. 6-2 -- Le couplage d'impuretés w en fonction du rapport de rugosité u²/u² , pour le cas impuretés répulsives .

d'impuretés répulsives, c'est-à-dire u² < uô. En fait, l'effet de ces particules est de renforcer le confinement de la membrane fluide considérée. Par conséquent, la présence d'impuretés répulsives peut être un mécanisme de confinement d'une membrane en bicouche. Dans ce cas, il est facile de voir que l'équation algébrique a une seule racine positive. Au Tab. II, nous donnons quelques valeurs du couplage w et celles du rapport u²/uô correspondant.

Certaines valeurs du couplage d'impuretés w et les valeurs correspondantes du rapport de rugosité u²/uô. Pour les impurities répulsives.

Cette définition indique que l'objet principal à calculer est la fonctionnelle généra-

Une autre quantité physique d'intérêt est la fonction de corrélation hauteur-hauteur : G (r - r^') = (h (r) h (r^')) - (h (r)) (h (r^')). Cette dernière mesure les fluctuations de la fonction hauteur h autour d'une certaine valeur moyenne (h). Ici, (.) désigne la moyenne thermique, qui ne doit pas être confondue avec la moyenne sur le désordre. Pour calculer les fonctions de corrélation, nous partons de la fonctionnelle génératrice

avec l'action Ao [h] = xo [h] /kBT, où xo [h] est le Hamiltonien standard de Canham-Helfrich, défini par la relation (5.1). Ici, J (r) est une source couplée au champ h. Les dérivées fonctionnelles de Z [J] par rapport à la source J définissent toutes les fonctions de corrélation hauteur-hauteur. En particulier, le propagateur est donné

Pour déterminer ln Z [J], nous utilisons la méthode des répliques, qui consiste à calculer la limite

contribuent pas au propagateur. Après avoir effectué la limite n = 0, nous trouvons

Zn [J] = f Dh1...Dh_n exp -A [hi, ..., h_n] + J d²rJ (r) hi (r) , (5.40)

Notons que l'intégrale ci-dessus ne peut être calculée exactement. Pour avoir une valeur approximative de cette intégrale, nous utilisons la méthode standard du cumulant [6, 7], basée sur la formule

(exp {X})₀ = exp {(X)₀ + (1/2!) ((X2)0 - (X) ~ + ...} . (5.41)

Zn [J] ^~ Z_ç (exp {n fd^er fd²r^'J (r) Go (r - r^') J (r^') /2» , (5.42)

Dans la relation (5.42), nous avons négligé les termes d'ordres supérieurs en J, qui ne

ln Z [J] - ln Zo+Ó (;ó² + ^(ó2)2) + ² fd2r ^f d²r^'J (r) Go (r - r^') J (r^') .

Par une simple dérivation fonctionnelle, nous obtenons l'expression du propagateur

Ainsi, le propagateur attendu s'identifie avec l'usuel. Ici, le paramètre variationnel ^~ç satisfait la relation explicite (5.24). De cette expression, nous déduisons la rugosité ó (^~ç) = G (0), qui est exactement définie par la relation (5.20).

Le but du paragraphe suivant est une extension de l'étude à des vésicules fermées. Plus exactement, nous chercherons à quantifier les effets de la présence d'impuretés sur leur forme d'équilibre.

6.4 Vésicules isolées.

D'entrée de jeu, nous rappelons que la forme d'équilibre des vésicules peut être déterminée en utilisant les techniques de la Géométrie Différentielles.

Une vésicule est formée par deux monocouches adjacentes (interne et externe). A leur tour, ces feuillets sont formés de molécules amphiphiles. Naturellement, celles-ci diffusent en permanence avec les molécules du milieu aqueux entourant la membrane. Une telle diffusion provoque des variations thermiques (ondulations) de la membrane. Cela veut dire que le dernière subit des variations autour d'une configuration

Considérons une biomembrane à topologie arbitraire. Un point de cette membrane (surface) peut être décrit par deux coordonnées locaux (u1, u2). A chaque point de la surface, il existe deux courbures particulières (minimale et maximale), appelé courbures principales à la surface [9], notées C1 = 1/R1 et C2 = 1/R2. Les quantités R1 et R2 sont les rayons de courbure principaux. Avec ces courbures principales, l'on construit deux invariants, qui sont la courbure moyenne

L'on a besoin d'un bon modèle, qui permet de comprendre les propriétés géométriques et physiques des biomembranes. Le modèle largement accepté est ce lui du fluide mosaïque, proposé par Singer et Nicholson, en 1972 [10]. Ce modèle consiste à considérer la membrane de la cellule comme une bicouche lipidique, où les molécules de lipide peuvent diffuser librement sur la surface de la membrane fluide, alors que les protéines et autres molécules amphiphiles sont enfoncées dans les deux feuillets de la bicouche lipidique. Nous rappelons que les propriétés élastiques des biomem-branes en bicouche ont été étudiées, pour la première fois, par Helfrich, en 1973 [8]. L'auteur proposa l'énergie libre de courbure (sans impuretés) suivante

Ici, dA désigne l'élément de surface sur la membrane, et V est le volume délimité par la bicouche lipidique. Dans la définition précédente, ê est la constante de rigidité de courbure, qui contrôle l'amplitude des fluctuations thermiques de la membrane, du fait qu'elle contient tous les détails microscopiques de la bicouche, à savoir la rigidité et la longueur des chaînes carbonées hydrophobes, la nature des interactions entre têtes polaires, etc. D'ailleurs, les valeurs typiques de ce module varient de quelques kBT, pour les membranes les plus souples, à quelques dizaines de kBT, pour les membranes les plus rigides. La valeur de ê dépend naturellement de la nature des molécules de lipide formant la bicouche. Dans la définition (5.48), êG est le module élastique de Gauss, -y est la tension de surface, et p est la différence de pressions entre les faces extérieure et intérieure de la vésicule. Un calcul variationnel, de premier ordre, donne l'équation de forme d'équilibre des vésicules [11]

où gⁱj est le tenseur métrique sur la surface, et g = det (gⁱj) est son déterminant. Pour des vésicules ouvertes ou fermées avec une ligne de tension, l'équation différentielle locale (5.49) doit être complétée par des conditions aux limites additionnelles que nous n'écrivons pas [12]. L'équation précédente a trois solutions analytiques, qui correspondent à une sphère [11], au tore-N/2 [13 - 16], et au disque biconcave [17].

Pour le cas cylindrique (vésicules tubulaires), l'une des deux courbures principales est nulle, et l'on a

où R est le rayon du cylindre. Si nous ignorons la condition aux frontières (supposition valable pour les très longs tubes), la solution constante de l'équation (5.49) est

où H est le diamètre à l'équilibre. Nous avons négligé la tension de surface et la contribution provenant de la courbure spontanée, pour avoir une expression simplifiée du diamètre à l'équilibre.

La relation précédente a de sens tant que la différence de pressions est plus petite qu'une valeur critique p_c, donnée par [54] : p_c~ ê/R³. Cette dernière est de 1 à 2Pa. La signification de la pression critique est qu'au-delà de p_c, la vésicule est instable. Cela implique que le diamètre à l'équilibre doit être plus grand qu'une valeur critique H_c= 2 (4ê/p_c)^1/3.

Maintenant, nous supposons que la vésicule fermée est immergée dans un milieu aqueux trouble, c'est-à-dire renfermant des impuretés attractives ou répulsives. Habituellement, on prend en considération la présence des impuretés, par l'ajout d'un terme en couplant leur fraction volumique, ö, et la courbure moyenne C de la membrane, à l'énergie libre précédente F, c'est-à-dire

Le signe positif est pour des impuretés attractives, et le signe négatif pour les répulsives. La nouvelle énergie libre est alors

Alors, les impuretés produisent une courbure spontanée.. Cela veut dire que celles-ci donnent lieu à une asymétrie de la vésicule, quand sa membrane est traversée. De plus, ces impuretés renormalisent additivement le coefficient de tension interfaciale. La minimisation de la nouvelle énergie libre donne

p - 2"^-ãC + ê (2C + Co) (2C² #177; CoC - 2K) + êv² (2C) = 0 . (5.55)

R = 2 (2ã₂ + (kBT)2 16r~1 + 2kBTöp + 2ã + (kBT)2 _16ê . (5.56)

Pour une fraction volumique très faible, c'est-à-dire ö << 1, nous trouvons, au premier ordre, que

membrane immergée dans un milieu aqueux, qui est imprégné par de petites impu-

Les signes + et - sont pour impuretés attractives et répulsives, respectivement. Ici Ro = 2'y/p désigne le rayon à l'équilibre d'une vésicule en l'absence d'impuretés. Les résultats ci-dessus appellent les remarques suivantes.

En premier lieu, comme il se doit, le rayon d'équilibre de la vésicule augmente avec la fraction volumique d'impuretés, lorsqu'elles sont attractives. Cela signifie que la vésicule est gonflée, mais son rayon reste proche du rayon non perturbé Ro, tant que la fraction volumique d'impuretés est très faible. Pour les impuretés répulsives, toutefois, l'on assiste à l'effondrement de la vésicule.

En second lieu, la formule (5.57) n'a de sens que lorsque la fraction volumique 0 est inférieure à un certain seuil 0^* = 8'y²/kBTp. Celle-ci doit être naturellement faible devant l'unité. Cela implique que la tension de surface ne doit pas dépasser !une certaine valeur typique 'y^* = kBTp/8.

Enfin, à une fraction de volume fixée 0 < 0^*, la formule (5.58) peut être utilisée pour estimer la valeur expérimentale du rapport p/'y², par une simple mesure des rayons d'équilibre R (avec impuretés) et Ro (sans impuretés).

Le paragraphe suivant sera consacré à l'étude des phases lamellaires, constituées de deux bicouches lipidiques parallèles.

6. 5 Phases lamellaires.

La question naturelle est l'extension de l'étude au cas où nous avons plus d'une

Dans notre analyse, nous partons d'une phase lamellaire composé de deux membranes fluides parallèles (neutres) sans impuretés. Les effets de ces entités sur la physique seront discutées ci-dessous. La cohésion entre ces membranes en bicouche est assurée par des interactions attractives de van der Waals [18], qui sont équilibrées, à courte distance de séparation, par une répulsion forte provenant des forces d'hydratation [19] et des fluctuations de forme stériques résultant des ondulations membranaires [8].

Pour deux bicouches lipidiques parallèles séparées par une distance finie l, l'énergie totale d'interaction (par unité d'aire) est donnée par

Le premier terme représente l'énergie d'hydratation, qui agit à petite distance de séparation (de l'ordre de 1nm). Ces forces d'hydratation ont été découvertes pour les multi-bicouches sous contrainte externe [18]. La forme proposée pour cette énergie est

Les valeurs typiques de l'amplitude AH et de la portée ëH sont de l'ordre de AH ? 0.2J/m²et ëH ? 0.3nm.

Le deuxième terme désigne l'énergie d'interaction de van der Waals, qui résulte de la polarisabilité des molécules lipidiques et aussi de celle des molécules d'eau. Cette énergie d'interaction a la forme standard

La constante d'Hamaker est dans l'intervalle W ' 10^-22- 10^-2iJ. Dans l'expression ci-dessus, l'épaisseur de la bicouche lipidique ä est de l'ordre de ä ' 4nm.

Le troisième terme représente l'énergie d'interaction stérique, qui est due aux ondulations de la membrane. D'après Helfrich [8], cette énergie (par unité d'aire) est donnée par

Ici, kB est la constante de Boltzmann, T est la température absolue, et ê est le module de courbure usuel des deux membranes. Pour deux bicouches ayant des constantes de rigidité de courbure êi et ê2, nous avons ê = êiê2/ (êi + ê2). La valeur précise du coefficient cH est encore sujet de controverses. En effet, d'après Helfrich cH ' 0.23 [8], mais les simulations numériques prédisent des valeurs bien inférieures, à savoir cH ' 0.16 [24], cH ' 0.1 [25], cH ' 0.07 [26], et cH ' 0.08 [27]. Par conséquent, l'énergie d'interaction stérique est considérable, uniquement pour des membranes ayant de petits modules de courbure. Généralement, cette énergie s'annule, pour des interfaces rigides (ê -* oo).

