1. Les axiomes
AX1. (pvq)? p
AX2. p? (pvq)
AX3. (pvq)? (qvp)
AX4. (pvq)? (rvp) ? (rvq)
AX5. p? p
AX6. (p?q)? (p?q)
AX7. S p? p
AX6. S (p?q)? (Sp?Sq)
2. Les definitions
Déf.1: p?q = df pvq
Déf.2: pËq = df (pvq)
Déf.3: (pq) = df.(p?q)Ë(q?p)
= df. ( ( pvq)v ( qvp))
Déf.4: p= df. p
Déf.5: -3=déf. (?)
Déf.6: = = déf ( -3)Ë (-3)
Déf.7: Sp = p
Déf.8: Sp = p
3. Règles de deduction
R.D1. les axiomes sont des thèses, c'est-à-dire
on peut évoquer n'importe quel axiome pour opérer une
déduction.
R.D2. Si A définit B, alors : A ? B ;
B? A ;
A B ;
BA .
R.D.3 : Si (A B) et A, alors B ( règle de
détachement) ;
R.D.4. Si A et que B est un élément de A, on
peut remplacer de manière uniforme A par B et la thèse restera
intacte (substitution uniforme) ;
R.D.5 : Si alors
R.D.6 : Si ( ? ) alors (?)
R.D. 7 : Si ( ) alors ()
R.D.8 : Si ( ? ) alors (?)
R.D. 9 : Si alors S
R.D. 10 : Si ( ? ) alors (S?S)
R.D.11 :il n'y a pas d'autres thèses que celles
qui répondent aux règles
R.D.1,R.D.2,R.D.3,R.D.4,R.D.5,R.D.6,R.D.7,R.D.8,R.D.9,R.D.10.
4. Règles secondaires
RSa : si (A?B)
Et (B?C)
Alors (A?C)
RSb : Si A
Et B
Alors (A?B)
RSc : Si A
Et B
Alors (A Ë B)
RSd : on peut remplacer le défini par le
définissant et vice versa (substitutionnalité des
équivalences ou des définitions)
Nous pouvons maintenant évaluer l'expression :
S(p?q)^q?p
Par la méthode axiomatique à l'aide du
système C1 tel que défini ci-haut.
Théorème : S(p?q)^q?p
1. (pvp) ? p Ax1
2. (p? p) ?p 1, implication matérielle
3. ((pvp) ?p) ?p 2, substitution de p/pvp
4. (pvp) ? p AX1
5. p détachement de 3 et 4
6. p? (pvq) Ax2
7. pvq détachement de 6 et 5
8. p ?q 7, implication matérielle
9. (pvq) ? (qvp) Ax3
10. (p ?q) ? (q ?p) 9, implication matérielle
11. (p ?q) ? (p ?q) 10, substitution de q/p et p/q
12. p?q détachement de 11 et 8
13. q détachement de 12 et 5
14. q 5, substitution de p/q
15. p 13, substitution de q/p
16. (p q) Ëq RSc 12 et 14
17. (p >q) Ëq) ? p RSb 17 et 15
18. S (p ?q) Ëq) ? p R.D.9
C.Q.F.D
A supposer que l'énoncé
« si l'univers a un centre, alors il a une
circonférence. Or, il n'a pas de circonférence, donc il n'a pas
de centre » soit
prononcé par un homme un peu fou qui ne comprend rien de ce qu'il
affirme, alors la première condition n'allait pas être remplie.
Si, de surcroit, cet homme un peu fou est un pygmée
chevronné dans la cueillette des fruits dans la foret équatoriale
(condition de qualité), et que par enchantement, il l'exprime en
français, lui qui n'a jamais été à l'école
(la condition de compétence linguistique) et il le dit au moment
où on lui pose des questions sur les techniques de cueillette des
fruits, alors, en dépit de sa validité formelle,
l'énoncé allait être tout de même non
sincère.
Nous pouvons aussi rencontrer des énoncés qui
satisfont aux conditions de sincérité mais qui sont invalide,
de même nous pouvons aussi avoir des énoncés non
sincères et invalides.
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