Memoire Online - Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

Ce travail est l'aboutissement d'un travail de quatre mois au sein du Centre de Recherche en Economie Financière (CREF) et constitue mon projet de fin d'études.

Toute ma gratitude et ma reconnaissance à tous ceux qui m'ont aidé à accomplir ce travail.

Je tiens particulièrement à remercier mes encadreurs Michèle BRETON et Hatem BEN AMEUR, chargés de recherche au CREF et professeurs à HEC Montréal, pour leur encadrement et leurs précieux conseils qui m'ont guidés tout au long de ce stage.

Je tiens également à exprimer mes remerciements aux étudiants Walid MNIF et Ali BOUDHINA, diplômés de l'Ecole Polytechnique de Tunisie et actuellement étudiants en M.Sc. ingénierie financière à HEC Montréal, pour leur aide et leur soutien tout au long de ces quatre mois.

Résumé

Dans ce travail, nous proposons une méthode numérique pour l'évaluation des options à barrière européennes et américaines lorsque la dynamique du sous-jacent est décrite par un processus GARCH avec inovations gaussiennes. Nous utilisons la programmation dynamique comme méthode de tarification couplée avec deux types d'approximations polynomiales de la valeur de l'option. Le but de ce travail est d'évaluer l'efficacité de cette méthode par rapport à d'autres procédures de tarification proposées dans la littérature. Dans ce rapport, plusieurs types d'options à barrières sont étudiés à savoir les options à barrière activantes et désactivantes, up et down.

Mots clés Pricing d'options, options à barrière, Knock-out, Knock-in, programmation dynamique, approximation quadratique-linéaire, approximation bilinéaire.

Abstract

In this paper, we propose a numerical method to value european and american barrier options when the dynamics of the stock return is described by a GARCH process based on Gaussian innovations. The procedure we use is dynamic programming coupled with piecewise polynomial approximation. The aim of this work is to evaluate the efficiency of this method with regard to other pricing procedures proposed in the literature. In this report, various kinds of barrier options are analyzed such as Knock-in and Knock-out options, up and down.

Keywords Option pricing, barrier options, Knock-out, Knock-in, dynamic programming, quadratic-linear approximation, bilinear approximation.

Table des matières

Introduction 1 Les options				9 12
	1.1	Définition et caractéristiques des options		12
		1.1.1	Définition	12
		1.1.2	Fonction de gain (Payoff)	15
	1.2	Hypothèses		16
		1.2.1	Marché parfait	16
		1.2.2	Martingale	17
		1.2.3	GARCH volatilité	17
	1.3	Modèles d'évaluation d'options		20
		1.3.1	Modèle de Black & Scholes	20
		1.3.2	Les arbres trinomiaux	21
		1.3.3	Simulation Monte Carlo	23
		1.3.4	Programmation dynamique	26
2	Programmation dynamique sous le modèle GARCH			27
	2.1	Le modèle GARCH pour l'évaluation des options		27
		2.1.1	Le modèle général	27
		2.1.2	Le modèle de Duan (1995)	29
	2.2	Formulation de la programmation dynamique		29
		2.2.1	Equations de récurrence	30
		2.2.2	Une approche polynomiale	31
		2.2.3	Application aux différents types d'options à barrière	32
	2.3	Les fonctions d'approximations		34
		2.3.1	Approximation quadratique-linéaire	34

Liste des tableaux

Table des figures

1.1	Options à barrière Down & Out	14
1.2	Options à barrière Up & In	14
1.3	Modèle trinomial de Ritchken pour l'évaluation des options à barrière . . . .	21
1.4	Modèle trinomial de Cheuk et Vorst pour l'évaluation des options à barrière	23
2.1	Distribution des prix de l'actif sous-jacent S	41
2.2	Distribution des volatilités H +1	41
3.1	Convergence du prix d'un Put Down & Out à l'aide de la programmation
	dynamique	54
3.2	Convergence du prix d'un Call Up & Out à l'aide de la programmation dyna-
	mique	55

Introduction

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'un stage effectué au Centre de Recherche en E-Financie (CREF) et à HEC Montréal. L'une des missions du CREF consiste à étudier et analyser les effets économiques, technologiques et financiers de la nouvelle économie financière. La modélisation des marchés financiers et la tarification des produits dérivés forment un axe de recherche privilégié au CREF. Ce travail constitue donc un volet de cet axe de recherche et présente une méthode de tarification des options à barrière européennes et américaines en utilisant la programmation dynamique.

Les options jouent un rôle très important dans les marchés financiers. En effet, elles sont extrêmement utilisées pour la couverture des risques. Ces dernières années, les options à barrière sont devenues presque aussi populaires que les options vanilles ordinaires. En effet, l'existence d'une barrière a le plus souvent pour conséquence de réduire le risque du vendeur de l'option. Aussi la valeur d'une option à barrière est--elle généralement inférieure à celle d'une option classique équivalente. La première méthode de tarification d'options standards a été proposée par Black et Scholes (1973). Ils proposent une formule fermée où la volatilité du sous- jacent est considérée comme étant constante. Dans ce même contexte, Merton (1973) a établi une formule fermée qui permet l'évaluation d'un Call de type Down & Out. L'évaluation des autres types d'options à barrière (activantes, désactivantes, up et down) a été ensuite proposée par Reiner et Rubinstein (1991).

La diversification des modèles de tarification des options standards avait comme impact la multiplication des procédures de pricing des options à barrière. En effet, A partir du modèle de Cox, Ross et Rubinstein (1979), Boyle et Lau (1994) ont montré que le recours aux arbres binomiaux ne donnait pas lieu à une convergence rapide du prix de l'option à barrière. Ce qui a poussé Ritchken (1995) à proposer un modèle d'arbre trinomial en donnant un degré de liberté supplémentaire utile pour la localisation de la barrière. Ce modèle a montré ses limites lorsque le niveau de la barrière est proche ou loin du prix initial de l'actif sous-jacent. Cette difficulté a été relevée par Cheuk et Vorst (1996) en proposant un ajustement du treillis à

l'aide d'un terme multiplicatif de telle sorte qu'à une période donnée, la valeur de la barrière coïncide avec un niveau de prix de l'arbre trinomial. Cependant, cette approche rencontre des problèmes lorsque plus d'une barrière conditionne le prix de l'option.

Les options à barrière ont été aussi évaluées par la méthode de la simulation. En effet, Boyle, Broadie et Glasserman (1997) proposent une approche par les méthodes de Monte Carlo. Certes cette méthode est robuste mais présente un coût assez élevé de point de vue temps de calcul et rencontre quelques difficultés pour l'évaluation des options à barrières de type américain.

Tous les modèles présentés jusqu'ici constituent les modèles de la première génération puisque ils ont été développés sous la contrainte que la volatilité est constante dans le temps. Cependant, les séries financières présentent plusieurs propriétés qui ne peuvent pas être étudiées sous une volatilité constante. Ceci a poussé les études de plusieurs modèles de variation de la volatilité dans le temps. Engle (1982) a proposé une famille de modèles appelée ARCH qui décrivent cette variation. Ces modèles ont été ultérieurement généralisés par Bollerslev (1986) pour proposer un processus général appelé GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity).

Harrison et Kreps (1979) ont démontré que pour qu'un processus puisse modéliser un marché parfait, il faut que ce modèle suive une martingale. Le premier modèle à volatilité variable à avoir vérifié cette hypothèse est le modèle GARCH. En effet, Duan (1995) a établi un modèle basé sur le processus GARCH pour évaluer les options. Depuis, plusieurs procédures de tarification ont été avancées dans la littérature en tenant compte de ce nouvel aspect de la variabilité de la volatilité. Ces procédures constituent la deuxième génération des modèles de tarification d'options.

Dans ce contexte, Duan et Simonato (2001) ont proposé une approximation par chaîne de Markov pour évaluer les options vanilles européennes et américaines pour le modèle NGARCH. Duan, Dudley, Gauthier et Simonato (2003) ont utilisé cette même approximation pour tarifier les options à barrière pour le même processus NGARCH. Cette méthode a donné de bons résultats mais converge pour une discrétisation assez grande. Ben Ameur, Breton et Martinez (2008) ont proposé une procédure basée sur la programmation dynamique couplée avec une approximation polynomiale pour le pricing des options standards. Cette méthode a montré une rapidité dans la convergence et une précision dans les résultats.