Notons, tout d'abord, que la phase lamellaire reste stable, pour une énergie potentiel minimale, à condition que la profondeur du potentiel soit comparable à l'énergie thermique kBT. Elle dépend, en particulier, de la valeur de l'amplitude W. Pour des membranes non chargées, la constante d'Hamaker peut varier en changeant la polarisabilité du milieu aqueux.

D'un point de vue théorique, Lipowsky et Leibler [20] ont prédit une transition

avec l'exposant critique 0 [20], qui est de l'ordre de 0 ' 1.00#177;0.03. Un tel exposant a

de phase, qui fait passer le système d'un état où les deux membranes sont en contact, à un état où ils sont totalement séparées. Une telle transition est de premier-ordre, si l'énergie stérique est prise en compte. Par contre, si cette énergie est ignorée (pour les membranes relativement rigides), la transition est plutôt de second-ordre. Nous nous limitons au cas où la transition est de seconde ordre. Il a été montré qu'il existe un certain seuil W,, au-delà duquel l'interaction de van der Waals est suffisante, pour que les deux membranes soient en contact. Au-dessus de cette amplitude caractéristique, les ondulations des membranes deviennent plus dominantes que les forces attractives, ce qui conduit alors à une séparation totale des deux membranes . En fait, la valeur critique W, dépend des paramètres du problème, tels que la température T, l'amplitude AH, la portée ëH, l'épaisseur S de la bicouche, et le module de courbure i. A température ambiante, et pour AH ' 0.2 J/m², ëH ' 0.3 nm et S ' 4 nm, W, a été trouvé de l'ordre de W, ' (6.3 - 0.61) x 10^-21J, quand la constante de rigidité est de l'ordre de i ' (1 - 20) x 10^-19J. Par exemple, pour la lécithine d'oeuf, la constante de rigidité de courbure est de l'ordre de i ' (1 - 2)x10^-19J [25], et la valeur critique correspondante W, se trouve dans l'intervalle W, ' (6.3 - 4.1)x10^-21J. Notons que la valeur typique W, correspond à une certaine température, appelée température de délocalisation T, [20, 21].

En particulier, il a été trouvé [20] que, lorsque la valeur de l'amplitude critique est approchée par dessus, la séparation moyenne entre les deux membranes diverge comme

été calculé, en utilisant la théorie de champ moyen et le Groupe de Renormalisation.

Maintenant, nous supposons que la phase lamellaire est piégée dans un milieu aqueux trouble. Comme première implication, les impuretés modifient subtantielle-ment le phénomène de transition de délocalisation, en particulier, la température critique. Pour la simplicité, nous admettons que les deux membranes fluides adjacentes sont physiquement identiques. Alors, nous devons considérer deux situations physiques distinctes, selon que les impuretés attirent ou repoussent les deux membranes. Comme nous avons montré au-dessus, pour les impuretés attractives, la rugosité de la membrane, î1, est importante. Dans ce cas, l'énergie stérique domine. Par conséquent, nous nous attendons à ce que la transition de délocalisation se produise à une température critique, T7 , plus faible que celle sans impuretés, T_e. Toutefois, pour des impuretés répulsives, nous avons une tendance opposée, à savoir que la transition de phase se passe à une température critique supérieure à T_e(sans impuretés). Cela peut être expliqué par le fait que la rugosité de la membrane est moins importante, et que l'énergie de van der Waals domine. Dans tous les cas, la séparation moyenne (l) se comporte comme

La nouvelle température critique T_e^*peut être estimée comme suit. En utilisant les relations (5.28) et (5.31), nous montrons, au premier ordre dans le couplage d'impuretés w, que

En combinant les relations (5.63) à (5.66), nous trouvons que la différence entre les deux températures critiques T_e et T_e^* (sans et avec impuretés) est comme suit

Les préfacteurs dans les comportements précités restent inconnu. Le changement de température est alors proportionnel à la fraction volumique d'impuretés et leur force d'interaction avec les membranes formant la phase lamellaire. Alors, nous sommes dans une situation semblable aux effets de taille finie. Pour les membranes chargées, qui forment une phase lamellaire, il a été trouvé [20] que la séparation moyenne entre deux bicouches adjacentes se comporte comme

avec x la concentration ionique moyenne du milieu aqueux, et x_e sa valeur critique. Par exemple, pour le DPPC dans la solution de CaCl2, x_e est dans l'intervalle [22] : x_e N 84 - 10mM. En présence d'impuretés, la séparation moyenne se comporte comme : (l) =î? ti (x - x^*_e)^-ø, avec le même exposant ø. Dans ce cas, nous avons

6.6 Conclusions.

Dans ce chapitre, nous avons présenté une étude détaillée des effets d'impuretés sur les propriétés statistiques des membranes fluides. En fait, celles-ci affectent substantiellement le comportement des systèmes vivants. Comme exemple, nous pouvons citer une étude expérimentale très récente [23], où les auteurs ont entrepris une série d'expériences comparatives, pour explorer les effets d'impuretés sur la cristallisation des protéines membranaires.

Pour l'étude de l'influence des impuretés, attractives ou répulsives, nous avons combiné la technique des répliques avec la méthode variationnelle, pour calculer la rugosité moyenne, en fonction des paramètres de la membrane pure et certains paramètres, qui sont proportionnels à la fraction volumique des impuretés et leur force d'interaction. La principale conclusion est que, pour les impuretés attractives, les ondulations de la membrane augmentent la forme des fluctuations de la membrane. Mais, les impuretés répulsives ont tendance à supprimer ces fluctuations.

En suite, nous avons étendu l'analyse aux vésicules, qui sont immergées dans un milieu aqueux trouble. La conclusion essentielle est que les impuretés attractives ont tendance à gonfler la membrane, alors qu'en présence d'impuretés répulsives, la vésicule s'effondre sur elle-même.

La discussion a été généralisée à des phases lamellaires, formées par deux membranes fluides parallèles, qui sont séparées par une distance finie. Ces phases lamellaires peuvent subir à une transition de délocalisation. En particulier, nous avons

montré que les impuretés attractives augmentent la température critique, alors que les répulsives ont tendance à diminuer cette température.

Notons que l'incorporation d'une petite quantité d'impuretés dans un milieux aqueux peut être un nouveau mécanisme permettant la suppression ou la production d'une transition de phase.

Enfin, l'étude présentée ici pourrait être étendue à des systèmes à plusieurs phases lamellaires parallèles.

Bibliographie

Chapitre 7

Conformation d'un polymère

confiné dans des domaines

délimités par des biomembranes.

Dans ce chapitre, qui consiste notre quatrième contribution originale, nous étudions la conformation d'un polymère isolé, qui est confiné entre deux membranes lipidiques parallèles ou dans une vésicule tubulaire.

Pour rester plus général, nous supposons que le polymère est de topologie arbitraire, qu'on appelle D-manifold, où D est la dimension spectrale (par exemple, D = 1, pour les polymères linéaires, et D = 4/3, pour les polymères branchés). En fait, D est le nombre de coordonnées locales permettant de caractériser géométriquement le polymère.

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..151

7.1 Introduction.

Le confinement d'un polymère a des nombreuses applications dans divers domaines, tels que les fonctions biologiques, la filtration, la chromatographie à gel, et la récupération assistée du pétrole.

La physique des polymères confinés est un problème très riche et passionnant. Récemment, une grande attention a été portée sur la structure et la dynamique des chaînes de polymère, confinées à l'intérieur de pores cylindriques [1 - 7]. Par la suite, l'étude a été étendue à des polymères plus complexes ou D-manifolds [8], qui sont restreints aux même géométries. Ici, D est la dimension spectrale, qui mesure le degré de connectivité des monomères à l'intérieur du polymère [9]. Par exemple, cette dimension intrinsèque est de 1, pour les polymères linéaires, et 4/3 pour les polymères branchés. Les D-manifolds peuvent être polymérisés et organisés en vésicules [10].

Le confinement des polymères entre deux surfaces planes ou avec des ondulations sinusoïdales a également été étudiée [11, 12].

Les géométries de confinement peut être solides ou molles (biomembranes en bicouche ou tensio-actifs, vésicules sphériques ou des tubulaires). Une question particulière a été adressée au confinement d'un polymère dans des bicouches de tensioactives formant une phase lamellaire lyotrope [13], où les auteurs ont réalisé des mesures en utilisant la diffusion de rayons-X aux petites-angles, et étudié le phénomène de fracture libre, par microscopie électronique, d'un surfactant non ionique / système eau / polyélectrolyte, dans la région de la phase lamellaire. La remarque fondamentale est que les molécules de polymère provoquent à la fois déformation

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..152

Dans le même contexte, il a été démontré expérimentalement [14] que le confinement des polymères peut induire une transition nématique de gouttelettes de microémulsion. Plus précisément, les auteurs ont montré que, lors de confinement, les gouttelettes sphériques se déforment en gouttelettes ellipsoïdales. L'origine d'une telle transition structurelle peut être attribuée à une perte d'entropie de conformation des chaînes de polymère, en raison de confinement.

Dans d'autres expériences [15 - 17], une nouvelle phase a été observée, en ajoutant un polymère hydrosoluble neutre (PVP) dans la phase lamellaire lyotrope (CPCI -hexanol - eau). En outre, on a étudié l'effet de l'eau sur un polymère neutre et soluble dans la phase lamellaire d'un système de tensioactifs zwitterioniques [18].

Le confinement des polymères est également pertinente pour les systèmes vivants et régit de nombreux processus biologiques. Comme exemple, nous peut citer les nanotubes de membranes qui jouent un rôle majeur dans le trafic intracellulaire. En particulier, nous pouvons citer des lipides et protéines, qui assurent l'échange entre les différents compartiments dans les cellules eucaryotes [19 - 22]. Le trafic des macromolécules et des vésicules dans nanotubes est assurés par des moteurs moléculaires [23]. En outre, ils sont responsables de l'extraction des nanotubes [24]. La formation d'attaches membranaires tubulaires ou spicules [25 - 33] résulte de l'action des forces localisées, qui sont perpendiculaires à la membrane. Ces forces peuvent provenir de la polymérisation des fibres [34], d'actine [35], de la tubuline [36], ou d'hémoglobine faucille [37].

Inspiré par des processus biologiques, comme des macromolécules et des vésicules de transport, nous visons l'étude de la conformation des polymères, confinés dans

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..153

des milieux aqueux délimité par des biomembranes. Plus précisément, le but est de voir comment ces biomembranes peuvent modifier les propriétés de conformation du polymère contraint. Dans ce but, nous choisissons deux géométries : une vésicule tubulaire (Géométrie I), et deux biomembranes parallèles (Géométrie II). Pour être plus général, nous considérons un polymère à connectivité arbitraire ou encore D-manifold [38]. Les polymères linéaires et branchés, et les vésicules polymérisées en constituent des exemples typiques. Notons que cette étude de conformation est nécessaire pour la description des propriétés dynamiques des polymères limités par des parois géométriques. Comme nous le verrons plus loin, le confinement d'un polymère est entièrement contrôlé par l'état des biomembranes. En effet, pour la Géométrie I, le polymère ne peut être confiné que si la vésicule tubulaire est à l'équilibre. Pour la Géométrie II, le confinement n'est possible que si les deux membranes parallèles sont à l'état lié.

Ce chapitre suit l'organisation suivante. En Sec. II, nous rappelons brièvement l'étude conformationnelle d'un D-manifold non confiné, trompé dans un bon solvant. La Sec. III est destinée à l'étude de la conformation des polymères confinés à l'intérieur d'une vésicule tubulaire. En Sec. IV , nous étendons l'étude à des D-manifolds, confinés, cette fois-ci, entre deux biomembranes parallèles. Nous retraçons quelques remarques finales dans la dernière section.

7.2 D-manifolds non confinés

Considérons un D-manifold isolé, immergé dans un bon solvant. Nous désignons

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..154

son rayon de giration (ou de Flory), où dF est la dimension fractale (ou d'Hausdorff), M est le poids moléculaire (masse totale) du polymère considéré, et a désigne la taille du monomère. La masse M est liée à la dimension linéaire N par : M = N^D, où D est la dimension spectrale [9]. Cette dernière est définie comme la dimension de Hausdorff correspondant à l'extension maximale de la fractale.

