Annexe 2
Preuve que le Jacobien du changement de variables (1.31)
est :
?(p', q')
?(p, q)
p'0q'0
= _(1.33)
p0q0
Le Jacobien du changement de variables (p, q)
(p', q') défini par (1.31)
est donné par :
|
?(p', q')
?(p,q)
|
=
|
????????????????
|
?p'1 ?p1
?p'2 ?p1
?p'3 ?p1
?q'1 ?p1
?q'2 ?p1
?q'3 ?p1
|
?p'1 ?p2
?p'2 ?p2
?p'3 ?p2
?q'1 ?p2
?q'2 ?p2
?q'3 ?p2
|
?p'1 ?p3
?p'2 ?p3
?p'3 ?p3
?q'1 ?p3
?q'2 ?p3
?q'3 ?p3
|
?p'1 ?q1
?p'2 ?q1
?p'3 ?q1
?q'1 ?q1
?q'2 ?q1
?q'3 ?q1
|
?p'1 ?q2
?p'2 ?q2
?p'3 ?q2
?q'1 ?q2
?q'2 ?q2
?q'3 ?q2
|
?p'1 ?q3
?p'2 ?q3
?p'3 ?q3
?q'1 ?q3
?q'2 ?q3
?q'3 ?q3
|
????????????????
|
|
?(p',
q')
?(p, q)
|
=
|
????????????????
|
1 + ?C
?p1 ù1 ?p2 ù1
?C ?p3 ù1
?C ?q1 ù1
?C ?q2 ù1
?C ?q3 ù1
?C
?p1 ù2 1 + ?C
?C ?p2 ù2 ?p3 ù2
?C ?q1 ù2
?C ?q2 ù2
?C ?q3 ù2
?C
?p1 ù3
?C ?p2 ù3 1 + ?C
?C ?p3 ù3 ?q1 ù3
?C ?q2 ù3
?C ?q3 ù3
?C
_ ?C w1 _
aCwi _
aCù1 1 _
?C _ ?Cwi _
aCù1
?p1 a,2 ap3 ?q1
?q2 aq3
_ ?C ù2 _ ?C
ù2_ ?Cù2 _
?Cù2 1 _
?C ù2 _ ?C
ù2
?p1 ?p2 ap3 aq1
?q2 ?q3
_ ?Cw3
_aCw3
_aCw3
_aCù3
_?Cù3 1 _
?C ù3
?p1 a,2 aP3 aq1
?q2 ?q3
|
????????????????
|
où C(p, q, ù) est tout
simplement noté C, ù =
(ù1, ù2, ù3). En
effectuant les opérations élémentaires L4 - L1 +
L4 ; L5 - L2 + L5 ; L6 - L3 + L6,
on obtient :
?(p', q')
?(p, q)
= ????????????????
1 + ?C
?p1 ù1 ?p2 ù1
?C ?p3 ù1
?C ?q1 ù1 ?C
?C ?q2 ù1 ?C
?q3 ù1
?C
????????????????
?p1 ù2 1 + ?C
?p2 ù2 ?p3 ù2
?C ?q1 ù2 ?C
?C ?q2 ù2 ?C
?q3 ù2
?p1 ù3
?C ?p2 ù3 1 + ?C
?C ?p3 ù3 ?q1 ?C
ù3 ?q2 ?C ù3
?C
?q3 ù3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
Mémoire de MASTER 51 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
3.2 Existence globale des solutions
Des opérations élémentaires C1
?- C1 -C4 ; C2 ?- C2 -C5 ;
C6 ?- C3 -C6, on obtient:
|
?(p',
q')
?(p, q)
|
=
|
????????????????
|
1 + ( ?C
?p1 - ?C )ù1 ( ?C
?p2 - ?C )ù1 ( ?C
?p3 - ?C )ù1 ?C
?q1 ù1 ?q2 ?C
ù1 ?C
?q3ù1
?q1 ?q2 ?q3
( ?C
?p1 - ?C )ù2 1 + ( ?C
)ù2 ?q1ù2 ?C
?C
?p2 - ?C )ù2 ( ?C
?p3 - ?C ?q2ù2 ?C
?q3ù2
?q1 ?q2 ?q3
( ?C
?p1 - ?C )ù3 ( ?C
?p2 - ?C )ù3 1 + ( ?C
?p3 - ?C )ù3 ?C
?q1 ù3 ?q2 ?C
ù3 ?C
?q3 ù3
?q1 ?q2 ?q3
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
|
????????????????
|
[ (?C ) ][
(?C ) ( ?C ) ]
= 1+ ù1 1+ ù3
?p1 - ?C ?p2 - ?Cù2+
?p3 - ?C
?q1 ?q2
?q3
(?C ) )( ?C
-ù1ù2 ?p1 - ?C
)( ?C (?C
-ù1ù3 )
?p2 -?C ?p1 - ?C ?p3 - ?C
?q1 ?q2
?q1 ?q3
( ?C ) ( ?C ) (
?C )
= 1 + ù3
?p1 - ?C ù1 + ?p2 - ?C
ù2 + ?p3 - ?C
?q1 ?q2
?q3
|
d'où :
|
?(p',
q')
?(p, q)
|
( ?C ) ( ?C ) ( ?C
)
= 1+ ù1+ ù2+
ù3 (1)
?p1 - ?C ?p2 - ?C ?p3 -
?C
?q1 ?q2
?q3
|
( ) ( ) ( )
?C
Calculons ?p1 - ?C ?C ?C
, ?p2 - ?C et ?p3 - ?C .
?q1 ?q2 ?q3
On pose :
A=2p0q0?eù·(?q-?p)et
B=?e2- [ù · (p +
q)]2
(1.32) donne :
A
C = B
d'où :
?C
?C
?pi
?qi =
i = 1, 2, 3 (2)
B(aP - aq) - A(ap
- aq)
,
B2
or
A = 2p0q0?e
ù · (?q - ?p)
= 2?e ù · (p0q -
q0p)
=
2?e[a2ù1(p0q1
- q0p1) +
b2ù2(p0q2
- q0p2) +
b2ù3(p0q3
- q0p3)]
Mémoire de MASTER 52 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
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