Processus stochastiques et équations aux dérivés partielles

Mouvement brownien et

calcul stochastique

0. Introduction:

Le mouvement brownien est associé à l'analyse de mouvements dont l'évolution au cours du temps est si désordonnée qu'il semble difficile de la prévoir, même pour un temps très court, tel le mouvement d'une particule microscopique en suspension dans un liquide et soumise à l'agitation thermique.

Celui-ci joue un rôle central dans la théorie des processus aléatoires, d'une part parce que, dans de nombreux problèmes appliqués, le mouvement brownien sert à modéliser les erreurs ou les perturbations aléatoires, et d'autre part parce que le mouvement brownien ou les processus de diffusion qui en découlent permettent de construire des modèles simples sur lesquels des calculs peuvent être faits.

Le calcul stochastique, ou calcul d'Itô, du nom d'un des pionniers en ce domaine, est en fait un calcul d'intégrale par rapport au mouvement brownien. Ce dernier étant une fonction qui n'est pas à variation finie, cette notion d'intégrale n'est pas usuelle et sa définition en est probabiliste. Elle permet en particulier de définir la notion d'équation différentielle stochastique qui est une équation obtenue par la perturbation aléatoire d'une équation différentielle ordinaire. Les solutions de ces équations définissent de nouveaux processus, appelés processus de diffusion, et qui sont à la base du calcul probabiliste moderne. Ces processus sont souvent markoviens, au sens où leur comportement futur, conditionnellement au passé, ne dépend en fait que de l'état présent. Cette propriété, dite de Markov, est souvent vérifiée dans la réalité, en particulier, en physique, dans les réseaux de télécommunication, ou en mathématiques financières. Ainsi, les processus de diffusion sont précieux dans la modélisation de nombreux phénomènes aléatoires. On verra par ailleurs qu'il existe des liens importants entre leur loi et certaines équations aux dérivées partielles. Ces liens sont à la base de beaucoup de développements récents liant des résultats d'analyse et des résultats probabilistes.

1. Processus aléatoires : Définition 1:

On appelle processus aléatoire X = (Xt)t"une famille de variables aléatoires indexée par IR₊, toutes ces variables étant définies sur le même espace de probabilité (fl, Jl, P). On suppose ici que chaque Xt est à valeurs réelles.

On peut également voir le processus comme une variable aléatoire X définie sur (fl, Jl, P) et à valeurs dans l'ensemble des fonctions de t 1-0 Xt de IR₊ dans IR .

La théorie moderne des probabilités repose sur les résultats fondamentaux de Kolmogorov qui permettent, en particulier, de construire sur cet espace de fonctions une tribu qui rend l'application X mesurable (et permet donc de parler de variable aléatoire). Kolmogorov montre également que la loi de cette variable est caractérisée

par ses lois marginales de dimension finie, définies comme étant les lois des k-uplets (Xt₁, ...,Xt_k) , pour tous temps (t1, ..., tk).

Définition 2:

Les variables aléatoires Xt -- X_s , t > s ~ 0, sont appelées accroissements du processus (Xt).

Définition 3:

On dit qu'un Processus Xt est à accroissements indépendants et stationnaires si : (Indépendance): Xt -- X_s 1 F_s^x = o^-(X_s, 0 s t), V t > s ~ 0

(Stationnarité) : Xt -- X_s-- Xt_+s -- X0, V t > s ~ 0

Pour de tels processus, donner la loi de Xt_+s -- X0,Vt > 0, ainsi que celle de X0 suffit à caractériser entièrement le processus.

2. Processus gaussien : Définition 4:

Le processus X est un processus gaussien si chaque famille finie (Xt1, ...,Xt_k) est un vecteur aléatoire gaussien.

Notons par m(t) = E(X_t) la « fonction » moyenne du processus, et par C(s, t) = cov(Xt,X_s) la fonction de covariance, les deux fonctions m et C déterminent complètement la loi de toute famille finie(Xt₁, ...,Xt_k), et donc aussi la loi du processus X, On a de manière évidente C(s, t) = C(t, s), réciproquement, on a le théorème suivant.

Théorème 1:

Soit une fonction m de 11₊ à valeurs réelles, et une fonction C de 11₊ x 11 à valeurs réelles, on suppose de plus que C est de type positif, c'est-à-dire que pour tous réels positifs (t1, ..., tk):

IC(tk,t1)tkt1 > -0

k,1

Alors, il existe un processus gaussien (Xt)t unique (en loi), tel que :

Vt E IR₊, m(t) = E(X_t)

V t, s E IR₊, C(s, t) = E ((Xt -- m(t))(X_s -- m(s)))

Ce théorème est une conséquence du théorème fondamental de Kolmogorov sur la construction des processus aléatoires.

Supposons maintenant que X soit un processus gaussien à trajectoires continues, au sens où, pour tout w, l'application t 1-0 Xt(w) est continue. On peut alors définir

t

l'intégrale : Yt = f o X_t(w) ds

et obtenir ainsi un nouveau processus Y. Puisque la limite de toute suite de lois normales est encore une loi normale (cela se prouve en utilisant la fonction caractéristique), on vérifie, en utilisant une approximation de Riemann de l'intégrale ci-dessus, que Y est encore un processus gaussien. Par un calcul on peut montrer que sa fonction moyenne m' et sa fonction de covariance C' sont données par :

t

me(t) = f m(s)ds

o

^sC'(t, s) = f t

du f C(u, v)dv

o o

3. Mouvement brownien :

3.1. Construction du mouvement brownien :

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, joue un rôle fondamental dans de nombreux domaines. Il fut introduit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de grains de pollen dans un liquide. Ensuit par Louis Bachelier en 1900 pour des applications à la finance et a de nouveau,

à l'heure actuelle, un rôle important en mathématiques financières. Il fut redécouvert peu après Bachelier par Einstein, et est devenu depuis un des outils majeurs de la modélisation en physique. On le note : W = (Wt)t,0 ou B = (Bt)t,0 , Il peut être construit de différentes manières. Les définitions les plus usuelles du mouvement brownien sont les suivantes :

Définition 5 : un processus gaussien

Le mouvement brownien est un processus gaussien centré (E(Wt) = 0) pour tout t, de covariance C(s, t) = min (s, t) .

Définition 6 : un processus à accroissements indépendants stationnaires

Le mouvement brownien est un processus à accroissements indépendants et stationnaires. Plus précisément, pour tous s, t 0, la variable Wt_+s -- Wt est indépendante des variables (W_r: r t), Wo = 0, et de plus la loi de l'accroissement Wt_+s -- Wt est la loi normale N (0, s). Elle ne dépend donc que de s.

