Conception d'une application pour le calcul et la simulation des efforts sur les pylônes

3-7 Résolution en analyse modale

3-7-1 Système d'équations aux valeurs propres

La recherche des fréquences et modes naturels d'une structure s'appelle l'analyse modale. L'énergie potentielle Ð totale de la structure due aux vibrations libres de l'élément est : [6]

n =₂¹U^t K U ₊1 Ut MU
^·
· (3-45)

2

Les extremums de cette énergie sont donnés par la relation :

· · an/ aU = MU

+ KU = 0 (3-46)

Et l'équation matricielle associée à l'analyse électrodynamique pour un régime libre est définie

par :

·
·

MU

+ KU = 0 (3-47)

Les solutions recherchées pour l'équation sont régies par une loi temporelle et, pour autant que la matrice de rigidité soit non singulière, sont de type harmonique

u(t) = p a cos (wt - co) (3-48)

a, 03 et (p sont des nombres réels dénotant respectivement l'amplitude de référence, la pulsation et la phase de la fonction. Cette relation traduit physiquement que chaque d.d.l. de la structure suit un mouvement en phase avec tous les autres déplacements généralisés. Compte tenu de cette expression, l'équation (3 - 47) associée au régime libre devient :

(K - co²M) p = 0 (3-49)

Ce système homogène de n équations linéaires admet n solutions non triviales pi (i = 1,2,..., n) telles que soient vérifiées les équations :

(K - co²iM) pi = 0 i = 1, 2, ..., n ( 3-5 0)

alors que

ui = pi ai cos (coi t - (pi) (3-51)

est le mode propre élastique de rang i à amplitude de référence ai et de déphasage (pi. En termes de mécanique des structures le vecteur pi est le vecteur modal et coi est la pulsation propre associée, mesurée en rd/s. Les grandeurs co sont les racines de l'équation algébrique suivante

det (K - w²M) = 0 (3-52)

3-7-2 Résolution du système aux valeurs propres

La résolution d'un système aux valeurs propres est beaucoup plus coûteuse que celle d'un problème statique. En fait, il s'agit d'un problème non linéaire, et beaucoup de méthodes s'appuient sur la résolution d'une succession de systèmes linéaires, en interne. De nombreux algorithmes performants ont été développés pour l'extraction numérique des caractéristiques modales d'une structure. Pour la résolution du système, nous avons utilisé la méthode de factorisation QR qui est un sous module de matlab. Cette méthode est généralement considérée comme étant la plus robuste et la plus performante pour déterminer l'ensemble des valeurs propres quand les matrices structurelles sont de petite taille ou à grande largeur de bande [3] et [6]