Efficacité de la production agricole et pauvreté au Cameroun.

1.2 La méthode des moindres carrés ordinaires

1.2.1 Estimateur des moindres carrés ordinaires (EMCO)

Du modèle complet :

yi = a_o + _a1xi,1 + ... + _âpxi,p + åi

On va estimer les paramètres et obtiendra: yi = âo+â1xi,1+...+âpxi,p

Les résidus estimés sont la différence entre la valeur de y observée et estimée. Soit :

Définition åi yi yi

Le principe des moindres carrés consiste à rechercher les valeurs des paramètres qui minimisent la somme des carrés des résidus.

n n

Mémoire de Master II soutenu par : NGASSEU NOUPIE Elie

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i=1 å2 1 a_o,.,â_p

i=1

min ? = min ? (yi - â_o - â1xi,1 - ... - âpxi,p)²

Ce qui revient à rechercher les solutions de = 0

Nous avons j = p + 1 équations, dites équations normales, à résoudre.

La solution obtenue est l'estimateur des moindres carrés ordinaires, il s'écrit :

Théorème - â = (X'X)^-1 X'Y est l'estimateur qui minimise la somme des carrés des résidus.

Avec X' la transposée de X

Démonstration

· = 0

· En passant l'opérateur de dérivation dans la somme, on a j = 0, ...,p :

. (yi - â_o - â1xi,1 - ... - âpxi,p) = 0

· Il suffit alors d'écrire cette dernière relation sous forme vectorielle :

X'(Y - Xâ) = 0

· X'Xâ = X'Y

· â = (X'X)^-1 X'Y

Remarques :

· Pourquoi minimiser la somme des carrés plutôt que la simple somme ? Cela tient, en partie, au fait que la moyenne de ces résidus sera 0, et donc que nous disposerons de résidus positifs et négatifs. Une simple somme les annulerait, ce qui n'est pas le cas avec les carrés.

· Si les xj sont centrés, X'X correspond à la matrice de variance - covariance des variables exogènes ; s'ils sont centrés et réduits, X'X correspond à la matrice de corrélation.

· Interprétation géométrique, algébrique et statistique de l'estimateur MCO.

· L'estimateur MCO correspond à une projection orthogonale du vecteur Y sur l'espace formé par les vecteurs X.

· L'estimateur MCO correspond à une matrice inverse généralisée du système Y = Xa pour mettre a en évidence. En effet, si on prémultiplie par l'inverse généralisé

(X'X)^-1X' on a : (X'X)^-1 X'Y = (X'X)^-1 X'Xa = a

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Mémoire de Master II soutenu par : NGASSEU NOUPIE Elie

? L'estimateur MCO est identique à l'estimateur obtenu par le principe du

maximum de vraisemblance.

1.2.2 Propriétés des estimateurs

Si les hypothèses initiales sont respectées, l'estimateur des MCO (Moindres Carrés Ordinaires) possède d'excellentes propriétés.

A. Propriété en échantillons finis

Propriété - L'estimateur MCO est sans biais, c'est-à-dire. E(â) = a, sous les hypothèses H1, H2 et H5.

Preuve

E[â] = E [(X'X)^-1 X'Y]

= E [a+(X'X)-1 X'å]

= a + (X'X)^-1 X' E [å] sous H1 et H5

= a + 0 sous H2

= a

Cette propriété se base seulement sur les hypothèses d'espérance nulle des résidus. La

présence d'autocorrélation ou d'hétéroscédasticité n'affecte pas ce résultat.

Propriété - l'estimateur MCO est le meilleur estimateur linéaire sans biais, sous les hypothèses H1 à H5

C'est-à-dire qu'il n'existe pas d'estimateur linéaire sans biais de a qui ait une variance plus petite. Cette propriété en anglais est désignée par BLUE, pour best linear unbiased estimator. La preuve est donnée par le Théorème de Gauss-Markov.

Propriété - l'estimateur MCO est distribué selon une loi normale â ~ N (a,ó² (X'X)-1) sous les hypothèses H1, H2, et H6

B. Propriétés asymptotiques

p

Propriété - l'estimateur MCO est convergent en probabilité, c'est-à-dire â a, sous les

hypothèses H6, et H8 Preuve

? Récrivons : â = a + ( )-1

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? Prenons la limite en probabilité : plim â = a + plim (

-1 )

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? Comme en a fait l'hypothèse 118 que tend vers une matrice Q définie positive, la

limite devient :

Plim â = a + Q-1 plim ( )

? Il reste alors à étudier le comportement de . Sous l'hypothèse 116, (ou plutôt sur une

forme plus restrictive E[xiåi] = 0) on peut montrer que son espérance est nulle, et que sa variance tend asymptotiquement vers 0, ce qui implique qu'il converge en moyenne quadratique vers 0, et donc qu'il converge en probabilité vers 0.

? On a donc finalement :

Plim â = a + Q^-1 . 0 = a

Propriété - l'estimateur MCO suit asymptotiquement une loi normale â ~ N (a, ) sous les

hypothèses H¹ à H⁵ et H8

Après cette présentation de notre méthode d'estimation de l'incidence de productivité globale des facteurs sur la pauvreté, il convient de présenter les estimations et nos résultats.