Compte tenu de l'efficacité de la programmation dynamique dans ses résultats, nous proposons une méthode pour le pricing des options à barrière européennes et américaines basée sur la programmation dynamique et couplée avec deux types d'approximations polynomiales. La méthode qu'on propose ici peut être adaptée à tous les modèles MGARCH (multivariate GARCH).

La première partie du présent rapport est consacrée aux notions élémentaires à la compréhension du document. Dans la deuxième partie, nous présentons la formulation de la programmation dynamique pour l'évaluation des options à barrière ainsi que les approximations polynomiales associées. Dans la dernière partie, nous présentons les résultats obtenus par cette méthode et nous les comparons avec les résultats d'autres procédures de tarification proposées dans la littérature.

Chapitre 1

Les options

Ce chapitre regroupe les notions élémentaires en mathémathiques et en finance qui aident à la compréhension de ce rapport.

1.1 Définition et caractéristiques des options

Une option financière est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation : * d'acheter (option d'achat, appelée aussi call)

une quantité donnée d'un actif financier (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, autre produit dérivé, etc.), appelé actif sous-jacent

Ce droit lui-même se négocie, sur un marché d'options spécialisé (géré par une bourse, ou au gré à gré), contre un certain prix, appelé prime.

Une option est dite dans la monnaie (in the money) lorsque son exercice procure un gain à son détenteur. Elle est dite hors de la monnaie (out of the money) dans le cas contraire. Enfin, si l'acheteur est indifférent, l'option est à la monnaie (at the money).

Les options à barrière sont des options qui peuvent être activées ou désactivées (c'est-à-dire créées ou annulées) par le passage du prix de l'actif sous-jacent au-dessus ou en-dessous d'une valeur limite (la barrière). Ceci permet de réduire le risque du vendeur et donc le prix pour l'acheteur puisqu'elle ne produit ses effets que dans un ensemble plus limité de situations. Les options à barrière diffèrent selon si elles sont avec activation ou désactivation, par franchissement à la hausse ou à la baisse de la barrière. Ainsi, on classifie les options à barrière comme suit :

* l'option down : l'option est désactivée ou activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la barrière à la baisse;

* l'option up : l'option est désactivée ou activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la barrière à la hausse.

De même, pour distinguer entre les options à barrière activantes et désactivantes, on définit les deux types suivants :

* l'option à barrière activante (knock-in option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci n'est active que si elle atteint la barrière, et, dans ce cas, à l'échéance sa valeur est la même qu'une option standard. En revanche elle coûte moins cher qu'une option vanille puisque la probabilité de perte du vendeur est moindre que dans le cas d'une option vanille;

* l'option à barrière désactivante (knock-out option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci reste active si la barrière n'est pas atteinte. L'option à barrière est désactivée lorsque l'actif sous-jacent franchit la barrière.

Ainsi, on peut compter 8 types d'options à barrière selon qu'elle soit d'achat ou de vente, avec activation ou désactivation, par franchissement à la hausse ou à la baisse de la barrière. Les deux figures qui suivent représentent deux types de ces options.

Ces deux figures représentent la variation du prix du sous-jacent durant la durée de vie de l'option. La figure 1.1 représente deux options de type Down & Out. Pour la première option, le prix du sous-jacent n'as jamais touché la barrière. Ainsi, la valeur de l'option à barrière 1 est la même qu'une option vanille. Pour la deuxième option, le prix du sous jacent a touché la barrière à la date Tf. Ainsi, la valeur de cette option est nulle.

La figure 1.2 représente deux options de type Up & In. Le prix du sous-jacent pour l'option 1 a touché la barrière à la hausse à la date Tf. Donc, la valeur de cette option devient égale à une option vanille. Pour l'option 2, sa valeur reste nulle puisque le prix de l'actif sous-jacent reste toujours inférieur à la barrière tout au long de la durée de vie de l'option.

On considère une option sur un seul type de sous-jacent (actions, taux de change, taux d'intérêts) de maturité T (en jours). On note son processus de gain {Xt, pour t E I} où I est l'ensemble d'observations dans [0, T] quand l'exercice de l'option est permis.

Le processus de gain d'une option vanille est généralement caractérisé par une fonction de gain x : I x [0, oo) --> IR, tel que Xt = x(t, s) pour t E I et s= St.

Ainsi, pour une option d'achat (Call) de type américain de maturité T et de strike K, la fonction de gain s'écrit :

De même, pour une option de vente (Put) de type américain, la fonction de gain est définie par :

Pour évaluer les options à barrières sur [0,t], il faut vérifier à chaque date t E [0, T] si le prix du sous-jacent St a franchi la barrière ou non. Pour vérifier cette condition, on définit une variable binaire Bt qui prend deux valeurs possibles :

On note le processus de gain d'une option à barrière x* : I x [0, oo) x {0, 1} --> IR, tel que Xt = x*(t, s, b) pour t E I, s = St et b = Bt. Ainsi, on a :

1.2 Hypothèses

Les marchés financiers sont les marchés où sont effectuées les transactions sur des actifs financiers et, de plus en plus, leurs produits dérivés. Pour prédire le fonctionnement de ces marchés, plusieurs modèles ont été établis afin d'aider à leur compréhension. Les modèles des marchés sont nombreux dans la littérature et ils se basent généralement tous sur les mêmes hypothèses.

L'arbitrage est une combinaison de plusieurs opérations permettant de réaliser un bénéfice sans risque en tirant parti de la différence entre le prix de marché et le prix d'équilibre.

Définition 1 Un portefeuille autofinançant est une stratégie d'achat ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits dérivés, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait d'argent. On notera X la valeur en t du portefeuille X.

Définition 2 Un arbitrage sur la période [0, T] est un portefeuille autofinançant X de valeur
nulle en t = 0 dont le rendement XT en T est positif avec une probabilité strictement positive.

Pour les modèles des marchés financiers, on suppose l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage qui signifie que "On ne peut gagner d'argent sans risque et sans capital initial". Cette hypothèse est justifiée par l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. En effet, ceux-ci créent une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix d'équilibre.

Cette hypothèse stipule que tout flux à venir peut être répliqué exactement, quel que soit l'état du monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis.

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité à équivalence près d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou « probabilité risque-neutre » telle que le processus de prix des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interprêter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre : aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

Un processus stochastique (ou processus aléatoire) représente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire. En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée F₅, est la valeur à cette même date.

Définition 3 On se donne un espace de probabilité (~, F, P) muni d'une filtration (Ft)t. Une famille de variables aléatoires _(Xt)t~0 est une martingale par rapport à la filtration Ft si:

Dans cette partie, on introduit les modèles GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) utilisés dans la modélisation des séries financières. Les modèles linéaires de séries temporelles se révèlent incapables de représenter certaines propriétés caractéristiques des séries financières. Les modèles GARCH, introduits par Bollerslev en 1986, sont particulièrement adaptés à la prise en compte de ces propriétés, ce qui explique leur fort impact dans les littératures économique, financière et économétrique. Ils reposent sur une spécification de la variance conditionnelle du rendement.

L'écriture du modèle GARCH porte sur la variance conditionnelle du processus considéré. Soit
un processus yt, d'espérance E(yt) = 0, satisfaisant une représentation de type GARCH(p,q).

où zt désigne un bruit blanc faible homoscédastique tel que E(zt) = 0 et Var(zt) = 1 et où les paramètres, ai, [3i sont des réels. De façon usuelle, la quantité ht désigne la variance conditionnelle du processus yt telle que V(ytjyt_1) = V("tj€t_1) = ht où _{yt_1} désigne l'ensemble des valeurs passées _{{yt_1,} . . . , y0 }. Afin de garantir la positivité de la variance conditionnelle, on suppose que a0 >0 ,ai ~ 0, i = 1,..,q, i ~ 0, i = 1,..,p.

Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments, etc. Les méthodes généralement retenues sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L'avantage du PMV réside dans le fait que l'estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposée normale) de la distribution conditionnelle des résidus, à condition que la loi spécifiée appartienne à la famille des lois exponentielles. Ainsi, l'estimateur du MV obtenu sous l'hypothèse de normalité des résidus et l'estimateur du PMV sont identiques, seules leurs lois asymptotiques respectives diffèrent. Toutefois dans les deux cas (MV ou PMV), sous les hypothèses standards, l'estimateur est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal.

