Processus stochastiques et équations aux dérivés partielles

CONCLUSION

Dans ce travail nous présentons une des utilités du mouvement Brownien, qui est l'interprétation probabiliste des EDPs. A partir des propriétés qui sont concrétisées soit dans la notion de mouvement brownien soit par la généralisation de cette notion où on trouve la notion de processus stochastique de diffusion, la formule de Feynman-Kac nous permet de donner la représentation de la solution cherchée.

Pour bien présenter l'utilité de la méthode probabiliste on fait une application sur un exemple d'EDP parabolique qui nous savons résoudre analytiquement et par la méthode des différences finies, la comparaison fait entre les solutions approximatives de chaque méthode et la solution exacte montre qu'on peut adopter la méthode probabiliste comme une méthode de résolution, mais les avantages de cette méthode apparus dans les différents cas où on veut résoudre un problème en dimension élevée (par exemple supérieure à 4) les méthode classique conduisent à l'invention de systèmes linéaires d'une taille telle qu'elles deviennent impraticable, et la méthode probabiliste est souvent utilisée.

De même, la méthode probabiliste est souvent préférable lorsque l'on cherche les valeurs de la solution en certains points du domaine de calcul seulement : le cas des calculs de prix d'option en finance est typique puisque l'on ne s'intéresse qu'à une ou à quelques valeurs des prix.

ANNEXE

A. Principaux espaces fonctionnels :

1. Espaces de fonctions « régulières » (au moins continues)

Soit 12 un ouvert de IV , K un compact de Ir. Les fonctions sont ici à valeurs réelles ou complexes.

C(12) Espace des fonctions continues sur 12. Muni de la famille de

semi- normes : pK(u) = sup_xEK|u(X)| pour tout
compact K c 12 , c'est un espace de Fréchet.

Cb(12) Espace des fonctions continues bornées sur 12. C'est un

espace de Banach pour la norme : llull = sup_xEK|u(X)|.

Co(12) Espace des fonctions continues sur 12 et tendant vers zéro

au bord de 12. C'est un espace de Banach pour la norme précédente.

C_c(12) Espace des fonctions continues sur 12 à support compact

dans 12.

C^k(12), k E N Espace des fonctions de classe C^k, ou encore espace des

fonctions dont toutes les dérivées d'ordre < k existent et sont continues. C'est un espace de Fréchet pour la famille de semi-normes :

sup

xEK

llullk,K = sup

|p|k

C"(12) espace des fonctions infiniment dérivables ; espace de

Fréchet, avec les semi-normes :

llflla,K = sup

|D^a f(X)| , a E N^n, K c 12

xEK

Co"(12) = D(12) espace des fonctions infiniment dérivables à support compact. Une suite (fk) de D(12) tend vers zéro dans D(12) si U supp fk = K est borné et :

sup |D^a fk(X)| --> 0, tea E Nn

xEK

2. Espaces de fonctions intégrables :

Soit p un réel,p 0 , et encore 12 ouvert de Ir.

Les fonctions considérées étant à valeurs réelles ou complexes, on note :

L^P(12) l'espace des (classes de) fonctions mesurables sur 12 telles que la

fonctionx E 12 --> |f(x)|^P soit intégrable sur 12 . C'est un espace de Banach pour la norme :

₁¹/_P

IlfIlP = [f |f(x)|^Pdx

~

3. Espaces de Sobolev : Soit m E N, p E 41, +0(4, s E ~.on note :

H^m(12) l'ensemble des fonctions f telles que fEL^P(12) avec

D^a f E L^P(12) , Va E Nⁿ vérifiant |a| = (a1 +
·
·
· + a_n m),

avec, bien sûr, D^a fdéfini au sens des distributions.

C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire :

(f, 9) = 1 f D^a f(x)
· Da ~~~~~~~~~~ 9(x) dx

|ct|m ⁿ

H~^m(12) l'adhérence D(12) de dans H^m(12).

H^-m(12) l'espace dual de H^m(12). C'est un espace de Hilbert pour la

norme duale.

Algorithme 01 : simulation d'un mouvement brownien Variables {Déclaration des donné}

[to, T] : tableau des {réels L'intervalle de temps} N : entier {la taille de trajectoire}.

