Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à l'aide de marqueurs moléculaires

Chapitre 1

Modélisation de l'apparentement :

prise en compte de l'information

spatiale

1.1 Introduction

L'objectif de ce chapitre est de développer un modèle statistique pour l'estimation de l'apparentement en prenant en compte l'information spatiale. La première partie décrit le modèle pour l'estimation de l'apparentement par maximum de vraisemblance lorsque les génotypes de deux individus sont observés et les fréquences alléliques sont connues. Nous étudierons ensuite le cas oil plus de deux individus sont observés et nous verrons que l'approche de Milligan s'insère dans un cadre plus large qui est celui de la vraisemblance composite. La vraisemblance composite ainsi que les propriétés de l'estimateur du maximum de vraisemblance composite seront ensuite présenté. Nous décrirons enfin le modèle spatial hiérarchique pour l'apparentement. Nous avons choisi, dans ce modèle, de considérer la distance spatiale entre les individus comme une covariable mais d'autres covariables comme le site expérimental ou la région pourraient aussi être envisagées.

1.2 Modèle de Milligan pour l'apparentement : approche par maximum de vraisemblance

Considérons que les observations portent sur le génotype d'un couple d'individus donné et que la distribution des fréquences alléliques est connue. Soit IBS ? {IBS1, IBS2, . . . , IBS9} le mode d'IBS observé en un locus et

A = (A1, . . . , A9) le vecteur des probabilités d'IBD du couple d'individus. La vraisemblance est égale à :

9

L(A; IBS) =

X i=1

P(IBSj|IBDi)Ai,, j ? {1, . . . , 9}. (1.1)

Les probabilités conditionnelles P(IBSj|IBDi) sont des fonctions polynômiales des fréquences alléliques et sont données au tableau 1.1. Pour L locus indépendants, la vraisemblance est simplement donnée par le produit des vraisemblances 1.1 :

L(A; IBS) = ₁₁^L 9 P(IBS^l_j|IBDi)Ai, j ? {1, . . . , 9}

l=1 i=1

oil IBS^l désigne le mode d'IBS observé au locus l. Notons bien que la probabilité d'IBD, A, est indépendante du locus considéré. En effet, le degré d'apparentement entre deux individus, qui est déterminé par la donnée des probabilités d'IBD A, est indépendant du locus considéré bien que chaque locus soit caractérisé par les fréquences alléliques à ce locus.

						Mode d'IBD IBDj
Mode d'IBS	Etat allélique	IBD1	IBD2	IBD3	IBD4	IBD5	IBD6	IBD7	IBD8	IBD9
IBS1	AiAi, AiAi	fi	f2 i	f2 i	f3 i	f2 i	f3 i	f2 i	f3 i	f4 i
IBS2	AiAi, AjAj	0	fifj	0	fif^2 j	0	f2 i fj	0	0	f2 i f2 j
IBS3	AiAi, AiAj	0	0	fifj	2f^2i fj	0	0	0	f^2i fj	2f^3i fj
IBS4	AiAi, AjAk	0	0	0	2fifjfk	0	0	0	0	2f^2i fjfk
IBS5	AiAj, AiAi	0	0	0	0	fifj	2f^2i fj	0	f^2i fj	2f^3i fj
IBS6	AjAk, AiAi	0	0	0	0	0	2fifjfk	0	0	2f^2i fjfk
IBS7	AiAj, AiAj	0	0	0	0	0	0	2fifj	fifj(fi + fj)	4f^2i f^2j
IBS8	AiAj, AiAk	0	0	0	0	0	0	0	fifjfk	4f^2i fjfk
IBS9	AiAj, AkAl	0	0	0	0	0	0	0	0	4fifjfkfl

TAB. 1.1 - Probabilités d'observer le mode d'IBS sachant le mode d'IBD ; fk est la fréquence de l'allèle Ak et des allèles avec des indices différents sont distincts.

1.2.1 Estimation des paramètres

L'estimateur du maximum de vraisemblance A^à de A est obtenu en maximisant la fonction de vraisemblance dans l'espace des paramètres de dimension 8 en raison de la contrainte sur les paramètres P9j=1 Aj = 1. Si nous supposons que les individus sont non consanguins il n'est pas possible que les

individus aient reçus en un locus deux copies du même allèle parental et ainsi un couple d'individus donné ne peut avoir à locus qu'une unique possibilité d'avoir 2, 1 ou aucun allèle(s) IBD et ces cas correspondent respectivement aux modes d'IBD IBD7, IBD8 et IBD9 (voir figure 3). L'estimateur du maximum de vraisemblance sera obtenu par optimisation de la fonction de log-vraisemblance sur l'espace des paramètres (L7, L8, L9) qui est de dimension 2 en raison de la contrainte P9 i=7 Li = 1. Comme le plus souvent il n'est pas possible d'obtenir une solution analytique, la procédure d'optimisation proposée par Milligan (2003) est basée sur une conversion de la méthode du simplex qui est une technique d'optimisation numérique avec contraintes (Press et al., 1992).