Commentons les équivalences entre ces deux définitions. Si W est un processus gaussien centré de covariance C(s, t) = min (s, t), ses accroissements ont de manière évidente la distribution souhaitée. Puisque, pour r < t: E((Wt+s -- Wt)W_r) = E(Wt+sWr) -- E((W_tW_r) = 0, la variable Wt_+s -- Wt est indépendante des variables (W_r: r t), par les propriétés des vecteurs gaussiens. Le processus W est donc un processus gaussien à accroissements indépendants et stationnaires. Si, réciproquement, le processus W satisfait les propriétés de la définition 2, il est presque immédiat de vérifier que c'est un processus gaussien possédant les caractéristiques voulues.

Il existe une troisième approche classique du mouvement brownien, qui consiste à l'obtenir comme limite de marches aléatoires. Ce résultat fondamental est donné par le théorème de Donsker et est, en fait, au niveau des processus, une version du théorème usuel de la limite centrale.

Théorème 2 :

Soit une suite (Xn)n>0 de variables aléatoires réelles indépendantes, identiquement distribuées, avec E(X_n) = 0 et E(X_n²) = 1 . Soit S_n = E i<i.<n Xi. avec So = 0 .

Les processus des sommes normalisées Yt n = vin S[nt] (où [nt] désigne la partie

entière de nt ) convergent en loi, en tant que processus, vers le mouvement brownien.

3.2. Régularité des trajectoires du mouvement brownien :

Ainsi défini, le mouvement brownien n'a pas spécialement de régularité, en tant que fonction du temps à valeurs réelles. On va voir que, dans certains cas, le modèle mathématique permet de construire un processus « équivalent » au processus initial, et qui possède une propriété de continuité presque sure.

Définition 7 :

Deux processus X et X', définis sur le même espace de probabilité, sont dits des modifications l'un de l'autre si pour tout t , X = X' presque surement.

Le critère suivant, appelé critère de Kolmogorov, montre que sous certaines conditions, un processus peut avoir une modification qui est presque sûrement continue, au sens où, pour presque tout w, la trajectoire t 1-0 Xt(w) est continue. Théorème 3:

Si un processus X est tel qu'il existe trois constantes strictement positives a, /3, C avec, pour tous t et h :

E(|Xt+h. -- X_t|^a) <Ch¹⁺¹⁶ (1.1)

alors X admet une modification presque surement à trajectoires continues.

Dans le cas du mouvement brownien, la variable aléatoire Wt+h. -- Wt est gaussienne centrée de variance h, donc :

E(|Wt+h. -- W_t|⁴) < 3h2

Le critère de Kolmogorov s'applique et on obtient :

Théorème 4:

Il existe un processus W = (Wt)t,0 presque surement à trajectoires continues, à accroissements indépendants et stationnaires, et tel que, pour tout t, la variable aléatoire Wt est gaussienne centrée et de variance t.

Cette propriété peut également se comprendre grâce au théorème 1 de Donsker. Choisissons des variables X_n, qui prennent seulement deux valeurs -1 et 1, avec probabilité 1/2 pour chacune d'entre elles. Dans ce cas, les processus discontinus Yⁿ ont des sauts de taille #177;1/Vn, qui convergent, uniformément sur tout intervalle de temps borné, vers 0. On peut donc s'attendre à ce que, à la limite, le processus W soit continu.

Dans la suite, nous considérons toujours des mouvements browniens ayant des trajectoires continues et qui sont nuls au temps 0. On appelle souvent un tel processus un mouvement brownien standard.

En affinant le critère de Kolmogorov, on peut également montrer que les trajectoires du mouvement brownien sont höldériennes d'ordre a, pour a < 1/2, c'est-à-dire que, presque sûrement |Wt+h -- Wt| C|h|^a, pour une constante C. En dehors de ces résultats de continuité, les propriétés de régularité du mouvement brownien sont très mauvaises. On montre par exemple que :

Proposition 1 :

Les trajectoires t 1-0 Wt sont presque sûrement nulle part dérivables, et qu'elles sont même à variation infinie sur chaque intervalle de longueur positive. Cela signifie donc qu'il n'y a pas de mesure it,,(dx) telle que Wt(w) = it,,([0, t[). Pour cette raison, on ne pourra pas définir l'intégrale f f(s)dWt(w) qui serait l'intégrale de Stieltjes de la fonction f par rapport à la mesure (non existante) it,,(ds).

3.3. Mouvement brownien standard :

Définition 8:

Un mouvement brownien standard (abrégé M.B.S.) est un processus aléatoire à temps continu(Wt, t E IR₊) tel que :

i) Wo = 0 p. s,

ii) (Wt) est à accroissements indépendants et stationnaires

iii) (Wt)--N(0, t), Vt > 0.

Cette définition permet de démontrer la propriété que (W_t) est à trajectoires continues.

Remarque :

De cette définition, il suit que pour t ~ s ~ 0, Wt -- W_s--Wt__s--N(0, t -- s) c'est à dire :

E(Wt -- W_s) = 0 et E((Wt -- W_s)²) = t -- s.

En appliquant la loi des grands nombres, on trouve encore que /qtt --> 0 p. s, lorsque t --> 00. De plus, on a _/q,/: --N(0,1), pour tout t > 0.

3.4. Transformations du mouvement brownien standard :

Soit W un mouvement brownien standard. Alors les cinq processus ci-dessous sont également des mouvements browniens standards :

1) W_t⁽¹⁾ = --Wt (propriété de symétrie du mouvement brownien).

2) soit T E IL₊ fixé : W_t⁽²⁾ = Wt₊T -- WT, t E IL₊ (stationnarité).

3) soit T E IL₊ fixé : W_t⁽³⁾ = WT -- WT_t, t E [0, T] (renversement du temps).

4) soit a > 0 fixé : Wt (4) = 1 ,/a Wat, t E IL₊ (loi d'échelle).

5) Wt^(5) = tWi t

, t > 0 et Wt^(5): = 0 (inversion du temps).

3.5. Semi-groupe du mouvement brownien :

Définissons tout d'abord la notion de filtration, qui modélise l'évolution de l'information au cours du temps.

Soit un processus X = (Xt)t_>0 sur un espace de probabilité (12, Jl, P). Nous notons Ft la tribu engendrée par les variables aléatoires X_s pour s t, qui est la plus petite
tribu rendant toutes ces variables mesurables. Nous avons Ft c Jl, et également F_s c F_t si s t.

Définition 9 :

1) La famille croissante F = (Ft)t_>0 est appelée la filtration engendrée par le processus X, et est aussi notée F^" = (Ft")t>0.

2) Plus généralement, une filtration est une famille F = (Ft)t,0 de tribus de A satisfaisant F_s c Ft si s t.

