Chapitre 2
Programmation dynamique sous le
modèle GARCH
Les modèles de la famille GARCH ont été
présentés, en premier lieu, par Bollerslev en 1986 et depuis ont
eu un énorme succès dans la description de la variation de la
volatilité dans le temps. En 1995, Duan a proposé un
modèle d'évaluation d'options dans lequel la dynamique du
sous-jacent est décrite par un processus GARCH à temps discret et
avec innovations gaussiennes. Nous présentons dans cette section le
modèle développé par Duan, la formulation de la
programmation dynamique pour évaluer les options à
barrière ainsi que les approximations polynomiales associées.
2.1 Le modèle GARCH pour l'évaluation des
options
2.1.1 Le modèle général
On considère une économie à temps discret
où l'intervalle de temps [t, t + 1] constitue "un jour" sans perte de
généralités. La dynamique du sous-jacent et de sa
volatilité conditionnelle sous la loi de probabilité physique P
est donnée par :
|
St+1 lnSt
|
1 p = r + t+1 - 2Ht+1 +
Ht+1"t+1
|
Ht+1 = g(Ht,$t) (2.1)
"t+1 j Ft ~ N (0, 1),
P
2.1. LE MODÈLE GARCH POUR L'ÉVALUATION DES
OPTIONS
où St est le cours du sous-jacent à la date t, r
le taux d'intérêt sans risque pour une période, Ht+1 sa
variance conditionnelle et €t+1, conditionné aux
informations Ft à la date t, est une variable aléatoire qui suit
la loi normale d'espérance nulle et de variance égale à
l'unité. t+1 est une prime de risque.
La fonction g est une fonction spécifique à un
modèle GARCH bien déterminé. On rappelle ici qu'on utilise
des spécifications GARCH au premier ordre (seulement une période
de décalage). Dans nos résultats numériques, on va
présenter les deux types GARCH suivants:
Le NGARCH(1,1) (non-linear asymmetric GARCH):
p
t+1 = À Ht+1 (2.2)
Ht+1 = /0 + /1Ht + /2Ht("t -- 0)2,
le HNGARCH(1,1) (Heston & Nandi GARCH) proposé par
Heston et Nandi (2000) :
1
t+1 = (À+ 2)Ht+1 (2.3)
p
Ht+1 = /0 + /1Ht + /2("t -- 0 Ht)2,
où À est une prime de risque et /0 > 0, /1 ~ 0,
/2 ~ 0 et 0 sont des paramètres réels qui satisfont des
conditions de stationnarité du modèle.
A part ces deux modèles GARCH, une multitude d'autres
modèles GARCH(1,1) peuvent être utilisés. On
présente dans le tableau suivant la fonction g des différents
modèles les plus utilisés dans les marchés financiers.
TAB. 2.1: Exemples de modèles GARCH
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AGARCH
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Ht+1 = /0+ /1Ht + /2(Et + 0)2
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VGARCH
|
|
|
Ht+1 = /+ /1Ht + /2( "t/ + 0)2
0
t
|
|
EGARCH
|
ln(Ht+1) = /0 + / 1 ln(Ht) + /2( "t -- 0"t)
|
|
GJR-GARCH
|
Ht+1 = /0+ /1H t +/2"2
t+ /3H t max(--"t, 0)
|
2.1.2 Le modèle de Duan (1995)
En 1995, Duan a montré qu'il pouvait écrire les
équations du système (2.1) avec une autre loi de
probabilité Q en effectuant le changement de variable Et = €t +
~tpHt :Ainsi, la dynamique du sous-jacent devient :
|
st+1 lnSt
|
= r-
|
1
2
|
\/Ht+1 + Ht+1Et+1
|
Ht+1 = g(Ht,Et) (2.4)
Q
Et+1 j Ft ~ N (0, 1),
La loi de probabilité Q est connue sous le nom de loi de
probabilité risque-neutre. le terme d'erreur Et constitue bien une
variable aléatoire gaussienne sous la loi Q.
Sous cette mesure de probabilité, il a
été prouvé que la dynamique des prix est localement une
Q-martingale. Ainsi, le modèle GARCH décrit par les
équations (2.4) est un modèle efficace pour décrire un
marché efficient et complet où la possibilité d'arbitrage
est impossible. En effet, dans une économie où tous les agents
sont neutres face au risque, les investisseurs n'exigent aucune compensation
pour le risque; la rentabilité attendue de tous les actifs est alors
égale au taux sans risque. Ainsi, en utilisant la probabilité Q,
nous nous plaçons dans une telle économie, appelée
"univers risque-neutre".
Ainsi, considèrons une option dont la valeur à
la date T est le gain XT. Il s'en suit que cette option peut être
évaluée à n'importe quelle date t comme l'espérance
mathémathique du gain qu'elle engendre à
l'échéance, actualisée au taux sans rique. La formule
s'écrit comme suit :
vt(s, h) = EQ[e_r(T_t)XtjSt = s et Ht+1 =
h] (2.5)
~ Etsh[e_r(T_t)Xt]
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