Conception et modélisation d'un capteur acoustique

1.5 Équations de la piézoélectricité

L'effet piézoélectrique est la conséquence d'un couplage entre le comportement électrique et mécanique d'un matériau piézoélectrique. Lorsque le phénomène de la pyroélectricité est négligeable (i.e. l'effet thermique est négligeable), l'effet piézoélectrique peut se traduire par les 8 équations fondamentales reliant les grandeurs électriques (champ électrique "E" et induction "D") aux grandeurs mécaniques (contrainte "T" et déformation "S") comme indiqué dans le tableau 1.1 [20,36].

Variables indépendantes	Type	Relation piézoélectrique	Forme
T,E	Extensives	S=s^E . T + d ??.E D=d .T + å^T.E	Forme-d
S,D	Intensives	T=c^D . S -h ??.D E=-h. S +â1^S .D	Forme-h
T,D	Mixtes	S=s^D.T +g ^??.D E=-g.T + â^T.D	Forme-g
S,E	Mixtes	T=c^E. S .E - e^t . D=e. S + å^S.E	Forme-e

Tab. 1.1 -- Équations de la piézoélectricité

Le tableau 1.2 récapitule les différentes grandeurs électriques, mécaniques et piézoélectriques ainsi que leurs significations.

Symbole	Signification	Unité	Dimension
D	Déplacement électrique ou induction	C/m^2	(3×1)
E	Champ électrique	V/m
å	Permittivité électrique	F/m	(3×3)
â	Constante d'imperméabilité diélectrique	m/F
S	Déformation relative	--	(6×1)
T	Contrai nte mécanique	N/m2
s	Compliance ou susceptibilité élastique	m2/N	(6×6)
c	Raideur ou constante élastique	N/m2
d	Coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre l'induction et la contrainte à champ électrique constant	C/N	(3×6)
e	Coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre l'induction et la déformation à champ électrique constant	C/m^2
g	Coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre la contrainte et le champ résultant à induction constante	V.m/N
h	Coefficient piézoélectrique traduisant la proportionnalité entre la déformation et le champ résultant à induction constante	V/m

Tab. 1.2 - Grandeurs électriques, mécaniques et piézoélectriques

avec :

· X ^t est la transposé de la matrice X.

· X^E indique que la grandeur X est considérée à champ électrique constant.

· X^D indique que la grandeur X est considérée à induction électrique constante.

· X^T indique que la grandeur X est considérée à contrainte constante.

· X^S indique que la grandeur X est considérée à Déformation constante.

Remarques :

· Le coefficient piézoélectrique d (ou e,g,h ) est identique pour le comportement électrique et le comportement mécanique du matériau piézoélectrique. Ceci signifie que la piézoélectricité requiert l'interaction entre ces deux comportements.

· Comme cas particulier, si le matériau est non piézoélectrique (d=e=g=h=0), le comportement électrique et le comportement mécanique sont découplés.