Propriété de Markov :

Considérons un mouvement brownien W sur (12,A,P), et la filtration F = (Ft)t,0 qu'il engendre. Puisqu'il est à accroissements indépendants, la variable Y := Wt_+s -- Wt est indépendante de la tribu Ft, on a pour chaque fonction f borélienne bornée sur IR :

E(f(Wt+s)\Ft) = E(f(W_t + Y)\Ft)

= f IR 1/ ,2 its e'2/ ^2s f (W_t + x)dx (1.2)

Cette formule montre que conditionnellement à Ft, la loi de Wt_+s ne dépend pas de tout le passé (c'est-à-dire de toutes les variables W. pour r t), mais seulement de la valeur « présente » Wt du processus. On dira que le mouvement brownien est un processus de Markov.

Définition 10:

Un processus (Xt)t est un processus de Markov si, étant donné la filtration (F_t')_t engendrée par le processus, celui-ci vérifie la propriété de Markov, à savoir que pour tous s, t 0 et pour toute fonction f borélienne bornée sur IR :

E(f(X_t+s)\F_t') = E(f(Xt+s)\Xt) (1.3)

Dans le cas du mouvement brownien, les variables W. pour r t d'une part, et les variables W. pour r t d'autre part, sont indépendantes, conditionnellement à la valeur de Wt. De plus, la loi de Wt_+s sachant Ft dépend bien sûr de s, mais pas de t. On dit que le mouvement brownien est un processus de Markov homogène en temps.

Définition 11 :

Un processus (Xt)t est un processus de Markov homogène en temps si pour tous s, t 0 et pour toute fonction f borélienne bornée sur IR, il existe une fonction borélienne h_s telle que :

E(f(W_t+s)\F_t') = h_s (Xt) (1.4)

Si X = (Xt)t_>0 est un processus de Markov, son evolution est decrite par une famille (Ps,t(x, dy))o.s.tde probabilites de transition de Ir vers Ir, (ou plus

generalement de (E,E) vers (E,E) si X prend ses valeurs dans l'espace mesurable (E,E) . La probabilite P_s,t(x,
·) represente la loi conditionnelle de Xt quand Xt = x .

Grâce à la propriete de Markov et à la relation E( E(X\3)\~) = E(X\~), on montre la propriete de semi-groupe. Pour 0 r s t :

Pr,t(x^, A) = f Ir Pr,s(x,, ^dy) Ps,t6 ⁷ , A) (1.5)

qui s'ecrit plus rapidement P_r,t = P_r,sP_s,t .Observons que P_s,s(x, dy) est la mesure de Dirac 8_x(dy) au point x.

Dans le cas ou X est un processus de Markov homogène, la probabilite de transition

P_s,t depend seulement de la difference t - s. En ecrivant Pt = P~,t = P_s,s+t pour tout t , on definit alors le semi-groupe de transition.

Définition 12 :

Soit X un processus de Markov homogène. On appelle semi-groupe de transition de X la famille (Pt)t>0 d'operateurs positifs lineaires :

P_t: 4) e L'(Ir^t) 1-0 Pt4) e L'(Ir^t)

Pt4)(x) = E(4)(~t)\X0 = x) = .1^" 4)(y)Pt(x, dy)

Ir^d

qui satisfait Pt1 = 1 et la propriete de semi-groupe :

Po = Id, P_t+s = P_t 0 P_s , Vs,t > 0 (1.6)

Dans le cas du mouvement brownien, qui est un processus de Markov homogène, le semi-groupe (Pt)t_>0 est donne par :

Pt(x, dy) = ¹

V 27rt exp (-- (y_ 2:)2) dy (1.7)

comme le montre immediatement la formule (1.2).

En utilisant les relations (1.2) et (1.7), on obtient facilement les proprietes :

E(W_t\F_s) = W_s ; E(W_t²\~_s) = W_s² + t -- s (1.8)

3.6. Mouvement brownien multidimensionnel :

Définition 13:

Un mouvement brownien d-dimensionnel est une collection W = (W^t)1,t,d de dmouvements browniens à valeurs réelles W^t = (Wt^t)t~o, qui sont indépendants entre eux.

Ce processus est encore un processus de Markov homogène (et même un processus à accroissements indépendants). Son semi-groupe vaut alors :

Pt(x, clY) =

1 exi 11Y -- x11^2Vcl (V2mt) P 2t rY

où x et Y appartiennent à R^d, 11
·11désigne la norme euclidienne sur R^d, et clY la mesure de Lebesgue sur R^d.

4. Martingales et temps d'arrêt :

4.1 Martingales :

Nous allons maintenant définir et étudier en détails une classe fondamentale de processus, qui vérifient la propriété de la relation (1.3).

Définition 14:

Soit(Sl, c 4, P) un espace de probabilité, muni d'une filtration1F = (Ft)t~o.

· Un processus à valeurs réelles M = (Mt)t,o est une 1F-martingale si :

a) il est adapté à la filtration(Ft)t,o, ce qui veut dire que pour tout t, Mt est Ftmesurable ;

b) chaque variable Mt est intégrable, et :

s < t M_s = E(M_t\F_~) (1.9)

· On dit que M est une 1F-surmartingale (resp. une 1F-sousmartingale) si l'égalité cidessus est remplacée par :

M_s > E(M_t\F_~) (resp. M_s < E(M_t\F_~) ) (1.10)

En particulier, l'espérance E(Mt) d'une martingale, (resp. d'une surmartingale,
sousmartingale), est une fonction constante du temps (resp. décroissante,
croissante). De manière évidente, une martingale est un processus qui est à la fois

une surmartingale et une sous-martingale et si M est une surmartingale, alors --M est une sous-martingale.

Remarque 1 :

Le mot « martingale » vient du monde des jeux, et a été donné initialement à la suite d'une mauvaise interprétation des « martingales » soi-disant trouvées par les joueurs pour gagner à coup sûr.

En fait, le sens mathématique de ce terme, appliqué à un jeu, est le suivant. Supposons que la variable Mt, égale au gain du joueur s'il arrête de jouer au temps t, soit une martingale. L'espérance « conditionnelle » du gain du joueur, si celui-ci arrête de jouer en un temps t strictement supérieur à s, et sachant le passé jusqu'au temps s, est alors égale au gain M_s qu'il obtiendrait s'il arrêtait de jouer au temps s. Ainsi, le jeu est équitable en espérance ou, en d'autres mots, le joueur maximisera la moyenne de ses gains en ne jouant pas du tout !

Exemples :

Soit W = (1/10t,0 un mouvement brownien, et F = (Ft)t,0 la filtration qu'il engendre.

Exemple 1 : le processus W est une F -martingale. En effet, Wt_+s--Wrest centré et indépendant de Ft , et donc E(Wt_+s--Wt\Ft) = 0.

Exemple 2 : le processus Mt = Wt² -- t est une F -martingale. En effet :

Mt+s^-- Mt = (Wt+s^--Wt)² + ²(Wt+s^--Wt) -- s

~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~~

Exemple 3 : soit ~ ~ ~. Le processus ~~ t) est une F- martingale.

