Mesure et analyse multivariée de la pauvreté. Une approche par l'analyse en composantes principales. Cas de la vile de Kinshasa

I.1.2 Inertie, Nuage et centre de gravitéNotons l'inertie par IN tell que :

n ,N = @ 1 ! ~

d^2(e~,g)

Désignons par g le centre de gravité des nuages

n

O =

1

! @ xi

t=1

L'inertie totale du nuage est définie par :

d²(g,X~)

,_N = @ 1

!

i=1

On recherche des sous-espaces représentant au mieux ce nuage de point en respectant 2 critères : le critère de proximité et la fidélité des distances.

C'est le sous-espace passant par g qui optimise ces deux critères :

Soit H le sous-espace passant par g, on distingue deux types d'inertie :

· L'inertie expliquée

n

'exp(H) = @ 2 1 d (g, ~^S)

i=1

L'inertie résiduelle autour de H

n

'exp(H) = @ 2 1 d (xi, ~^S)

i=1

Inertie totale = inertie expliquée + inertie résiduelle

A. Espace des variables

Changement d'origine : g = 0 (centrage des variables) La recherche des sous-espaces Hk se fait de proche en proche pour k=1 à p :

La détermination de H1 revient à chercher une droite passant par l'origine qui s'ajuste le mieux au nuage de points-individus (maximisant l'inertie expliquée).

Pour trouver cette droite, il faut déterminer un vecteur unitaire u1 porté par cette droite avec d(0,u1)=1.

Une fois u1 déterminé, on peut démontrer que le sous-espace H2 s'ajustant au mieux au nuage de points contient nécessairement u1.

Pour déterminer le sous-espace H2, on recherche u2 tel que u2 perpendiculaire à u1 et tel que la droite portée par u2, passant par 0, ait une inertie maximale.

les vecteurs u1,u2,...,up peuvent s'obtenir à partir de

la matrice d'inertie C (covariance ou corrélation) entre les variables du tableau.

Cette matrice est telle qu'il existe p vecteurs et p constantes ë qui vérifient l'équation matricielle suivante : C.v = ëv

Les p vecteurs v sont les vecteurs propres et les constantes associées sont les valeurs propres.

Ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux et unitaires (de longueur égale à 1). Ils peuvent être rangés par ordre décroissant des valeurs propres associées : le premier vecteur propre v1 est associé à la valeur propre la plus élevé ë1.

Les droites engendrées par ces vecteurs propres sont appelées respectivement le 1er, 2^ème, et ^pième axe principal d'inertie du nuage.

L'inertie expliquée par H1, le premier axe Principal engendré par v1 est égale à :

I(H1)= ë1

L'inertie expliquée par H2, le plan engendré par v1 et v2 est égale à : I(H2)= ë1+ ë2

Les valeurs propres de C représentent donc les parts d'inertie

expliquée par chacun des axes principaux du nuage des individus.

Dans un espace euclidien E de dimension finie n considérons, le point M^',i ? I;i = 1,2,..., n affectés chacune d'une masse mL.

Soit N = f(M^L,mj/i = 1,2, ...,n), N est un ensemble des couples appelé nuage des points.

Soit P un autre point situé dans le même espace E. On définit l'inertie du point M^L par rapport à P notée

I_p(M^L,mL) = mLd²(M^L,P)?i ? I

L'inertie totale du nuage N comme étant la somme pondérée des carrés des distances des individus au centre de gravité G.

I_~(N) = >(mL d²(M^L, G)/i ? I)

Si les points M^L sont sur un axe 0x, soit x^L les abscisses respectifs, le centre de gravité ou barycentre de M^L tel que i ? I est noté :

x(G) = >fmLx^L/i ? I)/@0mL/i ? I) y(G) = @fUL^^L/~ ? I)/@0mL/i ? I) Le centre de gravité est : (x(G),y(G))