Solvabilité II: Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en assurance

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

REMERCIEMENTS

Qu'il me soit permis ici de remercier très sincèrement :

· Madame Anne Lavigne, d'abord pour avoir accepté diriger ce travail et surtout pour sa patience, sa disponibilité, sa rigueur et ses conseils prolifiques dans la direction de ce mémoire;

· Messieurs Gilbert Colletaz et Christophe Hurlin, les responsables du master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA);

· Tous les professeurs d'économie de l'université d'Orléans et particulièrement ceux du master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA);

· Et enfin tous mes camarades de promotion.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

RESUME

Assainir et rendre plus transparente la gestion de tous les secteurs financiers fait partie des objectifs des organisations financières internationales, afin de les rendre plus compétitif. Ainsi, parle-t-on, beaucoup aujourd'hui de convergence des réglementations prudentielles des différents secteurs. A l'instar des autres pays, notamment les Etats-Unis, le Royaume-Uni, et le Japon, l'Union Européenne a commencé par réformer le secteur Bancaire -d'abord Bâle I puis les directives CRD (ou Bâle II). Il était donc temps de transposer cette démarche au secteur de l'assurance. Ainsi donc se penche-t-elle désormais aussi sur la question du contrôle de la solvabilité des assureurs, projet connu sous le nom de Solvency II. Les débats menés autour du secteur bancaire doivent naturellement venir nourrir ceux qui auront lieu dans le cadre de ce projet de solvabilité. Solvency II n'en serait que l'aboutissement. Plusieurs autres facteurs ont encouragé cette réforme notamment, l'apparition de nouveaux risques (terrorisme, pandémie); l'évolution des techniques financières (science actuarielle) et intégration croissante finance / assurance ; le retrait progressif des institutions publiques de certains domaines (retraite, santé) ; et d'autres facteurs encore mineurs aujourd'hui tels que sont la croissance de la concurrence et la non incitation des entreprises à mieux connaître et gérer leurs risques.

Nous nous sommes proposé dans ce mémoire de vérifier la pertinence des approches calculatoires pour les exigences de capital, énumérées au Pilier 1 des principes de base de cette proposition de Directive selon les différents secteurs d'activité de l'assurance.

Nous avons dans un premier temps montré que le système Solvency II visait à améliorer Solvency I ; le cadre de solvabilité actuel. Nous avons au passage noté que ces deux projets visent une meilleure couverture des véritables risques d'une compagnie d'assurance. Et que, la différence majeure entre Solvency I et Solvency II réside dans le fait que la marge de solvabilité sera dépendante du niveau de risque de la société. Et surtout que Solvency II prend mieux en compte l'exposition aux risques ; ces derniers donnant sens à l'activité même de l'assurance. Solvency II reposant sur des piliers, nous avons ensuite discuté des approches calculatoires qui permettent la détermination des niveaux d'exigences de capitaux évoqués au Pilier 1. Ceci nous a amené à discuter des avantages et insuffisances de chaque approche selon le secteur d'activité. Au-delà de quelques spécificités propres à chaque approche, le bonus de diversification a constitué la différence fondamentale entre ces deux approches. A l'aide de l'évolution des ratios de couverture de marges, nous avons montré que la formule standard suggérée lors de la troisième étude quantitative d'impact est bien adaptée à l'assurance non-vie. Et qu'à l'opposé, l'utilisation d'un modèle interne est plus pertinente en assurance vie. Les données des entreprises fictives Ariskov vie et Ariskov non-vie nous ont permis de valider ces hypothèses. Cependant, par mesure de simplification d'ordre technique, nous n'avons pas pris en compte tous les risques notamment les risques de crédit ni les risques opérationnels qui ne sont pas nuls. Par ailleurs, pour les risques de marché, nous n'avons considéré que les risques actions et les risques de taux sans prendre en compte les possibilités de rachats avant échéance qui constituent pour l'assurance vie un facteur important dans sa solvabilité. Dans un cadre moins restreint, une étude plus globale prenant en compte toutes les risques que nous avons présentés dans ce mémoire permettrait de montrer la robustesse de notre hypothèse.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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CHAPITRE INTRODUCTIF

A l'échelle européenne, si les premières exigences de marges de solvabilité remontent aux directives de 1973 pour l'assurance non-vie, et de 1979 pour l'assurance vie, dès 1997, le rapport Müller préconisait des modifications de ces directives. Ainsi, le projet de Directive Solvency I visait à renforcer la protection des assurés par un relèvement de la marge de solvabilité -c'est-à-dire la réserve de capital supplémentaire que les institutions d'assurance doivent détenir pour pouvoir faire face à des événements inattendus- obligatoire des entreprises d'assurance vie et non-vie soumises à la surveillance de l'autorité. Le relèvement du seuil de garantie minimum risquait cependant de peser davantage sur les petites sociétés.

La problématique d'une révision plus radicale des règles de solvabilité n'est qu'une conséquence de cette remarque. En effet, l'intensification de la concurrence et les transformations du secteur accentuent les tensions qui s'exercent sur les entreprises d'assurance et justifient que l'on renforce le contrôle prudentiel, afin d'offrir une protection toujours satisfaisante aux assurés.

Les mesures prudentielles doivent constituer à la fois un contrôle mais aussi une assistance vis-à-vis des assureurs. En effet, Solvency I laisse une large marge de manoeuvre aux organismes de supervisions nationaux qui peuvent compléter les exigences à leur discrétion, puisque ces dernières sont minimales. Elle tolère les ajouts de normes supplémentaires, les possibilités de dérogations. De plus les exigences de solvabilité sont calculées sur la base de leurs valeurs comptables alors qu'on connaît les multiples limites de ces méthodes comptables, bien qu'il existe une harmonisation des normes comptables (IFRS).

Solvency II, comme la Directive CRD pour les banques (transposition de Bâle II en droit européen), repose sur trois "piliers". Le premier pilier s'intéresse aux exigences quantitatives (les provisions techniques et les fonds propres (Minimum de Capital Requis -MCR et Capital Souhaité ou Cible-SCR)) qui deviendront des seuils réglementaires. Le deuxième pilier a pour objectif de fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne aux sociétés et de définir comment l'autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. Enfin, le troisième pilier synthétise l'ensemble des informations détaillées que les autorités de contrôle jugent nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance.

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Ces deux projets visent une meilleure couverture des véritables risques d'une compagnie d'assurance. La différence majeure entre Solvency I et Solvency II réside dans le fait que la marge de solvabilité sera dépendante du niveau de risque de la société.

A l'instar des autres pays ayant déjà opté pour des dispositions similaires (Royaume-Uni, Suisse, Australie...), la façon dont le risque va être pris en compte devra dépendre des spécifications et calibrage retenus. Bien que les modalités de calcul exactes du MCR et du SCR ne soient pas encore adoptées, il apparaît clairement que le SCR devrait devenir l'outil principal des autorités de contrôle. En effet, le SCR est le seul à être basé sur l'exposition aux risques, en incorporant tous les risques liés à l'activité de la compagnie, c'est-à-dire principalement : le risque de souscription, le risque de crédit, le risque opérationnel, le risque de liquidité et le risque de marché. Une compagnie qui ne serait pas en mesure de démontrer que son niveau de fonds propres est suffisant pour couvrir ces risques devra soumettre à son autorité de contrôle pour approbation un plan précisant comment et quand elle pourra concrètement respecter ces critères. Si l'on s'en tient à la législation du Royaume-Uni (Individual Capital Assessment) aussi bien qu'à celle de d'autres pays¹, elle spécifie que le capital doit être suffisant pour pouvoir couvrir ces risques avec une probabilité de 99,5% sur une année ou un niveau inférieur sur un horizon plus lointain selon le type d'affaires souscrites par la société.

L'ensemble des dispositions² restant à définir, Guibert et Dénis (2006), se sont interrogés sur la structure des éléments qui devront composer cette nouvelle directive et son impact sur la forme de gestion interne des sociétés d'assurances. Ils se sont intéressés aussi bien à la dimension quantitative qu'aux autres enjeux sur le contrôle prudentiel (valeur comptable par opposition à valeur de marché). Plusieurs études d'impacts (Quantitative Impact Studies-QIS) ont été lancées parallèlement à des lettres de consultations (Consultation Paper-CP) afin de spécifier et de calibrer les différents modèles de gestion aussi bien internes qu'externes. Ces études d'impact émanant des instances européennes sont des questionnaires adressés aux entreprises d'assurance. Trois d'entre elles sont déjà réalisées et les entreprises d'assurances se livrent actuellement à la quatrième étude.

¹ Swiss Solvency Test en Suisse ou Traffic Light System en Suède, ...etc.

² Date définitive de spécification et de calibrage des formules : Octobre 2009

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Au vu de ces différentes études, une des questions fondamentales est de savoir quelle est la formule de détermination des exigences quantitatives à retenir. Deux approches sont encore discutées : (1) la formule standard, basée sur le principe du Risk-Based Capital, qui consiste à traduire chacun des « risques » de l'assureur par une exigence de capital et dont la somme amène à une exigence unique d'un capital minimum ; et (2) les modèles internes qui sont pour un gestionnaire d'assurance un outil de simulation qui vise à anticiper la réalisation d'événements futurs et leurs impacts, en particulier sur la solvabilité de sa compagnie (modèle de risque de ruine ou test de résistance). La formule standard est-elle adaptée ou doit-on recourir à l'utilisation d'un modèle interne dans le calcul des différentes exigences ?

Deux niveaux d'exigences sont alors définis pour le passif : (1) les exigences du provisionnement calculées avec une marge de prudence dans les provisions et autres engagements, (2) ainsi que celles du capital qui imposent deux seuils de capitaux (MCR et le SCR définis plus haut). D'autre part, Serant (2006) a étudié la possibilité de prendre en compte une marge de prudence dans le calcul des provisions. En effet, revenant sur les spécifications techniques des études quantitatives d'impact, il s'est demandé le sens que pourrait avoir une marge de prudence³ alors que le capital minimal requis est lui-même censé couvrir les risques d'insuffisance de provisionnement dans des scénarios extrêmes. Il rappelle qu'une marge de prudence n'est requise que pour les risques non « couvrables » (non-hedgeable risks), c'est-à-dire ceux faisant l'objet d'une valorisation sur un marché organisé et qui, par définition, devra permettre d'atteindre un niveau de provisionnement correspondant à un quantile (75^e percentile) de la distribution de la valeur actuelle des prestations futures générées⁴. En fait, la question centrale était d'identifier l'approche de valorisation associable à un instrument non coté. Puisque le passif d'assurance est très rarement composé de risques faisant tous l'objet d'une valorisation sur un marché organisé, il confirme l'alternative à la méthode par quantile avancée par les assureurs ; celle de la méthode du coût du capital qui évite la plupart des problématiques identifiées sur la méthode par quantile et qui propose une cohérence avec la notion de juste valeur d'un contrat au sens des normes de références (International Financial Reporting Standard-IFRS). Le problème de l'évaluation du capital posé par cette approche⁵ et la solution pratique mise en place dans le cadre du Swiss Solvency test lui semble tout à fait pertinente : calcul du capital retenu pour le coût du capital en supposant un provisionnement limité au niveau

3 C'est la réserve que les institutions d'assurance doivent détenir pour pouvoir faire face à aux risques de provisionnement ou encore la rémunération du risque que prend l'acquéreur éventuel du portefeuille (droits et obligations contractuels)

⁴ Selon les intentions du CEIOPS à travers les spécifications de ses QIS.

⁵ Capital nécessaire pour évaluer les passifs dont l'évaluation sera utilisée pour l'évaluation du capital (tel un cercle vicieux)

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du best-estimate⁶. Mais il propose l'utilisation des données de marché basées sur un portefeuille pleinement diversifié pour son évaluation et non pas des données spécifiques à l'entreprise ; cela permettant de pallier l'éventualité de la cession d'un portefeuille d'assurance, toutes choses égales par ailleurs.

Il montre ensuite que l'utilisation de modèle interne dans la détermination des exigences quantitatives devra être une norme minimale que le régulateur devra imposer. En effet, il part (1) du fait que dans certains pays, il existe un système de rémunération discrétionnaire assise sur les produits financiers de l'année, ce qui nécessite une valorisation market consistent pour la couverture de risques financiers et (2) que l'estimation du kc-facteur - facteur d'absorption des pertes futures par les participations bénéficiaires futures en assurance vie -, fonction de divers paramètres (environnement commercial, niveau des taux minimums garantis...) implique l'utilisation d'un modèle interne. Il montre que la complexité de l'exercice de Solvency II impose de recourir aux modèles internes dans la détermination des exigences quantitatives.

Utilisant l'étude quantitative réalisée par B&W Deloitte en Assurance vie sur

l' « entreprise France » (entreprise fictive représentant l'ensemble du secteur vie en France), il montre par exemple une baisse considérable du ratio de couverture (qui passe de 133 à 108) du simple fait de l'utilisation d'un modèle interne. Il explique cela par le fait d'une meilleure prise en compte de risques largement ignorés par les réglementations précédentes.

Il faut cependant noter qu'au cours de la période pendant laquelle Serrant (2006) faisait son étude, on était encore à la deuxième étude quantitative d'impact (QIS 2), et que dans la QIS 3 beaucoup d'améliorations ont été apportées, notamment les paramètres d'atténuation des risques qui ne sont plus calculés suivant les mêmes méthodes pour le SCR et le MCR dans QIS 3. En effet, les MCR négatifs obtenus pour plusieurs assureurs vie-mixtes dans QIS 2 ont été à la base de cette modification. Donc dans QIS 3, l'approche modulaire pour le calcul du KC-factor dans le SCR selon la procédure « bottom up » est maintenue, mais elle n'est plus reprise pour le calcul du RPS (Reduction for Profit Sharing⁷) dans le MCR. Le RPS est unique pour tous les risques et vient réduire le MCR final de la somme de toutes les participations bénéficiaires futures. Le nouveau MCR semble tenir compte de la complexité de l'exercice que soulignait Serrant (2006).

⁶ Méthode optimale de détermination des provisions techniques dans le passif d'un bilan : c'est la valeur actuelle probable des flux de trésoreries futurs déterminée à partir de la courbe pertinente des taux sans risque.

⁷ Mécanisme de réduction des risques à travers la prise en compte de la participation aux bénéfices futurs.

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Le but de Solvency II sera d'amener les acteurs du secteur de l'assurance à immobiliser un capital minimum permettant de couvrir dans 99,5 % des cas une survie de leur société, mais la détermination de ce niveau de capital ne devrait pas dépendre de l'approche calculatoire. Et même dans un objectif visant à harmoniser des approches de détermination, bien qu'une modélisation interne soit préférable à une formule standard, ne devrait-on pas tenir compte du secteur d'activité, à savoir vie ou non vie ? En d'autres termes, compte tenu des spécificités de chacun de ces secteurs, l'utilisation d'un modèle interne n'est-elle pas plus pertinente en assurance vie qu'en assurance non vie ?

Nous supposons que l'utilisation d'une approche donnée pour la détermination des exigences de solvabilité devrait être fonction du type ou du secteur d'activité. Nous nous intéresserons dans le cadre de cette étude, à l'assurance directe, en nous basant sur la note de synthèse de l'acte préparatoire II de la 412^ème session plénière du Comité Economique et Social Européen⁸, qui précise que le secteur de la réassurance est bien réglementé et qu'il se porte bien, s'agissant de la réassurance simple (vie et non-vie) ou des captives de réassurance⁹. Nous utiliserons comme critère de comparaison l'évolution relative des règles de solvabilité : provisions suffisantes et couverture objective et non aléatoire des engagements. Le ratio de couverture de marge brute prend en compte ces éléments.

Nous commençons le premier chapitre, par une présentation des deux référentiels de solvabilités en montrant les avantages et insuffisances de chacun d'entre eux et nous finirons par une synthèse comparative. Le deuxième chapitre traite des approches calculatoires des exigences de marges, notamment le SCR : comme au premier chapitre, nous en ferons une analyse comparative. Quant au troisième chapitre, il montre la pertinence du choix de l'approche calculatoire selon le secteur d'activité ; c'est le moment pour nous de montrer que l'utilisation d'un modèle est plus pertinente en assurance vie qu'en assurance non-vie. A l'aide du dernier chapitre, nous validons cette hypothèse. Par ailleurs, ce dernier chapitre donne l'occasion à une discussion avec d'autres résultats.

⁸ 412^ème session plénière des 27 et 28 octobre 2004

⁹ Une captive de réassurance est une entreprise de réassurance détenue par une entreprise ou un groupe d'entreprises qui n'exercent pas leurs activités en tant qu'assureurs directs ou réassureurs. La mission d'une captive se limite à la fourniture de produits de réassurance couvrant les risques de l'entreprise ou du groupe d'entreprises dont elle fait partie.

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CHAPITRE I : SOLVENCY II : UNE AMELIORATION DE SOLVENCY
I A TRAVERS UNE MEILLEURE PRISE EN COMPTE DE
L'EXPOSITION AUX RISQUES

SECTION I : Solvency II : Objectif ou critère de qualité

Le cadre actuel de mesure de la solvabilité des compagnies d'assurance, nommé « Solvency I », comporte plusieurs faiblesses dont les principales sont, d'une part l'inadaptation de la pesée des différents risques portés par les organismes assureurs dans le calcul de la marge de solvabilité, et d'autre part l'absence de convergence financière au niveau international. Cette situation ne saurait rester sans intervention de la Commission européenne qui désire donc, à l'horizon 2010, la corriger à travers la mise en place d'un cadre nouveau de mesure de solvabilité des entreprises d'assurance européennes, et commun à l'ensemble des pays membres de l'Union.

PARAGRAPHE 1 : Solvency I, un peu d'histoire

Avant même de savoir en quoi le nouveau cadre Solvency II (en projet) sera meilleur que celui utilisé actuellement, il est légitime de se demander pourquoi il faut instaurer un nouveau cadre et notamment, examiner les éventuelles limites de Solvency I.

Les règles de solvabilité sont devenues vétustes. Le marché financier a évolué. Toutes les conditions étaient réunies pour réviser les anciennes Directives. Les règles de mesure de la solvabilité actuellement appliquées par les organismes assureurs de l'Union européenne sont en partie harmonisées. Elles sont le fruit de la mise à jour, le 05 mars 2002, des anciennes directives des années 70 et sont réunies sous le nom de Solvency I. Elles fixent (1) des exigences de composition des actifs et de couverture des engagements par des actifs adéquats (2) la présentation annuelle d'un rapport de réassurance et d'un rapport de solvabilité spécifique, (3) la réalisation chaque trimestre de simulations normalisées permettant de juger de l'adéquation actif- pas sif-ALM ; et enfin, (4) la détermination d'un niveau minimum de fonds propres, appelée Exigence de Marge de Solvabilité (EMS).

Concernant ce dernier point, il faut déjà remarquer que l'EMS est mesurée en fonction du volume d'affaires souscrites - c'est-à-dire les provisions techniques, les primes ou les sinistres- sans prendre en compte les risques réellement encourus et selon le domaine d'activité (assurance vie, assurance non-vie,...).

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.En assurance vie

Les garanties considérées ici sont : décès et garanties accessoires, rentes de conjoint, rentes d'éducation, frais d'obsèques, épargne, retraite. L'EMS est la somme de deux montants qui portent, l'un sur les provisions mathématiques et l'autre sur les capitaux sous risques en fonction de la durée de l'engagement :

- 4% des provisions mathématiques ;

- Entre 0,1% et 0,3% des capitaux sous risques en fonction de la durée de l'engagement

La part de réassurance est parfois déduite des provisions mathématiques. Certains éléments à considérer dans le calcul de l'EMS ne sont admis qu'avec l'approbation de l'autorité de surveillance, notamment les réserves latentes, les bénéfices futurs. On peut déjà remarquer, quelle que soit la capacité de l'assureur à servir le taux de garantie offert, qu'un même produit d'assurance-vie est soumis à la même exigence.

. En assurance non-vie

Ici, les produits concernent : IARD, incapacité, invalidité, frais de santé, décès accidentel, dépendance ; et l'EMS est le maximum de deux montants qui portent sur les primes encaissées pour le premier et sur les charges de sinistres pour le second :

- par rapport aux primes de l'année en cours, 18% sur la première tranche de 50 millions d'euros de primes encaissées et de 16% au-delà.

- Par rapport aux sinistres, à 26% sur la première tranche de 35 millions d'euros et de 23% au-delà.

Ces deux montants sont indexés sur l'inflation; la part de réassurance pourra en être déduite mais ne doit pas dépasser 50% de ce résultat. Pour certaines branches de l'assurance non-vie présentant un profil de risque plus volatil (responsabilité civile aérienne, maritime et générale), une EMS plus élevée est fixée afin de mieux l'adapter à ces profils de risques. Dans le même temps, chaque organisme fournit, chaque année à la commission de contrôle, un dossier comprenant des documents comptables de synthèse¹⁰ et les états d'analyses réglementaires.

¹⁰ Eléments comptables de synthèse : Bilan, Hors-bilan, Compte de résultat technique et non technique, Annexes.

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Bien que Solvency I ait fait ses preuves, notamment si l'on s'en tient à Vincensini (2006), ayant permis de traverser les tempêtes de Lothar et Martin en 1999 et d'absorber le krach boursier de 2001, il a certaines faiblesses qui ont entraîné des critiques à son encontre. En effet, on le qualifie de « trop simpliste » et surtout, on lui reproche :

- son manque de transparence : la prudence logée dans les provisions techniques n'est pas explicite ;

- son manque d'homogénéité d'une entreprise à une autre, d'un pays à un autre, les autorités nationales pouvant la rectifier à leur guise en ajoutant des normes supplémentaires ;

- son manque de cohérence : les exigences de capitaux propres sont maximales pour les entreprises les mieux provisionnées.

