Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

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Ecole Superieure de la Statisti_que et de l'Anal_yse de l'Information

Projet de Fin d'Etude

EsTIMATION NON-PARAMETRI_QUE PAR NOYAUX AssOCIIs
ET DONNEEs DE PANEL EN MARKETING

Pres??te _??r?:
I??? BEN KHALIFA

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Celestin C. KOKONENDJI, HDR
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E-mail: [e-mail]

Dhafer MALOUCHE, MA
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E-mail: [e-mail]

Résumé

Dans ce rapport, nous nous interessons a la notion destimation non-parametri_que d'une densite (fonction de masse) inconnue sur ? ? R par la methode des no_yaux associes. Pour ce faire,nous presentons dabord une definition(unifiee)dun no_yau associeà une loi de probabilite _quelcon_que (continue ou discrete) Nous etudions de maniere detaillee _quel_ques exemples des no_yaux continus s_ymetri_ques(??_??_? normal, Epanechnikov, etc.), continus as_ymetri_ques (????? beta, _gamma, _gaussien-inverse et _gaussien-inverserecipro_que), discret cate_goriel (Aitchison & Aitken 1976) et discret de denombrement (????? trian_gulaires s_ymetri_ques, standards as_ymetri_ques dordre 1 tels _que Poisson, binomial et binomial ne_gatif). Ensuite,nous donnonsla definition delestimateur no_yau associe. Nous montrons la conver_gence ponctuelle de cet estimateur Nous verifions si cet estimateur est bien de masse totale e_gale lunite Dautres proprietes (_globales) sont etudiees, telles _que biais, variance et erreur _quadrati_que mo_yenne inte_gree. Nous proposons une extension dans le cas multivarie (? ? R^d) pour des fonctions de densite (fonction de masse) et de re_gression. Enfin nous illustrons une partie de la methode sur des donnees de panel en marketin_g, les_quelles donnees sont de compta_ge et parsemees.

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Abstract

In this report, we are interested in the notion of nonparametric estimation of an unknown densit_y (mass function) in ? ? R b_y usin_g associated-kernel method First we present an unified definition of a kernelassociated to a probabilit_ylawthatmi_ght be eithercontinuousordiscrete.Then,weprovideathorou_ghtreatmentofsomes_ymmetric andcontinuouskernels(??_??_?Gaussian,Epanechnikov,etc.) as_ymmetricandcontinuous (????? beta, _gamma, inverse _gaussian, reciprocal inverse _gaussian) ; discrete cate_gorical (Aitchison & Aitken,1976) and discrete count data (????? s_ymmetric trian_gular,or some knownas_ymmetricdistributionssuchasPoisson,binomialandne_gativebinomial)Furthermore, we define the associated kernel estimators and investi_gate some of their finite andas_ymptoticproperties.Moreprecisel_yweverif_yiftheproposedestimatorsarebona fidedensitiesormassfunctions(i.efunctionswhicharesimultaneousl_ynonne_gativeand inte_grate/sum up to one). Their pointwise consistenc_y bias, variance and mean inte_grated s_quared error are tackled as well Moreover we extend these estimators to the multivariate settin_g ? ? R^d for both densit_y/mass and re_gression functionsFinall_ythe practical usefulness of this approach is illustrated b_y a case stud_y based on some sparse count data obtained from a marketin_g panel research surve_y

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Remerciements

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Table des matières

Présentation _générale du sta_ge 13

1 Introduction a l'estimation non-paramétri_que 15

2 No_yau continu s_ymétri_que 17

2.1 Cas univarié .................. . . .. . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Propriétés élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Biais ponctuel . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Variance ponctuelle .... . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . 21

2.1.4 Erreur _quadrati_que mo_yenne (MSE) 22

2.1.5 Erreur _quadrati_que mo_yenne inté_grée (MISE) 22

2.1.6 Choix du no_yau .......... . .. . . .. . . . . . . . . . . 23

2.1.7 Choix de fenêtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.8 Simulation des données . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Cas multivarié........... . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . 31

3 No_yau associé continu as_ymétri_que 35

3.1 Cas univarié ................ . .. . . .. . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Définition ........................... . .. 36