Naturellement, la dimension d'Hausdorff dépend de la dimensionalité euclidienne d, la dimension spectrale D et la qualité du solvant. Quand le polymère est idéal (absence du volume exclu ), la dimension fractale correspondante, d^°_F, est simplement fonction de la dimension spectrale D [9], et est donnée par

Pour les polymères linéaires (D = 1), d^°_F = 2 [2], pour les polymères branchés (D = 4/3), d^°_F = 4 [9], et pour les membranes (D = 2), d^°_F = 8.

En raison de la positivité de la dimension d'Hausdorff, l'expression ci-dessus n'a de sens que si D < 2. En effet, cette condition est remplie, pour tous les polymères complexes, de dimension spectrale dans l'intervalle 1 = D < 2 [9].

Un D-manifold, en bon solvant, est gonflée, en raison de la présence des forces de volume exclu. La taille du polymère augmente avec la masse totale M, conformément à la loi de puissances (6.1).

La première implication du gonflement du polymère est que sa dimension fractale réelle, dF, est tout à fait différente de la dimension fractale Gaussienne, relation

Par exemple, pour les polymères linéaires, dF (3) = 5/3,et dF (3) = 2, pour les

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..155

(6.2).Toutefois, il existe une valeur spéciale de la dimension euclidienne appelé dimension critique supérieure duc [39], au-delà de laquelle la fractale polymérique devient idéale. Cette dimension supérieure est naturellement une fonction de D, et qui peut être déterminée, en utilisant un critère de type Ginzburg, habituellement rencontré en Phénomènes Critiques [41, 42]. D'après la Réf. [39], duc est donnée par

Par exemple, la dimension critique supérieure est 4 pour les polymères linéaires [2], et 8 pour les polymères branchés [39]. Par exemple, la dimension critique supérieure est 4, pour les polymères linéaires [2], et 8 pour les plus branchés [39].

Nous notons que, dans le cas général, la dimension fractale dF ne peut être calculée exactement. Plusieurs techniques ont été utilisées, pour déterminer sa valeur approximative, en particulier, la théorie de Flory-de Gennes (TFD) [2]. Dans le cadre de cette approche générale, il a été trouvé que la dimension fractale a pour expression [39]

qui est fonction des dimensions euclidienne d et spectrale D. Notons que la relation précédente n'est valable que si d est inférieure à la dimension critique supérieur duc. En dimension 3, nous avons

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..156

Au paragraphe suivant, nous nous intéresserons à l'étude de la conformation d'un D-manifold, confiné dans une vésicule tubulaire.

7.3 D-manifolds confinés en Géométrie I.

7.3.1 Relations utiles.

Avant d'étudier la conformation d'un D-manifold isolé, confiné dans une vésicule tubulaire, nous allons rappeler certaines relations de base, nécessaires pour la présente étude, et qui se rapportent à la Géométrie Différentielle.

La vésicule tubulaire est essentiellement formée par deux feuillets adjacents (interne et externe), composés de molécules amphiphiles. Celles-ci diffusent en permanence avec les molécules du milieu aqueux support. Une telle diffusion provoque des variations thermiques (ondulations) de la membrane.

Nous considérons une biomembrane, qui peut être comme une surface, dont la normale est n (u1, u2), où u1 et u2 sont les paramètres curvilignes au point considéré. Bien-entendu, ce vecteur normal dépend de la base choisie. Cependant, deux quantités issues des dérivées premières de la normale sont indépendantes de la base choisie. Il s'agit de la courbure moyenne

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..157

Ici, C1 = 1/R1 et C2 = 1/R2 désignent les courbures principales à la surface [43],

c'est-à-dire les valeurs propres de la matrice des dérivées secondes ?ⁱ?jR.-^?n , ou

encore tenseur de courbure. L'énergie étant une quantité intrinsèque, qui doit être indépendante de la base choisie. Donc, elle ne doit faire intervenir que les grandeurs intrinsèques C et K. C'est l'énergie de courbure de Canham-Helfrich [43, 44], qui décrit au Chapitre 5. Aussi, dans ce même chapitre, nous avons écrit l'équation de la courbe à l'équilibre. En particulier, pour un vésicule tubulaire, nous trouvons que son diamètre à l'équilibre est donnée par

où k est la constante de rigidité de courbure de la membrane (sans tension), et p est la différence de pressions de part et d'autre de la surface. La formule précédente n'est valable que si le diamètre H excède une valeur critique H_c= 2 (4k/p_c)^1/3, ou p_cest la pression seuil.

Dans ce qui suit, nous utiliserons l'idée qui consiste à considérer la vésicule tubulaire comme un cylindre rigide, de diamètre effective H, qui dépend des caractéristiques de la bicouche lipidique, à travers les paramètres k et p.

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..158

7.3.2 Extension parallèle à l'axe du cylindre.

Considérons un D-manifold quelconque, confinée à l'intérieur d'une vésicule tubulaire, de diamètre à l'équilibre H. Le solvant hôte est supposé être un bon dissolvant. Le polymère n'est confiné que si son rayon de Flory à trois dimensions, RF3, est plus grand que le diamètre H, c'est H << RF3. A paramètres ê et p fixés, cette condition implique que la masse du polymère, M, doit être plus grande qu'une certaine valeur typique, M, se comportant comme M^*~ (ê/p)^5D/3(D+2). Maintenant, si M est fixée, le polymère n'est confiné que si ê << ê^*~ pM3(D+2)/5D. Ce comportement indique clairement que le confinement est plus favorable, quand la vésicule tubulaire est de petite constante de rigidité de courbure. Notons que la condition de confinement dépend de la nature de la fractale polymérique, à travers sa dimension spectrale D. Aussi, la qualité du solvant est un autre facteur influant sur le confinement.

Le confinement des polymères, à topologie arbitraire, à l'intérieur d'un tube rigide, est en grande partie étudié dans la Réf. [8]. Dans ce travail publié, la méthode utilisée, pour l'étude du confinement, est une TFD étendue, qui se base sur l'énergie libre suivante [8]

où R₁₁désigne l'extension parallèle du polymère, v est le paramètre volume exclu, et RiiH2 est le volume occupé par le D-manifold. Ici, Ro ~ _aMⁱ/d^~~ est le rayon de giration du polymère lorsqu'il est idéal (sans volume exclu), où d^o_Fest la dimension fractale correspondante, relation (6.2).

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..159

La minimisation de cette énergie, par rapport à R₁₁, donne le comportement suivant

Premièrement, nous faisons remarquer que le rayon parallèle dépend naturellement des caractéristiques du polymère confiné et des vésicules tubulaires, à travers M et les paramètres (ê, p), respectivement.

Deuxièmement, à une masse de polymère fixée M, l'extension parallèle RH n'est importante que pour les vésicules tubulaires, de faible module de courbure.

Enfin, notons que le comportement ci-dessus n'est valable que si l'extension parallèle RH reste en dessous de l'extension maximale du polymère, Rmax ~ aM¹/^D, c'est-à-dire RH < Rmax. Cela donne un diamètre de tube minimal

Par conséquent, le confinement de la fractale polymérique implique que le diamètre du tube est dans l'intervalle Hmin < H < RF3. Par exemple, pour les polymères linéaires, Hmin ~ a, et Hmin ~ aM¹/⁸, pour les polymères branchés. La taille du pore minimale pour les polymères linéaires est alors indépendante de son poids moléculaire. Cela signifie que les polymères linéaires trouvent toujours leur chemin à travers des pores, même de très faible diamètre. Ce n'est pas le cas pour les

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..160

polymères ramifiés, pour lesquels la taille minimale des pores augmente avec leur masse totale. Comme il a été souligné dans la Réf. [8], il serait possible de construire un milieu poreux, qui peut séparer un mélange de molécules linéaires ou ramifiés, sur la base de leur connectivité. En effet, on peut choisir une taille minimale appropriée des pores, au travers lesquels peuvent passer des polymères linéaires, alors que les polymères ramifiés ne le peuvent pas. Maintenant, en combinant les (6.8) et (6.11), nous trouvons une valeur seuil de la constante de rigidité de courbure,

Donc, une membrane tubulaire confine une fractale polymérique, que si le module

de courbure est dans l'intervalle kmin < k < k^*, avec la valeur typique k^* ~ _pM3(D+2)/5D_.

Le paragraphe suivant sera consacré au confinement d'un polymère, de topologie arbitraire, entre deux membranes parallèles fluides fluctuantes.

7.4 D-manifolds confinés en Géométrie II.

7.4.1 Séparation moyenne.

Considérons une phase lamellaire, formée par deux membranes parallèles. Les interactions spécifiques entre ces membranes sont largement discutées au Chapitre 5. Notons simplement que les membranes adjacentes peuvent subir une transition de délocalisation, qui les conduit d'un état lié à un état séparé. En fait, ce phénomène dépend de la température ou de la polarité du milieu ambiant.

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..161

Au chapitre précédent, nous avons écrit le comportement de la séparation moyenne entre les membranes (neutres) formant la phase lamellaire, c'est-à-dire

où T_c est la température critique. Ici, l'exposant critique 0 est donné par [45]

Un tel exposant a été calculé, en utilisant la Théorie de la Renormalisation.

D'un point de vue expérimentale, les fluctuations critiques des membranes ont été considérées dans plusieurs expériences [46], et en particulier, l'on avait mesuré cette séparation moyenne.

Nous avons maintenant tous les ingrédients nécessaires, pour étudier la conformation d'une fractale polymérique isolée, de topologie arbitraire, qui est confinée entre deux membranes fluides parallèles formant une phase lamellaire.

7.4.2 Extension parallèle du polymère.

En premier lieu, notons que le polymère est confiné, seulement quand son rayon de giration à trois dimensions, RF3 ~ aM(D+2)/5D, est beaucoup plus grand que la séparation moyenne H ~ (T_c - T)^-ø, c'est H << RF3. Cette condition implique que le confinement du polymère n'est possible que si la température T est en dessous d'une certaine valeur T^* = T_c - aM-(D+2)/5Dø. Cette température est alors plus petite que la température critique T_c, et la distance T_c - T^* dépend essentiellement

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..162

La première implication du confinement du polymère est que son comportement devient à deux dimensions. Cela veut dire que le polymère peut être considéré comme une fractale polymérique à deux dimensions, formée par des pancakes de dimension H.

Pour la détermination de l'extension parallèle du polymère, RII, nous utilisons, comme avant, la TFD, basée sur l'énergie libre

où v est le paramètre volume exclu. Ici, Ro ~ _aMi/d^~~ est le rayon idéal, et R2IIH représente le volume occupé par la fractale. La minimisation de cette énergie libre, par rapport à RII, donne

Premièrement, l'expression de l'extension parallèle d'un polymère combine deux phénomènes critiques, en rapport avec la limite de grand poids moléculaire de la fractale, d'une part, et la criticalité de la transition de délocalisation, d'autre part.

Deuxièmement, dans cette formule, apparaît naturellement la dimension fractale (D + 2) /4D à deux dimensions.

Troisièmement, le rayon parallèle devient de plus en plus petit, à mesure qu'on

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..163

s'approche du point de transition. En d'autres termes, ce rayon est important, seulement quand les deux membranes adjacentes sont fortement liées.

Enfin, l'expression du rayon parallèle peut être utilisée pour déterminer l'expression de l'exposant critique ø.

7. 5 Conclusions.

Dans ce chapitres, nous avons deux objectifs, à savoir l'étude conformationnelle d'une fractale polymérique, confinée à l'intérieur d'une vésicule tubulaire ou entre deux membranes parallèles formant une phase lamellaire à l'équilibre. Pour la première géométrie, l'échelle de longueur étant le diamètre à l'équilibre, qui dépend des caractéristiques de la membrane, à travers la constante de rigidité de courbure et la différence de pressions. Pour la deuxième géométrie, l'échelle de longueur est la séparation moyenne entre les membranes adjacentes.