En outre, comme le précisait, Flor (2008), dans sa présentation de Solvency II, plusieurs autres raisons concourent aux réflexions sur Solvency II, notamment :

y' Apparition de nouveaux risques (terrorisme, pandémie) et retrait progressif des institutions publiques de certains domaines (retraite, santé) ;

y' Evolution des techniques financières (science actuarielle) et intégration croissante finance / assurance ;

y' Mondialisation et intégration trans-sectorielle forte ;

y' Concurrence accrue ;

y' Non incitation des entreprises à mieux connaître et gérer leurs risques.

Il était donc indispensable d'améliorer ce cadre de solvabilité, d'où la mise en oeuvre des travaux sur ce qu'on appelle Solvency II. Ce cadre devra être d'un côté en adéquation avec les normes de comptabilisation internationales IAS-IFRS et qui concerne les éléments du bilan, et devra, d'un autre côté, mieux encadrer l'ensemble des difficultés des organismes assureurs européens concernant la spécificité de certains risques auxquels ils sont confrontés. Et comme pour tout système de solvabilité, ce nouveau cadre devra également tenir compte d'une part, de l'adéquation du calcul de la marge à l'activité propre aux compagnies d'assurance, et d'autre part, de la juste mesure du niveau de marge.

PARAGRAPHE 2 : Solvency II ; Objectif et particularité

Le cadre de la consultation de la Commission Européenne soulignait ceci :

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« Volonté de développer un nouveau système de solvabilité pour toutes les entreprises d'assurance (vie et non-vie) et de réassurance que tous les Etats membres seront en mesure d'appliquer de façon harmonisée, robuste et pérenne, sans engendrer de perturbation des marchés »

Le projet Solvency II intervient donc surtout pour consolider l'ensemble des directives existantes et pour réformer en profondeur les règles de solvabilité auxquelles sont soumises actuellement les entreprises d'assurance.

Avant d'aborder les objectifs de Solvency II, il convient de rappeler très brièvement quelques critères¹¹, comme le citait le Comitee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors-CEIOPS (1999)¹², ces critères permettant de qualifier de "qualité" ou d'"objective", une directive de solvabilité :

y' protéger les assurés en ménageant aux autorités de surveillance un intervalle de temps suffisant pour leur permettre de repérer et de porter remède à tout problème ou défaillance d'une entreprise d'assurance ;

y' assurer la comparabilité et la transparence, de manière à assurer des conditions de concurrence équitables ;

y' fixer une exigence de marge de solvabilité qui soit mieux adaptée aux risques réellement encourus ;

y' éviter une complexité inutile ;

y' prendre en compte les évolutions du marché ;

y' fixer des principes tout en veillant à ne pas être excessivement prescriptif ;

y' chaque fois que possible, fonder le système sur des approches comptables communes

de manière à éviter la multiplication des systèmes d'information financière ;

y' éviter que les coûts en fonds propres ne soient inutilement élevés, au risque de menacer

la compétitivité globale de l'assurance européenne.

Afin de tenir compte de ces critères, le projet Solvency II s'est fixé comme objectif de créer un système plus harmonisé, avec une meilleure prise en compte des risques encourus par les organismes d'assurance, et plus cohérent avec le système prudentiel bancaire. Nous reviendrons dans la section suivante sur les différents risques auxquels sont soumis les compagnies d'assurances et comment Solvency II les apprécie comparativement à Solvency I.

¹¹ L'OCDE ainsi que l'IAIS ont établi des critères généraux : il est légitime qu'un nouveau système de solvabilité européen satisfasse au moins à ces critères et il ne semble pas utile de refaire le travail qui a déjà été fait dans d'autres instances internationales.

12 « Révision de la position financière globale d'une entreprise d'assurance - exercice solvabilité 2 » ;

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Dans ce cadre, il s'inscrit dans une démarche identique au même exercice réalisé dans le secteur bancaire pour les directives CRD dont la mise en place s'inscrit dans une architecture dite « Lamfalussy » (schéma n° 1.1.1) en plusieurs étapes. A cet effet, une proposition de directive comportant les éléments essentiels du nouveau système a été adoptée et publiée en Juillet 2007 par le conseil de l'Union européenne et le Parlement européen.

Schéma n° 1.1.1 : PROCESSUS LAMFALUSSY

Niveau 2: Mesures techniques d'exécution

Niveau 1: Directive-cadre, prévoyant compétences

d'exécution

Niveau 3: Mise en oeuvre harmonisée par une

coopération renforcée

Niveau 4: Renforcement des procédures de suivi

Source : Flor (2008)

L'architecture retenue depuis avril 2003 est constituée de trois piliers (et donc comparable à celle définie pour le secteur bancaire par le Comité de Bâle II) : exigences quantitatives, activités de surveillance, information et publicité.

> Pilier I : les règles quantitatives

Le pilier I vise à définir les règles quantitatives dans trois domaines :

les provisions techniques avec un objectif d'harmonisation de leur valorisation ;

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y' l'exigence de capital ; deux niveaux de capital sont déterminés : (1) le minimum de capital requis ou MCR en-dessous duquel un organisme d'assurance ne devrait pas tomber. Son mode de calcul devrait être plus simple que celui du SCR et robuste d'un point de vue juridique. Le non respect du MCR entraîne le retrait d'agrément s'il n'est pas couvert rapidement ; et (2) le capital de solvabilité requis capital requis ou SCR qui est le niveau de capital qui doit permettre à l'entreprise d'absorber un certain montant de pertes, correspondant, en principe, à une probabilité de ruine à un an inférieure à 0,5 %. Son calcul vise à prendre en compte les risques quantifiables pris par l'entreprise ;

y' la définition et les règles d'éligibilité des éléments de capital.

Le SCR pourra être calculé de deux manières : par l'intermédiaire d'une formule dite « standard » harmonisée au niveau européen ou par l'intermédiaire d'un modèle interne propre à chaque entreprise mais dont les conditions d'utilisation devront être précisées à l'autorité de contrôle.

> Pilier II : Le processus de contrôle prudentiel

L'objectif poursuivi, dans le cadre du Pilier II est de définir et d'harmoniser les activités de surveillance aussi bien au niveau des entreprises d'assurance elles-mêmes qu'à l'échelon des superviseurs. Au sein des organismes d'assurance, ce sont les mécanismes de contrôle interne et d'organisation qui sont visés ainsi que les principes applicables en matière de gestion des risques.

> Pilier III : Information et discipline de marché

Le pilier III étudie les éléments d'information qui doivent être publiés par les entreprises d'assurance :

y' information publique dans le cadre de la discipline de marché,

y' information à l'usage des superviseurs (dossier annuel),

y' règles d'information des assurés.

Il faut noter à cette étape que le pilier III de Solvency II couvre un champ plus large que le pilier III de Bâle II. En effet, outre les exigences de publication par les entreprises en vue d'améliorer la transparence de l'information et de promouvoir une meilleure discipline de marché, il comporte des exigences de Reporting aux superviseurs, notamment le dossier annuel. Si la construction du pilier III est subordonnée à l'avancement des deux premiers piliers, deux grands principes en ont, déjà, été posés par le CEIOPS :

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V' un principe de cohérence maximum avec les exigences comptables de publication d'information ;

V' un principe d'harmonisation des états réglementaires de Reporting aux superviseurs, avec comme objectif un dossier annuel européen.

Schéma n°1.1.2 : Structure de Solvency II

Contrôle des

groupes et convergence

entre les différents secteurs

financiers

1. Prise en compte de l'environnement groupe de l'entreprise => contrôle sur base consolidée par un superviseur groupe (effets de diversification, risques de contagion)

2. Introduction d'un régime spécifique « group support »

Pilier 1 : exigences quantitatives

1. Calcul des provisions techniques harmonisé

2. Application de l'approche de « l'homme prudent » à la place des limitations d'actif actuelles

3. Deux exigences de capital à la place de la marge de solvabilité, le Solvency Capital Requirement (SCR) et le Minimum Capital Requirement (MCR)

Pilier 2 : exigences qualitatives et supervision

1. Renforcement de la gouvernance (« fit & proper »)

2. Renforcement du contrôle interne et de la gestion des risques au sein de l'entreprise & auto- évaluation des besoins de capital (ORSA)

3. Processus de contrôle prudentiel renforcé (dialogue permanent) et harmonisé entre les pays

Pilier 3 : reporting prudentiel et information du

public

1. Définition d'états d'analyse financière communs à l'ensemble des

contrôleurs européens

2. Mise à la disposition du

grand public de

davantage d'informations

afin de renforcer la discipline de marché

(= le public préfère les

assureurs solides)

Source : Flor (2008).

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SECTION II : Appréciation des risques : différence avec Solvency I.

PARAGRAPHE 1 : Différents types de risques pris en compte

Afin de déterminer les différents niveaux de capitaux requis pour répondre aux exigences quantitatives de Solvency II, différents risques sont pris en compte. Ils sont déterminés par une étude de l'International Actuarial Association-IAA(2004).

> Risque de marché

Ce sont les risques d'allocation Actif-Passif ou risques systémiques ; il s'agit du risque liés aux instruments financiers et dont les cours sont susceptibles de varier. On peut citer, le risque de taux d'intérêt, le risque actions, le risque immobilier, le risque de spread¹³, de change et le risque de concentration¹⁴.

> Risque de défaut des contreparties ou risque de crédit

Ce risque couvre le risque de défaut des réassureurs et des contreparties sur produits dérivés ; c'est encore le risque qu'un emprunteur n'honore pas ses engagements dans les conditions initialement prévues. Son calcul s'appuie sur les ratings des contreparties.

> Risques de souscription ou risques d'assurance

Il s'agit des risques liés à une tarification insuffisamment prudente lors de la souscription ou du rachat de contrats.

En vie, on a le risque de table (inadéquation de la table de mortalité au portefeuille), de surmortalité ou du risque que la mortalité d'expérience du portefeuille soit différente de celle tarifée ou attendue par l'assureur. Il s'agit aussi des risques de rachats, de variation de frais, de catastrophes (pandémie par exemple)...

¹³ Variation des spreads de crédit au-delà de la courbe des taux sans risque.

¹⁴ Supplément de volatilité dans les portefeuilles d'actifs (actions et obligations) concentrés, et risque accru de défaut

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

En non-vie, ces risques sont constitués par la volatilité du résultat ou de la sinistralité sur les engagements aussi bien passés que futurs. En d'autres termes, c'est l'ensemble des risques de prime, de provisions et de catastrophe.

La corrélation entre les différents types de risques constitue un facteur déterminant la valeur de ces risques. En vie par exemple, une augmentation du taux de mortalité induit une variation totalement opposée sur les garanties décès et vie.

> Risques opérationnels

Comme le définissait Thoraval (2001), le risque opérationnel est le risque d'une perte provenant de processus inadéquats ou défaillants, de personnes, de systèmes ou d'un événement externe. Il recouvre donc les erreurs humaines, les fraudes et malveillances, les défaillances des systèmes d'information, les problèmes liés à la gestion du personnel, les litiges commerciaux... La modélisation de ce risque est très délicate ; leur probabilité d'occurrence bien que faible peut avoir des conséquences financières lourdes pour l'entreprise d'assurance considérée.

Les risques non quantifiables rentrent dans le cadre du pilier II qui intègre la possibilité de demander un capital supplémentaire pour certains risques.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Risque de	Risques	Risques de		Risques
marché	opérationnels	souscription		de crédit

Risques
santé

En vie

En non-vie

Risque de rachat

Risque sur les frais

Risque invalidité

Risque de mortalité

Risque de longévité

Risque catastrophe

Risque sur les
frais

Risque sur les
sinistres/ la mortalité/
les annulations

Risque d'épidémies/
accumulation

Risque de révision

Risque de taux

Risque actions

Risque de
spread

Risque de
change

Risque
immobilier

Risque de
prime et de
provisions

Risque
catastrophe

Types de
risques

Schéma n° 1.2.1 : SYNTHESE DES DIFFERENTS RISQUES CONSIDERES

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

PARAGRAPHE 2 : Qu'y a-t-il dans Solvency II qui n'a pas été pris en compte dans Solvency I ?

Les mesures prudentielles doivent constituer à la fois un contrôle mais aussi une assistance vis-à-vis des assureurs. En effet, Solvency I laisse une large marge de manoeuvre aux organismes de supervisions nationaux qui peuvent compléter les exigences à leur discrétion puisque ces dernières sont minimales. Elle tolère les ajouts de normes supplémentaires, les possibilités de dérogations. De plus, les exigences de solvabilité sont calculées sur la base de leurs valeurs comptables alors qu'on connaît les multiples limites de ces méthodes comptables, bien qu'il existe une harmonisation des normes comptables (IFRS). Ces deux projets visent à une meilleure couverture des véritables risques d'une compagnie d'assurance.

La différence majeure entre Solvency I et Solvency II réside dans le fait que la marge de solvabilité sera dépendante du niveau de risque de la société. En effet, Solvency I n'opère pas de distinction entre les risques quelle que soit leur volatilité à l'intérieur d'une même branche - seul le montant souscrit impacte le calcul ; de plus il ne pénalise pas les entreprises qui sous- provisionnent ou qui sous-tarifient les risques, mais pénalise celles qui les sur-provisionnent. En revanche, Solvency II définit clairement tous les risques que pourrait encourir le secteur et tous ces risques sont pris en compte, non seulement de manière globale mais aussi de façon isolée en fonction de leurs spécificités ainsi qu'en tenant compte des différentes interactions entre eux. Les normes réglementaires ne seront plus arbitraires puisque les possibilités d'ajouts de normes (nationales) et de dérogations sont prises en compte dans ce projet ; tous les risques étant pris en compte, qu'ils soient quantitatifs ou qualitatifs.

Si l'on s'en tient aux travaux de Skjødt (2006), on peut synthétiser cette comparaison dans le tableau n°1.2.1. Ainsi, la façon dont le risque va être pris en compte dépendra des spécifications et calibrage retenus. Pour ce qui concerne les exigences en capital, que nous avions définies précédemment, il est question de déterminer deux niveaux, le MCR et le SCR. Comme nous l'avons précisé plus haut, bien que les modalités de calcul exactes du MCR et du SCR ne soient pas encore adoptées, il apparaît clairement que le SCR devrait devenir l'outil principal des autorités de contrôle. Certaines législations¹⁵ spécifient que le capital doit être suffisant pour pouvoir couvrir ces risques avec une probabilité de 99,5% sur une année ou un niveau inférieur sur un horizon plus lointain selon le type d'affaires souscrites par la société.

¹⁵ Individual Capital Assessment au Royaume-Uni ; Swiss Solvency Test en Suisse ou Traffic Light System en Suède

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Tableau n°1.2.1 :

Solvency I

Forte protection des particuliers à travers une réglementation détaillée.

Solvency II

Forte protection des assurés mais à travers la mise en place d'incitations au contrôle des risques, la responsabilité des dirigeants, la transparence et la prise en compte des informations du marché.

Niveau élevé d'exigences de capital explicites et implicites. Les exigences implicites engendrent une grande prudence dans l'évaluation des passifs. En plus de la marge de sécurité sur les passifs, l'exigence de capital de solvabilité est fixée à un niveau élevé entraînant un niveau élevé du capital tampon, ce qui conduit à des coûts du capital supérieur aux prix du marché.

Exigences de capital réellement basées sur le risque, impliquant que le risque et les exigences sont étroitement liés ; ce qui conduit à une allocation efficience du capital efficiente pour les entreprises d'assurances et des fonds de pension. L'évaluation des passifs est basée sur les informations du marché et sur les autres¹⁶ éléments probants cohérents avec le marché. Le coût du capital pour les entreprises d'assurances est représentatif de l'offre et de la demande et reflète l'exposition réelle au risque d'une entreprise particulière¹⁷.

Protège les entreprises existantes mais au détriment de la concurrence et des dynamiques de marché. Stabilise la structure du marché.

L'organisme de supervision dispose d'un ensemble de pouvoirs et d'outils d'intervention laissés à sa discrétion.

Stimule la concurrence, la compétitivité, les dynamiques et l'évolution du marché.

Le pilier III implique un équilibre entre les exigences quantitatives et qualitatives, obligeant ainsi l'organisme de supervision à mettre en oeuvre, un processus transparent. L'organisme de supervision dispose en effet de tous les outils d'intervention mais doit en justifier l'utilisation.

La réalisation d'un système de solvabilité

Le but du système de solvabilité n'est pas

¹⁶ Table de mortalité du marché pour l'évaluation des provisions mathématiques et non table d'expérience de l'entreprise.

¹⁷ Pour la marge de risque et qui représente le prix au-delà du best estimate que le preneur (réassureur pour un portefeuille est prêt à accepter)

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

réellement basé sur le risque ne constitue pas un objectif premier. Les insolvabilités doivent être évitées presque à tout prix.

d'éviter l'insolvabilité à tout prix mais de garantir le fait que les problèmes soient découverts suffisamment tôt pour qu'une intervention adaptée à la situation puisse être mis en oeuvre.

Source : Skjød (2006).

Le schéma n°1.2.2 montre la procédure de détermination des exigences quantitatives. On a mis en gras deux notions qui seront au centre de tout ce travail et qui font l'objet d'une discussion dans le chapitre 2 du travail.

Schéma n° 1.2.2 : DETERMINATION DES EXIGENCES
QUANTITATIVES

Niveau 3 : exigences supplémentaires			3) SCR majoré Capital add-on à la discrétion des autorités de contrôle (risques, gouvernance)
	SCR majoré
Niveau 2 : capital requis standard

Intervention prudentielle graduée

SCR

Solvabilité
Complète
Requise

Niveau 1: plancher absolu

Retrait d'agrément si non respecté

Niveau 0 : ruine

MCR

Capital
Minimum
Requis

Provisions

Techniques

2) SCR = véritable exigence à respecter ; c'est le capital nécessaire pour ne pas être en ruine à horizon de un an avec une probabilité de 99,5% et calcul é selon modèle standard ou modèle interne.

1) MCR

Capital minimum requis

Provisions techniques

Calcul basé sur une approche économique = Best Estimate + Marge de prudence ( «coût du capital»)

Une seule marge de sécurité est préconisée dans Solvency I, à l'opposé, trois niveaux de sécurité sont considérés dans Solvency II, dont le MCR, le SCR et la marge de risque (incluse dans les provisions techniques). Alors on pourrait bien se demander quelle forme aurait le bilan des entreprises d'assurances dans ce nouveau référentiel; le schéma illustre bien la chose (comme l'a fait le CEIOPS). Il faut noter qu'on passe d'un bilan comptable, qui tient compte des valeurs statutaires de ces constituants (actifs et passifs) à un bilan économique, qui lui considère la

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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Surplus

Capital requis S2 (SCR)

Impôt Différé

Dettes ou Provisions techniques (Approche économique)

Actif Net

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

valeur de marché.

Schéma n° 1.2.3 : PRESENTATION COMPAREE DES BILANS DES
ENTREPRISES D'ASSURANCE DANS LES DEUX REFERENTIELS

Bilan comptable Solvency I		Bilan économique Solvency II
Passif	Actif		Passif

Actifs

(Valeur
comptable)

Surplus

Exigence S1
(MSR)

Dettes ou
Provisions
techniques

(Valeur
comptable)

Actifs

(Valeur
de marché)

(Avec pris en
compte de
Plus-values

latentes)

Source : Towers Perrin Tillinghast (2006)

Ainsi donc, on voit clairement qu'il existe une différence entre les deux cadres de solvabilité. Rappelons-le une fois encore, l'assurance consiste à échanger des risques contre des primes: il s'agit donc de mesurer l'intensité de ces risques. Un système de contrôle efficace devrait être celui qui prend le mieux en compte l'exposition aux risques ; le projet Solvency II détaille clairement les différents types de risques tandis que Solvency I n'en fait pas de

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

distinction. Il faut à la fois identifier les risques, mais aussi les quantifier afin d'immobiliser des fonds propres conséquents pour les couvrir. Puisque les modalités de calcul exactes de ces exigences, notamment le SCR sont encore sujettes au débat, il est tant de discuter maintenant de deux méthodes candidates à la détermination de ce niveau d'exigence : il s'agit de la formule standard qui est actuellement testée et des modèles internes.

CHAPITRE II : MODELE INTERNE VERSUS FORMULE
STANDARD

Le projet Solvency II a pour but une harmonisation européenne, et à plus long terme, une internationalisation des mesures de solvabilité. Des systèmes de solvabilité basée sur une approche d'analyse du risque existent déjà dans plusieurs pays (Canada, Finlande, Etats- Unis,...). Dans le même temps, d'autres pays (Suisse, Australie, Royaume-Uni, Singapour,...) ont introduit, il y a quelques temps, des systèmes similaires. Le système européen actuellement en vigueur, Solvency I, est dit « Fixed Ratio » ou à ratio fixe en fonction des primes, des prestations et des provisions techniques. Il existe deux autres types de modèles, les modèles à scénario ou « stress tests¹⁸ » (tels que le système SST Suisse et les états prospectifs français T3 et C6bis) et les modèles à facteur (type RBC Américain). Une combinaison de ces deux méthodes est adoptée dans certains systèmes comme les normes Individual Capital Adequacy SolvencyICAS au Royaume Uni. Nous nous proposons dans ce chapitre, de discuter de deux ces méthodes : la formule standard actuellement testée, et les modèles internes.

SECTION I : La formule standard actuellement testée et les modèles internes.

