1.2 Hypothèses
1.2.1 Marché parfait
Les marchés financiers sont les marchés
où sont effectuées les transactions sur des actifs financiers et,
de plus en plus, leurs produits dérivés. Pour prédire le
fonctionnement de ces marchés, plusieurs modèles ont
été établis afin d'aider à leur
compréhension. Les modèles des marchés sont nombreux dans
la littérature et ils se basent généralement tous sur les
mêmes hypothèses.
Hypothèse de non arbitrage
L'arbitrage est une combinaison de plusieurs opérations
permettant de réaliser un bénéfice sans risque en tirant
parti de la différence entre le prix de marché et le prix
d'équilibre.
Définition 1 Un portefeuille autofinançant est
une stratégie d'achat ou de vente de titres, actions, prêts et
emprunts à la banque, et plus généralement de produits
dérivés, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou
le retrait d'argent. On notera X la valeur en t du portefeuille X.
Définition 2 Un arbitrage sur la période [0, T]
est un portefeuille autofinançant X de valeur
nulle en t = 0 dont le
rendement XT en T est positif avec une probabilité strictement
positive.
X0=0, XT>0 et P(XT>0)>0
Pour les modèles des marchés financiers, on
suppose l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage qui
signifie que "On ne peut gagner d'argent sans risque et sans capital initial".
Cette hypothèse est justifiée par l'existence d'arbitragistes,
acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce
type d'opportunités et d'en profiter. En effet, ceux-ci créent
une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son
prix d'équilibre.
Hypothèse de complétude des marchés
Cette hypothèse stipule que tout flux à venir peut
être répliqué exactement, quel que soit l'état du
monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis.
Probabilité martingale
Une des conséquences des hypothèses de non
arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et
l'unicité à équivalence près d'une mesure de
probabilité dite probabilité martingale ou «
probabilité risque-neutre » telle que le processus de prix des
actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette
probabilité. Cette probabilité peut s'interprêter comme
celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs
si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux
d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre : aucune
prime n'est attribuée à la prise de risque).
1.2.2 Martingale
Un processus stochastique (ou processus aléatoire)
représente une évolution, généralement dans le
temps, d'une variable aléatoire. En calcul stochastique, une martingale
désigne un type de processus stochastique. Ce type de processus X est
tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible
à une certaine date s, dénotée F5, est la
valeur à cette même date.
Définition 3 On se donne un espace de
probabilité (~, F, P) muni d'une filtration (Ft)t. Une famille de
variables aléatoires (Xt)t~0 est une martingale par rapport
à la filtration Ft si:
- Xt est Ft-mesurable et intégrable pour tout t. -E(Xt j
F5)=X5, Vs ~ t.
1.2.3 GARCH volatilité
Dans cette partie, on introduit les modèles GARCH
(Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) utilisés
dans la modélisation des séries financières. Les
modèles linéaires de séries temporelles se
révèlent incapables de représenter certaines
propriétés caractéristiques des séries
financières. Les modèles GARCH, introduits par Bollerslev en
1986, sont particulièrement adaptés à la prise en compte
de ces propriétés, ce qui explique leur fort impact dans les
littératures économique, financière et
économétrique. Ils reposent sur une spécification de la
variance conditionnelle du rendement.
Présentation du modèle
L'écriture du modèle GARCH porte sur la variance
conditionnelle du processus considéré. Soit
un processus yt,
d'espérance E(yt) = 0, satisfaisant une représentation de type
GARCH(p,q).
Ce processus s'écrit sous la forme suivante :
yt = c+ "t
/
"t = zt ht (1.1)
ht = ~0 + X q ai"2 t_i + X p
~iht_i
i=1 i=1
zt = iidN(0,1)
où zt désigne un bruit blanc faible
homoscédastique tel que E(zt) = 0 et Var(zt) = 1 et où les
paramètres, ai, [3i sont des réels. De façon usuelle, la
quantité ht désigne la variance conditionnelle du processus yt
telle que V(ytjyt_1) = V("tj€t_1) = ht où
yt_1 désigne l'ensemble des valeurs passées
{yt_1, . . . , y0 }. Afin de garantir la positivité de la
variance conditionnelle, on suppose que a0 >0 ,ai ~ 0, i = 1,..,q, i ~ 0, i
= 1,..,p.
Estimation des paramètres
Les paramètres du modèle GARCH peuvent être
estimés selon différentes méthodes : maximum de
vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments,
etc. Les méthodes généralement retenues sont celles du
maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV).
L'avantage du PMV réside dans le fait que l'estimateur obtenu converge
malgré une mauvaise spécification (supposée normale) de la
distribution conditionnelle des résidus, à condition que la loi
spécifiée appartienne à la famille des lois
exponentielles. Ainsi, l'estimateur du MV obtenu sous l'hypothèse de
normalité des résidus et l'estimateur du PMV sont identiques,
seules leurs lois asymptotiques respectives diffèrent. Toutefois dans
les deux cas (MV ou PMV), sous les hypothèses standards, l'estimateur
est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal.
Dans notre travail, nous utilisons un modèle GARCH(1,1)
pour l'évaluation des options. En effet, ce modèle est le plus
utilisé en pratique et ses paramètres sont faciles à
estimer.
Considérons le cas du modèle GARCH(1,1)
donné par les équations suivantes :
yt = c+et
/
et = zt ht (1.2)
ht = ~0 + ~1e2 t1 + ~1ht~1
zt = iidN(0,1)
La fonction de log-vraisemblance associée à un
échantillon de T observations {y1, .., yT g obtenue sous
l'hypothèse de normalité de la loi conditionnelle de yt sachant
son propre passé s'écrit :
|
T
T 1 X
logL(0) = --2 log(2ir) -
2
t=1
|
XT
1
log(ht(0)) -
2
t=1
|
[yt - mt(0)]2 ht(0) ,
|
où 0 désigne l'ensemble des paramètres du
modèle, mt(0) désigne l'espérance conditionnelle et ht(0)
désigne la variance conditionnelle. Dans le cas du modèle GARCH(
1,1) présenté ci -dessus, ces variables sont :
mt(0) = c
ht(0) = ~0 + ~1e2 t1 + ~1ht~1:
Les estimateurs du maximum de vraisemblance sont alors obtenus
par résolution analytique d'un système de K = p + q + 2 (nombre
de paramètres à estimer) équations non linéaires
:
OlogL(0)
00 j~=b~ = 0
002 j~=b~ < 0
02 log L(0)
Dans le cas général du PMV, l'estimateur du PMV est
asymptotiquement convergent et normal.
|
pT (b0 --0) - d
T--oo
|
N(0, J1IJ),
|
avec
F ~
_ 82 log L(0)
J = E0 8080'
,
F8logL(0) ~
8logL(0)
I = E0 80 80'
Ooù E0 désigne l'espérance prise par rapport
à la vraie loi. Si la vraie distribution des erreurs est une loi normale
(cas du MV) alors I = J.
| 