La quantité principale à considérer était l'extension parallèle de la fractale poly-mérique confinée. Une telle quantité a été calculée, en étulisant une théorie Flory-de Gennes étendue.

Notons que le même résultat pourrait être retrouvé, en faisant usage du modèle de blobs [8].

Une autre quantité physique d'intérêt est l'énergie libre de confinement, notée OF. C'est l'énergie libre nécessaire pour confiner le polymère, à partir de l'état avec H = 8. Ici, H est le diamètre de tube ou la séparation moyenne. L'énergie libre de confinement doit avoir la forme d'échelle : OF = kBT f (RF₃/H), où f (x) est une fonction d'échelle universelle inconnue, et dont les comportements sont : f (x) ~ 0,

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pour x << 1 (régime non confiné), et f (x) ti x^m, pour x >> 1 (régime confiné). L'exposant m peut être obtenu, en utilisant le fait que ?F doit être proportionnelle à la masse totale M. Cela donne m = dF (3) = 5D/ (D + 2). Par conséquent, ?F = kBTM (H/a)^-5D/(D+2), avec H ti (ê/p)^1/3, pour les vésicules tubulaires, et H ti (T_c - T)^-ø, pour les phases lamellaires. Remarquer que ?F peut être mesurée, par comparaison des concentrations dans le pore (tube) et dans la solution en volume. Nous avons Cpore/Cbulk = á exp (-?F/kBT), avec á est certain coefficient dépendant du rapport RF3/H.

Pour des membranes chargées, il a été démontré [45] que la séparation moyenne entre deux bicouches adjacentes se comporte comme : H ti (x - x_c)^-ø, lorsque x -f x⁺_c , avec x la concentration ionique, et x_c sa valeur critique. Bien sûr, cette dernière dépend de la nature du lipide considéré. Par exemple, pour le DPPC en solution de CaCl2, l'expérience a montré [47] que x_c est dans l'intervalle x_c ' 84 - 10mM. Dans ce cas, le rayon parallèle du polymère se comporte : R11 ti aM(D+2)/4D (x - x_c)^ø/4.

Notons que la transition de délocalisation peut se produire, même pour T > T_c. Pour cela, il suffit d'exercer une pression externe P. Dans ces conditions, il a été trouvé [48] que la séparation moyenne H se comporte comme : H ti îl ti P^-1/³(îl étant la rugosité moyenne de la membrane). Un tel comportement est en accord avec les données de la simulation Monte Carlo [49]. Dans ce cas, l'extension parallèle du polymère obéit à la loi d'échelle : R11 ti aM(D+2)/4DP1/12. Comme il devrait être, l'extension parallèle augmente avec la pression externe.

Aussi, la transition de délocalisation peut se produire en présence d'une tension latérale. Celle-ci tend à supprimer les ondulations de la membrane. Ce qui permet de rapprocher plus les deux membranes adjacentes. Il a été trouvé que [48] que la sé-

hapitre 6 :Conformation d'un polymère confiné dans des domaines délimités ..165

paration moyenne se comporte comme : H ~ î? ~ E-1/2, avec E la tension latérale. Dans ce cas, l'extension parallèle du polymère obéit à la loi : R11 ~ aM(D+2)/4DE1/8. Comme il se doit, ce rayon parallèle augmente avec la tension latérale.

Pour des vésicules tubulaires, nous avons supposé qu'elles sont sans tension. Si ce n'est pas le cas, et si la différence de pressions peut être négligée, nous montrons que le diamètre d'équilibre est : H = 2 (2ê/'y)^1/2. Ici, 'y est le coefficient de tension interfaciale. Dans ce cas, l'extension parallèle du polymère est : R11 ~ aM(D+2)/3D (a²'y/ê)^1/3. Naturellement, cette extension augmente avec le coefficient de tension de interfaciale. Le diamètre minimal correspond à une valeur typique, 'ymin ~ a^-²êM^(1-D)/^D, de 'y (ê étant fixée). Par conséquent, le polymère est confiné si 'y < 'ymin.

Enfin, certaines questions en relation avec le sujet sont en cours d'étude.

Bibliographie

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Chapitre 8

Condensation des polymères

greffés sur une biomembrane.

Dans ce chapitre, qui constitue notre cinquième contribution originale, nous présentons une vue large sur le phénomène de ségrégation entre les phospholipides et des chaînes de polymère greffées sur une membrane en bicouche.

En particulier, nous discutons l'influence de la qualité du solvant et la poly-dispersité des chaînes de polymère greffées sur le comportement de phase critique du mélange. Nous rappelons que la qualité du solvant apparaît à travers l'expression générale de l'énergie libre du mélange, qui nous permettra la détermination du diagramme de phase relatif à l'agrégation des chaînes de polymère ancrées.

8.1 Introduction.

Les membranes biologiques sont d'une importance cruciale pour la vie, parce qu'elles séparent la cellule de son environnement extérieur, et les compartiments à l'intérieur de la cellule, afin de protéger les processus importants et des événements spécifiques.

Aujourd'hui, il est largement reconnu que les biomembranes se présentent sous forme d'une bicouche lipidique, composée de deux feuillets adjacents [2, 3], qui sont formés de molécules amphiphiles possédant des têtes polaires hydrophiles, attachées chimiquement à des chaînes d'acides gras hydrophobes. La majorité des molécules de lipide sont des phospholipides. Ceux-ci ont un groupe polaire et deux queues hydrocarbonées non-polaires, dont la longueur est de l'ordre de 5nm.

En plus, les membranes cellulaires incorporent un autre type de lipides, qui est le cholestérol [2, 3]. Les molécules de cholestérol ont plusieurs fonctions dans la membrane. Par exemple, ils donnent la rigidité ou la stabilité de la membrane cellulaire, et évitent la cristallisation des hydrocarbures.

Les biomembranes contiennent, également, des glycolipides (résidus de sucre), qui sont des molécules lipidiques s'agrégeant dans la membrane. Certains types de molécules sont limités par des sphingolipides, des toxines du choléra et du tétanos. Les sphingolipides et le cholestérol favorisent l'agrégation des protéines dans des microdomaines, appelés râteaux ou rafts. En fait, ceux-ci jouent le rôle de plates-formes pour la fixation de protéines sur les membranes, et jouent un rôle dans la transduction du signal.

Les protéines (macromolécules géantes) sont une autre composante principale des

membranes cellulaires. Les protéines transmembranaires sont amphipathiques et formées par des régions hydrophobes et hydrophiles ayant la même orientation que les autres molécules lipidiques. Ces protéines sont aussi appelées protéines intrinsèques. Elles ont la fonction de transporter des substances à travers la membrane, comme les ions et les macromolécules. Il existe d'autres types de protéines, qui peuvent être attachées à la surface par des chaînes d'acides gras ou à la surface cellulaire externe. Ce sont les protéines membranaires périphériques, qui ont de nombreuses fonctions. En fait, ils protègent la surface de la membrane, régulent la signalisation cellulaire et participent à de nombreux autres événements cellulaires importants. En outre, certaines protéines membranaires périphériques ont tendance à se lier aux membranes électrostatiquement chargées négativement, sur le feuillet interne de la membrane plasmique.

Notons que la majorité des macromolécules formant la bicouche sont tout simplement ancrées sur la membrane et forment une brosse de polymères ramifiés [4, 5]

Nous nous intéressons aux polymères greffés sur des interfaces molles, comme les liposomes [6 - 9]. Ces matériaux souples ont été fabriqués volontairement par A. Bangham, en 1968. Actuellement, ils sont devenus des objets de grand intérêt en biologie, biochimie et particulièrement en médecine, pour leur rôle comme agents de transport de médicaments. Les liposomes sont des vésicules artificielles de forme sphérique, qui peuvent être produites à partir de phospholipides naturels et de cholestérol, mais les bicouches lipidiques qui constituent ces vésicules ont une durée de vie courte, en raison de leur faible stabilité et aussi suite à leur extermination dans le sang par les globules blancs. Pour avoir des vésicules plus stables, un moyen utile

consiste à les protéger en les enrobant d'une couche de polymères flexibles (la taille de pelage est de l'ordre de 50nm [2]) qui empêche l'adhérence de protéines [7, 8]. En fait, ces chaînes de polymère stabilisent les liposomes, en raison des forces de volume exclu entre monomères [9]. Les liposomes peuvent être, également, synthétisés à partir des copolymères en dibloc, dans un solvant sélectif qui préfère être contacté par le polymère préféré. Les chaînes de polymère hydrophobes s'agrègent pour former une bicouche mince, tandis que les chaînes de polymères hydrophiles flottent dans le solvant. Naturellement, ces liposomes de copolymère ont des propriétés légèrement différentes, en comparaison avec ceux à base de lipides [10] (une grande résistance, forte rigidité et faible perméabilité à l'eau). Selon le choix des copolymères, ces liposomes résistent aux détergents [11].

Le greffage des polymères sur des membranes lipidiques a été considéré dans un travail récent [12]. Le but était l'étude de la séparation de phase entre les phospholipides et des polymères ancrés. Comme hypothèse, le milieu aqueux est supposé être un bon solvant, et en plus, les chaînes de polymère sont ancrées à l'interface par une seule extrémité (ancres). Les ancres sont des grandes molécules amphiphiles chimiquement différentes des molécules de phospholipide. Dans ce chapitre, nous supposons que les chaînes de polymère peuvent être adsorbées à la membrane par plus d'une extrémité (polydispersité), et le liquide support peut être un bon solvant ou un solvant thêta. Comme nous le verrons ci-dessous, la polydispersité et la qualité du solvant affectent considérablement le comportement de phase du mélange. Par changement d'un paramètre approprié, comme la température, les phospholipides et les chaînes de polymère ancrées se séparent en domaines macroscopiques, alternativement riches en ces deux composantes. Pour la détermination de l'architecture

du diagramme de phase, nous élaborons un modèle théorique, qui prend en compte à la fois de la polydispersité et la qualité du solvant. Nous déterminons, d'abord, l'expression de l'énergie libre du mélange de phospholipides et d'ancres, ensuite, nous déterminons la forme du diagramme de phase, et enfin, calculons le facteur de structure associé, comme fonction du vecteur d'onde de transfert et des paramètres pertinents du problème.

8.2 Energie libre du mélange.

Les polymères peuvent adhérer à la biomembranes de plusieurs façons : (i) par de grosses molécules amphiphiles (pour de nombreuses protéines, les ancres lipidiques sont des unités de glycosylphosphatidylinositol) [13, 14], (ii) par des groupements latéraux hydrophobes de polymères, qui sont intégrés dans la bicouche [15, 16], (iii) par une membrane couvrant des domaines hydrophobes du polymère (protéines mem-branaires, par exemple), et (iv) par une forte adsorption qui entraîne le polymère d'un état désorbé à un état adsorbé [17]. Pour une chaîne de polymère isolée, l'adsorption (sur des substrats solides) peut être théoriquement étudiée, en utilisant un argument d'échelle [18], par exemple. Outre le degré de polymérisation de la chaîne polymère, N, et le paramètre de volume exclu, v, l'étude a été basée sur un paramètre supplémentaire, 8, qui est l'énergie nécessaire (par kBT ) d'absorber un monomère sur la surface. Pour une forte adsorption, 8^-¹ définit l'épaisseur de la couche adsorbée. Une transition d'adsorption a lieu, à une certaine valeur typique 8* de 8 [17] : 8^* ~ R-1

F ~ aN^-íF (íF = 3/5), avec RF le rayon de Flory de la chaîne de polymère. Pour des solutions semi-diluées de polymères, le phénomène d'adsorption

Pour l'étude configurationnelle, Guiselin [22] a considéré que chaque boucle peut

Dans ce chapitre, nous considérons la situation (iv), où chaque monomère a la même probabilité d'être adsorbé sur la surface de la membrane [19]. Plus précisément, un monomère donné est susceptible d'être lié à une tête polaire d'une molécule de phospholipide (ancre). Comme résultat, les chaînes de polymère forment des boucles polydisperses (avec éventuellement un ou deux queues flottant dans le milieu aqueux). En fait, cette hypothèse est conforme à ce qui a été considéré dans la Réf. [20]. Le cas où aucune boucle n'est présente (adsorption par une seule extrémité) a été examiné dans la Réf. [12]. Contrairement à l'adsorption sur une surface solide, les chaînes de polymère ancrées sont mobiles sur la membrane hôte, et peuvent subir une transition d'agrégation qui nous intéresse ici. Pour être plus général, la membrane fluide est supposée être en contact avec un bon solvant ou un solvant thêta.