Nous avions défini, au chapitre précédent (au schéma n°2.2.1), la méthode de détermination des exigences quantitatives et la discussion sur le choix de méthodes (formule standard et modèle interne) concerne surtout le calcul du SCR. Avant de les comparer, il convient de présenter très brièvement ces approches d'analyse du risque.

PARAGRAPHE 1 : La formule standard actuellement testée

¹⁸ Ou encore test d'exigibilité, il permet de quantifier l'impact sur les fonds propres d'un environnement très détérioré, tant du côté des engagements que des actifs investis, en absence de primes futures.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

La formule standard actuellement testée s'inspire beaucoup du système de type RiskBased Capital (RBC) américain. Le principe du RBC est de traduire chacun des risques de l'assureur par une exigence de capital, dont la somme aboutit à une exigence unique d'un capital minimum. Nous présenterons ici les modalités de calcul relatives à la troisième étude quantitative d'impact (QIS3); les entreprises d'assurance se livrent actuellement à la quatrième étude. Ainsi donc, dans la formule standard, le SCR est la somme du besoin en capital relatif au risque opérationnel (SCR_op) et du Basic SCR-(BSCR). Ce dernier est calculé comme l'agrégation des besoins en capital pour chacun des autres risques, avec une matrice de corrélation, appelée ajustement de corrélation, et particulièrement dans le cadre d'une activité vie, d'un mécanisme d'absorption (KC)- destiné à refléter la réduction du risque engendrée par les participations aux bénéfices futurs. La formule de synthèse est la suivante :

SCR = BSCR + SCRop

Le diagramme suivant montre les libellés de chaque besoin en capital en fonction du type de risque.

SCR

SCRop

BSCR

SCRmar

lié au
risque de
marché

SCRdef lié au
risque de
défaut de
contrepartie

SCRsv lié au
risque de
souscription
vie

SCRsnv lié
au risque de
souscription
non vie

SCRss
lié au
risque de
santé

En considérant les notations de ce diagramme et en notant M cette matrice et X, Y respectivement deux vecteurs ayant pour composante chacun des SCR et KC calculés pour chaque type de risque, on a :

BSCR= X . M . X - min Y . M ₁ . Y , FDB avec

' ( )

'

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

X = SCRsv

SCRsnv

SCR_mar

SCR def

KC_mar

Y =[KC

,

, sv

KC_ss

		SCRss
			1	0.25	0.25	0.25	0.25
1	0.25	0.25	0.25	1	0.25	0.25	0.5
M1 = 0.25	1	0.25	et M = 0.25	0.25	1	0.25	0
0.25	0.25	1	0.25	0.25	0.25	1	0
			0.25	0.5	0	0	1

Les valeurs numériques présentées dans tout ce paragraphe sont celles suggérées dans la QIS3. Notons également que le « Future discretionary benefits » (FDB) est la valeur de la participation aux bénéfices incluse dans le montant Best Estimate des provisions techniques ; il fait parti aussi des mécanismes d'absorption de risques, le KC étant un ajustement des SCR dû à la participation aux bénéfices futurs. Concrètement, comment évalue-t-on les différents éléments des vecteurs X et Y ? En d'autres termes, comment déterminer le SCR et le KC pour chaque risque ?

Les risques financiers (marché, défaut de contrepartie) vie et non vie et le risque de souscription vie sont traités principalement par une approche scénario. On mesure l'impact de scénario de détérioration des conditions de marché sur les valeurs caractéristiques de l'activité. Le besoin en capital (SCR) est donc ainsi évalué sur la valeur nette de l'actif (VNA) ou du portefeuille. On a :

VNA = Valeur de marché des actifs - Valeur économique des provisions techniques (BE
seul).

Schéma n° 2.1.1

ilan économique

Actifs en
valeur de
marché

K.

Best Estimate VIG_I^(Valeur

économique des
nassifs1

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Réa

Actif Net

Impôts Différés

En revenant donc sur le bilan économique, le schéma n° 2.1.1 suivant qui illustre le fait :

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Eléments calculés directement Elément déduit

Cela qui permet de déterminer le SCR de chaque risque ou sous-risque concerné qui est donc :

SCRi = VNAcentral - VNAchoc.

Les valeurs du vecteur Y ne concernent que l'assurance vie uniquement. Pour déterminer ces valeurs, un besoin en capital, noté PBfi_gé_e, est d'abord évalué en supposant que les taux de participation aux bénéfices futurs ne sont pas ajustés en réaction au choc (scénario), ensuite on reprend un autre besoin en capital noté PB _aj_usté_e, mais cette fois en tenant compte de l'ajustement des taux de participation aux bénéfices futurs. On déduit alors le KCi relatif au risque i par la différence :

KCi =PB fi_gé_e - PB ajustée

Les mêmes calculs sont réalisés au niveau de chaque type de risque pour ses sous risques sous-jacents. Par exemple pour le risque de marché, regroupant comme sous-risques : taux (Marint), action (Mar_eq), immobilier (Marp_rop), spread (Mar_sp), concentration _(Marconc) et change (Marf_x). On a :

SCRmar = Xmar^' .M.Xmar - min ( Ymar .M1mar.Ymm.,FDBmar) avec

Xmar

Marint Mareq Marprop Mar sp Mar conc Mar fx

, Ymar

KCint KC eq KC prop KCsp KCfx

,

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

1 0 0.5 0.25 0.25

0 1 0.75 0.25 0.25

1

M mar =

0.5 0.75 1 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25 1 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25 1

1 0 0.5 0.25 0 0.25

0 1 0.75 0.25 0 0.25

0.5 0.75 1 0.25 0 0.25

et M_mar = 0.25 0.25 0.25 1 0 0.25 .

0 0 0 010

0.25 0.25 0.25 0.25 0 1

Rappelons que les valeurs numériques présentées ci-dessus sont celles suggérées dans la QIS3. On détermine ainsi, chaque SCRi pour chaque type de risque.

En ce qui concerne les autres types de risques qui ne sont pas traités par une approche scénario, notamment le risque de souscription non-vie, le besoin en capital _SCRsnv est déterminé de la manière suivante :

SCRsnv = snv _pr + snv cat

2 2

Avec _snvpr le besoin en capital lié au sous-risque de souscription non-vie relatif aux primes et provisions, et _snvcat le besoin en capital lié au sous-risque de souscription non-vie relatif aux catastrophes.

Le snvp_r, pour chaque branche de l'activité, est calculé comme le produit d'une mesure V de volume d'activité et d'une mesure ñ(ó) de la volatilité du ratio combiné:

snv _pr =ñ(ó).V

Avec pour V la somme des primes et des provisions pour sinistres nettes de réassurance et ñ(ó) la combinaison d'un facteur de marché et d'un facteur (de crédibilité¹⁹) spécifique à la société. La fonction ñ est calibrée par le CEIOPS afin d'obtenir une VaR de 99,5% en se basant sur une hypothèse de log-normalité du risque.

Le _snvcat quant à lui calculé en utilisant deux types de scénarii de catastrophes (régionaux²⁰ définis par les régulateurs nationaux et transrégionaux²¹ définis par le CEIOPS) et l'exigence en capital est définie par uniquement les coûts de scénarios qui excèdent 25% du coût engendré par le scénario le plus défavorable. On a donc ainsi :

2

snv =

cat i

CAT

i

avec CATi le coût de la catastrophe i.

¹⁹ Un facteur spécifique au risque de tarification uniquement et qui est fonction du nombre de branches pratiquées.

²⁰ Pour la France : Inondation importante due à une crue de la Seine (coût 5 Md€) ; deux tempêtes (Lothar et Martin de 1999 d'un coût de 14Md€) ; tremblement de terre sur la côte Sud-Est d'un coût de 15Md€.

²¹ Attaque terroriste ou accident d'avion causant des pertes humaines et affectant sérieusement les bâtiments et la zone alentour ; tempête survenant tous les 200 ans.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

PARAGRAPHE 2 : Les modèles internes

Une autre alternative à la formule standard testée dans la détermination du SCR est l'utilisation par les entreprises de méthodes de gestion qui leur sont spécifiques : il s'agit des modèles internes. Un modèle interne est un instrument de simulation dont le but est d'anticiper la réalisation d'événements futurs et leurs impacts, en particulier sur la solvabilité de l'entreprise ou du groupe considéré. Selon Carpenter (2007), ce sont des « solutions de rechange au modèle standard pour déterminer des conditions d'adéquation des fonds propres de la solvabilité II. » Selon lui, « les risques incorporés à un modèle interne sont susceptibles d'être les mêmes ou très semblables à ceux inclus dans le modèle standard.»

Deux familles de modèles internes peuvent être ainsi définies, si les modèles sont construits avec une approche fragmentée (silo), ou une approche intégrée ou complète. Le traitement des interactions entre les différents risques et donc du surplus ou bonus de diversification constitue la différence principale entre ces deux méthodes approches.

L'approche par silo, très semblable à celle adoptée par Solvency II, consiste à construire un modèle pour chacun des risques pris séparément. C'est une approche fragmentée de la modélisation.

Quant à l'approche intégrée, elle prend en compte l'ensemble des risques et leurs interactions afin de construire des scénarii qui intègrent au mieux le fonctionnement réel de la compagnie. Par ailleurs, ces scénarios traitent d'une manière cohérente chaque facteur de risque : émissions et acquisitions des primes, création de provisions, paiement des sinistres, investissement et désinvestissement des actifs. C'est une modélisation dynamique, évoluant au même rythme que la société ou le groupe considéré.

Revenons à la définition de Carpenter (2007), il précise que quasiment les mêmes risques sont considérés, aussi bien dans les modèles internes que la formule standard suggérée dans Solvency II ; Ce qui permet une bonne comparaison des résultats issus des deux méthodes de détermination du SCR. En prêtant les termes de EMB²², on peut dire qu' « Ainsi, un modèle interne intégré pourra anticiper parmi la multitude de scénarios futurs probables des situations par lesquelles, par exemple, une catastrophe pourrait entraîner une augmentation de la charge de sinistres, le défaut potentiel d'un réassureur, une baisse de la bourse et des valeurs des actifs,

²² EMB un groupe de consultants en actuariat ;

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

et pourquoi pas, une perte opérationnelle si l'édifice de la compagnie est affecté, tout en capturant finement l'impact croisé de ces différents éléments sur le profil de risque global de la compagnie ». En d'autres termes, une vision non fragmentée de la réalité qui permet une meilleure projection dans le futur afin d'anticiper une multitude de scénarii futurs possibles à travers des méthodes probabilistes et ainsi motiver des décisions stratégiques au sein de l'entreprise.

Nous adoptons la logique de Carpenter (2007) pour présenter très brièvement ce qu'il appelle les « caractéristiques principales » d'estimation des différents risques dans un modèle interne.

Les modèles internes peuvent varier énormément dans leur structure et complexité. Le risque de marché

À l'aide d'un générateur économique de scénario, les rapports fondamentaux entre les différentes classes d'actifs sont estimés explicitement. Des scénarii cohérents de dividendes et de rentabilités d'actions, d'appréciation de valeurs de l'immobilier, de taux de change, et de courbe de taux peuvent être simulés, et dans le même temps, leurs effets sur les rentabilités d'actifs investis et les valeurs de marchés déterminés. Il est alors possible d'évaluer les autres aspects des affaires souscrites qui sont fonctions de scénarii économiques, et ainsi d'estimer explicitement leur structure de dépendance. Dans un modèle interne intégré, ces taux d'intérêt et de change pourront directement influencer le Best Estimate des provisions techniques nettes de réassurance. Un tel schéma de cause à effet permet ainsi de déterminer le risque de marché sur la valeur nette des actifs.

Le risque de crédit ou de défaut de contrepartie

Le risque de crédit peut être modélisé en utilisant des ratings de taux de défaillance ainsi qu'une distribution pour les pourcentages de perte, une fois que la survenance d'une défaillance est simulée. Il est crucial d'ajuster les probabilités « pures » de défaillance pour refléter la réticence des réassureurs de payer certaines réclamations en cas de litiges. En outre, la corrélation entre le risque de défaillance de certains réassureurs et les grandes pertes dues aux catastrophes naturelles est déjà prise en compte dans le module des risques de souscriptions.

Le risque de crédit est en général plus grand pour le groupe de réassureurs couvrant le surplus de provisions techniques existantes, comparés au panel utilisé pendant l'année de souscription

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

courante. En d'autres termes, un programme de réassurance sur un an augmente le risque de crédit. Dans un modèle pluriannuel, les défaillances potentielles des réassureurs peuvent être explicitement prises en compte.

Le risque de souscription

Le modèle de risque de souscription commencera généralement par des modèles des pertes brutes, incluant d'une part les pertes liées à la non survenue sinistres issues des combinaisons des modèles statistiques propres de la compagnie basées sur son expérience et les estimations de son exposition au risque et d'autre part le rendement des modèles commerciaux de catastrophe. Il peut également inclure un modèle explicite du cycle de souscription - dont les variations de niveau de la meilleure qualité sans les tendances de perte -.

Le risque opérationnel

Il est d'usage de nos jours, que beaucoup de modélisateurs se servent d'un pourcentage (s'étendant souvent de 5 à 15%) des besoins en capital requis pour les autres risques pour se prémunir du risque opérationnel. Comme alternative, les risques opérationnels peuvent être estimés en tenant compte de leur fréquence ou sévérité, basé sur les pertes opérationnelles historiques appropriées. L'utilisation du processus de gestion des risques de l'entreprise (ERM) pourrait être un moyen efficace pour réduire aussi bien les risques de l'assurance que ceux opérationnels et pour couvrir les pertes dans un modèle interne.

Une fois les caractéristiques essentielles exposées, l'étape suivante consiste à agréger les risques afin de calcul le capital économique et d'en déduire le besoin de capital (SCR).

L'agrégation des besoins de capital

L'ensemble des impacts des résultats défavorables est sensiblement influencé par l'interdépendance parmi des risques. Il n'est pas inutile de rappeler que l'intérêt principal en évaluant le besoin de capital pour une faillite tous les 200 ans réside dans les corrélations entre les risques. L'agrégation des risques est réalisée ici, non pas à l'aide d'une matrice de corrélation linéaire ne représentant que la corrélation moyenne de risque à travers la distribution comme dans la formule standard, mais à travers des risques pris dans leur ensemble qui mesurent des corrélations entre les risques à travers leur distribution jointe ou totale. Cette forme de distribution, qu'on appelle encore fonction copule (voir infra pour une présentation de ses

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

propriétés), est bien différente de celle traditionnelle de Pearson qui est linéaire. Une des propriétés ou caractéristiques de cette fonction est qu'elle permet de faire facilement le lien entre les distributions jointes et marginales de plusieurs variables aléatoires. Nous présentons l'intérêt de cette fonction pour la modélisation de la structure de dépendance en assurance dans la prochaine section.

La corrélation étant décrite par une copule, l'évaluation du besoin de capital peut aisément être recalibrée à d'autres niveaux de risque, rendant le modèle de normalisation de risque utilisable en interne. Cela reflète le niveau réel de besoin en capital pour couvrir ses risques en faisant varier le calendrier, les outils de mesure et les seuils de sécurité. Ainsi donc, à long terme, le modèle interne devrait capturer explicitement des interdépendances par la modélisation directe des relations de causalité significatives parmi des catégories de risque. En employant les modèles internes partiels avec la modélisation indépendante des classes simples de risque, toutes les structures appropriées de causalité ne peuvent pas être correctement reflétées. Compte tenu du fait que les variables financières sont aléatoires, les projections de bilan sont donc stochastiques. La projection de la solvabilité ou de l'insolvabilité de la société pourrait en être déduite pour différents moments.

Schéma n°2.1.2 : Synthèse de la procédure de calcul à travers un modèle
interne.

Structure du
Capital

Réassurance, Dettes,
Actions

Répartition du
Capital

Pricing des risques
de rentabilité ajustés

Capital Requis Niveau de Capital

économique toléré

Agrégation des risques Métarisques

Modélisation des risques Volatilité d'actifs Modèles de catastrophes

Volatilité des réserves Fréquence ou sévérité

Source: Carpenter (2006).

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

SECTION II : Faut-il préférer un modèle interne à la formule standard ?

A propos de la formule standard, Serrant (2006) soulignait : « La mise en place et la calibration d'une formule standard répondant à cette définition²³, et valable sur l'ensemble de l'Union européenne, relèvent d'une mission quasiment impossible. En effet, comment imaginer pouvoir concilier à la fois un ensemble de situations aussi diverses en termes de réglementation, d'exposition aux risques, de pratiques commerciales, et la nécessité d'obtenir une formule standard praticable pour l'ensemble des acteurs.»

PARAGRAPHE 1 : Comparaison des deux approches

Le projet Solvency II va introduire un changement absolu dans la détermination des marges de solvabilité. En effet, la nécessité de déterminer une "valeur de marché" des engagements, alors qu'il n'existe pas de marché des passifs pour pouvoir en obtenir une valeur directe, va requérir des changements importants dans la démarche de provisionnement. On passera en effet d'un cadre déterministe, de calcul du montant des engagements à un cadre méthodologique très encadré et ayant une dimension stochastique. Une fois les deux méthodes

²³ Permettant d'immobiliser un capital minimal garantissant dans 99,5% des cas une survie des sociétés dans un an

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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de détermination du SCR présentées, il convient à présent de discuter des avantages et inconvénients de chacun de ces approches. Rappelons que l'approche calculatoire qui sera choisie ne doit pas influencer les principes de définition concernant la mise en place de ce projet ; le but devra rester l'immobilisation d'un capital minimum n'autorisant une faillite de l'entreprise que les 200 ans. Comme nous le précisions dans la section précédente, le traitement des interactions entre les différents risques et donc du bonus de diversification constitue la différence principale entre ces deux méthodes approches.

Au-delà de cette différence principale, il existe d'autres différences que l'on peut résumer comme suit :

- le degré avec lequel les données spécifiques à la compagnie sont employées pour paramétrer le modèle ;

- l'utilisation de la simulation au lieu des facteurs pour mesurer le risque ; - l'effort requis pour estimer le besoin de capital.

Une modélisation interne est bien en adéquation avec, d'une part, la gestion des données appropriée, actuarielle et expertise de modélisation stochastique et, d'autre part, une plate-forme puissante de simulation²⁴. Cette plate-forme de simulation devrait avoir les possibilités de :

- modélisation quantitative de toutes les catégories matérielles de risque, y compris leurs corrélations ;

- reconnaissance et modélisation des structures de réduction de risque ; - calcul du besoin de capitaux en résultant ;

- fourniture de rapports transparents, y compris le détail suffisant pour comparer des besoins de capitaux pour chaque risque primaire et secondaire à ceux du modèle standard.

L'idée même d'une harmonisation est bien séduisante, mais bien que plusieurs améliorations soient apportées à la formule standard au fur et à mesure que des recommandations sont faites aux autorités à travers les études quantitatives d'impacts, elle reste quand même inadéquate ; du moins pour certaines branches d'activités où la gestion interne et les spécificités de l'entreprise sont importantes dans la détermination des besoins de capital. C'est d'ailleurs une des raisons qui

²⁴ Une plate forme qui favorise les projections.

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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ont motivé la commission européenne à travers le CEIOPS à encourager les entreprises à utiliser des modèles internes tout en fournissant une documentation - concernant le périmètre et la structure du modèle, la compatibilité des données avec celle de la formule standard, le test d'utilisation, les propriétés statistiques²⁵, la qualité des inputs, le calibrage et la mesure du risque,... - à l'appui. Même dans le QIS3, la diversification considérée dans la formule standard à travers les matrices de corrélations était fixée, et pour rejoindre Fédor (2006), elle pénalise les investissements volatils. Si l'on se rappelle que la stratégie de placement principalement menée par les assureurs en Europe est basée sur leurs engagements en passifs, on peut s'inquiéter d'un retournement des assureurs vers des instruments de taux, et la vente de ceux volatils, notamment les actions et l'immobilier. Nous avons largement discuté des multiples avantages qu'offrent les modèles internes dans la section précédente, notamment la prise en compte de corrélation variable qui autorise une gestion efficace de certaines catégories de risques. On peut pour finir, évoquer le risque de provisionnement qui intervient dans la détermination des exigences de solvabilité quelle que soit l'approche utilisée; si d'une part, dans la formule standard le risque de souscription, composante du SCR, fait intervenir la volatilité du stock de provisions et que dans le QIS3, cette volatilité était fixée par branche sans lien avec la volatilité propre à la société et en prenant en compte une corrélation entre branches et entre risques, elle aussi fixée. Au contraire, dans un modèle interne, la volatilité du provisionnement est une composante essentielle de la volatilité de l'actif net, mais là, et dans ce modèle, la volatilité du provisionnement et la corrélation entre branches et risques est celle intrinsèque à la société. Une distinction très importante en assurance vie pour les risques longs.

Ainsi donc, chaque approche a ses avantages et ses insuffisances selon l'activité ou la branche d'activité exercée.

PARAGRAPHE 2 : Synthèse de la comparaison

Un petit tableau (Tableau n°2.2.1) pour résumer les avantages comparatifs et insuffisances de chaque approche et une petite discussion sur l'utilisation des copules dans la modélisation des risques constituent ce paragraphe.

Tableau n°2.2.1 : Comparaison formule standard vs. Modèle interne.

Formule Standard

Modèle Interne

²⁵ Atténuation, diversification, politiques futures.