Dans notre travail, nous utilisons un modèle GARCH(1,1) pour l'évaluation des options. En effet, ce modèle est le plus utilisé en pratique et ses paramètres sont faciles à estimer.

La fonction de log-vraisemblance associée à un échantillon de T observations {y1, .., yT g obtenue sous l'hypothèse de normalité de la loi conditionnelle de yt sachant son propre passé s'écrit :

où 0 désigne l'ensemble des paramètres du modèle, mt(0) désigne l'espérance conditionnelle et ht(0) désigne la variance conditionnelle. Dans le cas du modèle GARCH( 1,1) présenté ci -dessus, ces variables sont :

Les estimateurs du maximum de vraisemblance sont alors obtenus par résolution analytique d'un système de K = p + q + 2 (nombre de paramètres à estimer) équations non linéaires :

Dans le cas général du PMV, l'estimateur du PMV est asymptotiquement convergent et normal.

Ooù E0 désigne l'espérance prise par rapport à la vraie loi. Si la vraie distribution des erreurs est une loi normale (cas du MV) alors I = J.

1.3 Modèles d'évaluation d'options

La formule de Black & Scholes repose sur l'hypothèse que les rendements de l'actif sous- jacent sont gaussiens, ou de manière équivalente que la valeur de l'actif suit une diffusion brownienne géométrique qui est solution de l'équation différentielle stochastique suivante :

La formule proposée par Black et Scholes permet d'évaluer le prix d'une option Call ou Put à partir des cinq données suivantes:

A partir de ce modèle, Merton (1973) propose une généralisation de ces formules pour évaluer une option à barrière Call de type Down & Out.

1.3.2 Les arbres trinomiaux

L'évaluation des options à barrière par une méthode arborescente nécessite, pour des raisons de vitesse de convergence, d'adapter la construction de l'arbre des prix de l'actif en fonction du niveau de la barrière. En fait, il suffit de positionner un niveau de prix de l'arbre exactement sur la valeur de la barrière pour que la distribution mathématique du prix de l'option soit respectée. En conséquence, l'emploi d'un arbre binomial est inadapté au problème étudié. Le degré de liberté supplémentaire dû à l'utilisation d'un arbre trinomial permet d'ajuster très facilement l'arbre de sorte à faire coïncider l'un des niveaux de prix du treillis avec la barrière.

FIG. 1.3: Modèle trinomial de Ritchken pour l'évaluation des options à barrière

- À une valeur adaptée de telle sorte que le système de probabilités obtenu reste cohérent quelle que soit la période considérée;

Afin que l'un des niveaux de prix correspondent au niveau B de la barrière, il faut et il suffit

Selon Ritchken, il n'existe qu'une seule et unique valeur À qui vérifie les équations précédentes. La limite du modèle de Ritchken apparaît lorsque le niveau de la barrière est proche du prix initial de l'actif. Dans ce cas, en dessous d'un certain nombre de pas, il n'existe pas forcément d'entier k strictement positif en valeur absolue permettant d'ajuster le paramètre À.

Pour une période donnée, plutôt que de modifier les points les plus proches de la barrière, Cheuk et Vorst (1996) multiplient toutes les valeurs possibles du prix de l'action par un terme multiplicatif de telle sorte que l'un des niveaux du treillis des prix de l'action coïncide avec la valeur de la barrière en cette date. La figure ci-dessous illustre le type d'arbre trinomial qu'ils obtiennent :

FIG. 1.4: Modèle trinomial de Cheuk et Vorst pour l'évaluation des options à barrière

Cette méthode s'avère plus robuste que celle de Ritchken de point de vue vitesse de convergence mais n'a pas pu relever les limites qu'il a présentées (niveau de barrière très proche du prix initial de l'actif).

1.3.3 Simulation Monte Carlo

Les méthodes Monte Carlo visent à calculer une valeur numérique en utilisant des techniques probabilistes. Généralement ces méthodes sont utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1. En finance, le recours à ces méthodes permettent de calculer les prix des options sur le marché.

Plus précisément, la simulation Monte-Carlo a pour objet l'estimation de valeurs espérées (moyennes) de la forme:

Dans le système précédent, on définit Y comme un paramètre de performance d'un système stochastique de dimension d caractérisé par:

Ainsi, la simulation Monte-Carlo consiste à simuler de manière indépendante N fois les inputs (X1N, ..., _XdN) et à calculer à chaque fois l'output correspondant YN = P(X1N, ..., _XdN). N est appelé le nombre de trajectoires de la simulation. Enfin, on obtient un échantillon d'outputs Y1, ..., YN iid de taille N.

L'estimateur Monte-Carlo est convergent vers sa cible en probabilité presque sûrement et en distribution du moment qu'on est capable de produire des échantillons Y1, ..., YN i.i.d.

Soit _(Yn)n>1 une suite de variables aléatoires réelles intégrables i.i.d de même loi que Y,

Soit _(Yn)n>1 une suite de variables aléatoires réelles i.i.d de carré intégrable de même loi que Y. On suppose que Var(Y) > 0 et on pose

Bien que la méthode de simulation de Monte Carlo est une technique très utilisée dans l'évaluation des options, elle présente quelques inconvénients qui sont principalement :

- une erreur de discrétisation donnée par E[P(X1_n, ..., Xdn)] -- E[P(X1, ..., Xd)];

- une erreur statistique dite erreur de Monte-Carlo donnée par 1 N _PN Y_n -- E[Y ];

Compte tenu de ces erreurs, on propose pour la méthode de simulation un intervalle de confiance à 95% autour de la valeur moyenne YN. Cet intervalle s'écrit sous la forme suivante:

Pour évaluer l'option à la date t 2 [0, T], il faut connaître les variables St et _Ht+1. Comme le montre l'équation (1.3), ces deux variables dépendent de Et qui est une variable aléatoire gaussienne sous la loi de probabilité risque neutre Q.

Le principe de la simulation Monte Carlo consiste à simuler plusieurs valeurs Et et _Et+1 et par suite calculer St et _Ht+1. Ceci est possible puisque on connait la fonction inverse de la fonction de distribution de la loi normale. En effet, dire que Et suit la loi normale F, revient à dire qu'il existe une uniforme U sur [0, 1) tel que Et = F ^~1(U).

Théorème 3 Soient F la fonction cumulative d'une distribution continue D, F ^~1 son inverse et U une uniforme sur [0, 1). On a alors :

Ainsi, pour simuler un échantillon de E1, ..., ET i.i.d selon la loi normale, on doit générer un échantillon U1, ..., UT i.i.d uniforme sur [0, 1) et puis le transformer par F ^~1. Il faut souligner que l'échantillon F ^~1(U1), ..., F ^~1(UT) a la même structure de distribution que l'échantillon E1,...,ET.

Cette méthode appellée transformation inverse est bien appréciée comme méthode de simulation d'inputs car elle relie un input à une uniforme --[0, 1) par une relation monotone.

Définition 4 La programmation dynamique est une méthode de résolution qui détermine la valeur optimale d'un problème de décision selon le principe d'optimalité de Bellman: «toute politique optimale est décomposée en sous-politiques optimales».

Le programme dynamique utilisé dans notre travail comporte deux caractéristiques spécifiques :

Chapitre 2

Programmation dynamique sous le

modèle GARCH

Les modèles de la famille GARCH ont été présentés, en premier lieu, par Bollerslev en 1986 et depuis ont eu un énorme succès dans la description de la variation de la volatilité dans le temps. En 1995, Duan a proposé un modèle d'évaluation d'options dans lequel la dynamique du sous-jacent est décrite par un processus GARCH à temps discret et avec innovations gaussiennes. Nous présentons dans cette section le modèle développé par Duan, la formulation de la programmation dynamique pour évaluer les options à barrière ainsi que les approximations polynomiales associées.

2.1 Le modèle GARCH pour l'évaluation des options

On considère une économie à temps discret où l'intervalle de temps [t, t + 1] constitue "un jour" sans perte de généralités. La dynamique du sous-jacent et de sa volatilité conditionnelle sous la loi de probabilité physique P est donnée par :

où St est le cours du sous-jacent à la date t, r le taux d'intérêt sans risque pour une période, Ht+1 sa variance conditionnelle et _€t+1, conditionné aux informations Ft à la date t, est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance nulle et de variance égale à l'unité. t+1 est une prime de risque.

