Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à l'aide de marqueurs moléculaires

3.3 Estimation de l'apparentement en milieu naturel : prise en compte de l'information spatiale

Le modèle de l'apparentement prenant compte de l'information spatiale a été décrit dans la définition 5. Les paramètres de ce modèle, sont les modes

d'IBD, IBD, pour tous les locus L et tous les couples C, Z le vecteur gaussien latent associé, le seuil á (variable ordinale à trois modalités, il n'y a qu'un seuil), l'effet couple 77 ainsi que les paramètre de régression lié à la distance, í, au et 0-²_ç. D'un point de vue bayésien, l'objectif est de pouvoir simuler selon la loi a posteriori

ðIBD,Z,á,ç,u,í,ó² ç|IBS(IBD,Z, á, 77, _au, í, 0-²_ç|IBS)

Nous donnons maintenant les lois conditionnelles complètes a posteriori des paramètres à estimer. Comme toutes les conditionnelles ne sont pas accessibles, nous utiliserons les algorithmes de Gibbs et de Métropolis-Hasting (Metropolis-HAsting within Gibbs). Nous nous plaçons désormais dans le cas d'une population non-consanguine.

Loi a posteriori du mode d'IBD La loi conditionnelle a posteriori du mode d'IBD du couple c au locus l est une loi discrète définie par les probabilités

p^l_i = P (IBD^li,c|Ä,IBS^lj,c)

=

P(IBS^lj,c|IBD^li,c)P(Z^lc E]ák_1, ák]|77_c)
P9 i=7 P(IBS^l_j|IBD^l_i)P(Z^l_{c E]ák_1,} ák]|77_c)

pour i = 7, 8, 9 et

ák

P(Z^l_{c E]ák_1,} ák] |77_c) = j ö(Z, 77_c, 1)

ak-1

oil ö(Z,77, 1) est la densité d'une loi gaussienne d'espérance 77 et de variance 1.

Loi a posteriori de la variable latente En reprenant les travaux de Chib et Greenberg (1998), la loi a posteriori de la variable latente Z, sachant le mode d'IBD, les seuils associés et le paramètre 77, est une loi gaussienne N(77, 1) tronquée sur l'intervalle _{]ák_1,} ák].

Loi a posteriori des seuils En reprenant les travaux de Chib et Greenberg (1998), nous proposons de simuler le seuil á selon la loi uniforme

á ~U[max(Z, IBD = 8), min(Z, IBD = 7)]

Loi a posteriori du paramètre ç En reprenant les calcul presente dans le chapitre 2, la loi conditionnelle complète a posteriori du paramètre ç est

ç|Z, u, í, ó_ç~ N

ó²_ç

(u + íd_c + ó²_çZ _,ó²ç 1 + ó_ç² 1 +

Loi a posteriori du paramètre u La densite de la loi conditionnelle complète a posteriori du paramètre u est

~ó2 ~

u0(ç - íd) , ó2 u0ó² ç

u|ç, d, í, ó2 ç ~ N ó2 u0 + _ó2 ó2 u0 + ó2

ç ç

Loi a posteriori du paramètre í La loi conditionnelle complète a posteriori du paramètre í est

~ó2 ~

í0d(ç - u) _óí20 ó_ç²

,

ç d, u, ó_ç²

ó20 _ó2^, _ó2 d2 _ó2 í

ç ç

Loi a posteriori du paramètre ó²_ç Nous choisissons come loi a priori du paramètre ó²_ç une inverse-gamma IG(m, s), et la loi conditionnelle complète a posteriori de la variance est donc une inverse-gamma

Cm + n (ç - u - ídY (ç - u - íd)

+ s2,

2

Les lois conditionnelles a posteriori du mode d'IBD d'un couple de genotypes et des paramètres ç, u, í, et ó²_ç sont connues mais la loi conditionnelle a posteriori des seuils n'a pas une expression analytique connue. Nous proposons un algorithme comportant une etape de Metropolis-Hastings pour la mise à jour de la loi des seuils et une etape d'echantillonnage de Gibbs pour les autres paramètres dont les lois a posteriori sont connues.