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Avantages	Favorable pour les risques courts comme en assurance non-vie ; Elle inclut un bénéfice de spécialisation par le ratio combiné et de sa volatilité, notamment pour les risques de souscriptions non-vie.	Prise en compte réel de l'ensemble des risques et leurs interactions et dans le temps afin de construire des scénarios qui intègrent au mieux le fonctionnement réel de la compagnie et traitent d'une manière cohérente chaque facteur de risque.
	- Le calibrage général est trop élevé et	Difficile à réaliser mais une
	aboutirait parfois à une multiplication des	fois mis en place peut se
	exigences (par 2 ou 3), y compris sur les branches où le niveau actuel d'exigence est	révéler très efficace.
	déjà supérieur au capital économique ;	Très variable et dépend de la taille et des spécificités de
	-Elle dépend de trop de données de marché	chaque entreprise donc
	sans prise en compte suffisante des	difficulté d'harmonisation à
	spécificités de chaque entreprise;	une échelle européenne.
	-Elle est trop rétrospective et pas réellement prospective; comme si les
Insuffisances	conditions de marché ou par exemple les facteurs fixés ne sont pas variables dans le temps ;
	-Elle ne modélise pas les corrélations entre certains risques, notamment les risques d'actifs volatils ;

Pour finir ce paragraphe, rappelons très brièvement l'intérêt des copules dans la modélisation des risques.

Qu'il s'agisse de la banque ou de l'assurance, la modélisation des risques est constituée de deux étapes :

- modélisation pour chaque facteur ;

- corrélation des différents modèles pour obtenir une modélisation jointe des différents facteurs.

Souvent on réalise ses deux étapes simultanément en considérant un modèle multidimensionnel, qui est généralement gaussien. L'intérêt des copules est en effet de permettre une spécification multidimensionnelle en respectant les deux étapes. En quoi cela constitue-t-il un intérêt ?

D'abord, l'extension de modèles unidimensionnels existants est beaucoup plus facile ; ensuite le choix de la copule, qui est la structure de dépendance, peut se faire indépendamment du choix des modèles unidimensionnels (les marges) ; enfin, la représentation copule permet de réduire la

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

complexité de calibration du modèle multidimensionnel, puisque les paramètres de la copule et les paramètres des marges peuvent être estimés séparément. Il existe encore pleins d'autres avantages²⁶. Donc, chaque risque peut être modélisé suivant une loi différente ou non, ensuite pour l'agrégation, au lieu d'utiliser une matrice constante comme dans QIS 3, on peut choisir une copule ou structure de dépendance donnée.

Les deux graphiques ci-dessus illustrent bien la chose. Le premier graphique est réalisé avec une corrélation linéaire et constante et le second avec une copule (ici une copule de Franck).

Graphique n°2.2.1 : Distribution de corrélation entre deux variables

Source: Carpenter (2007).

26 - dans une approche directe de modélisation du modèle multidimensionnel, une mauvaise spécification des marges introduit un biais dans l'estimation des paramètres de la copule et inversement ;

- il est clair qu'une représentation copule permet de mieux comprendre quelles sont les hypothèses sous-jacentes du modèle, surtout dans une optique de gestion des risques...

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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CHAPITRE III : MODELE INTERNE PLUS PERTINENT EN
ASSURANCE VIE QU'EN ASSURANCE NON-VIE

Afin de discuter de la pertinence de l'utilisation d'un modèle interne selon l'activité (vie ou non vie), il convient de rappeler très brièvement les spécificités de chaque type d'assurance. Nous commençons donc ce chapitre par une brève présentation des familles d'assurance et des différences entre elles. Nous finirons ensuite par discuter de l'avantage comparatif qu'il y a d'utiliser les modèles internes que la formule standard pour déterminer les besoins de capitaux.

SECTION I : Différence ou spécificité des différentes branches
d'assurances

PARAGRAPHE 1 : les familles d'assurances (bref aperçu)

Avant de commencer par présenter les familles d'assurance, il faudrait noter que la réglementation n'est pas la même que l'on soit au niveau national qu'européen. Sur le marché français, il en existe plusieurs réparti selon leur statut juridique. On distingue : les entreprises d'assurances au sein et entre lesquelles il existe des formes de mutualité (Sociétés AnonymesS.A., Sociétés d'Assurances Mutuelles-S.A.M. et Sociétés des Mutuelles d'Assurances-S.M.A.) et qui relèvent du Code des assurances ; les mutuelles (groupements) régies elles, par le Code de la mutualité ; et enfin les institutions de prévoyance, soumises au Code de la sécurité sociale ou bien au Code rural.

Tandis qu'au niveau européen, ce qui nous intéresse plus ici dans le cadre du projet Solvency II, les directives communautaires établissent une distinction entre deux types d'assurances auxquels on pourrait ajouter un troisième qui est souvent inclut dans les deux autres :

· les assurances "vie" (vie, décès, épargne, retraite) ;

· les assurances "non vie" c'est-à-dire les assurances santé (maladie, accident, invalidité) et les assurances de dommages aux biens et de responsabilité.

· Enfin, on peut ajouter la "réassurance " ou "l'assurance des assureurs" aussi bien en vie qu'en non vie.

Il faut noter que les assurances de dommages aux biens et de responsabilité sont principalement, réparties en plusieurs types de contrats au nombre desquels on peut citer :

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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· Incendie, Accidents, Risques Divers, Transport (IARDT) pour les particuliers (exemple : multirisques habitation) ou bien pour les professionnels (entreprises, artisans et professions libérales, exploitations agricoles, commerces, collectivités locales, etc.) ;

· Automobile (dommages au véhicule, responsabilité civile et assurance personnelle du conducteur) ;

· Transport (ferroviaire, maritime ou fluvial, aérien, marchandises transportées) ;

· Construction (responsabilité civile décennale des professionnels, assurance dommages ouvrage des propriétaires) ;

· Responsabilité civile professionnelle pour les risques inhérents à différentes activités de production ou de services et, notamment, pour couvrir les responsabilités liées à l'atteinte à l'environnement (pollution) ou aux pratiques médicales ;

· Crédit pour les risques d'impayés ; protection juridique ; assistance.

De plus, l'activité de réassurance permet, aux entreprises d'assurances d'assurer, auprès de sociétés de réassurance, tout ou partie des risques pour lesquels elles se sont engagées auprès de leurs clients assurés (ou sociétaires) et le contrat correspondant est conclu pour une période d'un an. Le réassureur apporte une sécurité financière à l'assureur. Ce dernier y trouve une certaine garantie pour augmenter ses capacités de souscription. C'est un moyen pour respecter ses engagements d'indemnisation vis-à-vis de l'assuré lorsque survient un sinistre puisqu'il a lui- même la possibilité de se faire rembourser par le réassureur une partie ou l'intégralité des sommes versées.

Tableau n°3.1.1 : Synthèse des types d'assurances

ASSURANCES "NON VIE"			ASSURANCES "VIE"	REASSURANCES
Assurances de Biens (appartenant à l'assuré)	Assurances de Responsabilité (de l'assuré envers les tiers)	Assurances Santé (Accidents, maladie, invalidité, incapacité, frais médicaux)	Assurances vie (Vie, décès, épargne, retraite...	Réassurance vie et non-vie
ASSURANCES IARDT		ASSURANCES DE PERSONNES

PARAGRAPHE 2 : Spécificité des risques ou facteurs de risques en assurance non vie.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Il s'agit de présenter très rapidement les spécificités des risques de chaque secteur d'assurance. En assurance vie, le risque principal reste lié à la fortune individuelle²⁷ de l'assuré qui est plutôt un risque long, tandis qu'en non-vie où la principale activité est rattachée à la souscription des clients (B2C), la principale inquiétude réside dans la capacité de l'assureur à régler les sinistres en cas de survenance. Enfin, pour ce qui est du secteur de la réassurance, le risque de défaut de contrepartie constitue l'essentiel de ses risques. Nous en réalisons une petite synthèse dans le tableau n°4.1.2 suivant.

Tableau n°3.1.2 : Synthèse des principaux risques auxquels sont exposés les assureurs par secteur d'activité.

	ASSURANCES "VIE"	ASSURANCE " NON VIE"	REASSURANCE
Prestation ou risques couvert par l'assureur	Epargne Rentes vieillesse	Risques Business-to- Consumer ou B2C	Risques Business-to- Business ou B2B; Protection du capital
Principal Risque	Fortune individuelle dès la retraite, ou en cas de décès ou de vie.	Capacité de règlement des sinistres	Risque de contrepartie

²⁷ Fortune individuelle constituée par ses épargne-retraites, son assurance vie ou décès.

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assurance.

SECTION II: En quoi l'utilisation d'un modèle interne est-elle plus
pertinente en assurance vie qu'en assurance non-vie ?

PARAGRAPHE 1 : Comment doit se comporter la réglementation selon chaque type d'assurance ?

Par définition ou principe même de Solvency II qui se veut un meilleur cadre de gestion des risques et de protection des assurés, le but ne devrait pas être de fixer une formule basée sur le risque qui s'appliquerait à toutes les sociétés d'assurances quels que soient leur taille et leur type d'activité en cas de spécialisation. En ce sens, la notion de risque pour le preneur d'assurance est fonction du secteur d'activité (vie, non-vie ou réassurance). Dans le secteur vie, le preneur d'assurance cherche à se protéger de ses risques financiers en cas de vieillesse. Au moment de la retraite, sa fortune individuelle (pour lui et ses héritiers) est ainsi protégée. L'importance que revêt cet aspect demande à ce que la garantie de l'engagement d'assurance correspondant soit sans reproche car ces engagements sont à développement très long et impliquent d'importantes ressources financières. Le plus grand capital pour un retraité est constitué par sa prestation de prévoyance ou son épargne-retraite. Afin de protéger ce patrimoine pour le preneur d'assurance, les exigences de solvabilité correspondante se doivent de tenir compte aussi bien du risque mais aussi et surtout de l'adéquation actif/passif.

Pour le secteur de l'assurance non-vie, le but est tout autre : les prestations sont forfaitaires et donc la réglementation devra en être moins restrictive. On sait qu'il n'existe quasiment aucune corrélation directe entre actif et passif. La moto accidentée, les marchandises défectueuses ou périmées pour retard d'expédition, ou même l'appartement qui prend feu, sont quelques exemples classiques dans ce secteur d'assurance où le principal risque pour le preneur d'assurance réside dans la capacité de l'assureur à l'indemniser. L'importance du risque est moindre pour lui comparée à la couverture vie et les engagements sont très court.

Enfin pour la réassurance, la protection explicite des particuliers n'est pas nécessaire. Une garantie de transparence suffit pour une meilleure connaissance de la stabilité financière de la contrepartie. On voit clairement que le risque de contrepartie constitue la principale catégorie de risque et la réglementation devrait être plus accommodante.

PARAGRAPHE 2 : Les modèles internes ne sont-ils pas plus appropriés en vie qu'en non vie ?

Une fois discuté le comportement que devrait adopter la directive de Solvency II, il convient à

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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présent d'aborder la question de la pertinence de l'utilisation d'un modèle dans la détermination des besoins en capital en assurance vie comparativement en assurance non-vie. Commençons d'abord par noter que les principes mis en place par le Swiss Solvency Test (SST) sont très proches des réflexions de Solvency II rappelant les principaux risques auxquels sont exposés les assureurs à savoir : les risques ALM, le risque de crédit ou de défaut de contrepartie, le risque de responsabilité induits par les contrats d'assurances. Ainsi donc, on peut se baser à titre illustratif, sur l'allocation (tableau n°4.2.1) des risques classiques d'une entreprise d'assurance selon la méthodologie SST. Selon cette allocation, le risque ALM est le plus important pour un assureur vie et il faut le modéliser avec une plus grande précision. Au contraire, le risque d'assurance (souscription) est très élevé pour un assureur non-vie type, même si le risque ALM n'est pas moins négligeable. Et justement, une des faiblesses de la formule standard réside dans la problématique des branches longues, notamment l'inadéquation ALM ; c'est-à-dire que les exigences en capital sur les actifs ne tiennent pas compte de leur adéquation au passif, alors même qu'elles couvrent les risques longs. En ce sens, en assurance non vie, on sait qu'il n'y a quasiment aucune corrélation entre actif et passif, donc le problème ne se pose pas vraiment. Au contraire, en assurance vie la formule standard pour ce type de risque semble ne pas être recommandée. Dans le même temps, il existe des modèles internes prêts à l'emploi pour les risques ALM ce qui résout la question concernant la principale source de risque chez les assureurs vie.

Tableau n°3.2.1 : Allocation des risques selon le système SST

Risques	Assureurs vie (%)	Assureurs non-vie (%)
Risque d'assurance	35	75
Risque ALM	80	60
Risque de crédit	10	15
Diversification	-25	-50

Source : Koller (2006)

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

CHAPITRE IV : IMPACT DE L'UTILISATION D'UN MODELE INTERNE
SUR LA VALORISATION DU BILAN EN ASSURANCE NON-VIE ?

Dans ce chapitre, nous nous proposons de valider notre hypothèse de travail à l'aide de quelques données que nous allons simuler en nous basant également sur les données issues des derniers résultats comptables des entreprises d'assurance en France. Afin de rendre nos comparaisons claires et sans ambiguïté, nous considérons deux entreprises fictives, Ariskov-vie et Ariskov-non-vie, spécialisées chacune respectivement dans les secteurs vie et non-vie. Nous commençons donc ce chapitre par notre démarche méthodologique, ensuite, nous présentons très brièvement les méthodes utilisées pour réaliser nos calculs et faire nos comparaisons, et, nous finissons par une synthèse des résultats et une confrontation de ces derniers avec ceux trouvés par d'autres auteurs notamment Serrant (2006) et les éventuelles extensions du sujet.

SECTION I : Approche méthodologique et données utilisées

Nous présentons donc ici la démarche que nous adoptons pour réaliser nos calculs et comparaisons.

PARAGRAPHE 1 : Démarche méthodologique adoptée

Il est question dans ce chapitre de valorisation de bilan, commençons par présenter les éléments d'un bilan²⁸ en assurance.

Le bilan d'une société décrit la situation de l'entreprise à la date d'inventaire ou de clôture des comptes. Il est constitué pour un assureur de trois principaux éléments à savoir :

- au passif, les dettes et engagements, constitués essentiellement des provisions techniques ; - à l'actif, les biens et créances, essentiellement des placements financiers ;

- la différence de ces deux éléments constitue les capitaux ou fonds propres ou encore situation nette comptable (SCN) qu'on retrouve également au passif.

Nous réalisons nos comparaisons à l'aide des ratios de couvertures. Le ratio de couverture se calcule comme le rapport entre la marge constituée au bilan et l'exigence de marge. Bien qu'il existe plusieurs ratios de couvertures -couverture des engagements, couverture bilancielle de la

²⁸ Ce que nous avons largement présenté dans les chapitres précédents ; voir par exemple schéma n°1.2.3

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Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

marge et couverture de la marge brute de solvabilité- nous utilisons la dernière, couverture de la marge de solvabilité qui inclut les autres. Il se calcule comme le rapport entre la marge de solvabilité constituée au bilan (MSC) que nous détaillerons plus loin et l'exigence de marge de solvabilité (EMS selon Solvency I et SCR selon Solvency II). Ce calcul est fait, dans ce mémoire, selon le secteur d'activité (vie ou non-vie), la méthode utilisée (formule standard ou modèle interne) et la réglementation adoptée (Solvency I ou Solvency II).

En France, la marge de solvabilité constituée (MSC) est la somme de la situation nette comptable, de la plus value latente des placements (PVL-excédent de la valeur de réalisation sur la valeur comptable) et enfin des possibilités de rappel de cotisations (pour certaines sociétés mutuelles à cotisations variables) soit donc :

MSC = SNC + PVL + Rappels de cotisations des mutuelles.

Une fois la marge de solvabilité constituée calculée, il faudra déterminer maintenant les exigences réglementaires ou exigences de marges de solvabilité que nous avions appelés EMS dans le référentiel Solvency I et que nous appelons SCR dans le référentiel Solvency II. Rappelons toutefois que :

Dans le référentiel Solvency I,

- En non-vie,

EMS = max {0,18*prime (<50 M) + 0,16*prime (>50M)} ; {0,26*prime (<35 M) + 0,23*prime (>35M)} )

(

- En vie,

EMS = (0,04*PM) + (0,02*Capitaux sous risques) )

(

Nous avons choisit un pourcentage de 2% des capitaux sous risques comme une moyenne du pourcentage réglementaire (entre 1 et 3%).

Le SCR en vie ou en non vie est quant à lui calculé comme nous en avons discuté au chapitre²⁹ 2. Nous explicitons plus loin certaines conditions de calculs.

²⁹ Modèle interne versus formule standard

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assurance.

A partir des exigences de marges constitué (MSC) et réglementaires (EMS ou SCR selon le référentiel considéré, la méthode de calcul utilisée et le secteur d'assurance) nous allons déterminer les ratios de couvertures correspondants Ri à travers la formule :

Ri = MSC/EMS(ou SCR).

Ce qui est évoqué dans le tableau n° 4.1.1; dans ce tableau, B_v représente le ratio de couverture de marge en assurance vie selon le référentiel Solvency II et calculé à l'aide de la formule standard. Il faut remarquer que dans le référentiel Solvency I, on n'adoptait pas encore la formule standard ; le ratio de couverture est unique (A_v ou _Anv) et ne dépendait donc pas d'un choix de méthode de calcul donnée.

Ensuite à partir de ses ratios calculés dans ce tableau, on calcule l'écart relatif entre la valeur du ratio dans le référentiel Solvency I et sa valeur dans le référentiel Solvency II et cela pour chacune des deux méthodes. Le tableau n°4.1.2 expose ce mode de calcul. Par exemple, r1,nv représente cet écart (l'évolution) pour le secteur non-vie et calculé en utilisant la formule standard.

Tableau n°4.1.1 : Calcul des ratios de couvertures selon la méthode, le secteur d'assurance et le
référentiel réglementaire.

Méthodes	Assurance vie		Assurance non-vie
Formule		Ratio calculé		Ratio calculé
standard		sur la base de		sur la base de
	Ratio calculé	Solvency II	Ratio calculé	Solvency II
	sur la base de	(Bv)	sur la base de	(Bnv)
Modèle interne	Solvency I	Ratio calculé	Solvency I	Ratio calculé
	(Av)	sur la base de	(Anv)	sur la base de
		Solvency II		Solvency II
		(Cv)		(Cnv)

Tableau n°4.1.2 : Evolution des ratios de couvertures selon la méthode, le secteur d'assurance
et le référentiel réglementaire.

Méthodes		Assurance vie		Assurance non-vie
Formule standard	r	- B A v v	r = 1, nv	- B A nv nv
		1, v = A v		A nv
Modèle interne	r	-C C A v v	r = 2, nv	- A nv nv
		2, v = A v		A nv

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assurance.

Les hypothèses sur les résultats attendus sont présentées dans le tableau n°4.1.3 ; par exemple, on s'attend à ce que l'évolution relative³⁰ du ratio de couverture de marge en assurance vie en utilisant un modèle interne soit inférieure qu'en utilisant la formule standard tandis que le résultat est inversé ou insensible en assurance non-vie. En d'autres termes que l'utilisation d'un modèle interne est plus pertinente en vie qu'en non-vie.

Tableau n°4.1.3 : Hypothèses de travail.

Secteur	Hypothèses
Assurance vie	r 1, v > r 2, v
Assurance non-vie	r 1, nv<r 2, nv

Afin de déterminer les exigences de marges (réglementaires et constituée), il nous faut modéliser les provisions techniques d'une part et la valeur des actifs ou des placements en fonction des différents risques. Les précédentes études d'impacts (QIS) ont montré que le risque opérationnel représentait entre 2 et 4 % et le risque de crédit n'était pas aussi important ; nous traiterons donc seulement les risques de marché (spécialement les risques ALM pour la vie) et les risques de souscriptions (très importants en non-vie).

Nous modélisons donc le risque de marché pour les actifs ; pour les provisions techniques³¹, nous modélisons le risque de souscription en vie et en non vie.

Concernant le risque de marché, il s'agit des risques d'allocation Actif-Passif ou risques systémiques ; il s'agit du risque liés aux instruments financiers et dont les cours sont susceptibles de varier. Nous supposons qu'il n'existe pas de supplément de volatilité dans les portefeuilles d'actifs concentrés (actions et obligations) ; nous ne modélisons donc pas le risque de concentration. Nous ne modélisons pas aussi les risques de spread dans l'hypothèse qu'il n'existe pas de variation des spreads de crédit au-delà de la courbe des taux sans risque. Bien que l'on ait connu des crises subprimes dans le secteur de l'immobilier aux Etats-Unis et la hausse continue du prix du pétrole - deux facteurs qui ont eu beaucoup d'impacts sur les cours des devises internationales (notamment le dollar et l'euro)- nous restons dans un cadre restreint de modélisation de risque de taux d'intérêt et de risque d'actions.

³⁰ Comparaison d'évolution relative simple sans faire de test statistiques d'égalité de rapport.

³¹ Constitué de quatre

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Pour les risques de souscription, il s'agit des risques liés à une tarification insuffisamment prudente lors de la souscription ou d'une modification des conditions de souscriptions ou rachats de contrats. En vie, on a le risque de table (inadéquation de la table de mortalité au portefeuille), et le risque intrinsèque (lié au nombre de contrat souscrit) : on modélise donc les Provisions mathématiques-PM, estimées individu par individu. Elles représentent la valeur actuelle probable des prestations que l'assureur doit verser au cours des exercices futurs, au titre des évènements survenus lors des exercices antérieurs. En non-vie, ces risques sont constitués par la volatilité du résultat ou de la sinistralité sur les engagements aussi bien passés que futurs. Nous ne modélisons ici que les Provisions pour Sinistres A Payer - PSAP, estimées à partir des modèles de cadences ou de développements. Comme leurs noms l'indiquent, les PSAP constituent la valeur estimative des dossiers non encore payés à la clôture de l'exercice, mais dont les sinistres sont survenus avant la date d'inventaire, qu'ils soient connus ou non à cette date.

