chapitre-3 Formulation des éléments
finis
3-1 Introduction
Les pylônes que nous calculons font partie des
structures discrètes qui sont composées d'éléments
barres assemblées par boulonnage en des points appelés
«noeuds», et soumises à des forces extérieures que sont
: la pression due au vent, le poids propre du pylône et des antennes.
Sous l'effet de ces forces, le pylône peut se déformer et des
contraintes internes dans chaque élément peuvent se manifester.
Cette dernière est entièrement définie par les
caractéristiques géométriques de la section courante
(aire, module d'Young etc.) et la géométrie de la fibre moyenne.
Les efforts appliqués à chaque barre sont
schématisés comme charges ponctuelles. Les sollicitations
résultantes sont obtenues sous la forme d'un seul effort (effort axial)
en chaque point de la fibre moyenne. Des relations simples reliant l'effort aux
caractéristiques géométriques de la section permettent de
déduire les contraintes dans la section. L'application de la
théorie des poutres à des structures simples comme les treillis
simples, conduit à des solutions analytiques complètes. En
revanche, pour les structures plus complexes comme le pylône, le recours
à une méthode numérique est nécessaire telle que la
méthode aux éléments finis qui est systématiquement
et aisément programmable. Le problème de l'analyse
linéaire des structures formées de poutres par la méthode
des éléments finis est bien connu. Nous nous limiterons, ici,
à évoquer les formulations éléments-finis
utilisées dans le GENIE avec les références
nécessaires pour l'analyse statique et modale des structures de type
treillis plans obtenus par assemblage de barres articulées aux
extrémités. Les éléments d'un treillis ne
travaillent qu'en traction ou compression. Ils sont modélisés par
des éléments finis de type barres (figure 3-1).
Figure 3-1 : discrétisation en
éléments finis d'un treillis plan
3-2 Concept de base de la méthode des
éléments finis
La méthode des éléments finis
(M.E.F.) est un des outils les plus efficaces et les plus
généraux pour l'analyse des structures dans de nombreux secteurs
de l'industrie : aérospatial, automobile, nucléaire, génie
civil, construction navale, mécanique, constructions off-shore, etc.
Dans le domaine du calcul des structures, la M.E.F. est une technique à
caractère pluridisciplinaire qui met en oeuvre des connaissances
relevant de plusieurs disciplines de base telles que la mécanique des
structures, l'analyse numérique et l'informatique appliquée. Les
bases théoriques de la M.E.F. reposent d'une part sur les
méthodes énergétiques de la mécanique des
structures et d'autre part sur les méthodes d'approximation spatiale des
fonctions. La M.E.F. est basée sur une décomposition du domaine
dans lequel on désire effectuer la simulation en sous-domaines de forme
géométrique simple appelés « éléments
finis » pour lesquels on procède à des approximations
nodales des champs de déplacements ou de contraintes qui prennent en
général la forme de fonctions polynomiales. L'ensemble de ces
éléments constitue ce que l'on appelle le maillage du domaine.
Ces éléments sont liés par un nombre fini de conditions de
continuité, exprimées en certains points communs à
plusieurs éléments appelés `noeuds'. Ce sont les
méthodes classiques du calcul des structures, méthode des
déplacements et méthode des forces, qui sont à la base de
la M.E.F. Selon que l'on approxime le champ des contraintes ou le champ des
déplacements, on crée le modèle contrainte ou le
modèle déplacement. Le modèle déplacement semble
plus commode à mettre en oeuvre car il s'adapte
généralement mieux aux problèmes de calcul des structures
et sera adopté dans ce qui suit. Dans la méthode des
déplacements, la formulation du problème est faite en fonction
des déplacements aux noeuds qui sont les inconnues cinématiques.
La structure est préalablement discrétisée en
éléments finis. Le
calcul est conduit suivant deux niveaux de formulation :
élémentaire au niveau de l'élément fini et globale
au niveau de la structure complète.
3-2-1 La formulation élémentaire au niveau de
l'élément fini
Pour chaque élément et dans un
repère local, on choisit une fonction d'interpolation qui
représente la variation des déplacements à
l'intérieur de cet élément en termes de
déplacements nodaux. Puis, on calcule pour chaque élément
ses matrices de rigidité et de masse ainsi que son vecteur des forces.
Ces caractéristiques élémentaires sont transformées
par la suite dans le repère global de la structure.
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