La fonction g est une fonction spécifique à un modèle GARCH bien déterminé. On rappelle ici qu'on utilise des spécifications GARCH au premier ordre (seulement une période de décalage). Dans nos résultats numériques, on va présenter les deux types GARCH suivants:

où À est une prime de risque et /0 > 0, /1 ~ 0, /2 ~ 0 et 0 sont des paramètres réels qui satisfont des conditions de stationnarité du modèle.

A part ces deux modèles GARCH, une multitude d'autres modèles GARCH(1,1) peuvent être utilisés. On présente dans le tableau suivant la fonction g des différents modèles les plus utilisés dans les marchés financiers.

En 1995, Duan a montré qu'il pouvait écrire les équations du système (2.1) avec une autre loi de probabilité Q en effectuant le changement de variable Et = €t + _~tpHt :Ainsi, la dynamique du sous-jacent devient :

La loi de probabilité Q est connue sous le nom de loi de probabilité risque-neutre. le terme d'erreur Et constitue bien une variable aléatoire gaussienne sous la loi Q.

Sous cette mesure de probabilité, il a été prouvé que la dynamique des prix est localement une Q-martingale. Ainsi, le modèle GARCH décrit par les équations (2.4) est un modèle efficace pour décrire un marché efficient et complet où la possibilité d'arbitrage est impossible. En effet, dans une économie où tous les agents sont neutres face au risque, les investisseurs n'exigent aucune compensation pour le risque; la rentabilité attendue de tous les actifs est alors égale au taux sans risque. Ainsi, en utilisant la probabilité Q, nous nous plaçons dans une telle économie, appelée "univers risque-neutre".

Ainsi, considèrons une option dont la valeur à la date T est le gain XT. Il s'en suit que cette option peut être évaluée à n'importe quelle date t comme l'espérance mathémathique du gain qu'elle engendre à l'échéance, actualisée au taux sans rique. La formule s'écrit comme suit :

2.2 Formulation de la programmation dynamique

A l'aide de la programmation dynamique, les options sont évaluées par induction arrière en partant de la date d'échéance T. A cette date, la valeur de l'option est connue et elle vaut x(T, ST). Comme l'univers dans lequel on se situe est supposé risque-neutre, la valeur de l'option à la date T - 1 peut être calculée comme la valeur espérée à la date T actualisée au taux d'intérêt sans risque r. De même, la valeur à la date T - 2 peut être calculée comme la

valeur espérée à la date T - 1 actualisée au taux r; et ainsi de suite jusqu'à la date initiale. Pour les options américaines, il est nécessaire de vérifier à chaque date t si l'exercie immédiat est préférable à la détention de l'option pour un jour supplémentaire. La valeur de l'option à la date 0 est ainsi déterminée par induction arrière sur tout l'intervalle [0, T].

On note vt(s, h, b) la valeur de l'option à la date t quand St = s, Ht+1 = h et Bt = b, selon le prix ait franchi la barrière ou non.

La condition initiale du programme dynamique stipule qu'à la maturité, la valeur de l'option s'écrit :

La valeur d'exercice de l'option à la date t, pour t E [0, T], est définie par :

La valeur de détention de l'option à la date t, pour t E [0, T], est donnée par:

L'idée d'utiliser la variable binaire Bt vient du principe suivant : Si à la date t, le prix du sous-jacent franchit la barrière, alors Bt = 1 et la valeur de l'option sera égale à vt(s, h, 1). Sinon, si le prix n'a pas franchi la barrière, il y a deux possibilités. La première est que si les prix du sous jacent à des dates antérieures à t ont déjà franchi la barrière, alors la valeur de l'option sera toujours égale à vt(s, h, 1). La seconde est que si les prix antérieurs n'ont jamais dépassé la barrière, alors Bt = 0 et la valeur de l'option sera égale à vt(s, h, 0).

Pour évaluer l'option à barrière, on résout les équations (2.6)-(2.9) en reculant dans le temps de la valeur connue de l'option vT jusqu'à v0, en identifiant la meilleure stratégie à chaque date t. La solution de ces équations ne peut pas être calculée sous une forme exacte. En effet, la résolution de ce système consiste à calculer une espérance conditionnelle qui n'est autre qu'une intégrale multiple (T intégrales consécutives) sous l'espace du cours du sous-jacent et de la volatilité. Pour cela, nous allons donner une approximation de la fonction valeur pour faciliter le calcul de l'espérance. Dans notre travail, on a choisi une approximation polynomiale comme approximation de la fonction valeur vt.

2.2.2 Une approche polynomiale

L'approximation polynomiale consiste en un premier temps à discrétiser l'espace du prix du sous-jacent et l'espace de la volatilité en des points bien déterminés. La valeur de l'option sera tout d'abord calculée en ces points. En deuxième lieu, à l'aide de l'interpolation polynomiale, on peut retrouver la valeur de l'option en tout point de l'espace (prix sous-jacent, volatilité).

La fonction valeur vt(s, h, b) est une fonction de deux variables d'états (s, h) et d'une variable binaire b. Ainsi, afin d'approcher cette fonction, on devra faire une approximation polynomiale pour chaque variable d'état s et h. Pour ce faire, on se donne deux entiers non nuls M et N. On discrétise l'espace des prix du sous-jacent et de la volatilité respectivement en M et N points distincts comme suit : 0 = a0 < a1 < ... < aM < aM+1 = oc pour le cours du sous-jacent et 0 < d0 <d1 < ... <dN <dN+1 = oc pour la volatilité. On définit alors la grille de points suivantes :

On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s = ai pour i = 0, .., M, h = dj pour j = 0, .., N et b E {0, 1}. On définit l'interpolation polynomiale sur la fonction evt comme suit :

où I est la fonction indicatrice et P d ijtb(s, h) est l'interpolation polynomiale de degré d qui satisfait

P d ijtb(s,dj) = evt(aM, dj, b) pour s > aM, b E {0, 1}
P d ijtb(ai, h) = evt(ai, dN, b) pour h > dN, b E {0, 1}

Sous cette approximation, les équations (2.6) - (2.9) de la programmation dynamique deviennent :

evh _t (s, h, b) = e_^r(Etshb[^bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etshb[^bvt+1(St+1, Ht+2, 1)]) evt(s,h,b) = max{eve _t (s,h,b), evh _t (s,h,b)}

2.2.3 Application aux différents types d'options à barrière

Les options à barrière de type Knock-out sont désactivées et perdent leurs valeurs si, au cours de la durée de vie de l'option, le prix du l'actif sous-jacent franchit au moins une fois la barrière. Ainsi, si Bt = 1, on est sûr que le prix a franchi la barrière et donc la valeur de l'option est nulle.

evh _t (s, h, 0) = e_^rEtsh,0[^bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] evt(s, h, 0) = max{eve _t (s, h, 0), evh _t (s, h, 0)}

Contrairement aux options Knock-out, les options à barrière de type Knock-in prennent une valeur si le cours du sous-jacent franchit la barrière au moins une fois pendant la durée de vie de l'option. Il est clair qu'à la maturité T, on a:

evh _t (s, h, 0) = e_^r(Etsh,0[^bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etsh,0[^bvt+1(St+1, Ht+2, 1)])
evh _t (s, h, 1) = e _{_r(Etsh;1[bvt+1(St+1} , Ht+2,0)] + Etsh,1[^bvt+1(St+1, Ht+2, 1)])

A la date t = 0, la valeur de l'option Knock-in dépend de la position de S0 par rapport à la
barrière. Ainsi, si S0 touche la frontière, B0 = 1 et la valeur de l'option est ev0(S0, H1, 1). Par
contre, si S0 ne dépasse pas la valeur limite, B0 = 0 et la valeur de l'option est ev0(S0, H1, 0).

2.3 Les fonctions d'approximations

Duan, Dudley, Gauthier et Simonato (2003) proposent une approximation par une chaine de Markov pour évaluer les options à barrière. Cette approximation est équivalente à une interpolation par une fonction constante par morceaux pour chaque variable d'état s et h. Dans cette section, nous allons présenter deux types d'approximations polynomiales qui approchent la fonction valeur mieux que l'approximation par une fonction constante par morceaux. La première approximation est faite par une fonction quadratique sur s et linéaire sur h. Avec cette approche, nous allons présenter des résultats du modèle NGARCH(1,1) présenté dans l'équation (2.2). La deuxième approximation utilise une fonction linéaire pour s et h. Certes, cette approximation est moins bonne que la première mais plus générale car elle s'adapte à n'importe quel modèle GARCH(1,1).