Rappelons donc une fois encore que la modélisation des risques permet d'avoir la distribution des éléments du bilan (notamment celle des provisions techniques et des placements). Il existe deux familles de méthodes pour déterminer les provisions techniques- PT sans marge de risque: les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques.

La modélisation déterministe des provisions techniques permet d'estimer en moyenne l'évolution des engagements. Les paramètres de calcul souvent prudents restent constants ou varient de façon prédéterminée (exemple de la table de mortalité). La modélisation dans cette famille de méthodes pour les PSAP se réalise à l'aide des modèles de cadences ; parmi ces derniers, celui de référence est la méthode de Chain Ladder. Quant aux Provisions Mathématiques, l'approche contrat par contrat est préconisée ; qu'il s'agisse des rentes de conjoint ou d'éducation, des rentes liées à l'arrêt de travail ou autres rentes.

Les modèles stochastiques de passifs permettent d'obtenir une fonction de distribution des provisions. Ils sont donc utiles et se développent de plus en plus depuis quelques années. Ils en existent trois sous-familles : les modèles paramétriques basées sur une loi appartenant à une famille connue de loi dont il faut déterminer les paramètres, les modèles semi-paramétriques qui ne font pas d'hypothèses a priori sur la distribution des provisions mais estiment cette distribution et, enfin les modèles non paramétriques qui simulent des intervalles de confiance pour les provisions sans aucune hypothèses sur la distribution de ces provisions mais qui

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

s'appuient sur certaines données de bases (les triangles de règlements par exemple). Ils nécessitent tous la définition d'une mesure de risque.

L'objet même de ce chapitre étant de mesurer l'impact sur le bilan, donc sur les ratios de couvertures, nous ne rentrerons pas trop dans les détails sur certaines méthodes utilisées. Nous présentons quelques méthodes ou détails usuels sur les méthodes utilisées dans la partie annexes des méthodes. Nous rappelons juste l'idée ou l'intuition de ces méthodes et leur intérêt pour nos calculs et éventuellement un petit exemple.

Les modèles stochastiques de passifs sont donc utiles et se développent de plus en plus depuis quelques années. Ces modèles utilisent des techniques de simulations. Comme le précisait Elie et Lapeyre (2001), ces techniques permettent, en général, d'étudier et d'expérimenter un système donné dont on connaît les interactions complexes, de mesurer les effets de certains changements dans les interactions sur le comportement du système, d'expérimenter de nouvelles situations. Nous utilisons dans ce mémoire les simulations de Monte Carlo. Les paramètres à faire varier dépendent du risque à intégrer et l'élément du bilan à modéliser.

1) Techniques de simulations

L'approche stochastique de détermination des éléments du bilan, qu'il s'agisse des provisions ou des placements, basée sur les méthodes de Monte Carlo a pour but d'étudier un grand nombre de scénarii ou allures possibles, afin de déduire une loi de distribution du montant de provisions ou de placements. Ces méthodes approchent le résultat théorique recherché en effectuant des tirages selon la loi du phénomène observé. L'existence d'un générateur de nombres aléatoires leur sert de base.

Un générateur de nombre aléatoire est un algorithme fournissant une suite de nombres compris entre 0 et 1. Il existe des générateurs pseudo aléatoires implémentés par défaut dans certains langages, notamment C++, Pascal,... qui produisent des valeurs déterministes et parfaitement prévisibles, mais qui sont statistiquement satisfaisantes.

Avec les progrès informatiques actuels, les méthodes de simulations Monte Carlo les plus utilisées sont la technique de l'inversion de la fonction de répartition qui n'est réalisable que si l'on connaît une forme explicite et relativement simple de la fonction de répartition. Une définition sert de base à cette technique :

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Définition : Considérons une variable aléatoire réelle X de fonction de répartition F. On appelle alors inverse généralisée de F, la fonction notée F^-1 définie pour tout réel y compris entre 0 et 1 par :

F ( y ) = inf x ? R | F ( x ) = y

-1 { }

L'idée de base de cette technique consiste à simuler des réalisations d'autres variables aléatoires (qu'on ne connaît pas) à partir de réalisations de variables qui suivent une loi définie (connue). Le lemme suivant est utilisé à cet effet :

Lemme : Si U est une variable aléatoire de loi uniforme U sur [0,1], alors F^-1(U) a même loi que X. Et si de plus, F est continue surR , alors F(X) suit une loi uniforme U [0,1].

Il arrive parfois que l'on ne dispose pas de formule explicite pour l'inverse de la fonction de répartition, F^-1, c'est le cas particulier de la loi normale ou lognormale que nous avons largement utilisé dans ce mémoire ; dans ce cas, on utilise les algorithmes d'approximation de cette fonction ou des algorithmes spécifiques à la loi que l'on souhaite travailler. Cependant il existe d'autres algorithmes de simulation de la loi normale comme par exemple la méthode de Box Muller ou la méthode du rejet polaire ; des méthodes que nous n'avons pas utilisées donc que nous ne présentons pas dans ce mémoire.

2) Mesure du risque

Le montant de la provision avec marge de risque est calibré à travers l'utilisation des mesures de risque, pour un ensemble de provisions simulées stochastiquement. La différence entre la provision avec marge de risque et celle calculée en « Best Estimate » constitue la marge.

Denuit et Delwarde (2006) définissait une mesure de risque comme une fonction ñ qui à un risque X associe un nombre positif noté ñ[X], éventuellement infini ; cette fonctionnelle est telle que, pour ñ[0] = 0, ñ[X] désigne le montant minimum qui, additionné à la perte X en début de période rend la couverture de X "acceptable". C'est donc le capital dont doit disposer la compagnie pour faire face à une perte financière de montant X. Parce qu'il est question d'agréger plusieurs risques ici en tenant compte de leurs dépendances éventuelles, deux principales propriétés des mesures de risques nous intéressent ici : le chargement de sécurité et la propriété de sous-additivité.

Le chargement de sécurité stipule que : ñ[X] = Å[X] pour tout risque X.

Quant à la propriété de sous-additivité, elle implique :

ñ[X+ Y]= ñ[X]+ñ[Y] quels que soient les risques X et Y.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
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La propriété de sous-additivité est sujette à débat pour le moment : pour Dhaene et al. (2003), le signe de l'effet de diversification ñ [X] + ñ [Y] - ñ [X + Y] devrait dépendre de la structure de

dépendance existant entre les risques X et Y considérés.

Il existe un ensemble de mesure de risque, notamment la Value-at-Risk (Var), la Tail-VaR ou VaR moyenne, la Conditionnal Tail Expectation (CTE) ou VaR conditionnelle, la mesure de risque de Wang et beaucoup d'autres.

Dans le cadre des consultations pour l'élaboration des normes Solvency II, deux mesures de risques sont privilégiées : la VaR préconisée par le CEIOPS notamment pour l'estimation du niveau de provisions technique avec marge de risque et la Tail-VaR préférée par les parties prenantes pour l'estimation du besoin en capital.

· La Value-at-Risk ou valeur à risque

Il existe plusieurs définitions de la Valeur à Risque. Selon Esch, Kieffer et Lopez (1997) ainsi que Jorion (2000), la VaR d'un portefeuille ou d'un actif, pour une durée T et un niveau de probabilité á, se définit comme le montant de perte attendu de façon que ce montant, pendant la période [0,T], ne devrait pas être plus important que la VaR et ceci avec une probabilité de (1 - á). Le graphique n° 4.1.1 montre un exemple de calcul de VaR aux seuils respectifs 75% et 99,5%.

Graphique n°4.1.1 : Exemple de VaR pour une série de provisions suivant une loi normale.

Deux éléments principaux ressortent de cette définition et il est important de les choisir judicieusement : l'horizon et le niveau de confiance.

L'horizon qui se doit d'être adapté aux données et d'être suffisamment court afin d'être estimable.

Le niveau de confiance doit quant à lui refléter le degré d'aversion des gestionnaires face au risque de réalisation d'événements extrêmes sans être trop élevé. C'est une mesure probabiliste.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Ainsi pour une série X donnée,

Pr[X< VaR(X,á)]=á

On voit bien que la VaR dépend des propriétés de la série X. Elle fournit une information sur la charge de sinistres au-delà de laquelle il y a perte avec la probabilité á et se calcule aisément une fois la répartition de X connue. Par ailleurs, elle ne vérifie pas certaines propriétés des mesures de risques notamment les deux que nous avions cités précédemment. En effet, d'une part, elle ne fournit pas d'information sur la queue de la distribution de la série et donc ne possède pas de chargement de sécurité - on observe des cas de violation de l'inégalité VaR(X,á) = Å[X] pour

á = 0.5 du fait de l'asymétrie liée aux queux de distribution qu'on observe généralement en assurance-; d'autre part, elle n'est pas sous additive, ce qui signifie qu'en réalisant la somme des VaR - ce qui sera le cas pour nos agrégations- de plusieurs branches, on n'a pas une garantie de prudence. Pour palier à cette insuffisance, nous utilisons d'autres mesures de risque de la même famille que les VaR mais qui vérifient ces propriétés : la Tail-VaR et la CTE comme cités ci- dessus.

~ La Tail Value-at-Risk

La Tail Value at Risk au seuil á d'une distribution X, noté TVaR (X, á) est définit par :

1

1

î

TVaR X VaR X d

( ; ) ( ; )

á î

=

1 - á_á

Ou de façon équivalente pour les lois continues :

T Va R

1 ( ; ) ( , ) ( , ) X á V aR X á X V aR X = + á Å ( ) - + á 1 -

Cette mesure est en quelque sorte la moyenne des VaR de seuil supérieur á. Le graphique n° 4.1.2 montre un exemple de calcul de VaR et TVaR aux seuils respectifs 75% et 99,5%.

On peut également approcher la TVaR par la CTE c'est-à-dire la valeur moyenne des pertes au- delà de la VaR, définie par :

C T E ( X ; á ) [ X / X V aR ( X , ) ]

= Å > á

Si la fonction de répartition de X est continue, les deux notions convergent.

Graphique n°4.1.2 : Exemple de VaR et TVaR pour une série de provisions suivant une loi
normale.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Comme on le précisait un peu plus haut, la TVaR vérifie la propriété de sous-additivité, ce qui explique l'intérêt qui lui est porté dans les modèles de consolidation impliquant l'agrégation des risques. Dans le même temps, elle permet de prendre en compte le comportement de la queue de distribution ; bien que nécessitant un nombre un peu plus important de simulations.

La VaR et la TVaR constituent les deux outils de mesures de risque que nous avons utilisé dans ce mémoire en ce qui concerne les méthodes stochastiques.

3) Synthèse sur les méthodes utilisées

Les méthodes présentées ci-dessous concernent les deux secteurs d'activités en fonction de leurs branches.

Les branches considérées en vie sont: Contrats liés aux garantis décès et contrats liés aux rentes (conjoint, éducation). Pour le CEIOPS, il s'agit des branches contrats avec profits et sans profits, des contrats en unités de compte.

Les branches considérées en non-vie sont: Responsabilité Civile-RC Matérielle et Dommages Automobile, RC Corporelle Automobile, Incendie et Dommages aux biens, RC générale.

Il est évident que dans le cadre de la détermination des exigences de marges, il faut modéliser d'une part le passif et d'autre part l'actif et éventuellement de l'adéquation actif-passif. Nous présentons très brièvement les modèles utilisés dans ce cadre. Pour l'actif, et particulièrement le risque de marché, nous ne distinguons pas les familles de modèles mais pour le passif, cette présentation est réalisée selon la famille de méthodes.

+ Le besoin en capital relatif au risque de marché (actif)

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Pour l'actif, nous présentons très brièvement le modèle de risque action et de risque obligation. Notre démarche pour ces types de risque s'inspire complètement du développement de Le Moine et Kaltwasser (2006). En effet, leur étude propose une approche des risques de marché (action et obligation). En marché complet, ils trouvent des résultats qui permettent de déterminer les besoins en capital pour couvrir ces risques. Dans un premier temps, ces auteurs montrent que le besoin en capital est fonction du rendement de l'actif sans risque et de la volatilité du portefeuille pour le risque action. Dans un second temps, ce besoin en capital est estimé à partir d'une approche par quantile. Cette dernière nous intéresse particulièrement pour rester dans la logique de Solvency II.

Ils se basent sur un modèle Black & Scholes³², pour le risque action et avec l'introduction du modèle de taux de Heath, Jarrow & Morton (1987) mais toujours dans une logique Black & Scholes pour le risque obligataire.

· La marge de solvabilité liée au risque action.

Considérons un contexte avec un contrat d'assurance vie en euro, à prime unique P, d'une durée de n ans, et de taux technique r_g et où il n'y a pas de rachat possible avant le terme. Ainsi, l'engagement de l'assureur est de verser P. (1+r_g)ⁿ dans n ans. Il va donc devoir mettre en provision mathématique la somme PM0= P. (1+ r_g)ⁿ/(1+ r_a)ⁿ, où r_a est le taux d'actualisation, c'est à dire le rendement moyen des actifs sur cette période. Par prudence, ce taux doit être inférieur au taux technique, la réglementation le limite d'ailleurs au minimum entre 60% du Taux Moyen des Emprunts d'Etat-TME et 3,5%. Enfin, les actifs ne sont pas vendus avant les n années, les plus values ne sont donc pas réalisées avant la sortie du contrat « et il n'y a pas de participation aux bénéfices venant augmenter les provisions mathématiques avant la sortie. Si on prévoit une revalorisation à la sortie, celle-ci n'intervient qu'en cas de rendement élevé des actifs au terme, et cela n'affecte en rien l'exigence initiale en marge de solvabilité. »

L'assureur va donc placer cette provision mathématique dans un actif S, qu'on suppose³³ suivre un modèle Black & Scholes :

dS t

S_t

ì ó

( , ) ( , )

t T dt t T dW

+ t

S PM

0 0

=

³² L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Pour eux, le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés

³³C'est le standard, bien que certaines améliorations soient apportées en prenant en compte d'autres paramètres comme les dividendes (BlackScholes-Merton), ou les options de taux de devises étrangères (modèle de Garman-Kohlhagen) ou même dans la théorie moderne des taux d'intérêt de Vasicek.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

où p est le rendement de l'actif, ó sa volatilité, est Wt est un mouvement brownien standard.

Or, placé dans cet actif risqué (et en pratique, l'actif de l'assureur comporte toujours un risque), une provision mathématique-PM calculée de manière prudente ne permet pas toujours à l'assureur de tenir ses engagements. Les assureurs procèdent généralement par réplication de portefeuille en identifiant une marge qui servira à couvrir la part insuffisante de soldes de placement par rapport aux engagements pris.

Le Moine et Kaltwasser (2006) montrent que la marge de solvabilité-MS peut être déterminée suivant la formule:

MS = PM * (a -b.r + c.ó)

avec PM la provision mathématique, r le taux sans risque et la volatilité de l'actif ó sous l'hypothèse de rendements normaux ; et a et b des constantes réelles qui dépendent du taux technique et du taux d'actualisation des engagements. On constate que dans cette expression, la solvabilité n'est pas seulement fonction des engagements, mais aussi de la qualité des actifs, ainsi que du degré de prudence dans l'actualisation des engagements.

Ces auteurs montrent que pour r_g= r_g =3,2 % ; r=5% et ó=10%, on a :

Marge= Provision mathématique* (0,002836-0,339253 .r+0,654483. ó)

Dans leur approche par quantile, ce qui nous intéresse le plus, ils montrent que pour le même contrat (vie en euro, à prime unique P, d'une durée de n ans, de taux technique r_g et sans possibilité de rachat avant le terme), cette marge peut s'exprimer sous la forme :

MS s PM r e N d s _t N d

( ) .(1 ) . . ( ₂ ) . ( ₁ )

= + - - -

n n t

- - ñ

( )

t a

s s

t t

=

+ ó u t

( ) . , [1, ].

u PM e t n

= ? ?

t

ó 2
ì - t

2

ó ²

s

ln ( ).

^t + -

n t ñ +

.(1 ) 2

avec d₁

n

PM r

+ a

ó

n t

-

d d n t

2 1

= - -

ó

où (0, 1) et N désignant la densité d'une loi normale centrée réduite; N(-d ) et N(-d ) les

u_t ~ N 1 2

valeurs de cette densité évaluée aux termes d et d . PM= P.( 1 + r ) /( 1 + r ) la provision

n n

1 2 g a

mathématique à la maturité et ñ le taux d'intéret sans risque.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

L'intérêt de cette approche réside dans le fait qu'à travers cette expression, on peut déterminé le quantile (1-á)% de la marge de solvabilité ; puisqu'on connaît la loi suivi par ut. En effet, la marge MS (st) est fonction du prix st de l'actif à la date t et puisque ce dernier est fonction de ut alors on peut déduire la loi suivi par MS à la date t par transformation de la densité d'une fonction composée. Le quantile est ainsi obtenu par des simulations Monte Carlo.

on a ( ) . , [1, ];

s _t s _t u t PM e t n

= = ? ?

ì - t

ó 2

2 +óu_t

dg s

( ) dg s

( )

donc ( ) or ( ) ( ( )). , on a donc la densité de la loi de l'actif: ( ( )). .

u g s f u f g s ds

= = f g s

ds ds

Le véritable problème dans tous ces modèles réside dans le choix de la volatilité des actifs. Ho et Lee (1986) d'une part propose une volatilité, ce que nous avons d'ailleurs retenue, de la forme : ó(t,T)=ñ.(T - t), d'une part et Hull et White propose (): ( )

( , ) 1 T t

t T ^ñ e ^ë

= - , ñ

- -

( )

ó ë

étant le rendement de l'actif.

· La marge de solvabilité liée au risque obligataire.

Dans le cas précédent, on n'a considéré qu'un portefeuille action qui est simple à étudier. Mais ce cas ne correspond qu'à une partie de la réalité, car 75 à 80% de l'actif d'une compagnie d'assurance, surtout l'assurance vie est en effet, généralement constitué d'obligations. De plus, pour rester dans la même logique que Fédor (2006), la nouvelle proposition de directive s'oriente vers une pérennisation de cette répartition dans les portefeuilles d'actifs. En effet, considérons pour simplifier qu'il existe sur le marché des obligations d'échéance n ans, fournissant un taux fixe rb = r_g. Pour simplifier les calculs, nous supposons que cette obligation ne verse aucun flux avant le terme et verse à l'échéance le nominal capitalisé au taux rb.

En investissant les provisions mathématiques dans cet actif, l'assureur ne prend donc aucun risque financier en l'absence de rachat. En ce sens, son investissement lui assure de pouvoir fournir le montant garanti dans les n ans. Le problème se pose lorsqu'il y a une sortie de contrat : l'assureur doit alors vendre une partie de son actif. S'il y a eu entre temps une hausse des taux d'intérêt, la valeur de l'obligation aura baissé, et l'assureur ne pourra tenir son engagement avec la seule vente de son investissement. Cela suppose que l'assureur trouve sur le marché les obligations correspondant aux échéances de paiements (T= n ans), ce qui n'est pas toujours le cas. Si l'échéance est supérieure aux n années, même en l'absence de rachats, on se retrouve face dans le même cas de figure, où une hausse des taux fragilise l'assureur. Dans le cas où la maturité de l'obligation est inférieure à n ans, une baisse des taux pose un problème de refinancement, l'assureur ne pouvant trouver sur le marché des produits permettant d'obtenir un rendement

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assurance.

égalant celui qu'il recevait avec l'obligation arrivée à terme. La détermination de l'exigence de marge nécessite l'introduction d'un modèle de taux d'intérêt : pour rester dans l'esprit Black & Scholes, Le Moine et Kaltwasser (2006) considère un modèle de taux de Heath Jarrow Morton. Dans ce modèle, le zéro coupon d'échéance T est un actif qui verse 1€ à la date T, son prix à la date t est noté B(t, T), et sa dynamique donnée par :

dB t T

B ( ( , )( , ) ( , )

t T

, ) = +

ì ó

t T dt t T dW t

B T T

( , ) 1 en l'absence d'opportunité d'arbitrage

=

p(t, T) est l'espérance du taux de rendement mais à la différence du cas des actions, c'est l'espérance instantané de B(t,T), et ó(t,T) sa volatilité. Wt est un mouvement brownien standard. L'absence d'opportunité d'arbitrage suppose qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Dans ce cas, ces auteurs montrent qu'en l'absence de rachats, qu'il n'y a pas de risque financier à condition que le taux d'actualisation soit inférieur au taux d'intérêt des obligations à l'échéance ; ce qui est assuré par les réglementations. L'introduction de rachats de contrats avant échéance nécessite la vente d'une partie des obligations pour couvrir les engagements. Ce que nous n'avons pas traité ici.

+ Le besoin en capital relatif au risque de passif

Pour le passif, nous présentons les modèles selon leur famille. Comme préciser plus haut, nous distinguons deux familles de méthodes: Les méthodes déterministes et celles stochastiques.

· Les méthodes déterministes

L'approche déterministe n'est pas complètement mise de côté dans le projet de directive Solvency II. En effet, l'évaluation des provisions en assurance non-vie dépend de la loi de survenance des sinistres. Et plusieurs modèles permettent cette évaluation (Chain Ladder, Bornhuetter Ferguson,...). Parmi ces modèles, il y en a un qui est central : il s'agit de la méthode Chain Ladder. Le CEIOPS suggère son utilisation dans la détermination de la meilleure estimation (Best Estimate) des provisions pour sinistres. Nous faisons usage de cette méthode dans plusieurs parties de ce mémoire. En assurance vie, nous présentons les méthodes de détermination des provisions mathématiques.