2

En effet :

~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~

~~~~

~ /~~ 2 ~~

A² 0^-2

le fait que si U est une variable N(0, a²), alors E(exp(A.U)) = exp ₂ .

4.2. Comportement d'une martingale à l'infini :

Soit M une surmartingale ou une sous-martingale pour la filtration F. On peut montrer qu'il existe une « version » de M pour laquelle toutes les trajectoires sont

continues à droite et ont des limites à gauche. Nous ne considérerons dorénavant que de telles versions. En fait, presque toutes les surmartingales et sousmartingales que nous rencontrerons dans ce travail auront des trajectoires continues.

Nous allons énoncer une propriété remarquable des martingales.

Proposition :

Si M est une martingale satisfaisant :

suptER+ E(|Mt|) < +00 (1.11)

alors t 1-> Mt(w) admet, pour presque tout w, une limite (qui peut être infinie) quand t 1-> +00 , et cette limite est notéet 1-> M,(w).

Observons que cette propriété ne s'applique pas à l'exemple 1 ci-dessus, pour

lequel E(|Wt|) = .12t h r, ni pour l'exemple 2, pour lequel E(|Mt|) = ct pour une
constante c > 0, tandis qu'il s'applique pour l'exemple 3, puisque E(IM_t^~~) =

E(M_t^~) = 1.

Une importante question est alors de savoir quand cette égalité (1.9) reste vraie pour s = 00 . La réponse (non triviale) est la suivante.

Théorème 5:

Mt = E(M_c\F_t) <=> Mt - M_oo dans L¹ (1.12)

Ces propriétés sont, comme on l'a vu grâce à l'exemple 3, strictement plus fortes que la relation (1.11). Elles sont en fait équivalentes au fait que M est une martingale uniformément intégrable, au sens suivant.

Définition 15:

La famille des variables aléatoires (Mt)t>0 est uniformément intégrable si :

lim sup t E(|Mt|¹|m~|>a) = 0 (1.13)

a-+oo t_ER₊

Inégalité de Doob :

L'inégalité suivante est fondamentale et spécifique aux martingales. Elle donne un contrôle en norme L^P du supremum d'une martingale, sur un intervalle de temps fini, en fonction de la valeur absolue de sa valeur terminale.

Théorème 6:

Soit M une martingale nulle en 0. On note. Mt^~ = sup .s^..t

IMsI.

Alors, pour tout entier p > 1,

E(( _MnP) ( )

^{P 13}

1 - p E(PMt|P)

4.3 Temps d'arrêt :

Cette notion joue un rôle très important en théorie des probabilités.

Définition 16:

Soit F une filtration. Une application T : 12 1-> [0, oo] est un temps d'arrêt si (T t} E Ftpour tout t 0.

Un temps d'arrêt est donc un temps aléatoire, tel que sur chaque ensemble

(w: T(w) t}, l'application w 1-> T(w) dépend seulement de ce qui s'est passé avant le temps t.

Un joueur honnête, qui ne peut pas anticiper sur les événements futurs, peut décider d'arrêter le jeu au temps aléatoire T uniquement si T est un temps d'arrêt. Un exemple trivial de temps d'arrêt est donné par T(w) = t pour tout w.

En dehors des temps constants, l'exemple fondamental de temps d'arrêt est le temps d'atteinte d'un ensemble borélien A par un processus x à trajectoires continues à droite et adapté à la filtration F. On définit plus précisément :

T = inf(t 0 ; x_t E A)

(avec la convention que l'infimum de l'ensemble vide vaut+oo).

Le fait que le temps d'atteinte de l'ensemble A est un temps d'arrêt est difficile à prouver pour un borélien A arbitraire, mais facile à prouver quand A est un ensemble ouvert. En effet, dans ce cas :

(T t} = (x_t E A} U _(urEQn[0,t] (x_r E A}) ce qui permet de conclure.

Considérons X et A comme ci-dessus et S un temps d'arrêt. Un nouvel exemple de temps d'arrêt est T = inf(t: t > S ; Xt E A). Ce temps est le temps d'atteinte de A par X, après le temps S.

En revanche, le dernier temps avant un temps fixé s où un processus adapté X visite un ensemble borélien A, défini par T = sup(t: t > s ; Xt E A) (où le supremum de l'ensemble vide est égal à 0) n'est pas un temps d'arrêt. En effet, T est mesurable, mais la valeur de T(w) dépend de tout ce qui s'est passé pour le processus X entre les temps 0 et s.

4.4. Tribu du passé d'un temps d'arrêt :

Définition 17:

Soit T un temps d'arrêt. On appelle tribu du passé T, la tribu notée FT égale à l'ensemble de tous les événements A E A tels que A n (T t) E Ft pour tout t.

Il est facile de voir que FT est une tribu, et cette notation est cohérente avec la notation Ft car si T est identiquement égal à t, il est clair que FT = Ft. La tribu FT est appelée tribu du passé de T, car elle peut être interprétée comme suit : A E FT si, quand on s'arrête au temps T, on sait si A est réalisé ou non.

Voici quelques propriétés simples. Ci-dessous, S, T, (R)n désignent des temps d'arrêt, et la filtration F est supposée vérifier que Ft =n_s>t F_s.

(U < t) E Ft , Vt = U est un temps d'arrêt.

S < T =FscFT

(S < T) E Fs n FT, (S T) E Fs n FT

R = inf_n(R_n) est un temps d'arrêt et FR =n_n FR_n

R = sup_n(R_n) est un temps d'arrêt.

Théorème d'arrêt :

Soit M une martingale. La propriété (1.9) peut facilement être étendue aux temps d'arrêt bornés.

Théorème 7:

Si S et T sont deux temps d'arrêt et si a E 11., alors :

Ms = E(MT\Fs) sur l'ensemble (S T a) (1.14)

En particulier, si T est un temps d'arrêt qui est borné, on a :

E(MT) = E(Mo) (1.15)

Quand Mt désigne de nouveau le gain d'un joueur au temps t , la propriété (1.15) peut être interprété comme suit. Quelle que soit la stratégie non anticipante que le joueur choisit pour arrêter le jeu, et s'il doit finir de jouer avant un temps déterministe donné (aussi grand que soit ce temps), alors la valeur espérée de son gain est constante et égale à son capital initial.

Observons que la relation (1.14) est, en général, fausse sur l'ensemble(S T}, et de même (1.15) est fausse si T n'est pas borné.

Par exemple si M = W est un mouvement brownien et si T = inf(t: Mt = 1), alors E(M0) = 0 < E(MT) = 1 Dans ce cas, le temps aléatoire T est presque sûrement fini, mais n'est pas borné et a même une espérance infinie.

En revanche, dans le cas d'une martingale uniformément intégrable, tout se passe bien.

Théorème 8:

Si M est une martingale uniformément intégrable, alors la relation (1.14) est satisfaite sur (S T}, et (1.15) a lieu pour tout temps d'arrêt T.

Remarquons que l'on peut considérer des temps d'arrêt qui peuvent prendre la valeur infinie, pourvu que l'on pose Mt = M₀ sur l'ensemble( T = 0}.

Une autre propriété importante, en lien avec la propriété (1.14), concerne le processus arrêté au temps T, défini par M_t^T = Mini,i(t,T).

On peut facilement déduire de (1.14) que si M est une martingale et T un temps d'arrêt, alors :

M^Test une martingale.

Définition 18:

Si M est une martingale et T un temps d'arrêt par rapport à la même filtration, on appelle martingale arrêtée au temps T la martingale MT.

5. Intégrales stochastiques :

On a vu que le mouvement brownien est à variation infinie, et que l'on ne peut donc pas definir une integrale de Stieltjes qui lui serait associee. On va toutefois voir qu'il est possible de definir une integrale d'une autre nature, definie dans un sens quadratique.

5.1. Variation quadratique :

Soit X un processus à valeurs reelles. On appelle « variation quadratique approximee » de X au niveau n le processus suivant :

V(X, n)_t = E__i (Xi/n -- X(i_1)/n)² (1.16)

où [nt]est la partie entière de nt.

Si X est un processus continu et à variation finie, au sens où X est la difference de deux processus Y et Z dont les trajectoires sont croissantes et de valeurs finies, il est facile de verifier que V(X,n)t tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Supposons maintenant que X = W soit un mouvement brownien. Chaque accroissement W/n -- W(i_1)/n a une loi normale .N(0, 1 /n ), et donc [nt]

n

E(V(W,n)_t) = . On en deduit que E(V(W,n)_t) tend vers t quand n tend vers

l'infini. Il est alors naturel et facile de prouver que V(W,n)t converge vers t dans L¹. Au vu de ce resultat, nous disons que la variation quadratique du mouvement brownien est (W, W)t = t. Cela montre en particulier que les trajectoires du mouvement brownien ont une variation infinie sur les intervalles finis.

On considère maintenant plus generalement une martingale continue M. Définition 19 :

La martingale continue M est dite de carre integrable si pour chaque t , Mt E L². On peut alors, grâce au resultat suivant, definir la variation quadratique de M. Proposition 20:

Soit M une martingale continue de carre integrable. La variable aleatoire

V(M,n)_t converge dans L¹, quand n tend vers l'infini, vers une variable

(M,M)t notée ( (M,M)t)tn. Le processus est croissant, continu, et est appelé la variation quadratique de M. De plus, il vérifie que :

M_t² -- (M,M)t est une martingale (1.17)

En fait, (M,M)t est l'unique processus croissant, continu et adapté, nul en 0, tel que l'on ait (1.17).

Remarque 2 :

On a donc :

(W, W)t = t ; Wt² -- t est une martingale.

En fait ceci est caractéristique du mouvement brownien d'après le théorème de Paul Lévy suivant.

Théorème 9 :

Toute martingale M continue de carré intégrable, et telle que M_t² -- t soit encore une martingale, est un mouvement brownien.

L'application M 1-0 (M,M)t se comporte comme une forme quadratique, ce qui explique la notation. Si a, b sont des réels, par la caractérisation ci-dessus, on obtient facilement que (aM, bM) = ab(M, M). On peut lui associer une sorte de « produit scalaire », en posant, pour chaque paire M,N de martingales de carré intégrable et continues :

(M, N) = 4i ((M + N, M + N) -- (M -- N, M -- N)) (1.18)

formule qui pourrait être comparée à la formule :

(x, 17) =

4 (11x + 1711² -- 11x -- 1711²)

1

pour le produit scalaire usuel et la norme euclidienne dans IRY.

Observons que MN -- (M, N) est une martingale, et (M, N) est l'unique processus Y continu, adapté, nul en 0, et à variation finie, tel que MN -- Y soit une martingale.

En particulier, si W = (W^t)i,t,d est un mouvement brownien d-dimensionnel, on a :

(W^t, Wl)_t = S^tlt (1.19)

où Sⁱⁱ = 1 si i = j et 8' = 0 sinon. C'est evident si i = j, et pour i # j le fait que (Wⁱ, W¹) = 0 vient du fait que le produit WⁱWⁱ est une martingale, comme produit de deux martingales independantes.

En fait, cette propriete caracterise le mouvement brownien. En effet, on peut enoncer le théorème de Paul Lévy suivant.

Théorème 10:

Toute martingale M d-dimensionnelle, continue, de carre integrable, telle que :

(M^t, Mⁱ)t = a^tit,

est un mouvement brownien d-dimensionnel.

5.2. Intégrales stochastiques :

Nous souhaitons maintenant donner un sens à l'integrale f_o^t HAM. quand W est un

mouvement brownien et H = (Ht)t,0 un processus, dont nous preciserons ces proprietes dans ce paragraphe.

Nous nous limiterons essentiellement à des integrants H qui sont continus en la

variable t. L'idee est alors d'obtenir C HAW_s comme limite de sommes de Riemann: I(H,n)_t = ? ~~~~~~ /~

~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~

~ ~ ~1.20~

