Amélioration du transit de puissance par les facts et simulation sur Matlab/Simulink d'un réseau électrique.

CHAPITRE 1 : APPROCHE MATHEMATIQUES SUR LES ELEMENTS D'UNE LIGNE DE TRANSPORT HAUTE TENSION

1-1 INTRODUCTION

Les réseaux électriques sont depuis longtemps l'objet d'études dans le but de maîtriser leur bon usage pour les processus qu'ils alimentent : les principaux aspects abordés sont la conception, l'exploitation et l'évolution. A noter que, dans ce document, le vocable « processus » est utilisé avec son sens général « d'application » pour l'utilisateur d'électricité (tertiaire, infrastructure, industrie, gestionnaire de réseau). L'importance donnée à ces études est cependant croissante dans le contexte mondial récent. L'objectif des calculs est d'analyser et prévoir les réactions du système aux diverses sollicitations ; leur portée touche l'élaboration de l'architecture, les choix des caractéristiques des matériels et les règles d'exploitation.

Le processus global de mise en oeuvre des calculs portant sur ces différents aspects suit une démarche scientifique classique, donc simple sur le principe mais précise et rigoureuse dans son exécution. Dans ce paragraphe seront successivement abordés les étapes de la méthode de calcul des éléments R, L, C d'une ligne haute tension.

1-2 LES ETAPES DE LA METHODE DE CALCUL

Les différentes étapes du calcul des systèmes électriques sont décrites tel qu'il suit :

· Besoin

La finalité du calcul est de prévoir le comportement quantitatif d'un système réel afin de le dimensionner ou de connaître son fonctionnement ou de maîtriser son exploitation.

· Analyse qualitative

L'analyse a priori du système par l'expérience et le savoir-faire, permet d'établir une liste qualitative des phénomènes importants pour l'application.

· Phénomènes & évènements étudiés

Cette étape consiste à sélectionner, à partir de l'analyse précédente, les phénomènes sur lesquels seront faits les calculs.

Ø Analyse quantitative

La mise en oeuvre de l'outil numérique de quantification comporte :

Ø De la modélisation

Modéliser un réseau électrique, c'est représenter chaque élément et toutes les interconnections entre ces éléments, par les équations traduisant les comportements électrique, magnétique et mécanique ; cette formalisation doit être adaptée aux phénomènes qui sont étudiés.

Ø De la simulation

Simuler un réseau électrique, c'est résoudre simultanément toutes les équations du modèle. La mise en oeuvre de la simulation sur ordinateur se fait par l'exécution d'un programme de calcul. Ainsi dans notre étude nous avons choisit comme outil de simulation le logiciel MATLAB/SIMULINK^TM.

1-3 METHODE GENERALE DE CALCUL

Sur une ligne de transport électrique on rencontre :

v L'impédance effective longitudinale (composée de la résistance linéique R'=R₁ et de la réactance linéique X' = jùL₁) :

Z_{llongitidunale} = R^' + jX' [Ù/m] (1.1)

v L'impédance effective transversale composée de la susceptance linéique :

Y' = jùC' [S/m] C' (1.2)

1-4 / LES RESEAUX SYMETRIQUES

Tous les réseaux électriques peuvent être représentés à l'aide d'une matrice d'impédance `Z' telle que :

U = Z I [V] (1.3)

Où `U' est le vecteur tension phase/neutre et

`I' le vecteur courant de phase.

Ainsi on peut définir la matrice d'une ligne en la matérialisant sous la forme matricielle ci-dessous.

(1.4)

1-5 MATRICE DES RESISTANCES ET DES INDUCTANCES LOGITUDINALES LINEIQUES

En considérant la tension induite entre conducteurs définie par l'expression ci-dessous :

(1.5)

Dans l'hypothèse d'un réseau triphasé parfaitement équilibré nous avons trois phases variant sinusoïdalement, d'où la relation matricielle:

(1.6) où

« s = j.ù ».