> La méthode Chain Ladder

La méthode de Chain Ladder est un modèle de développement par cadences, basé sur le

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triangle de liquidation ou des montants cumulés. Ce triangle est la partie supérieure d'une matrice dont les lignes représentent les années de survenance (ou origine) des sinistres et les Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

colonnes désignent les années de règlement (ou développements). Ainsi un élément _Xi,j désigne la charge de sinistres survenus à l'année i+j et payée jusqu'à l'année j. L'intuition de cette méthode, c'est d'estimer les valeurs futures des prestations sur la base des prestations passées en fonction du comportement de ces derniers. Ce comportement est identifié à travers les facteurs de développement de sinistres. Ces facteurs sont obtenus à partir des techniques statistiques (moyenne arithmétique, pondérée ou géométrique). Nous adoptons ici la moyenne arithmétique. Ainsi donc, pour n année de développement, le facteur de développement Cj associé à l'année j est estimé par la formule :

n j n j

- -

X X C

i j i j i j

, 1 , ,

*

1 1

j n j n j

= =

i i

- -

X X

i j i j

, ,

i i

= =

1 1

à

C

, j [1;n-1]

? ?

Les estimateurs ainsi obtenus sont sans biais et non corrélés.

	Développement (j)
Origine (i)	1	2	...	n-1	n
1	X1,1	X1,2	...	X1,n-1	X1,n
2	X2,1	X2,2	...	X2,n-1
...	...	...	...
n-1	Xn-1,1	Xn-1,2
n	Xn,1
Coefficient de développement	C1	C2	...	Cn-1

L'utilisation de cette méthode suppose que, d'une part, les règlements de sinistres sont stables et, d'autre part, que les facteurs de développement sont indépendants de l'année d'origine des sinistres, des hypothèses que nous avons faites aussi. A partir de ces facteurs de développements estimés, on peut estimer les valeurs de la partie inférieure de la matrice de développement, c'està-dire les prestations futures et qu'on appelle les « ultimes » pour celles de la dernière colonne :

X à i j = C à j + * C à j + * C à n + - i * X i n + - i pour i 2, , n et j= n 2 i , ,2.

...

, 1 2 1 , 1

? = ... + -

A partir de ces valeurs estimées, notamment les valeurs de la dernière colonne. Pour chaque ligne i (année de survenance), la différence Ri, entre la valeur estimée pour cette colonne et la dernière valeur connue constitue la réserve ou la provision pour à payer le sinistre survenu à l'année i. La provision totale pour sinistre à payer R pour les n années de développement est obtenue par l'expression :

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

n n

R R

==

i
i i

= =

1 1

( , , 1 )

X X - +

à

i n i n i

-

Bien que simple à appliquer, très utilisée et comme toute méthode, elle a ses limites. Dans un premier temps, cette méthode est sur paramétrée d'autant puisqu'il s'agit de réaliser pour un triangle de dimension n, l'estimation des (n-1) paramètres en disposant de n(n-1)/2 valeurs connues. Un test de validation du triangle d'entrée est recommandé. Dans un deuxième temps, les incréments correspondant aux périodes de développement élevées comportent peu d'observations. Par exemple le dernier facteur de développement est déterminé à partir de seulement deux valeurs et est appliqué à toute la colonne. Pour encadrer ce phénomène, il est conseillé d'adopter des techniques d'extrapolation par adéquation à des courbes de référence. Dans un troisième temps, les « effets diagonale » dans le triangle dus à des modifications de cadences de règlements, bien présentes dans certaines branches à déroulement long , ne sont pas prévus par la méthode-la progression des paiements cumulés est supposée identique pour toutes les années de souscriptions. Enfin dans un quatrième, par principe même de Solvency II qui veut mieux prendre en compte le risque, cette méthode ne permet pas de mettre en avant la volatilité de la sinistralité. Heureusement, elle présente l'avantage pratique et capital d'être facilement corrigeable du fait de son interprétation aisée.

> Les provisions mathématiques

La Provision Mathématique-PM- est la moyenne actualisée des flux futurs. Nous considérons le secteur vie avec des garanties décès et les rentes liées à l'arrêt de travail. Les risques considérés ici sont liés à la déformation de table (hausse ou baisse du taux de mortalité) et l'arrêt de travail dû à une incapacité ou à une invalidité.

Les garanties décès et le risque de table

Elles permettent au bénéficiaire (conjoint survivant ou aux enfants) du contrat de toucher une rente au décès de l'individu assuré. Le risque pour l'assureur est donc par exemple d'observer une déformation de la table de mortalité. Les tables de mortalités décrivent l'extinction progressive d'une population au cours du temps. Il en existe de deux sortes : les tables homologuées par l'autorité compétente-produites par l'Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (INSEE)- et celles dites « d'expérience » produites, elles, par chaque assureur et certifiées par un actuaire indépendant de cette entreprise et agréé. Afin de réaliser des calculs de PM plus pertinent et adapté aux spécificités du portefeuille de l'entreprise et du fait de la liberté de choix de tables qui est donnée aux assureurs, il est préférable d'utiliser les tables d'expérience. Mais nous réalisons certains graphiques sur la base de données de l'INSEE. Les formules situées en annexes de méthodes liées à ce type de risque sont les standards en

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assurance vie. Qu'il s'agisse d'une rente viagère, d'une rente temporaire ou d'une rente éducation³⁴, la formule de la PM est globalement la même et à la seule différence des bornes supérieures de sommation. Pour une rente à prime unique d'un montant de 1€ annuel, à échoir sans revalorisation et versées en une fois, la PM est la somme actualisée du rapport nombre d'individus d'âge x+k sur nombre d'individus d'âge x.

Les garanties arrêt de travail et les risques incapacité ou invalidité.

Elles permettent de couvrir les personnes en arrêt de travail pour le temps qu'elles sont susceptibles de passer dans cet état. Cet état peut être temporaire ou définitif pour les individus d'une tranche d'âge donnée. Le risque pour l'assureur est donc par exemple d'observer une déformation de la table des cas d'invalidité ou d'incapacité. Les formules situées en annexes de méthodes liées à ces types de risques sont les standards en assurance vie. Qu'il s'agisse d'une incapacité ou d'une invalidité (en attente ou en cours), le principe de calcul de la PM reste globalement identique au cas évoqué pour les rentes.

Somme toute, l'approche déterministe fournit une unique estimation à partir d'hypothèses fixes (table de mortalité, taux d'actualisation), elle décrit un unique scénario ou réalisation et ne laisse pas place à l'incertitude. Le risque n'est donc pas appréhendé de manière optimale par cette famille de méthode. Et selon l'esprit du projet de directive Solvency II, on devrait s'orienter de plus en plus vers les approches stochastiques pour déterminer les composantes du bilan, notamment les provisions. Cependant, les valeurs obtenues par les approches déterministes constituent une référence quantitative pour la projection aléatoire des montants de provisions.

· Les méthodes stochastiques

Comme précisé plus haut, nous présentons dans un premier temps deux méthodes relatives aux PSAP-où nous modélisons le risque de volatilité-: une méthode de type paramétrique et une autre de type non paramétrique. Ces deux se basent sur la méthode Chain Ladder. Dans un second temps, nous évoquons le risque d'erreur de spécification de table et d'aggravation du risque (risque intrinsèque) en ce qui concerne les PM.

> Détermination des PSAP

Méthodes paramétriques

Ce sont des méthodes qui se basent sur une loi appartenant à une famille connue de lois, dont il suffira d'estimer les paramètres. Deux lois sont utilisées dans le cadre de notre étude : la

³⁴ Ici une petite correction liée au nombre d'individus d'âge k dans la loi de poursuite d'études au niveau de chaque âge k : le rapport _sx+k /sk.

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loi normale et la loi log-normale³⁵. Nous retenons donc comme moyenne de ces lois, la provision calculée par la méthode déterministe (Chain Ladder). Ensuite, à partir des données disponibles de chacune des branches considérées, nous estimons l'écart type. A cet effet, nous adoptons la méthode de Mack (1993). Cette méthode permet d'estimer la volatilité de l'estimateur des provisions techniques sur base de la méthode Chain Ladder. Trois hypothèses soutiennent cette méthode. La première suppose une indépendance d'exercice ; c'est-à-dire que les années de survenance sont indépendantes entres elles. La deuxième hypothèse indique que, conditionnellement aux montants cumulés des prestations passées et quelle que soit l'année de survenance du sinistre, le facteur de développement est en moyenne le même. Enfin, la troisième porte sur la variabilité au sein du triangle de liquidation ; elle suppose que la volatilité au cours d'une période de développement est la même quelle que soit l'année de survenance du sinistre.

Il conclut que sous ces hypothèses, l'erreur standard de la provision à constituer (R) peut s'écrire sous la forme :

2 ó_k

à 2

2

à

f_k

n k

-

Cnk

1

j

n n n - 1

mse R mse R C C

à ( à ) à ( à ) à . à .

= ( )

i in ij

+

i=2 j i k n i

= + = + -

1 1

avec

mse R X

2

i in

=

à ( à ) à . à à

C X

2

+ n k

-

k n i k ik

= + -

1

n-12

ó à1 1

k

Xjk

j 1

et X X

i n i

à à

, 1 , 1 , 1

= ; les sont les valeurs estimées de la partie inférieure du triangle

- + - + - +

i n i i n i

X

de liquidation.

Une fois les deux paramètres (la moyenne et l'écart type) estimés et connaissant la loi de distribution de la provision technique, on peut calculer aisément les VaR et TVaR pour les niveaux de risque souhaités. Peu aisée à interpréter, la robustesse de cette méthode est mise en cause dans certains cas : les triangles « imparfaits » dus aux données manquantes ou aux sinistres exceptionnels ou même aux erreurs comptables. Les méthodes non paramétriques facilitent cette tâche de robustesse et d'interprétation.

Méthode non paramétrique

On a précisé plus haut certaines limites de la méthode Chain Ladder ; on a évoqué par exemple son sur-paramétrage et sa sensibilité à une forte variation. On a dû faire une hypothèse sur la loi de distribution des provisions techniques : ce qui n'exclut pas des erreurs de

³⁵ Petits rappels sur ces lois en annexes.

- 59 -

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

spécification de loi. Il convient d'adopter des méthodes permettant de contourner ces contraintes : le Bootstrap ou encore la méthode de « rééchantillonnage » offre cette opportunité. L'intuition de cette méthode, c'est d'obtenir à partir d'un échantillon initial de taille T donné, de nouvelles informations statistiques en stimulant plusieurs (N) nouveaux échantillons de même taille. Autrement dit, on apprend à partir d'une expérience par répétition. Et comme on dit souvent qu'avec le temps les choses finissent par devenir normales ; on obtient ainsi, des estimateurs plus robustes et moins contraints. Cependant, cette méthode repose sur deux hypothèses qui constituent un peu ses limites : l'indépendance et une distribution identique des lois de chacun des éléments composant l'échantillon de base. Deux hypothèses qui ne sont pas respectées, dans le cadre des triangles de développement auxquels nous voulons appliquer cette méthode ; car, les règlements incrémentés ne sont pas indépendants et leurs distributions ne sont pas identiques -des paiements de recours ou des développements longs de certaines branches par exemple, rendent les distributions non identiques. Afin de contourner ce problème, on utilise le « Residuals Bootstrap » basé, non pas sur les observations directes du triangle mais les écarts normés (centrés et réduits) de ces observations à l'aide des résidus de Pearson. Ainsi donc, pour un triangle de règlement de taille n, on a pour la cellule (i,j):

R y - ì à

= =

ij ij ij

Rp

i j

, V V

( à ) ( à )

ì ì

ij ij

y représente la value observée et celle prévue par le modèle et ( à ) à la variance dans

ì à V ì ì

=

ij ij ij ij

un modèle de Poisson.

Certaines notations sont nécessaires pour appliquer cette méthode aux triangles de règlements sur la base de Chain Ladder. Ainsi, pour la cellule (i, k):

à

- , , , ,

C i k , D i k , D i k et m à i k désignent les valeurs des triangles respectivement brutes non cumulées, brutes cumulées, prédites cumulées et prédites non cumulées ;

- i , k

r représente la valeur dans le triangle des résidus de Pearson ;

p

( ) *

p

- ,

r représente la valeur dans le nouveau triangle des résidus, après ré échantillonnage

i k

avec remise du triangle des résidus de Pearson ;

- ,

C * *

et D i k désignent les valeurs des nouveaux triangles respectivement non cumulées, et

,

i k

cumulées.

Dans un premier temps, on détermine les facteurs de développement à l'aide de la méthode Chain Ladder appliquée au triangle de développement des montants cumulés _(Di,k). Dans un deuxième temps, on crée un nouveau triangle à partir des dernières valeurs observables (valeurs

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

- 60 -

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

de la diagonale) du triangle de départ et des facteurs de développement ; les valeurs de la
diagonale sont divisées par les coefficients de Chain Ladder : on obtient un triangle nommé

Triangle Prédit contenant les valeurs ( mà i , k ) .

( )

p

Dans un troisième temps, on détermine les valeurs du triangle des résidus de Pearson ,

rà

i k

( ) *

p

partir de celles du triangle des montants non cumulés ,

ret celles du Triangle Prédit :

i k

ri

C m

- à

ik i k

,

=

à

( )
p

, k

m i k

,

Dans un quatrième et dernier temps, on réalise maintenant le Bootstrap. Ce dernier consiste à générer de nouveaux triangles de montants cumulés par ré échantillonnage aléatoire des résidus calculés ; les valeurs de ces montants sont obtenues par la formule :

C ik = m i k + r i k × m i k

* ( )*

à , , p à ,

On finit donc par sommer ces montants et à l'aide la méthode de Chain Ladder, on obtient ainsi les nouveaux montants cumulés. On refait l'expérience de cette quatrième phase plusieurs fois (N) : on obtient ainsi N valeurs différentes des provisions et on peut ainsi en déduire la loi de distribution.

Toute cette procédure est résumée dans le schéma n°4.1.1.

A titre complémentaire et en restant dans l'optique de la nouvelle proposition de directive, nous actualisons ces provisions. En effet, cette actualisation permet de ramener les valeurs futures évaluées par la méthode du Bootstrap à la date courante. Elle est réalisée à partir des taux financiers : courbe des taux selon la zone ; nous adoptons celui suggéré par le CEIOPS. Rappelons toute fois cette formule :

_C*

ik

C * = pour i+j>n avec tx le taux financier.

simulé actualisé ( )

1 ( /100) i j n

+ -

+ tx i j n

+ -

Schéma n°4.1.1 : Synthèse de la procédure du Bootstrap sur base des triangles de
liquidation.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Source : Dugas (2003).

> Détermination des Provisions Mathématiques-PM

Il s'agit ici de présenter très brièvement les méthodes d'identification de la volatilité de la provision mathématique déterministe plus haut.

Le risque de table

Le risque de table correspond à une déformation (hausse ou baisse des valeurs) des tables. Cette déformation dépend du type de contrat modélisé. Pour les rentes, le risque pour l'assureur est lié à une survie plus longue de l'assuré. Quant aux contrats en cas de décès, ce risque est lié à une augmentation des décès. En utilisant les tables réglementaires TV 88-90 et TD 88-90 associé respectivement aux contrats vie et décès, on peut observer le phénomène d'aggravation sur le graphique n° 4.1.1.

Graphique n° 4.1.1 : Risque de table lié à une aggravation

Il faut noter que la déformation des tables est croissante depuis quelques années en fonction de
l'âge et n'est pas homogène. Une observation du graphique n° 4.1.2 qui représente l'évolution
des taux de mortalité en fonction de l'âge (sur données de l'INSEE) montre bien ce fait et révèle

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

dans le même temps, la difficulté de modélisation. Cependant, Brass (1971) suggère un modèle qui permet d'appréhender cette déformation. Son modèle est de la forme :

log ( ) 1 2 log ( )

it q = è + è it q x

ref

x

logit(q) ln ; ] ; [

q Z Z

x

= = ? - 8 +8

avec 1

- q x

x x x

q [0;1], les quotients annuels de décès observés à l'age x.

x ?

A partir de ce modèle, on peut réaliser une déformation de la table. En effet, ce modèle établit
une relation linéaire entre le Logit des quotients de mortalité étudiés q_x et ceux d'une population

q x de référence q^ref . Intégrer un risque de table consiste à simuler une variable ln Z x = 1 - q

x

selon une loi N(logit(q _x );ó) où ó est un coefficient d'abattement³⁶ global des quotients annuels

q_x des tables de mortalité et calibré à 0,88. Ainsi le q_x^* simulé est centré autour de sa valeur déterministe issue du logit appliqué à la table d'entrée. Une fois la première simulation réalisée, par inversion de la fonction Logit, on obtient :

x e ^Z q e x Z = + x 1

, ce qui permet de produire une nouvelle table de qx sur]0 ; 1 [et ainsi d'avoir un

modèle de déformation de table. On peut obtenir donc une distribution des PM. En ce sens, pour une simulation i donnée, la PMⁱ est donnée par l'utilisation de la i^ème table simulée (table des qÇ). Graphique n° 4.12 : Risque de table lié à une aggravation

Source : INSEE (2002)

Le risque intrinsèque

³⁶ Il correspond à une faible marge de risque que l'on estime à 60% de la table d'origine en VaR et appliqué sur le marché (la plupart du temps par des réassureurs).

- 63 -

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

En simulant le décès ou la survie de chaque individu pour l'ensemble des années de projection, on modélise ce type de risque. Ainsi, pour chaque année de projection, on dispose des q_x simulés notés q_x' ; la probabilité que la rente soit versée est égale à 1- q_x' (survie ou maintient de l'assuré en vie). On effectue donc un tirage de Bernoulli de paramètre (1- q_x') pour déterminer si la rente est versée (1 si oui et 0 sinon). Les flux sont ensuite actualisés avec un taux règlement constant pour toutes les années dont nous avons fait référence plus haut. Par exemple pour un portefeuille de p individus, d'âge xj à la souscription, souscrivant à une garantie pour rente de conjoint temporaire d'un montant de M et un taux d'actualisation constant égal à r, la provision mathématique associée est donnée par l'expression :

PM	i =	p	X x - j	M		avec X à l'age limite.
		j =	1 0 k j =	(1 ) + r	k j

On répète ainsi N fois cette simulation pour obtenir N valeurs de PM et ainsi calculée la VaR associée.

Il est ensuite possible de modéliser conjointement ces deux risques en tenant compte de leurs structures de dépendance. Nous nous contentons d'une copule de Gumbel dont nous rappelons les propriétés à l'annexe des méthodes.

PARAGRAPHE 2 : Modélisation des éléments du bilan et calcul des marges de
solvabilités

Le désir du CEIOPS est d'effectuer une projection par risque pour prendre en compte les spécificités de chacun d'entre eux. Il s'agit donc pour chaque organisme assureur de mobiliser un capital agrégé pour faire face à des scénarios pessimistes. Ces scénarii correspondent pour chacun des éléments du compte de résultat, à la réalisation de la TVaR pour un niveau de confiance de 99,5% de la fonction de distribution. Le compte de résultat technique est un compte vu de l'exercice comptable avec ventilation par risque. Qu'il s'agisse de la formule standard proposée dans le QIS 3 ou de l'utilisation d'un modèle interne, deux étapes sont respectées pour déterminer le SCR : dans un premier temps, les exigences de marges pour chaque type de risque puis dans un second temps une consolidation des informations sur la base des sommes de ces

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

exigences de marges par risque avec une prise en compte de la structure de dépendance (corrélation intra-branches).

En comparant les charges aux produits, on détermine le résultat de l'exercice écoulé à partir du compte de résultat technique. Il permet en une année donnée de passer du bilan de l'exercice antérieur à celui de l'exercice présent. Le tableau n°4.1.3 présente le compte de résultat technique en assurance non-vie, nous présentons en annexe n°3, celui en assurance vie.

On se place donc dans le cas d'un renouvellement de portefeuille. Cela nécessite de le faire vieillir d'un an pour estimer la production nouvelle. Soit donc à une année N donnée, la projection de tous les postes du compte de résultat pour l'année N+1, implique de disposer au minimum :

- de l'évolution des primes ;

- de l'évolution du ratio sinistres à primes (S/P) ; - du taux de nouvelles souscriptions ;

- d'une projection des pertes potentielles liées aux actifs ; - d'une projection de l'actif à un an ;

- d'une projection des frais généraux et commissions ; - d'une projection du programme de réassurance ;

Tableau n°4.1.3 : Compte de résultat technique non-vie

	Opérations brutes	Cessions et rétrocessions
Cotisation acquises
Cotisations
Charge des provisions pour cotisation non acquises
Produits des placements alloués du compte NT
Autres produits techniques
Charge des sinistres
Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN			- 65 -

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Prestations

Frais payés

Charge des provisions pour sinistres

Charge des autres provisions techniques

Participation aux résultats

Frais d'acquisition et d'administration

Frais d'acquisition

Frais d'administration

Commissions reçues des réassureurs

Autres charges techniques

Charge de la provision pour égalisation

Résultat technique des opérations

Les algorithmes de projections sont présentés brièvement ci-dessus. Quelles sont alors les données à insérer dans nos portefeuilles ?

~ Données à intégrer dans nos portefeuilles. Les cotisations acquises

Elles sont définies comme la différence entre les cotisations reçues en N+1, les Provisions pour Primes Non acquises et la libération de Provisions pour Primes Non acquises à N+1. Le but est d'estimer l'évolution du chiffre d'affaire N+1 afin de déterminer les cotisations à recevoir en N+1 dont le montant sera : [Primes*(1+augmentation de primes N+1)]. L'évolution de ce chiffre d'affaire et l'estimation du Ratio S/P doivent tenir compte des cas éventuels de résiliations de contrats, de revalorisations tarifaires et des affaires nouvelles.