~~~

La variable W/n -- 1/17(i_1)/_n a une taille d'ordre 1/vn, car elle est centree et de variance 1/n, et donc H(i_i) /n (Wi/n -- ¹4i_1/n) est egalement d'ordre 1/vn . La

taille de I(H,n)t devrait donc être vn. Mais, dans ce cas, les variables I(H,n)t ne pourront en general pas converger ; cela est coherent avec le fait que les trajectoires de W sont à variation infinie.

Pourtant, une sorte de « miracle » a lieu, quand on suppose de plus que le processus H est adapte à la filtration du mouvement brownien. Par simplicite, on supposera aussi que ce processus H est borne par une constante, mais cette hypothèse peut être allegee.

Dans ce cas, la variable

Y(n, i) = ¹(i-1) /n (Wi/n -- W(i-1)/n)

satisfait E(Y(n, i) /F(i-1) /n ) = 0

et E(Y(n, i)²/F(i-1) /n ) = H(i-1) /n , n c2 /n , de telle sorte que

[nt]

I(H,n)_t = 1 Y(n, i)

i=1

est centrée, de variance :

[nt] 1 E(Y(n, i)^2) i=1

< c^2t

Il n'est alors pas totalement déraisonnable de penser que la suite I(H,n)t converge et, effectivement, on peut montrer le théorème suivant.

Théorème 11:

Soit H un processus borné, continu et adapté à la filtration du mouvement brownien. Alors la suite :

[nt]

I(H,n)t = IH(i-i) /n (Wi/n -- W4i-1)/n)

i=1

converge dans L² , quand n tend vers l'infini, vers une limite, notée :

f

^t HAW, o et appelée l'intégrale stochastique de H par rapport à W sur l'intervalle [0, t].