« R3' » et « Rn' » sont les résistances linéiques des conducteurs `3' et `n',

L'inductance mutuelle linéique (1.7)

L'inductance linéique propre (1.8)

Or, nous avons (régime équilibré) : (1.9)

1-6 NOTION DE MATRICE D'IMPEDANCE EFFECTIVE

En diagonalisant la matrice (1.6) nous avons :

(1.10)

Ceci revient donc à étudier séparément chaque phase, chacune ayant une impédance dite

« Effective ». A présent, considérons que la géométrie des trois phases est également symétrique.

Nous avons alors :

M'12 = M'13 = M'23 = M ;

M'11 = M'22 = M'33 = L

R'1 = R'2 = R'3 = R'.

Ordres de grandeur :

R = 0,03

X = 0,3 (conducteurs en faisceau) [Ù/km]

X = 0,4 (conducteurs simple)

L'étude d'un seul circuit donne directement la solution globale du système triphasé par la matrice.

(1.11)

- U'= R'+s(L'-M').I = Z'eff · I (1.12)

S'il n'y a pas de transposition et que la ligne est courte, nous pouvons suggérer, à titre de simplification, de moyenner les impédances effectives des trois phases comme suit :

(1.13)

(1.14)

(1.15)

De ces transformations, nous obtenons trois relations identiques. Au lieu d'analyser tout le système, nous pouvons n'étudier que le comportement d'une phase.

(1.16)

Où

Z^' _eff est l'impédance effective [Ù/m] ;

X=ù (L-M) la réactance effective [Ù/m] ;

R est la résistance linéique du conducteur [Ù/m] ;

L est la self inductance linéique [H/m] ;

M est l'inductance mutuelle linéique [H/m].

1-7 LE SYSTEME PER UNIT, PUISSANCE, TENSION, PUISSANCE ET COURANT DE BASE

Le système « Per Unit » est un système de grandeurs réduites qui permet aux spécialistes en électricien d'avoir constamment à l'esprit des ordres de grandeurs relatifs de certains paramètres indépendamment des niveaux de tension et de puissance.

La puissance complexe traversant la section ð est donnée par :

[VA] (1.17)

Elle se décompose en

- puissance active = P [Watt]

- puissance réactive = Q [Var]

La puissance apparente, s'exprime en Volts Ampères ; le déphasage entre et est représenté par l'angle `?' dont le cosinus est appelé « facteur de puissance ». La tension (?-N) et le courant sont liés entre eux par la loi d'Ohm :

(1.18)

Nous définissons le système de grandeurs réduites « Per Unit » de la manière suivante :

(1.19)

[V] (1.20)

[VA] (1.21)

(1.22)

Dans le système lié aux grandeurs de base (qui sont, de préférence, réelles !), nous avons :

(1.23)

[Ù] (1.24)

La puissance complexe en pu devient, en fonction de l'impédance `Z_pu' :

(1.25)

Remarque : Nous définissons l'admittance de base et l'admittance en pu :

(1.26)

(1.27)

La puissance complexe en pu devient, en fonction de l'admittance Y en pu :

(1.27)

1-8 CHUTE DE TENSION SUR UNE LIGNE

Considérons une impédance de ligne `Z' dans un système triphasé (figure 2.3). En désignant par `V' la tension phase/neutre (comme il est d'usage), nous avons directement (Kirchhoff) : [V] (1.28)

D'après les définitions introduites plus haut, il vient : [V] (1.29)

Nous obtenons donc : (1.30)

Généralement, les valeurs d'impédances des générateurs et transformateurs fournies par les constructeurs sont donnée dans un système PER Unit dont les grandeurs de base correspondent aux tensions et puissance nominales (par construction) de l'appareil. Nous pouvons écrire, pour deux systèmes de base différents les expressions : (1.31)

D'où : (1.32)

Pour les admittances, nous obtenons une formule analogue :