Début

dt = T/N {Discrétisé l'intervalle de temps} Wo = 0 {Initialisation de trajectoire}

Pour i = 1 jusqu'à N {La boucle de simulation}

Simuler dW(i) par la loi N(0,1) W(i) = W(i -- 1) + -Vdt dW(i)

Finpour

Fin.

B. Algorithmes :

Algorithme 02: simulation de M trajectoire d'un mouvement brownien Variable {Déclaration des donné}

[to, T] : tableau des réels {l'intervalle de temps}

N : entier {la taille de trajectoire}

M : entier {nombre des trajectoires}

Début

dt = T/N {Discrétisé l'intervalle de temps}

Wo(i) = 0 pour 1 i M {Initialisation des trajectoires}

{ La boucle de simulation} Pour j = 2 jusqu'à N

Pour i = 1 jusqu'à M

Simuler dW(i, j) par la loi N(0,1)

W(i,j) = W(i,j -- 1) + -Idt dW(i, j)

Finpour

Finpour

Fin.

Algorithme 03: simulation d'une diffusion Variable

[t0, T] : tableau des réels {l'intervalle de temps}

N : entier {la taille de trajectoire}

a, b , X0 : réels {Constantes}

Début

dt = T/N {Discrétisé l'intervalle de temps}

{La boucle de simulation de la solution exacte X_ex} X_ex(1) = X0 {Initialisation de trajectoire}

Pour j = 1 jusqu'à N

Simuler dW(j) par la loi N(0,1)

W(j) = W(j -- 1) + Vdt dW(j)

Xex(j) = XoexP [(a -- ₂¹ b) + (bW(j))1

Finpour

{La boucle de simulation de la solution approximée par la méthode

d'Euler-Maruyama Xapp}

Xapp(¹) = X0 {Initialisation de trajectoire}

Pour j = 1 jusqu'à N

Xapp(j) = Xapp(j -- 1) + a Xapp(j -- 1)dt + bXapp(j -- 1)W(j)

Finpour

Fin.

Algorithme 4 : résolution d'une EDP parabolique (équation de la chaleur)
par la méthode des différences finies

Variable {Déclaration des donné}

[to, T] : tableau des réels {l'intervalle de temps} [xo,xf] : tableau des réels {l'intervalle de l'espace} M , N : entier {la taille de trajectoire}

f : fonction {Condition initiale; fonction de }.
b_x,b_xf : fonction {Conditions aux limites ; fonction de t } a : réel {constant}

Début

dt = T/N {Discrétisé l'intervalle de temps}

dx = xf/M {Discrétisé l'intervalle de temps par}

dt ₂1

si ( r = a dx2 < ) alors {Condition de stabilité}

{La boucle de la solution aux points (to, x(i)) avec (i) E [xo,xf] } Pour i = 1 jusqu'à M + 1

u(to^,x(i)) = f(x(i))

Finpour.

{La boucle de la solution aux points(t(k), xo) et (t(k),xf) } Pour k = 1 jusqu'à N + 1

u(t(k), xo) = bx(t(k)) u(t(k), xf) = b_xf(t(k))

Fin.

{La boucle de la solution aux points(t(k), x(i)) }

Pour k = 1 jusqu'à N

Pour i = 2 jusqu'à M

u(t(k), x(i)) = r [u(t(k), x(i + 1)) + u(t(k), x(i -- 1))]

+(1 -- 2r)u(t(k), x(i))

Finpour Finpour

Finsi

Fin.

Algorithme 5 : résolution d'une EDP parabolique (équation de la chaleur)

par la méthode probabiliste.

Variable

[t0, T] : tableau des réels {l'intervalle de temps} n : entier {la taille de trajectoire}

x0 : réel {La valeur initiale}

N : entier { La taille de trajectoire}.

Début

dt = T/N {Discrétisé l'intervalle de temps}

algorithme 1 {Simulation de mouvement Brownien}

{La boucle de simulation de la solution au point (t(k), x0) } Pour k = 1 jusqu'à N

Pour i = 1 jusqu'à n

X(t(k), i) = sin(n^- (x0 + Ai2 W(k, i)) Finpour

Finpour

Pour k = 1 jusqu'à N

Fin

u(t(k), x0) = lsi E ls_ 1 X (t (k), i) {L'approximation de Monte Carlo} Finpour

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