Remarque 3 :

1. Si H n'est pas adapté, les sommes de Riemann ne convergent pas en général.

2. On observe que la relation (1.20) est une forme particulière de somme de Riemann.

Si on remplace

H(i-i) /n (Wi/n -- W(i^-1)/n)

par W

Ht(n,i)( i/n -- W(i-1)/n) ,

avec (i -- 1) /n t(n, i) i/n comme il est possible de le faire pour les

approximations par les sommes de Riemann pour les intégrales usuelles, la suite

associée I(H, n)t ne converge pas nécessairement et, si elle converge, la limite peut être différente def ^ot HsdWs.

3. La terminologie « intégrale stochastique » permet d'insister sur le fait que cette intégrale n'est pas une intégrale de Stieltjes usuelle, prise séparément pour chaque valeur de co, mais une limite dans L² .

4. Il est possible de définir l'intégrale f ot HsdWs pour des intégrants H bornés qui ne

sont pas continus en temps. Mais, dans ce cas, l'adaptation de H à la filtration n'est pas suffisante et il faut supposer plus de mesurabilité. (La propriété requise s'appelle la mesurabilité progressive).

5. Il est aussi possible de définir l'intégrale f _o^tH_sdW_s. pour des intégrants continus non bornés H, ou même pour des intégrants non bornés satisfaisants la mesurabilité progressive mais, dans ce cas, on doit supposer que l'intégrale f _o^tH_s²ds est finie pour tout t.

5.2.1 Propriétés de l'intégrale stochastique :

Les propriétés d'adaptation sont ici implicitement définies par rapport à la filtration du mouvement brownien W.

Théorème 12:

Soit H et K des processus bornés, continus et adaptés.

1. Pour tous réels a,13,

f o

t t t

(aH_s + 13K_s)dW_s = a f _HsdWs + 13 f KsdWs

o o

2. Le processus M défini par M_t = f₍^t₎ HsdWs est une martingale continue de carré intégrable, nulle en 0.

3. Si, de plus, Nt = f: K_sdW_s, on a :

(M,N)_t = f₍^t₎ H_sK_sds (1.21)

En particulier, on a l'isométrie fondamentale, donnée par la formule suivante :

²

E ((f: H_sdW_s)) = E(f o t H_s²ds ) (1.22)

5.2.2. Extension de l'intégrale stochastique :

Si l'on souhaite definir l'integrale stochastique d'un processus continu adapte H par

rapport à une martingale M de la forme Mt = f₍^t₎ Ks.dWs., il suffit de poser :

f : Hs.dMs. = f _o^t(Hs. Ks.)dWs. (1.23)

Plus generalement, on peut definir l'integrale stochastique d'un processus continu

adapte H par rapport à une martingale continue M, dès que (f (t) Hs.²d ^(M, N)s.) < 00
Cette integrale, encore notee par f :Hs.dMs., est obtenue comme limite des sommes
de Riemann (1.20) où M remplace W. Si Mt = f₍^t₎ Ks.dWs., on retrouve le processus

defini par la relation (1.23).

Nous avons les proprietes suivantes :

Proposition 2 :

Soit M, M' des martingales continues, H et K des processus continus, adaptes à F^m,

et H' continu et adapte à F^m' .

t t

1. H 1-> f o HdM_s.et M 1-> f o Hs.dMs. sont lineaires.

2. Si Nt = f _:Hs.dMs., alorsf o t Ks.dNs. = f : Hs.k^.dMs. .

3. Si N_t = f : Hs.dMs. et N' = f :H;dM;, on a :

(N, N')_t = f ^ot H_s.H;d (M, M')s. (1.24)

En particulier, la formule ci-dessous generalise (1.22) :

2

E ((f : Hs.dMs.) ) = E(f:H_s.²d (M, M)s.) (1.25)

4. Si H est borne, le processus N defini par Nt = f ot Hs. dMs. est une martingale

continue nulle en 0. Si H n'est pas borne, le manque possible d'integrabilite en fait ce qu'on appelle une « martingale locale », mais nous ne developperons pas ce point dans cette partie.

5.3. Formule d'Itô :

Quand t 1-0 x(t) est une fonction réelle, continue et à variation finie, la formule d'intégration par parties implique que pour toute fonction f continûment dérivable, on a :

f(x(t)) = f(x(0)) + f ot f' (x(s))dx(s) (1.26)

et il existe également une version multidimensionnelle de cette formule.

Celle-ci devient fausse quand la fonction x est remplacée par un mouvement brownien W, ou par une martingale continue M.

En effet, si la relation (1.26) était vraie, en prenant f(x) = x² , on obtiendrait

Wt² = 2 f : Ws.dWs. et, puisque le processus défini par l'intégrale stochastique est

encore une martingale, on pourrait en déduire que Wt² est une martingale. Or, on a vu au paragraphe précédent que la variation quadratique de W au point t est égale à t, et donc le processus W_t² -- t est aussi une martingale. Par différence, le « processus » t devrait alors être une martingale, ce qui est évidemment faux.

Ainsi la relation (1.26) est fausse pour le mouvement brownien. Pour obtenir une formule juste, on doit ajouter un terme de plus (appelé quelque fois terme de correction d'Itô) et supposer plus de régularité sur f.

Théorème 13:

Considérons une martingale continue X, de variation quadratique ( X, X). Soit f est une fonction de classe C², alors on a :

f(X_t) = f(Xo) + f o t f^'(Xs.)dXs. + ₂¹ f ot f" (Xs.) ^d(X, X)s. (1.27)

où f"est la dérivée seconde de f.

Cette formule est connue sous le nom de « formule d'Itô » et est extrêmement utile.

La formule d'Itô appliquée au mouvement brownien X = W et à donne

Wt² = t + 2 f : Ws.dWs. et on retrouve bien la propriété que Wt² -- t est une martingale.

Cette formule n'est pas suffisante pour les applications. On a souvent besoin de considérer des processus de la forme plus générale suivante.

Définition 21 :

Un processus X de la forme X = M + A , où M est une martingale continue et A un processus adapté, continu et localement à variation finie (à variation finie sur tout compact de IR₊ ), est appelé une semi-martingale continue.

En regroupant l'équation (1.26) pour A et (1.27) pour M, on obtient pour f de classe C^Z une version de la formule d'Itô pour les semi-martingales.

Théorème 14:

Soit X = M + A une semi-martingale, et f une fonction de classe C². On a:

~ ~~

~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~ 2 1 ~ ~~~~~~~ ~~~, ~~~ ~1.28~

~ ~ ~

Donnons égalementt la forme « multidimensionnelle » de la formule d'Itô.. Théorème15::

Soit X = (X^t)i,t,d des semi-martingales de décompositionss X^L = M^t + A^t , oùu les M^t sont des martingales continues et les A^t des processus adaptés,, continus et localement àa variation finie. Soit f une fonction de classe C² sur Ir^t, dont les~~ dérivées partielles des premier et second ordres sont notées ~~ ~ et ~~~ b respectivement.