Le but est d'écrire l'expression générale de l'énergie libre du mélange, qui nous permettra la détermination du diagramme de phase relatif à l'agrégation des chaînes de polymère adsorbées.

Notre point de départ est l'énergie libre (par unité d'aire) de la couche poly-mérique (pour des substrats solides). Par exemple, dans un contexte biologique, les macromolécules peuvent être liées à la surface par des monomères extrémités. Cette énergie est donnée par [21]

être envisagée comme deux demi-boucles (brins). Ici, S (n) est le nombre de brins comportant plus de n monomères par unité de surface, et b représente la taille de monomère. Pour les couches de polymère monodisperses, N dénote le degré de polymérisation commun des chaînes greffées. Ici, N est plutôt le nombre de monomères des brins les plus longs. Par la suite, nous utiliserons la notation S_i= Ö/a, qui est le nombre total de brins adsorbés par unité de surface, avec Ö la fraction volumique des monomères adsorbés, et a est l'aire des têtes polaires. Si le mélange est supposé être incompressible, 1 - Ö sera donc la fraction volumique des molécules de phospholipide.

Revenons à l'expression de l'énergie libre volumique (7.1) et notons que le premier terme de l'égalité représente la contribution des interactions répulsives (à deux ou à trois corps) entre monomères appartenant à la couche polymérique, alors que le second est tout simplement la contribution d'entropie décrivant tous les réarrangements possibles des chaînes de polymère greffées. Dans l'égalité (7.1), l'exposant 0 dépend de la qualité de solvant [21]. Lorsque le greffage est réalisé en solution diluée, avec un bon solvant ou un solvant thêta, ses valeurs sont, respectivement, 0 = 11/6 (modèle de blob) ou 0 = 2.

Pour les couches de polymère polydisperses, la distribution S (n) est bien connue dans la littérature [21]. Celle-ci peut être obtenu en minimisant l'énergie libre précédente par rapport à cette distribution. Sans détails, nous nous contentons du résultat général [21] suivant

avec f (n) ~ n1/(1-â), pour les couches de polymères polydisperses, et f (n) = 1 (pour tous n), pour les monodisperses.

Ici, le terme linéaire en do décrit la contribution de l'entropie à l'énergie libre volumique, où le coefficient ç (N) est (voir l'annexe B)

ç (N) = a^-¹{[0 + ln (0 - 1)] (1 - N1/(1-â)) + 0 - 1N1/(")~) ln N} . (7.6a)

pourvu que 0 > 1 (noter que 0 = 11/6, pour les bons solvants, et 0 = 2, pour

les solvants thêta). Cette limite asymptotique est toujours définie positive, et inversement proportionnelle à l'aire des têtes polaires a. En fait, le signe positif du coefficient ç (N) est en accord avec la perte d'entropie, due aux chaînes de polymère greffées. Comme nous le verrons ci-dessous, cette contribution linéaire n'affecte pas le diagramme de phase, dans le plan composition-température. Ici, la constante de couplage u est la suivante

Notons que ( (N) < 1, puisque, dans tous les cas, â > 1. Par conséquent, la poly-dispersité diminue l'énergie d'interaction répulsive.

Maintenant, nous avons tous les ingrédients nécessaires pour la détermination de l'expression de l'énergie libre du mélange. Pour ce faire, nous imaginons que l'interface se présente comme un réseau de Flory-Huggins bidimensionnel [18, 23], où chaque site est occupé par un ancre ou par une molécule de phospholipide. Par conséquent, nous pouvons regarder la fraction volumique des ancres Ö comme la

probabilité pour qu'un site donné soit occupé par un ancre, et 1 - Ö la probabilité d'occupation de ce site par un phospholipide.

Avant de déterminer l'énergie libre (par site) du mélange (ancre-phospholipide), nous constatons que celle-ci est la somme de trois contributions : L'entropie de mélange (par site), l'énergie libre volumique (par site), et l'énergie d'interaction (par site) provenant des ondulations de la membrane. En réalité, les forces attractives induites par les ondulations de la membrane sont responsables de la condensation des ancres. Ces forces contrebalancent les forces répulsives entre monomères le long des chaînes de polymère connectées. Nous écrivons donc

Notons que, pour les chaînes de polymère ancrées par une extrémité, qui est une grosse molécule amphiphile (cas des brosse de polymère), la première contribution de l'entropie, Ö ln Ö, devrait être divisée par certain facteur, q, qui représente le rapport de l'aire des ancres à celle des têtes polaires des phospholipides hôte. Dans le cas présent, nous avons q = 1. Dans l'égalité (7.11), ÷ est le paramètre d'interaction de Flory

Ici, U (r) est le potentiel de paire induit par les ondulations membranaires [11, 24]

où ó est le diamètre du disque-dur, qui est proportionnel à la racine carrée de l'aire des ancres, a. L'amplitude de potentiel, AH, joue le rôle de la constante de Hamaker. Il a été montré que celle-ci décroît avec la constante de rigidité comme [12, 25]

Mais cette amplitude est également sensible à la température. De ce qui précède, nous pouvons remarquer que l'énergie libre de mélange n'est pas symétrique par le changement : Ö ? 1 - Ö.

qui montre que les membranes de faible module de courbure induisent une attraction importante entre les ancres.

Dans l'expression (7.12), ÷_o > 0 est le paramètre d'interaction de Flory décrivant la ségrégation chimique entre les phospholipides (molécules amphiphiles) et les

où les coefficients áo et ã_o dépendent de la nature chimique des différentes espèces. En outre, le paramètre d'interaction totale ÷ s'écrit comme

Ces coefficients dépendent alors de la nature chimique des différentes composantes et des caractéristiques de la membrane, à travers le module de rigidité ê.

Si nous admettons que la constante de couplage u est peu dépendante de la température, nous pourrons tracer le diagramme de phase dans le plan des variables (Ö, ÷). En effet, toute la dépendance en température est entièrement contenue dans le paramètre d'interaction de Flory ÷.

8.3 Diagramme de phase.

Avec l'aide de l'énergie libre du mélange (7.11), nous pouvons déterminer l'architecture du diagramme de phase, dans le plan des variables (Ö, ÷), en relation avec le processus d'agrégation, qui mène les ancres d'une phase dispersée (gaz) à une phase

dense (liquide). Nous nous intéressons ici seulement à la courbe spinodale, le long de laquelle la compressibilité thermique diverge. L'équation de cette courbe spinodale peut être obtenue en annulant la dérivée seconde de l'énergie libre du mélange par rapport à la fraction volumique des ancres Ö : ?²F/?Ö²= 0. Alors, nous obtenons l'expression suivante pour le paramètre d'interaction de Flory critique

Au-dessus de ce paramètre d'interaction critique, apparaissent deux phases, l'une est homogène et l'autre est séparée. Bien sûr, le terme linéaire en Ö figurant dans l'égalité (7.11) ne contribue pas à l'expression du paramètre d'interaction critique.

Remarquons que, dans les solvants habituels, ce paramètre interaction critique est augmenté par la présence d'interactions répulsives (deux ou trois corps) entre monomères appartenant à la couche de polymère. Cela signifie que ces interactions élargissent le domaine de compatibilité, et donc la séparation de phase se produit à basse température.

Maintenant, pour voir l'influence de la qualité du solvant, nous réécrivons le paramètre d'interaction u comme u = u0æ (N) ~ u0Nâ/(1?â) < u0, où u0 est celui relatif à un système monodisperse. Ainsi, la polydispersité a tendance à réduire le domaine de compatibilité, par rapport au cas monodisperse.

La fraction volumique critique, Ö_c, peut être obtenue en minimisant le paramètre critique x (Ö) par rapport à la variable Ö. Nous obtenons alors

Par conséquent, la fraction volumique critique est l'abscisse du point d'intersection de la courbe d'équation (2x - 1) /x⁵/⁶ (1 - x)² et la droite horizontale d'équation y = (55/216) u. Notons que cette fraction volumique critique est unique, et en plus, elle doit être supérieure à la valeur 1/2 (pour la compatibilité mathématique). Les coordonnées du point critique sont (Ö_e, ÷_e), où Ö_e est solution de l'équation ci-dessus : ÷_e = ÷ (Ö_e). Ce dernier peut être déterminé en combinant (7.19) et (7.21). Pour les solvants thêta (/3 = 2), les coordonnées du point critique sont exactes,

La relation ci-dessus montre clairement que la condensation des chaînes de polymère se produit rapidement, seulement lorsque le rapport des aires b²/a est suffisamment élevée.

Il est facile de montrer que la fraction critique et le paramètre critique sont déplacés vers leur valeurs les plus basses, pour les systèmes polydisperses, quelque soit la qualité du solvant. Dans la Fig. 7.1, nous traçons la courbe spinodale, pour des

FIG. 8-1 -- La courbe spinodale (bon solvant), pour des systèmes monodisperse (ligne pointillés) et polydisperse (ligne continue), à paramètre N = 100 et b² = 0.5a.

systèmes monodisperse (sans boucles) et polydisperse (avec boucles), à paramètre N fixé. Nous avons choisi le cas d'un bon solvant. Pour les solvants thêta, la tendance est la même.

Nous reportons sur la Fig. 7.2, la courbe spinodale d'un système polydisperse, pour déférentes valeurs du paramètre N. Comme il se doit, le paramètre critique est déplacé vers ses valeurs les plus élevées, à mesure que le degré de polymérisation typique N est augmentée.

Enfin, nous comparons, dans la Fig. 7.3, les courbes spinodale d'un système polydisperse, avec un bon solvant et un solvant thêta, aux paramètres b et N fixés. Toutes les courbes tracées reflètent les discussions faites ci-dessus.

FIG. 8-2 -- la courbe spinodale d'un système polydisperse, pour déférentes valeurs du paramètre N avec b² = 0.5a.

8.4 Conclusions.

Ce chapitre a été consacré à l'étude thermodynamique de l'agrégation des chaînes de polymère, qui sont adsorbées à une surface molle, par plus d'un point d'ancrage. Cette agrégation est due à une compétition entre la ségrégation chimique entre les phospholipides et les chaînes de polymère greffées, leurs interactions volumiques et les ondulations de la membrane. Plus précisément, la question posée est comment ces chaînes de polymère peuvent être menée d'une phase dispersée à une phase dense (à l'instar de la transition gaz-liquide pour les fluides), suite au changement d'un paramètre approprié, qui peut être la température.

Pour être plus général, nous avons considéré des situations physiques les plus réalistes, telles que la qualité du solvant (bon solvants ou solvants thêta) et la po-

FIG. 8-3 -- Les courbes spinodales d'un système polydisperse, avec un bon solvant et un solvant thêta, aux paramètres b et N fixés.

lydispersité des chaînes connectées. Cette dernière a été prise en compte, à travers la forme de la distribution des boucles. Nous avons, d'abord, déterminé l'expression de l'énergie libre du mélange, en adoptant le modèle de Flory-Huggins, habituellement rencontrés en physique des polymères [18, 23]. Une telle expression montre qu'il existe une compétition entre trois contributions : l'entropie, la ségrégation chimique entre les espèces différentes (phospholipides et polymères greffés), l'énergie d'interaction induite par les ondulations de la membrane, et l'énergie d'interaction entre les monomères appartenant à la couche adsorbée. Une telle compétition règle la succession des phases.

Nous soulignons que le présente étude et une précédente déjà publiée [12] diffèrent de celle relative à une surface rigide [4]. Par conséquent, les ondulations membra-

naires ont été ignorées. Comme nous l'avons vu plus haut, ces ondulations augmentent le paramètre de ségrégation, x, par un terme additif, x_m, se comportant comme comme i^-². Cela signifie que la séparation de phase est accentué, par la présence des fluctuations thermiques. Si elle est comparée à une étude faisant déjà matière de publication [12], et qui portait sur des brosses monodisperses de polymères greffés, la présenté est plus générale, car elle tient compte à la fois de la polydispersité des chaînes et la qualité du solvant. Ainsi, la présente étude a été réalisée de façon unifiée. Comme nous l'avons constaté, ces détails affectent drasti-quement l'architecture du diagramme de phase.