Les prestations

Les prestations servies en N sont connues et extraites des données de portefeuille qui doivent être d'une part le triangle de liquidation pour les risques de cadence et d'autre part le fichier de données individuelles pour les risques vie. L'historique des ratios S/P est obtenu en rapprochant l'historique des montants de prestations et celui de primes. Nous présentons plus loin la modélisation des prestations N+1 qui sont, elles, inconnues.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Les placements

Les placements qui constituent la grande partie de l'actif d'un bilan et notamment en assurance vie ont un poids important et constitue la grande partie de l'activité. On retrouve d'une part les produits constitués de ceux non-alloués (revenus de placements, autres produits des placements et profits de réalisation), ceux alloués et ceux transférés ; et d'autre part les charges de ces placements. Nous avons modélisé le risque associé sur la base des travaux de Kaltwasser et Le Moine (2006) comme précisé plus haut.

Les frais

Il s'agit ici des frais de gestions, d'acquisitions et d'administrations. Seuls les frais de gestions sont à intégrer dans les charges de sinistres.

La réassurance

Nous avions évoqué le sujet dans les chapitres précédents lorsque nous présentions les familles d'assurance ; nous ne le détaillons plus ici. Toutefois, nous rappelons très rapidement les deux formes de réassurance ; il s'agit de la réassurance proportionnelle qui s'applique aux risques couverts par l'entreprise cédante et la réassurance non proportionnelle qui concerne, elle, les sinistres réalisés.

~ Modélisation des prestations et provisions

Il s'agit essentiellement des provisions N, provisions N+1 et des prestations N+1, les prestations N étant une donnée comptable. Les ruines constatées ces dernières années ont été presque exclusivement dues à une mauvaise estimation du stock, qui constitue donc le principal risque de défaut. Partant de ce fait, nous distinguons la modélisation de stock et l'évolution du chiffre d'affaires.

De même pour les prestations, une distinction est à opérer entre d'une part les prestations à servir sur le stock et d'autre part les prestations à servir sur la production nouvelle.

Projection du stock

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Il s'agit du risque de cadence, modélisé par le Bootstrap sur une base de Chain Ladder ; et un risque d'écoulement des provisions mathématiques, modélisé lui par un modèle vie tête par tête.

Projection de l'évolution de la sinistralité

La projection de l'évolution de la sinistralité N+1 va permettre de déterminer les prestations N+1 et les provisions N+1. Cette sinistralité est modélisée par une loi paramétrique calibrée par défaut sur les données historiques : le S/P moyen constaté et la volatilité du S/P sur les différentes années comptables disponibles. Il sera réajusté en fonction des estimations faites pour N+1 si celles-ci sont possibles.

De la même manière que cela est présenté, dans un contexte paramétrique, on fait usage de la loi normale, notamment pour le risque santé ou éventuellement les branches IARD courtes, qui sont des risques stables et la loi log-normale notamment pour les risques longs, principalement les branches corporelles et vie. Ce qui permet de modéliser une queue de distribution plus lourde.

Pour les modèles de cadence la répartition entre prestations N+1 et provisions N+1 est effectuée à partir de la cadence de règlement en 1^ère année constatée sur le triangle d'entré. La

N

charge de sinistre totale S (avec somme nulle si pas de décès) est définie par : S=

S X = i

i= 1

avec N le nombre de sinistre survenus et Xi, les montants de ceux-ci.

Pour le cas spécifique des garanties décès (capital décès-rentes), les organismes gérant le risque à partir d'informations sur les capitaux sous risques et sur le nombre d'occurrences de sinistres, l'évaluation des PSAP en N peut être effectuée par un modèle Poisson Composé. Ce modèle prend en compte une loi de comptage (pour le nombre des sinistres) et une loi continue (pour les coûts respectifs) afin de décrire le coût total que le risque génère pour l'assureur. Restant dans un contexte paramétrique, la loi du nombre de sinistre est une loi de poisson, P(ë), et la loi du coût, une log-normale LGN (jt,ó). Pour les garanties décès, les paramètres à intégrer au modèle sont les prestations décès et rente servie en N d'une part et les triangles de nombre de sinistres survenus en décès et rente.

On dispose d'un triangle de liquidation en nombre N1 de garanties décès et d'un triangle de liquidation en nombre N2 de garanties rentes, tous deux supposés suivre une loi de Poisson de paramètres respectifs ë1 et ë2. La propriété de stabilité de la loi de Poisson, implique que

- 68 -

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

N=N1+N2 suit une loi de Poisson de paramètre ë = ë1+ ë2 si et seulement si N1 et N2 sont indépendants. Le paramètre de la loi de poisson, P(ë) sera donc la somme des résultats issus du modèle de Chain Ladder appliqué aux deux triangles. Par ailleurs, le triangle de nombre permet de connaître le nombre de sinistres payé en N, d'où l'on peut déduire le coût moyen d'un sinistre, en recoupant ce montant avec le montant des prestations payées en N. Les paramètres de la loi log-normale sont ainsi estimés à partir de ces éléments et des données concernant le S/P et les primes.

Les comptes de résultats établis pour chacun des risques sont ensuite consolidés en intégrant les structures de dépendances interbranches. On utilisera la matrice de corrélation dans le cadre de la formule standard et la copule de Gumbel³⁷ pour le modèle interne. Dans l'hypothèse que nos compagnies considérées ne reçoivent pas de nouvelles souscriptions, que les frais généraux et commissions sont négligeables et, que le programme de réassurance ne change pas d'une année à une autre et que le risque de défaillance des réassureurs est négligeable. Nous ne traitons donc pas ces postes là.

SECTION II : Données utilisées et quelques résultats.

PARAGRAPHE 1 : Les données utilisées

³⁷ Plus de précision dans la partie annexe des méthodes sur les copules.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Nous considérons deux compagnies fictives Ariskov vie et Ariskov non-vie. Les données relatives à ces entreprises sont issues de plusieurs sources : données simulées sur la base des résultats comptables obtenus sur le site de l'Autorité de Contrôle des Assurances et d'autres sources confidentielles.

Nous commençons ce paragraphe par une présentation de deux tableaux de résultats à fournir aux CEIOPS dans le cadre de la troisième étude quantitative d'impact-QIS3. Cette dernière s'est déroulée entre le dernier. Par mesure de simplification, les simulations ont été faites sans tenir compte du mécanisme d'absorption

1ère partie du questionnaire QIS3 : données comptables au 31/12/N

Tableau n° 4.2.1 : Exemple de questionnaire pour les contrats en unité de comptes.

ARISKOV-VIE - [solo]

CEIOPS QIS3 - 20070625 LOB_L1

Technical provisions according to current basis			Total gross of reinsurance	Total net of reinsurance
	Provision for unearned premium	01
	Life assurance provision	02
	Claims provisions	03
	Provision for bonuses and rebates	04
	Other provisions	05
	Unit linked	06
	Total value current bases	08	0 0
	Deferred acquisition costs (-)	09

Best estimate value of the segment of liabilities

I.1.32

I.1.73

I. 1 .1 1

I. 1 .1 1

Total

of which Death

of which Survivorship

of which Disability

of which Savings

Optional data

of which value of hedgeable risks

of which value of non hedgeable risks

10

11

12

13

14

15

16

Gross

Net

Il faut donc fournir d'abord pour chaque branche d'activité, le compte de résultat et la meilleure estimation des provisions techniques (Claims provisions, Life assurance provision) ;

2ème partie du questionnaire QIS3 : les estimations selon les différents référentiels Tableau n° 4.2.2 : Exemple de questionnaire pour les contrats en unité de comptes.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

ARISKOV-VIE -

CEIOPS QIS3 - 20070625 BS Balance sheets

Summary balance sheet - current bases
Assets			Liabilities
Reinsurance	01			Basic own funds
Investments (detailed below)	02			Insurance liabilities
Unit linked investments	03			Unit linked liabilities
Other assets	04			Other liabilities
Total	05	0	0	Total
Summary balance sheet - Solvency I valuation principles
Assets			Liabilities
Reinsurance	11			Basic own funds
Investments (detailed below)	12			Insurance liabilities
Unit linked investments	13			Unit linked liabilities
Other assets	14			Other liabilities
Total	15	0	0	Total
Summary balance sheet - QIS3 valuation principles
Assets			Liabilities
Reinsurance	21			Basic own funds
	22			Risk margin
Investments (detailed below)	23			Insurance liabilities
Unit linked investments	24			Unit linked liabilities
Other assets	25			Other liabilities
Total	26	0	0	Total
Investments		Current bases	Solv. I bases	QIS3 bases
Total	40	0	0	0
Lands and buildings	41
Investments in affiliated and participating interests	42
Bonds	43
Equities	44
Other	45

Il faut ensuite fournir, les éléments de la balance en brute et en nette de réassurances selon les différents référentiels : Actuel de l'entreprise, Solvency I et Solvency II (à l'étape QIS3). Les informations sur les différents placements (actions, obligations, immobilier et autres) selon ces différents référentiels constituent la dernière partie des données à fournir..

Ci-dessus un triangle de développement des paiements cumulés pour sinistres survenus au cours des 9 dernières années dans la compagnie Ariskov non-vie.

Tableau n° 4.2.3 : Tableau de cadence de développement des charges pour sinistres payés

Origine Développement

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

- 71 -

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 885805 1239586 947633 900700 1349258 1079945 1304278 988284 1067190

2 1119989 1218504 988827 1240543 1307535 1258252 1278119 999893

3 1008069 1068023 1030810 1206514 1209003 1164358 1278465

4 978466 1104742 1012819 1171389 1106794 1109846

5 983364 1104431 993583 1131415 1017322

6 1001186 1091731 996562 1161108

7 983431 1000143 924483

8 980958 990057

9 988382

Pour Ariskov vie dont l'activité est essentiellement constituée d'assurance pour la vie (les garanties rentes et arrêt de travail) ; nous avons constituée un portefeuille de 1000 actifs constitué de 20% d'actions et 80% d'obligations. En fait, l'assureur Ariskov vie, reçoit des souscriptions pour des contrats vie en euro à prime unique de 350 € d'une durée de 9 ans au taux technique de 4% sans possibilité de rachat avant terme.

Une fois les Best Estimate calculés, nous utilisons les proxies³⁸ pour déterminer les marges de risque afin d'obtenir les provisions techniques. (Nous utilisons les 5% compte tenue de la valeur du chiffre d'affaire de nos compagnies. Dans le référentiel Solvency I la valeur des actifs est constituée par celle comptable ; dans Solvency II, il nous faut capitaliser cette valeur.

PARAGRAPHE 2 : Synthèse de quelques résultats

Nous présentons ci-dessus une synthèse des résultats obtenus à l'aide des logiciels (MATLAB, SAS, PM'EXPERT ^TM et autres³⁹ ).

En assurance vie :

Le schéma n°4.2.1 montre les résultats obtenus pour les différents postes du bilan de Ariskov vie. A partir de ces résultats, nous avons calculés les ratios dont nous avons consignés ces résultats dans le tableau n° 4.2.3. Ensuite, nous avons calculés les écarts relatifs en fonction des différentes méthodes. Les résultats sont consignés dans le tableau n°4.2.4

En assurance non-vie :

Le schéma n°4.2.2 expose les résultats obtenus pour les différents postes du bilan de Ariskov non-vie. Comme pour Ariskov vie, nous avons calculés les ratios et les variations de ces

³⁸ Dans QIS3, il est suggéré l'utilisation de part (en %) du Best Estimate pour déterminer la marge de risques en cas de données manquantes ou insuffisante.

³⁹ OSIRIS, Delphi ;

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

ratios en fonction des différentes méthodes. Les résultats sont consignés dans les tableaux n° 4.2.3 et n°4.2.4.

Sur les deux schémas (n° 4.2.3 et n°4.2.4), on observe une augmentation globale des valeurs de tous les postes du bilan quand l'on passe du référentiel Solvency I au référentiel Solvency II. Par exemple à l'actif des bilans, on remarque qu'il y a une augmentation de la valeur de l'actif quel que soit le secteur d'activité. Cette croissance peut s'expliquer par l'approche retenue : passé d'une valeur comptable à une valeur de marché (Market consistent) fait augmenter naturellement les valeurs: pour le secteur vie, on passe d'une valeur comptable de 427.000 à une valeur⁴⁰ de marché de 454.000 ; et dans le secteur non vie, on passe d'une valeur de 1.118.000 à une valeur de 1190.000. De même, la valeur des provisions techniques subit également une augmentation pour le secteur vie tandis que dans le secteur non vie on observe une baisse de cette valeur; ce qu'on peut expliquer aussi par le cadre de calcul. Non seulement la meilleure estimation (Best Estimate) est actualisée, mais également une valorisation économique (en fair value) peut expliquer cette variation. La marge de risque (Risk Margin) liée aux provisions techniques peut constituer également une explication, en ce sens les risques de souscription sont mieux identifiés et donc le provisionnement pour sinistres en a subit un coup et devient plus objective; notamment pour le secteur vie. Il faut aussi remarquer que les valeurs des marges de solvabilités requises ne sont pas restées en marge de cette augmentation : si en assurance vie elles ont augmentées d'environ de moitié (54.000 à 75.000 environ), elles ont doublées voire presque triplées (114.000 à plus de 282.000), en assurance non-vie (54.000 à 75.000 environ). Par ailleurs, le tableau n° 4.2.3 met en évidence des situations globalement solvables pour les compagnies Ariskov vie et Ariskov non-vie: tous les ratios de couvertures de marges ont une valeur supérieure à l'unité. Mais plus critique encore, on observe une diminution globale de ces ratios quel que soit le secteur d'activité et l'approche calculatoire mise en oeuvre, en passant de Solvency I à Solvency II. Cette diminution peut s'expliquer par la prise en compte de risque largement ignorés par Solvency I.: résultats normaux. En effet, les marges de solvabilités requises, qui constituent le dénominateur de ces ratios, ont toutes augmenté tandis que les marges de solvabilités constituées n'ont pas extraordinairement augmenté. Ainsi donc, la hausse des valeurs des marges de solvabilités requises devrait provenir d'une meilleure prise compte des différents risques et aussi de la baisse globale des surplus⁴¹.

⁴⁰ Taux d'actualisation de 3,2% et un taux d'intérêt de placement global d'environ 4% sur les 8 ans

⁴¹ Eléments auxiliaires, il s'agit du capital souscrit et non appelé, les rappels de cotisations, les lettres de crédit et tout autre engagement reçu par un assureur ou réassureur. La fixation de leur montant requiert l'approbation préalable de l'autorité de contrôle.

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Tableau n° 4.2.3: Ratios de marges de couverture selon la méthode et le secteur d'activité

Méthodes	Assurance vie		Assurance non-vie
Formule standard	Av= 142%	Bv= 123,54 %	Anv= 208,9 %	Bnv= 123,3 1%
Modèle interne		Cv= 115,02%		Cnv= 131,67%

Tableau n° 4.2.4: Variation des ratios de couvertures selon la méthode et le secteur d'activité

Méthodes		Assurance vie			Assurance non-vie
Formule standard	r 1, v =	- BA v v =	-13,77%	r = 1, nv	- B A nv nv =	- 40,97%
		A v			A nv
Modèle interne	r 2, v =	- C A v v =	-19,34%	r = 2, nv	- C A nv nv =	-36,97%
		A v			A nv

Cependant, afin de voir le secteur pour lequel cette diminution est plus observée selon l'approche calculatoire utilisée, il nous faut donc tenir compte des évolutions relatives ; les différents résultats issus de la comparaison des évolutions relatives sont résumés dans le tableau n°4.2.4.

Ce tableau (n° 4.2.4) met en évidence les évolutions des ratios de couvertures en passant du référentiel Solvency I à Solvency II. On constate que r 1, v > r _2,v et r 1, nv < r 2, nv . Autrement dit,

en assurance vie, la baisse de la valeur du ratio de couverture est plus importante en utilisant un modèle interne qu'en appliquant la formule standard suggérée dans le QIS 3. A l'opposé, en assurance non-vie, l'utilisation de cette formule standard donne une diminution plus importante que le modèle interne. Il a été donc question pour nous, avant de tirer des conclusions hâtives, de vérifier la différence significative entre les écarts relatifs des ratios selon le secteur d'activité. Nous avons répété les expériences précédentes en supposant que Ariskov vie et Ariskov non-vie sont de grandes compagnies disposant chacune de trente filiales. Comparer donc ces ratios revient donc pour nous, à réaliser les tests unilatéraux :

Ho,v : r 1, v > r2,v ; Ho,nv : r1, v <r2, v

H1,v : r 1, v = r 2, v ; H1,nv : r 1, v = r 2, v

Schéma n°4.2.1 : Synthèse des résultats en assurance vie (en milliers d'euros).

Solvency II

Solvency I

Formule standard

Modèle interne

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Actif Passif Actif Passif

Réalisé pa tide IKI

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Actif Passif

Valeur comptable de l'actif

427

Surplus
23

EMS

54

Provisions
techniques

350

Valeur de
marché
de l'actif

454

Surplus

33

SCR (FS)

70,4

Provisions
techniques

373

Valeur de
marché
de l'actif

454

Surplus

17,6

SCR (MI)

75,6

Provisions
techniques

360,6

Schéma n°4.2.2 : Synthèse des résultats en assurance non-vie (en milliers d'euros).

Solvency II

Solvency I	Modèle interne		Formule standard
Actif		Passif		Actif Passif

Actif Passif

Valeur comptable de l'actif

1118

Surplus

124 ,1

EMS

113,9

Provisions
techniques

880

Valeur
de
marché

1189,7

Surplus
95,7

SCR (FS)

302

Provisions
techniques

792

Valeur
de
marché

1189,7

Surplus
66

SCR (MI)

282,8

Provisions
techniques

840,9

Les statistiques de tests s'écrivent pour les secteurs vie et non-vie respectivement:

r r

1,

p_v

v

2, v -

rr r r

1, (1 _1, ) 2, (1 _2, )

v v v v

- + -

; 1, 2,

n

n

r r

nv nv

-

p nv =

r r r r

1, (1 _1, ) 2, (1 2, )

nv nv nv nv

- + -

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Pour n=30 (filiales), ces statistiques peuvent être approchées par une loi normale centrée réduite.

On obtient donc p_v = 0,4901 et p_nv = -0,2104. Au seuil de risque de 5%, on voit que les différences entre les variations des ratios de couvertures sont statistiquement significatives.

SECTION III : Discussions et extensions possibles

PARAGRAPHE 1 : Discussions

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Les résultats ci-dessus trouvés font appel à une petite discussion avec d'autres résultats, notamment celui de Serrant et d'autres résultats à l'échelle européens.

Serrant (2006) montre que l'utilisation d'un modèle interne permet de passer d'un ratio de 133 % à un ratio de 108% soit une baisse absolue de 18,79 par rapport à sa valeur selon Solvency I, tandis que nous trouvons une baisse de 19,34 % ; toujours est-il qu'il montre que l'utilisation des modèles internes devrait être un minimum réglementaire pour chaque entreprise d'assurance qui devra alors disposer d'un outil favorisant la gestion objective et optimale de l'adéquation dans le temps et selon divers scénarii économiques de ses engagements avec sa stratégie financière⁴²; et que, les efforts du régulateur devrait plus s'orienter vers la recherche de méthodes communes et homogènes permettant de contrôler ces modèles internes dans tous les pays de l'union européenne.

Dans leur analyse et synthèse des principaux enseignements de la troisième étude quantitative d'impact- QIS 3, Dreyfuss et Bernay (2007) font remarquer également sur le marché français une baisse des valeurs de ces ratios. On passe en effet, d'une valeur de 360 % dans Solvency I en assurance vie à une valeur de 147% (en ne tenant pas compte des mécanismes d'absorption du risque due aux participations aux bénéfices futurs) ; en assurance vie cette baisse est plus alarmante : on passe d'une valeur de 650 % dans Solvency I à une valeur de 150%. Ils ajoutent que cette baisse est globale sur tout le marché européen.

Dans les chapitres précédents, nous avons fait remarquer que, le référentiel Solvency II prend mieux en compte le risque et permet de diminuer considérablement les ratios de couverture. De plus nous avons noté que la différence majeure entre la formule standard et les modèles internes réside dans le bonus de diversification des risques ; le SST, un système de solvabilité auquel nous avons fait référence très souvent le long de ce mémoire et, qui est plus orienté vers les modèles internes, montrait une valeur de (-50%) en assurance vie contre de (- 25%) en assurance non vie pour la part du risque de diversification dans l'ensemble des risques auxquels sont exposées les compagnies d'assurance. Selon les résultats de QIS 3, cette part de diversification se situe entre 40% et 60%, mais ne dépasse pas les 20% en assurance non-vie. Cet écart de la part de diversification des risques est fonction de la structure de dépendance entre les différents risques considérés, et d'agrégation en agrégation, on gagne en marge ; Il faut cependant noter que, pour prêter les termes de Marie-Jeanne (2006), dans un monde dominé par

⁴² Allocation stratégique, politique de participation aux bénéfices, ...

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

l'incertitude ( risque de volatilité et incertitude systémique⁴³), la diversification ne devrait pas être hasardeuse car elle risquerait d'entrainer à des situations d'insolvabilité-comme le montre d'ailleurs l'histoire assez instructive de l'assurance aux Etats-Unis⁴⁴.