2.3.1 Approximation quadratique-linéaire

L'interpolation polynomiale qu'on présente ici est une approximation quadratique sur s et linéaire sur h. Le recours à une telle approximation vient du fait que la focntion valeur v de l'option à barrière est convexe par rapport à la variable s. Donc, une fonction quadratique approche nettement mieux la valeur de l'option qu'une autre approximation.

On définit deux ensembles I et J tel que I = {1, 3, 5, ..., M - 2} avec M impair et J = {1,2,3,...,N-1}. OnposeI=IU{-1,M}et J=JU{0,N}aveclaconventiona_1 =a0 et aM+2 = aM+1. Ainsi, les rectangles [ai, ai+2] x [bi, bj+1], pour i 2 I et j 2 J , couvrent tous l'espace prix-volatilité [0, oc) x [b0, oc).

On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s = ai pour i = 0, .., M, h = d _j pour
j = 0, .., N et b 2 {0, 1}. Pour s 2 [ai, ai+2), i 2 I, On définit l'interpolation quadratique sur

Par suite, on définit l'interpolation linéaire sur la fonction iit pour h E [dj, dj+1), j E J comme suit :

En regroupant les équations (2.12) et (2.13), on définit l'approximation quadratique-linéaire pour (s, h) E [ai, ai+2) x^[dj, dj+1), i E I, j E J par :

On rappelle que l'équation de la valeur de détention ev^h_t définie dans (2.11) est

i7th^(s, h, b) = e--r (Etshb [^-vt+1 (St+1 ,_Ht+2 , 0)] + EtshBt [^-vt+1 (St+1 ,_Ht+2 , 1)] ) (2.14)

En appliquant la formule (2.10) sur^-vt+1(St+1, Ht+2, 0) et^-vt+1(St+1, Ht+2,1)], la fonction /7h t à la date t et aux points (ak, dl) E gMN devient :

L'espérance conditionnelle _Etakdlb dans l'équation (2.15) est indépendante de t tant que la grille de points _MN est fixée dans le temps. En utilisant la formule de _Pi;j;t;x donnée dans l'équation (2.12) dans l'équation précédente, le calcul de l'espérance revient alors à calculer six paramètres qui sont des éléments des matrices de transition. Ces matrices sont :

Comme la fonction valeur _vt+1 dépend de deux variables d'états complétement aléatoires (St+1, Ht+2), toutes ces matrices ont été calculée pour le modèle NGARCH(1,1) qui est le plus utilisé dans la pratique. Le calcul de ces matrices est détaillé dans l'annexe A.

2.3.2 Approximation bilinéaire

Dans cette partie, nous allons définir une approximation qui est plus générale que la précédente. En effet, on présente une implémentation qui utilise une approximation bilinéaire et qui s'adapte facilement à tous les modèles GARCH existants.

On rappelle que le modèle GARCH pour la tarification des options présenté dans le deuxième chapitre s'écrit comme suit :

A l'aide de cette équation, on remarque que le calcul _Ht+1 à la date t nécessite la donnée des variables _{St_1,} St et Ht dans la fonction g!. Pour tenir compte de cela, on élargit l'espace d'états de la fonction valeur vt pour inclure l'observation du prix du sous-jacent _{St_1} à la date t - 1. On note ainsi la nouvelle fonction valeur à trois variables d'états 'Wt et on a l'égalité suivante :

L'interpolation bilinéaire est une méthode qui se base sur des polynômes d'ordre 1. Elle consiste à attribuer à chaque point cible une combinaison linéaire des quatre points sources les plus proches de son antécédent par la transformation inverse.

On suppose que la valeur ^e'uit+1 (o, s, h, b) est connue aux points o = aj pour j = 0, ..., M, s = ak pour k = 0, .., M, h = dl pour l = 0, .., N et b E {0, 1}. On définit l'interpolation bilinéaire sur la fonction _e'it+1 comme suit :

Suite à l'approximation présentée ci-dessus, nous allons calculer la valeur de détention ewt dans tous les points de la grille. D'après l'équation (2.14), la valeur de détention s'écrit :

[ewh t (aj, ak, dl, b) = e_r Etjklb[ ^bwt+1(ak , St+1, Ht+1, 0)] + Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 1)]

Afin de calculer la valeur de l'espérance de ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0) et de ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 1), nous allons utiliser l'approximation bilinéaire sur deux parties. La première réalise l'interpolation sur la variable de prix puis la seconde sur la variable de volatilité. Dans ce qui suit, nous allons présenter les détails du calcul de l'interpolation de la fonction ^bwt+1(., 0). La même démarche est faite pour interpoler ^bwt+1(., 1).

En utilisant la définition de l'approximation bilinéaire présentée dans l'équation(2.17), on a:

+ ^ewt+1(ak, ^aM, Ht+1, ⁰⁾ T[(St+1 ~ aM)(2.18) On introduit dans ce qui suit deux constantes T¹jk li et T2 jkli indispensables pour le calcul de l'équation (2.18). Pour j, k = 1, ..., M, i = 0, ...M et l = 0, ...N, ces paramètres sont :

En faisant un changement de variable sur i et en regroupant tous les termes sous la même somme, l'équation (2.19) devient :

où _Djkli est une combinaison linéaire de T¹jk li et T2 jk li qui s'écrit comme suit :

La deuxième partie de l'approximation consiste à interpoler _ewt+1(ak, ai, h, 0) sur la variable h. Comme la volatilité de l'option suit le processus GARCH, alors on a Ht+1 = g^'(o, s, h). Cette variable est alors déterministe et calculable. Ainsi, on définit l'indice _Jjkl tel que Jjkl = n si g^'(o, s, h) E [d_u, du+1). Ainsi, suite à la définition de l'interpolation bilinéaire présentée dans l'équation (2.16), on a:

Etjklb[ ^bwt+1(ak, St+1, Ht+1, 0)] = _XM ]Djkli [ ^e'i2t+1(ak, ai, dJjkl, 0)Ujkl + ^e'i2t+1(ak, ai, dJjkl+¹, 0)Wjkl

ewh _t (aj, ak, dl, b) = e_r Djkli ^ewt+1(ak, ai, dJjkl, 0)Ujkl + e_t+1(ak, ai, dJjkl+¹, 0)Wjkl

2.4 Construction de la grille

Dans cette section, on présente un critère de choix pour la construction de la grrille_MN présentée dans la section précédente. Ce critère consiste à représenter les quantiles des variables prix sous-jacent et volatilité à l'aide de la simulation de Monte Carlo.

On rappelle que le modèle GARCH pour l'évaluation des options s'écrit comme suit :

On remarque que les variables St et _Ht+1 dépendent respectivement des termes d'erreur Et

et _Et+1. Donc pour une trajectoire donnée n 2 {1, ..., N}, si on génèrer un échantillon de T
valeurs E1, ..., ET, On obtient un échantillon de valeurs de S1,
·
·
·ST et H2, ..., _HT+1 Donc, pour
un nombre de trajectoires assez grand, on peut représenter les quantiles des variables St et

En d'autres termes, nous allons représenter le nombre de points St et _Ht+1 générés par la simulation pour chaque intervalle. Ainsi, nous pouvons distinguer les intervalles de prix et de volatilités selon leur fréquence.

Dans les deux figures précédentes, on remarque que la distribution de ln(St) est celle d'une distribution normale et que la distribution de _Ht+1 suit celle d'une Khi deux. Ce résultat est prévisible puisque dans le modèle Garch, St dépend du terme d'erreur Et et _Ht+1 dépend du terme E 2 t avec Et suit la loi normale centrée réduite.

Le but de cette représentation est d'identifier les points {a0, a1, ..., aM} des prix et {d0, d1, ..., dN} des volatilités de la grille_MN présentée dans la section précédente.

En analysant la figure 2.1, on constate qu'on a une concentration de points au milieu plus qu'aux extrémités. De même, pour la figure 2.2, on note une concentration de points dans des parties plus que d'autres. Donc, choisir un pas constant pour les points de la grille ne serait pas un choix judicieux. En effet, plusieurs points importants seraient négligés et d'autres moins importants seraient retenus.

Ainsi, pour tenir compte des ces constatations, nous avons opté pour une grille logarithmique pour les deux distributions. En effet, avec une telle grille, nous aurons un pas assez petit dans la partie où il y a un maximum de points et un pas plus grand dans la partie où il y a moins de points. Le choix de cette grille conduit à un algorithme plus efficace et à une convergence plus rapide.