Maintenant, discutons l'influence de la qualité du solvant sur le comportement de phase critique. Nous rappelons que la qualité du solvant apparaît dans l'énergie libre (7.11), à travers le paramètre de répulsion u, défini par la relation (7.7). Nous trouvons, dans la limite N ? 8, que u_g(q) ~ N¹/⁵uè, où les indices g et B sont pour bon solvant et solvant thêta, respectivement. Cela implique que le bon solvant joue un rôle stabilisateur, en ce qui concerne la séparation de phase.

Enfin, soulignons que l'étude présentée dans ce chapitre, est une suite naturelle d'une précédente étude [12], qui considérait des chaînes de polymère monodisperses, ancrées sur une membrane fluide, en bon solvant. Par conséquent, cette nouvelle présente une vue large sur le phénomène de ségrégation entre les phospholipides et des chaînes de polymère greffées sur une membrane en bicouche.

Bibliographie

Chapitre 9

Conclusions générales.

Cette thèse avait comme objectif principal l'étude de la Mécanique Statistique des biomembranes confinées dans le milieu aqueux support. Il s'agit d'une série de contributions qui étendaient le cas des biomembranes pures, c'est-à-dire en l'absence de bords géométriques, de particules ou dépourvues de chaînes de polymères greffées.

La première contribution porte sur l'effet Casimir entre deux plaques interactives parallèles délimitant un liquide comptant une biomembrane immergée. Cette force répulsive provient des ondulations thermiques de la membrane. Plus exactement, nous avons réexaminé le calcul de la force de Casimir entre deux parois parallèles délimitant une membrane lipidique fluctuante, qui est immergée dans un certain liquide. Cette force est provoquée par les fluctuations thermiques de la membrane. Nous avons étudié le problème, du point de vue statique et dynamique. Les quantités d'intérêt étaient la rugosité de la membrane, qui est une échelle de distance caractéristique mesurant l'étendue des fluctuations thermiques dans la direction perpendiculaire à la biomembrane.

D'entrée de jeu, nous avons déterminé la rugosité de la membrane, lorsque celle-ci est à l'équilibre. Puis, nous avons montré que lorsque la température du système est augmentée, la rugosité croît avec le temps, selon une loi de puissance. Ensuite, l'accent a été mis sur le calcul de la force induite entre deux parois parallèles délimitant un liquide où baigne une membrane lipidique. Le calcul a été achevé, du point de vue statique et dynamique. Il a été mis en évidence que la force induite croît avec l'importance des fluctuations thermiques de la membrane.

La deuxième contribution avait trait à une solution colloïdale au contact d'une biomembrane, qui est confinée dans une fente. L'épaisseur de cette fente était supposée beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de la membrane. Le but étant l'étude de la dynamique Brownienne de ces particules, sous la variation d'un paramètre adéquat, tel que la température, par exemple. L'objet de base était la densité locale des particules. Nous avons déterminé exactement cette densité, qui est fonction de la distance et du temps. L'outil pour cela est l'équation de Smoluckowski, satisfaite par cette densité. Dans, un premier temps, nous avons précisé le potentiel extérieur induit par les ondulations de la membrane. De tel potentiel est symétrique, par rapport à l'origine de la coordonnée perpendiculaire. En plus, il dépend naturellement des caractériques de la membrane, à travers sa rugosité, et de l'interaction colloïde-membrane. Pour simplifier les calculs, nous avons approximé ce potentiel par un potentiel harmonique. Cette hypothèse reste valable, car l'essentiel du phénomène se passe autour de la membrane, sur des distances inférieures à la rugosité en volume. La conclusion essentielle est les particules sont poussées vers l'interface en occupant les nouveaux trous et vallées..

La troisième contribution est une étude détaillée des effets d'impuretés sur les

propriétés statistiques des membranes fluides. Celles peuvent être attractives ou répulsives. En premier lieu, nous avons déterminé la rugosité moyenne de la membrane, en combinant la technique des répliques avec la méthode variationnelle. Le résultat s'exprime en fonction de la concentration des impuretés et l'amplitude de leur interaction avec la membrane. En second lieu, nous avons évalué la taille d'une vésicule isolée, en fonction de ces mêmes paramètres. Enfin, l'étude est étendue à l'adhésion membranaire. Le résultat fondamental est que la présence des impuretés induit un changement substantiel des propriétés d'équilibre de la membrane se trouvant dans un liquide trouble. Une discussion des effets de courbure a été faite, en considérant une vésicule sphérique fermée. Pour ce qui des phases lamellaires, l'étude peut être étendue pour plus de deux membranes.

La quatrième contribution est une étude conformationnelle d'un polymère isolé, qui est confiné entre deux membranes lipidiques parallèles ou dans une vésicule tubulaire. Pour rester plus général, nous avons supposé que le polymère est de topologie arbitraire, appelé D-manifold, où D est la dimension spectrale. Cette dernière représente le nombre de coordonnées locales permettant de caractériser géométriquement le polymère. En particulier, nous avons mis en évidence de cette dimension intrinsèque sur le confinement du polymère. Ce sujet a été inspiré des phénomènes biologiques.

La dernière contribution est une étude de la séparation de phase entre les phospholipides et des polymères greffés sur une membrane fluide. L'étude a été menée, pour diverses situations, à savoir la qualité du solvant et la polydispersité des chaînes de polymère. Nous avons montré que ces deux facteurs induisent des changements drastiques du comportement de phase.

Enfin, il serait intéressant d'étendre la présente étude à des biomembranes chargées.

Chapitre 10

Appendice A.

Le but est de montrer comme on a obtenu la formule (3.17). Pour cela, nous partons de la fonction de partition que nous réécrivons comme

D/2

D'un autre côté, il est facile de voir que la rugosité de la membrane est donnée par

Ici,H [h] est le Hamiltonien original, relation (3.3). Naturellement, cette définition est indépendante du point choisi (xo, yo), en raison de la symétrie de translation le long des directions parallèles aux parois.

Notons que la fonction Ö n'est pas singulière, quelque soit la valeur de la distance perpendiculaire. Puisque nous sommes intéressés par le régime de confinement, où la séparation D est beaucoup plus petite que la rugosité de la membrane, c'est-à-dire L? << Li, nous pouvons remplacer la fonction paire Ö par sa valeur à z = 0, notée Öo. Dans cette limite, l'on obtient le résultat désiré.

Chapitre 11

Appendice B.

L'objectif est la détermination du coefficient ç (N) apparaissant dans la formule (7.6), du Chapitre 7. Pour cela, nous commençons par la contribution de l'entropie à l'énergie libre

où la distribution des tailles des boucles est définie par la relation (7.2), du même chapitre. L'expression ci-dessus peut être réécrite comme

ç (N) = a-1 11 J N (nâ/(") ln fâ - _JJ 1 1 nâ/(1-âl) dn . (B.3)

ç (N) = a^-¹{[â + ln (â - 1)] (1 - N1/(")) + â - 1 JJJ NI-â) ln N } . (B.4)

Dans cette première contribution originale, nous réexaminons le calcul de la force de Casimir entre deux plaques interactives parallèles délimitant un liquide comptant une biomembrane immergée. Nous désignerons par D, la distance qui sépare les deux plaques, et l'on suppose que cette dernière est beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de cette membrane. Cette force répulsive provient des ondulations thermiques de la membrane. Nous avons traité aussi bien l'aspect statique que l'aspect dynamique

Laboratoire de Physique des Polymères et Phénomènes Critiques Facultédes Sciences Ben M'sik, P.O. 7955, Casablanca, Morocco m.benhamou@univh2m.ac.ma

We reexamine the computation of the Casimir force between two parallel interacting plates delimitating a liquid with an immersed biomembrane. We denote by D their separation, which is assumed to be much smaller than the bulk roughness, in order to ensure the membrane confinement. This repulsive force originates from the thermal undulations of the membrane. To this end, we first introduce a field theory, where the field is noting else but the height-function. The field model depends on two parameters, namely the membrane bending rigidity constant, k, and some elastic constant, u - D^-4. We first compute the static Casimir force (per unit area), 11, and find that the latter decays with separation D as : 11 - D^-3, with a known amplitude scaling as k^-1. Therefore, the force has significant values only for those biomembranes of small enough k. Second, we consider a biomembrane (at temperature T) that is initially in a flat state away from thermal equilibrium, and we are interested in how the dynamic force, 11 (t), grows in time. To do calculations, use is made of a non-dissipative Langevin equation (with noise) that is solved by the time height-field. We first show that the membrane roughness, L? (t), increases with time as : L? (t) - t¹/⁴(t < r), with the final time r - D⁴(required time over which the final equilibrium state is reached). Also, we find that the force increases in time according to : 11 (t) - t¹/²(t < r). The discussion is extended to the real situation where the biomembrane is subject to hydrodynamic interactions caused by the surrounding liquid. In this case, we show that : L? (t) - t¹/³(t < rh) and 11h (t) - t²/³(t < rh), with the new final time rh - D³. Consequently, the hydrodynamic interactions lead to substantial changes of the dynamic properties of the confined membrane, because both roughness and induced force grow more rapidly. Finally, the study may be extended, in a straightforward way, to bilayer surfactants confined to the same geometry.

I. INTRODUCTION

The cell membranes are of great importance to life, because they separate the cell from the surrounding environment and act as a selective barrier for the import and export of materials. More details concerning the structural organization and basic functions of biomembranes can be found in Refs. [1 - 7]. It is well-recognized by the scientific community that the cell membranes essentially present as a phospho-lipid bilayer combined with a variety of proteins and cholesterol (mosaic fluid model). In particular, the function of the cholesterol molecules is to ensure the bilayer fluidity. A phospholipid is an amphiphile

K. El Hasnaoui et al. African Journal Of Mathematical Physics Volume 8(2010)101-114

molecule possessing a hydrophilic polar head attached to two hydrophobic (fatty acyl) chains. The phos-pholipids move freely on the membrane surface. On the other hand, the thickness of a bilayer membrane is of the order of 50 Angstroms. These two properties allow to consider it as a two-dimensional fluid membrane. The fluid membranes, self-assembled from surfactant solutions, may have a variety of shapes and topologies [8], which have been explained in terms of bending energy [9, 10].

In real situations, the biomembranes are not trapped in liquids of infinite extent, but they rather confined to geometrical boundaries, such as white and red globules or liposomes (as drugs transport agents [11 - 14]) in blood vessels. For simplicity, we consider the situation where the biomembrane is confined in a liquid domain that is finite in one spatial direction. We denote by D its size in this direction. For a tube, D being the diameter, and for a liquid domain delimitated by two parallel plates, this size is simply the separation between walls. Naturally, the length D must be compared to the bulk roughness, L0 ₁, which is the typical size of humps caused by the thermal fluctuations of the membrane. The latter depends on the nature of lipid molecules forming the bilayer. The biomembrane is confined only when D is much smaller than the bulk roughness L⁰₁. This condition is similar to that usually encountered in confined polymers context [15].

The membrane undulations give rise to repulsive effective interactions between the confining geometrical boundaries. The induced force we term Casimir force is naturally a function of the size D, and must decays as this scale is increased. In this paper, we are interested in how this force decays with distance. To simplify calculations, we assume that the membrane is confined to two parallel plates that are a finite distance D < L⁰₁apart.

The word »Casimir» is inspired from the traditional Casimir effect. Such an effect, predicted, for the first time, by Hendrick Casimir in 1948 [16], is one of the fundamental discoveries in the last century. According to Casimir, the vacuum quantum fluctuations of a confined electromagnetic field generate an attractive force between two parallel uncharged conducting plates. The Casimir effect has been confirmed in more recent experiments by Lamoreaux [17] and by Mohideen and Roy [18]. Thereafter, Fisher and de Gennes [19], in a short note, remarked that the Casimir effect also appears in the context of critical systems, such as fluids, simple liquid mixtures, polymer blends, liquid ⁴He, or liquid-crystals, confined to restricted geometries or in the presence of immersed colloidal particles. For these systems, the critical fluctuations of the order parameter play the role of the vacuum quantum fluctuations, and then, they lead to long-ranged forces between the confining walls or between immersed colloids [20, 21].