Au vu de ces différents résultats, il est important d'adapter chaque approche calculatoire selon chaque secteur d'activité dans la détermination des exigences de capitaux, ou au moins le SCR. Le CEIOPS devrait orienter voire privilégier chaque type d'approche en fonction secteur d'activité de l'entreprise. Il est de l'avantage de toutes les parties prenantes.

D'abord, le CEIOPS doit favoriser ou encourager l'utilisation des modèles internes pour le secteur vie (et non les proposer comme alternative comme cela est demandé dans le QIS 3 et le QIS 4) ; car devrons-nous le rappeler, la gestion des risques d'assurance vie nécessite une plus grande attention parce que les engagements sont de longues durées (plus de 20 ans parfois) et il faudra tenir compte de l'adéquation Actif-Passif. Pour le secteur non-vie, les calibrages ou les données de la matrice de corrélation estimée à partir des données de marché, la formule standard actuellement suggérée semble plus adapter que les modèles et faciliterait les contrôles dans ce secteur. Pour les secteurs mixtes (comme en France), les branches d'activités à développements longs (comme les branches Construction ou Santé) devront être séparées des autres branches courts et traiter comme proposer précédemment. Enfin, le CEIOPS devra plus concentrer ces efforts vers la recherche de méthodes communes et homogènes permettant de contrôler ces modèles internes dans tous les pays de l'union européenne pour le secteur vie.

Pour les assureurs, en assurance non-vie, ils devront chercher à mieux comprendre la formule suggérée par le CEIOPS en étudiant toutes les variantes possibles, notamment en réalisant par exemple pour le calcul de la marge de risque les méthodes proposées (coût du capital ou utilisation des proxies) afin d'en faire une comparaison et de formuler au régulateur son avis. Pour ceux du secteur vie, le but devra être la recherche d'amélioration des outils de gestion interne ; aussi bien les modèles de risque ALM que ceux des risques de provisionnement ou de programmes de réassurances. Toutes ces améliorations devront mieux tenir compte des risques présentés par Solvency II de concert avec les mécanismes.

⁴³ Qui est un aspect de connaissance, donc liée au jugement d'expert et qui se traite par la consolidation et la spécialisation.

⁴⁴ Exemple d'assureurs : Ina, Continental, Reliance, Royal Globe, Commercial Union,...

- 78 -

Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

PARAGRAPHE 2: Limites et extensions possibles

Dans Solvency II, la marge de solvabilité actuelle sera remplacée par deux exigences de capital, le MCR et le SCR. Le SCR dont nous venons de discuter l'approche calculatoire à retenir en fonction de chaque secteur d'activité, est fondé sur une évaluation fine des risques de l'assureur, et se veut significatif sans être très élevé pour les petits assureurs ayant des risques limités, ni pénalisant pour ceux qui sont spécialisés et donc ne bénéficient pas réellement des bonus de diversification. Une chose est sûre aujourd'hui, c'est qu'il faut inculquer la culture du risque à tous les niveaux de l'entreprise. Nous avons montré que l'utilisation d'un modèle interne est plus pertinente en assurance vie qu'en assurance non-vie. Cependant, cet exercice a été réalisé dans un cadre très restreint qui nécessite une extension afin de vérifier la robustesse de notre hypothèse. En effet, nous n'avons pas pris en compte tous les risques auxquels sont exposés nos assureurs. Et cela n'est pas le véritable problème c'est surtout certaines catégories de risques que nous n'avons pas considéré qui pourrait changer le sens de nos résultats. En effet, les risques de souscriptions non vie liés aux catastrophes naturelles (les phénomènes sismiques comme le tremblement de terre en France juin dernier ou même les inondations, les ouragans, les typhons, ...) n'ont pas été pris en compte ; alors que la fréquence de ces événements, ces deux dernières décennies, s'est accrue. La prise en compte de cette augmentation de fréquence devrait augmenter les provisions et en même temps faire évoluer la marge de solvabilité, mais tout dépendra de la proportion dans laquelle les deux évolueront. Nous avons également traité uniquement, pour le risque de marché, les sous risques liés aux actions et obligations sans des possibilités de sorties de contrats (par rachats de contrats ou par décès) en assurance vie par exemple et dans un contexte de marché complet. Alors que toutes restrictions sont très théoriques et ne traduisent pas forcément la réalité. Pour prêter les termes de Le Moine et Kaltwasser (2006), une étude en marché incomplet avec des possibilités de rachats pourrait se révéler plus parlante. En effet, déjà en marché complet, on connaît la grande dépendance qu'il y a entre valeur du passif et actifs présents dans le portefeuille. Ces actifs interviennent dans les outils de couverture-comme la marge de solvabilité par exemple-, mais aussi dans le calcul de la probabilité risque neutre. Cette dernière étant supposée constante en marché complet, c'est-à-dire que la seule information sur la valeur des actifs à une date quelconque suffit pour mesurer sa valeur pour tout le reste du temps (pour l'état du monde). Alors que dans le secteur de l'assurance, il n'est pas possible de décrire tous les états du monde en fonction des seuls actifs : l'aléa sur la vie et le comportement des assurés (sortie de contrats par rachats ou décès) n'est pas

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

nécessairement lié⁴⁵ à la dynamique des marchés financiers. L'hypothèse de marché complet se trouve donc compromise. Avant de trancher sur la pertinence d'un approche calculatoire donnée, il nous faut tenir compte de ce fait.

Nous avons également considéré qu'il n'existait pas de supplément de volatilité dans les portefeuilles d'actifs concentrés (actions et obligations) ni de variation de spread de crédits au- delà de la courbe des taux sans risques ; ce qui suppose l'absence de risque de concentration et de risque de spreads alors que l'été 2007 a été marqué par la crise des subprimes dans le secteur de l'immobilier aux Etats-Unis et la hausse continue du prix du pétrole - deux facteurs qui ont eu beaucoup d'impacts sur les cours des devises internationales (notamment le dollar et l'euro)- La prise en compte de ces éléments, surtout pour le secteur vie devrait apporter plus d'éléments quant à la pertinence d'une approche calculatoire.

Nous n'avons pas pris en compte les risques opérationnels, qui bien que négligeables, ne sont pas nuls. Et dans les grands groupes-multinationales par exemple, ils peuvent se révéler très importants. Voila autant de possibilités et d'éléments qu'on pourrait explorer afin de rendre cet exercice plus pertinent et robuste.

⁴⁵ La mortalité n'est pas corrélée avec les évolutions des marchés financiers

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

CONCLUSION

Paul Valéry disait : « Ce qui est simpliste est toujours faux, ce qui est complexe est inutilisable ». C'est la réalité de deux référentiels de solvabilités règlementaires -Solvency I et Solvency II ; l'un, Solvency II en projet, juger trop complexe par les uns, dont Rochet (2006) qui recommande de mettre l'accent sur la simplicité des règles et l'indépendance des contrôles ; et l'autre, Solvency I actuellement utilisé, qui est considéré comme trop simpliste par les autres dont Picard et Pinquet (2006), qui mettent l'accent sur les mesures de risques utilisés.

Nous venons de vérifier la pertinence des approches calculatoires pour les exigences de capital selon différents secteurs d'activité de l'assurance. Nous avons dans un premier montré le système Solvency II visait à améliorer Solvency I. Nous avons au passage noté que ces deux projets visent une meilleure couverture des véritables risques d'une compagnie d'assurance. Et que, la différence majeure entre Solvency I et Solvency II réside dans le fait que la marge de solvabilité sera dépendante du niveau de risque de la société. Et surtout que Solvency II prend mieux en compte l'exposition aux risques ; ces derniers donnant sens à l'activité même de l'assurance. Solvency II reposant sur des piliers, nous avons ensuite discuté des approches calculatoires qui permettent la détermination des niveaux d'exigences évoqués au Pilier 1. Ce qui nous a amené à discuter des avantages et insuffisances de chaque approche selon le secteur d'activité. Au-delà de quelques spécificités propres à chaque approche, le bonus de diversification a constitué la différence fondamentale entre ces deux approches. A l'aide de l'évolution des ratios de couverture de marges, nous avons montré que la formule standard suggérée lors de la troisième étude quantitative d'impact est bien adaptée à l'assurance non-vie. Et qu'à l'opposé, l'utilisation d'un modèle interne est plus pertinente en assurance vie qu'en assurance non-vie. Les données des entreprises fictives Ariskov vie et Ariskov non-vie nous ont permis de valider ces hypothèses. Cependant, par mesure de simplification d'ordre technique, nous n'avons pas pris en compte tous les risques notamment les risques de crédit ni les risques opérationnels qui ne sont pas nuls. Par ailleurs, pour les risques de marché, nous n'avons considéré que les risques actions et les risques de taux sans prendre en compte les possibilités de rachats avant échéance qui constituent pour l'assurance vie un facteur important dans sa solvabilité. Une étude plus globale prenant en compte tous les risques que nous avons présentés dans ce mémoire permettrait de vérifier la robustesse de notre hypothèse.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

BIBLIOGRAPHIE

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> Brass, T. (1971),» Another look at the logit transformation of the survivorship function»; > Carpenter, G. (2007),» Internal Models-A Winning Solution for Solvency II»;

> Denuit, M. et Delwarde, A. (2005), »Principes fondamentaux de la théorie du risque»,

Mathématiques de l'assurance non-vie tome 1: chapitre 5 ;

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> Dreyfuss, M. et Bernay, A. (2007), » Principaux enseignements de la 3ème étude quantitative d'impact » Département Etude et Suivi du Marché-ACAM ;

> Elie, L. et Lapeyre, B. (2001), »Introduction aux Méthodes de Monte-Carlo», note de cours, ENSAI ;

> Fédor, M. (2006), » Solvabilité II ne doit pas pénaliser l'investissement en actions », Risques n°66 ;

> Flor, G. (2006), » Solvabilité II : De la 3ème à la 4ème étude quantitative d'impact », ACAM ;

> Guibert, N. et Denis H. (2006), » Solvabilité II : Quels enjeux pour le contrôle prudentiel ?», Risques n°66 ;

> Koller, M. (2006), » Solvabilité II : Quo vadis ? », Risques n°66 ;

> Hurlin, C. (2007-2008), «Econométrie pour la Finance : Modèles ARCH/GARCH et Applications à la VaR »; note de cours, université d'Orléans ;

> Le Moine, P. et Kaltwasser, P. (2006), » Modèles de Risques et Solvabilité en assurance Vie », Commission de Contrôle des Assurances, des Mutuelles et des Institutions de Prévoyance ;

> Mack, T. (1993),» Measuring the variability of Chain Ladder reserve estimates» Forum Spring 1994, vol. 1, pp.101-182.

> Mueller, H. et Creedon, J. (April 2008),» Insurance Seminar on Economic Capital- International Developments»;

> Picard, P. et Pinquet, J. (2006), » Régulations des banques et des assurances : vraies et fausses analogies.», Risques n°66 ;

> Rochet, J. (2006), » Quelles normes de solvabilité pour les sociétés d'assurances ?», Risques n°66;

> Roncalli, T. (2001), «Théorie des Valeurs Extrêmes ou Modélisation des Evénements

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Rares pour la Gestion des Risques »; note de cours, Université Paris IX Dauphine; > Serrant, E. (2006), » Solvabilité II : Questions et enjeux», Risques n°66;

> Skjødt, P. (2006) : » Définir les règles de solvabilité du futur », Risques n°66 ; > Vincensini, C. (2006), » Solvabilité II : Dernières Orientations », Risques n°66.

TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS i

RESUME ii

CHAPITRE INTRODUCTIF 1

CHAPITRE I : SOLVENCY II : UNE AMELIORATION DE SOLVENCY I A TRAVERS UNE MEILLEURE

PRISE EN COMPTE DE L'EXPOSITION AUX RISQUES 6

SECTION I : SOLVENCY II : OBJECTIF OU CRITERE DE QUALITE 6

PARAGRAPHE I : SOLVENCY I : UN PEU D'HISTOIRE 6

PARAGRAPHE II : SOLVENCY II : OBJECTIF OU CRITERE DE QUALITE 8

SECTION II : APPRECIATION DES RISQUES : DIFFERENCE AVEC SOLVENCY I 13

PARAGRAPHE I : DIFFERENTS TYPES DE RISQUES 13

PARAGRAPHE II : QU'Y A-T-IL DANS SOLVENCY II ET QUI N'A PAS ETE PRIS EN COMPTE DANS

SOLVENCY I ? 15

CHAPITRE II : MODELE INTERNE VERSUS FORMULE STANDARD 20

SECTION I : LA FORMULE STANDARD ACTUELLEMENT TESTEE ET LES MODELES INTERNES 20

PARAGRAPHE I : LA FORMULE STANDARD ACTUELLEMENT TESTEE 20

PARAGRAPHE II : LES MODELES INTERNES 24

SECTION II : FAUT-IL PREFERER UN MODELE INTERNE A LA FORMULE STANDARD ? 29

PARAGRAPHE I : COMPARAISON DES DEUX APPROCHES 29

PARAGRAPHE II : SYNTHESE DE LA COMPARAISON 31

CHAPITRE III : MODELE INTERNE PLUS PERTINENT EN ASSURANCE VIE QU'EN ASSURANCE NON-

VIE 33

SECTION I : DIFFERENCE OU SPECIFICITE DES DIFFERENTES BRANCHES D'ASSURANCES 33

PARAGRAPHE I : LES FAMILLES D'ASSURANCES (BREF APERÇU) 33

PARAGRAPHE II : SPECIFICITE DES RISQUES OU FACTEURS DE RISQUES EN ASSURANCE NON VIE 35

SECTION II : EN QUOI L'UTILISATION D'UN MODELE INTERNE EST-ELLE PLUS PERTINENTE EN

ASSURANCE VIE QU'EN ASSURANCE NON-VIE ? 36
PARAGRAPHE I : COMMENT DOIT SE COMPORTER LA REGLEMENTATION SELON CHAQUE

TYPE D'ASSURANCE ? 36
PARAGRAPHE II : LES MODELES INTERNES NE SONT-ILS PAS PLUS APPROPRIES EN VIE QU'EN

NON VIE ? 36

CHAPITRE IV : IMPACT DE L'UTILISATION D'UN MODELE INTERNE SUR LA VALORISATION DU

BILAN EN ASSURANCE NON-VIE 38

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

SECTION I : APPROCHE METHODOLOGIQUE ET DONNEES UTILISEES 38

PARAGRAPHE I : DEMARCHE METHODOLOGIQUE ADOPTEE 38

1 ) TECHNIQUES DE SIMULATIONS 43

2 ) MESURE DU RISQUE 44

3 ) SYNTHESE SUR LES METHODES UTILISEES 47

PARAGRAPHE II : MODELISATION DES ELEMENTS DU BILAN ET CALCUL DES MARGES DE

SOLVABILITES 60

SECTION II : DONNEES UTILISEES ET QUELQUES RESULTATS 65

PARAGRAPHE I : LES DONNEES UTILISEES 65

PARAGRAPHE II : SYNTHESE DE QUELQUES RESULTATS 67

SECTION III : DISCUSSIONS ET EXTENSIONS POSSIBLES 72

PARAGRAPHE I : DISCUSSIONS 72

PARAGRAPHE II : LIMITES ET EXTENSIONS POSSIBLES 74

CONCLUSION 76

BIBLIOGRAPHIE 77

TABLE DES MATIERES 78

ANNEXES 80

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

LES ANNEXES

ANNEXE N°1 : Petit développement et rappels sur certaines
méthodes utilisées dans ce mémoire.

Bref aperçu sur les copules

Une copule est une fonction de répartition multivariée C définie sur l'hypercube [0;1]ⁿ =[0;1]x[0;1]x... x[0;1] et dont les marginales sont uniformes sur [0;1]. En d'autres termes, c'est une fonction liant les lois marginales afin de former une loi multivariée.

Le théorème de Sklar [1959] stipule que :

Pour une fonction F de répartition n-dimensionnelle avec des marges F1,... ,F_n ; alors il existe une n-copule C telle que pour tout vecteur X de Rⁿ, on a :

F(X1,...,X _n )=C(F1(X1),....,F1(X1)).

Il en existe plusieurs types : Gaussienne, Weibull, Fréchet, Archimédienne,.... Nous ne présentons pas dans ce mémoire les copules gaussiennes et de Student, dites copules elliptiques. Elles sont en effet moins bien adaptées en assurance car elles s'appliquent à des distributions symétriques. Pour en savoir d'avantage, une présentation en a été faite dans Roncalli [2001]. Nous nous intéressons aux copules archimédiennes. Les copules archimédiennes ont le grand avantage de décrire des structures de dépendance très diverses dont notamment les dépendances dites asymétriques, où les coefficients de queue inférieure et de queue supérieure diffèrent.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Pour ( une fonction convexe continue, strictement décroissante de [0;1] sur R+ telle que ((1) = 0 et ((0) = CX, une copule archimédienne stricte est définie par la relation :

C(u,v) ? ? ( u ) ? ( v ) .

= +

- 1 ( )

( est appelé générateur strict de C. Il existe également plusieurs familles de copules archimédiennes : Gumbel, Franck et Clayton ; celle qui nous intéresse est la copule de Gumbel. Elle est définie par :

C(u,v) exp ( ln u ) ( ln v ) ^á .

( )

1/

- + -

á á

= -avec ( u ) ( ln u ) á ; 1

? = - á =

a mesure le degré de dépendance entre les variable, et notamment ici les différents risques. L'avantage de la copule de Gumbel est que, bien qu'elle n'appréhende que des dépendances positives, elle possède la caractéristique de pouvoir représenter des risques dont la structure de dépendance est plus accentuée sur la queue supérieure. Elle est à ce titre particulièrement adaptée en assurance et en finance pour étudier l'impact de la survenance d'événements de forte intensité sur la dépendance entre branches d'assurance ou actifs financiers.

Rappels sur quelques lois usuelles :

+ La loi normale :

Soit X une variable aléatoire donnée définie sur |R. On dit que X suit une loi
normale, notée N (p, ó²), de moyenne p et de variance ó², si et seulement si sa

fonction de densité est de la forme :

1

fx e
( ) = ó 2 ð

1 x - ì

2 ó

+ La loi lognormale :

Soit Y une variable aléatoire donnée définie sur |R. On dit que Y suit une loi log-
normale, notée LN (m, s²), de moyenne m et de variance s², si lnY suit une loi

normale N (p, ó²) avec les relations :

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

ó ² s ²

s 2 = ln 1 et m ln( ) ln désigne la fonction logarithme népérien.

+ = -

ì

ì ² 2

+ La loi logit:

Soit Z une variable aléatoire donnée compris entre 0 et 1; Z suit une loi Logit si et seulement si sa fonction de densité a une expression de la forme :

z f z ( ) ln = 1 -

z

Remarque :

Les lois normales et log-normales sont très utilisées dans les modélisations des risques. En effet, le Swiss Solvency Test suggère d'utiliser la loi normale et celle log-normale pour la modélisation des provisions techniques non-vie notamment pour la branche santé, il recommande l'utilisation de la loi normale à cause de sa queue de distribution courte et la loi log normale pour les autres branches non-vie. Par ailleurs la modélisation des actifs financiers se base sur l'hypothèse de rendements normaux. La loi Logit est très utilisée en modélisation vie, surtout le risque de mortalité. En effet la loi Logit permet de passer d'un quotient de mortalité contraint, c'est-à-dire compris entre 0 et 1, à une distribution non contrainte et étendu sur |R.

2) Le calcul de la provision mathématique déterministe : les rentes de conjoint, d'éduction et celles liées à l'arrêt de travail.

Les rentes de conjoint et d'éducation comme nous l'avons précisé dans le corps du mémoire, sont liées aux garanties décès. Elles permettent au bénéficiaire du contrat de toucher une rente au décès de l'individu assuré. Il s'agit donc de verser une rente au conjoint survivant ou aux héritiers. Quant aux rentes liées à l'arrêt de travail, délivré exclusivement sur prescription médicale, elles correspondent à une prestation aux assurées pendant la période d'arrêt de travail.

+ Les rentes de conjoint et d'éducation.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Les formules ci-dessous concernent les PM de rentes à prime unique, à échoir, d'un montant de 1€ annuel, sans revalorisation et versées en une fois.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Remarque :

Il faut noter que les organismes assureurs peuvent réglementairement utiliser différents types de tables de mortalité, comme préciser dans le mémoire, décrivent l'extinction progressive d'une population au cours du temps. Afin de tenir compte des spécificités de chaque entreprise relatif à son portefeuille assuré et de rendre les calculs de provision mathématique plus pertinents, il est préférable d'utiliser les tables d'expérience plutôt que celles réglementaires.

+ L'arrêt de travail

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

ANNEXE N°2: Compte de résultat technique vie

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Réalisé par : Aristide K. VIGNIKIN

Solvabilité II : Impact de l'utilisation d'un modèle interne sur la valorisation du bilan en
assurance.

Tableau n°1: Compte de résultat technique vie

	Opérations brutes	Cessions et rétrocessions
Cotisation acquises
Produits des placements
Revenus des placements
Autres produits des placements
Ajustements ACAV (plus values)
Autres produits techniques
Charge des sinistres
Prestations et frais payés
Charge des provisions pour sinistres
Charge des provisions d'assurance vie et autres provisions techniques
Provisions d'assurance vie
Provisions pour opérations en unités de compte
Provision pour égalisation
Autres provisions techniques
Participation aux résultats
Frais d'acquisition et d'administration
Frais d'acquisition
Frais d'administration
Commissions reçues des réassureurs
Charge des placements
Frais de gestion interne et externe des placements et intérêts
Autres charges des placements
Pertes provenant de la réalisation des placements
Ajustements ACAV (moins values)
Autres charges techniques
Produits des placements transférés au compte non-technique
Résultat technique des opérations Vie