On a:_~

~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ? ~~ ~~

~ ~

~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~~

~~~ ~ ~ 0~1.29~

~ 2 1 ? ~ ~~~

~ ~ ~~~~~~ ~~~~, ~~~~

~,~~~ ~ s

Remarque 4 :

Par abus de notation, on écrit souvent cette équationn sous une forme différentielle, bien que ce soit purement formel :

^d

<Ant = fx^(t)(dA^lt + dmo i,j=1

1 ~2 ft7(Xt)d(1',, Mi)t (1.30)

Observons que ces formules impliquent en particulier que le processusf(X),, image
d'unee semi-martingale X par une fonction f de classe C², est encore une

semi-martingale, et que sa décomposition en somme d'une martingale et d'un processus localement à variation finie, les deux continus et adaptés, est donnée directement par (1.29). L'intégrale stochastique par rapport à M est la partie martingale, et le processus à variation finie est formé de la somme des autres termes. Exemple 1 :

Considérons deux semi-martingales continues X et Y avec :

X_t = M_t + At; Yt = Nt + Ct

M et N étant les parties martingales. En prenant f(x, y) = xy, on obtient immédiatement :

t t

X_tY_t = X0Y0 + 1 Y_s dX_s + 1 _XsdY~ + (M,N)_t

o o

Exemple 2 :

et ~~~, ~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~

Appliquons (1.28) pour ~ ~ 2, et ~~ ~ ~ ~~, ~~ ~ ~ ~ ~ y). On

~ ~ ~ ~~

a ~~ ~ ~ ~~, ~~ ~ ~ 0, ~~ ~ ~ 0, ~~ ~ ~ ~, et ~~ ~ ~ ~~ , ~~~

~~ ~ ~~~ , ~~ ~ f On

obtient ainsi :

~

~~ ~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~~ 2 ~~ ~ 1 ~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~~ 2 s) dW_s

~

~

et on retrouve le fait que ~~ est une martingale, comme on l'avait déjà. Exemple 3:

Plus généralement, si H est un processus borné, continu, adapté, on définit :

~ ~

~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~ ~ 2 1 f H_sds)

~ ~

et on montre par la formule d'Itô que Z est solution de l'équation :

Z_t = 1 + f_o^t Z_sH_sdW_s; t 0

Cette équation est un exemple d'équation différentielle stochastique, équation que l'on étudiera au paragraphe des EDS.

Exemple 4 :

Un deuxième exemple d'équation différentielle stochastique, appelé le modèle non homogène de Black et Scholes, utilisé en finance, est donné par l'équation formelle:

dSt = S_t11(t)dt + Sta(t)dWt , SO = 1 (1.31)

Les fonctions 11 et a _?sont à valeurs réelles, avec a(t) > 0, W est un mouvement brownien, et S est le processus « inconnu ». C'est une équation linéaire, qui peut être résolue explicitement. La solution est de la forme St = exp(Mt + At), où M est une martingale continue et A un processus adapté, continu et localement à variation finie. Pour trouver M et A, on applique la formule d'Itô (1.30) à la fonction f(x, y) = e^x+Y , ce qui donne :

dSt = StdMt + StdAt +

1

2 Std(M, M)t

En identifiant avec (1.31), on obtient dMt = a (t)dWt, d'où Mt = f : a (t)dWt. On en déduit que (M, M)_t = f_o^t a(s)²ds, d'où dA_t + ₂¹ a(t)² dt = 11(t)dt et

At = f ot (11(s)-- ₂¹ a(s) ² ) ds Finalement une solution de (1.31) est dormée par :

t

1

S_t = exp (1 a (s)dW_s. + f (11(s)-- t

₂ a(s)²) ds)

~ ~

6. Equations différentielles stochastiques :

6.1. Introduction :

De manière informelle, on appelle équation différentielle stochastique une équation différentielle ordinaire perturbée par un terme stochastique. Plus précisément, c'est une équation du type suivant :

dXt = b(t, Xt)dt + a(t, Xt)dWt, X0 = x0 , (1.32)

Dans cette équation, dWt est la « différentielle » d'un mouvement brownien W, et b, a sont les coefficients de l'équation (ce sont des fonctions de 11₊ x 11 dans 11), et x0 E 11 est la valeur initiale. Tous ces termes sont donnés. La notation (1.32) est la plus usuelle, mais elle n'a pas de sens (car la différentielle dWt n'a pas de sens). Le sens mathématique sera donné sous forme d'une équation intégrale.

Définition 22 :

Rechercher une « solution » de l'équation (1.32) consistera à rechercher un processus X = (Xt)t_>0 satisfaisant l'équation intégrale :

t t

X_t = f ₀ b(s,X_s)ds + f ₀ a(s,X_s)dW_s (1.33)où la seconde intégrale est une intégrale stochastique.

L'équation (1.32) ou l'équation (1.33) étaient jusqu'à présent unidimensionnelles. On peut également définir une équation d-dimensionnelle de la manière suivante. Le processus inconnu X = (X^t)i,t,d est une famille de processus à valeurs réelles X^t = (Xt^t)t,0, la condition initiale x0 = (x^t0)i,t,d appartient à R^d , le mouvement brownien W = (W^t)i<t<ti est q-dimensionnel, et les coefficients ont les dimensions appropriées, soit b = (b^t)i,t,d et a = (a^t,i)i,t,d,i,i<ti, où les coefficients b^t et at,i sont des fonctions de R₊ x R^d dans R. On écrit encore l'équation sous les formes (1.32) ou (1.33), mais cela signifie maintenant que l'on a :

Xt^t = x^t0 + f :b^t(s,X_s)ds + Eci=i f :a^t,i (s,X_s)dW_s^t , i = 1, ...., d (1.34)

Définition 23 :

Quand les coefficients b et a ne dépendent pas du temps et sont seulement des fonctions définies sur R^d , on dit que l'équation est homogène.

Le coefficient b est appelé le coefficient de dérive, tandis que a_? est le coefficient de diffusion. Un processus qui résout l'équation (1.32), ou de manière équivalente (1.34), est appelé processus de diffusion ou, plus simplement, une diffusion. On notera par EDS le terme « équation différentielle stochastique ».

6.2. Solutions d'une équation différentielle stochastique :

Notre première tâche est de donner un sens précis au mot « solution » de l'équation différentielle stochastique (1.33).

Définition 24 :

Soit un mouvement brownien W = (W^t)i<t<ti q-dimensionnel sur un espace de probabilité (12,A,P) , et F = (Ft)t,0 la filtration qu'il engendre. Les coefficients b et a, de même que la condition initiale x0 E R^d , sont donnés. Nous appelons solution forte de (1.34) tout processus d-dimensionnel X = (X^t)i,t,d, continu, adapté à la filtration, et tel que (1.34) a lieu.

Observons que l'adaptation de X est nécessaire pour que l'intégrale stochastique dans (1.34) ait un sens.

Remarque 5 :