To compute the Casimir force between the confining walls, we first elaborate a more general field theory that takes into account the primitive interactions experienced by the confined membrane. As we shall see below, in confinement regime, the field model depends only on two parameters that are the membrane bending rigidity constant and a coupling constant containing all infirmation concerning the interaction potential exerting by the walls. In addition, the last parameter is a known function of the separation D. With the help of the constructed free energy, we first computed the static Casimir force (per unit area), II. The exact calculations show that the latter decays with separation D according to a power law, that is II #c-¹(kBT)²D-³, with a known amplitude. Here, kBT denotes the thermal energy, and #c the membrane bending rigidity constant. Of course, this force increases with temperature, and has significant values only for those biomembranes of small enough #c. The second problem we examined is the computation of the dynamic Casimir force, II (t). More precisely, we considered a biomembrane at temperature T that is initially in a flat state away from the thermal equilibrium, and we were interested in how the expected force grows in time, before the final state is reached. Using a scaling argument, we first showed that the membrane roughness, L1 (t), grows with time as : L1 (t) t¹/⁴(t < r), with the final time r D⁴. The latter can be interpreted as the required time over which the final equilibrium state is reached. Second, using a non-dissipative Langevin equation, we found that the force increases in time according to the power law : II (t) t¹/²(t < r). Third, the discussion is extended to the real situation where the biomembrane is subject to hydrodynamic interactions caused by the flow of the surrounding

liquid. In this case, we show that : L1 (t) t¹/³(t < rh) and II (t) t²/³(t < rh), with the new final
time rh D³. Consequently, the hydrodynamic interactions give rise to drastic changes of the dynamic properties of the confined membrane, since both roughness and induced force grow more rapidly.

This paper is organized as follows. In Sec. II, we present the field model allowing the determination of the Casimir force from a static and dynamic point of view. The Sec. III and Sec. IV are devoted to the computation of the static and dynamic induced forces, respectively. We draw our conclusions in the last section. Some technical details are presented in Appendix.

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II. THEORETICAL FORMULATION

Consider a fluctuating fluid membrane that is confined to two interacting parallel walls 1 and 2. We denote by D their finite separation. Naturally, the separation D must be compared to the bulk membrane roughness, L⁰₁, when the system is unconfined (free membrane). The membrane is confined only when the condition L << L⁰₁ is fulfilled. For the opposite condition, that is L >> L⁰₁, we expect finite size corrections.

We assume that these walls are located at z = -D/2 and z = D/2, respectively. Here, z means the perpendicular distance. For simplicity, we suppose that the two surfaces are physically equivalent. We design by V (z) the interaction potential exerted by one wall on the fluid membrane, in the absence of the other. Usually, V (z) is the sum of a repulsive and an attractive potentials. A typical example is provided by the following potential [22]

Vh (z) = Ahe-^z/^Ah (2.0)
represents the repulsive hydration potential due to the water molecules inserted between hydrophilic lipid heads [22]. The amplitude Ah and the potential-range ëh are of the order of : Ah ^, 0.2 J/m² and ëh ^, 0.2-0.3 nm. In fact, the amplitude Ah is Ah = Ph xëh, with the hydration pressure Ph ^, 10⁸-10⁹ Pa. There, _VvdW (z) accounts for the van der Waals potential between one wall and biomembrane, which are a distance z apart. Its form is as follows

with the Hamaker constant H ^, 10-²² - 10-²¹ J, and ä ^, 4 nm denotes the membrane thickness. For large distance z, this implies

VvdW (z) ? z4 . (2.0)
Generally, in addition to the distance z, the interaction potential V (z) depends on certain length-scales, (î1, ...,î_n), which are the interactions ranges. The fluid membrane then experiences the following total potential

U (z) = V 2 - z + V ₂ + z 2 < z < D 2 . (2.0)
In the Monge representation, a point on the membrane can be described by the three-dimensional position vector r = (x, y, z = h (x, y)), where h (x, y) E [-D/2, D/2] is the height-field. The latter then fluctuates around the mid-plane located at z = 0.

The Statistical Mechanics for the description of such a (tensionless) fluid membrane is based on the standard Canham-Helfrich Hamiltonian [9, 23]

1-l [h] = dxdy ₂ (?h)² + W (h) , (2.0)
with the membrane bending rigidity constant ê. The latter is comparable to the thermal energy kBT, where T is the absolute temperature and kB is the Boltzmann's constant. There, W (h) is the interaction potential per unit area, that is

W (h) = L2 , (2.0)
where the potential U (h) is defined in Eq. (2), and L is the lateral linear size of the biomembrane. Let us discuss the pair-potential W (h).

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Firstly, Eq. (2) suggests that this total potential is an even function of the perpendicular distance h, that is

Secondly, when they exist, the zeros h0's of the potential function U (h) are such that

This equality indicates that, if h0 is a zero of the potential function, then, -h0 is a zero too. The number of zeros is then an even number. In addition, the zero h0's are different from 0, in all cases. Indeed, the quantity V (D/2) does not vanish, since it represents the potential created by one wall at the middle of the film. We emphasize that, when the potential processes no zero, it is either repulsive or attractive. When this same potential vanishes at some points, then, it is either repulsive of attractive between two consecutive zeros.

Thirdly, we first note that, from relation (2), we deduce that the first derivative of the potential function, with respect to distance h, is an odd function, that is W^' (-h) = -W^' (h). Applying this relation to the midpoint h = 0 yields : W^' (0) = 0. Therefore, the potential W exhibits an extremum at h = 0, whatever the form of the function V (h). We find that this extremum is a maximum, if V ^?(D/2) < 0, and a minimum, if V ^?(D/2) > 0. The potential U presents an horizontal tangent at h = 0, if only if V ^?(D/2) = 0. On the other hand, the general condition giving the extrema {h_m} is

Since the first derivative W^' (h) is an odd function of distance h, it must have an odd number of extremum points. The point h = h_m is a maximum, if

The above deductions depends, of course, on the form of the interaction potential V (h).

Fourthly, a simple dimensional analysis shows that the total interaction potential can be rewritten on the following scaling form

where (î1, ...,î_n) are the ranges of various interactions experienced by the membrane, and Ö(x1, ..., xn+1) is a (n + 1)-factor scaling-function.

Finally, we note that the pair-potential W (h) cannot be singular at h = 0. It is rather an analytic function in the h variable. Therefore, at fixed ratios îi/D, an expansion of the scaling-function Ö, around the value h = 0, yields

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We restrict ourselves to the class of potentials that exhibit a minimum at the mid-plane h = 0. This assumption implies that the coefficient ã is positive definite, i.e. ã > 0. Of course, such a coefficient depends on the ratios of the scale-lengths îi to the separation D.

In confinement regime where the distance h is small enough, we can approximate the total interaction potential by its quadratic part. In these conditions, the Canham-Helfrich Hamiltonian becomes

The prefactor ã will be computed below. The above expression for the elastic constant u gives an idea on its dependance on the film thickness D. In addition, we state that this coefficient may be regarded as a Lagrange multiplier that fixes the value of the membrane roughness.

Thanks to the above Hamiltonian, we calculate the mean-expectation value of the physical quantities, like the height-correlation function (propagator or Green function), defined by

G (x - x^', y - y^') = (h (x, y) h (x^',y^')) - (h (x, y)) (h (x^',y^')) . (2.0)

where ä (x) denotes the one-dimensional Dirac function, and ? = ?²/?x² + ?²/?y² represents the two-dimensional Laplacian operator. We have used the notations : = ê/kBT and u = u/kBT, to mean the reduced membrane elastic constants.

Such a quantity measures the fluctuations of the height-function (fluctuations amplitude) around the equilibrium plane located at z = 0. We show in Appendix that the membrane roughness is exactly given by

provided that one is in the confinement-regime, i.e. D << L⁰_?. Notice that the above equality indicates that the roughness is independent on the geometrical properties of the membrane (through ê). We emphasize that this relation can be recovered using the argument that each point of the membrane has equal probability to be found anywhere between the walls [24].

This formula clearly shows that this elastic constant decays with separation D as D-⁴. The term uh²/2 then describes a confinement potential that ensures the localization of the membrane around the mid-plane. Integral over the hole plane R² of this term represents the loss entropy due to the confinement of the membrane. The value (19) of the elastic constant is compatible with the constraint (17).

Therefore, the elaborated model is based on the Hamiltonian (13), with a quadratic confinement potential. We can say that the presence of the walls simply leads to a confinement of the membrane in a region

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We define now another length-scale that is the in-plane correlation length, L?. The latter measures the correlations extent along the parallel directions to the walls. More precisely, the propagator G (x - x^', y - y^') fails exponentially beyond L?, that is for distances d such that d =

In contrary to L?, the length-scale L? depends on the geometrical characteristics of the membrane (through ê).

The next steps consist in the computation of the Casimir force at and out equilibrium.

III. STATIC CASIMIR FORCE

When viewed under the microscope, the membranes of vesicles present thermally excited shape fluctuations. Generally, objects such as interfaces, membranes or polymers undergo such fluctuations, in order to increase their configurational entropy. For bilayer biomembranes and surfactants, the consequence of these undulations is that, they give rise to an induced force called Casimir force.

To compute the desired force, we start from the partition function constructed with the Hamiltonian defined in Eq. (13). This partition function is the following functional integral

where integration is performed over all height-field configurations. The associated free energy is such that : F = -kBT lnZ, which is, of course, a function of the separation D. If we denote by Ó = L²the common area of plates, the Casimir force (per unit area) is minus the first derivative of the free energy (per unit area) with respect to the film-thickness D, that is

This force per unit area is called disjoining pressure. In fact, II is the required pressure to maintain the two plates at some distance D apart. In term of the partition function, the disjoining pressure rewrites

From this relation, we extract the expression of the disjoining potential (per unit area) [25]

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The above expression of the Casimir force (per unit area) calls the following remarks.

Firstly, this force decays with distance more slowly in comparison to the Coulombian one that decreases rather as D-².

Secondly, this same force depends on the nature of lipids forming the bilayer (through ê). In this sense, contrarily to the Casimir effect in Quantum Field Theory [16] and in Critical Phenomena [20], the present force is not universal. Incidentally, if this force is multiplied by ê, then, it will become a universal quantity. Thirdly, at fixed temperature and distance, the force amplitude has significant values only for those bilayer membrane of small bending rigidity constant.

Fourthly, as it should be, such a force increases with increasing temperature. Indeed, at high temperature, the membrane undulations are strong enough.

Finally, the numerical prefactor 3/8 (Helfrich's cH-amplitude [9]) is close to the value obtained using Monte Carlo simulation [26].

In Fig. 1, we superpose the variations of the reduced static Casimir force Ð/kBT upon separation D, for two lipid systems, namely SOPC and DAPC [27], at temperature T = 18^?C. The respective membrane bending rigidity constants are : ê = 0.96 x 10-¹⁹J and ê = 0.49 x 10-¹⁹J. These values correspond to the renormalized bending rigidity constants : ?ê = 23.9 and ?ê = 12.2. The used methods for the measurement of these rigidity constants were entropic tension and micropipet [27]. These curves reflect the discussion made above.

FIG. 1. Reduced static Casimir force, ll/kBT, versus separation D, for two lipid systems that are SOPC (solid line) and DAPC (dashed line), of respective membrane bending rigidity constants : k = 0.96 × 10^-19J and k = 0.49 × 10^-19J, at temperature T = 18^?C. The reduced force and separation are expressed in arbitrary units.