Chapitre 3

Résultats numériques

Dans cette partie, nous allons présenter les résultats des prix des options à barrière obtenus pour les deux approximations polynomiales présentées précédemment. Afin de montrer la convergence et l'efficacité de notre algorithme, on compare nos résultats avec d'autres établis avec l'approximation constante par morceaux et des intervalles de confiance construits à l'aide d'une simulation des méthodes Monte-Carlo de 200 000 trajectoires. On présente ainsi différents types de tableaux selon la nature de l'option à barrière (Call - Put, Européenne - Américaine, Knock In - Knock out, Down - Up)

3.1 Contexte informatique

Les résultats présentés dans les sections suivantes ont été réalisés sur un ordinateur cadencé à 3.8 GHz et dont la mémoire vive est de 1 Go de RAM sous le système d'exploitation Windows. Les algorithmes ont été écrits sous le langage C en utilisant la librairie GSL. Les codes ont été compilés à l'aide du logiciel GCC.

3.2 Données et hypothèses

Dans cette section, toutes les données et les hypothèses pour aboutir aux résultats sont regroupées. Les caractéristiques des options à barrière tarifiées par la programmation dynamique et présentées dans les tableaux suivants sont principalement :

- constante - constante avec volatilité de type NGARCH(1,1); - quadratique - linéaire avec volatilité de type NGARCH(1,1); - linéaire - linéaire avec volatilité de type HNGARCH(1,1).

A côté de la programmation dynamique, nous avons effectué une simulation Monte-Carlo pour la validation de nos résultats. Les principales caractéristiques de cette simulation sont principalement :

3.3 Résultats de l'approximation quadratique-linéaire

Dans cette section, nous allons présenter les résultats dans le modèle NGARCH, puisque le calcul de toutes les matrices de transition pour cette approximation a été fait dans ce modèle. Les paramètres du modèle NGARCH sont : 0 = 0.00001, /fJ 1 = 0.8, /2 = 0.1, O = 0.3, À = 0.2.

Les paramètres de l'option à barrière sont : r = 0.1 (annuel), K = 100 dollars et H1 = 1.0989 x 10⁴. On assume le nombre de jours par année = 250.

Dans ces tableaux, on présente les résultats obtenus par l'approximation quadratique-linéaire dans la colonne (Quad - Lin). Nos résultats sont comparés dans la plupart des cas avec les valeurs obtenues de l'approximation constante - constante (Cste - Cste) et de la simulation des méthodes Monte Carlo.

Afin de justifier la rapidité et la précision de la convergence de notre méthode, deux critères sont présentés dans tous les tableaux :

- le CPU en secondes qui est le temps de calcul moyen de la valeur de l'option pour toutes les barrières à une grille de points bien déterminée;

- X2 MXN qui est le carré de la différence entre deux valeurs d'options obtenues pour deux grilles M x N consécutives pour l'approximation quadratique-linéaire. Les valeurs calculées pour X2 MXN sont données dans les tableaux à l'ordre de 10⁵.

Les valeurs soulignées dans ces tableaux montrent bien la convergence des résultats. En effet, à chaque fois qu'on augmente les points M x N de la grille MN, on remarque bien que les prix donnés pas l'approximation quadratique-linéaire convergent plus rapidement vers l'inervalle de la simulation que les prix donnés par l'approximation constante-constante.

Les tableaux 3.1-3.6 regroupent les valeurs des options à barrière de type Knock-out. Une propriété des options désactivantes se retrouve dans ces tableaux. En effet, on remarque bien que la valeur de l'option Knock-out diminue à chaque fois que le prix de la barrière s'approche du prix de l'actif sous-jacent initial 80. Ce résultat est prévisible puisque dans le cas où le niveau de la barrière est loin du prix 80, la probabilité pour que l'option s'annule est petite ainsi elle coûte plus cher.

Barrière	85			93
M x N	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 MXN	Quad - Lin	Cste - Cste	_Xj.,IXN	CPU
25 * 25	4.2116	4.8610	****	4.0868	4.6439	****	1
31 * 31	4.2130	4.7395	0.196	4.0927	4.5399	3.481	2
35 * 35	4.2131	4.6409	0.001	4.0944	4.5058	0.289	3
41 * 41	4.2124	4.5267	0.049	4.0972	4.3811	0.784	5
45 * 45	4.2120	4.4866	0.016	4.0986	4.3936	0.196	7
51 * 51	4.2132	4.4272	0.144	4.1002	4.3082	0.256	9
75 * 25	4.2120	4.3252	0.144	4.1027	4.2142	0.625	8
93 * 31	4.2124	4.2910	0.016	4.1047	4.1846	0.4	15
105 * 35	4.2126	4.2618	0.004	4.1055	4.1539	0.064	21
123 * 41	4.2128	4.2539	0.004	4.1064	4.1470	0.081	32
135 * 45	4.2128	4.2501	0	4.1070	4.1466	0.036	40
153 * 51	4.2128	4.2343	0	4.1075	4.1296	0.025	46

Simulation	[4.1935 4.2389]			[4.0844 4.1300] 39

Dans le tableau 3.1 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

Dans le tableau précédent, on remarque bien comment les prix obtenus par l'approximation quadratique-liéaire convergent rapidement. Cette conclusion est tirée à partir des critères suivants:

- comparaison avec l'approximation constante-constante et la simulation Monte-Carlo; - obtention d'un prix convergent à partir d'une petite discrétisation de la grille M x N; - obtention d'un résultat convergent en une seconde;

- convergence des prix vers une valeur exacte à chaque fois qu'on augmente la grille (diminution du X2 MXN).

Barrière	135			155
M x N	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 MXN	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 I,JXN	CPU
25 * 25	12.1177	11.8833	****	12.3676	12.6777	****	1
31 * 31	12.0727	12.0393	202.5	12.3671	12.6191	0.025	1
35 * 35	12.0745	11.8839	0.324	12.3644	12.5695	0.729	2
41 * 41	12.1014	11.9697	72.361	12.3676	12.5076	1.024	3
45 * 45	12.1002	12.0576	0.144	12.3641	12.4851	1.225	4
51 * 51	12.0870	12.0024	17.424	12.3677	12.4563	1.296	6
75 * 25	12.0992	12.0289	14.884	12.3675	12.3986	0.004	5
93 * 31	12.1050	12.0639	3.364	12.3673	12.3875	0.004	9
105 * 35	12.1032	12.0751	0.324	12.3672	12.3740	0.001	13
123 * 41	12.1077	12.0772	2.025	12.3671	12.3709	0.001	20
135 * 45	12.1057	12.0776	0.4	12.3667	12.3684	0.016	21
153 * 51	12.1044	12.0806	0.169	12.3667	12.3617	0	29

Simulation	[12.0592 12.1269]			[12.3314 12.4009]			36

Dans le tableau 3.2 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 135 et 155: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

Barrière Haute	110			125
Barrière Basse	95			95
M x N	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 MXN	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 IXN	CPU
25 * 25	0.2202	1.3868	****	3.5464	3.5555	****	2
31 * 31	0.2163	0.3072	1.521	3.5533	3.5733	4.761	3
35 * 35	0.2159	0.5160	0.016	3.5433	2.0538	10	4
41 * 41	0.2153	0.0708	0.036	3.5514	2.4147	6.561	7
45 * 45	0.2145	0.3743	0.064	3.5579	2.6560	4.225	9
51 * 51	0.2123	0.1883	0.484	3.5639	4.1806	3.6	13
75 * 25	0.2108	0.2071	0.225	3.5908	3.0914	72.361	10
93 * 31	0.2074	0.1600	1.156	3.5844	3.2927	4.096	18
105 * 35	0.2062	0.2077	0.144	3.5881	3.4217	1.369	27
123 * 41	0.2059	0.1852	0.009	3.5949	3.4909	4.624	42
135 * 45	0.2057	0.1928	0.004	3.5932	3.4437	0.289	54
153 * 51	0.2056	0.1835	0.001	3.5930	3.4887	0.004	60

Simulation	[0.1983 0.2175]			[3.5423 3.6055]			80

Dans le tableau 3.3 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Double Knock out. En d'autres termes, cette option est conditionnée par deux barrières limites. Ainsi, si le prix du sous-jacent franchit l'une de ces barrières à la hausse ou à la baisse, l'option s'annule. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On prend pour cette évaluation le niveau bas de la barrière toujours égal à 95 et pour le niveau supérieur, on prend deux valeurs de barrières 110 et 125: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