Il existe une autre notion de solution, qui en un sens est plus naturelle, bien que moins intuitive. Plus précisément, nous appelons solution faible de l'EDS (1.34) la loi d'un processus X qui résout l'équation (dans un certain espace de probabilité muni d'un mouvement brownien). On peut montrer que si l'on a unicité de la solution forte, alors, on a unicité de la solution faible.

Le premier problème à résoudre concerne l'existence et l'unicité d'une solution. Considérons tout d'abord le cas d'une équation différentielle ordinaire, de la forme:

dXt = b(t, Xt)dt , X0 = x0 (1.35)
où le coefficient b et la condition initiale x0 sont donnés.

Bien sûr, un tel problème est purement déterministe. Un résultat classique énonce que (1.35) admet une et une seule solution dès que :

11b(t,x) -- b(t,Y)11 C11x -- Y11 , 11b(t, 0)11 C (1.36)

où C est une constante, et 11
·11est la norme euclidienne dans Wⁱ.

La première condition dans (1.36) est appelée condition de Lipschitz. Revenons maintenant à l'EDS (1.34). On peut prouver essentiellement le même résultat. Théorème 16 :

~ (1.37)

Sous les hypothèses de la définition 24 et si, de plus, les coefficients b et a^- satisfont, pour tous t, x, Y :

11b(t, x) -- b(t, ^Y)11 + 110(t, x) -- a(t, Y)11 C11x -- Y11

11b(t,0)11 + 110(t, 0)11 C

(où 11.11 désigne la norme euclidienne dans Wⁱ ou W^ig et C une constante positive), alors pour tout T > 0, il existe une et une seule solution forte X dans l'espace :

t.T

Li = [Xcontinus, adaptés; E (sup11X_t11²) < 00}

Remarque 6 :

1) L'unicité est comprise au sens presque sûr : si X et X' sont deux solutions fortes, alors, en dehors d'un ensemble de P-mesure nulle, on a Xt = X; pour tout t.

2) Le fait que l'on obtienne une solution dans un espace de type L ² n'est pas surprenant : c'est en effet dans ce cadre que l'on a développé le calcul stochastique. Nous avons déjà rencontré, l'EDS non homogène linéaire suivante :

dXt = pt(t)Xtdt + a(t)XtdWt, X0 = 1 (1.38)

où pt_? et a_? sont des fonctions continues bornées sur IR₊ . Elle a une solution explicite donnée par :

t

1

X_t = exp (1 a₍s)dW_s. + 1 (pt(_s)-- t

2 a(s)²) ds)

~ ~

on a ici d = q = 1 et les coefficients b(t,Xt) = pt(t)x et a(t,x) = a(t)x

satisfont à (1.37). Le théorème implique alors que la solution explicite est l'unique solution forte de cette équation.

Quand pt(t) = pt et a(t) = a sont constants, la solution est appelée «mouvement brownien géométrique avec drift ».

Comme pour les équations différentielles ordinaires, les hypothèses (1.37) de lipschitzianité et de bornitude sont suffisantes, mais pas nécessaires, pour obtenir l'existence et l'unicité de la solution. Par exemple, on a le résultat plus fort suivant, spécifique à la dimension 1.

Théorème 17 :

Dans le cas d'une EDS unidimensionnelle, si on a :

|b(t,x) -- b(t,Y)| + |a(t,x) -- a(t,Y)|^2 C|x -- Y| |b(t, 0)| + |a(t,0)| C

~ (1.39)

alors il existe une unique solution forte.

Ici, a n'est plus lipschitzienne, mais seulement höldérienne de rapport 1/2. Remarque 7 :

Très souvent, on considère des EDS homogènes. Pourtant, en pratique (spécialement en finance), les EDS non homogènes sont utiles. Dans ce cas, l'hypothèse (1.37) est un peu restrictive, car souvent, les coefficients « explosent » quand le temps tend vers l'infini. Il est alors utile de savoir que l'existence et l'unicité sont préservées, quand (1.37) est remplacée par :

Ilb(t, x) -- b(t, y)Il + Ila(t, x) -- a(t, y)Il CtIlx -- yIl

I

Ilb(t, 0)Il + Ila(t, 0)Il Ct

où t 1-0 Ct est une fonction croissante à valeurs finies. Processus d'Ornstein-Uhlenbeck :

Le mouvement brownien a ete construit pour modeliser le deplacement d'une particule microscopique, en suspension dans un liquide, soumise à l'agitation thermique. Une critique importante faite à cette modelisation est que les accroissements sont independants et ne dependent pas de la vitesse de la particule au debut de chaque periode. Un modèle plus sophistique, tenant compte de la vitesse de la particule, conduit alors au processus suivant.

Définition 25 :

On appelle processus d'Ornstein-Uhlenbeck le processus X à valeurs reelles, solution de l'EDS :

dXt = --bXtdt + cdw_t , Xo = xo (1.40)

où xo E R , b E R et c > 0.

Les coefficients de cette equation satisfont (1.37), donc il y a une solution et une seule. On peut montrer à l'aide du calcul stochastique que X a la forme explicite :

Xt = _xoe-bt + c f :e^-b(t-s)dw_s (1.41)

Nous observons que Xt est egal à l'integrale stochastique d'une fonction deterministe par rapport à un mouvement brownien. Nous en deduisons que Xt est une variable aleatoire gaussienne, comme limite (à une constante additive près) des approximations de Riemann de l'integrale stochastique, qui sont gaussiennes. On en deduit même que le processus X est gaussien. Il est facile de calculer sa fonction moyenne m(t) et sa fonction de covariance C(s, t) qui, pour s t , valent :

m(t) = xoe^-bt , C(s, t) = 2^C2b (e^-b(t-s) -- e-b(t+s))

(1.42)

Modèle de Vasicek :

Ce modèle, introduit par Vasicek en 1977, sert à modéliser un taux de placement à court terme. Ce taux fluctue suivant l'EDS décrite ci-dessous, qui généralise la précédente. Ici, x0 E I1 , b, b' E I1 et c > 0 :

dXt = (--bXt + b)dt + cdWt , X0 = x0 (1.43)

Les coefficients de cette équation satisfont (1.37), donc il y a une solution et une seule. De nouveau, on peut trouver une forme explicite pour la solution :

t

X_t = b' + (x -- b') e^-bt + c 1 e^-b(t_-^s)dW_s (1.44)

⁰ b 0

et, par le même argument que pour le processus de Ornstein-Uhlenbeck, nous voyons que cette unique solution forte X est un processus gaussien.

Remarque 8 :

Une caractéristique commune aux exemples précédents est que les coefficients dépendent linéairement de X, ou n'en dépendent pas du tout. C'est pourquoi on peut trouver une solution explicite. Dans le cas de coefficients plus généraux, il n'y a en général pas de solution explicite, comme pour une équation différentielle ordinaire.