(1.33)

1-9/ MODELISATION DE LIGNES

Le modèle mathématique d'une ligne aérienne ou souterraine peut, pour des longueurs de lignes pas trop élevées (l = 100 km) et à la fréquence du réseau, être représenté sous la forme d'un schéma `ð' (figure 1.4). Ce schéma en `ð' possède une impédance longitudinale comprenant la résistance linéique et la réactance linéique de la ligne et deux admittances transversales d'extrémité reprenant chacune la moitié de la susceptance totale. Ce schéma se met donc sous la forme :

Figure 1. 1 : Modèle simplifié des lignes de transmission électriques

Où :

R : est la résistance linéique de la ligne [Ù/m] ;

X = ù. Lu est la réactance longitudinale linéique de la ligne [Ù/m] ;

Y/2 = ù. Cu/2 est l'admittance transversale linéique [ìS/m] ;

L est la longueur de la ligne [m].

1-10 MODELISATION DES TRANSFORMATEURS

Soit un transformateur monophasé possédant N₁ et N₂ spires respectivement au primaire et au secondaire (n = N₁/ N₂). En transposant la branche magnétisante en tête du circuit, son schéma équivalent peut se représenter comme ci-dessous :

U₂

U₁

Figure 1.2 : Modèle du transformateur

· R étant la résistance des enroulements primaires et secondaires :

R = R₁ + N₂. R₂ [Ù] (1.34)

· X étant la réactance de fuite du transformateur :

X = X _f1 + N₂. X_f2 [Ù] (1.35)

· Xì étant la réactance magnétisante :

Xì = n. X_M [Ù] (1.36)

1-11 MODELISATION DES MACHINES SYNCHRONES

Du point de vue des réseaux d'énergie, la machine synchrone ou `alternateur', est un convertisseur électromécanique qui, à partir de l'énergie mécanique fournie par un moteur, renvoie dans le réseau de l'énergie électrique sous forme triphasée. Les puissances ainsi mises en jeu varient considérablement : depuis quelques MW pour un alternateur d'une petite centrale, jusqu'à 1300MW pour un groupe de production d'une centrale nucléaire. Le schéma équivalent d'une phase de la machine synchrone est :

Figure 1.4 : Modèle simplifié de la machine synchrone

« EV » est la tension induite aux bornes du rotor ;

« R » est la résistance d'un enroulement statorique ;

« XS » est la réactance synchrone. Son ordre de grandeur est de 2 pu dans la base qui correspond aux paramètres nominaux de la machine.

L'équation permettant de modéliser le comportement de la machine synchrone est :

Les valeurs de R et Xs dépendent du régime considéré :

Xs (pu) possède une valeur : - nominale ~1 à 2 ;

- transitoire ~ 0,10 à 0,5 ;

- sub-transitoire ~ 0,01 à 0,05.

Pour un calcul de répartition de charge (Load Flow), on considère la valeur nominale.

Pour un calcul simplifié de court-circuit, on considère la valeur transitoire ou sub transitoire.

1-12 CONCLUSION

Dans ce premier chapitre, notre intérêt était de résumer un certain nombre de calculs qui nous ont semblé être utiles pour la suite de notre travail de recherche. Pour cela nous avons constaté que pour des modélisations qui seront effectuées dans les chapitres avenir, la matérialisation des équations sous la forme matricielle semble plus malléable et aisé.

CHAPITRE 2 : ANALYSE DES CHARGES ET DES PUISSANCES SUR UN RESEAU

2-1/ INTRODUCTION

Une analyse des écoulements d'énergie et de charges dans un réseau est nécessaire pendant la conception et lors d'ajouts pour déterminer: les tensions des barres, les courants dans les lignes et les câbles, les valeurs des puissances actives et réactives partout dans le système et le facteur de puissance aux différentes charges, l'emplacement de groupes de condensateurs afin d'améliorer le profil de tension ou encore, pour diminuer la facturation. Cette analyse des écoulements d'énergie et de charges aussi importante soit elle car solution d'équilibre énergétique du réseau sera le point de départ pour effectuer une analyse de stabilité. Les équations de l'énergie ponctuelle (la puissance) sont des équations non linéaires en tension et ne sont solutionnables que par itération.