3.1.2 Propriétés élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3 Biais ponctuel.................. . .. . . .. . . . 41

3.1.4 Variance ponctuelle .... . ... . .. . . .. . . . . . . . . . . 42

3.1.5 MISE .... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.6 Exemples ................ . . .. . . . . . . . . . . 43

3.2 Cas multivarié........... . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . 63

4 No_yau associé discret 65

4.1 No_yau associé discret pour des données caté_gorielles 68

4.2 No_yau associé discret pour des données de compta_ge 73

4.2.1 No_yau associé poissonien . . 73

4.2.2 No_yau associé binomial. . . . . . . . . . . . . 75

4.2.3 No_yau associé binomial né_gatif . 77

4.2.4 No_yau associé trian_gulaire . . . . . . . . 78

4.2.5 Choix de fenêtres .... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 No_yau associé discret multiple. . . 85

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5.1 Estimateur de Nadara_ya-Watson 87

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6.1 Notions elementaires
· . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 89

6.2 Traitements preliminaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90

6.2.1 Repartition des panelistes selon les variables caracteristi_ques . . 92

6.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3.1 Dans le cas d'un estimateur a no_yau associe trian_gulaire . . . . 96

6.3.2 Dans le cas d'un estimateur a no_yau associe binomial 97

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7.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

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Table des figures

2.1 Illustration des no_yaux continus s_ymétri_ques 19

2.2 Estimation totale a no_yau _gaussien . 20

2.3 Illustration d'un phénomêne de sous-lissa_ge lors de lestimation dune

densité.............. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Illustration d'un phénomêne de sur-lissa_gelors delestimation duneden-

sité..................................... . 24

2.5 Illustration d'une estimation idéale . . . . 25

2.6 Lissa_ges par des estimateurs a no_yaux continus de la distribution dun

échantillon de loi normale centrée réduite, n = 100 et hPj = 0.338 . . . 31

2.7 Lissa_ges par des estimateurs a no_yaux continus de la distribution dun échantillon de loi normale centrée réduite, n = 100 et hCV = 0.429 . . . 32

2.8 Comparaison des lissages par lestimateur a noyau continu d'Epanechni-

kov en faisant varier la fenêtre h 33

3.1 Densité de loi normale centrée .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 36

h = 1.5

3.2 Illustration de la densité normale pour et x varié . . . . .

= . 37
y

x = 2.1 h

3.3 Illustration de la densité normale pour et varié 38

3.4 Allure _générale d'une densité _gamma. . . . . 44

h = 0.2

3.5 Allure du no_yau x

associé _gamma pour et varié 45

= 2

3.6 Allure du no_yau associé _gamma pour x = y et varié .

h . . . . . . 46

3.7 Allure _générale de la densité bêta. . . . . . . . . . 51

3.8 Allure du no_yau associé bêta pour h = 0.2 et x varié 52

3.9 Allure du no_yau associé bêta pour x = y = 2 et h varié 53

3.10 Allure _générale de la densité _gaussienne inverse 57

3.11 Allure du no_yau associé _gaussien inverse pour h = 0.1 et x varié 58

3.12 Allure du no_yau associé _gaussien inverse pour x = 2 et h varié 59

3.13 Allure _générale de la densité _gaussienne inverse récipro_que 61

3.14 Allure du no_yau associé _gaussien inverse récipro_que pour x = 2 et h varié 62 4.1 Illustration de la loi d'Aitchison et Aitken 70

h = 0.2

4.2 Illustration du no_yau associé dAitchison et Aitken pour et x varié 71

4.3 Illustration du no_yau associé dAitchison et Aitken pour x = y = 2 et h
varié..................................... . 72

h

4.4 Illustration du no_yau associé =

poissonnien 0.1

pour x

et .

variée . . . 73

h =

4.5 Illustration du no_yau associé binomial pour .

0.1 et .

x varié. .

. . . 75

4.6 Illustration du no_yau associé binomial pour x == y7 et h varié 76

4.7 Illustration du no_yau associé binomial né_gative pour h = 0.1 et x varié 78