Régulation des Flux de Trafic Aérien

Chapitre 4

Modélisation Mathématique

4.1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons présenter le modée mathématique de notre probleme. La cible a atteindre est une meilleure répartition de trafic dans le temps c'est a dire le minimum desretards des vols, meilleure dans le sens ou la congestion des secteurs aériens serait fortement réduite doncle maximum possible desécurité.

Pour atteindre notre objectif nous avons passé pardeux modélisations.Pour la régulation des vols en minimisant aduréedes retards, les compagnies aériennes doivent déposer pour chacunde leurs vols un plan vol. Ce plan de vol doit être déposé au moins 3 heures avant l'heure de décollageLe plan de vol contient entre autres, les informations suivantes

~ le numéro d'identification del'avion etson type

~ le code de l'aéroport de départ et darrivée

~ l'heure estimée du départ ;

~ la vitesse, le niveau de vol etla route définie par une suite de balise. En période de pointe de trafic, le vol peut êtreretardé et un autre créneau de décollage lui est attribué selon la regle <premierplanifié, premier servi >>.

Ce chapitre commence parla description de notre premiire formulation mathématique du probleme, ensuite la formulation définitive et on termine par donner sa taille.

Nous avons procéder par 2 approches de modélisationde notre probleme pour cela nous allons poser les deux versions.

4.2 Le premier modéle 4.2.1 Notations

N3t : nombre de vol a contrOler dans un secteur pendant une heure

j= 1,..,7, t= 1,..,24.

j : indice de secteur.

i : indice du vol a contrOler ;

i=1,..,N3t. 46

C3t : capacité du secteur j pendantlheure t (le nombre maximumde vols pris en charge parle contrOleur dusecteur pendant 'heur t). C : créneau affécté au vol i

T :l'instant prévu de décollage du voli, T E C ;

H :le créneau du vol i.

4.2.2 Les variables

X 3t = 1 si le vol i est contrOlé dansle secteur j pendant lheure t(0 sinon).

R = 1 si le vol i a été retardé c'est a dire si T ~ H + 10mn (0 si H -5mn<T <H + 10mn).

y : la durée du retard du voli ; y ~ 0.

Z = 1 si le vol i posséde un créneau définitif (0sinon)

4.2.3 La fonction objectif

XminZ = _X Z R y X 3t.

3

4.2.4 Les contraintes

Contrainte relative a la capacité du secteur

X 3t < C3t ?j=1,..,7;?t=1,..,24.

Contrainte relative au créneau

Z R [y - (T - (H + 10mn))] = 0 ; ?i=1,..,N3t

Contrainte relative au retard (1-R )y =0; ?i=1,..,N3t

Contrainte relative au processus Z + R ~ 1 ; i = 1, .., N3t

4.2.5 La formulation mathematique

C'est un probléme non linéaire a variables mixtes, ilse ormulede

(F)	? ? ?????????????? ???????????????

XminZ = _X Z R y X 3t

3

_X X 3t C3t; Vj=1,..,7,Vt=1,..,24.

Z R [y - (T - (H + 10mn))] = 0; Vi = 1, .., N3t
(1-R )y =0; Vi=1,..,N3t
Z +R ~1; Vi=1,..,N3t
X _3t,R ,Z E{0,1} Vi=1,..,N3t,Vt=1,..,24,Vj=1,..,7

Y ~0, Vi=1,..,N3t

4.2.6 Taille du problème

Nombre de variables :Njt x 7 x 24 + 3Njt Nombre de contraintes24 x 7 + 3 x Njt pour un nombre de vol égale a 438 vols on a Nombre de variables :74898

Nombre de contraintes1482

4.3 Le deuxiéme modéle 4.3.1 Notations

I : ensemble des vols

A : ensemble des secteurs aérien

i : indice des vols

j : indice de secteur

t : instant de décollage initiale pour le vol i

L : ensemble des instants de décollage possibles pour le vol i (discrétisation a la minutedans lalimite des 5 minutes avant et10 minutes aprés le créneau

t -5 s t + 10

T :ensemble des tranches (périodes) horaires(24 heures)

s :instant de décollage

t :indice de période

C3t : capacité du secteur j en période t

'w s(j, t) = 1 si le vol i décollant a l'instant s traverse le secteur j en période t.

4.3.2 Définition des données

Pour définir 'w s(j, t) on prend l'exemple suivant

'w s(j, t) est bien une donnée du probléme (cest a dire les données du plan de vol) car on suppose qu'on connaîtpour un vol la route qu'il va emprunter (définie dansle plan de vol) et donc son instant d'entrée et de sortie dans chacun des secteurs traversés.Par exemple, sie vol i traverse les secteurs dans l ordre suivant 1 - 5 - 7 - 3,admettons qu'il entre dans le secteur 1 al instantt=O, quil entre ensuite danse

seeteur 5 en t=45 (minutes) puis dans le seeteur 7 at=78, puisdans le seeteur 3 en t=92 et atterrisse ent=103.

Si son instant de décollage est s = 7H33 (soit 7 x 60 + 33 = 453 minutes), il est dans le seeteur 1 entre 7H33 et 7H33 + 45 = 8H18, il est done dans le seeteur 1 entre 7h00 et 8h00(tranche horaire8, si on numerote la tranehe horaire 1celle entre 0H00et 1H00) etdanse seeteur 5 entre 8H00 et 9H00 (tranche horaire9). On adonn

T'V ₅(1, 8) = 1, T'V ₅(1, 9) = 1, et w ₅(1, *) = 0 pour toutes les autres

tranehes. De manière analogueil sera dans le secteur 7 entre

7H33 + 78 et 7H33 + 92, done entre 8H51 et 9H05,done w ₅(7, 9) = 1

et w ₅(7, 10) = 1.On remarque ainsi, que eonnaissant laliste des seeteurs traverses avee la durée detraversée, on peut allulertouses eoéfieients w ₅(j, t).

Avee * : représente toutes les autres valeurs des tranches horaires.

4.3.3 Definition des variables

x 5 = 1 si l'avion i déeolle a l'heure s (0 sinon) r : la durée du retard du voli

4.3.4 La fonction objectif minZ = _X r

EI

4.3.5 Les contraintes Contrainte relative a l'affectation

_X x 5 = 1 Vi E I Chaque avion possede un unique instant de

5ELi

déeollage.

Contrainte relative au non dépassement de capacité _{X X} w ₅(j, t)x ₅ = Cjt VjEA ,VtET

EI 5ELi

Contrainte relative au créneau _X sx ₅-r =t Vi E I

5ELi

x ₅E{0,1}, r =0, ViEI, VsEL

4.3.6 La formulation mathematique

C'est un probleme linéaire a variables mixtes qui se formule comme

suit : (F)

? ? ??????????????? ????????????????

X EI

r

XminZ =

EI

_X x s=1 ViEI

sELi

_X w s(j, t)x s <Cjt, Vj E A, Vt E T

sELi

_X sx s-r <t ViEI

sELi

x sE{0,1} ViEI, VsEL
r = 0 Vi E I

4.3.7 Taille du problème

Nombre de variables I + I L

Nombre de contraintes2 I + A T

pour un nombre de vol egale a 438 vols on a

Nombre de variables 7448

Nombre de contraintes1044

Comme on peut le voir le nombre de variables et contraintesdu premier modéle est plus grand que le second donc on achoisi a seconde formulation