2-2 / FORMULATION DU PROBLEME)

Nous avons une série de charges à alimenter à partir de générateurs. Tous sont dispersés et reliés entre eux par un réseau de liaison maillé. Les capacités de production des différents générateurs étant connues, comment calculer l'état électrique complet du réseau, c'est à dire les courants, tensions et puissances ? Ce problème général est connu sous le nom de calcul de répartition de charges. Ce calcul fait référence à des conditions « normales » de fonctionnement et à un régime établi.

2-3/ CONSTITUTION D'UN RESEAU

2-3-1/ LES GENERATEURS

Les générateurs peuvent fournir une puissance active et fournir ou absorber une puissance réactive dans certaines limites. Les groupes importants tentent de maintenir à leurs bornes un niveau de tension donné.

2-3-2/ LES CHARGES

La consommation d'énergie électrique est le fait de tous les secteurs de la vie économique : industries, services, ménages. Elle se présente sous des formes très diverses : moteurs synchrones et asynchrones, appareils de chauffage, ... Au contraire des générateurs, nous ne pouvons individualiser chaque consommation. C'est l'agrégat de consommation en un noeud du réseau qui constitue la `charge' (Load) caractérisant ce noeud. La puissance appelée par la charge varie avec la tension et la fréquence qui règnent au droit de cette charge. Toutefois, une analyse en régime stationnaire suppose la constance de la fréquence [7]. Dans le cadre de cette étude, nous supposerons qu'une charge peut être vue comme consommatrice de puissances active et réactive (P_L, Q_L) constantes. Q_L peut être positive (cas d'une charge inductive) ou négative (cas d'une charge capacitive). Un noeud intermédiaire (poste d'aiguillage) qui n'est pas relié directement à une charge et/ou un générateur sera considéré comme un noeud « charge » dont les valeurs de P et Q sont nulles.

2-4/ BILAN DE PUISSANCE ET BALANCIER

2-4-1/ BILAN DE PUISSANCES

Le bilan de puissance active du réseau s'écrit :

ÓP_G =ÓP_L + pertes actives du réseau (2.1)

La somme des puissances actives injectées par les générateurs est égale à la somme des puissances actives absorbées par les charges, augmentée des pertes actives du réseau (résistance des lignes, des câbles, etc.). L'ordre de grandeur des pertes est de 5 %. Le bilan de puissance réactive du réseau s'écrit :

ÓQ_G = ÓQ_L + générations ou consommations réactives du réseau (2.2).

Les sommes des puissances réactives injectées ou absorbées par les générateurs est égales à la somme des puissances réactives consommées/produites par les charges augmentées de la somme des consommations/productions réactives du réseau (réactance des lignes, des câbles, transformateurs, banc de condensateurs etc.). L'ordre de grandeur des consommations/productions réactives du réseau est très variable et peut être relativement élevé. Le problème qui survient à ce niveau est qu'il n'est pas possible de prédire les termes qui viennent du réseau de manière directe. En effet, ceux-ci dépendent des niveaux réels de tension et de la répartition du transit de puissance dans les lignes et les transformateurs. Or, c'est précisément ce transit que nous cherchons à déterminer.