IV. DYNAMIC CASIMIR FORCE

To study the dynamic phenomena, the main physical quantity to consider is the time height-field, h (r, t), where r = (x, y) E R²denotes the position vector and t the time. The latter represents the time observation of the system before it reaches its final equilibrium state. We recall that the time height function h (r, t) solves a non-dissipative Langevin equation (with noise) [28]

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where > 0 is a kinetic coefficient. The latter has the dimension : [] = L⁴ 0T -1

and T0 the time unit. Here, í (r, t) is a Gaussian random force with mean zero and variance

The bare time correlation function, whose Fourier transform is the dynamic structure factor, is defined by the expectation mean-value over noise í

G(r - r^',t - t^') = ?h(r,t)h(r^',t^')?_? - ?h(r,t)?_? ?h(r^',t^')?_? , t > t^' . (4.0)

The dynamic equation (28) shows that the time height function h is a functional of noise í, and we write : h = h [í]. Instead of solving the Langevin equation for h [í] and then averaging over the noise distribution P [í], the correlation and response functions can be directly computed by means of a suitable field-theory, of action [28 - 31]

where h (r, t) is an auxiliary field, coupled to an external field h (r, t). The correlation and response functions can be computed replacing the static Hamiltonian H0 appearing in Eq. (13), by a new one : H0 [h, J] = H0 [h] - f d²rJh. Consequently, for a given observable O, we have

The notation ? . ?_J means the average taken with respect to the action A h, ^?h, J associated with the

Hamiltonian H0 [h, J]. In view of the structure of equality (33), h is called response field. Now, if O = h, we get the response of the order parameter field to the external perturbation J

The causality implies that the response function vanishes for t < t^'. In fact, this function can be related to the time-dependent (connected) correlation function using the fluctuation-dissipation theorem, according to which

^?h (r, t) h (r^', t^') = -è (t - t^') ?t ?h (r, t) h (r^', t^')?_c . (4.0)

The above important formula shows that the time correlation function C (r - r^', t - t^') = ?ö (r, t) ö (r^', t^')?_c may be determined by the knowledge of the response function. In particular, we show that

The limit t ? -8 gives the natural value L²_? (-8) = 0, since, as assumed, the initial state corresponds to a completely flat interface.

Consider now a membrane at temperature T that is initially in a flat state away from thermal equilibrium. At a later time t, the membrane possesses a certain roughness, L? (t). Of course, the latter is time-dependent, and we are interested in how it increases in time.

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We point out that the thermal fluctuations give rise to some roughness that is characterized by the appearance of anisotropic humps. Therefore, a segment of linear size L effectuates excursions of size [32]

Such a relation defines the roughness exponent æ. Notice that L is of the order of the in-plane correlation length, L?. From relation (20), we deduce the exponent æ and the amplitude B. Their respective values

In order to determine the growth of roughness L? in time, the key is to consider the excess free energy (per unit area) due to the confinement, ?F. Such an excess is related to the fact that the confining membrane suffers a loss of entropy. Formula (27) tells us how ?F must decay with separation. The result reads [32]

where _Lmax represents the wavelength above which all shape fluctuations are not accessible by the confined membrane. The repulsive fluctuation-induced interaction leads to the disjoining pressure

We emphasize that this scaling form agrees with Monte Carlo predictions [32, 33]. Solving this first-order differential equation yields [34]

Firstly, as it should be, the roughness increases with time (the exponent è? is positive definite). In addition, the exponent è? is universal, independently on the membrane bending rigidity constant ê. Secondly, we note that, in Eq. (39), we have ignored some non-universal amplitude that scales as ê-1/4. This means that the time roughness is significant only for those biomembranes of small bending rigidity constant.

Fourthly, this time roughness can be interpreted as the perpendicular size of holes and valleys at time t. Fifthly, the roughness increases until a fine time, ô. The latter can be interpreted as the time over which the system reaches its final equilibrium state. This characteristic time then scales as

where we have ignored some non-universal amplitude that scales as ê. Here, L? es.^, D is the final roughness. Explicitly, we have

As it should be, the final time increases with increasing film thickness D. On the other hand, we can rewrite the behavior (39) as

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This equality means that the roughness ratio, as a function of the reduced time, is universal.

Now, to compute the dynamic Casimir force, we start from a formula analog to that defined in Eq. (24), that is

which is very similar to the static relation defined in Eq. (25), but with a time-dependent membrane roughness, L? (t).

Combining formulae (43) and (46) leads to the desired expression for the time Casimir force (per unit area)

where 11 (ô) is the final static Casimir force, relation (25). The force exponent, èf, is such that

The induced force then grows with time as t¹/²until it reaches its final value 11 (ô). At fixed time and separation D, the force amplitude depends, of course, on ê, and decreases in this parameter according to ^ê-3/2.Also, we note that the above equality means that the force ratio as a function of the reduced time is universal.

In Fig. 2, we draw the reduced dynamic Casimir force, 11 (t) /11 (ô), upon the renormalized time t/ô.

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FIG. 2. Reduced dynamic Casimir force, 11 (t) /11 (r), upon the renormalized time t/r.

Finally, consider again a membrane which is initially flat but is now coupled to overdamped surface waves. This real situation corresponds to a confined membrane subject to hydrodynamic interactions. The roughness now grows as [35]

Therefore, the roughness increases with time more rapidly than that relative to biomembranes free from hydrodynamic interactions.

where 11 (ôh) is the final static Casimir force, relation (25). The new force exponent is

There, ôh D³accounts for the new time-scale over which the confined membrane reaches its final

equilibrium state. Therefore, the dynamic Casimir force decays with time as t²/³, that is more rapidly than that where the hydrodynamic interactions are ignored, which scales rather as t¹/². As we said before, this drastic change can be attributed to the overdamped surface waves that develop larger and larger humps.

We depict, in Fig. 3, the variation of the reduced dynamic force (with hydrodynamic interactions), 11h (t) /11 (ôh), upon the renormalized time t/ôh.

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FIG. 3. Reduced dynamic Casimir force (with hydrodynamic interactions), 11h (t) /11 (r), upon the renormalized time t/rh.

V. CONCLUSIONS

In this work, we have reexamined the computation of the Casimir force between two parallel walls delimitating a fluctuating fluid membrane that is immersed in some liquid. This force is caused by the thermal fluctuations of the membrane. We have studied the problem from both static and dynamic point of view.

We were first interested in the time variation of the roughening, L1 (t), starting with a membrane that is inially in a flat state, at a certain temperature. Of course, this length grows with time, and we found that : L1 (t) ^t°?(91 = 1/4), provided that the hydrodynamic interactions are ignored. For real systems, however, these interactions are important, and we have shown that the roughness increases more rapidly

as : ^?L1 (t) t^?°?(91 = 1/3). The dynamic process is then stopped at a final r (or rh) that represents the required time over which the biomembrane reaches its final equilibrium state. The final time behaves as : r D⁴(or rh ? D³), with D the film thickness.

Now, assume that the system is explored at scales of the order of the wavelength q-¹, where q = (4ð/À) sin (9/2) is the wave vector modulus, with À the wavelength of the incident radiation and 9 the

scattering-angle. In these conditions, the relaxation rate, r (q), scales with q as : r-¹(q) q1/°? = q4

or r-¹. Physically speaking, the relaxation rate characterizes the local growth of the

Afterwards, the question was addressed to the computation of the Casimir force, II. At equilibrium, using an appropriate field theory, we found that this force decays with separation D as : II D-³, with a known amplitude scaling as #c-¹, where #c is the membrane bending rigidity constant. Such a force is then very small in comparison with the Coulombian one. In addition, this force disappears when the

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The dynamic Casimir force, II (t), was computed using a non-dissipative Langevin equation (with noise), solved by the time height-field. We have shown that : II (t) t^°f (èf = 2è1 = 1/2). When the hydrodynamic interactions effects are important, we found that the dynamic force increases more rapidly as :

Notice that we have ignored some details such as the role of inclusions (proteins, cholesterol, glycolipids, other macromolecules) and chemical mismatch on the force expression. It is well-established that these details simply lead to an additive renormalization of the bending rigidity constant. Indeed, we write êeffective = ê + äê, where ê is the bending rigidity constant of the membrane free from inclusions, and äê is the contribution of the incorporated entities. Generally, the shift äê is a function of the inclusion concentration and compositions of species of different chemical nature (various phospholipids forming the bilayer). Hence, to take into account the presence of inclusions and chemical mismatch, it would be sufficient to replace ê by _êeffective,in the above established relations.

As last word, we emphasize that the results derived in this paper may be extended to bilayer surfactants, although the two systems are not of the same structure and composition. One of the differences is the magnitude order of the bending rigidity constant.

To show formula (17), we start from the partition function that we rewrite on the following form

D/2

Here, H [h] is the original Hamiltonian defined in Eq. (3). Of course, this definition is independent on the chosen point (x0, y0), because of the translation symmetry along the parallel directions to plates. Notice that the above function is not singular, whatever the value of the perpendicular distance.

Since we are interested in the confinement-regime, that is when the separation D is much smaller than (z h << L0

the membrane mean-roughness L0 ), we can replace the function par its value at z = 0,

We are much indebted to Professors T. Bickel, J.-F. Joanny and C. Marques for helpful discussions, during the »First International Workshop On Soft-Condensed Matter Physics and Biological Systems», 14-17 November 2006, Marrakech, Morocco. One of us (M.B.) would like to thank the Professor C. Misbah for fruitful correspondences, and the Laboratoire de Spectroscopie Physique (Joseph Fourier University of Grenoble) for their kinds of hospitalities during his regular visits.

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⁶D.E. Vance and J. Vance, eds., Biochemistry of Lipids, Lipoproteins, and Membranes, Elsevier, 1996.

⁸S. Safran, Statistical Thermodynamics of Surfaces, Interfaces and Membranes, Addison-Wesley, Reading, MA, 1994.

¹¹H. Ringsdorf and B. Schmidt, How to Bridge the Gap Between Membrane, Biology and Polymers Science, P.M. Bungay et al., eds, Synthetic Membranes: Science, Engineering and Applications, p. 701, D. Reiidel Pulishing Compagny, 1986.

¹³V.P. Torchilin, Effect of Polymers Attached to the Lipid Head Groups on Properties of Liposomes, D.D. Lasic and Y. Barenholz, eds, Handbook of Nonmedical Applications of Liposomes, Volume 1, p. 263, RCC Press, Boca Raton, 1996.

¹⁵P.-G. de Gennes, Scaling Concept in Polymer Physics, Cornell University Press, 1979.

¹⁹M.E. Fisher and P.-G. de Gennes, C. R. Acad. Sci. (Paris) Sér. B 287, 207 (1978); P.-G. de Gennes, C. R. Acad. Sci. (Paris) II 292, 701 (1981).

²⁰M. Krech, The Casimir Effect in Critical Systems, World Scientific, Singapore, 1994.

²¹More recent references can be found in : F. Schlesener, A. Hanke, and S. Dietrich, J. Stat. Phys. 110, 981 (2003); M. Benhamou, M. El Yaznasni, H. Ridouane, and E.-K. Hachem, Braz. J. Phys. 36, 1 (2006).

²²R. Lipowsky, Handbook of Biological Physics, R. Lipowsky and E. Sackmann, eds, Volume 1, p. 521, Elsevier, 1995.

²⁵We recover the power law II - D^-³that is known in literature (see, for instance, Ref. [8]), but the corresponding amplitude depends on the used model.

²⁷U. Seifert and R. Lipowsky, in Structure and Dynamics of Membranes, Handbook of Biological Physics, R. Lipowsky and E. Sackmann, eds, Elsevier, North-Holland, 1995.

²⁸J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Clarendon Press, Oxford, 1989.

³²R. Lipowsky, in Random Fluctuations and Growth, H.E. Stanley and N. Ostrowsky, eds, p. 227-245, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1988.

Dans cette deuxième contribution originale, nous considérons une solution colloïdale au contact d'une biomembrane, qui est confinée dans une fente. L'on suppose que l'épaisseur de cette fente est beaucoup plus petite que la rugosité en volume, afin d'assurer le confinement de la membrane. Le but étant l'étude de la dynamique Brownienne de ces particules, sous la variation d'un paramètre adéquat, tel que la température, par exemple. L'objet de base est la densité locale des particules.

Nous déterminons exactement cette densité, qui est fonctionde la distance et du temps. L'outil pour cela est l'équation de Smolokowski