Barrière	85			93			97
M x N	Quad - Lin		X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	CPU
25 * 25	1.5616		****	0.3631		****	0.0293		****	1
31 * 31	1.5780		26.896	0.3682		2.601	0.0303		0.1	2
35 * 35	1.5783		0.009	0.3677		0.025	0.0311		0.064	2
41 * 41	1.5802		0.361	0.3773		9.216	0.0318		0.049	3
45 * 45	1.5876		5.476	0.3805		1.024	0.0321		0.009	4
51 * 51	1.5978		10.404	0.3839		1.156	0.0334		0.169	7
75 * 25	1.6006		0.784	0.3917		6.084	0.0338		0.016	5
93 * 31	1.6093		7.569	0.3958		1.681	0.0340		0.004	10
105 * 35	1.6144		2.601	0.3962		0.016	0.0350		0.1	14
123 * 41	1.6163		0.361	0.3987		0.625	0.0355		0.025	21
135 * 45	1.6177		0.196	0.3985		0.004	0.0353		0.004	27
153 * 51	1.6187		0.1	0.3989		0.016	0.0359		0.036	27

Simulation	[1.5549	1.6213]		[0.3600	0.4102]		[0.0300	0.0378]		35

Dans le tableau 3.4 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières 85_; 93 et 97: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

Barrière	85			93
M x N	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 MXN	Quad - Lin	Cste - Cste	X2 MXN	CPU
25 * 25	3.4328	4.1086	****	3.0089	3.4670	****	1
31 * 31	3.4328	4.6099	0	2.9952	3.4738	18.769	3
35 * 35	3.4327	4.5704	0.001	2.9850	3.2675	10.404	4
41 * 41	3.4326	4.3984	0.001	2.9705	3.4076	21.025	6
45 * 45	3.4323	4.3169	0.009	2.9617	3.3579	7.744	7
51 * 51	3.4325	4.1571	0.004	2.9484	3.2511	17.689	11
75 * 25	3.4310	3.7887	0.225	2.9288	3.0914	38.416	8
93 * 31	3.4310	3.7013	0	2.9223	3.0428	4.225	18
105 * 35	3.4309	3.6421	0.001	2.9165	3.0247	3.364	25
123 * 41	3.4307	3.5721	0.004	2.9149	2.9876	0.256	41
135 * 45	3.4305	3.5362	0.004	2.9139	2.9674	0.1	53
153 * 51	3.4304	3.5116	0.001	2.9136	2.9496	0.009	65

Dans le tableau 3.5 sont présentés les prix obtenus pour un Put américain de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. On ne présente pas de simuation dans ce tableau. En effet, la simulation des options américaines avec les méthodes Monte-Carlo présente quelques difficultés.

Barrière	115		135
M x N	Quad - Lin	X2 MXN	Quad - Lin	X2 MXN	CPU
25 * 25	0.3497	****	0.3885	****	1
31 * 31	0.3585	7.744	0.3887	0.004	2
35 * 35	0.3567	0.324	0.3881	0.036	3
41 * 41	0.3570	0.009	0.3875	0.036	5
45 * 45	0.3568	0.004	0.3879	0.016	6
51 * 51	0.3551	0.289	0.3880	0.001	9
75 * 25	0.3557	0.036	0.3881	0.001	7
93 * 31	0.3560	0.009	0.3873	0.064	14
105 * 35	0.3558	0.004	0.3877	0.016	20
123 * 41	0.3558	0	0.3876	0.001	33
135 * 45	0.3559	0.001	0.3876	0	38
153 * 51	0.3559	0	0.3874	0.004	41

Simulation	[0.3491 0.3643]		[0.3814 0.3973]		36

Dans le tableau 3.6 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 135: Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

Dans les tableaux suivants, on reporte les prix calculés des options à barrière de type Knockin. Contrairement aux options de type Knock-out, on constate que le prix de l'option activante est plus cher quand la barrière est proche de 80. Ceci vient du fait que la probabilité pour que l'option à barrière Down&In ou Up&In soit activée est plus élevée quand le prix de la barrière est voisin de 80.

Un autre cas particulier qu'on doit remarquer est que si à la date t = 0, le prix 80 franchit déjà la barrière, l'option Knock-in est alors activée et sa valeur est la plus élevée et est égale à la valeur d'une option vanille.

Barrière	90		95			110
M x N	Quad - Lin	X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	CPU
25 * 25	1.0802	****	1.9906		****	2.2342		****	1
31 * 31	1.0541	68.121	1.9697		43.681	2.2356		0.196	2
35 * 35	0.9940	361.201	1.9730		1.089	2.2356		0	4
41 * 41	0.9873	4.489	1.9526		41.616	2.2348		0.064	5
45 * 45	0.9838	1.225	1.9495		0.961	2.2344		0.016	7
51 * 51	0.9797	1.681	1.9464		0.961	2.2355		0.121	12
75 * 25	0.9690	11.449	1.9358		11.236	2.2342		0.169	10
93 * 31	0.9652	1.444	1.9299		3.481	2.2346		0.016	16
105 * 35	0.9648	0.016	1.9293		0.036	2.2347		0.001	24
123 * 41	0.9639	0.081	1.9285		0.064	2.2349		0.004	36
135 * 45	0.9635	0.016	1.9283		0.004	2.2349		0	50
153 * 51	0.9631	0.016	1.9277		0.036	2.2349		0	62

Simulation	[0.9448 1.0156]		[1.9113	1.9854]		[2.2214	2.2574]		32

Dans le tableau 3.7 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & In. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs 90 et 95 en-dessous du prix initial de l'action et une valeur égale à 110 au-dessus de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

Barrière	95			105			110
M x N	Quad - Lin		X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	Quad - Lin		X2 MXN	CPU
25 * 25	4.2144		****	3.5462		****	2.1706		****	1
31 * 31	4.2157		0.169	3.6135		452.929	2.1502		41.616	4
35 * 35	4.2158		0.001	3.6280		21.025	2.1022		230.4	5
41 * 41	4.2149		0.081	3.5824		207.936	2.1452		184.9	7
45 * 45	4.2145		0.016	3.6038		45.796	2.1437		0.225	9
51 * 51	4.2156		0.121	3.6230		36.864	2.1225		44.944	14
75 * 25	4.2143		0.169	3.5857		139.129	2.1167		3.364	12
93 * 31	4.2147		0.016	3.5788		4.761	2.1070		9.409	21
105 * 35	4.2148		0.001	3.5866		6.084	2.1308		56.644	30
123 * 41	4.2150		0.004	3.6066		40	2.1296		0.144	47
135 * 45	4.2150		0	3.6094		0.784	2.1239		3.249	63
153 * 51	4.2150		0	3.6030		4.096	2.1211		0.784	80

Simulation	[4.1923	4.2377]		[3.5748	3.6316]		[2.0934	2.1518]		34

Dans le tableau 3.8 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & In. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs 105 et 110 au-dessus du prix initial de l'action et une valeur égale à 95 en-dessous de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

3.4 Résultats de l'approximation bilinéaire

A l'aide de l'approximation bilinéaire, nous pouvons calculer la valeur d'une option à barrière dans tous les modèles GARCH(1,1). Dans cette section, nous présentons les résultats dans le modèle HNGARCH présenté par les équations (2.3). Les paramètres du modèle HNGARCH sont : 0 = 0.000005, /31 = 0.6, /2 = 0.0000015, 0 = 400, À = 0.2.

Les paramètres de l'option à barrière sont : r = 0.05 (annuel), T = 30 jours et H1 = 6.16 x 10^-5. On assume le nombre de jours par année = 365.