2-4-2/ LE GENERATEUR BALANCIER

Ne connaissant pas les pertes actives en ligne, nous ne pourrons pas imposer P en tous les noeuds (générateurs et charges). Pour résoudre notre problème de « Load Flow », il faut donc un noeud particulier (dont le rôle est assuré en pratique par un groupe important ou un accès à un réseau important) auquel la puissance active ne pourra être imposée, mais résultera de notre calcul. Nous avons vu qu'à chaque noeud d'un réseau il faut imposer deux des quatre valeurs P, Q, V et ä (phase de V). Vu sa nature, ce noeud particulier se verra également imposé comme référence de tension et de phase (ä pris, assez naturellement, à 0) [8]. Nous introduisons donc, dans le schéma équivalent du système étudié, un générateur particulier, dit « générateur balancier » ou « slack bus ». Celui-ci permettra de faire intervenir dans les calculs les pertes actives du réseau tout en respectant les bilans de puissances décrits au paragraphe précédent. Considérons le problème élémentaire d'un générateur (V_G, P_G) alimentant une charge (P_L, Q_L) à travers une ligne triphasée. Celle-ci sera modélisée par son schéma équivalent en ð. Ce schéma doit répondre à la contrainte (en pu) :

(2.3)

Figure 2.1 : Schéma unifilaire d'une transmission de puissance simple

Les expressions des puissances actives et réactives injectées aux noeuds G et L sont données par les formules (3.4). Elles font intervenir les tensions et phases de chaque noeud. La connaissance des tensions et phases en chaque noeud nous permet de déterminer toutes les puissances complexes injectées ainsi que les transits (S et I complexes) entre chaque noeud. Selon les conventions de la figure 3.5 et notant Z_Line =, nous avons : [6]

(2.4)

En résumé, le problème de la répartition de charge d'un réseau donné est correctement posé si nous considérons, en chaque noeud du réseau, un des types de contraintes ci-dessous :

· P et Q imposés :

Noeud où est connecté une charge (avec le cas particulier P et Q = 0), représentent environ 80% des noeuds.

· P et V imposés :

Noeud où est connecté un générateur destiné à soutenir la tension, (environ 20% des noeuds).

· V et ä imposés:

Noeud où est connecté un générateur qui joue le rôle de balancier. Il n'y en a qu'un seul.

2-5/ FORMULATION A L'AIDE DE LA MATRICE D'ADMITTANCE

Pour la résolution d'un problème de répartition de charges, il est plus commode de travailler avec les admittances plutôt qu'avec les impédances. Nous commencerons par un bref rappel des formules relatives à l'application de la méthode dite « de la matrice d'admittance » pour le calcul d'un réseau électrique quelconque. Supposons que les éléments de liaison du réseau soient représentés par leur schéma équivalent en ð. Le circuit ainsi obtenu peut être vu par chacun des noeuds qui correspondent aux jeux de barres du réseau. Vu la facilité avec laquelle les termes de la matrice d'admittance peuvent être calculés, elle constitue le point de départ de la plupart des méthodes de calcul de la répartition des charges. Cette méthode nous amène à la résolution d'équations non linéaires. Supposons que le réseau soit composé d'éléments linéaires. Le circuit obéit alors à la loi :

(2.5)

Où ` ' est la tension phase/terre et ` ' le courant injecté en un noeud. La matrice ` ' est appelée « matrice d'admittance aux noeuds ».

La valeur des composantes de la matrice d'admittance est établie par inspection de la manière suivante :

· L'admittance propre « Y_ii », associée au noeud `i', est égale à la somme des admittances des branches incidentes à ce noeud.

· L'admittance de transfert « Y_ki », associée aux noeuds `k' et `i', est égale à l'admittance de la branche qui joint ces deux noeuds, changée de signe.

La puissance injectée au noeud `i' vaut :

(2.6)

A partir de la relation (3.5), nous pouvons exprimer de la manière suivante :

(2.7)

Où « n » représente le nombre total de noeuds. Dès lors,

(2.8)

et nous pouvons exprimer les composantes réelles et imaginaires de la puissance injectée en chaque noeud de la manière suivante [4]:

(2.9)

(2.10)

A ce stade, il existe plusieurs façons de résoudre le système. En exprimant les équations relatives aux P_i et Q_i connus (P_i pour les noeuds `P<sub>V</sub>' des générateur ; P<sub>i</sub> et Q<sub>i</sub> pour les noeuds `P_Q' des charges et aucune pour le noeud P_V), nous obtenons un système d'équation dont la résolution est généralement plus complexe au fur et à mesure que le nombre de noeuds croît. La résolution manuelle d'un tel problème n'est envisageable que pour un nombre de noeuds très réduit. Les systèmes plus complexes nécessiteront un soutien numérique à la résolution.

