Modèle de Ramsey et condition de Keynes-Ramsey

MODELE DE RAMSEY & CONDITION DE KEYNES-RAMSEY : Une explication rigoureuse et limpide

? Jean-Paul TSASA Vangu

Université Protestante au Congo

Centre Congolais-Allemand de Microfinance

Cellule de Réflexions Economiques et Sociales

Décembre 2009

Introduction

Qu'est ce que la croissance Economique ? Comment la mesurer? Est-elle stable ? Quels sont ses composantes et la contribution de chacune d'entre elles ? Quels sont les déterminants du progrès technique ? Quelles sont les prédictions des théories ayant étudié la croissance ? Etc. telles sont les différentes questions que les théories de croissance se propose de répondre. Au regard de ces préoccupations, cette branche de croissance en sciences économiques apparait à la fois très intéressante, captivant et surtout semble être indispensable pour tout économiste.

Noter que, comme le soulignent d'ailleurs de nombreux auteurs, la macro-dynamique exige une rigueur à tel enseigne que bon nombre d'enseignants s'ingénient à faire comprendre aux apprenants la complexité de différents modèles plutôt qu'à se servir de ces recettes comme base pour apprendre aux étudiants les politiques à mettre en oeuvre en vue de détecter le sentier qui conduit à un croissance économique robuste et durable.

Dans le souci de fournir aux économistes en herbe un outil qui leur permet d'appréhender facilement le développement de différents modèles de croissance (susceptibles d'être enseignés au second cycle), cette note se propos de présenter dans un langage simple et simplifié la dérivation du modèle de Ramsey. Notez que la démarche adoptée s'inscrit dans la logique du maître : la simplicité dans la rigueur.

1. Pré-requis : ce qu'il faut connaitre pour comprendre la dérivation du modèle de RAMSEY

Les concepts qu'il faut maîtriser avant de chercher à dériver le modèle de Ramsey sont les suivants :

Á	Sais-tu que le modèle de Ramsey endogénéise le taux d'épargne (contrairement au modèle de Solow où le taux d'épargne est exogène) ?
Â	Sais-tu que dans le modèle de Ramsey, le ménage représentatif de l'économie est immortel et cherche à maximiser son utilité intertemporelle ?
	Comment s'écrit une fonction d'utilité intertemporelle ? Si tu ne sais pas, je peux t'aider ! Acceptes-tu mon aide ? Si non, OK ça ne dérange pas. Si oui, la voici et retiens pour toujours cette expression : Où V : fonction d'utilité intertemporelle ; U[C(t)] : utilité instantanée ; : facteur d'actualisation psychologique ; : désigne la préférence pour le présent ou le taux d'escompte psychologique Note : plus le taux d'escompte psychologique est grand, plus l'argent valorise le présent plutôt que l'avenir.
Ä	Elasticité de substitution intertemporelle ( ) : Elle correspond (dans le cas d'une fonction d'utilité instantanée avec une élasticité de substitution intertemporelle constante, notée : avec ) à l'inverse de l'aversion relative au risque. Soit :
Å	En environnement risqué, : représente l'aversion relative au risque. Dans ce cas, la fonction d'utilité est dite Constante Relative Risk Aversion (CRRA) Note : plus l'aversion relative au risque est grand, plus l'utilité marginale décroit vite quand Ct augmente c'est-à-dire moins l'argent veut dévier par rapport à un profil de consommation uniforme.
Æ	Optimisation dynamique et continue : Comment se fait l'optimisation d'une fonction intertemporelle par rapport à une variable de contrôle ? [Dans notre cas, il s'agira de la maximisation de la fonction V par rapport à Ct] La résolution d'un problème d'optimisation dynamique et continue se fait en 4 étapes : 1. La formalisation du problème sous forme d'un programme. 2. La détermination du Hamiltonien. 3. Les conditions du premier ordre. 4. les conditions de transversalité.
C'est peut-être cette logique qui manque soit à certains enseignants, soit à certains étudiants pour comprendre et faire comprendre, dans un langage facile mais rigoureux, de concepts liés aux sciences dures !

2. Dérivation du modèle de RAMSEY

Après avoir intériorisé ces pré-requis, nous pouvons dès à présent s'intéresser à la dérivation du modèle de Ramsey.

2.1. Fonction d'utilité intertemporelle

Elle s'écrit comme suit :

2.2. Maximisation de la fonction d'utilité intertemporelle V

Nous allons maximiser la fonction V par rapport à la variable de contrôle C(t) :

Rappel !

La variation du stock de capital est notée par :

Or dans le modèle keynésien simple :

Et comme ? ainsi

En conséquence :

2.2.1. La détermination du Hamiltonien

Le Hamiltonien de ce programme s'écrit comme suit :

2.2.2. Les conditions du premier ordre

Les deux CPO s'expriment comme suit :

1)	:		(1)
2)	:		(2)

2.2.3. La condition de KEYNES-RAMSEY

La règle de KEYNES-RAMSEY consiste à différentier par rapport au temps le logarithme de la première CPO :

(3)

En dérivant la relation (3) par au temps, on obtient :

(3')

En réaménageant la relation (3'), on obtient :

(3'')

En substituant l'équation (2) dans (3''), on écrit :

Cette expression nous permet donc de dégager le taux de croissance de la consommation :

2.2.4. Détermination de l'équation d'EULER

En considérant une fonction d'utilité CRRA où l'aversion du risque est appréhendée à travers le paramètre è et en admettant l'hypothèse selon laquelle le facteur capital est rémunéré par sa productivité marginale ;

* Aversion relative au risque :	:
* Elasticité de substitution intertemporelle	:
* Productivité marginale du capital	:

On obtient ainsi l'équation d'EULER. Elle exprime le taux de croissance de la consommation choisi par l'agent économique :

Où

Il ressort de cette équation, une relation positive entre le taux de croissance de la consommation et le taux d'intérêt.