Barrière	40		45
M x N	Lin - Lin	X2 MXN	Lin - Lin	X2 MXN	CPU (sec)
25 * 25	1.1558	****	0.6242	****	5
51 * 51	0.8077	12117.361	0.5971	73.441	112
71 * 71	0.6731	1811.716	0.5823	21.904	582
101 * 101	0.5708	1046.529	0.5194	395.641	877
131 * 131	0.5117	349.281	0.4604	348.1	2415
141 * 141	0.4944	29.929	0.4522	6.724	3590
151 * 151	0.4823	14.641	0.4431	8.281	4249
171 * 171	0.4765	3.364	0.4401	0.9	7624

Prix moyen	0,4724		0,4302
Simulation	[0,4467 0,4981]		[0,4010 0,4595]		76

Dans le tableau 3.9 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est S0 = 50 et le prix d'exercicede K = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 40 et 45. Le prix moyen donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

Comme le montre ce tableau, on constate un CPU très élevé pour le calcul des prix théoriques avec l'approximation bilinéaire. Ceci s'explique par le fait que le nombre d'opérations a augmenté à cause du changement de l'espace d'états de la fonction valeur de l'option. En effet, pour l'approximation quadratique-linéaire, la fonction valeur v dépend uniquement de deux variables d'états St et _Ht+1. Par contre, pour l'approximation bilinéaire, la fonction

FIG. 3.1: Convergence du prix d'un Put Down & Out à l'aide de la programmation
dynamique

Barrière	115		125
M x N	Lin - Lin	X2 MXN	Lin - Lin	X2 MXN	CPU (sec)
25 * 25	7.4140	****	9.8502	****	5
51 * 51	6.4376	95335.696	9.1966	42719.3	105
71 * 71	6.3473	815.409	8.7448	20412.3	442
101 * 101	5.9733	13987.6	8.1111	40157.6	1058
131 * 131	5.7860	3508.129	7.5244	34421.7	3016
141 * 141	5.6234	2643.876	7.2451	7800.85	4385
151 * 151	5.5841	154.449	7.1570	776.161	5481
171 * 171	5.5732	11.881	7.1249	103.041	8451

Prix moyen	5.5659		7.1319
Simulation	[5.5403 5.5915]		[7.0996 7.1642]		77

Dans le tableau 3.10 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et le prix d'exercice est K = 100 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 125: Le prix moyen donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

FIG. 3.2: Convergence du prix d'un Call Up & Out à l'aide de la programmation dynamique

Comme la fonction valeur d'une option en général est une fonction convexe, il est évident qu'une approximation linéaire va être moins efficace qu'une fonction quadratique. En effet, comme le montrent les deux tableaux précédents, on doit augmenter d'avantage la discrétisation pour atteindre la convergence. Ceci va engendrer un coût supplémentaire pour la mémoire de la machine et du temps de calcul.

3.5 Conclusion

Dans les différents tableaux présentés dans ce chapitre, on a pu diversifier les calculs pour regrouper une grande partie des différents types d'options à barrière. En premier lieu, nous avons calculé des valeurs théoriques pour différents options à barrière pour l'approximation quadratique-linéaire. Cette approximation a montré ses avantages de point de vue précision

et temps de calcul et ceci en comparant les prix trouvés par d'autres modèles de tarification. Cette approximation est couplée avec le processus NGARCH(1,1).

En deuxième lieu, nous avons présenté les prix obtenus à partir de l'approximation bilinéaire. Cette approximation s'adapte facilement pour tous les processus GARCH existants, ce qui explique la lourdeur de ce modèle. En effet, l'augmentation de l'espace d'états de la fonction valeur de l'option a eu un impact négatif sur le temps de calcul.

En comparant les résultats obtenus pour les deux approximations, on constate que les prix trouvés par l'approximation quadratique-linéaire convergent plus rapidement, c'est à dire pour une petite discrétisation de la grille des points. Ce résultat est prévisible. En effet, comme la fonction valeur est convexe par rapport à S , alors une approximation quadratique sur S approche mieux la fonction qu'une approximation linéaire. Ainsi, pour l'interpolation bilinéaire, une taille assez de la grille est requise pour atteindre la convergence.

Conclusion et perspectives

Ces dernières années, les options à barrière ont connu un grand essor dans les différents marchés financiers et ceci grâce à leurs capacités de réduction de risque pour leurs propriétaires. Pour évaluer ces options, plusieurs méthodes numériques ont été présentées dans la littérature. Dans notre travail, nous avons proposé une nouvelle procédure de tarification de tous les types des options à barrière basée sur la programmation dynamique sous le modèle GARCH avec innovations gaussiennes. Les principaux avantages de notre méthode par rapport aux autres résident dans la facilité de son implémentation et la précision de ces résultats. Contrairement aux autres méthodes, celle qu'on a présentée est proche de la réalité du fait qu'elle tient compte des différentes propriétés des séries financières grâce au processus GARCH. La programmation dynamique utilisée dans ce projet a été couplée avec deux types d'approximations polynomiales.

La première approximation à laquelle on a eu recours est donnée par une approche quadratique- linéaire sur les deux variables d'état de la fonction valeur de l'option (prix - volatilité). A l'aide de cette approxiamtion, nous avons obtenu d'excellents résultats, rapides et précis. L'efficacité de cette approximation vient du fait que la fonction valeur est convexe donc une fonction quadratique l'approche nettement mieux qu'une autre approximation d'ordre inférieur. La rapidité de la convergence des prix de l'option à barrière a été démontré en la comparant avec d'autres procédures tirées de la littérature. Cette approximation a été utilisée uniquement pour le modèle NGARCH(1,1). Cette restriction au modèle NGARCH rend l'approximation plus spécifique et plus limitée dans son utilisation.

La deuxième approximation proposée lève cette restriction. En réduisant l'ordre de l'interpolation et en augmentant le nombre de variables d'états de la fonction valeur de l'option, l'approximation bilinéaire est une méthode numérique simple à implémenter et qui s'adapte à tous les processus GARCH. Certes cette méthode est efficace dans la précision de ces résultats mais coûte cher de point de vue temps de calcul.

Certes le modèle de tarification des options à barrière par la programmation dynamique sous le modèle GARCH a donné d'excellents résultats pour les différentes approximations polynomiales associées, plusieurs perspectives sont envisageables pour améliorer l'efficacité de la méthode. Pour l'approximation quadratique-linéaire, on peut élargir l'espace d'état de la fonction valeur pour englober tous les processus GARCH. On subira un coût de temps de calcul supplémentaire mais dans ce cas, on aura un algorithme général et efficace. Pour l'approximation bilinéaire, on peut avoir recours au parallel computing qui va effectuer des calculs en parallèle. En effet, les éléments de la matrice de transition sont indépendants les uns des autres. D'autre part, ce travail est extensible aux modèles GARCH(1,1) avec innovations non-gaussiennes telles que la normale inverse gaussienne. Enfin, une validation empirique des résultats obtenus par ce modèle de tarification peut être réalisé et ceci en comparant les prix théoriques aux prix du marché.

Bibliographie

Annexe A : Matrices de transition

dans le modèle NGARCH

Et+1 j Ft~ N (0, 1),(3.3) On pose 'y = O + À, s = St,o = St-1, y = Ht+1 et h = Ht. A partir des équations (3.1) et (3.2), nous allons déterminer le terme d'erreur Et en fonction des variables du modèle.

L'équation (3.2) donne deux formes de Et données par les fonctions f1 et f2 comme suit:

Maintenant, en appliquant ces équations aux points de la grille MN, ces formules deviennent:

On note ainsi que l'événement ak exp(r -- bl ₂+ NdlE) 2 [ai, ai+1) correspond à l'événement E 2 [aikl, ai+1,kl)
· De même, on note que l'événement y 2 [dj, dj+1) correspond à E 2 [ 1 jl, 1j+1,l)u [ 2j+1,l, 2

On rappelle que les matrices de transition pour l'approximation quadratique-linéaire sont :

Afin d'alléger l'écriture des formules de ces matrices, on pose Cp,ijkl = c_p pour p E {1, 2, 3, 4} et on pose :

Si on pose 4) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, les matrices de transition s'écrivent alors :

= ake^r (1[1(4)(C2--'Vdl) -- 4)(c1 --_/'Vdl)) +(1[2(4)(C4 -- 'Vdl) -- 4)4 -- \Ml)))

(= a?,e^2r+dl I1 ((D (c2 -- Wdl) -- 4e (c2 -- Wdl)) +I2 (l) (c4 -- Wdl) -- 4) (c3 -- Wdl)))

Annexe B : Constantes de

l'interpolation bilinéaire

Pour l'approximation bilinéaire, on rappelle que la variable _Ht+1 est déterministe et se calcule à partir de l'équation suivante:

En appliquant cette formule aux points de la grille MN, on a pour j, k = 1, ..., M et l = 0, :::, N

Les constantes utilisées pour le calcule de la valeur de détention de l'option à barrière dans l'approxiamtion bilinéaire sont:

Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

Remerciements