Les résolutions, basées sur les méthodes itératives de Gauss-Seidel et Newton-Raphson sont envisageables souvent lorsque l'on ne dispose pas de logiciels. La méthode de Newton-Raphson est basée sur les équations (2.10) tandis que Gauss-Seidel s'appuie sur l'équation (2.11) qui est une variante de (2.8) pour l'itération [6].

(2.11)

Les deux méthodes utilisent des estimations des variables inconnues comme valeurs initiales pour les itérations. Il existe une méthode plus simple pour faire l'estimation du « load flow». Elle peut également servir pour l'estimation des valeurs de départ des méthodes décrites précédemment. C'est la méthode des courants continus. Cette méthode est acceptable pour les réseaux aériens à haute tension car nous négligeons la résistance et la réactance transversale de la ligne devant la réactance longitudinale R >> XL >> XC. Elle consiste à admettre que toutes les tensions sont, en module, égales à 1 pu (les écarts dans un réseau sain sont de l'ordre de quelques %) et que les déphasages aux extrémités des lignes sont faibles (quelques degrés).

A partir de la formule (3.9), la puissance active circulant dans la ligne du noeud m vers le noeud n (en tenant compte des simplifications décrites) peut se réécrire :

(2.12) où X_ik est la réactance de la ligne située entre les noeuds i et k. En écrivant le système associé à l'expression (2.12), nous pouvons dès lors estimer les Pi et äi inconnus.

2-6/ DIRECTION DE L'ENERGIE ENTRE DEUX BARRES OMNIBUS

Il est écrit dans les textes traitant de la direction de l'écoulement de l'énergie que cet écoulement se fait à partir de la barre qui est en avance de phase  vers celle qui est en retard. Le problème se présente sous forme générale tel qu'illustré à la figure 3.2 Noter la distinction entre le neutre et le sol.

Figure 2.2 est la représentation d'une des phases avec un neutre de système balancé.

La figure 3.3 illustre les relations de phase pour le cas de transfert d'énergie de la barre #1 à la barre #2 en négligeant Réel (Z) de la ligne de transmission ce qui facilite la compréhension des principes à illustrer. Si l'on remplace |I|sin et |I|cos : [6]

La figure 2.3 illustre les relations de phase

(2.13)

Chaque expression d'un schéma unifilaire utilise une notation à deux indices suivant la règle: pour les variables d'écoulement i.e. les S et les I,

Le premier indice indique l'origine,

Le deuxième indice indique la destination.

Pour les variables d'états i.e. les V on donne l'état de la barre "premier indice" par rapport au "deuxième indice". Pour les paramètres physiques i.e. les Z, on indique que le raccordement est entre le "premier indice" et le "deuxième indice".

Les relations suivantes sont donc vraies et on pourrait en écrire plusieurs autres similaires mais peut-être non nécessaires [6]. En réalité, S = 0 à chaque barre donne les équations pour déterminer le profil de tension et les autres inconnues si un choix judicieux des données se fait dès le départ.

2-7/ CONCLUSION

L'analyse des charges sur un réseau réseau électrique est une étape très importante dans l'étude du transit de puissance et cela permet de mieux maîtrise le niveau de puissance à chaque point du réseau c'est-à-dire à chaque charge. Pour mieux le montrer, nous avons essayés de ressortir les équations mathématiques essentielles et les étapes importantes dans le calcul de l'écoulement de puissance.